02-RAICES DE ECUACIONES

RESOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES

CALCULO DE RAICES DE UNA ECUACION

INTRODUCCION.

DETERMINACION DE LOS VALORES INICIALES.

METODO DEL PUNTO FIJO.

METODO DE BISECCION O BIPARTICION.

METODO DE LA REGULA FALSI.

METODO DE LA SECANTE.

METODO DE NEWTON-RAPHSON O DE LA TANGENTE.

RAICES DE POLINOMIOS.

EVALUACION DE UN POLINOMIO Y DE SUS DERIVADAS.

METODO DE NEWTON PARA POLINOMIOS.

RAICES DOBLES.

OBTENCION DE TODAS LAS RAICES REALES DE UN POLINOMIO.

DEFLACION DIRECTA E INVERSA.

RAICES COMPLEJAS. METODO DE BAIRSTOW.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN.

RESOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES. CALCULO DE RAICES DE UNA ECUACION.

1

RESOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES CALCULO DE RAICES DE UNA ECUACION

INTRODUCCION De forma general una ecuación de la cual se quieren calcular sus raíces se puede escribir en la forma 0)( =xf , por lo que a las raíces también se las denominan ceros de la ecuación. Existen diversas formas de expresar el problema anterior según convenga al algoritmo que empleemos para su resolución. Es frecuente el paso de algunos términos de )(xf al segundo miembro quedando )()( xhxg = por lo que los ceros de la ecuación pasan a ser puntos de intersección de dos funciones. Otra forma que puede adoptarse es la xxu =)( bien aislando la variable en el segundo miembro o bien sumando x a ambos lados de la ecuación 0)( =xf :

xxuxx

xuxxf=⇒

=+=+

)(0

)()(

El problema de su resolución consiste para una ecuación dada, en encontrar el valor o valores de la variable x que satisfacen la ecuación, es decir 0x es una raíz, solución, cero de 0)( =xf , si y sólo si .0)( 0 =xf Salvo en el caso de ecuaciones polinómicas de grado inferior a cinco para las que existen soluciones algebraicas o problemas muy sencillos en los que se puede despejar la variable x, no se pueden obtener las soluciones sin recurrir a un método numérico. En general, los métodos numéricos de resolución serán del tipo iterativo, consistiendo en obtener una sucesión de valores …… ,,,,, 121 +nn xxxx que converjan a la solución del problema. Para la construcción de la sucesión anterior se empleará una fórmula de recurrencia o de iteración que en general podrá expresarse como:

…… ,1, para ),,,( 111 +== +−−+ kknxxxFx knnnn que permite obtener un nuevo valor de la sucesión en función de otros valores conocidos, por supuesto para iniciar el proceso y calcular 1+kx es preciso conocer los k valores iniciales

kxxx ,,, 21 … a elegir en base a las condiciones del problema o incluso de forma arbitraria. El número de valores iniciales y la forma de realizar las iteraciones dependen de cada uno de los métodos particulares que describiremos a continuación. Por otra parte, en general no podremos calcular el límite de la sucesión anterior cuando ∞→n por lo que habremos de truncar el proceso en un determinado valor ikx + que será el valor adoptado como solución del problema después de aplicar la fórmula de recurrencia i veces, se dice entonces que hemos realizado un número i de iteraciones.


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Desde un punto de vista numérico, es casi imposible conseguir la igualación a cero de la ecuación 0)( =xf al trabajar con números reales redondeados a un determinado número de cifras. Por este motivo la caracterización de los ceros de la ecuación 0)( =xf o cualquiera de sus otras formas equivalentes, se reduce a la comprobación de la condición:

ε<⇒= )(0)( de raiz 0 xfxfx en donde ε es la cota de error fijada de antemano y tan pequeña como queramos. Obsérvese que la implicación no es cierta en sentido contrario, pues si consideramos una cota de error 410−=ε para la resolución de la ecuación 000001.122 =+⋅− xx :

ℜ∈∀>+⋅−=+−= − xxxxxf 000001.1210)1()( 252 estaríamos introduciendo valores como 1=x en los que ε=<= −− 45 1010)1(f y que por tanto serian considerados soluciones del problema. Por razonamientos análogos a los anteriores llegaríamos a que la ecuación 0=xe resuelta con una calculadora de ocho dígitos en notación científica tiene un cero en 228−=x (en realidad cualquier valor menor que el anterior cumple la condición), cosa que no es cierta pues se verifica que .0 ℜ∈∀> xe x Otra forma de caracterizar los ceros, aplicable a la condición de finalización de los procesos iterativos, es la de determinar el intervalo comprendido entre dos valores sucesivos de la variable x donde necesariamente ha de encontrarse la raíz, indicado mediante:

ξ<−+ ii xx 1 que es válida si se puede interpretar como que la solución se encuentra entre 1y +ii xx con una cota de error, precisión o amplitud del intervalo .ξ En otros casos puede llevar a resultados confusos como los indicados anteriormente. Por último comentar que si bien la estimación del error relativo puede ser de gran interés y precisión, también plantea problemas cuando existen raíces distintas pero muy próximas entre si.

δ<−+

i

ii

xxx 1


3

DETERMINACION DE LOS VALORES INICIALES Para adoptar los valores de partida adecuados, conviene tener al menos una idea aproximada de donde pueden encontrarse las raíces o ceros buscados. A tal fin conviene:

o Representar las gráficas de las funciones. Esto nos proporcionará el número de raíces reales (que en general son las que queremos calcular) y su localización aproximada, siendo entonces nuestro objetivo determinarlas con una precisión adecuada.

o Aplicar ideas básicas del Cálculo.

Teorema de Bolzano.- Si )(xf es continua en el intervalo cerrado [ ]ba, y se verifica que

0)()( <⋅ bfaf existe al menos un ( )bax ,0 ∈ / .0)( 0 =xf Por otra parte también es interesante tener en cuenta que si )()()( 21 xgxgxf −= y los ceros de 0)( =xf son las soluciones de )()( 21 xgxg = siendo ambas derivables, una raíz

0x de 0)( =xf es simple si y sólo si )()( 0201 xgxg ′≠′ . Es decir, si las gráficas de )(1 xg y )(2 xg no son tangentes en el punto .0x

Consideremos la ecuación )cos( xx ⋅= α con 0>α , como 1)cos( ≤x , existe un número finito

de raíces y todas ellas son de módulo menor de .1−α En concreto puede observarse a partir de la gráfica que si 07958.0=α hay nueve raíces simples en el intervalo [ ]ππ ⋅⋅− 4,4 . Raices de la ecuación cos(x)= α x

alpha:=0.07958;Xmax:=1/alpha;

:= α 0.07958 := Xmax 12.56597135

Representación gráfica

plot([cos(x),alpha*x], x=-5*Pi..5*Pi, colour=[blue,red]);


4

Representación de detalle en extremo superior

plot([cos(x),alpha*x], x=3.9*Pi..4.1*Pi, colour=[blue,red]);


5

Por otra parte 5

1 xe x =− − tiene dos raíces simples, una en 0=x como es fácil de comprobar y

otra en las proximidades de 5=x como se puede observar en la representación gráfica adjunta. Además a partir del análisis de la gráfica y de consideraciones analíticas puede deducirse que ninguna de las raíces es múltiple.

