BAB II Operasi-Operasi Lanjutan pada Himpuan Kabur, Representasi Himpunan...

Operasi-operasi Lanjutan pada Himpunan Kabur 31

BAB II

Operasi-Operasi Lanjutan pada Himpuan Kabur, Representasi Himpunan Kabur dan Prinsip

Perluasan

Dalam Bab I telah dibahas beberapa operasi dasar pada himpunan kabur, di antaranya komplemen, gabungan dan irisan. Himpunan kabur tersebut dioperasikan melalui fungsi keanggotaannya. Pada himpunan biasa, kita hanya dapat membuat satu jenis operator pada suatu operasinya. Misalnya untuk operasi gabungan, hanya operator max yang dipakai, dan untuk operasi irisan, hanya operator min yang dipakai. Akan tetapi, pada himpunan kabur kita dapat memodifikasi atau membuat beberapa jenis operator untuk suatu operasi. Hal ini dapat dilakukan karena jangkauan dari derajat keanggotaan pada himpunan kabur lebih luas dari pada derajat keanggotaan pada himpunan biasa. Jenis-jenis operator tersebut dibahas dalam bab ini.

2.1 Komplemen Himpunan Kabur

Misalkan k adalah suatu fungsi yang memetakan derajat

keanggotaan himpunan kabur A ke derajat keanggotaan himpunan kabur

komplemen A , yaitu:

k : [0, 1] [0, 1],

sedemikian sehingga cA Ak μ x μ x( ( )) ( ), xU

Agar fungsi k memenuhi persyaratan sebagai suatu operator komplemen, maka haruslah memenuhi sekurang-kurangnya dua aksioma berikut, yaitu: k-1: k(0) = 1 dan k(1) = 0

Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 32

k-2: jika a b maka k(a) k(b) a, b[0, 1]

Fungsi k : [0, 1] [0, 1] yang memenuhi aksioma k-1 dan k-2 di atas disebut komplemen kabur.

Aksioma k-1 memperlihatkan bahwa jika suatu elemen himpunan kabur mempunyai derajat keanggotaan sama dengan nol, maka komplemennya adalah suatu elemen himpunan kabur yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan satu, demikian juga sebaliknya. Sementara aksioma k-2 memperlihatkan bahwa kenaikan nilai derajat keanggotaan suatu elemen himpunan kabur, maka nilai derajat keanggotaan elemen komplemennya haruslah turun atau tidak berubah. Salah satu kelas komplemen kabur adalah komplemen kabur Sugeno, yang didefinisikan sebagai berikut:

a

ak

a

1( ) ,

1(-1, ) dan a[0, 1] (2.1)

Untuk masing-masing nilai parameter , kita mendapatkan suatu operator komplemen kabur khusus. Gambar 2.1 memperlihatkan kelas komplemen

kabur Sugeno untuk berbagai nilai parameter . Jika = 0 maka komplemen kabur Sugeno menjadi k(a) = 1 – a, yang sama dengan definisi komplemen himpunan kabur dasar (1.15).

Gambar 2.1 Kelas komplemen kabur Sugeno k(a) untuk

beberapa nilai


Kelas operator komplemen kabur yang lain adalah komplemen kabur Yager, yang didefinisikan sebagai berikut:

1

1 wwwk a a( ) ( ) , w(0, ) dan a[0, 1] (2.2)

Untuk masing-masing nilai parameter w, kita mendapatkan suatu operator komplemen kabur khusus. Gambar 2.2 memperlihatkan kelas himpunan kabur Yager untuk berbagai nilai parameter w. Jika w = 1 maka komplemen himpunan kabur Yager menjadi k(a) = 1 – a yang sama dengan definisi komplemen himpunan kabur dasar (1.15).

2.2 Gabungan Himpunan Kabur

Misalkan s adalah suatu fungsi yang memetakan hasil kali (product)

derajat keanggotaan himpunan kabur A dan B ke derajat keanggotaan

gabungan himpunan kabur A dan B , yaitu :

s : [0, 1][0, 1] [0, 1] ,

sedemikian sehingga,

A B A B

s μ x μ x μ x( ( ), ( )) ( ), xU

Gambar 2.2 Kelas komplemen kabur Yager kw(a) untuk beberapa nilai w


Agar fungsi s memenuhi persyaratan sebagai suatu operator gabungan, maka haruslah memenuhi sekurang-kurangnya empat aksioma berikut:

s-1 : s(1, 1) = 1, s(0, a) = s(a, 0) = a; a [0, 1]

s-2 : s(a, b) = s(b, a); a, b [0,1]

s-3 : jika a a dan b b maka s(a, b) s(a, b)

