Estadistica Basica Ensayo

Estadística básica Programa desarrollado

Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre 1

Primer cuatrimestre

Programa de la asignatura:

Estadística básica

Clave:

ESAD

Noviembre, 2010



Índice

I. Información general de la asignatura 3

A. Ficha de identificación

B. Descripción

C. Propósito

II. Competencia a desarrollar 5

III. Temario 5

IV. Metodología de trabajo 6

V. Evaluación 7

VI. Material de apoyo 8

VII. Desarrollo de contenidos por unidad 9

Unidad 1. Fundamentos de estadística 9

Unidad 2. Representación numérica y gráfica de datos 21

Unidad 3. Medidas de tendencia central y dispersión 34



I. Información general de la asignatura

A. Ficha de identificación

Nombre de la Licenciatura o Ingeniería: Tronco común

Nombre del curso o asignatura Estadística básica

Clave de asignatura:

Seriación: Sin seriación

Cuatrimestre: Primero

Horas contempladas: 90

B. Descripción

En un mundo cada vez más competitivo, tanto en las áreas comerciales, financieras,

tecnológicas y científicas, y donde invariablemente el flujo de información es mayor a cada

momento, se hace indispensable no sólo la correcta descripción de los datos sino también su

análisis e interpretación. Es aquí donde la estadística juega un papel preponderante, al ser una

de las herramientas más poderosas para comprender la variabilidad inherente a los datos

observados y se constituye como la mejor herramienta para la toma de decisiones.

La diversidad de conocimientos, habilidades, actitudes, creencias y valores, requeridos en cada

una de las carreras que ofrece la ESAD, hace necesaria la conformación de un tronco básico

que, por un lado, garantice la formación integral en los atributos generales deseables de los

estudiantes, y por el otro, derive, de manera natural, en los atributos particulares necesarios

para cada disciplina de estudio.

El tronco básico se conforma de varias asignaturas comunes que promueven, por un lado, la

formación integral de los estudiantes, integrando asignaturas de distintas áreas del

conocimiento, y por otro lado, desarrollan en el estudiante competencias transversales

necesarias para la investigación, el análisis crítico, el manejo y la sistematización de

información y datos, así como una serie de valores que le permitan conducirse con ética y

responsabilidad durante su trayectoria académica y su desempeño profesional.

Las materias que forman el tronco básico son: Contexto socioeconómico de México, Desarrollo

humano, Estadística básica y Fundamentos de investigación; estas materias a simple vista

parecen desarticuladas, pero se interrelacionan para contribuir a la formación integral de los

estudiantes.



En relación al tronco básico la asignatura Estadística básica tiene varios propósitos, pues

pretende despertar en el estudiante el interés por la investigación para la toma de decisiones, la

solución de problemas y el análisis de situaciones y eventos relacionados con el entorno

académico, profesional, personal y social, rigiéndose en todo momento por un código de ética

profesional y personal.

Los propósitos de la asignatura en relación al tronco básico son que los estudiantes:

1. Adquieran la capacidad de lectura e interpretación de tablas y gráficos estadísticos que

con frecuencia aparecen en diferentes medios.

2. Lleguen a comprender y apreciar el papel de la estadística en la sociedad, incluyendo

sus diferentes campos de aplicación y el modo en que la estadística ha contribuido a su

desarrollo.

3. Identifiquen, dentro del contexto socioeconómico mexicano, la importancia y utilidad de

los análisis estadísticos para la toma de decisiones.

4. Se conduzcan de manera ética y responsable en el manejo y análisis de la información.

De manera particular, la materia pone especial énfasis en el enfoque práctico del material y los

contenidos que se presentan, tratando siempre de relacionar los conceptos, técnicas y casos de

estudio con el quehacer cotidiano de las diferentes disciplinas, esperando despertar en los

estudiantes el deseo de adentrarse cada vez más a la teoría de la probabilidad y estadística, al

ver lo importante que resulta su utilización en las diferentes áreas de trabajo.

La asignatura consta de cuatro unidades. En la primera unidad se estudian los fundamentos de

la estadística, en la segunda las técnicas para representación gráfica y numérica de datos, en la

tercera se abordan los conceptos básicos de la teoría de probabilidad como una medida del

riesgo frente a la incertidumbre en experimentos aleatorios y la última unidad presenta el

concepto de variables aleatorias y los modelos de probabilidad Binomial, Poisson y Normal.

C. Propósito

La asignatura tiene como propósito introducir al estudiante con los conceptos y técnicas básicas

de la estadística aplicada a la licenciatura e ingeniería. El curso tiene un nivel matemático

elemental, con la intención de que el estudiante comprenda la metodología y su aplicación, y no

tanto la teoría matemática detrás de ella.



II. Competencia a desarrollar

2.1. Competencia general

Utiliza la estadística descriptiva para el análisis de información a través de la recolección,

representación y la descripción de datos.

III. Temario

1. Fundamentos de la estadística

1.1. Introducción a la estadística

1.1.1. División de la estadística

1.2. Conceptos básicos e importancia de estadística

1.2.1. Población

1.2.2. Individuo

1.2.3. Muestra

1.2.4. Muestreo

1.2.5. Dato

1.2.6. Variable

1.2.7. Solución de un problema estadístico

1.3. Muestreo aleatorio

1.3.1. Conceptos básicos de muestreo aleatorio

1.3.2. Metodología del muestreo aleatorio simple

2. Representación numérica y gráfica de datos

2.1. Organización de datos y distribución de frecuencias

2.1.1. Frecuencias

2.1.2. Intervalos

2.1.3. Construcción de intervalos de clase

2.1.4. Tablas de datos

2.1.5. Tablas de frecuencias

2.1.6. Tablas por intervalos de clase

2.1.7. Tablas de doble entrada

2.2. Representación gráfica de datos

2.2.1. Histograma

2.2.2. Gráfica de barras

2.2.3. Gráfica de líneas



2.2.4. Gráfica de área o de pastel

3. Medidas de tendencia central y dispersión

3.1. Medidas de tendencia central

3.1.1. Media aritmética

3.1.2. Mediana

3.1.3. Moda

3.2. Medidas de dispersión

3.2.1. Recorrido

3.2.2. Varianza

3.2.3. Desviación típica o estándar

IV. Metodología de Trabajo

Para el logro de la competencia, es fundamental que los conceptos y procedimientos

presentados se ejerciten todo el tiempo, pues esperamos que los contenidos no sólo se

comprendan sino que se apliquen en la solución de problemas que tengan que ver con

situaciones que los estudiantes pueden enfrentar en su trayectoria académica y profesional.

Por lo anterior, las estrategias metodológicas de enseñanza-aprendizaje son, por un lado, el

planteamiento de ejercicios y problemas tipo, de cada uno de los procedimientos que se

abordan durante el curso, esto con el objetivo de que los estudiantes ejerciten en el uso,

aplicación y manejo de formulas y contenidos procedimentales. Por otro lado, los facilitadores

de la asignatura tendrán que orientar la aplicación de cada uno de estos procedimientos a las

áreas específicas de interés de los estudiantes; es decir, dentro de la asignatura se trabajan los

contenidos de manera aislada y los facilitadores tendrán que ejemplificar y presentar casos y

situaciones aplicables en las diferentes carreras, que complementen los ejercicios que se están

planteando.

