Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

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Universidad Autónoma del Estado de México Plantel “Ignacio Ramírez Calzada” Academia de Matemáticas. Núcleo de formación: Matemáticas. Apuntes de Álgebra y Trigonometría para la asesoría en el área de matemáticas. M. en A. Bernabé Gustavo Quintana Galindo.

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Universidad Autónoma del Estado de México

Plantel “Ignacio Ramírez Calzada”

Academia de Matemáticas.

Núcleo de formación: Matemáticas.

Apuntes de Álgebra y Trigonometría para la asesoría en el área de matemáticas.

M. en A. Bernabé Gustavo Quintana Galindo.

JUNIO 2009

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Apuntes de Algebra y Trigonometría.

INDICE.

PRESENTACIÒN…………………………………………………………………………………….4

MODULO I TRIÀNGULOS Y CUADRILATEROS………………………………………………..5

Tema 1 Elementos de Geometría………………………………………………………………..….5

1.1 Punto, recta y plano……………………………………………………………………………..6

1.2 Ángulo, ángulos congruentes y bisectriz………………………………………………………6

1.3 Clasificación de los ángulos…………………………………………………………………..…6

1.4 Definición de triángulo……………………………………………………………………………8

1.5 Clasificación de triángulos………………………………………………………….……………9

1.6 Puntos y rectas notables de un triángulo………………………………………………………9

Tema 2. Semejanza…………………………………………………………………………………10

2.1 Razones y proporciones……………………………………………………………………..…11

MÒDULO II RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS……………………………..…12

Tema 1. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo…………………………….……12

1.1 Razones trigonométricas de un ángulo agudo…………………………………………….…12

1.2 Ángulos positivos y negativos………………………………………………………………..…12

1.3 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal…………………………...……13

1.4 Razones trigonométricas de ángulos reducidos…………………………………….…...……15

1.5 Signos de las funciones trigonométricas…………………………………………………….…15

Tema 2 Resolución de triángulos……………………………………………………………………23

2.1 Triángulo rectángulo…………………………………….……………………………………...…23

2.2 Triángulo Oblicuángulo………………………………………………………………………...…25

MÒDULO III SECTOR CIRCULAR Y GRÀFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS……..30

Tema 1. Sector circular…………………………………………………………………………..……30

1.1Definición de sector circular………………………………………………………………………30

Tema 2. Funciones trigonométrica de arcos………………………………………………………..32

Tema 3. Gráficas de funciones trigonométricas………….…………………………………...……33

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Apuntes de Algebra y Trigonometría.

MÒDULO IV ECUACIONES TRIGONOMÈTRICAS…………………………………………………34

Tema 1. Identidades trigonométricas………………………………………………………………..…34

Tema 2. Ecuaciones trigonométricas………………………………………………………………..…36

GLOSARIO……………………………………………………………………………………….……… 37

BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………………………...41

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Apuntes de Algebra y Trigonometría.

PRESENTACION

Los presentes Apuntes de Álgebra y Trigonometría pretenden apoyar los objetivos

de aprendizaje y contenidos de esta asignatura presentando conceptos y

definiciones, así como ejercicios resueltos y proponiendo al alumno ejercicios por

resolver de uso más frecuente en los temas a tratar.

El alumno al hacer uso frecuente de estos apuntes encuentra un apoyo

académico, ya que los conceptos y ejemplos presentados le permitirán hacer más

comprensibles e interesantes la resolución de los ejercicios en el la aplicación a

los diferentes tipos de problemas. Los conceptos y definiciones que contiene y los

ejercicios que resuelva le proveerán de un conocimiento básico del Álgebra y

Trigonometría, comprendiendo la materia de un modo más completo. Los apuntes

contienen conceptos y ejemplos de triángulos y cuadriláteros, razones y funciones

trigonométricas, sector circular y gráficas de las funciones trigonométricas y

ecuaciones trigonométricas, así como ejercicios de aplicación de los

conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos.

De esta manera, se pretende apoyar la asesoría a los estudiantes e ir

consolidando materiales de sustento académico para el Núcleo de Formación de

Matemáticas, por lo que estos apuntes se entregan a los alumnos al inicio del

semestre haciendo una revisión personalizada como parte de la clase o en el

cubículo como asesoría disciplinaría.

Con la elaboración y uso de este material por parte del alumno se busca

desarrollar el razonamiento y la habilidad matemática en el alumno y ampliar la

comprensión y utilización del lenguaje básico de las ciencias, lo cual es el

propósito del programa de esta asignatura.

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Apuntes de Algebra y Trigonometría.

MODULO I TRIÀNGULOS Y CUADRILÀTEROS.

Tema 1 Elementos de Geometría.

Antecedentes históricos.

La geometría fue considerada ciencia a partir de los griegos quienes reemplazaron la observación y la experiencia por deducciones racionales.

En Babilonia se hicieron estudios de geometría y aproximadamente hace 6000 años se invento la rueda y se observo la relación entre su diámetro y su longitud. Estudiaron la astronomía y observando que el año tiene aproximadamente 360 días dividieron la circunferencia en 360 partes iguales obteniendo el grado sexagesimal.

En Egipto se aplicaron conocimientos geométricos para intentar medir la tierra, además se aplica la geometría a la construcción, hace más de 20 siglos fue construida la gran pirámide, además realizaron estudios de triángulos y de cuadrados.

Los griegos perfeccionaron los estudios de los egipcios, algunos personajes fueron: Tales de Mileto, Herodoto, Pitágoras, etc.

Tales de Mileto. Siglo VII AC Fundador de la escuela jònica a la que pertenecieron estudiosos de la geometría, estudio la determinación de distancias inaccesibles, la igualdad de los ángulos de la base en el triángulo isósceles, etc.

Pitágoras. Siglo VI AC discípulo de Tales de Mileto y autor de un teorema que lleva su nombre, estudio la suma de los ángulos internos de un triángulo, etc.

Euclides. Siglo IV AC estudio triángulos, rectas paralelas, circunferencias y volúmenes de prismas y pirámides Platón. Siglo IV AC dividía a la geometrías en elemental y superior, la elemental era la que podía resolver problemas con regla y compás, la superior estudiaba problemas donde se aplicaban conocimientos superiores.