METODO DEL PUNTO FIJO Si en la ecuación 0)( =xf procedemos a aislar la variable x, podemos escribirla en la forma

)(xgx = , se tratará de obtener un valor de x que sea invariante, es decir un punto fijo. La operación anterior se puede realizar de muchas formas, sirva como ejemplo que en la ecuación 0652 =+⋅− xx se pueden efectuar las siguientes transformaciones:

( )

5265

6465

56

65

2

22

2

−⋅+⋅−

−=

+⋅−=+⋅−+=

+=

−⋅=

xxxxx

xxxxxx

xx

xx

en donde la última transformación proviene de la igualdad )()(

xfxfxx

′−= .

Es importante advertir que según la forma de aislar x, el método iterativo puede converger más o menos rápidamente o bien ser divergente.


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Desde un punto de vista geométrico la resolución de )(xgx = se puede interpretar como la búsqueda del punto de intersección de la recta xy = con la curva )(xgy = . El procedimiento se inicia con un valor de 0xy = con este valor se calcula

)()( 010 xgxxg =→ procediendo así de forma reiterada obteniendo )( 12 xgx = y en general )(1 nn xgx =+ .

Y y = x

g(x 0 )

X x 0

y = g(x) x 1

La condición de finalización será δ<−=−+ nnnn xxgxx )(1 , siendo δ la cota de error admitida. Si la sucesión { }nx es tal que ε=

∞→ nnxLim entonces se verifica que ( )εε g= y ε será una raíz de

la ecuación dada. Se puede comprobar que si ( ) 1>′ εg el método es inestable y divergente, mientras que cuanto

menor sea ( )εg ′ más rápida será la convergencia. Ejemplo 1.- Consideremos la ecuación representada gráficamente con anterioridad y ordenada adecuadamente para su resolución por el método del punto fijo:

( ) ( ) ( )

−⋅==

⇒−⋅=→= −−

xx

eYxY

exxgx15:2

:115

Se puede comprobar que esta tiene un valor bajo de ( )εg ′ en las proximidades del posible punto fijo estimado a partir de la gráfica:

( ) ( ) 1034.0g 5 5 <≅′→≅⇒⋅=′ − εεxexg A continuación se adjunta un algoritmo en MAPLE para resolver por el método del punto fijo la ecuación ( )xex −−⋅= 15 .


7

Funciones a evaluar > Y1:=x;Y2:=5*(1-exp(-x));

:= Y1 x

:= Y2 − 5 5 e( )−x

Valor de arranque y número de dígitos > Digits:=10;X[0]:=0.01;

:= Digits 10 := X0 0.01

Resolución > for k from 1 to 20 do > X[k]:=evalf(subs(x=X[k-1],Y2)); > if abs(X[k]-X[k-1])<1*10^(-10) then X:=X[k];k:=21 fi; > od;

:= X1 0.049750832

:= X2 0.242667650

:= X3 1.077338952

:= X4 3.297497954

:= X5 4.815122168

:= X6 4.959468842

:= X7 4.964916731

:= X8 4.965107341

:= X9 4.965113991

:= X10 4.965114223

:= X11 4.965114231

:= X12 4.965114232

:= X13 4.965114232

Resultado obtenido > X:=evalf(X,10);

:= X 4.965114232


8

Ejemplo 2.- El cálculo de las raíces de 12)( 3 +⋅−= xxxf es inestable en las proximidades de 1=ε si consideramos la ecuación en la forma:

( ) 13 +−=+= xxxfxx

pues en este caso ( ) ( ) .12113)(1 23 >=′→−⋅=′⇒+−= gxxgxxxg Sin embargo es estable el problema planteado en la forma equivalente:

1312]23[

12)1()( 33

12

3

−⋅+−=−⋅+−=−⋅

+⋅−−=

′−=

=

xxxxxx

xxxf

xfxxx

para el que ( ) ( ) .10133)(13 23 <=′→+⋅−=′⇒−⋅+−= gxxgxxxg En el algoritmo siguiente se observa que si el valor inicial está comprendido entre cero y uno siempre se aproxima a la raíz 0.6180339888, para valores iniciales mayores de uno diverge y para valores iniciales exactamente iguales a cero o a uno el algoritmo converge a la otra raíz 1.0000000000. > Y1:=x;Y2:=x+(x^3-2*x+1);

:= Y1 x

:= Y2 − + + x x3 1

Valor de arranque y número de dígitos Digits:=10;X[0]:=0;

:= Digits 10 := X0 0

Resolución > for k from 1 to 20 do > X[k]:=evalf(subs(x=X[k-1],Y2)); > if abs(X[k]-X[k-1])<1*10^(-10) then X:=X[k];k:=21 fi; > od: Resultado obtenido > X:=evalf(X,10);

:= X 1.

Como conclusión de lo expuesto anteriormente se deduce la conveniencia de estimar a priori

( )εg ′ a través de ( )εf ′ adoptando la transformación:

( )ελλ

fxfxxgx

′≅⋅−==

1siendo)()(


9

de este modo 1)( <′ εg y se asegura la convergencia. Lo anterior sólo plantea problemas en el caso de que ( ) 0≅′ εf o incluso ( ) 0=′ εf como es el caso de las raíces múltiples. METODO DE BISECCION O BIPARTICION Se basa en la aplicación reiterada del Teorema de Bolzano y es siempre convergente.

Y

f(x)

X

210

2xx

x+

=

2x

0x1x

Si )(xf es una función continua en el intervalo [ ]10 , xx y verifica que 0)()( 10 <⋅ xfxf , podemos partir el intervalo por la mitad considerando:

210

2xxx +

=

puede ocurrir que exactamente 0)( 2 =xf de manera que habremos obtenido una raíz de forma directa, en caso contrario los intervalos [ ]20 , xx y [ ]12 , xx son de una amplitud mitad de la

inicial y en uno de ellos que pasaremos a denominar [ ] )1( maxmin , xx se verifica que

0)()( maxmin <⋅ xfxf por lo que podremos volver a aplicar el Teorema de Bolzano obteniendo un:

2maxmin)1( xx

xm+

=

de manera que en cada iteración i sustituiremos el extremo superior o inferior del intervalo por el correspondiente valor de )(i

mx en base a las condiciones anteriormente expuestas. La aplicación reiterada (n – veces) del procedimiento anterior nos conduce bien a un cero, bien a un intervalo [ ] )(

maxmin , nxx , en donde el superíndice indica el número de iteraciones, que será de amplitud ε⋅2 tan pequeña como se desee y en cuyo interior debe existir una raíz fx de

0)( =xf .