Como estrategia de evaluación se utiliza un proyecto integrador, donde el estudiante haga uso

de todo lo que se trabajó en el curso. A lo largo del curso, se les presentarán a los estudiantes

varias autoevaluaciones de carácter lúdico, esto con el fin de que puedan observar e identificar

cuáles son sus avances y las dificultades que presentan en el aprendizaje de los temas.

Estas autoevaluaciones contarán con una retroalimentación que sirva para reforzar los temas

que se evalúan.

El facilitador juega un papel muy importante dentro del curso, pues se espera que sea quien

dirija y oriente todo el proceso de aprendizaje.



Deberá diseñar estrategias que propicien un aprendizaje verdaderamente significativo,

facilitando la comprensión del contenido y relacionando éste con los conocimientos previos del

estudiante así como con sus áreas específicas de estudio, a través del estudio casos y

problemas relacionados con el hacer cotidiano donde los estudiantes puedan aplicar y ejercitar

lo aprendido. Además de ser quien oriente las discusiones y sesiones de trabajo que se

plantean en los espacios de aprendizaje colaborativo.

V. Evaluación

En el marco del Programa de la ESAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso

participativo, sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa

al aula virtual. Por lo que se le considera desde un enfoque integral y continuo.

Por lo anterior, para aprobar la asignatura, se espera la participación responsable y activa del

estudiante así como una comunicación estrecha con su facilitador para que pueda evaluar

objetivamente su desempeño. Para lo cual es necesaria la recolección de evidencias que

permitan apreciar el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y

actitudinales.

En este contexto la evaluación es parte del proceso de aprendizaje, en el que la

retroalimentación permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y

reconocer el esfuerzo. Es requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las

tareas, actividades y evidencias así como la participación en foros y demás actividades

programadas en cada una de las unidades, y conforme a las indicaciones dadas. La calificación

se asignará de acuerdo con la rúbrica establecida para cada actividad, por lo que es importante

que el estudiante la revise antes realizarla.

A lo largo de la asignatura encontrarás autoevaluaciones, que te servirán de ejercitación y

práctica, su realización te preparará para resolver el examen final de la asignatura. Dicho

examen se presenta al concluir el estudio de todas las unidades temáticas que integran la

asignatura.

A continuación presentamos el esquema general de evaluación.



Esquema de Evaluación

Foros y base de datos 10%

Taller y tareas 30%

E-portafolio. 50% Evidencias 40%

Autorreflexiones 10%

Examen final 10%

Calificación Final 100%

Cabe señalar que para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificación mínima

indicada por la ESAD.

VI. Material de apoyo

Bibliografía básica:

Douglas C. Montgomery, George C. Runger (2007). Probabilidad y Estadística aplicadas

a la ingeniería. Cuarta Edición. México: McGraw-Hill.

Walpole Ronald E., Myers Raymond H. (2007). Probabilidad y Estadística para

Ingenieros. Octava Edición. México: Editorial Pearson.

Bibliografía complementaria:

Wackerly Dennis D., Mendenhall William III, Scheaffer, Richard L. (2010). Estadística

Matemática con Aplicaciones. Séptima Edición. México: Cengage Learning.

Ferris Ritchey. (2008). Estadística aplicada a las ciencias sociales. Segunda Edición.

México: Mc Graw Hill.

Douglas L., William M., Samuel W. (2008). Estadística aplicada a los negocios y la

economía. Decimotercera Edición. México: Mc Graw Hill.

Castillo Manrique, Isabel (2006). Estadística descriptiva y cálculo de probabilidades,

Primera Edición. Pearson Education de México.



VII. Desarrollo de contenidos por unidad

Unidad 1. Fundamentos de la estadística

Propósitos

En esta unidad:

Identificarás los conceptos básicos relacionados con la Estadística.

Reconocerás la utilidad e importancia de la Estadística.

Aplicarás el procedimiento para obtener una muestra aleatoria simple.

Competencia específica

Aplica la metodología estadística para obtener información de una muestra aleatoria simple,

identificando los elementos que intervienen en un problema estadístico.

Introducción

La palabra estadística a menudo te remite a gráficas y tablas; cifras relativas a nacimientos,

muertes, impuestos, demografía, ingresos, deudas, créditos, etc. No obstante, para aprovechar

las herramientas de análisis estadístico, es necesario comprender qué representa cada

concepto y la metodología mediante la cual se obtiene un dato estadístico.



En esta unidad se hablará sobre la importancia de la estadística, conocerás sus conceptos

básicos, así como la metodología del muestreo para que al final, obtengas una muestra

aleatoria simple.

1.1. Introducción a la estadística

La estadística es la ciencia cuyo objetivo es reunir información cuantitativa relacionada a

individuos, grupos, series de hechos, entre otros. Gracias al análisis de estos datos se pueden

deducir algunos significados precisos o algunas previsiones para el futuro. La estadística, en

general, es la ciencia que trata la recopilación, la organización, la presentación, el análisis y la

interpretación de datos numéricos con el fin de realizar una toma de decisiones más efectiva.

Los estudiantes confunden comúnmente los demás términos asociados con las Estadísticas,

una confusión que es conveniente aclarar debido a que esta palabra tiene tres significados: la

palabra estadística, en primer término se usa para referirse a la información estadística

descripción de parámetros; también se utiliza para referirse al conjunto de técnicas y métodos

que se utilizan para analizar la información estadística; y el término estadístico, en singular y en

masculino, se refiere a una medida derivada de una muestra.

Utilidad e importancia

La estadística resulta muy útil no sólo para recopilar y describir datos, sino también para

interpretar la información obtenida, que puede ser aprovechada para demostrar la evolución de

un fenómeno a través de cierto tiempo.

En México, el Instituto Nacional de Estadística y Geografía (INEGI) se encarga de recabar

información estadística y geográfica de todo el país, en diferentes áreas y contextos. Los datos

que publica sirven para dar a conocer a cualquier persona la situación en la que se encuentra el

área de donde se obtuvo la información.

Los métodos estadísticos se utilizan prácticamente en investigaciones de todas las áreas de

conocimiento; tanto en el ámbito académico, como en el profesional y laboral, en todos ellos la

finalidad es poder resolver un problema - entendiendo que un problema queda definido como la

diferencia entre lo real y lo deseado –, en donde la estadística muestra a la realidad para que el

investigador pueda analizar sus deseos y con ello tomar una decisión.

1.1.1. División de la estadística

La Estadística para su mejor estudio se ha dividido en dos grandes ramas: la Estadística

Descriptiva y la Inferencial.



Estadística Descriptiva: La función descriptiva de la estadística se enfoca en la

presentación y clasificación de los datos obtenidos de la población que se analiza.

Estadística Inferencial: Esta aplicación de la estadística busca plantear y resolver

problemas específicos y/o hacer previsiones a partir de los datos de una muestra, dado

que es muy difícil estudiar a la población completa.

La estadística descriptiva describe datos.

La estadística inferencial infiere con esos

datos, entendiendo inferir como la

estimación de un resultado.

1.2. Conceptos básicos e importancia de la estadística

1.2.1. Población

Conjunto de todos los elementos que permiten resolver un problema y que presentan una

característica común determinada, observable y medible. Por ejemplo, si el elemento es una

persona, se pueden estudiar las características edad, peso, nacionalidad, sexo, etc. Los

elementos que integran una población pueden corresponder a personas, objetos o grupos (por

ejemplo, familias, las manzanas de una cosecha, empleados de una empresa, etc.).

1.2.2. Individuo

Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población.