s-4 : s(s(a, b), c) = s(a, s(b, c)); a, b, c [0, 1] Aksioma s-1 menjamin bahwa fungsi s berlaku pada himpunan biasa. Aksioma s-2 menjamin bahwa urutan dari himpunan kabur yang dioperasikan tidak mempengaruhi hasilnya. Aksioma s-3 mengindikasikan bahwa

penurunan nilai derajat keanggotaan dalam himpunan kabur A atau

himpunan kabur B tidak mengakibatkan kenaikan nilai derajat keanggotaan

dalam A B . Aksioma s-4 menjamin bahwa kita dapat mengambil gabungan dari sejumlah himpunan kabur dalam urutan kelompok pasangan yang diinginkan. Aksioma s-4 juga membolehkan untuk memperluas operasi gabungan terhadap lebih dari dua himpunan kabur. Ada beberapa aksioma tambahan yang digunakan untuk membatasi kelas-kelas gabungan kabur. Dua di antaranya yang paling sering digunakan, yaitu: s-5 : s adalah suatu fungsi kontinu

s-6 : s(a, a) = a ; a [0, 1] Aksioma s-5 digunakan untuk mencegah keadaan di mana suatu perubahan

nilai derajat keanggotaan yang sangat kecil dalam himpunan kabur A atau

B menyebabkan perubahan yang besar nilai derajat keanggotaan A B . Sementara aksioma s-6 menjamin bahwa gabungan dari sebarang himpunan kabur dengan dirinya sendiri akan menghasilkan himpunan kabur yang sama.

Fungsi s yang memenuhi aksioma s-1, s-2, s-3 dan s-4 biasa disebut s-norm. Dengan mudah dapat diperlihatkan bahwa operator max untuk gabungan kabur (1.13) memenuhi aksioma s-1 – s-4, sehingga operator max merupakan suatu s-norm, yaitu:

A B A B

s μ x μ x max μ x μ x( ( ), ( )) [ ( ), ( )]

Berikut ini diberikan lima kelas s-norm yang sering dijumpai dalam literatur-literatur teori himpunan kabur :

1. Kelas Schweizer dan Sklar :

1 0 1

1p-p -p

ps a, b max a b p( ) , (1 ) (1 ) , 0


2. Kelas Hamacher :

a+b abs a, b

ab

(2 )( ) , (0, )

1 (1 )

3. Kelas Yager :

1ww w

ws a, b min a +b w( ) 1, ( ) , (0, )

4. Kelas Dubois dan Prade :

a+b-ab-min a,b,s a, b

max -a -b

( 1- )( ) , (0,1)

(1 , 1 , )

5. Kelas Dombi :

1

1

1

1 1

a b

s a b1

( , ) , (0, )

-1

Untuk masing-masing nilai parameter yang dipilih, kelima kelas s-norm tersebut masing-masing akan mendefinisikan suatu s-norm khusus.

Beberapa s-norm lain yang sering digunakan dan banyak dibahas dalam literatur-literatur di antaranya adalah: 1. Jumlah drastis :

0

JDs a b

max a, b min a, b[ ] jika [ ]( , )

1 yang lain

2. Jumlah terbatas :

1 JTs a b min a b( , ) [ , ]

3. Jumlah Einstein :

JE

a bs a b

ab( , )

1

4. Jumlah aljabar : JAs a, b a b ab( )

Suatu pertanyaan dapat timbul, mengapa begitu banyak s-norm yang diusulkan oleh para ahli? Alasan teoritisnya adalah bahwa s-norm tersebut akan menjadi identik jika derajat keanggotaan dibatasi pada nilai nol atau satu saja. Atau dengan kata lain s-norm tersebut merupakan perluasan dari gabungan himpunan biasa. Sedangkan alasan praktisnya adalah bahwa terdapat s-norm yang cocok dipakai pada suatu aplikasi tapi tidak cocok pada aplikasi yang lain, demikian sebaliknya.


Contoh 2.1

Pandang kembali himpunan kabur A dan B pada Contoh 1.13. Akan digunakan keempat s-norm yang disebutkan di atas untuk mendapatkan

A B , sebagai berikut: 1. Jumlah drastis:

x

JDA Bμ s a b( ) ( , ), sehingga

A B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 0.1), (e, 1)} 2. Jumlah terbatas:

x

JTA Bμ s a b( ) ( , ), sehingga

A B = {(a, 0.7), (b, 1), (c, 1), (d, 0.1), (e, 1)} 3. Jumlah Einstein:

x

JEA Bμ s a b( ) ( , ), sehingga

A B = {(a, 0.64), (b, 0.83), (c, 1), (d, 0.1), (e, 0.8)} 4. Jumlah aljabar:

x

JAA Bμ s a b( ) ( , ), sehingga

A B = {(a, 0.6), (b, 0.79), (c, 1), (d, 0.1), (e, 0.75)} Dari bebrapa s-norm yang disebutkan di atas, max merupakan s-norm terkecil sedangkan jumlah drastis merupakan s-norm yang terbesar. Hal ini dinyatakan dalam teorema berikut yang pembuktiannya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Teorema 2.1

