Languages
Pages
Legal
Základní poznatky z
matematiky
Stránka 1
Obsah
1. Základní poznatky z matematiky ................................................................................................. 2
1.1 Číselné obory ......................................................................................................................... 2
1.1.1 Celá čísla ........................................................................................................................ 2
1.1.2 Reálná čísla .................................................................................................................... 2
1.2 Odmocniny .......................................................................................................................... 12
1.3 Mocniny............................................................................................................................... 45
1.3.1 Mocniny se základem 10.............................................................................................. 45
1.3.2 Mocniny s přirozeným mocnitelem ............................................................................. 46
1.4 Množiny............................................................................................................................... 62
1.4.1 Slovní úlohy na Vennovy diagramy............................................................................. 64
1.5 Výroková logika .................................................................................................................. 75
1.6 Absolutní hodnota ............................................................................................................... 86
1.7 Algebraické výrazy a jejich úpravy ..................................................................................... 97
1.7.1 Mnohočleny ................................................................................................................. 97
1.7.2 Dělení mnohočlenu mnohočlenem............................................................................. 104
1.7.3 Druhá a třetí mocnina mnohočlenu ............................................................................ 112
1.7.4 Rozklad na součin ...................................................................................................... 124
1.7.5 Racionální lomené výrazy .......................................................................................... 132
1.8 Dělitelnost ......................................................................................................................... 159
Základní poznatky z matematiky
Stránka 2
1. Základní poznatky z matematiky
1.1 Číselné obory
1.1.1 Celá čísla
1. Vypočtěte:
a) 7 10 10 7 8 3
b) 17 20 45 20: 4
c) 2 2
8 10 2 4 10 2 5 8
d) 12 18 6 8 7 4 3 5 8 9
Řešení:
a) 7 10 10 7 8 3 3 3 5 9 5 14
b) 17 20 45 20: 4 17 25 5 17 25 5 3
c)
2 2 28 10 2 4 10 2 5 8 2 14 6 2 3
2 4 36 6 44 44
d) 12 18 6 8 7 4 3 5 8 9 6 14 3 2 17 8568
1.1.2 Reálná čísla
1. Vypočtěte:
a)
2
0,36 1
1 82 : 4
7 15
b)
25 3 1 1 1
0,75 : : 16 4 4 2 2
c)
1 31 2,5 8
4 21 1
2 1,3 0,755 4
d) 1 4
2,4 3 2 1: 0,23 5
Řešení:
a) 5
3
4
15
25
4
15
4
16,0
15
28
7
1
16,0
15
230
7
1
)4,0(
4
1
15
82
7
1
)16,0(
4:15
82
7
1
136,0 222
b) 25 3 1 1 1 5 3 4 1 3 1 10 9 4 1 6 1
0,75 : : 1 : :6 4 4 2 2 6 4 3 4 2 4 12 3 4 4
1 4 1 4 1 1 5 9 14
12 3 4 5 9 5 45 45
Základní poznatky z matematiky
Stránka 3
c)
6
117
6
103
6
782513
6
25
2
4
2
13
9
10
4
15
4
22
13
10
13224
105
4
3
4
12
3
2
16
10
13
5
112
5
4
5
75,04
12
38
3,15
12
5,24
11
d)
5
1
5
2514125
5
144,22,0:1
5
42
3
134,2
2. Vypočtěte:
a)
22
3 0,255
2
b)
1 3 1 4
2 4 3 3
2 4:
3 9
c)
34 1
1,2 : 0,8 1 0,4 0,89 2
d)
3 1 11
4 2 6
2 11
3 2
Řešení:
a) 67,0100
67
2
1
50
875
2
1
25
4
2
3
2
25
45,03
2
5
225,03
2
b)
4
5
4
32
1
4
3
2
1
2
3
3
2
14
3
2
1
9
4:
3
2
3
4
3
1
4
3
2
1
c) 2
11
2
3
4
9
9
4
2
3
2
3
9
4
8
10
10
128,04,0
2
11
9
48,0:2,1
33
d) 2
1
7
6
12
7
6
31012
2189
2
1
3
56
1
2
3
4
3
2
1
3
21
6
1
2
11
4
3
3. Vypočtěte:
a)
5 13 43 1 1
36 18 5
2 32
5 8
b)
1 3 1
5 10 4
2 1:
5 3
Základní poznatky z matematiky
Stránka 4
c) 2
3 1 31 :
7 2 8
2 1
3 7
d) 2
1 1 5:
3 6 6
3 300,3
2 12
Řešení:
a) 6
52
18
152
18
51
9
10
20
51
10
95
1
4
51
8
3
5
125
9
36
62113
8
3
5
22
5
41
18
131
36
53
b) 8
1
6
5
20
3
6
5
20
564
)3(5
220
56
5
1
3
1:
5
2
4
1
10
3
5
1
c) 45954
63
7
20
63
43
8
14
15
7
1
9
4
3
8
14
216
7
1
3
2
8
3:
2
11
7
3
2
d) 15
1
12
4
5
1
4
3
4
9
5
6
6
1
12
30
10
3
4
9
5
6
6
12
12
303,0
2
3
6
5:
6
1
3
1
2
4. Vypočtěte:
a)
2
2 5 1 10,1 :
5 6 3 2
2 41,5
5 15
b)
2 3 8
3 4 271
0,1254
c)
25 3 1 1 1
0,75 : : 16 4 4 2 2
d) 2
3 1 301 :
7 2 7
2 1
3 7
Řešení:
a)
7
51
7
12
14
25
25
24
5
2
25
4
125
1
10
15
15
4
25
4
6
5:
6
5
5
2
10
1
5,115
4
5
2
2
1
3
1:
6
5
5
21,0
2
Základní poznatky z matematiky
Stránka 5
b)
9
21432
9
432
9
26
40
5
4
19
2
3
2
125,04
127
8
4
3
3
2
c) 25 3 1 1 1 5 3 4 1 3 1
0,75 : : 1 :6 4 4 2 2 6 4 3 4 2 4
10 9 4 1 4 1 1 14
12 3 4 6 1 9 5 45
d)
16
153
16
63
4
63
4
1
63
430
7
14
15
7
1
9
430
7
14
7146
7
1
3
2
7
30:
2
11
7
3
2
5. Vypočtěte:
a)
2
2
2
1 1 13 3 3
2 2 2:
3 3,510,5
2
b) 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1
8 :2 3 2 3 2 5 6 3 20 5
c) 2
31,52 2,25
4
4 2:
125 3
d) 2
5 7 6
2 3 5
2 1 20,5 :
5 3 9
Řešení:
a)
2
2
2
1 1 1 3 1 21 13 3 3 921 162 2 2 2 2 2 2:
1 1 1 3 1 53 3,5 4 510,5
2 4 4 2 4 42
84 416
5 5
b)
62411
60
30
116
6
213
60
12320:
30
116
3
1
6
1
2
1
5
1
20
1
3
1:
6
1
5
1
2
48
3
1
2
1
3
1
2
1
Základní poznatky z matematiky
Stránka 6
c)
2
3 3 152 75 152 31,52 2,25 1,575 152 3 1254 4 100 100 2
4 9 9 100 2 94 2:
125 4 125125 3
77 1 5 385 1. 16
4 2 3 24 24
d)
13
55
13
70
13
107
10
152
7
2
3
5
1
7
2
9
3
1
2
1
5
2
5
6
6
35
9
2:
3
15,0
5
2
5
6
3
7
2
5
2
6. Vypočtěte:
a)
1 41 :
3 9
54 3
2
b)
3 7
5 3 1 2 8 12:3 76 4 4 3
4 8
c)
22 5 9
0,6 :5 416
1 1 5:
3 6 3
d)
5 13 14 3:
6 15 5
3 12 : 2
4 12
Řešení:
a) 14
1
7
2
4
1
2
74
34
2
1584
31
2
154
4
9
3
11
32
54
9
4:
3
11
b) 33
5
1
8
24
5
11
12
12
1
8
7624
149
12
83:
12
910
8
7
4
312
7
8
3
3
2
4
1:
4
3
6
5
c) 63
30
5
3
30
33
2
10
6
5
1
5
3
6
122
3:
10
6
4
5
25
4
3
5:
6
1
3
1
4
9:6,0
16
5
5
22
d) 9
4
24
32
6
2
32
246
2729
32
122
2
9
6
29
12
133:2
10
153
6
29
12
1
4
11:2
15
313:3
6
29
12
1
4
32:2
5
1
15
13:3
6
54
Základní poznatky z matematiky
Stránka 7
7. Vypočtěte:
a)
23 3 3
0,5 :5 8 4
2 5 1
3 2 4
b)
3 7
5 3 1 2 4 86 : :3 76 4 4 3
8 12
c)
2
2
1 12 2 0,5 : 0,64
4 2
1 2 12 : 0,1 2
2 3 2
d)
2
2
2 1 30,5 :
5 2 8
2 1 2
3 4 5
Řešení:
a)
25
82
25
58
5
2
5
29
5
12
30
209
12
53
2
10
3
12
59
16
8
3
5
3
2
1
4
1
2
5
3
2
4
3:
8
3
5
35,0
2
b)
11
108
24
5
11
6
8
1:
24
5
11
6
8
124
5
11
12
12
16
24
1498
76
:12
83:
12
9106
12
7
8
38
7
4
3
:3
2
4
1:
4
3
6
56
c)
512
93
32
3
16
31
3
26616
31
3
262
16
31
43
152
2
12
16
536
453
2
2
12
16
5
4
9
4)10(2
1
3
2
2
12
8
10
4
1
4
9
410
1:
2
1
3
2
2
12
8,0:4
1
2
1
4
92
21,0:2
1
3
2
2
12
64,0:2
15,0
4
122
2
2
d)
2
132
2
65
2
75
15
13
75
215
103
75
23
2
5
1
25
4
6
13
8
4
1
2
1
5
2
5
2
4
1
3
2
8
3:
2
15,0
5
2
2
2
8. Vypočtěte:
a)
25 3 5 1 2
22 10 6 16 49
b)
33 3 5 1 2
: 34 4 6 4 36
Základní poznatky z matematiky
Stránka 8
Řešení:
a) 25 3 5 1 2 25 15 1 2 25 1 1
2 22 10 6 4 60 4 7 4 4 716 49
25 4 7 25 11 175 11 186 93 96
4 28 4 28 28 28 14 14
b) 33 3 5 1 2 27 5 1 2 27 5 1
: 3 : 3 :4 4 6 64 8 2 6 64 8 24 36
27 5 4 27 8 3:
64 8 64 9 8
9. Vypočtěte:
a)
1 1 11
2 3 4
1 1 11
2 3 4
b)
2 3 41 2 3
3 4 54 3 2
1 2 35 4 3
c)
7 5 5 7:
2 4 3 6
2 3 11
3 4 12
Řešení:
a) 23
81
23
31
23
24
24
31
24
11
24
71
12
1
2
11
12
7
2
11
4
1
3
1
2
11
4
1
3
1
2
11
b) 1163
163
60
22016510860
228165100
3
11
4
11
5
95
19
4
11
3
5
3
23
4
32
5
41
5
43
4
32
3
21
c) 96
12
3
6
4
9
12
11986
3:
4
9
12
11
4
3
3
2
6
7
3
5:
4
5
2
7
10. Zapište ve tvaru zlomku v základním tvaru:
a) 0,4
b) 14,25
c) 1,128
Základní poznatky z matematiky
Stránka 9
Řešení:
a) 4 2
0,410 5
b) 1425 25 1
14,25 14 14100 100 4
c) 1128 128 64 32 16
1,128 1 1 1 11000 1000 500 250 125
11. Převeďte periodické číslo na zlomek.
a) 1,5
b) 0,4
c) 1,12
d) 0,22
e) 1,15
f) 0,124
g) 1,3245
h) 5,4321
i) 2,125
j) 1,234
k) 1,12
l) 0,518
Řešení:
a) 1,5
15,5 10
14 9
14
9
a
a
a
a
b) 0,4
4,4 10
4 9
4
9
a
a
a
a
c) 1,12
11,22 10
10,1 9
101
90
a
a
a
a
d) 0,22
22,22 100
22 99
22 2
99 9
a
a
a
a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 10
e) 1,15
115,15 100
114 99
114 38
99 33
a
a
a
a
f) 0,124
0,124
12,424 100
12,3 99
123 41
990 330
a
a
a
a
g) 1,3245
132,4545 100
231,13 99
231,13 1457
99 1100
a
a
a
a
h) 5,4321
543,2121 100
537,78 99
537,78 17926 8963
99 3300 1650
a
a
a
a
i) 2,125
2125,125 1000
2123 999
2123
999
a
a
a
a
j) 1,234
1,234
1234,234 1000
1233 999
1233
999
a
a
a
a
k)
99
111
11199
12,112100
12,1
a
a
a
a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 11
l)
900
467
9
67,4
67,49
81,510
851,0
a
a
a
a
a
12. Porovnej racionální čísla7
4;
10
66;67,0;
3
2.