Nota que un individuo en estadística puede ser distinto a un individuo como persona. Por

ejemplo, en los censos económicos se obtienen datos de los negocios. En este caso cada

negocio, que está formado por varias personas, es un individuo de la población.

1.2.3. Muestra

Cuando es difícil estudiar la población debido a su gran tamaño o que provenga de un proceso

que no se detiene (como la producción de un bien), se debe analizar un subconjunto o parte de

esta que la represente, llamado muestra, partiendo del supuesto de que este subconjunto

presenta el mismo comportamiento y características que la población. En general el tamaño de

la muestra es mucho menor al tamaño de la población.



1.2.4. Muestreo

Es el proceso de recabar los datos que se desean analizar, obtenidos de una proporción

reducida y representativa de la población.

1.2.5. Dato

El dato es cada uno de los valores que se han obtenido al realizar un estudio estadístico. Por

ejemplo: Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara,

cruz.

1.2.6. Variable

Se llama variable a una característica que se observa en una población o muestra, y a la cual

se desea estudiar. La variable puede tomar diferentes valores dependiendo de cada individuo.

Las variables se pueden clasificar en cuantitativas y cualitativas:

a) Variable cuantitativa: se expresa en valores numéricos. Dentro de ella, se subdividen en:

Discreta: Se tratan de variables expresadas con valores enteros. Ej. N° de hijos de una

familia, n° de alumnos de un curso.

Continua: son valores que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Ej. Peso,

estatura, sueldos.



b) Variable cualitativa: es aquella que describe cualidades. No son numéricas y se subdividen

en:

Nominal: son variables presentadas sin orden ni jerarquía. Ej. Estado civil, preferencia

por una marca, sexo, lugar de residencia.

Ordinal: son variables organizadas de acuerdo con una clasificación. Ej. grado de

estudios, días de la semana, calidad de la atención, nivel socioeconómico.

1.2.7. Solución de un problema estadístico

La solución de un problema estadístico comprende los siguientes pasos:

a) Planteamiento del problema

En el planteamiento se define si se requiere de una muestra o es posible estudiar la

población, las características a estudiar (las variables), si es necesario establecer

una hipótesis, etc. En este punto también se analizan los medios de los que se

dispone y el procedimiento a seguir.

b) Elaboración de un modelo

Se establece un modelo teórico de comportamiento de las variables de estudio. En

ocasiones no es posible diseñar el modelo hasta realizar un estudio previo. Los

posibles modelos son Normal, Binomial, Poisson, Uniforme, Cuando es difícil

estudiar la población debido a su gran tamaño o que provenga de un proceso que no

se detiene (como la producción de un bien) , se debe analizar un subconjunto o

parte de esta que la represente, etc.

c) Extracción de la muestra

Se usa alguna técnica de muestreo o un diseño experimental para obtener

información de una pequeña parte de la población.

d) Tratamiento de los datos

En esta fase se eliminan posibles errores, se depura la muestra, se tabulan los datos

y se calculan los valores que serán necesarios en pasos posteriores, como la media



y la varianza de la muestra. Los métodos de esta etapa corresponden a los métodos

de la estadística descriptiva.

Algunas de las etapas de esta fase son: recopilación, clasificación y presentación de

la información.

e) Estimación de los parámetros

La estadística inferencial nos proporciona herramientas para la predicción o

estimación de los parámetros de la población que nos ayudarán a resolver el

problema. Un ejemplo de estas herramientas son las pruebas de hipótesis que se

obtienen del análisis de los datos y los intervalos de confianza.

1.3. Muestreo aleatorio

Introducción

Los estudios estadísticos normalmente se hacen con una parte de la población, ya que

realizarlos sobre la totalidad resultaría demasiado complicado. Para que la información obtenida

tenga validez y confiabilidad es necesario que la muestra cumpla con ciertas condiciones

específicas, relacionadas con el método para determinar el tamaño y características de la

muestra y los individuos que la componen.

1.3.1. Conceptos básicos de muestreo aleatorio

Para que la información obtenida tenga validez y confiabilidad es necesario que cumpla con

algunas condiciones específicas. Los métodos de muestreo se pueden clasificar en:

Muestreo probabilístico: en él, todos los elementos de una población y, por lo tanto,

todas las muestras posibles tienen la misma posibilidad de ser elegidas. Las muestras

obtenidas a través de este tipo de muestreo son confiables porque aseguran la

condición de representatividad que es muy importante para hacer generalizaciones.

Muestreo no probabilístico: en este tipo de muestreo los elementos de la población no

comparten las mismas posibilidades de ser seleccionados. Las muestras obtenidas no

cumplen con la condición de representatividad, por lo que no es confiable hacer

generalizaciones a toda la población.

1.3.2. Metodología del muestreo aleatorio simple



1. Definir la población de estudio y el parámetro a estudiar.

Recordemos que la población es el grupo formado por el conjunto total de individuos, objetos

o medidas que poseen algunas características comunes observables en un lugar y en un

momento determinado. Por lo tanto, el paso 1 es determinar el que se va a estudiar.

Por ejemplo:

Un investigador realiza un estudio sobre las relaciones de género en el noviazgo, su

objeto de estudio es las manifestaciones de violencia física y psicológica entre los

estudiantes del último año de la carrera de química. Su población es el total de

estudiantes del último año de ingeniería química que tengan novio o novia; el total

de individuos con esta característica es de 386 en este ejemplo. Por lo que, la

población es de 386 individuos y las variables son: violencia física y violencia

psicológica.

2. Enumerar a todas las unidades de análisis que integran la población,

asignándoles un número de identidad o identificación.

Una vez que hemos definido nuestra población y las variables a estudiar, es

necesario asignar un número de identificación a cada individuo de la población.

Siguiendo con el ejemplo de la relaciones de género en el noviazgo en los

estudiantes de química, lo que sigue es numerar a los 386 estudiantes un número

del 1 al 386.

3. Determinar el tamaño de la población, determinar el porcentaje de error y el

porcentaje de confianza y obtener una muestra preliminar.

Para calcular el tamaño de una muestra hay que tomar en cuenta tres factores:

a) El porcentaje de confianza con el cual se quiere generalizar los datos desde la

muestra hacia la población total.

b) El porcentaje de error que se pretende aceptar al momento de hacer la

generalización.

c) El nivel de variabilidad que se calcula para comprobar la hipótesis.Veamos en

qué consiste cada concepto:

Definir el tamaño de la población: Significa determinar el número de individuos que la

constituyen; la variable N representa el tamaño de la población. Esto es, N=X.

Porcentaje de confianza: Es el grado o nivel de seguridad que existe para generalizar

los resultados obtenidos. Esto quiere decir que un porcentaje del 100% equivale a decir



que no existe ninguna duda para generalizar tales resultados, pero también implica

estudiar a la totalidad de los casos de la población.

Para evitar un costo muy alto se busca un porcentaje de confianza menor, comúnmente

es un 95%. El nivel de confianza es la probabilidad que establecemos (sin hacer ningún

cálculo) para poder acertar al valor verdadero de la población. Este dato se obtiene a

partir de la distribución normal estándar (esto se considerará en la unidad 4).

Porcentaje de error: Este error es una distancia alrededor del valor que deseamos estimar y nos da un margen de aproximación. Al igual que en el caso de la confianza, si se quiere eliminar el riesgo del error y considerarlo como 0%, entonces la muestra es del mismo tamaño que la población, por lo que conviene correr un cierto riesgo de equivocarse. Comúnmente se aceptan entre el 4% y el 6% como error, tomando en cuenta de que no son complementarios la confianza y el error.