Untuk sebarang s-norm s, maka JDmax a, b s a, b s a, b( ) ( ) ( ),

a, b[0, 1]

2.3 Irisan Himpunan Kabur

Misalkan t adalah suatu fungsi yang memetakan hasil kali (product)

derajat keanggotaan himpunan kabur A dan B ke derajat keanggotaan

irisan himpunan kabur A dan B , yaitu:

t : [0, 1][0, 1] [0, 1] ,

sedemikian sehingga

A B A B

t μ x μ x μ x( ( ), ( )) ( ), xU


Agar fungsi t memenuhi persyaratan sebagai suatu operator irisan, maka haruslah memenuhi sekurang-kurangnya empat aksioma berikut:

t-1 : t(0, 0) = 0, t(a, 1) = t(1, a) = a; a [0, 1]

t-2 : t(a, b) = t(b, a), a, b[0, 1]

t-3 : jika a a dan b b maka t(a, b) t(a, b);

a, b, a, b [0, 1]

t-4 : t(t(a, b), c) = t(a, t(b, c)); a, b, c [0, 1] Ada beberapa aksioma tambahan yang digunakan untuk membatasi kelas-kelas irisan himpunan kabur, di antaranya adalah: t-5 : t adalah suatu fungsi kontinu

t-6 : t(a, a) = a ; a [0, 1]. Penjelasan implikasi dari aksioma t-1 – t-6 adalah sama dengan penjelasan implikasi aksioma s-1 – s-6.

Fungsi t yang memenuhi aksioma t-1–t-4 biasa disebut t-norm. Dengan mudah dapat diperlihatkan bahwa operator min untuk irisan himpunan kabur (1.14) merupakan suatu t-norm, yaitu

A B A Bt μ x μ x min μ x μ x( ( ), ( )) ( ), ( ) .

Untuk sebarang t-norm, maka akan ada suatu s-norm yang bersesuaian, demikian pula sebaliknya. Dengan demikian, dari s-norm yang telah disebutkan sebelumnya, maka akan terdapat t-norm yang bersesuaian (dual), sebagai berikut:

1. Kelas Schweizer dan sklar :

1

1 -p-p -p

pt a, b max a b p( ) (0, ) ; ( , ) .

2. Kelas Hamacher :

01

abt a, b

a b ab( ) ; ( , )

( )( ).

3. Kelas Yager :

1 1 1 1 0

1w

w wwt a, b min a b w( ) , ( ) ( ) ; ( , )

4. Kelas Dubois & Prade:

1

ab

t a, bmax a, b,

( ) ; (0, )( )


5. Kelas Dombi:

1

1 11 1

a b

t a, b1

( ) ; (0, )

1 ( ) ( )

Untuk masing-masing nilai parameter yang dipilih, kelima kelas t-norm tersebut masing-masing akan mendefinisikan suatu t-norm khusus. t-norm lain yang bersesuaian dengan s-norm adalah sebagai berikut:

1. Hasil kali drastis:

1

HD

min a, b max a,bt a, b

[ ] jika [ ]( )

0 yang lain

2. Hasil kali terbatas:

1 HTt a, b max , a b( ) [0 ]

3. Hasil kali Einstein:

HE

abt a, b

a b ab( )

2 ( )

4. Hasil kali aljabar:

HAt a, b a b( )

Contoh 2.2

Pandang kembali himpunan kabur A dan B pada Contoh 1.13. Akan digunakan keempat t-norm yang disebutkan di atas untuk mendapatkan

A B , sebagai berikut: 1. Hasil kali drastis:

HDA B

μ x t a, b( ) ( ), sehingga:

A B = {(c, 0.1)} 2. Hasil kali terbatas:

HTA B

μ x t a, b( ) ( ), sehingga:

A B ={(c, 0.1)} 3. Hasil kali Einstein:

HEA B

μ x t a, b( ) ( ), sehingga

A B = {(a, 0.71), (b, 0.17), (c, 0.5), (d, 0), (e, 0.2)}


4. Hasil kali aljabar:

HAA B

μ x t a, b( ) ( ), sehingga

A B = {(a, 0.1), (b, 0.21), (c, 0.1), (d, 0), (e, 0.25)} Dari beberapa t-norm yang disebutkan di atas, hasil kali drastis merupakan t-norm yang terkecil, sedangkan min merupakan t-norm terbesar. Hal ini dinyatakan dalam teorema berikut:

Teorema 2.2

Untuk sebarang t-norm, maka HDt a b( , ) t(a, b ) min(a, b);

a, b [0, 1]. Cara membuktikan teorema ini identik dengan pembuktian Teorema 2.1. Suatu t-norm dapat dibangkitkan dari suatu s-norm melalui

transformasi t(a, b) = 1 – s(1 – a, 1 – b), a, b [0, 1] (2.3)

Contoh 2.3

(i) Misalkan s-norm max, s(a, b) = max(a, b), maka: t(a, b) = 1 – s(1 – a, 1 – b) = 1 – max(1 – a, 1 – b)

Kita tinjau dua kemungkinan, yaitu a b dan a < b;

Jika a b maka 1 – a 1 – b, sehingga: 1 – max[1 – a, 1 – b ] = 1 – (1 – b) = b = min(a, b)

Jika a < b maka 1 – a > 1 – b sehingga: 1 – max[1 – a, 1 – b ] = 1 – (1 – a) = a = min(a, b)

Jadi, min(a, b) dapat dibangkitkan dari max(a, b) (ii) Misalkan s-norm jumlah aljabar, s(a, b)=a + b – ab, maka:

t(a, b) = 1 – s(1 – a, 1 – b) = 1- [(1 – a)+(1 – b) – (1 – a)(1 – b)] = 1 – [1 – ab] = ab (hasil kali aljabar).

Jadi, hasil kali aljabar dapat diperoleh dari jumlah aljabar. Untuk suatu operator komplemen himpunan kabur yang didefinisikan oleh k(a) = 1 – a, maka pasangan dual t-norm dan s-norm memenuhi generalisasi hukum De’Morgan berikut: s(a, b) = k(t(k(a), k(b))) dan

t(a, b) = k(s(k(a), k(b))), a, b[0, 1] (2.4) Generalisasi Hukum De’Morgan di atas dapat dibuktikan dengan mengambil suatu pasangan dual dari s-norm dan t-norm. Misalkan kita buktikan dengan mengambil pasangan dual s-norm max dan t-norm min, sebagai berikut:


Kita akan tinjau dua kemungkinan, yaitu a b dan a > b:

Jika a b maka 1 – a 1 – b, ruas kiri: s(a, b) = max(a, b) = b ruas kanan: k(t(k(a), k(b))) = 1 – (t(1 – a, 1 – b)) = 1 – min(1 – a, 1 – b) = 1 – (1 – b) = b

= ruas kiri.

ruas kiri: t(a, b) = min(a, b) = a ruas kanan: k(s(k(a), k(b))) = 1 – (s((1 – a), (1 – b))) = 1 – max(1 – a, 1 – b) = 1 – (1 – a) = a = ruas kiri

Jika a > b maka 1 – a < 1 – b, sehingga: ruas kiri: s(a, b) = max(a, b) = a ruas kanan: k(t(k(a), k(b)))

= 1 – (t(1 – a, 1 – b)) = 1 – min(1 – a, 1 – b)

= 1 – (1 – a) = a = ruas kiri.

ruas kiri: t(a, b) = min(a, b) = b ruas kanan: k(s(k(a), k(b)))

=1 – (s((1 – a), (1 – b))) = 1 – max(1 – a, 1 – b) = 1 – (1 – b) = b = ruas kiri Untuk membuktikan generalisasi hukum De’Morgan dengan menggunakan pasangan dual yang lain diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

2.4 Operator Rata-rata

Dalam Teorema 2.1 dan 2.2, terlihat bahwa tidak ada operator yang menghasilkan himpunan kabur yang terletak diantara operator min dan


operator max. Operator yang dapat membangkitkan himpunan kabur yang terletak diantara min dan max biasa disebut operator rata-rata, yang didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.1.

Misalkan A dan B adalah himpunan kabur dalam U, maka operator rata-rata

yang dinyatakan dengan r, adalah suatu fungsi

r : [0, 1][1, 0] [0, 1], sedemikian sehingga memenuhi:

r-1 : r(a, b) = r(b, a), a, b[0, 1] r-2 : r adalah suatu fungsi naik

r-3 : min(a, b) r(a, b) max(a, b), sedemikian sehingga

r {min, max}. Beberapa operator rata-rata yang terdapat dalam literatur-literatur teori himpunan kabur di antaranya adalah:

Rata-rata max-min, yaitu

r(a, b) = max(a, b) + (1 – )min(a, b); [0, 1].

Rata-rata aritmetik, yaitu

r(a, b) = a b

2

Rata-rata geometrik, yaitu

r(a, b) = a b.