Arquímedes 287- 212 AC obtuvo el valor más aproximado de π , el área de la elipse, el volumen del cono y de la esfera, etc.

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1.1 Punto, recta y plano.

Punto Geométrico.- es imaginado tan pequeño que carece de dimensión, los puntos se suelen designar por letras mayúsculas.

Línea recta.- es un conjunto de puntos de tal manera que conservan una misma pendiente. Sólo puede haber una recta que pase por dos puntos. Además dos rectas no pueden tener más que un sólo punto común.

Semirrecta.- si sobre una recta señalamos un punto A se llama semirrecta al conjunto de puntos formada por A y todos los que le siguen o preceden. El punto A es el origen de la semirrecta.

Segmento.- si sobre una recta señalamos dos puntos A y B, se llama segmento al conjunto de puntos comprendidos entre A y B considerándolos además como los extremos del segmento, generalmente al que se nombre en primer lugar se le llama origen y al otro extremo.

Se considera que la distancia más corta entre dos puntos es el segmento de recta que los une.

Plano.- es un conjunto infinito de puntos, para determinar a un plano se requieren al menos tres puntos.

1.2 Ángulo, ángulos congruentes y bisectriz.

Ángulo.- es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice, las semirrectas se llaman lados y el ángulo se designa por una letra mayúscula o griega dentro del ángulo. Se mide al contrario del sentido del reloj.

Y

X

Àngulos congruentes.- se dice que dos ángulos son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño.

Bisectriz es la semirrecta que tiene como origen el vértice y divide al ángulo en dos ángulos iguales.

1.3 Clasificación de los ángulos.

De acuerdo a su magnitud se clasifican en:

Agudo.- si su magnitud es menor de 90º.Recto.- si su magnitud es de 90º.Obtuso.- si su magnitud es mayor de 90º y menor de 180º.Entrante.- si su magnitud es mayor de 180º y menor de 360º.

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También se pueden clasificar de acuerdo a la posición que tienen con respecto a otro ángulo:

Consecutivos: son aquellos que comparten el vértice y un lado.Complementarios: son los ángulos cuya suma es de 90º.Suplementarios: son aquellos cuya suma es de 180º.Coterminales: son aquellos con los mismos lados inicial y terminal.

Según la posición de los ángulos al interceptarse dos líneas paralelas con una oblicua: B A C D

F E

I H

Ángulos opuestos por el vértice (son iguales) A=C, B=D, E=G y F=H.Ángulos correspondientes (son iguales) A=E, B=F, C=G y D=H.Ángulos alternos externos (son iguales) B=H y G=A.Ángulos alternos internos (son iguales) C=E y D=F.

Sistemas de medidas.

Los ángulos pueden medirse en el sistema sexagesimal en:

Grados: es la trescientosesentava parte de la circunferencia (

1360 ), a su vez el grado se divide en

60 minutos y cada minuto en 60 segundos.

Existe el sistema centesimal que considera a la circunferencia dividida en 400 partes iguales llamadas grados centesimales, cada grado tiene 100 minutos centesimales y cada minuto 100 segundos centesimales.

Existe otra forma de medir los ángulos y es el sistema circular en donde la unidad es el radián, el cual es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

1 radián =

180 ªπ = 57.29 = 57º 17’ 44’’

π Radián = 180º

π ràdian180 º = 1º = 0.01745 radianes.

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Ejemplo: Transformar los siguientes ángulos de grados a radianes o viceversa.

a) 60º a radianes.

60 (1º) = 60 (0.017 radianes) = 1.04 radianes.

O también: 60º = 60 [ π radianes180º ]

= 1.04 radianes.

b) 90º a radianes.

90º = 90 [ π radianes180 ]

= 1.57 radianes

c) 0.438 radianes a grados.

Si π radianes = 180º entonces 1 radian =

180 ºπ

0.438 Rad. = 0.438 (180 º

π )0.438 Rad. = 25º 5’ 43’’

d)

23π

Rad. a grados

23π

Rad. =

23

180 º =120º

1.4 Definición de triángulo.

Triángulo.- figura geométrica formada por tres segmentos de recta de las que cada uno comparte los extremos con los otros dos, también se considera un polígono de tres lados cerrado y tres ángulos.

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1.5 Clasificación de triángulos.

De acuerdo con la medida de sus lados.

A) Equiláteros: todos sus lados son de la misma magnitud y todos sus ángulos son de la misma medida.

B) Isósceles: sólo dos de sus lados son de la misma magnitud y también sólo dos ángulos son iguales.

C) Escaleno: sus tres lados son diferentes y por lo tanto sus ángulos también son diferentes.

De acuerdo con la medida de sus ángulos.

A) Acutángulos: si todos su ángulos son agudos (menores de 90º).

B) Rectángulo: si uno de sus ángulos es recto (igual a 90º)

C) Obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor a 90º).

D) Oblicuángulo: son los que no tienen ningún ángulo recto.

1.6 Puntos y rectas notables de un triángulo.

Altura.- es cada uno de los segmentos perpendiculares a los lados y que parte de los vértices de un triángulo.

Ortocentro.- es el punto donde se interceptan las tres alturas en un triángulo.

Mediatrices.- son las rectas perpendiculares a los lados de un triángulo por su punto medio.

Circuncentro.- es el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo, así como el centro de una circunferencia que circunscribe al triángulo.

Medianas.- los segmentos que desde un vértice alcanzan la mitad del lado opuesto.

Baricentro.- es el punto que resulta de la intersección de las medianas.

Bisectriz.- es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro.- es el punto de intersección de las bisectrices y el centro de una circunferenciainscrita al triángulo.

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Trazos con regla y compas.

Es posible realizar algunos trazos utilizando únicamente la regla y el compás.

Bisectriz de un ángulo: Con centro en A y con un radio cualquiera se construye con el compás un arco que corte los lados del ángulo en B y C como lo muestra la figura.