Variabilidad: Es la probabilidad (o porcentaje) con el que se aceptó y se rechazó la hipótesis que se quiere comprobar. El porcentaje con que se aceptó tal hipótesis se denomina variabilidad positiva y se indica con p (también llamada probabilidad de éxito), y el porcentaje con el que se rechazó la hipótesis es la variabilidad negativa, identificada por q (también llamada probabilidad de fracaso y se obtiene 1-p). Variabilidad positiva = p = a la probabilidad de que suceda el evento.

Variabilidad negativa = q = a la probabilidad de que no suceda el evento.

4. Determinar el tamaño óptimo de muestra para el estudio.

Una vez que la población, el porcentaje de confianza, el porcentaje de error y el nivel de

variabilidad han sido determinados, se debe determinar el tamaño de la muestra.

En este paso, se utiliza cualquiera de las siguientes fórmulas. El uso de una u otra

depende de si se conoce o no el tamaño de la población.

Para cuando no se conoce el tamaño de la población:

n es el tamaño de la muestra

Z es el nivel de confianza

p es la variabilidad positiva

q es la variabilidad negativa

E es la precisión o error

Ejemplo:



En un lote grande de medicinas, se desea verificar que la proporción de los ingredientes

activos sea el adecuado. Se debe determinar el tamaño de la muestra para un nivel de

confianza del 95% con un error del 5%. Supongamos que la variabilidad p=q=0.5.

Solución:

Para el nivel de confianza sea igual al 95%, tenemos que P(Z)=0.95 si Z=1.96.

Debido a que la variabilidad y el error se pueden expresar por medio de porcentajes, en

el caso necesario, hay que convertir esos valores a proporciones.

Sustituyendo:

Es decir, se ocupará una muestra de aproximadamente 384 unidades.

Para cuando se conoce el tamaño de la población:

n es el tamaño de la muestra

Z es el nivel de confianza

p es la variabilidad positiva

q es la variabilidad negativa

N es el tamaño de la población

E es la precisión o error

Ejemplo:

En un lote de 25,000 cajas de medicina, se desea verificar que la proporción de los

ingredientes activos sea el adecuado. Se debe determinar el tamaño de la muestra para

un nivel de confianza del 95% con un error del 5%. Supongamos que la variabilidad

p=q=0.5.

Solución:

Para el nivel de confianza sea igual al 95%, tenemos que p(Z)=0.95 si Z=1.96.

Sustituyendo:



En otras palabras, se ocupará una muestra de aproximadamente 378 cajas.

5. Seleccionar la muestra usando números aleatorios.

El último paso para obtener la muestra es saber qué individuos específicos de la

población se tomarán. Para hacer esto debemos:

1. Numerar a los individuos de la población del 1 a N (donde N es el tamaño de la población).

2. Generar números aleatorios mediante programas computaciones (por ejemplo, Excel con la función “=aleatorio ()” ), funciones en calculadora o bien utilizando tablas de números aleatorios. También puedes generar números aleatorios de formas mecánicas, por ejemplo, sacando números de una urna o lanzando una moneda al aire.

3. Tomar los individuos correspondientes a los números elegidos. Nosotros nos enfocaremos únicamente en el uso de la tabla de números aleatorios.

Procedimiento para utilizar las Tablas de Números aleatorios:

Se selecciona el bloque, el renglón y la columna de la tabla. Partiendo de esta

selección, se toman tantas columnas como dígitos tenga la población (N). Comenzando

por el primer número de las columnas, s- e incluirán en la muestra aquellos individuos

que en la lista de la población ocupen la posición de los “n“ números de las columnas

seleccionadas, siempre que sean menores que N. Si el número seleccionado en la tabla

es mayor que N lo pasamos por alto y seguimos hasta tener la muestra total.

Ejemplo:

Suponga que tenemos la siguiente tabla de 100 datos, numerados del 00-99.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 61 21 15 68 79 63 81 84 73 28

1 78 73 10 4 40 20 87 1 46 84

2 83 26 21 49 30 71 69 45 25 29



3 64 74 1 83 74 98 24 25 91 65

4 29 46 29 34 46 38 25 23 81 17

5 79 34 24 77 23 1 44 31 29 99

6 93 39 73 64 66 93 92 61 25 69

7 58 39 34 88 88 33 5 79 58 51

8 67 64 52 56 18 51 30 16 68 29

9 32 7 72 88 48 28 30 22 74 39

Selecciona una muestra aleatoria de 7 números.

En la figura anterior tenemos una tabla de números aleatorios tomados de este documento

(http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/aarribas/esp/docs/NumerosAleatorios.pdf),

seleccionemos una fila al azar, suponga la fila 5, y separamos los números de 2 en 2,

tendríamos entonces la siguiente serie de 7 números: 65 03 83 69 67 67 43 54 49 27 82 50 15

06 etc. Esto significa que nuestra muestra aleatoria deberá contener esos individuos, en el caso

de 67 que se repite, solo lo consideramos una vez y pasamos al siguiente número. (En algunas

calculadoras existe la función RAN# que nos proporciona también números aleatorios, en esta

basta con poner en la calculadora el número de muestras + (Tecla SHIFT) + RAN# y cada vez

que presionemos la tecla (=) nos dará un numero aleatorio, si solo queremos la parte entera,

ignoramos al decimal). Tendríamos la siguiente tabla:



Número aleatorio Individuo de la muestra

65 93

03 68

83 56

69 69

67 61

43 34

54 23

49 17

27 45

82 52

Por lo que nuestra muestra quedaría con los valores 93, 68, 56, 69, 61, 34, 23, 17 ,45 , 52.

Consideraciones específicas de la unidad

En esta unidad se trabajará con lecturas de apoyo y se resolverán problemas como ejercicios

para reforzar el aprendizaje.

Tendrás que participar en una encuesta con la cual se generará una base de datos, este

material lo utilizarás a lo largo del curso para que elabores las evidencias de aprendizaje de

cada unidad.

Referencias:

1. --- Statistics. (2010). En Merriam-Webster Online Dictionary. Consultado el 8 de marzo

de 2010 en: http://www.merriam-webster.com/dictionary/statistics

2. Borrego, Silvia (2008). “Estadística descriptiva e inferencial” en: Revista digital

innovación y experiencias educativas 13. Consultado el 10 de marzo de 2010 en:

http://www.csi-

csif.es/andalucia/modules/mod_ense/revista/pdf/Numero_13/SILVIA_BORREGO_2.pdf

3. Castillo Manrique, Isabel (2006). Estadística descriptiva y cálculo de probabilidades.

México: Pearson Educación.

4. Galbiati Riesco, Jorge M. (s/f). Conceptos Básicos de Estadística. Pontificia Universidad

Católica de Valparaíso, Instituto de Estadística. Consultado el 01 de marzo de 2010 en:

http://www.jorgegalbiati.cl/ejercicios_4/ConceptosBasicos.pdf



5. Jordi Casal, Enric Mateu (2003). “Tipos de muestreo” en: Revista Epidem. Med. Prev. 1:

3-7. Consultado el 01 de marzo de 2010 en:

http://minnie.uab.es/~veteri/21216/TiposMuestreo1.pdf

6. Larios Osorio, Víctor (1999). “Unidad 5. Teoría de muestreo”. Consultado el 12 de marzo

de 2010 en: http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu5.html

7. Lind, Douglas; William Marchal y Samuel Wathen (2008). Estadística aplicada a los

negocios y la economía. Decimotercera edición. México: McGraw-Hill.