Rata-rata diperumum, yaitu

r(a, b) =

1

a b

2, – {0}

Rata-rata terboboti terurut (RTT), Misalkan w = (w1, w2,) adalah suatu vektor pembobot sedemikian

sehingga w1, w2 [0, 1] dan w1 + w2 = 1. Maka operator RTT adalah fungsi r(a, b) = w1c1 + w2c2, di mana c1 adalah elemen terbesar dari a, b, dan c2 adalah elemen terkecil dari a, b.


2.5 Operasi Pengkombinasian Lebih dari Dua Himpunan Kabur

Operasi pengkombinasian pada himpunan kabur adalah operasi di mana beberapa himpunan kabur dikombinasikan untuk menghasilkan suatu himpunan kabur tunggal. Secara formal, operasi pengkombinasian pada n

himpunan kabur (n 2) didefinisikan oleh suatu fungsi

h : n[0, 1] [0, 1]

yang sekurang-kurangnya harus memenuhi syarat berikut: h-1 : h(0, 0, ..., 0) = 0 dan h(1, 1, ..., 1) = 1

h-2 : h(a1, a2, ...,an) = ( )1 2 ni i ih a ,a ,...,a untuk suatu permutasi i1, i2, ..., in dari

1, 2,..., n. h-3 : Untuk suatu pasangan (a1, a2, ..., an) dan (b1, b2, ..., bn) sedemikian

sehingga ai, bi [0, 1], jika ai bi maka

h(a1, a2, ..., an) h(b1, b2, ..., bn), in.

Suatu operator pengkombinasian h disebut operator jenis irisan atau jenis gabungan jika salah satu dari syarat berikut terpenuhi:

h-4a : h(a1, a2, ..., an) min(a1, a2, ..., an).

h-4b : h(a1, a2, ..., an) max(a1, a2, ..., an). Suatu operator pengkombinasian h disebut pengkombinasian rata-rata jika memenuhi:

h-5 : h(a, a, ..., a) = a , a[0, 1] (idempoten) Berikut ini diberikan beberapa contoh dari operator pengkombinasian rata-rata yang sering dijumpai dalam literatur-literatur, yaitu:

Rata-rata diperumum, yaitu

h(a1, a2, ..., an) =

1

1

, - i

i

0

2

n a (2.5)

Apabila dipilih = 1, maka (2.5) menjadi rata-rata aritmetik, dan apabila

dipilih = –1 maka (2.5) menjadi rata-rata harmonik.

Rata-rata terboboti terurut (RTT),

Misalkan vektor 1

( , ,..., )2 ni i ia a a adalah suatu permutasi dari vektor (a1,

a2, ..., an) di mana elemen-elemen vektor permutasi adalah berurut, yaitu

1 2 ...

ni i ia a a . Kemudian dimisalkan w = (w1, w2, ..., wn) adalah


suatu vektor pembobot sedemikian sehingga wk [0, 1], kn dan

1

n

kk

w 1 , maka operator pengkombinasian RTT adalah fungsi

h(a1, a2, ..., an) = 1 21 2

ni i n iw a w a w a( ... )1

k

n

k ik

w a

Beberapa kasus khusus pada operator pengkombinasian rata-rata terboboti terurut, antara lain: - Jika w=(1, 0, 0, ...,0) maka h(a1, a2, ...,an) = max(a1, a2,..., an). - Jika w=(0, 0, ..., 1) maka h(a1, a2, ..., an) = min(a1, a2, ..., an).

- Jika w = 1 1n n( ,..., ) maka h(a1, a2, ..., an) = 1

1

n

knk

a .

2.6 Representasi Himpunan Kabur

Salah satu penggunaan potongan- dan potongan- kuat dalam teori

himpunan kabur adalah untuk merepresentasikan himpunan-himpunan kabur. Setiap himpunan kabur direpresentasikan secara tunggal oleh keluarga

semua potongan- nya atau keluarga semua potongan- kuatnya. Untuk

menjelaskannya akan diberikan suatu contoh sederhana bagaimana suatu

himpunan kabur dapat direpresentasikan oleh potongan- nya, sebagai

berikut:

Misalkan himpunan kabur A = {(a, 0.2), (b, 0.4), (c, 0.6), (d, 0.8), (e, 1)}.