10

El punto medio de este intervalo:

2maxmin)( xx

x nm

+=

es tal que estimará el cero de )(xf con un error absoluto prefijado menor de ε :

ε<− fn

m xx )( .

Ejemplo.- Obtener las raíces positivas de la función 2)( −= xxxf con una precisión 910−=ε utilizando el método de bipartición. El algoritmo adjunto permite efectuar lo cálculos tomando como intervalo inicial de búsqueda el [ ]2,1 obteniendo el valor de 559610470.1=fx después de 31 iteraciones. Número de dígitos. Definición de la función > Digits:=10;f:=x->x^x-2;

:= Digits 10

:= f → x − xx 2

Intervalo de búsqueda > Xmin:=1;Xmax:=2;

:= Xmin 1 := Xmax 2

Comprobación de la validez del intervalo de búsqueda por BOLZANO. > if evalf(f(Xmin)*f(Xmax))<0 then "Intervalo Válido" else "Modifique el intervalo de búsqueda" fi;

"Intervalo Válido"

Proceso de cálculo > for k from 1 to 100 do > Xm:=evalf((Xmin+Xmax)/2); > if abs(Xmax-Xmin)<2*10^(-9) or evalf(f(Xm))=0 then Xf:=Xm;Contador:=k;k:=101 fi; > if evalf(f(Xm)*f(Xmax))<0 then Xmin:=Xm else Xmax:=Xm fi; > od: Número de iteraciones > Iteraciones:=Contador;

:= Iteraciones 31

Resultado final > Resultado:=evalf(Xf,10);

:= Resultado 1.559610470


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METODO DE LA REGULA FALSI En esencia es similar al anterior pero se cambia la elección del punto medio por el punto de intersección con el eje X de la recta secante o cuerda correspondiente a los extremos del intervalo en cada iteración.

Y

Recta secante f(x)

X x

x k

x i

La obtención de nuevos valores x se realiza mediante la expresión de la recta que pasa por )0,(x y tiene la pendiente proporcionada por los extremos del intervalo, es decir:

)()()(

)(0 iik

iki xx

xxxfxf

xf −⋅−−

=−

De donde despejando x se obtiene:

)()()( i

ik

iki xf

xfxfxx

xx ⋅−−

−=

Debiendo verificarse en alguno de los nuevos intervalos [ ]xxi , o [ ]kxx, las condiciones del Teorema de Bolzano. Para funciones )(xf prácticamente lineales 0)( ≅′′ xf , este método aventajará al de bipartición en efectividad. Para valores de )(xf ′′ elevados, la convergencia puede ser lenta. Por otra parte si

)(xf ′′ tiene su signo constante en todo el intervalo de búsqueda (caso de la gráfica superior), uno de los extremos (xi) permanecerá fijo a lo largo del proceso iterativo. Ejemplo.- Obtener las raíz de la función )cos()( xexf x −= situada en el intervalo [ ]1,2 −− con un error absoluto menor de 910−=ε , utilizando la regula falsi. Mediante el algoritmo adjunto y tras un total de 13 iteraciones, se obtiene la raíz:

292695719.1−=x

Indicar que por el método de bipartición son necesarias 31 iteraciones.


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Número de dígitos. Definición de la función > Digits:=11;f:=x->exp(x)-cos(x);

:= Digits 11

:= f → x − e x ( )cos x

Intervalo de búsqueda > Xmin:=-2;Xmax:=-1;

:= Xmin -2 := Xmax -1

Comprobación de la validez del intervalo de búsqueda por BOLZANO. > if evalf(f(Xmin)*f(Xmax))<0 then "Intervalo Válido" else "Modifique el intervalo de búsqueda" fi;

"Intervalo Válido"

Proceso de cálculo > for k from 1 to 100 do > X:=evalf(Xmin-((Xmax-Xmin)*f(Xmin)/(f(Xmax)-f(Xmin)))); > if abs(Xmax-Xmin)<10^(-9) or evalf(f(X))=0 then XF:=X;Contador:=k;k:=101 fi; > if evalf(f(X)*f(Xmax))<0 then Xmin:=X else Xmax:=X fi; > od: Número de iteraciones > Iteraciones:=Contador;

:= Iteraciones 13

Resultado final > Resultado:=evalf(XF,10);

:= Resultado -1.292695719

Es importante en este algoritmo considerar Digits:=11, dado que en caso contrario reralizará mas iteraciones de las necesarias. De igual forma se realizarán más iteraciones de las necesarias cuando )(xf ′′ sea de signo constante en el intervalo de búsqueda. Esto es debido a la condición de finalización adoptada:

abs(Xmax-Xmin)<10^(-9) que puede ser sustituida por:

abs(f(X))<10^(-9) o bien reprogramar el algoritmo para considerar la diferencia entre dos iteraciones consecutivas en la forma que es la más aconsejable.

abs(X[n]-X[n-1])<10^(-9)


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METODO DE LA SECANTE El proceso iterativo se puede considerar como una variante de la regula falsi, pero en este caso la comprobación del Teorema de Bolzano sólo se realiza en el intervalo inicial. Por este motivo es posible, como en el gráfico adjunto, que la secante proporcione puntos situados fuera del intervalo inicial de búsqueda y el proceso puede llegar a ser divergente.

Y

f(x)

x n-2 x n-1 x n

a bX

El proceso iterativo se inicia por la elección de un intervalo [a,b], en el cual la función f(x) es contínua y verifica que ( ) ( ) 0f a f b⋅ < . A partir de ese momento cada nuevo punto se obtiene en función de los dos anteriores por la intersección de la recta secante con el eje X, según el esquema adjunto.

1 20 1 1 1

1 2

( )( ) ( )

n nn n n

n n

x xx a x b x x f xf x f x

− −− −

− −

−= = → = − ⋅

−

siendo 2.n ≥ La condición de finalización será la correspondiente a una sucesión de valores debiendo verificarse que 1 .n nx x ε−− < Aunque puede tomarse ( ) 0nf x δ− < esta plantea problemas en algunos casos como ya se comentó. Ejemplo.- Obtener las raíz de la función )cos()( xexf x −= situada en el intervalo [ ]1,2 −− con un error absoluto menor de 910−=ε , utilizando el método de la secante. Mediante el algoritmo adjunto y tras un total de 7 iteraciones, se obtiene la raíz:

292695719.1−=x

Indicar que por el método de bipartición son necesarias 31 iteraciones y según hemos visto en el de la regula falsi son necesarias 13 iteraciones.