Con B y C como centros y con el mismo radio se trazan arcos que se cortaran en el punto D. Con la regla se traza la recta AD que resulta ser la bisectriz del ángulo A.

Tema 2. Semejanza.

Congruencia.- dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, el símbolo para denotarla es ¿ , es una combinación del signo = que denota semejanza en tamaño y la misma forma, por lo que congruencia es igual forma y medida.

Postulados de congruencia para ángulos.

a) Dos ángulos son congruentes si y solo si tienen la misma forma y medida.b) Todo ángulo es congruente a sí mismo.c) Si un primer ángulo es congruente a un segundo, entonces el segundo es

congruente al primero.d) Si un primer ángulo es congruente a un segundo y este a su vez a un

tercero, entonces el primero es congruente al tercero.e) Dos rectas perpendiculares determinan cuatro ángulos congruentes.

Congruencia de triángulos.

Dos triángulos son congruentes si sus tres ángulos y sus tres lados coinciden.

a) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.(L.L.L.)b) Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno y el ángulo comprendido entre

ellos son congruentes con los dos lados y el ángulo comprendido del otro.(L.A.L.)c) Dos triángulos son congruentes si dos de los ángulos del triángulo y el lado

comprendido entre ellos son congruentes con los del otro.(A.L.A.)

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2.1 Razones y proporciones.

Una razón es un cociente o comparación de magnitudes. En la razón se busca comparar dos números en el que el primero contenga al segundo y viceversa. Ejemplos:

124

=3155

=3

515

=13

Una proporción está determinada como la igualdad de dos razones, ejemplo:

R1=

AB

R2=CD la proporción se escribe como: A:B : : C:D que se lee:

A es a B como C es a D. Se considera que A y D son extremos y B y C son medios.

Proporcionalidad geométrica.

Si en una figura geométrica se conserva la razón que existe al comparar dos de sus magnitudes y una de ellas la hacemos crecer o variar su tamaño, las demás magnitudes deben variar con la misma constante de proporcionalidad.

Ejemplo: los lados de un rectángulo miden 3 m y 5 m, si el largo crece a 10 m ¿cuanto debe de medir el ancho para conservar la razón que existe entre ellos?

35= x

10 Entonces x=

3(10 )5 x=6 m

Ejemplo.- sea un triángulo de lados 3, 4 y 5 obtenga uno de mayor dimensión. Se puede resolver multiplicando por dos cada uno de los lados quedando las nuevas medidas de 6, 8 y 10 unidades.

6 10 5 3

8 4

Ángulo en posición normal.

Se dice que un ángulo se encuentra en posición normal cuando su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas en un sistema rectangular de ejes coordenados (plano cartesiano) y cuyo vértice esta en el origen de coordenadas (el punto donde se interceptan los ejes).

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MÒDULO II RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS.

Tema 1. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

1.1 Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Las funciones o razones trigonométricas son relaciones entre medidas o cantidades relacionadas con el ángulo.

Consideremos el ángulo agudo de un triángulo rectángulo, las llamadas funciones o razones trigonométricas de los ángulos agudos son las siguientes:

Seno. Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

Coseno. Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Tangente. Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Cotangente. Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.

Secante. Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

Cosecante. Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

Las funciones o razones trigonométricas son relaciones entre medidas o cantidades relacionadas con el ángulo.

1.2 Ángulos positivos y negativos.

Un ángulo se considera positivo cuando se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, y se considera negativo cuando se mide en el sentido de las manecillas del reloj.

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1.3 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal.

Considérese un ángulo en posición normal que pasa por el punto P (x,y) como se muestra en la siguiente figura:

P(x, y)

Las funciones trigonométricas están dadas con la regla de correspondencia:

FUNCIÒN REGLA DE CORRESPONDENCIA.

Seno

ordenada de Pradio vector de P =

yr

Coseno

abscisa de Pradio vector de P =

xr

Tangente..

ordenada de Pabscisa de P =

yx

Cotangente

abscisa de Pordenada de P =

xy

Secante

radio vector de Pabscisa de P =

rx

Cosecante

radio vector de Pordenada de P =

ry

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Apuntes de Algebra y Trigonometría.

Ejemplos: dibujar el ángulo en posición normal cuyo lado terminal pase por el punto que se indica.

a) A (3,4) b) B (-1/2, 5)

c) C (-3/5, -6/5) d) D (3.2, -6.8)

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Apuntes de Algebra y Trigonometría.

1.4 Razones trigonométricas de ángulos reducidos.

Se llama ángulo reducido de un ángulo dado, al ángulo agudo tomado con valor positivo que forma el lado terminal del ángulo dado con el eje “x”, el signo algebraico de las funciones trigonométricas del ángulo dado esta determinado por el cuadrante en que queda su lado terminal.

Ejemplos: obtener el ángulo reducido para los siguientes ángulos.

a) A=120º b) B= 135º 30’

ang . reducido= 180º-120º=60º ang . reducido=180º-135º30’=44º30’

c) C= -210º 38’ d) D= 237º 52’

ang . reducido=210º38’-180º=30º38’ ang . reducido= 237º52’-180º=57º52

1.5 Signos de las funciones trigonométricas.

Considerando que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas siempre es positivo, vemos que los signos de las funciones en los distintos cuadrantes son:

Razón Trigonométrica

Cuadrante

I II III IV

sen A= y

r + + - -

cos A= x

r + - - +

tan A= y

x

+ - + -

cot A= x

y + - + -

sec A= r

x + - - +

csc A= r

y + + - -

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Apuntes de Algebra y Trigonometría.