Řešení:
7
4;
10
66;
10
67;
3
2 … nejmenší společný jmenovatel je 210
2 140
3 210
67 1407
4 2 6610 2100,67
66 1386 7 3 10
10 210
4 120
7 210
Základní poznatky z matematiky
Stránka 12
1.2 Odmocniny
1. Částečně odmocněte:
a) 27
b) 32
c) 45
d) 48
e) 50
f) 72
g) 108
h) 128
i) 147
j) 180
k) 192
l) 240
Řešení:
a) 27 9 3 9 3 3 3
b) 32 16 2 16 2 4 2
c) 45 9 5 9 5 3 5
d) 48 16 3 16 3 4 3
e) 50 25 2 25 2 5 2
f) 72 36 2 36 2 6 2
g) 108 36 3 36 3 6 3
h) 128 64 2 64 2 8 2
i) 147 49 3 49 3 7 3
j) 180 36 5 36 5 6 5
k) 192 64 3 64 3 8 3
l) 240 16 15 16 15 4 15
2. Upravte:
a) 25
12 316
b) 36
8 7225
c) 49
3. 2716
d) 36
2. 5049
e) 64
5. 209
f) 16
2. 189
Řešení:
a) 25 25 5 6 4 5 24 5 29 1
12 3 36 6 716 4 4 4 4 416
b) 36 36 6 24 5 6 120 6 126 1
8 72 576 24 2525 5 5 5 5 525
c) 49 49 7 9 4 7 36 7 43 3
3. 27 81 9 1016 4 4 4 4 416
d) 36 36 6 10 7 6 70 6 64 1
2. 50 100 10 949 7 7 7 7 749
e) 64 64 8 10 3 8 30 8 38 2
5. 20 100 10 129 3 3 3 3 39
f) 16 16 4 6 3 4 18 4 14 2
2. 18 36 6 49 3 3 3 3 39
3. Upravte:
a) 64 121
9 25
b) 36 121
25 64
Řešení:
a) 64 121 8 11 8 5 11 3 40 33 73 13
49 25 3 5 15 15 15 15
Základní poznatky z matematiky
Stránka 13
b) 36 121 6 11 6 8 11 5 48 55 103 23
225 64 5 8 40 40 40 40
4. Upravte:
a) 3322322
b) 322322
c) 323232
d) 232323
e) 2 3 2 3 2 3
f) 232323
Řešení:
a) 2 2 3 2 2 3 3 4 4 6 6 2 6 3 9 8 4 6 9 4 6 1
b) 2 2 3 2 2 3 2 4 6 4 6 2 9 4 3 6 6 3 6 2
c) 2 3 2 3 2 3 6 6 2 9 3 4 6 6 6 6 6 6 5 6
d) 3 2 3 2 3 2 6 6 3 4 2 9 6 6 6 6 6 6 5 6
e) 2 3 2 3 2 3 6 6 2 9 3 4 6 6 6 6 6 6 7 6 12
f) 3 2 3 2 3 2 6 6 3 4 2 9 6 6 6 6 6 6 5 6
5. Vypočtěte:
a) 2
1 2
b) 2
1 2
c) 2
1 3
d) 2
1 3
e) 2
2 2
f) 2
2 2
g) 2
3 3
h) 2
3 3
i) 2
2 3
j) 2
2 3
k) 2
2 6
l) 2
2 6
m) 2
3 6
n) 2
3 6
Řešení:
a) 2 2
1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2
b) 2 2
1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2
c) 2 2
1 3 1 2 3 3 1 2 3 3 4 2 3
d) 2 2
1 3 1 2 3 3 1 2 3 3 4 2 3
e) 2 2
22 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 6 4 2
f) 2 2
22 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 6 4 2
g) 2 2
23 3 3 2 3 3 3 9 6 3 3 12 6 3
h) 2 2
23 3 3 2 3 3 3 9 6 3 3 12 6 3
i) 2 2 2
2 3 2 2 2 3 3 2 2 6 3 5 2 6
Základní poznatky z matematiky
Stránka 14
j) 2 2 2
2 3 2 2 2 3 3 2 2 6 3 5 2 6
2 2 2
k) 2 6 2 2 2 6 6 2 2 12 6 8 2 4 3 8 2 2 3
8 4 3
2 2 2
l) 2 6 2 2 2 6 6 2 2 12 6 8 2 4 3 8 2 2 3
8 4 3
2 2 2
m) 3 6 3 2 3 6 6 3 2 18 6 9 2 9 2 9 3 3 2
9 6 2
2 2 2
n) 3 6 3 2 3 6 6 3 2 18 6 9 2 9 2 9 2 3 2
9 6 2
6. Vypočtěte:
a)
21
12
b)
21
12
c)
2
11
3
d)
2
11
3
Řešení: 2 2
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 4 2a) 1 1 2 1 1
22 2 2 2 2 2 2 2
24 3 2 2 4 2 3 4 4 2 3 2
2 22 2 2 2 4
2 2 3
2
2 2 3
22
2 21 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 4 2
b) 1 1 2 1 122 2 2 2 2 2 2 2
23 2 4 2 3 4 4 2 3 2 4 2
2 22 2 2 2 4
3 2 2
2
3 2 2
22
2 2
1 1 1 2 1 1 3 3 2 3 1 3 3 3 6 3c) 1 1 2 1 1
33 3 3 3 3 3 3 3
36 4 3 3 6 3 4 9 6 3 4 3
3 33 3 3 3 9
2 3 4
3
2 3 4
33
2 2
1 1 1 2 1 1 3 3 2 3 1 3 3 3 6 3d) 1 1 2 1 1
33 3 3 3 3 3 3 3
34 3 6 3 4 9 6 3 4 3 6 3
3 33 3 3 3 9
4 2 3
3
4 2 3
33
Základní poznatky z matematiky
Stránka 15
7. Vypočtěte:
a)
21
22
b)
21
22
c)
2
13
3
d)
2
13
3
e)
2
16
3
f)
2
16
3
g)
2
13
6
h)
2
13
6
i)
21
62
j)
21
62
k)
2
12
6
l)
2
12
6
Řešení:
2
21a) 2 2 2 2
2
1
2
21 1 1
2 2 42 22
2
21b) 2 2 2 2
2
1
2
21 1 1
2 22 22
2
21c) 3 3 2 3
3
1
3
2
1 1 13 2 5
3 33
2
21d) 3 3 2 3
3
1
3
2
1 1 13 2 1
3 33
2 2
21 1 1 6 1 6e) 6 6 2 6 6 2 6 2
33 3 3 3
3
1
3
1 6 3 2 2 3 1 18 6 2 1 19 6 26 2 2
3 3 3 3
2 2
21 1 1 6 1 6f) 6 6 2 6 6 2 6 2
33 3 3 3
3
1
3
1 6 3 2 2 3 1 18 2 2 1 19 6 26 2 2
3 3 3 3
2 2
21 1 1 3 1 3g) 3 3 2 3 3 2 3 2
66 6 6 6
6
1
6
1 1 3 6 2 2 6 1 2 18 2 12 2 12 19 2 2 3 2
62 6 2 6 2 6 2 2
212 2 19 4 12 2 19 2
6 26 4
6 2 19
12
6 2 19
6
Základní poznatky z matematiky
Stránka 16
2 2
21 1 1 3 1 3h) 3 3 2 3 3 2 3 2
66 6 6 6
6
1
6
1 1 3 6 2 2 6 1 2 18 2 12 2 19 2 12 2 3 2
62 6 2 6 2 6 2 2
219 4 12 2 19 2 12 2
6 26 4
19 12 2
12
19 12 2
6
2 2
21 1 1 6 1 6i) 6 6 2 6 6 2 6 2
22 2 2 2
2
1
2
1 6 2 2 3 2 1 12 4 3 1 13 4 36 2 3
2 2 2 2
2 2
21 1 1 6 1 6j) 6 6 2 6 6 2 6 2
22 2 2 2
2
1
2
1 6 2 2 3 2 1 12 4 3 1 13 4 36 2 3
2 2 2 2
2 2
21 1 1 2 1 2k) 2 2 2 2 2 2 2 2
66 6 6 6
6
1
6
1 1 2 6 3 2 6 1 3 18 3 12 32 2
63 6 3 6 3
312 19 3 3 12 3 19 9 12 3 19 3
6 36 3 3 6 9
4 3 19
18
4 3 19
6
2 2
21 1 1 2 1 2l) 2 2 2 2 2 2 2 2
66 6 6 6
6
1
6
1 1 2 6 3 2 6 1 3 12 3 12 32 2
63 6 3 6 3
313 3 12 3 13 9 12 3 13 3 12 3
6 36 3 3 6 9
13 4 3
18
13 4 3
6
8. Usměrněte:
a) 54
23
b) 53
34
c) 53
32
d) 33
25
e) 23
35
f) 32
23
Základní poznatky z matematiky
Stránka 17
Řešení:
a) 3 2 3 2 5 3 10 3 10 3 10
4 5 204 5 4 5 5 4 25
b) 4 3 4 3 5 4 15 4 15 4 15
3 5 153 5 3 5 5 3 25
c) 2 3 2 3 5 2 15 2 15 2 15
3 5 153 5 3 5 5 3 25
d) 5 2 5 2 3 5 6 5 6 5 6
3 3 93 3 3 3 3 3 9
e) 5 3 5 3 2 5 6 5 6 5 6
3 2 63 2 3 2 2 3 4
f) 3 2 3 2 3 3 6 3
2 3 2 3 3 2 9
6
2 3
6
2
9. Usměrněte:
a) 2
2 2
b) 2
2 2
c) 6
3 3
d) 6
3 3
e) 1
2 3
f) 1
2 3
g) 15
5 3
h) 18
6 3
Řešení:
a)
2
2
22 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2
4 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
b)
2
2
22 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2
4 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
c)
2
2
66 6 3 3 18 6 3 18 6 3 18 6 3
9 3 63 3 3 3 3 3 3 3
3 3
6
3 3
d)
2
2
66 6 3 3 18 6 3 18 6 3 18 6 3
9 3 63 3 3 3 3 3 3 3
3 3
6
3 3
e)
2 2
1 1 2 3 2 3 2 3 2 33 2
2 3 12 3 2 3 2 3 2 3
f)
2 2
1 1 2 3 2 3 2 3 2 33 2
2 3 12 3 2 3 2 3 2 3
Základní poznatky z matematiky
Stránka 18
2 2
2 2
15 15 5 3 75 45 25 3 9 5 5 3 3 5g)
5 3 25 3 5 3 5 3 5 3
5 3 3 5
2
2 2
2 2
18 18 6 3 108 54 36 3 9 6 6 3 3 6h)
6 3 36 3 6 3 6 3 6 3
36 3 3 6
3
2 3 6
3
2 3 6
10. Usměrněte:
a) 322
35
b) 232
23
c) 232
34
d) 322
34
e) 323
25
f) 233
25
Řešení:
2 2
5 3 2 2 35 3 5 3 2 2 3 10 2 5 3 2 6 9a)
2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3
10 2 5 3 2 6 3 10 2 5 3 2 6 3
8 3 5
2 2
3 2 2 3 23 2 3 2 2 3 2 2 9 6 4 3 2 2b)
2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2
6 6 4 3 2 2 6 6 4 3 2 2
12 2 10
2 2
4 3 2 3 24 3 4 3 2 3 2 8 3 4 2 2 9 6c)
2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2
8 3 4 2 6 6 8 3 4 2 6 6
12 2 10
2 2
4 3 2 2 34 3 4 3 2 2 3 8 2 4 3 2 6 9d)
2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3
8 2 4 3 2 6 3 8 2 4 3 2 6 3
8 3 5
Základní poznatky z matematiky
Stránka 19
2 2
5 2 3 2 35 2 5 2 3 2 3 15 2 5 3 3 4 6e)
3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3
15 2 5 3 6 6 15 2 5 3 6 6
18 3 15
2 2
5 2 3 3 25 2 5 2 3 3 2 15 3 5 2 3 6 4f)
3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2
15 3 5 2 3 6 2 15 3 5 2 3 6 2
27 2 25
11. Usměrněte:
a) 23
2552
b) 23
2552
c) 23
2552