8. Montgomery, Douglas C. y George C. Runger (1996). Probabilidad y Estadística

aplicadas a la ingeniería. Cuarta edición. México: McGraw-Hill.

9. Ritchey, Ferris (2008). Estadística para las ciencias sociales. Segunda edición. México:

McGraw-Hill.

10. Ruiz Muñoz, David (2004). Manual de estadística. Consultado el 09 de marzo de 2010

en: http://www.eumed.net/cursecon/libreria/drm/ped-drm-est.htm

11. Wackerly, Dennis D.; William Mendenhall III y Richard L. Scheaffer (2010). Estadística

Matemática con Aplicaciones. Séptima edición. México: Cengage Learning.

12. Walpole Ronald E.; Raymond H. Myers, et al. (2007). Probabilidad y Estadística para

Ingeniería y ciencias. Octava Edición. México: Pearson Educación.

Unidad 2. Representación numérica y gráfica de datos

Propósitos

En esta unidad:

Identificarás algunos conceptos que se utilizan en estadística descriptiva.

Organizarás datos en diferentes tipos de tablas y elaborarás varios tipos de gráficas.


Utiliza las técnicas de representación numérica y gráfica para representar información a través

de la organización de los datos obtenidos de una muestra o población.

Introducción

En la unidad anterior vimos que existen dos grandes divisiones de la estadística: la que se

dedica a la recolección, presentación y categorización de datos, llamada estadística descriptiva,

y la que se dedica a realizar hipótesis en base a dichos datos, llamada inferencial. También



aprendimos a determinar el espacio de estudio, es decir la población, y las variables que se van

a estudiar de acuerdo al problema planteado.

En esta unidad estudiaremos la Estadística Descriptiva, y dentro de ella aprenderemos cómo

organizar y presentar los datos que se obtienen de las muestras tomadas de nuestras

poblaciones. Antes de comenzar con los temas, veamos de dónde y cómo se obtienen los

datos que vamos a organizar.

Cuando se realiza un trabajo que requiere de la estadística, las personas que realizan el trabajo

diseñan sus instrumentos para recolectar la información y obtener los datos que necesitan.

Existen muchos métodos para recolectar información, pero los más frecuentes son:

Censos

Es una técnica de recolección de datos que se aplica a la totalidad de los elementos que

componen la población o universo que se estudia. Un censo debe cumplir dos condiciones:

Universalidad: esto es, se debe tomar en cuanta a todos los elementos de la población.

Simultaneidad: debe realizarse dentro de un periodo de tiempo limitado.

Encuesta

Esta técnica se utiliza para recolectar información de una muestra de la población. Consiste en

presentar un conjunto de preguntas abiertas (preguntas que no tienen respuestas

predeterminadas) o cerradas (preguntas que cuentan con una serie de respuestas

establecidas).

Experimento

Otra de las técnicas más recurridas en estadística para recolectar información son los

experimentos, veamos en qué consisten.

Un experimento es una prueba que se realiza para determinar las características o

comportamientos de una cosa. Por ejemplo, experimentar mediante el sentido del gusto, qué

alimentos nos parecen más salados.

Un experimento, también se define como el proceso que se realiza para verificar una serie

de hipótesis relacionadas con un determinado fenómeno, en el cual se determinan las

características o comportamientos del fenómeno que se analiza. Por ejemplo, un experimento

para determinar la velocidad de la luz en el vacío; donde se está determinando la velocidad de

la luz.

La diferencia entre la primera y la segunda definición es que en la segunda se parte de una

hipótesis mientras que en la primera no necesariamente.



En el primer ejemplo, experimento los sabores de los alimentos sin antes predecir cuál pienso

que me sabrá más salado. En el segundo ejemplo, mi hipótesis, a partir de estudios anteriores,

es que la velocidad de la luz en el vacío es de 300 000 km/seg.

Mi experimento verifica si esta hipótesis es cierta o no y en él cabe un margen de error

experimental.

2.1. Organización de datos y distribución de frecuencias

La descripción estadística organiza los datos y los presenta en forma de tablas y gráficas. Esta

área sólo describe, resume, organiza y representa los datos obtenidos de una población o

muestra de dicha población, sin elaborar inferencias ni obtener conclusiones.

La organización de datos se realiza a través de tablas que se utilizan para simplificar la

presentación y distribución de estos datos. A continuación veremos que existen diferentes tipos

de presentación de datos y con base en ellos distintas clasificaciones de frecuencia, como:

frecuencia relativa, frecuencia acumulada y frecuencia absoluta.

2.1.1. Frecuencias

Dentro de los conceptos básicos para la organización de datos están los que conciernen a la

frecuencia:

Frecuencia: es el número de veces que se repite un dato, también se le conoce como frecuencia absoluta.

Frecuencia acumulada: es la suma de las frecuencias absolutas de las variables hasta el renglón i. También es conocida como frecuencia absoluta acumulada.

Frecuencia relativa: es el resultado de dividir la frecuencia entre el número total de datos (N). Este dato también puede verse como un porcentaje.

Frecuencia relativa acumulada: es la suma de las frecuencias relativas hasta el renglón i.

Podemos encontrar las frecuencias organizadas en tablas que estudiaremos más adelante. Por

ahora veamos cómo se representan los tipos de frecuencia que vimos anteriormente,

supongamos que tenemos la siguiente distribución de datos:

18, 41, 23, 47,18, 23, 23, 41, 41, 47, 47, 52, 23, 47, 23, 47, 18, 47, 7, 23, 18, 47, 52, 41, 52, 18,

23, 52, 7, 18, 52, 23.

No. De Datos Frecuenci Frecuencia Otra forma Frecuencia Frecuencia



renglón

(i)

obtenidos de

la variable

a

fi

Acumulada

Fi

para obtener

Fi

Relativa

hi

Relativa acumulada

Hi

1 7 f1= 2 f1=F1= 2 f1 = F1=2 h1=f1/N=0.06

25 h1=H1=0.0625

2 18 f2= 6 f1+f2= F2=

8

F1+f2=F2=

8

h2=f2/N=0.18

75 h1+h2=H2=0.2500

3 23 f3= 8 f1+f2+f3=

F3=16

F2+f3=F3=

16

h3=f3/N=0.25

00 h1+h2+h3=H3=0.5000

4 41 f4= 4 f1+f2+f3+f4

= F4=20

F3+f4=F4=

20

h4=f4/N=0.12

50 h1+h2+h3+h4=H4=0.6250

5 47 f5= 7 f1+f2+f3+f4

+f5= F5=27

F4+f5=F5=

27

h5=f5/N=0.21

87 h1+h2+h3+h4+h5=H5=0.8430

6 52 f6= 5

f1+f2+f3+f4

+f5+f6=

F6=32

F5+f6=F6=

32

h6=f6/N=0.15

63

h1+h2+h3+h4+h5+h6=H6=1.0

000

Total N=32 1.0000

2.1.2. Intervalos

Intervalo o rango: Conjunto de números comprendidos entre otros dos números dados, conocidos estos últimos como límites del intervalo.

Intervalo de clase: En estadística, se llama intervalo de clase a la expresión que nombra un intervalo.

Amplitud del intervalo: Es la diferencia del límite superior menos el límite inferior (Ls -Li).