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Número de dígitos. Definición de la función > Digits:=10;f:=x->exp(x)-cos(x);

:= Digits 10

:= f → x − ex ( )cos x

Intervalo de búsqueda > X[0]:=-2;X[1]:=-1;

:= X0 -2

:= X1 -1

Comprobación de la validez del intervalo de búsqueda por BOLZANO. > if evalf(f(X[0])*f(X[1]))<0 then "Intervalo Válido" else "Modifique el intervalo de búsqueda" fi;

"Intervalo Válido"

Proceso de cálculo > for n from 2 to 100 do > X[n]:=evalf(X[n-1]-((X[n-1]-X[n-2])*f(X[n-1])/(f(X[n-1])-f(X[n-2])))); > if abs(X[n]-X[n-1])<10^(-9) or evalf(f(X[n]))=0 then XF:=X[n];Contador:=n;n:=101 fi; > od;

:= X2 -1.238184387

:= X3 -1.302373885

:= X4 -1.292473675

:= X5 -1.292694870

:= X6 -1.292695719

:= X7 -1.292695719

Número de iteraciones > Iteraciones:=Contador;

:= Iteraciones 7

Resultado final > Resultado:=evalf(XF,10);

:= Resultado -1.292695719

Nota.- La comprobación de la validez del intervalo de búsqueda, sólo tiene relación con el hecho de que podamos asegurar la existencia de una raíz. Los dos puntos de partida necesarios para el inicio del proceso iterativo pueden ser tomados distintos de los anteriores. Hay casos como en los que la curva es tangente al eje X, como 10x , en los que no se pueden encontrar dos puntos que verifiquen Bolzano y sin embargo la función se anula en .0=x


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METODO DE NEWTON-RAPHSON O DE LA TANGENTE Se trata posiblemente del método más utilizado para el cálculo de raices, aunque presenta el inconveniente de tener que conocer y evaluar la derivada en cada punto proporcionado por el proceso iterativo. La idea consiste en reemplazar la función ( )f x por una aproximación lineal de la misma proporcionada por la recta tangente, lo que equivale sencillamente a aproximar la función mediante el desarrollo de la serie de Taylor hasta la primera derivada.

2( ) ¨( ) ( )( ) ( ) ( )1! 2! 1!

f x f x f xf x h f x h h f x h′ ′′ ′

+ = + ⋅ + ⋅ + ≅ + ⋅…

en donde para obtener un punto en donde ( )( ) 0( )

f xf x h hf x

+ = → ≅ −′

.

A partir de dicha recta tangente, cada nuevo punto se obtiene por intersección de la misma con el eje X, según el gráfico adjunto. Si en concreto consideramos un punto inicial de coordenadas ( )0 0, ( )x f x se tiene la recta tangente:

0 0 0( ) ( ) ( )y f x f x x x′− = ⋅ −

que corta al eje X ( )0y = en el punto 01 0

0

( )( )

f xx xf x

= −′

.

Y

f(x) X

x i

x i+1

Repitiendo el proceso con las correspondientes tangentes se tiene el esquema iterativo:

11

1

( ) 1.( )

nn n

n

f xx x nf x

−−

−

= − ≥′

El método converge con gran rapidez en general, aunque plantea problemas de elección del valor inicial 0x , sobre todo si en dicho punto la derivada 0( )f x′ se anula. De igual forma podemos tener problemas de convergencia si a lo largo del proceso iterativo obtenemos puntos con derivadas muy pequeñas o nulas. La condición de finalización será la correspondiente a una sucesión de valores debiendo verificarse que 1 .n nx x ε−− < Aunque puede simplificarse tomando ( ) 0nf x δ− < .


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Ejemplo.- Obtener las raíz de la función )cos()( xexf x −= situada en el intervalo [ ]1,2 −− con un error absoluto menor de 910−=ε , utilizando el método de la secante. Mediante el algoritmo adjunto y tras un total de 3 iteraciones, se obtiene la raíz:

1.292695720x = −

Indicar que por el método de bipartición son necesarias 31 iteraciones y según hemos visto en el de la regula falsi son necesarias 13 iteraciones y en el de la secante 7 iteraciones. Definición de la función y su derivada. > F:=x->exp(x)-cos(x);DF:=D(F);

:= F → x − ex ( )cos x

:= DF → x + ex ( )sin x

Valor inicial y precisión. > X[0]:=-2;

:= X0 -2

Proceso de cálculo. > for n from 1 to 100 do > X[n]:=evalf(X[n-1]-(F(X[n-1])/DF(X[n-1]))); > if abs(F(X[n]))<10^(-9) then XF:=X[n];Contador:=n;n:=101 fi; > od;

:= X1 -1.287455951

:= X2 -1.292706823

:= X3 -1.292695720

Resultados. > Iteraciones:=Contador;

:= Iteraciones 3

> Resultado:=XF; := Resultado -1.292695720

> Error:=evalf(F(XF)); := Error 0.4 10-9


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RAICES DE POLINOMIOS

Un caso particular del problema de resolver ecuaciones no lineales, es el de la obtención de

raíces de un polinomio.

El problema consiste en dado un polinomio )(xp de grado n , encontrar raíces del mismo, es

decir valores que anulan el polinomio 0)( =xp . Esta cuestión plantea un cierto interés desde el

punto de vista matemático, sirvan como ejemplo el Teorema Fundamental del Algebra de

D’Alembert-Gauss, o los resultados obtenidos por Galois que caracterizó los polinomios que son

resolubles por radicales y demostró la imposibilidad genérica de hacerlo para 5≥n .

Además los polinomios tienen una serie de peculiaridades como son las siguientes:

o Todo polinomio de grado n tiene n raíces reales o complejas.

o Si un polinomio de coeficientes reales tiene una raíz compleja iba ⋅+ , entonces

también tiene la conjugada iba ⋅− .

o Una consecuencia de lo anterior es la de que si un polinomio de coeficientes

reales es de grado impar tendrá al menos una raíz real.

Otra peculiaridad del problema consiste en que al tratarse de una función polinómica es

relativamente sencillo evaluarla así como evaluar sus derivadas sucesivas. Téngase en cuenta

que se trata de funciones continuas e infinitas veces derivables, aunque a partir de la derivada de

orden n+1, todas son idénticamente nulas como es fácil de comprobar.

Normalmente se desean calcular todas las raíces del polinomio, lo cual es un problema en sí,

puesto que además de raíces complejas, puede haber raíces múltiples y entonces es necesario

conocer el orden de multiplicidad de las mismas.

En resumen, los métodos generales de resolución de ecuaciones no lineales son aplicables a

polinomios adaptándolos para evaluar el polinomio y sus derivadas, no obstante, continuación se

desarrollan métodos específicos.