d) 2 5 5 2
3 2
Řešení:
2 2
2 5 5 2 2 5 5 2 3 2 2 15 2 10 5 6 5 4a)
3 2 3 2 3 2 3 2
2 15 2 10 5 6 5 2 2 15 2 10 5 6 10 2 15 2 10 5 6 10
3 2 1
2 2
2 5 5 2 2 5 5 2 3 2 2 15 2 10 5 6 5 4b)
3 2 3 2 3 2 3 2
2 15 2 10 5 6 5 2 2 15 2 10 5 6 10 2 15 2 10 5 6 10
3 2 1
2 2
2 5 5 2 2 5 5 2 3 2 2 15 2 10 5 6 5 4c)
3 2 3 2 3 2 3 2
2 15 2 10 5 6 5 2 2 15 2 10 5 6 10 2 15 2 10 5 6 10
3 2 1
2 2
2 5 5 2 2 5 5 2 3 2 2 15 2 10 5 6 5 4d)
3 2 3 2 3 2 3 2
2 15 2 10 5 6 5 2 2 15 2 10 5 6 10 2 15 2 10 5 6 10
3 2 1
12. Usměrněte:
a) 32
322
b) 2 3
22 3
c) 32
323
d) 23
232
e) 32
322
f) 23
233
Základní poznatky z matematiky
Stránka 20
g) 2
11 3
h) 2
11 2
Řešení:
22
2 2 3 2 32 3 4 2 3 2 3 6 3 6 3 2 3a) 2
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
6 3 2 3 12 6 3 2 3 9 12 4 3 3 9 4 3
4 3 12 3 2 3 2 3
9 4 3
22
2 2 3 2 32 3 4 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3b) 2
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 3 2 3 4 2 3 6 3 3 9 4 4 3 9 5 4 3
4 3 12 3 2 3 2 3
5 4 3
2 2
3 2 3 2 32 3 3 2 3 3 2 3 4 2 2 3c) 3
2 3 2 3 2 3 2 3
4 2 2 3 2 34 2 2 3 2 3 4 4 4 6 2 6 2 9
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
8 2 6 6 2 2 62 2 6
2 3 1
2 2
2 3 2 3 23 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2d) 2
3 2 3 2 3 2 3 2
3 3 2 3 23 3 2 3 2 3 9 3 6 6 4
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
9 2 6 2 7 2 67 2 6
3 2 1
2 2
2 2 3 2 32 3 2 2 2 3 2 3 3 2 3e) 2
2 3 2 3 2 3 2 3
3 2 3 2 33 2 3 2 3 3 4 3 6 6 9
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
6 2 6 3 3 2 63 2 6
2 3 1
Základní poznatky z matematiky
Stránka 21
2 2
3 3 2 3 23 2 3 3 3 2 3 2 4 3 2 2f) 3
3 2 3 2 3 2 3 2
4 3 2 2 3 24 3 2 2 3 2
3 2 3 2 3 2 3 2
4 9 4 6 2 6 2 4 12 2 6 4 8 2 68 2 6
3 2 13 2
2
2
2 2 1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3g) 1 1 1 1 1
1 3 21 3 1 3 1 3 1 3
21
1 3
2
1 1 3 1 1 3 3
22
2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2h) 1 1 1 1 1
1 2 11 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2
13. Upravte:
a)
36
23323223
b)
35
23323223
c)
35
53353553
d) 3 3 2 2 3 2 2 3
5 6
e) 2 2 3 3 3 2 2 3
5 6
Řešení:
3 2 2 3 2 3 3 2 6 6 9 4 4 9 6 6 6 6 9 2 4 3 6 6a)
6 3 6 3 6 3
6 6 18 12 6 6 6
6 3
6
1 3 3
33 3 3
3 2 2 3 2 3 3 2 6 6 9 4 4 9 6 6 6 6 9 2 4 3 6 6b)
5 3 5 3 5 3
6 6 18 12 6 6 6 6 3 6 3 6
5 35 3 5 3 5 3 3
3
15
2 3
5
Základní poznatky z matematiky
Stránka 22
3 5 5 3 5 3 3 5 15 15 9 25 25 9 15 15c)
5 3 5 3
15 15 9 5 25 3 15 15 15 15 45 75 15 15 30
5 3 5 3
5
6
3 3
6 3 6
3 3
3
32 3
3 3 2 2 3 2 2 3 9 6 6 9 6 4 4 6 13 6 6 3 6 2d)
5 6 5 6 5 6
13 6 18 12 13 6 30 6 13 36 30 6 13 6 30 6 78 30 6
5 6 305 6 5 6 6 5 36
6
13 5 6
30
13 5 6
5
2 2 3 3 3 2 2 3 6 4 4 6 9 6 6 9 5 6 6 2 6 3e)
5 6 5 6 5 6
5 6 12 18 5 6 6 6 5 36 6 6 5 6 6 6 30 6 6
5 6 305 6 5 6 6 5 36
6
5 6
30
5 6
5
14. Upravte:
a) 2 3 52 5
5 5 1
b) 2 3 55 2
5 5 1
c) 3 2 3
13 3 1 3 1
Základní poznatky z matematiky
Stránka 23
Řešení:
2 3 5 2 5 3 5 5 1a) 2 5 2 5
5 5 1 5 5 5 1 5 1
2 5 3 5 3 25 5 2 5 4 5 3 5 2 5 2 5
5 5 5 125 5 5 1
42 5 4 5 8 2 5 2 5 2 5
5 4 5
5 2
4
2 5 5 5 22 5 5 2 2 5 2 5
5 1 5
2 5 5 5 10 3 5 10 6 5 20 3 25 10 5 2 5 2 5
5 5 5
4 5 20 3 5 4 5 20 15 4 5 5
5 5 5
2 3 5 2 5 3 5 5 1b) 5 2 5 2
5 5 1 5 5 5 1 5 1
2 5 3 5 3 25 5 2 5 4 5 3 5 5 2 5 2
5 5 5 125 5 5 1
42 5 4 5 8 2 5 5 2 5 2
5 4 5
5 2
4
2 5 5 5 22 5 5 2 5 2 5 2
5 1 5
2 5 5 5 10 7 5 10 7 25 10 5 14 5 20 5 2 5 2
5 5 5
7 5 24 5 20 35 24 5 20 55 24 5
5 5 5
2 3 1 3 3 13 2 3 3 3c) 1
3 33 1 3 1 3 1 3 1
3 3 2 3 2 3 3 3 3 5 3 15 3 3 5 3 3 18 8 3
3 3 1 3 2 6 6
2
9 4 3
6
9 4 3
3
Základní poznatky z matematiky
Stránka 24
15. Upravte:
a) 3
2 2
b) 3
2 2
c) 3
3 3
d) 3
3 3
e) 3
2 3
f) 3
2 3
g) 3
2 6
h) 3
2 6
Řešení:
3 2 3
3 2
2
a) 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 8 3 4 2 6 2 8
8 12 2 12 4 2 20 12 2 2 2 20 12 2 2 2 20 14 2
3 2 3
3 2
2
b) 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 8 3 4 2 6 2 8
8 12 2 12 4 2 20 12 2 2 2 20 12 2 2 2 20 14 2
3 2 3
3 2
2
c) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 27 3 9 3 9 3 27
27 27 3 27 9 3 54 27 3 3 3 54 27 3 3 3 54 30 3
3 2 3
3 2
2
d) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 27 3 9 3 9 3 27
27 27 3 27 9 3 54 27 3 3 3 54 27 33 3 54 30 3
3 3 2 2 3
2 2
e) 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3
8 3 2 3 3 2 3 27 4 2 6 3 9 2 9 3
2 2 6 3 9 2 3 3 2 2 6 3 9 2 3 3 11 2 9 3
3 3 2 2 3
2 2
f) 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3
8 3 2 3 3 2 3 27 4 2 6 3 9 2 9 3
2 2 6 3 9 2 3 3 2 2 6 3 9 2 3 3 11 2 9 3
3 3 2 2 3
2 2
g) 2 6 2 3 2 6 3 2 6 6
8 3 2 6 3 2 6 216 4 2 6 6 18 2 36 6
2 2 6 6 18 2 6 6 2 2 6 6 18 2 6 6
20 2 12 6
3 3 2 2 3
2 2
h) 2 6 2 3 2 6 3 2 6 6
8 3 2 6 3 2 6 216 4 2 6 6 18 2 36 6
2 2 6 6 18 2 6 6 2 2 6 6 18 2 6 6
20 2 12 6
16. Upravte:
a)
31
12
b)
31
12
c)
3
11
3
d)
3
11
3
Základní poznatky z matematiky
Stránka 25
e)
31
22
f)
31
22
g)
3
13
3
h)
3
13
3
i)
31
62
j)
31
62
k)
3
16
3
l)
3
16
3
m)
3
12
6
n)
3
12
6
o)
3
13
6
p)
3
13
6
Řešení: 3 2 3
3 2
3
1 1 1 1 3 3 1a) 1 1 3 1 3 1 1
22 2 2 2 2 2
3 3 1 3 3 1 1 2 2 3 2 3 2 11 1
2 22 4 2 2 2 2 2 2
2 2 6 3 2 1 7 5 2 2 7 2 5 4 7 2 5 2 7 2 10
2 2 42 2 2 2 2 2 4
3 2 3
3 2
3
1 1 1 1 3 3 1b) 1 1 3 1 3 1 1
22 2 2 2 2 2
3 3 1 3 3 1 1 2 2 3 2 3 2 11 1
2 22 4 2 2 2 2 2 2
2 2 6 3 2 1 5 2 7 2 5 4 7 2 5 2 7 2 10 7 2
2 2 42 2 2 2 2 2 4
3 2 3
3 21 1 1 1 3 3c) 1 1 3 1 3 1 1
3 3 3 3 3
3 3
1
3
3 1 3 1 2 3 3 3 3 1 6 3 9 11 1 2
3 9 3 3 3 3 3 3 3 3
10 6 3 3 10 3 6 9 10 3 6 3 10 3 18
3 3 93 3 3 3 9
3 2 3
3 21 1 1 1 3 3d) 1 1 3 1 3 1 1
3 3 3 3 3
3 3
1
3
3 1 3 1 2 3 3 3 3 1 6 3 9 11 1 2
3 9 3 3 3 3 3 3 3 3
6 3 10 3 6 9 10 3 6 3 10 3 18 10 3
3 3 93 3 3 3 9
Základní poznatky z matematiky
Stránka 26
3 2 3
3 2
3
3
1 1 1 1e) 2 2 3 2 3 2
2 2 2 2
3 2 3 2 1 6 3 2 12 4 2
2 22 2 4 22
6 3 2 1 2 2 2 2 6 2 3 2 2 12 2
22 2 2 2 2
4 4 12 3 4 1 4 2 12 3 2 1 8 12 6 1
2 2 2 2 2 2
27 2 27 2 27 2 27 2
2 2 42 2 2 2 4
3 2 3
3 2
3
3
1 1 1 1f) 2 2 3 2 3 2
2 2 2 2
3 2 3 2 1 6 3 2 1 6 3 2 1 2 4 2 2 2
2 2 22 2 4 2 2 2 22
2 2 2 2 6 2 3 2 2 1 4 4 12 3 4 1 4 2 12 3 2 1
2 2 2 2 2 2
8 12 6 1 1 2 2 2 2
2 2 42 2 2 2 2 2 4
3 2 3
3 2
3
3
1 1 1 1g) 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 3 3 1 9 3 3 1 9 3 3 1 3 9 3 3 3
3 3 33 3 9 3 3 3 33
3 3 3 3 9 3 3 3 3 1 9 9 27 3 9 1 9 3 27 3 3 1
3 3 3 3 3 3
27 27 9 1 64 3 64 3 64 3 64 3
3 3 93 3 3 3 3 3 9
3 2 3
3 2
3
3
1 1 1 1h) 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 3 3 1 9 3 3 1 9 3 3 1 3 9 3 3 3
3 3 33 3 9 3 3 3 33
3 3 3 3 9 3 3 3 3 1 9 9 27 3 9 1 9 3 27 3 3 1
3 3 3 3 3 3
27 27 9 1 8 3 8 3 8 3 8 3
3 3 93 3 3 3 3 3 9
Základní poznatky z matematiky
Stránka 27
3 2 3
3 2
3
3
1 1 1 1i) 6 6 3 6 3 6
2 2 2 2
3 6 3 6 1 18 3 6 1 18 3 6 1 6 36 6 6 6