Fronteras de clase: Son los puntos medios entre los límites de intervalos consecutivos.

Las fronteras de clase se utilizan para recuperar los datos entre el límite superior de un intervalo y el límite inferior del siguiente.

Marca de clase: Es el punto medio del intervalo y es el resultado de la suma de

los límites inferior y superior del intervalo dividido entre 2. A la marca de clase

también se le denomina punto medio de clase.

Ejemplo de intervalos

Veamos cómo se representan los conceptos relacionados con los intervalos.

Dados los números 15 y 25, tendríamos que:

El intervalo corresponde a todos los números que se encuentran entre el 15 y el

25. El intervalo de clase sería: 15-25



Los límites del intervalo son:

Límite inferior = 15

Límite superior = 25

La amplitud del intervalo 15-25 sería: 25 menos 15, es decir 10. Es

recomendable que todos los intervalos tengan la misma amplitud. Para ello

podemos restar el dato menor del dato mayor y dividir este resultado entre el

número de intervalos que se deseen.

La frontera de clase: si tomamos los intervalos 4-14, 15-25 y 26-36, las fronteras

de clase serían: 3.5 y 14.5, para el primer intervalo, 14.5 y 25.5 para el segundo

intervalo, por último, 25.5 y 36.5 para el tercer intervalo.

La frontera de clase no debe coincidir con los datos límites del intervalo, porque

sería complicado identificar el intervalo al que pertenece dicho dato.

Ejemplo: Con en base las fronteras dadas se construyen los nuevos intervalos

3.5-14.5, 14.5-25.5 y 25.5-36.5. Si se tiene el dato 25.5 no se sabría si ponerlo

en el segundo o en el tercer intervalo.

Si esta coincidencia sucede deberá moverse el intervalo. Siguiendo con el

ejemplo, moviéndolo un punto a la izquierda tendríamos los intervalos 2.5-13.5,

13.5-24.5 y 24.5-35.5.

La marca de clase del intervalo 15-25 es igual a:

Es recomendable que la marca del intervalo coincida con alguno de los datos.

Esto no es necesario y no siempre se logra, sobre todo cuando los intervalos

tienen la misma amplitud.

2.1.3. Construcción de intervalos de clase

La formación de clases o intervalos de clase, que se representa con (k), dependen,

generalmente, del tamaño del rango de la población o muestra. Lo que se debe hacer para

determinar los intervalos de clase es lo siguiente:

1. Calcular el rango:

Para esto, se identifica el número mayor (Xn) y el número menor (X1) en los datos. El rango es

el resultado de la resta, esto es:



R= Xn – X1

Por ejemplo:

Si en una serie de datos que van desde el 18 hasta el 56, tendríamos lo siguiente:

Xn= 56 y X1= 18, por lo tanto:

R= Xn – X1= 56 – 18= 38

2. Determinar el número de intervalos que se desea tener:

No existe una regla para determinar el número de intervalos, pero generalmente se suelen

crear entre 5 y 20 intervalos. La decisión la toma el investigador.

Siguiendo con nuestro ejemplo, diríamos que vamos a construir 7 intervalos.

Entonces decimos que K=7.

3. Dividir el rango entre el número de intervalos que se desea tener:

Recordemos que lo recomendable es elegir un número entre 5 y 20 para los intervalos.

Dividimos entre uno menos de los intervalos deseados porque con el número de datos se

acumula un intervalo más.

Siguiendo con el ejemplo, deseo 7, entonces:

Esta será la amplitud de los intervalos. Cuando no es un número entero, se escoge el entero

más cercano, como en este caso, tomamos el rango igual a 5.

Cuando la cantidad de datos es tal que no alcanza para acumular un intervalo más, entonces

se divide entre el número de intervalos que se quieren.

4. Se forman los intervalos:

Los intervalos se forman comenzando un número antes del primer dato:

INTERVALOS:

17 a 22 (se cuenta 5 desde 18 hasta 22)

23 a 28

29 a 34

35 a 40

41 a 46

47 a 52

53 a 58

Nota: No importa que el último intervalo exceda el último dato.



Ejemplo de construcción de intervalos

Veamos el siguiente ejemplo para la construcción de intervalos de clase.

El director de una consultoría en desarrollo de software desea conocer el número de

incidencias en sus desarrollos reportadas durante los meses de agosto y septiembre. Para ello

pide a uno de sus empleados que le elabore un reporte, el empleado tiene los siguientes datos:

35, 24, 26, 23, 50, 20, 25, 56, 30, 30, 38, 36, 35, 29, 28, 30, 40, 39, 38, 40, 27, 24, 30, 32, 35,

27, 29, 22, 28, 27, 48, 40, 48, 31, 39, 28 46, 36, 37, 52, 44, 49, 52, 41, 31, 31, 56, 58, 38, 26,

25, 24, 60, 55, 48, 37, 31, 30, 22, 20.

Vayamos paso por paso:

1. Calcular el rango:

R= Xn – X1= 60-20=40

2. Determinar el número de intervalos entre 5 y 20:

Elegimos 8 intervalos

3. Dividir el rango entre el número de intervalos:

4. Se forman los intervalos:

Comenzamos por un número anterior al límite inferior: 19-24, 25-29, 30-35, 36-

40, 41-45, 46-50, 51-55, 56-60.

2.1.4. Tablas de datos

Existen diferentes tipos de tablas para presentar los datos, las más utilizadas son: Tabla de

datos, Tabla de frecuencias, Tabla por intervalos de clase y Tablas de doble entrada.

Veamos en qué consiste cada una:

Una tabla de datos es la forma más sencilla de organizar un conjunto de datos y se utiliza

cuando la información que necesitamos son los datos mismos. Se organizan en columnas o

renglones y se registran las mediciones o datos obtenidos.

Ejemplo:



Supongamos que la medición de temperatura a lo largo del día da como resultado los

siguientes valores en grados Celsius: 20.4, 21.2, 22.1, 23.9, 25.3, 26.9, 27.7. Entonces

construimos una tabla como la siguiente:

Temperatura

(Celsius) 20.4 21.2 22.1 23.9 25.3 26.9 27.7

2.1.5 Tablas de frecuencias

Esta nos aporta mayor información pues está formada por categorías de la variable que se esté

midiendo y su frecuencia (es decir, el número de ocurrencias de un valor dado).

Ejemplo:

suponga que un experimento da los siguientes valores medidos:

1,2,2,2,1,1,5,4,3,2,2,1,3,4,5,6,2,3,4,5,5,4,3,3,2

Procedemos entonces a agrupar por categorías, según la frecuencia o número de veces que

aparece cada medición:

Valor de la

Variable medida Frecuencia

1 4

2 7

3 5

4 4

5 5

6 1

2.1.6. Tablas por intervalos de clase

En este tipo de tablas los datos son presentados por intervalos de clase y no por los valores

correspondientes a cada variable.

Ejemplo:



En una encuesta sobre el desempleo en el Área Metropolitana de la Ciudad de México, se

organizan los datos por grupos de edades (intervalos de clase) y se presenta la frecuencia de

cada intervalo, teniendo un total de 23,700 desempleados.

Grupo de edad Frecuencia

De 12 a 19 9600

De 20 a 24 7100

De 25 a 34 3900

De 35 a 44 1500

De 45 a 99 1600

2.1.7. Tablas de doble entrada

Estas tablas proporcionan información referente a dos variables o eventos relacionados entre

sí. Se forma poniendo en los renglones de la tabla la información de una de las variables y en

las columnas la información de la otra variable.