Ejemplos: obtener las funciones trigonométricas del ángulo en posición normal cuyo lado terminal pasa por el punto que se indica.

a) P (-5,12) se obtiene el valor de r aplicando el teorema de Pitágoras.

r=√(−5 )2+(12)2=√25+144=13 y se considera que: x=-5, y=12.

sen A=1213

tan A=12−5

sec A=13−5

cot A=−5

12 csc A=13

12

b) P (-√3 ,−√2) se obtiene el valor de r aplicando el teorema de Pitágoras.

r=√3+2=√5 y se considera x=−√3 , y=−√2

sen A=−√2√5

tan A=−√2−√3

sec A= √5−√3

cos A=−√3√5

cot A=−√3−√2

csc A= √5−√2

En cada uno de los siguientes incisos, determine las demás razones trigonométricas del ángulo dado, si se sabe que:

a) sen A =

34 , A en C.I. Considerando y=3, r=4 y aplicando el teorema de Pitágoras para

obtener el valor de x: x=√r2− y2 substituyendo x=√16−9=√7 se obtienen las demás

funciones:

sen A= 34

cot A=√73

cos A=√74

sec A= 4

√7

tan A= 3

√7 csc A=4

3

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13

5cos

A

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Apuntes de Algebra y Trigonometría.

b) cos A =

−1213 , A en C. II. Considerando x=-12, r= 13 y aplicando el teorema de Pitágoras

para obtener el valor de “y”: y=√r 2−x2 substituyendo y=√(13)2−(−12)2

y=5Se obtienen las demás funciones:

sen θ= 513 ,

tan θ= 5−12 ,

sec θ=13−12

cos θ=−1213 ,

cot θ=−125 ,

csc θ=135

c) cot θ =

−37 su solución se encuentra en el segundo cuadrante, ya que se observa que los

valores de x= -3, y=7 corresponden a este cuadrante, obteniendo el valor del radio vector:

r =√(−3 )2+(7 )2=√9+49=√58 por lo que las demás funciones trigonométricas son:

sen θ= 7

√58 cot θ=−3

7

cos θ= −3

√58 sec θ=√58

−3

tan θ= 7−3

csc θ=√587

d) sec θ=5

3 su solución se encuentra en el primer cuadrante y en el cuarto cuadrante

ya que se obtiene que los valores de r=5, x=3 corresponden a estos cuadrantes, obteniendo el

valor de “y”: y=√r 2−x2=√25−9=±4 , considerando “y” como positiva en el primer cuadrante entonces las funciones trigonométricas son :

sen θ= 45

cot θ=34

cos θ=35

sec θ=53

tan θ=43

csc θ=54

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Apuntes de Algebra y Trigonometría.

Considerando a la “y” como negativa y localizando el ángulo en el cuarto cuadrante, las funciones trigonométricas serán:

sen θ=−45

cot θ= 3−4

cos θ=35

sec θ=53

tan θ=−43

csc θ= 5−4

Valores exactos de las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º.La palabra exacto se emplea en el siguiente sentido, el valor exacto de la raíz cuadrada de 3 se

expresa como √3 en tanto que un valor aproximado con tres cifras decimales es 1.732, también el signo π representa un valor exacto y su valor aproximado es de 3.1416. Para obtener un ángulo de 30º utilizamos un triángulo cuyos tres lados midan dos unidades por cada uno de sus lados y trazamos una línea vertical que corte al ángulo superior de 60º en dos de 30º, y obtenemos el valor de la altura vertical utilizando el teorema de Pitágoras de la siguiente manera:

r2=x2+ y2 Despejando y=√r 2−x2

substituyendo se obtiene √3 por lo tanto

las razones trigonométricas son:

sen 30 º=12

cot 30 º=√31

=√3

cos 30º=√32

sec 30 º= 2√3

=2√33

tan 30º= 1

√3 csc 30 º=2

1=2

Las razones trigonométricas de un ángulo de 60º son:

sen 60 º=√32

cot 60 º=√33

cos 60º=12

sec 60 º=21=2

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Apuntes de Algebra y Trigonometría.

tan 60º=√31

=√3

csc 60 º= 2√3

=2√33

Para encontrar las funciones trigonométricas de 45º se hace a partir de un cuadrado de lados

unitarios en donde x=1, y=1, r=√2 , las funciones son entonces:

sen 45 º= 1√2

=√22

cot 45 º=11=1

cos 45 º= 1√2

=√22

sec 45 º=√21

=√2

tan 45 º=11=1

csc 45 º=√2

1=√2

Para obtener los valores exactos de las razones trigonométricas de ángulos de 0º, 90º, 180º, 270º y 360º, se determinan considerando un ángulo en posición normal cuyo lado terminal pasa por el punto indicado.

a) Para 0º un ángulo que pase por (3,0). Se considera x=3, y=0 y r=3, las funciones son:

sen 0 º=03=0

cot 0 º=3

0=∞

Indeterminada.

cos 0 º=33=1

sec 0 º=3

3=1

tan 0 º=03=0

csc 0 º=3

0=∞

Indeterminada.

b) Para 90º un ángulo que pase por (0,5). Se considera x=0, y=5 y r=5, las funciones son:

sen 90 º=55=1

cot 90º=0

5=0

cos 90 º=05=0

sec 90 º=5

0=∞

tan 90 º=50=∞

csc 90 º=5

5=1

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Apuntes de Algebra y Trigonometría.

c) Para un ángulo de 180º que pase por (-4,0). Se considera x=-4, y=0 y r=4, las funciones son:

sen 180 º=04=0

cot 180 º=−4

0

cos 180º=−44

=−1

sec 180º= 4−4

=−1

tan 180º= 0−4

=0

csc 180 º=40=∞

d) Para un ángulo de 270º que pase por (0,-6).Se considera x=0, y=-6 y r=6, las funciones son:

sen 270 º=−66

=−1

cot 270 º= 0−6

=0

cos 270º=06=0

sec 270 ª=6

0=∞

tan 270º=−60

=∞

csc 270 º= 6−6 =-1

e) Para un ángulo de 360º que pase por (1,0). Se considera x=1, y=0 y r=1, las funciones son:

sen 360 º=01=0

cot 360 º=1

0=∞

cos 360º=11=1

sec 360 º=1

1=1

tan 360º=01=0

csc 360 º=1

0=∞

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 20

Page 21: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

Ejemplos de aplicación de los valores exactos de las funciones trigonométricas, utilizando los valores exactos realizar las siguientes operaciones:

a) sen 45º + tan 30º =

√22

+ √33

=3√2+2√36

b) sen 120º cos210º - sec 30º =(√3

2 )(−√32 ) −2√3

3=

-

34 -

2√33

= − 9−8√312

c) sen 60º cos 30º - tan 45º =(√3

2 ) (√32 ) − 1 =

=

34

− 1

= -

14

d)

cos 2 120 º + sen 150 ºcot 135 º

=(−1

2 )2

+ 12

−1=

14+ 1

2−1

=

34

−1=− 3

4

e) sen2 210 º −sec2 30 º+3 csc2 225º=(−1

2 )2

−( 2√33 )