2 2 22 2 4 2 2 2 22
6 6 2 2 18 2 3 6 2 1 12 12 36 3 12 1 15 12 37 2
2 2 2 2 2 2 2
15 24 37 2 15 4 6 37 2 15 2 6 37 2 3
2 2 42 4
0 6 37 2
4
3 2 3
3 2
3
3
1 1 1 1j) 6 6 3 6 3 6
2 2 2 2
3 6 3 6 1 18 3 6 1 18 3 6 1 6 36 6 6 6
2 2 22 2 4 2 2 2 22
6 6 2 2 18 2 3 6 2 1 12 12 36 3 12 1 15 12 37 2
2 2 2 2 2 2 2
15 24 37 2 15 4 6 37 2 15 2 6 37 2 3
2 2 42 4
0 6 37 2
4
3 2 3
3 2
3
3
1 1 1 1k) 6 6 3 6 3 6
3 3 3 3
3 6 3 6 1 18 3 6 1 18 3 6 1 6 36 6 6 6
3 3 33 3 9 3 3 3 33
6 6 3 3 18 3 3 6 3 1 18 18 54 3 18 1 21 18 55 3
3 3 3 3 3 3 3
21 54 55 3 21 9 6 55 3 21 3 6 55 3 6
3 3 93 9
3 6 55 3
9
3 2 3
3 2
3
3
1 1 1 1l) 6 6 3 6 3 6
3 3 3 3
3 6 3 6 1 18 3 6 1 18 3 6 1 6 36 6 6 6
3 3 33 3 9 3 3 3 33
6 6 3 3 18 3 3 6 3 1 18 18 54 3 18 1 21 18 55 3
3 3 3 3 3 3 3
21 54 55 3 21 9 6 55 3 21 3 6 55 3 6
3 3 93 9
3 6 55 3
9
Základní poznatky z matematiky
Stránka 28
3 2 3
3 2
3
1 1 1 1m) 2 2 3 2 3 2
6 6 6 6
3 2 3 2
6
2
6 3
1 6 2 1 6 2 14 2 2 2
2 26 36 6 6 6 66
6 2 1 2 2 6 6 6 6 2 3 6 1 12 12 36 3 12 1 2 2
26 6 6 6 6 6 6
37 15 12 6 37 6 15 72 37 6 15 36 2 37 6 15 6 2
6 6 366 6 6 6 36
37 6 90 2
36
3 2 3
3 2
3
1 1 1 1n) 2 2 3 2 3 2
6 6 6 6
3 2 3 2
6
2
6 3
1 6 2 1 6 2 14 2 2 2
2 26 36 6 6 6 66
6 2 1 2 2 6 6 6 6 2 3 6 1 12 12 36 3 12 1 2 2
26 6 6 6 6 6 6
15 12 37 6 15 72 37 6 15 36 2 37 6 15 6 2 37 6
6 6 366 6 6 6 36
90 2 37 6
36
3 2 3
3 2
3
1 1 1 1o) 3 3 3 3 3 3
6 6 6 6
3 3 3 3
6
3
6 3
1 9 3 1 9 3 19 3 3 3
2 26 36 6 6 6 66
9 3 1 3 3 6 6 9 6 3 3 6 1 18 18 54 3 18 1 3 3
26 6 6 6 6 6 6
55 21 18 6 55 6 21 108 55 6 21 36 3 55 6 21 6 3
6 6 366 6 6 6 36
55 6 126 3
36
Základní poznatky z matematiky
Stránka 29
3 2 3
3 2
3
1 1 1 1p) 3 3 3 3 3 3
6 6 6 6
3 3 3 3
6
3
6 3
1 9 3 1 9 3 19 3 3 3
2 26 36 6 6 6 66
9 3 1 3 3 6 6 9 6 3 3 6 1 18 18 54 3 18 1 3 3
26 6 6 6 6 6 6
21 18 55 6 21 108 55 6 21 36 3 55 6 21 6 3 55 6
6 6 366 6 6 6 36
126 3 55 6
36
17. Upravte:
a) 3327
12564
b) 33125
6427
Řešení:
a) 3327 3 3
125 5 564 4 4
b) 33125 5 5 4 3 5 12 17 2
64 4 527 3 3 3 3 3
18. Upravte:
a) 3
3 32 3
b) 3
3 32 3
c) 3
3 32 6
d) 3
3 32 6
e) 3
3 33 6
f) 3
3 33 6
Řešení:
3 3 2 2 3
3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3
3 3
a) 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 4 3 3 2 9 3
5 3 12 3 18
3 3 2 2 3
3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3
3 3
b) 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 4 3 3 2 9 3
1 3 12 3 18
3 3 2 2 3
3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3
3 33 33 3 3 3
3 3 3 3
c) 2 6 2 3 2 6 3 2 6 6 2 3 4 6 3 2 36 6
8 3 24 3 72 8 3 8 3 3 8 9 8 3 2 3 3 2 9
8 3 2 3 3 2 9 8 6 3 6 9
3 3 2 2 3
3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3
3 33 33 3 3 3
3 3 3 3
d) 2 6 2 3 2 6 3 2 6 6 2 3 4 6 3 2 36 6
4 3 24 3 72 4 3 8 3 3 8 9 4 3 2 3 3 2 9
4 3 2 3 3 2 9 4 6 3 6 9
Základní poznatky z matematiky
Stránka 30
3 3 2 2 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 33 33 3 3 3
3 3 3 3
e) 3 6 3 3 3 6 3 3 6 6 3 3 9 6 3 3 36 6
9 3 54 3 108 9 3 27 2 3 27 4 9 3 3 2 3 3 4
9 3 3 2 3 3 4 9 9 2 9 4
3 3 2 2 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 33 33 3 3 3
3 3 3 3
f) 3 6 3 3 3 6 3 3 6 6 3 3 9 6 3 3 36 6
3 3 54 3 108 3 3 27 2 3 27 4 3 3 3 2 3 3 4
3 3 3 2 3 3 4 3 9 2 9 4
19. Upravte:
a)
3
3
3
12
2
b)
3
3
3
12
2
c)
3
3
3
13
3
d)
3
3
3
13
3
e)
3
3
3
16
2
f)
3
3
3
16
2
g)
3
3
3
16
3
h)
3
3
3
16
3
i)
3
3
3
12
6
j)
3
3
3
12
6
k)
3
3
3
13
6
l)
3
3
3
13
6
Řešení:
3 2 33 2
3 3 3 3
3 3 3 3
23
1 1 1 1a) 2 2 3 2 3 2
2 2 2 2
3 2 2
3 2
3 23
2
3 2
3 3 3 33
3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 3 3 33
1 3 1 2 2 2 3 2 2 2 3 2 1 22 3 2
2 22 2 2
4 2 6 4 6 2 6 5 2 6 4 4 6 4 5 8 6 16
2 2 2 2 4 2 8
26 4 5 2 6 8 2 6 4 10 6 2 2 10 12 2 6 4
2 2 4 4
3 35 6 2 3 4
4
3 35 6 2 3 4
2
Základní poznatky z matematiky
Stránka 31
3 2 33 2
3 3 3 3
3 3 3 3
23
1 1 1 1b) 2 2 3 2 3 2
2 2 2 2
3 2 2
3 2
3 23
2
3 2
3 3 3 33
3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 3 3 33
1 3 1 2 2 2 3 2 2 2 3 2 1 2 22 3 2
2 22 2 2
4 2 6 4 6 2 6 3 2 6 4 4 6 4 3 8 6 16
2 2 2 2 4 2 8
26 4 3 2 6 8 2 6 4 6 6 2 2 6 12 2 6 4
2 2 4 4
3 33 6 2 3 4
4
3 33 6 2 3 4
2
3 2 33 2
3 3 3 3
3 3 3 3
23
1 1 1 1c) 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 3
3 3
3 33
2
3 3
3 3 3 33
3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 33 3 3
3 33 3 3
9 3 9 9 9 3 9 10 3 9 9 9 9 9 10 27 9 81
3 3 3 3 9 3 27
9 9 10 3 9 27 3 9 9 30 9 3 3 30 27 3 9 3
3 3 9 9
3
3 310 9 3 3 9
9
3 310 9 3 3 9
3
3 2 33 2
3 3 3 3
3 3 3 3
23
1 1 1 1d) 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 3
3 3
3 33
2
3 3
3 3 3 33
3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 33 3 3
3 33 3 3
9 3 9 9 9 3 9 8 3 9 9 9 9 9 8 27 9 81
3 3 3 3 9 3 27
9 9 8 3 9 27 3 9 9 24 9 3 3 24 27 3 9 9
3 3 9 9
3
3 38 9 3 3 9
9
3 38 9 3 3 9
3
Základní poznatky z matematiky
Stránka 32
3 2 3 3 33 2
3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 3 36 6 1e) 6 6 3 6 3 6 6 3
22 2 2 2 2 4
36 6 3
2
3 3 33 3 3 33
33 3 3
3 3 3 33 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3 3 33 3 3 3 3
3 3 3
33
3 6 1 3 6 1 6 2 4 3 18 2 4 3 6 2 1 46 3 18
2 24 4 2 4
12 4 6 72 6 6 4 13 4 6 8 9 6 6 13 4 6 2 9 6 6
2 4 2 4 2 4
13 4 12 9 6 6 2 13 8 12 18 6 12 13 2 12 18 6 12
2 22 4 2 2 8
26 12 18 6 12
2
4
3313 6 18 3 12
4
3313 6 18 3 12
2
3 2 3 3 33 2
3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 3 36 6 1f) 6 6 3 6 3 6 6 3
22 2 2 2 2 4
36 6 3
2
3 3 33 3 3 33
33 3 3
3 3 3 33 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3 3 33 3 3 3 3
3 3 3
33
3 6 1 3 6 1 6 2 4 3 18 2 4 3 6 2 1 46 3 18
2 24 4 2 4
12 4 6 72 6 6 4 11 4 6 8 9 6 6 11 4 6 2 9 6 6
2 4 2 4 2 4
11 4 12 9 6 6 2 11 8 12 18 6 12 11 2 12 18 6 12
2 22 4 2 2 8
22 12 18 6 12
2
4
3311 6 18 3 12
4
3311 6 18 3 12
2
3 2 3 3 33 2
3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 3 36 6 1g) 6 6 3 6 3 6 6 3
33 3 3 3 3 9
36 6 3
3
33 3 3 3 3 33
33 3 3
33 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3 33 3 3 3 3 3
3 3 3
3
3 6 1 3 6 1 6 3 9 3 12 3 9 3 6 3 1 96 3 12
3 39 9 3 9
18 9 9 108 9 6 9 19 9 9 27 4 9 6 19 9 9 3 4 9 6
3 9 3 9 3 9
19 9 27 4 9 6 3 19 27 27 12 9 18 19 3 27 12 9 18
3 33 9 3 3 27
57 27 12
3 39 18
9
3 319 9 12 3 18
9
3 319 9 12 3 18
3
Základní poznatky z matematiky
Stránka 33
3 2 3 3 33 2
3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 3 36 6 1h) 6 6 3 6 3 6 6 3
33 3 3 3 3 9
36 6 3
3
33 3 3 3 3 33
33 3 3
33 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3 33 3 3 3 3 3
3 3 3
3
3 6 1 3 6 1 6 3 9 3 12 3 9 3 6 3 1 96 3 12
3 39 9 3 9
18 9 9 108 9 6 9 17 9 9 27 4 9 6 17 9 9 3 4 9 6
3 9 3 9 3 9
17 9 27 4 9 6 3 17 27 27 12 9 18 17 3 27 12 9 18
3 33 9 3 3 27
51 27 12
3 39 18
9
3 317 9 12 3 18
9
3 317 9 12 3 18