Ejemplo:

Suponga que se miden el número de cirugías realizadas por edades en una muestra de 100

personas, encontrándose lo siguiente:

Edades / No. de cirugías Menos de 2 cirugías Más de 2 cirugías

0-10 1 0

11-20 2 2

21-30 6 4

31-40 11 7

41-50 17 6

Más de 50 30 14

Una tabla cualquiera puede ser vista como una tabla de doble entrada, en la cual las variables

relacionadas son los rangos contra el valor de las variables en dicho rango.

Por ejemplo:



Supongamos que medimos la temperatura de un líquido con respecto al tiempo de

calentamiento. En el renglón colocamos los tiempos y en las columnas la temperatura obtenida.

Podríamos considerar la tabla como una tabla de frecuencias o como una tabla de doble

entrada:

Tiempo

(min)

Temperatura

(°C)

1-5 36

6-10 44

11-15 67

2.2. Representación gráfica de datos

Introducción

En el tema anterior presentamos diferentes formas de organizar o de tabular datos y vimos la

distribución de frecuencias. Ahora veremos la representación gráfica de los datos.

Las gráficas son representaciones visuales de los datos que se muestran en una tabla. Existen

diferentes tipos de gráficas, cada una de ellas se elabora con base en el tipo de información

que se quiere representar.

2.2.1. Histograma

Histograma es la representación gráfica de una variable continua. Se elabora en un sistema de

coordenadas rectangulares.

El eje horizontal se utiliza para representar a la variable independiente, es decir, a la

escala de medición o fronteras de clase.

El eje vertical representa a la escala de frecuencias.

Si los intervalos de clase tienen el mismo ancho, las alturas de las barras serán

proporcionales a las frecuencias.

El histograma también proporciona visualmente el aspecto de la distribución y dispersión de las

mediciones.

2.2.2. Gráfica de barras

Este tipo de gráfica se utiliza para datos de tipo ordinal, nominal y discreto. En estas se

muestran la frecuencia, la frecuencia relativa y el porcentaje por medio de la altura de la barra y



no por el área de la barra. Esta gráfica muestra las discontinuidades en las mediciones por

medio de espacios vacios entre las barras.

La gráfica de barras se traza sobre un eje de coordenadas. Y puede ser de dos formas:

Barras verticales:

• En el eje horizontal se representan los valores de la variable.

• En el eje vertical se representa la frecuencia de cada clase.

Barras horizontales:

• En el eje horizontal se representan las frecuencias.

• En el eje vertical los valores de la variable.

Un histograma y una gráfica de barras son muy semejantes, la diferencia radica en que el

histograma no presenta separación entre las barras.

2.2.3. Gráfica de líneas

Una gráfica de líneas se construye también en un sistema coordenado rectangular, y muestra la

relación entre las variables mediante puntos conectados por líneas continuas. La frecuencia de

cada valor medido es representada por la altura del punto.

En el eje horizontal se representa a la variable y en el eje vertical la frecuencia. Se determinan

los puntos de corte del valor de la variable con su frecuencia y se unen, obteniéndose la gráfica

de línea.

2.2.4. Gráfica de área o de pastel

Una forma de representar datos u observaciones de una variable cualitativa es mediante un

diagrama circular. Esta gráfica muestra la relación entre las variables dividiendo un círculo (o

pastel) en sectores (o rebanadas). También se utilizan para representar la distribución de

frecuencias, pero es el área de cada sector la proporcional a los valores medidos.

Para trazar la gráfica, se hace una distribución proporcional de las frecuencias del problema

con respecto a la circunferencia determinando sectores circulares para cada categoría.



Ejemplo:

Considere la siguiente tabla de datos.

Medición en

cm Frecuencia

Frecuencia

acumulada Porcentaje

30 3 3 3%

30.1 7 10 6%

30.2 12 22 10%

30.3 18 40 15%

30.4 23 63 19%

30.5 21 84 18%

30.6 17 101 14%

30.7 11 112 9%

30.8 5 117 4%

30.9 1 118 1%



En esta figura se muestra el histograma de las mediciones en cm vs. frecuencia, note como el

ancho de las clases es el mismo.

En la gráfica de pastel se muestra dentro de cada “rebanada” la medición en cm y el porcentaje

que corresponde a la frecuencia relativa.

En esta figura se muestra la frecuencia acumulada mediante una gráfica de línea.




En esta unidad se trabajará con dos problemas diferentes que permitirán practicar a

elaboración de tablas de datos y gráficas, además de participar en un foro sobre el uso

cotidiano de la estadística descriptiva. La evidencia de aprendizaje se generará a partir de la

muestra que se obtuvo en la unidad uno. Consiste en la elaboración de tablas de datos y

gráficas de diferentes tipos.

Referencias:



2. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers et al. (2007). Probabilidad y Estadística para

Ingeniería y ciencias. Octava edición. México: Pearson Educación.

3. Intervalos de clase. Consultado el 26 de abril de 2010 en:

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/odontologia/2002890/lecciones/estadistica_descrip

tiva_2/estadistica_descriptiva_2.htm

4. Censo y entrevista. Consultados el 26 de abril de 2010 en:

http://www.indec.gov.ar/proyectos/censo2001/maestros/quees/masinfo.doc.

http://www.tec.url.edu.gt/boletin/URL_03_BAS01.pdf

Para saber más:

5. Estadística y probabilidad. Consultado el 27 de abril de 2010 en:

http://www.vitutor.com/estadistica.html

Unidad 3. Medidas de tendencia central y dispersión

Propósitos

En esta unidad:

• Aplicarás el procedimiento para obtener las medidas de tendencia central y dispersión

en datos agrupados y no agrupado.


Utiliza las medidas de tendencia central y dispersión para describir un conjunto de datos

mediante la representación numérica y gráfica de la información obtenida en una muestra o

población.

Introducción



Para cualquier conjunto de datos estudiados es importante tener información resumida de sus

características. Esta información nos indica cómo se comporta la población de datos que

tenemos. Para resumir la información se utilizan dos tipos de valores que en lugar de

representar cada dato, representan conjuntos de datos. Estos dos tipos de indicadores

estadísticos son: las medidas de tendencia central, que nos muestran hacia qué valores se

agrupan o acumulan los datos, y las medidas de dispersión, que, de forma contraria a las

anteriores, muestran cómo se dispersan o separan los datos.

3.1. Medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central son los valores que representan un conjunto de datos de

forma tal que nos ayudan a saber dónde están acumulados los datos pero sin indicar como se

distribuyen. Se llaman así porque tienden a ubicarse en la parte central del conjunto de datos.

Las medidas de tendencia central más comunes son: la media aritmética, comúnmente

conocida como media o promedio, la mediana y la moda.

3.1.1. Media aritmética

La media aritmética o, simplemente, media, se denota por ̅ o por la letra μ según se calcule en

una muestra o en la población, respectivamente. La media es resultado de dividir la suma de

todos los valores (xi) entre el número total de datos (N).

La fórmula para calcular la media de una distribución de datos, varía de acuerdo a la manera

cómo los tenemos organizados.

Fórmula para calcular la media en datos no agrupados

Los datos no agrupados son aquellos datos que organizamos en una tabla de datos, es decir,

cada valor se representa de manera individual. Las fórmulas para calcular la media son:

En una población En una muestra



En estas fórmulas la diferencia radica en que, el total de la población se representa con la letra

N y el total de la muestra se representa con la letra n.