Maka terdapat lima potongan- pada A , yaitu:

A0.2 = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1), (e, 1)} A0.4 = {(a, 0), (b, 1), (c, 1), (d, 1), (e, 1)} A0.6 = {(a, 0), (b, 0), (c, 1), (d, 1), (e, 1)} A0.8 = {(a, 0), (b, 0), (c, 0), (d, 1), (e, 1)} A1 = {(a, 0), (b, 0), (c, 0), (d, 0), (e, 1)}

Misalkan masing-masing potongan- tersebut di atas diubah menjadi suatu

himpunan kabur A dengan fungsi keanggotaan yang didefinisikan sebagai

AAμ x μ x( ) ( ) (2.6)


sehingga kita peroleh himpunan kabur A sebagai berikut:

0 2A . ={(a, 0.2), (b, 0.2), (c, 0.2), (d, 0.2), (e, 0.2)}

0 4A . ={(a, 0), (b, 0.4), (c, 0.4), (d, 0.4), (e, 0.4)}

0 6A . ={(a, 0), (b, 0), (c, 0.6), (d, 0.6), (e, 0.6)}

0 8A . ={(a, 0), (b, 0), (c, 0), (d, 0.8), (e, 0.8)}

1A ={(a, 0), (b, 0), (c, 0), (d, 0), (e, 1)}

Dengan menggabungkan kelima himpunan kabur tersebut menggunakan

gabungan operator max (standar), maka didapatkan himpunan kabur A kembali, yaitu:

A = 0 2A . 0 4A . 0 6A . 0 8A . 1A

Representasi sebarang himpunan kabur A oleh potongan- nya biasa

disebut dekomposisi A . Suatu teorema yang menjamin bahwa contoh di atas berlaku secara umum, biasa disebut Teorema Dekomposisi, yaitu:

Teorema 2.3 (Teorema Dekomposisi)

Misalkan A adalah himpunan kabur dalam , maka

A = 0 1

A[ , ]

(2.7)

di mana A didefinisikan oleh (2.6) dan adalah gabungan kabur

standard.

Bukti

Misalkan a = A

μ x( ) , untuk x U, maka

0 1 0 1

A Ax x

μ μ, ,

( ) sup ( ) = 0 1

A Aa a

x x

μ μ[ , ] ( , ]

max[ sup ( ), sup ( )]

Untuk masing-masing (a, 1], maka A

μ x( )=a < , yang berarti x A,

sehingga A

μ x( ) = 0. Di lain pihak, untuk masing-masing [0, a], maka

Aμ x( )=a , yang berarti x A, sehingga

Aμ x( ) = , dengan

demikian,

0 1 0

A Aa

x x

μ μ, [ , ]

( ) sup ( ) = a = A

μ x( ) ■


Misalkan himpunan kabur A didefinisikan dengan fungsi keanggotaan

AA

μ x μ x( ) ( ) , atau ekivalen dengan

A

μ x( )=

x A

x

jika

0 yang lain

Kemudian misalkan diambil tiga nilai , yaitu 1, 2 dan 3, maka akan

didapatkan himpunan kabur 1

A , 2

A dan 3

A seperti diperlihatkan dalam

Gambar 2.3. Jika diambil semua nilai [0, 1] maka akan didapatkan A ,

dan jika A digabungkan untuk semua [0, 1] maka akan diperoleh

himpunan kabur A kembali.

Contoh 2.4

Misalkan A adalah suatu himpunan kabur pada dengan fungsi

keanggotaan berbentuk segitiga:

A

μ x( ) =

1

0

x

; [1,2]

3 ; [2, 3]

yang lain

x x

x (2.8)

Untuk masing-masing (0, 1], potongan- dari A dapat diperoleh

sebagai berikut:

Dari fungsi keanggotaan A pada (2.8), maka = a1 – 1 dan = 3 – a2,

sehingga a1 = + 1 dan a2 = 3 – . Jadi, A=[a1, a2] = [ + 1, 3 – ].


Gambar 2.3 Ilustrasi Teorema Dekomposisi

2.7 Prinsip Perluasan

Prinsip perluasan merupakan suatu prinsip dasar yang dapat memperluas domain suatu fungsi dari himpunan biasa dalam U ke himpunan kabur dalam U. Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan himpunan U ke himpunan V, yaitu:

f : U V

Kemudian misalkan terdapat suatu himpunan kabur A dalam U dan kita ingin

menentukan suatu himpunan kabur B =f( A ) dalam V. Jika f merupakan fungsi satu-satu, maka kita dapat mendefinisikan bahwa:

1f B A

μ y μ y( ) ( ( )), yV (2.9)

Akan tetapi jika f bukan fungsi satu-satu, maka akan terjadi ambiguity karena ada kemungkinan terdapat dua atau lebih elemen dalam U di mana derajat

keanggotaannya dalam A berbeda, dipetakan ke elemen yang sama dalam

V. Sebagai contoh, misalkan f(x1) = f(x2) = y dengan x1x2 dan

1 2A Aμ μ( ) ( )x x , maka

Bμ ( )y akan mempunyai dua nilai, yaitu:

11A

μ f ( ( ))x y dan 12A

μ f ( ( ))x y . Untuk mengatasi keadaan yang

demikian maka ditetapkan salah satu dari derajat keanggotaan yang terbesar

1A

2A

3A

xA

1

2

3

1

~A

2

~A

3

~A

x0

1


untuk B

μ ( )y , sehingga derajat keanggotaan himpunan kabur B

didefinisikan sebagai berikut:

1B

fμ max

( )( ) ( )

Ax y

y x , yV (2.10)

Pendefinisian (2.10) tersebut dapat diperluas lagi sebagai berikut: Misalkan U adalah suatu hasil kali kartesian himpunan semesta U1,U2,…,Un,

yaitu U=U1U2…Un dan 1 2 nA A A, , ..., berturut-turut adalah himpunan

kabur dalam U1, U2, …,Un. Kemudian misalkan f suatu fungsi yang

memetakan himpunan U ke himpunan V dengan y = f(x1, x2, …, xn), yV dan

(x1, x2, …, xn)U, maka derajat keanggotaan himpunan kabur B dalam V didefinisikan sebagai:

1 1

1 2

1nB A A

μ max min μ μ

( , ,..., ) ( )

( ) [ { ( ),..., ( )}]n

nx x x f y

y x x (2.11)

Jika n = 1, maka (2.11) akan menjadi (2.10). Identitas (2.10) dan (2.11) biasa disebut prinsip perluasan.

Contoh 2.5

Misalkan f adalah fungsi yang memetakan pasangan berurut U1={a, b, c} dan U2={x, y} ke V={p, q, r}, di mana fungsi f didefinisikan dalam bentuk matriks berikut: x y

a p p

b q r

c r p

Misalkan 1A adalah himpunan kabur pada U1 dan 2A adalah himpunan

kabur pada U2, sedemikian sehingga:

1A ={(a, 0.3), (b, 0.9), (c, 0.5)} dan

2A ={(x, 0.5), (y, 1)}

maka derajat keanggotaan p, q, dan r dalam himpunan kabur

1 2 ( , )B f A A dapat dihitung dengan menggunakan prinsip perluasan

sebagai berikut:

B

μ ( )p = max[min{0.3, 0.5}, min{0.3, 1}, min{0.5, 1}] = 0.5

B

μ ( )q = max[min{0.9, 0.5}] = 0.5


B

μ ( )r = max[min{0.5, 0.5}, min{0.9, 1}] = 0.9

sehingga himpunan kabur B pada V adalah:

B = {(p, 0.5), (q, 0.5), (r, 0.9)}

Contoh 2.6

Misalkan himpunan kabur A didefinisikan sebagai A = {(-1, 0.5), (0, 0.8),

(1, 1), (2, 0.4)} dan fungsi f didefinisikan sebagai 2f ( )x x , maka himpun-

an kabur B f A( ) pada V dapat diperoleh dengan menggunakan prinsip

perluasan sebagai berikut:

1Bμ ( )y = 1B

μ f( ( ))x = 1B

μ ( )= 1 1A A

max μ μ{ ( ), ( )} =1

2 2B B B Aμ μ f μ μ( ) ( ( )) (0) (0) y x = 0.8

3 3 4 2B B B A

μ μ f μ μ ( ) ( ( )) ( ) ( )y x = 0.4

sehingga B = {(0, 0.8), (1, 1), (4, 0.4)} Gambar 2.4 berikut memperlihatkan hubungan tersebut di atas.

4 4

1 1

0 0

0

0 1 -1 2

0

0,4 0,5

0,8 1

0,4 1 0,8

x A~

B~

Fungsi keang-

gotaan A

Fungsi keang-

gotaan B~

Gambar 2.4 Prinsip perluasan pada himpunan kabur A (Contoh 2.6)

2xxf


Berikut ini diberikan beberapa contoh prinsip perluasan untuk himpunan kabur dengan semesta kontinu.

Contoh 2.7

Misalkan diberikan fungsi ( )y f x x dan didefinisikan himpunan kabur

A =“bilangan riil sekitar 3” pada bilangan rill dengan fungsi keanggotaan:

12

52

1

x

x

A

x

μ x x

; 3

( ) ; 3 5

0 yang lain

, x

maka himpunan kabur B yang dipetakan oleh f, yaitu B f A( ) ,

mempunyai fungsi keanggotaan yang dapat diperoleh melalui proses berikut:

Untuk 1 x 3, maka akan dipetakan oleh f menjadi 1 y 3 . Invers dari

f adalah x = 1 ( )f y = y2, sehingga diperoleh:

1

Bμ

2

( ) ,2

yy jika 1 y 3

Untuk 3 < x 5 maka dengan cara yang serupa diperoleh:

B

μ

25

( ) ,2

yy jika 3 < y 5

sehingga:

2

1

Bμ

2

2

2

5

; 3

( ) ; 3 5

0 yang lain

y

y

y

y y , y

Gambar 2.5 berikut memprlihatkan hubungan tersebut.