3
3 2 3 3 33 2
3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 3 4 2 1i) 2 2 3 2 3 2 2 3
66 6 6 6 6 36
4 2 3
6
32
336
3 3
3 333 3 3
3 3 33 3 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3 3 32 2 3 233
3 3 32 3
3 3
1 2 1 1 2 1 12 3 3 2 3 3
6 3 18 6 63 3 6
2 6 3 6 3 2 6 6 3 1 6 1 3 6 12 18 18 12 18 18
6 3 6 6 18
18 13 18 18 12 18 18 18 13 18 18 12 18
6 18 18 6 18
1818 324 13 18 18 3888
6 18
3 3324 13 3888
6 18
3 3
3 33 3 33 3 3
324 13 3888
6
27 12 13 216 18 3 12 13 6 18 3 12 13 6 18
6 6 6
3 2 3 3 33 2
3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 3 4 2 1j) 2 2 3 2 3 2 2 3
66 6 6 6 6 36
4 2 3
6
32
336
3 3
3 333 3 3
3 3 33 3 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3 3 32 2 3 233
3 3 32 3
3 3
1 2 1 1 2 1 12 3 3 2 3 3
6 3 18 6 63 3 6
2 6 3 6 3 2 6 6 3 1 6 1 3 6 12 18 18 12 18 18
6 3 6 6 18
18 11 18 18 12 18 18 18 11 18 18 12 18
6 18 18 6 18
1818 324 11 18 18 3888
6 18
3 3324 11 3888
6 18
3 3
3 33 3 33 3 3
324 11 3888
6
27 12 11 216 18 3 12 11 6 18 3 12 11 6 18
6 6 6
Základní poznatky z matematiky
Stránka 34
3 2 3 3 33 2
3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 3 9 3 1k) 3 3 3 3 3 3 3 3
66 6 6 6 6 36
9 3 3
6
33
336
33
3 333 3 3
3 3 3 33 3 3 3 3
3 33
3 3 3 32 2 3 23 3
3 3 32 3
3 3
1 3 1 1 3 1 13 3 3 3 3 3
6 2 12 6 62 2 6
3 6 2 6 3 3 6 6 3 1 6 1 2 6 18 12 18 18 18 12
6 2 6 6 12
18 19 12 18 18 12 18 12 19 12 18 18 12
6 12 12 6 12
618 144 19 12 18 2592
6 12
3 33 144 19 2 3 2592
6
3 3
3 33 3 33 3 3
3 144 38 3 2592
1212
8 18 38 216 12 2 18 38 6 12 2 18 38 6 12
12 12 12
2
33 18 19 3 12
12
33 18 19 3 12
6
3 2 3 3 33 2
3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 3 9 3 1l) 3 3 3 3 3 3 3 3
66 6 6 6 6 36
9 3 3
6
33
336
33
3 333 3 3
3 3 3 33 3 3 3 3
3 33
3 3 3 32 2 3 23 3
3 3 32 3
3 3
1 3 1 1 3 1 13 3 3 3 3 3
6 2 12 6 62 2 6
3 6 2 6 3 3 6 6 3 1 6 1 2 6 18 12 18 18 18 12
6 2 6 6 12
18 17 12 18 18 12 18 12 17 12 18 18 12
6 12 12 6 12
618 144 17 12 18 2592
6 12
3 33 144 17 2 3 2592
6
3 3
3 33 3 33 3 3
3 144 34 3 2592
1212
8 18 34 216 12 2 18 34 6 12 2 18 34 6 12
12 12 12
2
33 18 17 3 12
12
33 18 17 3 12
6
20. Upravte:
a) 2 2 1 2
1 12 2 1 2
b) 2 2 1 2
1 12 2 1 2
c) 2 2 1 2
1 12 2 1 2
d) 2 2 1 2
1 12 2 1 2
e) 2 2 1 2
1 12 2 1 2
f) 2 2 1 2
1 12 2 1 2
Základní poznatky z matematiky
Stránka 35
g) 2 2 1 2
1 12 2 1 2
h) 2 2 1 2
1 12 2 1 2
i) 2 2 1 2
1 12 2 1 2
j) 2 2 1 2
1 12 2 1 2
k) 2 2 1 2
1 12 2 1 2
l) 2 2 1 2
1 12 2 1 2
m) 2 2 1 2
1 12 2 1 2
n) 2 2 1 2
1 12 2 1 2
o) 2 2 1 2
1 12 2 1 2
p) 2 2 1 2
1 12 2 1 2
Řešení:
1 2 1 22 2 1 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2a) 1 1
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
4 2 2 8 2 8 2 8 2 4 3 2 32 2 24 4
2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 4 3 2 4 3 2 16 9 4
232 2 24 2 32 2 48 32 2 48
16 9 2 16 18 2
16 2 24
2
24 16 2
1 2 1 22 2 1 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2b) 1 1
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
4 2 2 8 2 8 2 8 2 4 2 32 2 8 4
2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 4 2 16 4
232 2 8 2 32 2 16
16 2 14
16 2 8
14
16 2 8
7
1 2 1 22 2 1 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2c) 1 1
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
4 2 2 8 2 8 2 8 2
2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2
28
1 2 1 22 2 1 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2d) 1 1
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
4 2 2 8 2 8 2 8 2 4 3 2 32 2 24 4
2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 4 3 2 4 3 2 16 9 4
232 2 24 2 32 2 48 32 2 48
16 9 2 16 18 2
16 2 24
2
24 16 2
Základní poznatky z matematiky
Stránka 36
2 2 2 2 1 2 1 22 2 1 2e) 1 1
2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 4 4 2
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2
28 4 3 2 32 24 2 32 24 2 32 24 2 32 24 2
16 9 2 16 18 24 3 2 4 3 2 16 9 4
16 12 2
2
12 2 16
2 2 2 2 1 2 1 22 2 1 2f) 1 1
2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 4
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4
4 2 8 2 8
2 2 2 2 2
2
24 2
2 2 2 2 1 2 1 22 2 1 2g) 1 1
2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 4
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4
4 2 8 2 8
2 2 2 2 2
2
24 2
2 2 2 2 1 2 1 22 2 1 2h) 1 1
2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 4 4 2
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2
28 4 3 2 32 24 2 32 24 2 32 24 2 32 24 2
16 9 2 16 18 24 3 2 4 3 2 16 9 4
16 12 2
2
12 2 16
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 2i) 1 1
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
8 8 8 4 3 2 32 24 2 32 24 2
16 9 22 2 2 2 4 2 3 2 2 4 3 2 4 3 2 16 9 4
232 24 2 32 24 2
16 18 2
16 12 2
2
12 2 16
Základní poznatky z matematiky
Stránka 37
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 2j) 1 1
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
8 8 8 2 8 2 8
2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4
2
24 2
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 2k) 1 1
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
8 8 8 2 8 2 8
2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4
2
24 2
2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 2l) 1 1
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
8 8 8 4 3 2 32 24 2 32 24 2
16 9 22 2 2 2 4 2 3 2 2 4 3 2 4 3 2 16 9 4
232 24 2 32 24 2
16 18 2
16 12 2
2
12 2 16
2 2 2 22 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2m) 1 1
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 3 2 16 2 12 4
2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 4 3 2 4 3 2 16 9 4
216 2 12 2 16 2 24 16 2 24
16 9 2 16 18 2
8 2 12
2
12 8 2
2 2 2 22 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2n) 1 1
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 4 2 4 2 4 2
2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2
24
2 2 2 22 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2o) 1 1
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 4 2 4 2 4 2
2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2
2
4
2 2 2 22 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2p) 1 1
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 3 2 16 2 12 4
2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 4 3 2 4 3 2 16 9 4
216 2 12 2 16 2 24 16 2 24
16 9 2 16 18 2
8 2 12
2
12 8 2
Základní poznatky z matematiky
Stránka 38
21. Upravte:
a) 1 2 3 4
2 2 2 2
b) 1 2 3 4
3 3 3 3
c) 1 2 3 4
2 3 2 3
d) 1 2 3 4
3 2 3 2
e) 1 2 3 4
2 2 2 2
f) 1 2 3 4
3 3 3 3
g) 1 2 3 4
2 2 2 2
h) 1 2 3 4
3 3 3 3
i) 1 1 1 1
2 3 6 8
j) 2 2 2 2
2 3 6 8
k) 3 3 3 3
2 3 6 8
l)
1 2 3 41 1 1 1
2 2 2 2
m)
1 2 3 41 1 1 1