Fórmula para calcular la media en datos agrupados por frecuencias simples

Los datos agrupados en frecuencias son aquellos que organizamos en una tabla de

frecuencias, es decir, las tablas que contienen, en una columna, el valor de la variable (xi) y, en

otra columna, la frecuencia (fi) o el número de veces que se repite cada valor en una serie de

datos.

Las fórmulas para calcular la media con los datos organizados de esta manera son:


Fórmula para calcular la media en datos agrupados por intervalos

Los datos agrupados en intervalos son aquellos que se organizan dentro de un rango

establecido entre un límite inferior y un límite suprior. Recuerda que las tablas de intervalos

muestran el número de datos que abarca cada intervalo (frecuencia por intervalo).

Las fórmulas para calcular la media con los datos organizados de esta manera son:




3.1.2. Mediana

La mediana es el valor que divide a la mitad la serie de datos que se tienen. Es decir, la

mediana queda en medio de todos los datos cuando los acomodas ya sea en orden creciente o

decreciente, entonces, el número de datos que queda a la izquierda de la mediana es igual al

número de datos que queda a la derecha.

Si n es impar hay un dato que queda en medio de todos, éste será igual a la mediana. Si n es

par hay dos datos que quedan en medio de todos, en este caso la mediana es el promedio de

esos dos datos, es decir, su suma dividida entre dos.

Para cuando la cantidad de valores de la distribución es impar:

1. Ordenamos los valores de menor a mayor.

2. Buscamos el valor del centro.

Por ejemplo:

Supongamos que tenemos los siguientes valores:

2, 4, 0, 8, 6, 4, 7, 1, 1, 0, 8, 6, 9

1. Ordenamos:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 9

2. El dato que divide a la mitad es: 4, por lo tanto Me: 4

Para cuando la cantidad de valores es impar:

1. Ordenamos los valores de menor a mayor.

2. Buscamos los valores del centro.

3. Promediamos los valores del centro.

Por ejemplo:



Supongamos que tenemos los siguientes valores:

5, 7, 2, 3, 1, 6, 9, 8, 6, 4, 7, 1, 3, 2

1. Ordenamos

1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9

2. Buscamos los datos del centro:

4, 5

3. Promediamos:

, por lo tanto Me: 4.5

Mediana en datos agrupados por intervalos

Cuando queremos calcular la mediana en datos agrupados por intervalos, tenemos que buscar

el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las

frecuencias absolutas, es decir, es necesario localizar el intervalo donde se encuentre

, ocupamos siguiente fórmula:

En donde:

Li = Límite inferior del renglón en donde debe estar la mediana

Fi-1 = Frecuencia acumulada anterior al renglón de la mediana

fi = frecuencia del renglón de la mediana

ai = tamaño del intervalo

3.1.3. Moda

La moda es el valor del dato que más veces se repite, esto es, el valor cuya frecuencia absoluta

es mayor, y se denota como Mo. Algunas veces el valor que más se repite puede no ser único,

es decir, puede haber dos o más datos que aparezcan con la misma frecuencia absoluta,

siendo ésta la mayor. En esas ocasiones podemos hablar de poblaciones o muestras

bimodales si existen dos modas o multimodales si existen más de dos.

Por ejemplo si tomamos una muestra de hombres y mujeres y medimos sus estaturas

tendremos dos modas.



Cuando nuestra distribución de datos es por intervalos de clase, primero localizamos el

intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta y utilizamos la siguiente fórmula para calcular la

moda:

En donde:

Li = Límite inferior del renglón en donde debe estar la moda

fi = frecuencia del renglón de la moda

fi+1 = Frecuencia ulterior al renglón de la moda

fi-1 = Frecuencia anterior al renglón de la moda

ai = tamaño del intervalo

3.2. Medidas de dispersión

A diferencia de las medidas de tendencia central, que miden acumulaciones, mediante un solo

punto, las medidas de dispersión miden el grado de separación o alejamiento que tiene una

variable estadística en torno a una medida de posición o tendencia central. Dicho grado de

separación nos indica lo representativa que es la medida de posición con respecto al conjunto

total de datos. A mayor dispersión menor representatividad de la medida de posición y

viceversa.

Las medidas de dispersión más comunes son: el recorrido, la varianza y la desviación estándar.

3.2.1. Recorrido

El recorrido representa la distancia que hay entre el primero y el último valor de la variable,

también se le conoce como rango y se denota por Re.

La fórmula para calcularlo es:

Donde:



máx xi es el valor máximo del a variable

min xi es el valor mínimo de la variable

Por ejemplo:

Supongamos que tenemos la siguiente distribución de datos: 69, 68, 52, 57, 69, 71, 78, 52, 74,

74, 69, 52, 76.

Calculamos el rango, sustituyendo los valores:

Re=78-52=26

3.2.2. Varianza

La varianza mide la mayor o menor dispersión de los valores de la variable respecto a la media

aritmética. Siempre es mayor o igual que cero y menor que infinito. Se define como la media de

los cuadrados de las diferencias del valor de los datos menos la media aritmética de estos.

La fórmula de la varianza para datos no agrupados es:

Varianza para datos agrupados por intervalos

La fórmula para calcular la varianza en datos agrupados por intervalos es la siguiente:

3.2.3. Desviación típica o estándar

Para calcularla en una población:

Para calcularla en una muestra:

Para calcularla en una población:

Para calcularla en una muestra:



La desviación típica muestra qué tan alejado está un dato del valor de la media aritmética, es

decir, la diferencia que hay entre un dato y la media aritmética. Se denota como S o, según se

calcule en una muestra o en toda la población, respectivamente.

Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se expresa mediante las siguientes

fórmulas:

En datos no agrupados:

En una población:

En una muestra:

En datos agrupados por intervalos:

En una población:

En una muestra:




Las actividades de esta unidad se trabajan en diferentes momentos, a partir de un problema

que se trabaja en la unidad 2, los alumnos tendrán que obtener las medidas de tendencia

central y dispersión. Se les solicita a los alumnos que al concluir cada subtema (tipo de medida)

se elabora una actividad relacionada con el mismo, al final del tema uno y dos estas actividades

se comparten con el resto del grupo para que entre todos se revisen y retroalimenten.

Se contará con dos foros de uso general, uno para las medidas e tendencia central y otro para

las medidas de dispersión. El objetivo de estos foros es que los alumnos planteen sus dudas a

todo el grupo o compartan información que pueda ser de utilidad para el estudio de los temas.

Cuenta con una actividad que debe ser enviada al facilitador como tarea, además de la

autoevaluación y la evidencia de aprendizaje. Esta última consiste en la presentación de las

medidas de tendencia central y dispersión de los datos obtenidos de la muestra de la unidad

uno, además de incluir, a manera de conclusión, una reflexión sobre el uso y las aplicaciones

de la estadística descriptiva.

Referencias:



2. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers et al. (2007). Probabilidad y Estadística para

Ingeniería y ciencias. Octava edición. México: Pearson Educación.

3. Medidas de tendencia central y dispersión. Consultado el 27 de abril de 2010 en:

http://bibliotecavirtual.lasalleurubamba.edu.pe/Estadistica/res/pdf/estadisticadescriptivav

ariables2.pdf

4. Estadística y probabilidad. Consultado el 27 de abril de 2010 en: http://www.vitutor.com/estadistica.html

Estadistica Basica Ensayo

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