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EVALUACION DE UN POLINOMIO Y DE SUS DERIVADAS

Sea un polinomio ( )p x de grado n que escribiremos en la forma:

( ) 10 1 1

n nn np x a x a x a x a−

−= ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

si se desea calcular el valor del polinomio en x z= , obviamente no hay más que sustituir y

efectuar las operaciones:

[ ]( )

[ ]( )

[ ] nn

nnazazzzzazzzzazp +⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= −

−−

1

productos 2

1

productos 1

0)( …

pero como es sabido ésta no es la forma más económica de evaluar el polinomio. Es más

conveniente hacer la siguiente consideración:

( ) ( ) ( )1 1p x x z Q x R= − ⋅ +

donde ( )1Q x y 1R son respectivamente el cociente y el resto de la división del polinomio por el

factor ( )x z− . Al sustituir x z= , se tiene:

( ) ( ) ( )1 1 1p z z z Q z R R= − ⋅ + =

Por lo tanto una forma alternativa de evaluar un polinomio en un punto x z= consiste en

efectuar la división por el factor ( )x z− (división sintética o esquema de Horner):

( ) ( )1 1 20 1 1 0 1 2 1 1

n n n nn n n na x a x a x a b x b x b x b x z R− − −

− − −⋅ + ⋅ + + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ − +

identificando coeficientes en la igualdad anterior se tiene:

⋅+=⋅+=⋅+=

⋅+=⋅+=

=

⇒

⋅−=⋅−=⋅−=

⋅−=⋅−=

=

−

−−−

−−−

−

−−−

−−−

zbaRzbabzbab

zbabzbab

ab

zbRazbbazbba

zbbazbba

ba

nn

nnn

nnn

nn

nnn

nnn

11

211

322

122

011

00

11

211

322

122

011

00

fórmulas que permiten obtener los coeficientes del polinomio cociente ( )1Q x y el valor del resto

1R :

0 0b a=

1i i ib a b z−= + ⋅ , 1, 2, , 1i n= −…

1 1n nR a b z−= + ⋅


19

no obstante si solamente nos interesa el valor del polinomio en x z= , no hace falta almacenar

los ib , aunque si es preciso obtenerlos, ya que el valor será 1)( Rzp = .

Punto de evaluación del polinomio

zx =:

Valor de arranque

0: ay =

Proceso de cálculo

nizyay i …1: =⋅+=

Resultado de la evaluación del polinomio en zx =

[ ] yRzp == :)( 1

Desde un punto de vista matemático la expresión nizyay i …1 para ,: =⋅+= , puede que

carezca de sentido. No obstante desde un punto de vista algorítmico, se trata de una sentencia de

asignación que va tomando los siguientes valores:

)(:

))((:3)(:2

:1:arranque deValor

101

12

21

30

21230123

2012012

01

0

zpRzazazazaayni

zazazaazzzaaaayizazaazzaaayi

zaayiay

nnnnn ==⋅+⋅+⋅++⋅+==

⋅+⋅+⋅+=⋅⋅⋅+++==⋅+⋅+=⋅⋅++==

⋅+===

−−− …

Para evaluar las derivadas sucesivas del polinomio se sigue un esquema similar, consideremos el

desarrollo de Taylor de ( )p x en x z= :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))

2' ''1 ! 2 ! !

nnp z p z p z

p x p z x z x z x zn

= + ⋅ − + ⋅ − + + ⋅ −

no hay término de error pues las derivadas de orden superior a n son idénticamente

nulas ( )1) 0np x+ = , etc.


20

Por lo tanto se puede poner, sacando factor común ( )zx − de los términos correspondientes, que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))

1' ''1 ! 2 ! !

nnp z p z p z

p x p z x z x z x zn

− = + − ⋅ + ⋅ − + + ⋅ −

Denominando:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))

11

' ''1 ! 2 ! !

nnp z p z p z

Q x x z x zn

−= + ⋅ − + + ⋅ −

se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )1p x p z x z Q x= + − ⋅

A su vez tendremos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))

21

' '' '''1 ! 2 ! 3 ! !

nnp z p z p z p z

Q x x z x z x zn

− = + − ⋅ + ⋅ − + + ⋅ −

Llamando

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))

22

'' '''2 ! 3 ! !

nnp z p z p z

Q x x z x zn

−= + ⋅ − + + ⋅ −

se obtiene

( ) ( ) ( ) ( )1 2

'1 !

p zQ x x z Q x= + − ⋅

De manera que repitiendo el proceso n veces:

( ) ( ) ( ) ( )1p x p z x z Q x= + − ⋅

( ) ( ) ( ) ( )1 2

'1 !

p zQ x x z Q x= + − ⋅

( ) ( ) ( ) ( )2 3

''2 !

p zQ x x z Q x= + − ⋅

( ) ( )( ) ( ) ( )

1)

1 1 !

n

n n

p zQ x x z Q x

n

−

− = + − ⋅−

; ( ) ( ))

!

n

n

p zQ x

n=

donde ( ) ( ) ( )1 2, , , nQ x Q x Q x… son los cocientes de dividir sucesivamente por ( )x z− :

( ) ( ) ( )1 1p x R x z Q x= + − ⋅ ; ( ) ( ) ( )1 2 2Q x R x z Q x= + − ⋅ ; …


21

y por tanto los restos de las divisiones sucesivas permiten obtener las derivadas en x z= a través

de las relaciones:

( ) 1p z R= ; ( ) 2' 1 !p z R= ⋅ ; ( ) 3'' 2 !p z R= ⋅ ; …

Para efectuar cada uno de los cocientes se utiliza el esquema de división sintética expuesto

anteriormente.

Supongamos que se quiere calcular el polinomio y sus dos primeras derivadas en un punto

x z= :

( ) ( )1 1 20 1 1 0 1 2 1 1

n n n nn n n na x a x a x a b x b x b x b x z R− − −

− − −⋅ + ⋅ + + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ − +

( ) ( )1 2 2 30 1 2 1 0 1 3 2 2

n n n nn n n nb x b x b x b c x c x c x c x z R− − − −

− − − −⋅ + ⋅ + + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ − +

( ) ( )2 3 3 40 1 3 2 0 1 4 3 3

n n n nn n n nc x c x c x c d x d x d x d x z R− − − −

− − − −⋅ + ⋅ + + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ − +

Las fórmulas de recurrencia para calcular los iii dycb , se pueden expresar de la forma vista

anteriormente, calculando primero todos los ib , después todos los ic y finalmente todos los id ,

aunque se puede optimizar su obtención de la siguiente forma:

0 0

0 0

1 1 0

0 0

1 1 0

2 2 1

1 1 0

1 2 1

3 3 2

b ac bb a b z

d cc b c zb a b z

d c d zc b c zb a b z

= = = + ⋅=

= + ⋅ = + ⋅

= + ⋅ = + ⋅ = + ⋅


22

Punto de evaluación

zx =:

Valores de arranque

0:0:

: 0

=′′=′

=

yy

ay

Proceso de cálculo

nizyayzyyy

zyyy

i

1:::

…=

⋅+=⋅′+=′

⋅′′+′=′′

Valores finales

yRzpyRzp

yRzp

′′⋅=⋅=′′′=⋅=′

==

2!2)(!1)(

)(

3

2

1

IMPLEMENTACION DEL ALGORITMO Definición del polinomio > POL:=x^4-2*x^3+5*x^2-x+6;

:= POL − + − + x4 2 x3 5 x2 x 6

Grado del polinomio > n:=degree(POL);

:= n 4

Coeficientes del polinomio > for i from 0 to n do > a[n-i]:=coeff(POL,x,i); > od;

:= a4 6

:= a3 -1

:= a2 5

:= a1 -2

:= a0 1

Punto de evaluación > z:=2;

:= z 2


23

Valores de arranque > y2P:=0;yP:=0;y:=a[0];

:= y2P 0 := yP 0

:= y 1

Proceso de cálculo > for i from 1 to n do > y2P:=yP+y2P*z; > yP:=y+yP*z; > y:=a[i]+y*z; > od;

:= y2P 0 := yP 1

:= y 0 := y2P 1

:= yP 2 := y 5

:= y2P 4 := yP 9

:= y 9 := y2P 17

:= yP 27 := y 24

Valores finales > z:=z; > P:=y; > PP:=yP; > P2P:=2*y2P;

:= z 2 := P 24 := PP 27 := P2P 34

Si se desea obtener todas las derivadas del polinomio, conviene almacenar sus valores de forma

ordenada en un vector.