2 2 2 2
n)
1 2 3 4
1 1 1 1
3 3 3 3
o)
1 2 3 4
1 1 1 1
3 3 3 3
p)
1 2 3 41 1 1 1
2 2 2 2
q)
1 2 3 4
1 1 1 1
3 3 3 3
Řešení:
1 2 3 4
2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1a) 2 2 2 2
2 42 2 2 22 2 2
1 4 1 2 2 1 2 1 2 4 2 2 2 2 6 3 2 2 6 2 3 4
4 2 4 2 4 2 2 4 4
26 2 3 2 6 2 6
4 2 8
3 2 3
8
3 2 3
4
1 2 3 4
2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1b) 3 3 3 3
3 93 3 3 33 3 3
1 9 1 3 3 1 3 1 3 9 3 3 3 3 12 4 3 3 12 3 4 9
9 3 9 3 9 3 3 9 9
312 3 4 3 12 3 12
9 3 27
4 3 4
27
4 3 4
9
1 2 3 4
2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1c) 2 3 2 3
3 92 2 2 23 2 3
1 18 1 6 2 1 9 1 2 2 18 6 2 9 2 2 27 8 2 2 27 2 8 4
18 2 18 2 18 2 2 18 4
27 2 8 2 27 2 16
18 2 36
Základní poznatky z matematiky
Stránka 39
1 2 3 4
2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1d) 3 2 3 2
2 43 3 3 32 3 2
1 12 1 6 3 1 4 1 3 3 12 6 3 4 3 3 16 9 3 3 16 3 9 9
12 3 12 3 12 3 3 12 9
16 3 9 3 16 3 27
12 3 36
1 2 3 4 3
2 4
1 1 1 1e) 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 42 2
2 4 1 2 2 2 4 1 4 2 2 8 2 1 12 2 3
4 4 4
1 2 3 4 3
2 4
1 1 1 1f) 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 93 3
3 9 1 3 3 3 9 1 9 3 3 27 3 1 36 3 4
9 9 9
1 2 3 4 2 4
3
1 1 1 1g) 2 2 2 2 2 2 2 4
2 2 2 22
1 2 2 2 2 1 4 2 2 2 4 2 1 8 2 3 12 2 2 3 2 12 4
2 2 2 2 2 2 2 2 4
3 2 12 2 3 2 24
2 2 4
1 2 3 4 2 4
3
1 1 1 1h) 3 3 3 3 3 3 3 9
3 3 3 33
1 3 3 3 3 1 9 3 3 3 9 3 1 27 3 4 36 3 3 4 3 36 9
3 3 3 3 3 3 3 3 9
4 3 36 3 4 3 108
3 3 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
i) 2 3 6 82 3 6 8 2 3 2 3 2 2
1 2 3 1 2 2 1 2 1 3 2 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 6
2 6 2 6 2 6 6
3 18 2 12 2 6 3 9 2 2 4 3 2 6 3 3 2 2 2 3 2 6 9 2 4 3 2 6
2 6 12 122 36
2 2 2 2 1 1 1 1 1 12 1 8 1 4 1 3
j) 2 3 6 82 3 6 8 24
12 8 4 3 27
24
24
9
8
Základní poznatky z matematiky
Stránka 40
3 3 3 3
3 3 3 3
1 1 1 1k) 2 3 6 8
2 3 6 8
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 3 6 6 8 8 2 2 3 3 6 2 3 8 2 2
1 1 1 1 1 24 3 1 16 2 1 8 3 3
2 2 3 3 6 2 3 16 2 48 6
24 3 16 2 8 3 3 27 3 16 2 8 6 27 18 16 12 8 6
48 6 48 6 6 48 36
27 9 2 16 4 3 8 6 27
48 6
3 2 16 2 3 8 6 81 2 32 3 8 6
288 288
1 2 3 4 3
2 4
1 1 1 1 1 1 1 1l)
2 2 2 2 2 21 1
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 4 2 4
1 12 2 2 2 2 2 2 2 2
2 4
2 2 2 2 1 4 2 2 2 4 2 1 8 2 3 12 2 2
2 2 2 2 2 2 2
3 2 12 4 3 2 12 2 24 3 2
2 22 4
4
1 2 3 4
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1m)
1 1 12 4 2 42 2 2 2 1
2 2 2 22
1 1 1 1 2 4 1 2 2 2 4 1 1 2 1 2 2 2 2 2
2 4 2 4 4
4 2 2 8 2 1 3 12 2
4 4
1 2 3 4 3
2 4
1 1 1 1 1 1 1 1n)
3 3 3 3 3 31 1
3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 9 3 9
1 13 3 3 3 3 3 3 3 3
3 9
3 3 3 3 1 9 3 3 3 9 3 1 27 3 4 36 3 3
3 3 3 3 3 3 3
4 3 36 9 4 3 36 3 108
3 33 9
4 3
9
Základní poznatky z matematiky
Stránka 41
1 2 3 4
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1o)
1 1 13 9 3 93 3 3 3 13 3 3 33
1 1 1 1 3 9 1 3 3 3 9 1 1 3 1 3 3 3 3 3
3 9 3 9 9
9 3 3 27 3 1 4 36 3
9 9
1 2 3 4
2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1p)
12 2 2 2 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 4 2 2 2 2 4 6 3 2
1 1 1 1
2 42 2 2
1 2 3 4
2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1q)
13 3 3 3 1 1 13 3 3 3
1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 3 1 9 3 3 3 3 9 12 4 3
1 1 1 1
3 93 3 3
22. Upravte:
a) 2 2
22 1 2 1
b) 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2
c) 1 2 1 2
2 1 2
d) 2 2 2
2 3 2 3 3 2
e) 1
13 2
f) 3 2 3 2
3 2 3 2 2 3
g) 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2
h) 4 2 3 2 2 3 6 3 2 3
i) 5 3 3 3 2 15
j) 2 3 3 3 6
Základní poznatky z matematiky
Stránka 42
Řešení:
a)
2 2 1 2 2 12 22 2 2 2 2 2 2
2 12 1 2 1
2 2 2 2 2 2
b)
2 2 3 2 2 3 2 3 3 2
2 3 2 2 6 3 2 4 3 2 6 1 3 3 2 6
c)
1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 21 2 1 2
2 1 2 2 22 1 2
5 2 2 25 2 2 2 5 2 10 2 2 2 3 2 8
2 4 2 22 2 2 2
d)
2 2 2
2 3 2 3 3 2 2 2 6 3 2 2 6 3 3 2 6 2
10 2 2 6 3 5 2 6
e)
3 2 3 2 3 21 1 3 2
1 3 2 3 23 23 2 3 2 3 2
3 2 1
f)
3 2 3 2 3 3 23 2 3 2 2
3 23 2 3 2 2 3 2 3
3 2 6 2 3 6 2 2 33 6 2 2 6 4 6 4
3 2
g) 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2 6 2
h) 4 2 3 2 2 3 6 3 2 3 4 2 4 3 2 2 2 3 18 2 6 3 16 2
i) 5 3 3 3 2 15 3 15 2 75 9 2 45 3 15 2 75 9 6 5
j) 2 3 3 3 6 3 6 12 9 18 3 6 2 3 9 3 2
23. Vyjádři pomocí jedné odmocniny:
a) 3 5 :5 3
b) 32 3 c)
2 15
3 5
d) 33 2
Řešení:
a) 45 9 3
3 5 :5 375 15 5
b) 332 3 24
c) 2 15 60 12 4
45 9 33 5
Základní poznatky z matematiky
Stránka 43
d) 3 33 2 54
24. Částečně odmocni:
a) 2 18 5 50 2 32
b) 3 3 3128 2 16 1024
c) 8 50 4 32 2 162
d) 33 332 2 4 8 500
Řešení:
a) 2 18 5 50 2 32 2 9 2 5 25 2 2 16 2 2 3 2 5 5 2 2 4 2
6 2 25 2 8 2 23 2
b) 3 3 33 3 3 3 3 3128 2 16 1024 64 2 2 8 2 512 2 4 2 4 2 8 2 0 c) 8 50 4 32 2 162 8 25 2 4 16 2 2 81 2 8 5 2 4 4 2 2 9 2
40 2 16 2 18 2 38 2
d) 3 3 3 3 3 33 3 3 332 2 4 8 500 8 4 2 4 8 125 4 2 4 2 4 8 5 4 36 4
25. Usměrni zlomek:
a) 3
3
2
5
b) 3
3
5
2
c) 3 3 1
3 1
d) 3 2 1
2 2 1
Řešení:
a) 3 3 3
3 3
2 25 50
55 25
b) 33 3
3 3
5 4 20
22 4
c) 3 3 1 3 1 9 4 3 1 10 4 3
5 2 33 1 23 1 3 1
d) 3 2 1 2 2 1 12 5 2 1 13 5 2
8 1 72 2 1 2 2 1
26. Vypočítej:
a) 2
3 2 2 3
b) 2
2 5 3 2
c) 2 3 3
3 3 3 3
d) 5 2 2
2 2 2 2
Základní poznatky z matematiky
Stránka 44
Řešení:
a) 2
3 2 2 3 18 2 6 6 12 30 12 6
b) 2
2 5 3 2 4 5 2 6 10 9 2 38 12 10
c) 2 3 3 3 3 3 32 3 3 6 3 6 3 3 3 3 3 9 3 3
9 3 6 6 23 3 3 3
d) 5 2 2 2 2 2 25 2 2 10 2 10 2 2 2 8 2 12
6 4 24 2 2 22 2 2 2
Základní poznatky z matematiky
Stránka 45
1.3 Mocniny
1.3.1 Mocniny se základem 10
1. Převeďte daná čísla na tvar n 10 , kde 1 10, n Na a .
a) 720 000 000
b) 42 000 20
Řešení:
a) 8720 000 000 7,2 10
b) 542 000 20 8,4 10
2. Vypočtěte a výsledek převeďte na tvar n 10 , kde 1 10, n Za a .
a) 57,9 4 10
b) 0,000 005 0,000 4
c) 0,000 007 : 0,000 2
d) 400 000 : 0,002
Řešení:
a) 5 67,9 4 10 3,16 10
b) 90,000 005 0,000 4 = 2 10
c) 6 4 20,000 007 : 0,000 2 = 7 10 : 2 10 = 3,5 10
d) 5 3 8400 000 : 0,002 = 4 10 : 2 10 2 10
3. Převeďte na jednotku uvedenou v závorce a výsledek zapište ve tvaru n10a , kde
1 10, n Za .
a) 25 hod (s)
b) 2 250 m (cm )
c) 0,07 kg (t)
Řešení:
a) 425 hod (s) 25 3 600 s = 90 000 s = 9 10 s
b) 2 2 5 250 m (cm ) = 5 10 cm
c) 50,07 kg (t) = 7 10 t
4. Zaokrouhlete na dvě platné číslice a vyjádřete ve tvaru n10 , kde 1 10, n Na a .
a) 17 358 000
b) 555 327
c) 81 504
d) 3 015
Řešení:
a) 717 358 000 = 17 000 000 = 1,7 10
b) 5555 327 = 560 000 = 5,6 10
c) 481 504 = 82 000 = 8,2 10
Základní poznatky z matematiky
Stránka 46
d) 33 015 = 3 000 = 3 10
5. Převeďte na jednotku uvedenou v závorce a výsledek zapište ve tvaru n10a , kde
1 10, n Za .