2

+3 (−√2 )2 =

14

−129

+6=5912

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 21

Page 22: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

f) sen 330º csc 300º - cot 315º=

(−12 )(−2√3

3 ) + 1=

2√36

+1 =

2√3+66

Razón trigonométrica. A N G U L O S0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º

Sen A 0

12

√22

√32

1 0 -1 0

Cos A 1

√32

√22

12

0 -1 0 1

Tan A 0

√33

1 √3 ∞ 0 ∞ 0

Cot A ∞ √3 1

√33

0 ∞ 0 ∞

Sec A 1

2√33

√2 2 -1 1

Csc A ∞ 2 √2

2√33

1 ∞ -1 ∞

Razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Para obtener las funciones trigonométricas cotangente, secante y cosecante de cualquier ángulo se utilizan las siguientes identidades y se despeja:

sen θ csc θ=1 ⇒ cscθ =

1sen θ

cos θ secθ=1 ⇒ sec θ= 1

cos θ

tan θ cot θ=1 ⇒ cot θ= 1

tan θ

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 22

Page 23: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

Ejemplos:

a) Obtener la cosecante de 30º:

csc 30 º= 1sen 30 º

csc 30 º= 10 .5

=2

b) Obtener la secante de 50º:

sec 50º= 1cos 50 º

sec 50º= 10. 642 =1.55

c) Obtener la cotangente de 75º:

cot 75 º= 1tan 75 º

cot 75 º= 13 .73

=0 .267

Tema 2 Resolución de triángulos.

2.1 Triángulo rectángulo.

Un triángulo rectángulo es en el cual se presenta un ángulo interior de 90º. Resolver un triángulo rectángulo consiste en obtener los ángulos y lados faltantes a partir de los ángulos y lados conocidos.

Ejemplos: a) Resolver el triángulo rectángulo con A= 40º, a= 2.4:Solución:

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 23

Page 24: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

Para obtener el ángulo B: A+B+C= 180º → B= 180º - A –C

B= 180º - 40º - 90º → B= 50º

Para hallar b: tan A=a

b → b= a

tan A

b= 2 . 4

tan 40 º =

2 .40 .839 = 2.86

Para hallar c: c =√a2+b2=√ (2. 4 )2+ (2. 86 )2 = 3.73

b) Resolver el triángulo rectángulo si a=12 y b=5:

Para hallar c: c=√(12 )2+ (5 )2=√144+25=√169=13 c=13

Para hallar A: sen A=12

13=0 . 9230

→ A= áng. Sen 0.9230 A= 67º

Para hallar B: tan B= 5

12=0 . 4166

→ B= àng. Tan 0.4166= 23º

Problemas de aplicación.

Son problemas prácticos que pueden resolverse aplicando un triángulo rectángulo.

Ejemplos:

a) Determinar el punto más alto de un edificio sabiendo que proyecta una sombra de 50 m. cuando el ángulo de elevación del sol es de 33º 12’.

Aplicando la función tangente: tan 33º 12 '= x

50 → x=(50 m ) tan 33 º 12 '

= (50 m ) 0 .6543=32 .71 m .Se concluye que la altura del punto más alto es de 32.71 m.

b) Una escalera de 9.0 m. se encuentra recargada en una pared ¿que ángulo forma con el piso si la distancia de la pared al pie de la escalera es de 3.2 m?

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 24

Page 25: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

Utilizando la función coseno: cos A=3 .2

9=0 . 3555

A = àng. Cos 0.3555= 69º10’

Se concluye que el ángulo que forma es de: 69º 10’2.2 Triángulo Oblicuángulo.

Es un triángulo que carece de ángulo recto, cuando se conocen tres elementos de un triángulo, uno de ellos necesariamente un lado es posible por medio el uso de ciertas fórmulas determinar los otros tres elementos. Dos de las fórmulas más usuales son las llamadas ley de los senos y ley de los cosenos.

En la solución de estos triángulos se pueden distinguir cuatro casos:

1.- Cuando se conocen dos ángulos y un lado

2-. Cuando se conocen dos lados y el ángulo.

3.- Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido.

4.- Cuando se conocen los tres lados.

Ley de los senos: en todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

asen A

= bsen B

= csen C

Por ejemplo:

a) De un triángulo oblicuángulo se conocen A=60º, B=45 º, a= 4, hallar b:

asen A

= bsen B →

4sen 60º

= bsen 45 º →

b=4 sen 45ºsen 60º

b=4 (0 .7071 )

0 .866 b=3 .26

b) De un triángulo oblicuángulo se conocen A=46º, C= 72º, a=12.7 obtener los demás elementos:Para obtener B: A+B+C=180º → B = 180º-A-C → B = 180º - 46º-72º = 62º B= 62º

Para obtener b:

bsen B

= asen A →

b=a sen Bsen A

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 25

Page 26: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

b=12.7 (0 .8829 )

0 .7193 = 15 .58 b=15 .58

Para obtener c:

asen A

= csen C →

c=a sen Csen A →

c=12 .7 (0 .951 )

0 .7193 = 16.79

c=16 . 79

c) De un triángulo oblicuángulo se conocen A= 63º18’, B= 39º50’, a = 17.2

Para hallar el valor de C: A+B+C=180º → C = 180º-63º18’-39º50’

C = 76º 52’

Para hallar el valor de b:

bsen B

= asen A →

b=a sen Bsen A

b=17 . 2 (0 . 64 )

0 . 8933

b=12. 32

Para hallar el valor de c:

bsen B

= csen C →

c=b sen Csen B

c=12 .32 ( 0.9738 )