24

METODO DE NEWTON PARA POLINOMIOS

Como ya se ha comentado anteriormente, el método de Newton es aplicable a polinomios, la

única particularidad consiste en evaluar el polinomio y su derivada como se ha indicado en el

punto anterior, con la finalidad de reducir el número de operaciones. A partir de un valor inicial

para z se sigue el siguiente procedimiento:

Valores de arranque

0y a= ; ' 0y =

Evaluación de la función y de su derivada

' '

i

y y y zy a y z

= + ⋅ = + ⋅

1, 2, ,i n= …

Incremento de z

'yzy

∆ =

Nuevo valor a considerar para z método de Newton

z z z= − ∆

Se repite el proceso hasta alcanzar la convergencia z ξ∆ < o bien superar el número máximo de

iteraciones permitidas.

Hay dos excepciones:

Si 0y = → se ha encontrado la raíz.

Si ' 0y = → hay un máximo/mínimo, no hay intersección de la tangente con el eje,

conviene salir del máximo/mínimo desplazando el valor de z

levemente. Puede que simultáneamente sea 0=y en cuyo caso existe

al menos una raíz doble.

Se incluye a continuación un algoritmo de cálculo en MAPLE basado en la metodología

anteriormente expuesta.


25

Definición del polinomio > POL:=x^5-10*x^4+23*x^3-12*x^2-18*x+29;

:= POL − + − − + x5 10 x4 23 x3 12 x2 18 x 29

Grado del polinomio > n:=degree(POL);

:= n 5

Coeficientes del polinomio > for i from 0 to n do > a[n-i]:=coeff(POL,x,i); > od;

:= a5 29

:= a4 -18

:= a3 -12

:= a2 23

:= a1 -10

:= a0 1

Valor inicial de z > z:=0;

:= z 0

Proceso de cálculo para k obtenciones de z > for k from 1 to 100 do Valores de arranque de la función y, y de la derivada yp

> y:=a[0];yp:=0; Evaluación de y, yp en un punto > for i from 1 to n do > yp:=y+yp*z; > y:=a[i]+y*z; > od; Obtención del incremento Dz a considerar en el método de Newton > Dz:=evalf(y/yp); Control de terminación > if abs(Dz)<10^(-6) then k:=101 fi; Nuevo valor de z a considerar > z:=z-Dz; > od: Solución obtenida > z;

2.032143546

Para el valor inicial z = -2 se obtiene la raiz -1.008247400. Para el valor inicial z = 0 se obtiene la raiz 2.032143546. Para el valor inicial z = 6 se obtiene la raiz 6.999324029. Las otras dos raices son complejas.


26

RAICES DOBLES

Si 1z es una raíz doble, el polinomio ( )p x admite la siguiente descomposición factorial:

)()()( 21 xQzxxp ⋅−=

donde el exponente dos indica el orden de multiplicidad.

Como se puede comprobar fácilmente en este caso 1z es también una raíz de la derivada, por

tanto para valores próximos a la raíz, también 'y tendrá un valor próximo a cero por tanto el

cociente '

yy

ya no se hace tan rápidamente cero en el proceso iterativo de localización de una

raíz.

Como consecuencia el método de Newton para raíces múltiples no converge con la velocidad

que lo hace en raíces simples, además los errores de redondeo al calcular y e 'y hacen que el

método sea fuertemente inestable siendo en la práctica difícil de obtener convergencia.

A continuación se exponen dos fórmulas de iteración que tienen en cuenta la derivada segunda y

que se comportan razonablemente bien para raíces dobles pero no para raíces de mayor orden de

multiplicidad:

( )

2

1 3

''1' 2 '

i i ii i

i i

y y yx xy y

+

⋅= − +

( )1 2

''' ''

i ii i

i i i

y yx xy y y

+

⋅= −

− ⋅


27

OBTENCION DE TODAS LAS RAICES REALES DE UN POLINOMIO

Como es sabido la raíz real obtenida por el método de Newton depende del valor inicial elegido

en el proceso iterativo. Si a priori se conocen aproximaciones a las raíces reales de un polinomio,

como por ejemplo a través de la gráfica del mismo, tomando estas aproximaciones como valor

inicial, es fácil obtener todas las raíces reales de un polinomio.

Cuando no se conocen aproximaciones a las raíces, no hay más remedio que utilizar la deflación

polinómica, que consiste en dividir el polinomio dado por el factor ( )x z− siendo z la raíz

obtenida y seguir obteniendo raíces del polinomio cociente.

Las raíces así obtenidas, son teóricamente las mismas que las del polinomio dado, pero en la

práctica, al obtenerse de forma aproximada los coeficientes de los distintos polinomios cocientes

tienen errores de truncamiento y redondeo por lo tanto los valores obtenidos deben considerarse

como aproximaciones que se deben mejorar utilizando el polinomio inicial, a este proceso se le

llama refinado de las raíces y es particularmente importante en el caso de raíces múltiples del

polinomio.

El proceso completo puede quedar de la siguiente manera:

0) Copiar: ( ) ( )p x q x→ .

1) Tomar un valor inicial arbitrario 0z .

2) Encontrar una raíz de ( ) 1q x z→ .

3) Encontrar una raíz de ( )p x , con 1z como valor inicial 2z→ .

4) Dividir ( )q x por ( ) ( )2x z q x− → .

Repetir los apartados de 1) a 4) hasta obtener un polinomio de grado 1.


28

DEFLACION DIRECTA E INVERSA

Sea ( ) 10 1 1

n nn np x a x a x a x a−

−= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + . Si ( )x z− es un factor de ( )p x , el polinomio

cociente se obtiene (como se vio) por división sintética:

( ) ( ) ( )1 20 1 2 1

n nn np x x z b x b x b x b− −

− −= − ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

los coeficientes ib vienen dados por las ecuaciones:

0 0a b=

1 1 0a b b z= − ⋅

2 2 1a b b z= − ⋅

1 1 2n n na b b z− − −= − ⋅

1n na b z−= − ⋅

que se resuelven por sustituciones sucesivas.