Contoh 2.8. Misalkan diberikan fungsi y = f(x) = x2 – 6x + 11 dan didefinisikan himpunan

kabur C = ”bilangan riil sekitar 4” dengan fungsi keanggotaan:

x

xC

x

μ x x

22

62

; 2 4

( ) ; 4 6

0 yang lain

x

Himpunan kabur D yang dipetakan oleh f , yaitu D = f C( ) , mempunyai

fungsi keanggotaan yang dapat diperoleh melalui proses berikut:

Untuk 2 x 4, akan dipetakan oleh f menjadi 2 y 3, dan invers dari

fungsi f adalah x = f y-1( ) = y 2 + 3, sehingga:

Gambar 2.5 Prinsip perluasan pada himpunan A~

(Contoh 2.7)

( )f x x

0

0

0

1 3 5

1

1

3

5

A~

B~

1 x

y


1 1

D

y yμ y max

2 2( ) ,

2 2

1

y 2

;2

jika 2 y 3

Untuk 4 < x <6, akan dipetakan oleh f menjadi 3 < y < 11, dan invers dari

fungsi f adalah x = 1f y( ) = 2y + 3, sehingga:

D

μ y( ) = y3 2

2 jika 3 < y < 11

sehingga diperoleh:

1

11

y

y

D

y

μ y y

2

2

3 2

2

; 2 3

( ) ; 3

0 yang lain

y

Gambar 2.6 berikut memperlihatkan hubungan tersebut.

Gambar 2.6 Prinsip perluasan pada himpunan kabur D~

(Contoh 2.8)

6

2

3

11

y

x

x 3 4 5 6 2

1

1 0,5

f(x)

B

0

A~


Soal-Soal Latihan

2.1. Perlihatkan bahwa fungsi k(a) = 2

2

1

1

a

a a

( )

( ), a[0, 1], 0

adalah suatu komplomen kabur. Gambar grafik fungsi tersebut untuk

beberapa nilai . 2.2. Kesetimbangan suatu komplemen kabur k didefinisikan sebagai suatu

nilai a[0, 1] sedemikian sehingga k(a) = a. a) Tentukan kesetimbangan komplemen kabur Sugeno. b) Buktikan bahwa setiap komplemen kabur mempunyai sekurang-

kurangnya satu kesetimbangan. c) Buktikan bahwa suatu komplemen kabur kontinu mempunyai

kesetimbangan yang tunggal.

2.3. Suatu komplemen kabur disebut involutif jika k[k(a)] = a, a[0, 1]. Perlihatkan bahwa komplemen kabur Sugeno dan komplemen kabur Yager serta komplemen kabur standard adalah involutif.

2.4. Buktikan generalisasi hukum De’Morgan dengan mengambil pasangan dual operator: a) Hasil kali terbatas dan jumlah terbatas b) Hasil kali drastis dan jumlah drastis c) Hasil kali Einstein dan jumlah Einstein. d) Hasil kali Hamacher dan jumlah Hamacher.

2.5. Misalkan t adalah suatu t-norm sedemikian sehingga

t(a, b + c) = t(a, b) + t(a, c) a, b, c [0, 1], b + c 1. Perlihatkan bahwa t(a, b) adalah hasil kali aljabar. 2.6. Buktikan Teorema 2.1. 2.7. Perlihatkan bahwa rata-rata diperumum (2.5) akan menjadi operator

max jika dan akan menjadi operator min jika -.

2.8. Misalkan A dan B adalah himpunan kabur yang didefinisikan pada

, yaitu: A = {(-1, 0.5), (0, 1), (1, 0.5), (2, 0.3)}

B = {(2, 0.5), (3, 1), (4, 0.5), (5, 0.3)}

Diberikan suatu fungsi f : yang didefinisikan sebagai

f(x, y)=x.y, x, y. Tentukanlah ( , )f A B .


2.9. Jika fungsi f pada soal no. 2.8 diganti menjadi f(x, y) = x+y, tentukanlah

( , )f A B .

2.10. Misalkan diberikan himpunan kabur A = { (-1, 0.5), (0, 0.8), (1, 1),

(2, 0.4)} dan fungsi f(x) = x2 – 1, x. Tentukanlah ( )f A .

BAB II Operasi-Operasi Lanjutan pada Himpuan Kabur, Representasi Himpunan...

Documents

Transcript of BAB II Operasi-Operasi Lanjutan pada Himpuan Kabur, Representasi Himpunan...