a) 278,2 km ha
b) 3346 hl m
Řešení:
2 3
3 3 3 1 3
a) 78,2 km ha 7 820 ha 7,82 10 ha
b) 346 hl m 346 dm 0,346 m 3,46 10 m
6. Vypočítej pomocí mocnin prvočísel a mocniny čísla 10.
a) 21600000 2250000
:0,000120 0,000625
Řešení:
a) 5 6 3 3 5 4
5 4 2 5 2 2
21600000 2250000 216 10 625 10 2 3 10 5: 2 25 50
0,000120 0,000625 12 10 225 10 2 3 10 5 3
1.3.2 Mocniny s přirozeným mocnitelem
1. Vypočítejte:
a) 210
b) 4( 2) c)
31
3
d) 10 0
e) 81
f) 35( 1)
Řešení: 2
4
3
10
8
35
a) 10 100
b) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 16
1 1 1 1 1c)
3 3 3 3 27
d) 0 0
e) 1 1
f) ( 1) = 1
2. Vypočítejte:
a) 570
b) 45
c) 4( 3)
d) 89
1
e)
51
1
f)
5
3
1 2
1 2
Základní poznatky z matematiky
Stránka 47
Řešení:
57
4
4
89
5
5
3
a) 0 0
b) 5 625
c) ( 3) 81
d) 1 1
1e) 1
1
1 2f) 1
1 2
3. Vypočtěte:
a) 3 2 0 41 1 1 1
b) 0 2 531 1 1 1
c) 22 2 21 1 1 1
d) 22 2 21 1 1 1
e) 22 2 21 1 1 1
f) 2 22 21 1 1 1
Řešení:
3 2 0 4
2 4
1 1 1 1a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
1 1 11
0 2 53
53
1 1 1 1b) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
1 1 11
22 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1c) 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 11
1 1 1 1 4
22 2 2
2 2
1 1d) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
1 1
22 2 2
22
1 1e) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
1 1
2 22 2
22
1 1f) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
1 1
4. Vypočtěte:
a) 52
321 12
1222
b) 13
1
1
2
122
12
2
1
c) 315
22221
2
1
2
1
d) 2123
1
2
2212
1
2
1
e) 2
3
1
21
2
12
2
112
f) 215
2
3221
2
1
2
1
Základní poznatky z matematiky
Stránka 48
Řešení:
2 2
3 51 2
31 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1a) 2 2 2 1 1 1
2 2 2 2 2 4 8 42
1 1 1 1 4 2 1 2 8 13 5 1 1
2 4 8 4 8 8 8
2
1 3 1
21 1 3 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1b) 2 2 1
1 1 12 2 2 2 1 2 8 112 4 22
1 4 1 1 2 1 1 1 4 8 4 2 8 1 8 32 4 16 1 8 1 4 2 1
1 1 2 1 1 8 2 8 8 8
3
8
5 1 3
52 2 2 1 3
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1c) 1 2 2
1 12 2 2 2 2 4 1 2 812 4
1 4 1 1 1 1 1 1 4 8 2 8 4 8 32 2 8 4 1 1 4 1
1 1 4 2 8 4 2 8 8 8
17 5 1
8 8
2 22 1 23 2 1 2
1 3 2
1
1 11 1 1 1 1 1 1 11 1d) 1 2 2 2 2
1 12 2 2 1 2 2 1 4
2 2
1 1 2 1 1 1 4 2 8 8 2 4 8 4 16 8 2 32 1 4 2 1 4
2 1 1 4 2 4 8 8
18
8
9 12
4 4
1 2 3
1 21 2 3
1 2
1 1 1 1 1 1 1e) 2 1 2
1 12 2 22 12 2
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 2 4
1 12 1 8 2 1 1 8 1 1 2 8
2 4
4 8 2 8 1 4 8 4 8 16 1 32 53 5 6
8 8 8 8
Základní poznatky z matematiky
Stránka 49
25 1 2
2 5 13 2
3
2
2
1 1 1 1 1 1 1f) 1 2 2
12 2 21 212 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 4 1 1 1
1 1 11 1 2 4 1 2 4 1 1 1 1 2 4
8 8 42
1 1 8 8 4 8 8 4 2 64 32 8 4 2 26 8 4 1
2 4 8 8
8
13 13
4 4
5. Vypočtěte:
a)
2 231 3 81 5 03 1
2 1 1 1 2 2 1 13 2
b) 2
3 22 1 04 1 4 215 2 2 2 2 1 2 1 5
25
c) 2 3 2 2
0 4 73 11 1 1 52 1 5 1 1
3 5 25
Řešení:
2 231 3 81 5 0
1 2 3 3 8 21 5
3 1a) 2 1 1 1 2 2 1 1
3 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
2 11 1 1 13 2
23
1 1 1 1
2 1 1 3
9
12
1
1
2 2
1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1
1 1 11 2 2
4 3 4
1 1 1 1 2 1 3 1 2 1 4 2 3 1 2 4 0
2 2 2 2
23 22 1 04 1 4 2
21 2
3 2 14 4
2
4
1b) 5 2 2 2 2 1 2 1 5
25
1 1 1 1 1 2 2 2 1
5 625 1 12 2
1 2 2
5
1
2 2
4 4 4
4 4
1 1 1 4 1 1 1 11 4 1 4 1
5 2 1 1 5 2 5 2
1 1 1 1 4 1 4 1 1
5 2 5 2
Základní poznatky z matematiky
Stránka 50
2 3 2 20 4 73 1
3 4 7 2 21
1 1 1 5c) 2 1 5 1 1
3 5 25
1 1 1 1 1 1 1 1 1
5 1 11 1 55
3 5 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 27 1 1 1 1 25 1
1 1 255 25 1 1 5 25 25
27 25 4
5 1 4
1 27 1 1 1 25 225 25 25
6. Vypočtěte:
a) 4 5
10
10 10
10
b)
4
3
81 3
27
c)
2
3
12
9 2
Řešení: 4 5
4 5 10 1
10
44 4 9 1
3
24 3 2 2
3
10 10 1a) 10 10 0,1
10 10
81 3 1b) 3 3
27 3
12c) 2 3 2
9 2
7. Vypočítejte:
a) 4 5
6
2 2 2
2
b)
2 7 3
5 4
3 3 3
3 3
Řešení: 4 5
4 1 5 6 4
6
2 7 32 7 3 5 4 3
5 4
2 2 2a) 2 2 32
2
3 3 3b) 3 3 27
3 3
8. Vypočtěte:
a)
22
2 2
1 1
1 1
b)
2 2
2 2
1 1
1 1
c)
2 2
2 2
1 1
1 1
Řešení:
222
2 2
2
111 1 1 11a)
1 1 1 21 1 11
Základní poznatky z matematiky
Stránka 51
2 2 22
2 2
2
1 1
11 1 1 1 1 2b)
11 1 1 11
1
21
2 2
2 2
2 2
2
1 11 1 1 1 1 1 21 1
c) 1 1 1 1 11 1 11
21
9. Vypočítejte:
a) 5 4 1
7 2
( 3) ( 3) ( 3)
( 3) ( 3)
b)
2 3
0 5
( 5) ( 5)
( 5) ( 5)
Řešení: 5 4 1
5 4 1 7 2 1
7 2
2 32 3 0 5 0
0 5
( 3) ( 3) ( 3)a) ( 3) ( 3) 3
( 3) ( 3)
( 5) ( 5)b) ( 5) ( 5) 1
( 5) ( 5)
10. Vypočítejte:
a)
2
4
4 16
8 2 16
b)
25 3
5 2
2 3
3 2
c)
3 2 3
3 4
10 3 1
2 5
Řešení:
2
4 4 3 4 4 3
4
25 3 10 6 6
5 2 10 4 4
3 2 3 3 1
3 4 3
4 16 1a) 2 2
8 2 16 8
2 3 2 3 2 64b)
3 2 3 2 3 81
10 3 1 10c) 2
2 5 5 10
11. Vypočítejte:
a) 2 3 4
3 3
(2 3 )
(2 3 )
b)
0 3 2 2
8
(5 4 ) 5
2 5
Řešení: 2 3 4 8 12
8 3 12 9 5 3
3 3 3 9
0 3 2 2 12 212 8 2 1 3
8 8
(2 3 ) 2 3a) 2 3 2 .3 32 27 864
(2 3 ) 2 3
(5 4 ) 5 1 2 5b) 2 5 2 5 40
2 5 2 5
Základní poznatky z matematiky
Stránka 52
12. Vypočítejte:
a)
4 32 2
3
3 7
7 3
b)
2 33 2
2
4 5
5 4
Řešení: 4 3
2 2 8 64 2
3 4 3
2 33 2 6 6
6 6 6 2 4
2 2 6
3 7 3 7a) 3 7 81 49 3969
7 3 7 3
4 5 4 5b) 4 5 5 625
5 4 5 4
13. Vypočítejte:
a)
5 32 2
3
2 3 2 3
3 4 3 4
b)
2 32
3 2 2
4 5 5
2 3 2 3
Řešení: 5 3
2 2 5 10 6 3 11 13
3 5 10 9 6 16 14 5 1
2 32 4 4 6 3 4
3 2 2 6 4 3
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1a)
3 4 3 4 3 2 3 2 2 3 2 3 96
4 5 5 2 5 2 3 2 5 80b)
2 3 2 3 2 3 5 3 3
14. Vypočítejte:
a)
43 2 2
3 4
4 3 16:
81 2 9
b)
32 3
1 3
3 2
Řešení: 4
3 2 2 24 8 8 4
3 4 16 12 8
32 3 3
6 3 3 3
4 3 16 2 3 3 2a) : 16
81 2 9 3 2 2 1
1 3 1 3 1 1b)
3 2 3 2 3 2 216
15. Vypočtěte:
a) 323
1
3
2
221
2
1
2
1
2
1
b) 322
2
13
2
221
2
1
2
1
2
1
c) 321
2
3
1
2
221
2
1
2
1
2
1
d)
23 1
11 23
12 2
2
12 2
2
e)
12 3
31 12
12 2
2
12 2
2
Základní poznatky z matematiky
Stránka 53
f)
045 1
4 12
15 0,1 5
7
1 12
2 2
g)
1 2 0
2 22
0,5 2 2
1 25 2
2 3
h)
2
0 1
1 3 1
3
30,6 0,1
3
3 3 1
2 2 3
Řešení:
2 1 1
3
3 32
3 32
1 1 11 1 1
4 81 1 1 1 1 1 1 2 1 1 214 82 2 2 2 4 8 1 1 4 8 12a)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 22 1 4 8 1 4 8 1 4 81 2
2 1 2 8 17
178 8 8 2 1 5 8
8 8
8
17
5 5
2 2 2 22
33 1 1 2
2 32
2 32
2 2
1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 8 1 222 2 2 2 2 4 8 2 1 1 1 1 1 1b)
1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 12 1 4 8 4 81 2
1 1 4 4 1 14 4
4 8 2 2 4 4 1 1 1 1 1 1 8 2 1
1 1 14 8 4 8 4 8 8
5154
5
8
4
8
56
2
1 2 2
22
2 3
1 2 3
1 2 3
2
1 1 11 2 1 1
1 81 1 1 1 1 1 411 1 8222 2 2 2 8 1 14c)