Si se empieza el proceso por 0b se llama deflación directa, si por el contrario se empieza por

1nb − se denomina deflación inversa.

Para valores de 1>>z se recomienda deflación inversa y para valores 1<<z se utiliza en

general deflación directa.


29

RAÍCES COMPLEJAS. MÉTODO DE BAIRSTOW

La utilización del método de Newton para polinomios seguido de deflación permite obtener

todas las raíces reales de un polinomio. No siendo posible sin embargo obtener raíces complejas.

Para resolver este problema se pueden modificar los algoritmos estudiados de modo que se

utilice aritmética compleja, permitiendo así obtener raíces complejas.

Otro método consiste en obtener factores cuadráticos, cuyas raíces también lo son del polinomio

dado y se obtienen algebraicamente:

( ) ( ) ( )2p x x p x q Q x= + ⋅ + ⋅

Siendo las raíces de 2x p x q+ ⋅ + qppx −

±

−=

2

22 .

En cuanto a la tipología de las mismas, dependerá del valor de .2

2

qp−

=∆ Siendo reales y

distintas si 0>∆ , reales dobles si 0=∆ y complejas si 0<∆ .

Este método denominado de Bairstow, tiene la ventaja de que no necesita utilizar aritmética

compleja y funciona bien para raíces reales dobles, pudiendo generalizarse para obtener factores

de orden superior.

Método de Bairstow

Sea ( )p x un polinomio de grado n y un factor cuadrático arbitrario, entonces se tiene:

( ) ( ) ( )2 20 1 0 3 2

n nn n n np x a x a x a x p x q b x b x b R x S−

− − −= ⋅ + + ⋅ + = + ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +

Cuya identificación de coeficientes nos conduce a la resolución de un sistema se 1n + ecuaciones con 1n + incógnitas:

0 1 2, , , , ,nb b b R S−… pudiendo expresarse el valor de R y S en función de p y q :

( ),R R p q= ; ( ),S S p q= si se resuelve el sistema de ecuaciones:

( )( )

, 0

, 0

R p q

S p q

=

=

Se tiene que el polinomio 2x p x q+ ⋅ + es un factor del polinomio dado, pues en este caso el resto de la división vale cero.

Sistema de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas ,p q


30

EJEMPLOS DE APLICACION 1.- Dada la pantalla de hormigón armado de la figura adjunta, que debe contener una altura H de tierras en una excavación, calcular la longitud h y la fuerza en el puntal F por metro lineal de pantalla, utilizando el método del extremo libre.

H

Ea

Ep

Fp Fa

F

h

Altura de la excavación 00.6=H m, ángulo de rozamiento interno del terreno º30=ϕ , densidad del terreno 80.1=γ T/m3, ángulo de rozamiento tierra-pantalla º0=δ . En base a los parámetros del terreno se tienen los siguientes valores para los coeficientes de empuje activo y pasivo:

3)º30(1)º30(1

31

)º30(1)º30(1

=−+

==+−

=sensen

sensen

pa λλ

Los valores de las fuerzas en función de la altura son por metro lineal de pantalla:

hhFhhF pa ⋅=⋅⋅=+⋅=+⋅⋅= 40.580.13)6(60.0)6(80.131

En cuanto a los empujes activo y pasivo y sus distancias a la coronación de la pantalla son los siguientes:

)6(32)6(30.0)6(60.0)6(

21 2 hdhhhE aa +⋅=+⋅=+⋅⋅+⋅=

hdhhhE pp ⋅+=⋅=⋅⋅⋅=3200.670.240.5

21 2

Tomando momentos respecto a la parte superior de la pantalla, de manera que eliminamos la incógnita F , se obtiene la ecuación:

)3200.6(70.2)6(

32)6(30.0 22 hhhh ⋅+⋅⋅=+⋅⋅+⋅


31

Lo anterior se reduce operando a la ecuación poli nómica:

000.2750.13875.7 23 =−⋅−⋅+ hhh

De la representación gráfica de la función 00.2750.13875.7)( 23 −⋅−⋅+= hhhhf se deduce que la única raíz positiva y por tanto válida para nuestro caso es la situada en las proximidades de 00.2≅h .

El algoritmo adjunto proporciona una longitud de pantalla de 405.2=h m, de donde se deduce por equilibrio de fuerzas horizontales, que la fuerza en el puntal es de:

paap EEFEEF −=⇒=+ Obteniéndose un valor para la misma por metro lineal de pantalla:

193.21)405.26(30.0 2 =+⋅=aE T/m.

617.15405.270.2 2 =⋅=pE T/m.

576.5617.15193.21 =−=F T/m. Finalmente indicar que habitualmente se admite que la longitud de pantalla que debe empotrarse en el terreno viene dada por hhe ⋅= 20.1 lo que en nuestro caso proporciona un valor para la misma de:

89.2886.2405.220.1 ≅=⋅=eh m.


32

Digitos a utilizar > Digits:=10;

:= Digits 10

Función > f:=(h)->h^3+7.875*h^2-13.50*h-27;

:= f → h + − − h3 7.875 h2 13.50 h 27

Intervalo de búsqueda > hmin:=0;hmax:=5;

:= hmin 0 := hmax 5

Comprobación de la validez del intervalo inicial de búsqueda por BOLZANO. > if evalf(f(hmin)*f(hmax))<0 then "Intervalo Válido" else "Modifique el intervalo de búsqueda" fi;

"Intervalo Válido"

Proceso de cálculo > for k from 1 to 100 do > h:=evalf((hmin+hmax)/2); > if abs(hmax-hmin)<2*10^(-4) or evalf(f(h))=0 then hF:=h;Contador:=k;k:=101 fi; > if evalf(f(h)*f(hmax))<0 then hmin:=h else hmax:=h fi; > od: Número de iteraciones > Iteraciones:=Contador;

:= Iteraciones 16

Resultado final > Resultado:=evalf(hF,4);

:= Resultado 2.405


33

2.- En el canal rectangular adjunto de características suficientemente uniformes para poder aplicar la fórmula de Manning se pide calcular la altura normal nh para un caudal

./ 00.6 3 sgmQ =

h

b=1.75 m.