0 .64

c=18 . 74

Ley de los cosenos: en todo triángulo oblicuángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de los mismos lados por el coseno del ángulo que forman. Y se denota:

a 2=b 2+c 2−2bc cos A

b 2=a 2+c 2−2ac cos B

c 2=a 2+b 2−2ab cos Cde igual forma para encontrar los ángulos A, B y C:

cos A=b 2+c 2−a 2

2bc cos B=a 2+c 2−b 2

2ac cos C=a 2+b 2−c 2

2ab

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 26

Page 27: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

Ejemplos: a) De un triángulo se conocen los siguientes datos, a = 15, b = 12, C = 50º, hallar los demás

elementos:

Para hallar c: c=√a2+b2−2ab cos C → c=√(15 )2+(12 )2−2(15)(12)cos50 º

c=√225+144−2(180 )(0 . 6427) = √225+144−2(115. 7 ) = √225+144−231 . 4

c=√369−231. 4 = √137 .6 = 11.73 → c = 11.73

Para hallar A: cos A=b2+c2−a2

2bc cos A=

(12 )2+(11. 73)2−(15 )2

2(12)(11. 73)

cos A=144+137 .6−225

2(140 .76 ) cos A =

56 . 6281 .52 cos A = 0.201

A = áng. Cos (0.201) = 78º 24’ Para hallar B: A+B+C= 180º B = 180º -A-C B = 180º - 78º 24’- 50º

B = 51º 36’

b) De un triángulo se conocen los siguientes datos, A = 98º, b = 6, c = 10, hallar los demás elementos.

Para hallar a: a2=b2+c2−2bc cosA → a=√(6 )2+(10)2−2(6 )(10)cos98 º

a=√36+100−2(60)(−0 .1391) a=√36+100−2(−8. 3503 )

a=√36+100+16 . 7 a=√152. 7 a=12. 35

Para hallar B: cosB=a2+c2−b2

2ac cosB=

(12. 35)2+(10 )2−(6 )2

2 (12 .35)(10 )

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 27

Page 28: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

cosB=152. 7+100−36

2(123 . 5 ) cosB=216 .7

247=0 . 8773

B = àng. Cos (0.8773) = 28º 40’ → B = 28º 40’

Para hallar C: A+B+C= 180º → C = 180º - A – B

C = 180º - 98º - 28º 40’ = 53º 20’→ C = 53º 20’Aplicación de triángulos oblicuángulos.

Son problemas prácticos que se resuelven utilizando las leyes de senos y cosenos para obtener los elementos faltantes.

Ejemplos:

a) Calcular las longitudes del siguiente paralelogramo si el ángulo BAD = 125º. A 8 B

5 5

D 8 C

Para hallar B y D: A + B + C + D = 360º → B + D = 360º- 250º

B + D = 110º además; B = D

→ B = 55º Y D = 55º

Para hallar d: d2=a2+c2−2ac cos D d=√(8)2+(5 )2−2 (8)(5 )cos 55º

d=√64+25−80(0 .5735 ) d=√89−4 .88 d=6 .56

Para hallar c: c2=b2+d2−2bd cosC c=√(8)2+(5 )2−2(8 )(5 )cos125 º

c=√64+25−80(−0 .5735 )=√89+45. 88=√134 .88=11. 61

c=11. 61

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 28

Page 29: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

b) Los ángulos de elevación de un helicóptero con respecto a dos puntos A y B sobre el nivel del suelo son 25º 15’ y 56º43’ determinar la altura a la cual se encuentra el helicóptero si la distancia AB es de 6.0 Km.

C

A B

Para hallar B: B = 180º - 56º43’ = 123º 17’

Para hallar C: C = 180º - A – B → C = 180º - 25º15’ – 123º 17’

C = 31º 28’

Para hallar a: por ley de senos

asenA

= csenC →

a= c senAsenC

a=

6 (0 .4265 )0 .5220 a=4 .9 km .

Para encontrar la altura del helicóptero: sen 56 º 43 '= y

4 . 9 km . → y=sen 56 º 43 ' (4 .9 km .)=0.8359 (4.9) = 4.096 Km.

La altura del helicóptero es de 4.096 Km.

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 29

Page 30: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

MÒDULO III SECTOR CIRCULAR Y GRÀFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS.

Tema 1. Sector circular.

1.1 Definición de sector circular.

Circunferencia es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo en el mismo plano, el punto fijo se denomina centro y la distancia de este a los puntos se denomina radio. La circunferencia es una línea cerrada cuya longitud es llamada perímetro. La región interior de la circunferencia es el círculo que es un área o superficie plana.

La longitud de una circunferencia se obtiene de la siguiente expresión:P= 2π r=π D

El círculo se mide en unidades de área: A = π r 2

Relación entre grados y radianes: 1 radian = 57.3º

1º = 0.0175 Rad.

1’ = 0.0002916 Rad.Sector circular. En un círculo de radio r, un ángulo central medido en radianes, intercepta un arco cuya longitud esta dada por la siguiente expresión.

Longitud de sector circular: S =r θ ( θ en radianes)

Área de sector circular: A=1

2r2 θ

Elementos notables de la circunferencia.

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 30

Page 31: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

Centro: es un punto fijo del plano del cual equidistan los puntos que pertenecen a la circunferencia.

Radio: es la magnitud constante que existe entre el centro y cualquier punto de la circunferencia.

Recta secante: línea recta que interfecta a la circunferencia en dos de sus puntos.

Cuerda: segmento de recta secante cuyos extremos son los dos puntos de intersección con la circunferencia, la cuerda es una línea perpendicular al radio y este pasa por su punto medio.

Diámetro: máxima cuerda de una circunferencia que pasa por el centro y su magnitud es igual a dos radios.

Recta tangente: línea recta que intercepta a la circunferencia en uno de sus puntos y que es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

Longitud de una circunferencia o perímetro: es la magnitud del arco total que resulta de multiplicar dos veces la constante π por la magnitud de su radio.

Arco de circunferencia: la parte comprendida entre los puntos de una circunferencia AB.