Se consideran para el canal paredes de hormigón con encofrado metálico 0133.0=n y pendiente unitaria uniforme en un tramo de suficiente longitud 002.0=j . Para una altura de agua dada h el caudal Q viene dado por:

⋅=

⋅+⋅

==⋅⋅=

⇒⋅=hbS

hbhb

mojadoPerímetromojadaAreaRconRj

nv

sgmSvQ2

1

./

32

21

3

Definiéndose la altura normal nh como aquella altura correspondiente a un caudal dado en la fórmula anterior. En base a los datos proporcionados se tiene:

hSyh

hR ⋅=⋅+

⋅= 75.1

275.175.1

De donde se obtiene la ecuación:

hh

h⋅⋅

⋅+⋅

⋅⋅= 75.1275.1

75.1002.00133.0100.6 3

2

Cuya resolución mediante el algoritmo adjunto proporciona un valor de 511.1=nh m, con una sencilla comprobación se tiene para la altura normal que:

./999894797.5)( 3 sgmhQ n =

Otro dato de fácil obtención es ./2687.2 sgmSQv ==


34

Digitos a utilizar > Digits:=10;

:= Digits 10

Función > f:=(h)->6-(1/0.0133)*sqrt(0.002)*((1.75*h/(1.75+2*h))^2)^(1/3)*1.75*h;

:= f → h − 61 0.002

1.752 h2

( ) + 1.75 2 h 2

( )/1 3

1.75 h

0.0133

Intervalo de búsqueda > hmin:=0;hmax:=5;

:= hmin 0 := hmax 5

Comprobación de la validez del intervalo inicial de búsqueda por BOLZANO. > if evalf(f(hmin)*f(hmax))<0 then "Intervalo Válido" else "Modifique el intervalo de búsqueda" fi;

"Intervalo Válido"

Proceso de cálculo > for k from 1 to 100 do > h:=evalf((hmin+hmax)/2); > if abs(hmax-hmin)<2*10^(-4) or evalf(f(h))=0 then hF:=h;Contador:=k;k:=101 fi; > if evalf(f(h)*f(hmax))<0 then hmin:=h else hmax:=h fi; > od: Número de iteraciones > Iteraciones:=Contador;

:= Iteraciones 16

Resultado final > Resultado:=evalf(hF,4);

:= Resultado 1.511

Caudal > Q:=evalf((1/0.0133)*sqrt(0.002)*((1.75*h/(1.75+2*h))^2)^(1/3)*1.75*h);

:= Q 5.999894797


35

3.- Un cable uniforme de w=3 kg/m de peso está suspendido entre dos puntos A y B situados a la misma altura y separados 50 m.

A B

50 m

10 m

Determinar la ecuación del cable suponiendo que viene dada por la catenaria:

2)cosh( cosh

cx

cx

eecxdondeen

cxcy

−+

=⋅=

según el gráfico adjunto:

Y

C y B

cO X

A B

x B

Obtener a partir de la misma, la tensión máxima y mínima en el cable y la longitud del mismo, en base a las expresiones siguientes:

−=⋅=

⋅==⋅==

22

max

min

2 cyLsiendoLL

ywTTcwTT

BCBCBAB

BB

C

Las coordenadas del punto B son en el sistema de referencia:

2101

210

.10.25 c

xcx

cx

cx

B

B eec

eeccmcy

mx−−

+=+→

+⋅=+⇒

+==

Lo anterior reduce el problema al cálculo de las raíces de:

2101)(

cx

cx

eec

cf−

+−+=


36

La resolución del problema anterior con el algoritmo adjunto proporciona un valor para el parámetro 793.32=c . De forma inmediata se deducen el resto de valores al aplicar las fórmulas correspondientes:

=−=−==⋅=⋅=

=⋅=⋅===⋅=⋅==

=+=

.493.27793.32793.42986.54493.2722

.379.128793.423.379.98793.323

793.4210793.32

2222

max

min

mcyLsiendoLL

KgywTTKgcwTT

y

BCBCBAB

BB

C

B

Número de dígitos. Definición de la función > Digits:=10;f:=c->(10/c)+1-(exp(25/c)+exp(-25/c))/2;

:= Digits 10

:= f → c + − − 10c 1

12 e

25c 1

2 e

−

25c

Intervalo de búsqueda > Cmin:=1;Cmax:=200;

:= Cmin 1 := Cmax 200

Comprobación de la validez del intervalo de búsqueda por BOLZANO. > if evalf(f(Cmin)*f(Cmax))<0 then "Intervalo Válido" else "Modifique el intervalo de búsqueda" fi;

"Intervalo Válido"

Proceso de cálculo > for k from 1 to 100 do > C:=evalf((Cmin+Cmax)/2); > if abs(Cmax-Cmin)<2*10^(-4) or evalf(f(C))=0 then CF:=C;Contador:=k;k:=101 fi; > if evalf(f(C)*f(Cmax))<0 then Cmin:=C else Cmax:=C fi; > od: Número de iteraciones > Iteraciones:=Contador;

:= Iteraciones 21

Resultado final > Resultado:=evalf(CF,5);

:= Resultado 32.793


37

4.- Calcular la Tasa Interna de Retorno (T.I.R.) correspondiente a la explotación de un Parking en base a los siguiente ingresos producidos en los diez años siguientes, siendo el coste de construcción de 2.000.000 de euros.

AÑO INGRESOS1 100.0002 100.0003 100.0004 250.0005 250.0006 350.0007 400.0008 300.0009 300.00010 350.000

Para el cálculo de la T.I.R. y al objeto de reducir al año de construcción todos los ingresos se utiliza la fórmula:

∑= +

+++

++

=+

=n

in

ni

i

TB

TB

TB

TBC

12

21

)1()1()1()1(…

En donde:

. Año elen obtenidos Beneficios. a 1 de Varia años. los a ecorrespond que Variable

T. calcula se que los para años de Númerocalcular. a retorno de interna Tasa

0. año del inicial Aportación oón construcci de Coste

iBni

nT

i =====C

En realidad el problema anterior se reduce en nuestro caso concreto a calcular las raíces de la ecuación:

∑=

−+

+++

++

=−+

=10

110

102

21

)1()1()1()1()(

ii

i CT

BT

BT

BCT

BTf …

La aplicación del algoritmo adjunto nos proporciona un valor de la variable T:

% 5324.3035324.0 →=T


38

> Digits:=10; := Digits 10

> C:=2000000; := C 2000000

> B:=[100000,100000,100000,250000,250000,350000,400000,300000,300000,350000];

B 100000 100000 100000 250000 250000 350000 400000 300000 300000, , , , , , , , ,[ := 350000 ]

> f:=T->sum(B[i]/(1+T)^i,i=1..10)-C;

:= f → T −

∑

= i 1

10 Bi

( ) + 1 T i C

Intervalo de búsqueda > Tmin:=0;Tmax:=20;

:= Tmin 0 := Tmax 20

Comprobación de la validez del intervalo de búsqueda por BOLZANO. > if evalf(f(Tmin)*f(Tmax))<0 then "Intervalo Válido" else "Modifique el intervalo de búsqueda" fi;

"Intervalo Válido"

Proceso de cálculo > for k from 1 to 100 do > T:=evalf((Tmin+Tmax)/2); > if abs(Tmax-Tmin)<2*10^(-4) or evalf(f(T))=0 then TF:=T;Contador:=k;k:=101 fi; > if evalf(f(T)*f(Tmax))<0 then Tmin:=T else Tmax:=T fi; > od: Número de iteraciones > Iteraciones:=Contador;

:= Iteraciones 18

Resultado final > Resultado:=evalf(TF,5);

:= Resultado 0.035324

> TIR:=100*TF; := TIR 3.532409670

02-RAICES DE ECUACIONES

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