Radio A Tangente Diámetro

B Recta Secante

Cuerda

Ejemplos de sector circular:

Para cada circunferencia cuyo radio esta dado, calcular la longitud del arco que intercepta el ángulo central:

a) se conoce que r = 8 m. y θ = 47º16’.

Pasando de grados a radianes: 47º16’ = 47 (0.0175) + 16 (0.00029) Rad.

= (0.8225 + 0.0046) Rad. 47º 16’= 0.8271 Rad.

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 31

Page 32: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

El arco es: S = r θ S = (8.0 m) (0.8271) = 6.62 m.

b) se conoce que r = 21.5 m. y θ= 112 º 31 ' .

Pasando de grados a radianes: 112º 31’ = 112(0.0175 Rad.) + 31(0.00029 Rad.)

= (1.96 + 0.00899) Rad.

112º 31’ = 1.9689 Rad.

El arco es: S = r θ = (21.5 m.) (1.9689) = 42.3332 m.

Calcular el área y el perímetro del sector circular de los siguientes datos:

a) se conoce que r = 60 m. y θ=80 º

Pasando los grados a radianes: 80º = 80 (0.0175) = 1.4 rad.

El área es: A=1

2r2 θ

A=1

2(60m)2 (1 .4 )

= 2,520 m2

La longitud del arco es: S = r θ = (60 m) (1.4) = 204 m.

Circunferencia unitaria.

Tiene como radio a la unidad, es decir su radio mide uno y como longitud tiene 2π = 6.28 el cual sería su perímetro. Se puede establecer una correspondencia entre los números reales que miden la longitud del arco y los radianes del ángulo que se genera.

Arco reducido: es el que se forma entre el final del arco dado y el eje X, debiendo ser menor que 1.57 en número real.

Tema 2. Funciones trigonométrica de arcos.

Un arco de circunferencia representa un número del cual se pueden obtener las seis funciones trigonométricas. Debe tenerse cuidado que la calculadora se encuentre en radianes y comprobar los signos de las funciones trigonométricas para los cuadrantes que correspondan.

Ejemplo: Hallar las funciones trigonométricas del arco U = 1.3:

sen 1.3=0 .9635 cot 1 .3=0 . 2776

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 32

Page 33: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

cos 1.3=0 .2674 sec1 .3=3 .7397

tan 1. 3=3 . 602 csc 1.3=1 .0378

Obtención del arco dado el valor de su razón trigonométrica.

Conocido el valor de una razón trigonométrica es posible obtener el valor del arco con número real U, ejemplo obtener el arco U cuyo coseno es 0.25

U = arc cos 0.25

U = 1.3181

Tema 3. Gráficas de funciones trigonométricas.

Función: es un conjunto de pares ordenados donde no se repite el mismo primer elemento.

Una función trigonométrica tiene su gráfica cuando se le dan valores a la variable independiente “x” y se obtienen los valores de la variable dependiente “y” usando las funciones de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Gráfica de y = sen x proporciona una representación de la función sen x. El argumento x es un número real que va a ser la abscisa de un punto cualquiera de la gráfica. Si se usa un circulo unitario, la ordenada de cualquier punto de la circunferencia será f(x) = sen x.

La gráfica de y = a sen x, en donde “a” es una constante positiva se puede trazar fácilmente por comparación con la curva sen x, la constante “a” se denomina amplitud de la función.

La gráfica de y = sen bx, donde “b” es una constante positiva, tiene como periodo

2πb .

Entendiéndose por periodo la distancia horizontal en el eje x en que la figura desarrolla un ciclo; y por ciclo la trayectoria de la gráfica.

La gráfica de y = a sen (bx+∞ ) es similar a la gráfica de y = sen bx, ∞ recibe el nombre de ángulo de fase y desplaza (desfasa) la gráfica a la izquierda o a la derecha según que sea

positiva o negativa. La magnitud del defasamiento esta dado por

∞b .

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 33

Page 34: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

La gráfica de y = cos x es parecida a la de y = sen x.

MÒDULO IV ECUACIONES TRIGONOMÈTRICAS.

Tema 1. Identidades Trigonométricas.

Se considera que una ecuación solo se cumple para ciertos valores que tome la incógnita, y se le llama ecuación condicional.

Si una expresión se cumple para todos los valores de la variable se le llama identidad.

Para las funciones trigonométricas existen ocho identidades fundamentales que pueden ordenarse en tres grupos que son: identidades de recíprocos, de división y de cuadrados.

Las identidades de recíprocos son: sen u csc u≡1

cos u sec u ≡1

tan u cot u ≡1

Las identidades de división son: tan u≡ sen u

cos u

cot u≡cos u

sen u

Las identidades de cuadrados son: sen2u + cos 2u≡1

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 34

Page 35: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

1 + tan 2u≡sec 2u

1 + cot 2≡csc 2u

Ejemplo: utilizando las identidades trigonométricas fundamentales, reducir las siguientes expresiones a una sola razón trigonométrica:

a) cos A tan A = b) sen A – sen A cos 2 A=

cos A1

senAcos A

=senAsen A (1− cos 2 A )=

sen A( sen 2 A )= sen 3 A

Verifique las siguientes identidades trigonométricas, utilizando las ocho identidades fundamentales:

a)

cos A1+senA

+ cos A1−sen A

≡ 2 sec A

Solución:cos A (1−senA )+cos A (1+senA )

(1+senA )(1−senA )≡2 sec A

cos A−senAcos A+cos A+senA cos A(1+senA )(1−senA )

≡2 sec A

2cos A

1−sen 2 A≡2 sec A

2 cosA

cos 2 A≡2 sec A

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 35

Page 36: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

2cos A

≡2 sec A

2 sec A≡2sec A

b)

cos A1+senA

≡1−senAcos A

Solución:

Multiplicando por el conjugado del denominador:

( 1−senA1−senA )cos A

1+senA≡1−senA

cos A

(1−senA )cos A

1−sen 2 A≡1−senA

cosA

(1−senA )cos A

cos 2 A≡1−senA

cosA

1−senAcos A

≡1−senAcosA

Tema 2. Ecuaciones trigonométricas.

Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene funciones trigonométricas de ángulos o de números reales. A diferencia de la identidad trigonométrica, la ecuación trigonométrica no se satisface para todos los valores del ángulo o del número real. Resolver una ecuación trigonométrica es encontrar todos los ángulos o todos los números reales que la satisfacen. Como los ángulos coterminales poseen idénticos valores de sus funciones trigonométricas, resulta que si θ es una solución, también lo es su coterminal. Por comodidad las soluciones se restringen a ángulos no negativos y menores que 360º. Para números reales, u, las soluciones se restringirán a valores menores a 2π.Los métodos de resolución son parcialmente algebraicos y parcialmente trigonométricos.

Ejemplo. Resuelva la ecuación2 senθ−1=0

Solución: Pase -1 al segundo termino y pase al 2 dividiendo

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 36

Page 37: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

senθ=12

Por tanto, θ=30º

Lo cual puede comprobarse por sustitución.

GLOSARIO.

Acutángulo. Triángulo cuyos tres ángulos son agudos. Los triángulos equiláteros son

acutángulos.

Adyacente. Contiguo. Ángulos adyacentes son los que tienen el mismo vértice y un lado

común que los separa.

Agudo. En geometría, ángulo que mide menos de 90º.

Ángulo. Abertura formada por dos rectas o dos planos que se cortan.

Ángulo central. En un círculo, es el ángulo cuyos lados son radios y su vértice está en el

centro.

Ángulo complementario. Es el que sumado con otro da 90º.

Ángulo lineal o llano. Es aquel que mide 180º exactamente.

Ángulo negativo. Es el que se forma rotando en el sentido de las manecillas de un reloj.

Ángulo obtuso. Es el que mide más de 90º y menos de 180º.

Ángulo positivo. Es el que se forma rotando en contra de las manecillas de un reloj.

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 37

Page 38: Apuntes de Algebra y Trigonometria 2008-2009a

Apuntes de Algebra y Trigonometría.

Ángulo recto. Es el que mide 90º exactamente.

Ángulos coliniales. Que tienen una línea en común.

Ángulos, medida de. Los babilonios suponían que el año tenia 360 días, de ahí la idea de

dividir el ángulo completo en 360 partes iguales que llamaron grados (º). Para tener medidas

más exactas dividieron éstos en 60 partes que nombraron minutos (‘) y éstos, a su vez, en 60

partes que llamaron segundos (``).

Ángulos adyacentes. Son aquellos que tienen un mismo vértice y comparten uno de sus

lados.

Ángulos opuestos por el vértice. Cuando dos rectas se cortan formando 4 ángulos; éstos,

dos a dos, son opuestos por el vértice formado por las rectas. Los ángulos formados por la

oposición del vértice son iguales.

Ángulos suplementarios. Son dos ángulos que sumados dan como resultado 180º.

Arco. Sección geométrica de una curva cualquiera.

Bisectriz. Plano o línea que divide un espacio o un plano en dos partes iguales. Línea que

corta a un ángulo en dos iguales.

Círculo. Superficie cerrada en la cual todos los puntos equidistan de otro llamado centro. Los

elementos del círculo son: arco, radio, diámetro, cuerda, secante y tangente.

Circunferencia. Línea curva y cerrada que limita a una superficie circular. La recta que va del

centro a cualquiera de sus puntos se llama radio. La recta que une dos puntos de la

circunferencia y pasa por el centro se llama diámetro. El diámetro es igual a dos radios

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Apuntes de Algebra y Trigonometría.

alineados. Una recta que une dos puntos y no pasa por el centro es una cuerda. Un diámetro o

cuerda que al prolongarse corta a la circunferencia, se llama secante. Una recta que toca a la

circunferencia en un solo punto se llama tangente. Si dos circunferencias tienen el mismo

centro, se dice que son concéntricas.

Hipotenusa. En un triángulo rectángulo, es el lado que queda enfrente u opuesto al ángulo

recto en relación con los lados del triángulo. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de

los cuadrados de los catetos, que son los otros dos lados del triángulo.

Identidad. Se da cuando dos miembros de una igualdad tienen el mismo valor numérico

independientemente de los valores asignados.

Isósceles, triángulo. Que tiene dos lados o dos ángulos iguales.

Mediana. En un triángulo, línea que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Si se

prolongan las tres medianas, se cortan en un solo punto.

Mediatriz. Línea que parte del punto medio de un lado de un triángulo o de un segmento de

recta de forma perpendicular, no necesariamente cortando el vértice opuesto.

Oblicuo. Línea o plano que al cortar otra línea o plano no forma ángulo recto.

Obtuso. Ángulo que mide más de 90º y menos de 180º.

Proporción. Es la igualdad de dos razones.

Radián. Diferente manera de medir un ángulo, que equivale a la longitud del arco comprendido

en la circunferencia que sustenta el ángulo en cuestión.

Sector. Superficie limitada por dos rectas y arco de curva cualquiera.

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Apuntes de Algebra y Trigonometría.

Sector circular. Parte de un círculo comprendido entre dos radios y el arco comprendido entre

ambos.

Sinusoide. Curva plana que en coordenadas cartesianas representa los valores sucesivos del

seno de un arco a partir de 0º, siendo las abscisas los valores crecientes del arco y las

ordenadas los valores de los senos.

Triángulo. Polígono de tres lados.

Triángulo acutángulo. Cuando sus tres ángulos son agudos.

Triángulo equilátero. Cuando sus tres lados y sus tres ángulos son iguales.

Triángulo escaleno. Cuando sus tres lados son desiguales.

Triángulo isósceles. Con dos lados y dos ángulos iguales.

Triángulo obtusángulo. Cuando uno de sus ángulos es obtuso, o sea, que mide màs de 90º y

menos de 180º.

Triángulo rectángulo. Dícese del triángulo que tiene un ángulo recto o de 90º. Sobre este tipo

de triángulo se estudia el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas básicas.

Trigonometría. Estudio de las relaciones numéricas entre los elementos de un triángulo. Éste

puede ser a través del teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas básicas, que son

seno, coseno y tangente.

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Apuntes de Algebra y Trigonometría.

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