1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 21 4 8 1 4 81 2 2
1 1 1 1 2 1 4 8 2 1 32 334 4
2 8 4 8 8 8 8 1 1 1 1 1 1 8 2 1 8 2 1 9
1 4 8 1 4 8 8 8 8
33
8
8
9
11
3
Základní poznatky z matematiky
Stránka 54
2 3 2 13 1
11 23
1 13
3
1 1 11 1 1
221 1 1 1 4 118 22 22 2 8 1 1 24d)
1 1 1 1 1 2 11 4 4 42 2 1 1 11 11 222 2 82
1 1 1 1 1 4 8 44 4
8 2 8 2 8 1 8 2 8 4 10
2 41 1
27
278
10 8
10
135
1 4
1 2 1 32 3
31 12
3 1 12
2
1 1 11 1 1
221 1 14 82 22 2 2e)
1 1 1 1 1 112 2 1 1 221 22
8 22
1 1 2 1 1 1 1 12 2
4 1 1 8 4 8 4 8 11 8 1 1 1 4 1
8 481 21 1 2 1 1 2
4
2 2 8 1
88 2 4 2 1
2
15
158 17 8
2
2
15
17 68
0 4 4545 1
5 1
4 12
2 4 1
4
5
1 1 11
5 51 1 1 1 15 0,1 5 1
7 5 10 5 10f)
1 1 1 1 1 11 12 1 142 1 12 2
16 22 2
1 11 10 1
5 5 1
4
1 16
4 4
4 4 4
5 5
2 51 1 1 12 5 1 2 5 1
5 5 5 5
4 2 21 2
55
4
11
5
2
152 1 16 11 1
5 5 5 5 2 2
5
13 1 4
2 2
2
2
Základní poznatky z matematiky
Stránka 55
1 1
1 2 02
2 22
2 2 2
1 11
41 1 11
0,5 2 2 2 2 2g)
1 1 1 1 1 11 2 5 55 2 1 4421 22 34 92 3
1 1 4
1 4 1 22 =
5 91 4 1
4 4
5
4 5
25 9 44 44 4
4
5 552 2
4 1 5
1
2 5
1
2
2 2
0 1
1 3 1
3
3
1 11 1 1
0,1 13 3 91 30,6 0,1 1 1 10 13 3 10 9h)
1 27 1 1 27 13 3 13 1 3 18 82 2 32 3 8 3
3
81
3
27
8 1 3
1 10 3 12
9 3
62
16. Vypočtěte:
a)
32
3
21 24
49 16
b)
22
32
27 24
18 12
Řešení:
3 32 2 23 32
3 32 4
3 7 13 7 2 321 24a)
49 16 7 2
3 3 3
32
2 3
7 1
2 2
4 3
3 7
2
9 3
2
2 3
7
12
39 122 3 1 3
1
2
2 8 3 2 3 2
3 3
2 22 2 23 3 3 22 3 2 2 6 6 2
3 2 3 3 32 32 2 2 2 3 2 4 6 32 2
2 3 16 2 4 3 3 3 3
2 2 2 2
3 2 327 24 3 1 2 3 3 1 2 3b)
18 12 2 3 1 2 3 2 3 1 2 32 3 2 3
1 3 1 3 1 3 3 27
2 2 2 2 4
17. Zjednodušte:
a) 2 2 3 35 3 3a a a a
b) 3 4 6 4 3 4 6 313 5 3 16 16 28 7 6a b c a a b c a
c) 2 2 3 32 3 2 320 5 6 11 19 4 3 2x x x x x x x x
Základní poznatky z matematiky
Stránka 56
Řešení:
2 2 3 3 2 3
3 4 6 4 3 4 6 3 3 4 4 6
2 2 3 32 3 2 3
2 2 3 2 3 3 2 3 2 3
a) 5 3 3 8 2
b) 13 5 3 16 16 28 7 6 9 16 23 4
c) 20 5 6 11 19 4 3 2
= 20 5 6 11 19 4 3 2 17 11
a a a a a a
a b c a a b c a a a b c
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
18. Zjednodušte:
a) 3 23 2 2 32 2 2 3x x x x x x
b) 3 4 6 4 3 4 6 313 5 3 16 16 28 7 6a b c a a b c a
c) 2 2 3 3 22 32 8 7 16 12 2 5x x x x x x x
Řešení:
3 23 2 2 3 3 2 3 2 2 3
3 2
3 4 6 4 3 4 6 3 4 3 4 6
2 2 3 3 22 3
2 2 3 2 3 3 2
a) 2 2 2 3 2 2 2 3
= 2 3
b) 13 5 3 16 16 28 7 6 16 9 23 4
c) 2 8 7 16 12 2 5
2 8 7 16 12 2 5 1
x x x x x x x x x x x x
x x
a b c a a b c a a a b c
x x x x x x x
x x x x x x x
2 31 7x x
19. Zjednodušte:
a) 2 42 3 3x x x b) 5 4a ax x c) 5 3:a ax x
Řešení:
2 4 2 4 1 7
5 4 5 4 2 1
5 3 5 3 8
a) 2 3 3 18 18
b)
c) : , 0
a a a a a
a a a a
x x x x x
x x x x
x x x x x
20. Zjednodušte:
a)
22 5 3 2
3 2
3
2
x y x y
xy x y
b)
2 31
:ab
b a
Řešení:
22 5 3 2 2 6 4 3 4
3 2 4 2
2 3 2 23 5
3 3 3a) ; , 0
2 2 2
1b) : ; , 0
x y x y xy x y x yx y
xy x y x y
ab a ba a b a b
b a b
21. Zjednodušte:
a)
35 3 2
22
2:
22
a b a b
aba b
b)
23 3 2
2 5 3
52
5
x yxy
x y x y
Základní poznatky z matematiky
Stránka 57
Řešení:
35 3 2 3 3 3
2 6 3 22
23 3 2 3 3 2 6 42 3
2 5 3 2 5 3
2 2 4a) : ; , 0
2 22
52 2 5b) 10 ; , 0
5 5
a b a b ab a b ba b
ab a b aa b
x yxy x y x yx y x y
x y x y x y x y
22. Zjednodušte:
a) 6 2
4 3 3
x y z
x y z
b)
23
2 2
4
3 .
3
a b
a b
c)
23 2 4 4
2 3 2
2. :
3 8 27
xy x y y
x y xy x y
d)
22 3 2 3
3 2
15 5: :
16 8 2
a bc ab c z
x y xyz bx
Řešení:
6 2 26 4 2 3 1 3
4 3 3 2
23
2 212 4 8
4 4 4
23 2 4 4 2 2 6 2 2
2 3 2 2 4 2 3
2 3 2
3
a) ; 0, 0, 0
3 .9
b) ; , 081 93
2 2 27 3c) . : ; , 0
3 8 27 3 8 2
15 5d) :
16 8
x y z xx y z x y z
x y z y z
a ba b a
a ba ba b
xy x y y x y xy x xyx y
x y xy x y x y y
a bc ab
x y
2
3 2 3 3 2 2 2 2
2 4 3 2 6 2 3
3 5 2 2 6: ; , , , , , 0
2 2 5
c z a bc xyz b x aba b c x y z
xyz bx x y ab c z c
23. Vypočtěte:
a)
34222
32132
yxyx
yxyx
b)
22312
43232
yxyx
yxyx
c)
335223
42332
yxyx
yxyx
d)
34 2 3 1
1 24 2 3 4
x y x y
x y x y
e)
23 3 4 3
3 22 1 2 2
x y x y
x y x y
Řešení:
12 3 2 3 2 1 3 1 2 3 2 3 2 3
2 2 4 6 3 3 2 12
2 3 4 2 6 122 2 2 3 4 322 2 4
6 10
6 10
a)
1
x y x y x y x y x y x yx y
x y x yx y x yx y x y
x yx y
Základní poznatky z matematiky
Stránka 58
22 3 3 4 2 2 3 2 3 4 4 6 3 4
4 3 2 6 6 4 1 4
1 2 2 1 6 42 1 3 2 2 212 3 2
15 5
15 5
b)
1
x y x y x y x y x y x yx y
x y x yx y x yx y x y
x yx y
32 3 2 4 2 3 3 3 2 4 6 9 2 4
6 2 6 15 9 4 4 9
2 3 6 4 15 93 2 2 2 5 3 3 33 2 5 3
25 18
25 18
c)
1
x y x y x y x y x y x yx y
x y x yx y x yx y x y
x yx y
34 2 3 1 4 3 2 3 3 1 12 6 3 1
12 3 4 6 6 1 2 8
1 2 4 2 6 84 1 2 1 3 2 4 24 2 3 4
11 5
11 5
d)
1
x y x y x y x y x y x yx y
x y x yx y x yx y x y
x yx y
23 3 4 3 3 2 3 2 4 3 6 6 4 3
6 4 6 4 6 3 3 4
3 2 6 3 4 42 3 1 3 2 2 2 22 1 2 2
0 4
4
e)
1
x y x y x y x y x y x yx y
x y x yx y x yx y x y
x yy
24. Vypočtěte:
a)
3 4 32 2 3 4 2 2
2 22 1 3 2
:x xy y x y x y
x y x x y
b)
2 4 33 2 3 2 4 2 1
2 22 1 3 2
:x x y y x y x y
x y x x y
c)
2 4 33 2 3 4 2 2
2 22 1 1 3 2
:x xy y x y x y
x y x x y
d)
2 4 34 2 3 3 2 1
3 22 2 2 3 2
:x x y y x y x y
x y x x y
e)
3 3 13 2 2 3 3 2 2 3
2 32 1 1 4 2
:x x y y x y x y
x y x x y
f)
2 3 42 2 2 6 2
2 23 2 3 1 2
:x x y y x y x y
x y x x y
Řešení:
3 4 32 2 3 4 2 2 2 3 2 34 2 4 3 4 2 3
2 2 1 2 3 2 2 22 22 1 3 2
6 4 8 3 4 2 6 3 6 4 8 3 6 4
4 2 6 4 4 2 1 4 2 6 3
6 4 4
a) : :
:
x xy y x y x y x x y y x y x y
x y x x yx y x x y
x x y y x y x y x x y y x y
x y x x y x y x x y x y
x
4
1 6 4 6 8 3 2 4 2 3 11 4
11
yy x y
x
Základní poznatky z matematiky
Stránka 59
2 4 33 2 3 2 4 2 1 3 2 2 3 1 32 4 4 3 2 4
2 2 2 2 3 2 2 22 12 1 3 2
6 8 4 3 2 4 6 3 6 8 4 3 6 4
4 2 1 6 4 4 2 1 2 4 6 3
6 8
b) : :
:
x x y y x y x y x x y y x y x y
x y x x yx y x x y
x x y y x y x y x x y y x y
x y x x y x y x x y x y
x
5
4 1 6 2 6 4 3 2 4 4 3 5 6
6
xy x y
y
2 4 33 2 3 4 2 2 3 2 2 4 2 34 3 4 2 3
2 2 2 2 1 2 3 2 2 212 1 1 3 2
6 4 8 3 4 2 6 3 6 4 8 3 6 4
4 2 1 6 4 4 2 1 4 2 6
c) : :
:
x xy y x y x y x x y y x y x y
x y x x yx y x x y
x x y y x y x y x x y y x y
x y x x y x y x x y x
3
6 4 4 1 6 4 6 8 3 2 4 2 3 1 10
10
1
y
x y x yxy
2 4 3
4 2 3 3 2 1 4 2 2 4 2 3 1 34 3 3
3 2 3 2 2 22 3 2 3 22 2 2 3 2
8 8 4 3 3 6 3 8 8 4 3 6 4
6 6 2 6 4 6 6 2 3 6 3
d) : :
:
x x y y x y x y x x y y x y x y
x yx y xx y x x y
x x y y x y x y x x y y x y
x y x x y x y x x y x y
8 8 6 2 6 3 6 4 3 6 4 1 3 5 5
5 5
1 x y x y
x y
3 3 13 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 3 2 1 3 12 3 3 3 2
2 3 2 2 1 2 4 3 2 312 1 1 4 2
9 6 6 3 3 2 2 3 9 6 6 3 12 6
4 2 1 12 6 4 2 1
e) : :
:
x x y y x y x y x x y y x y x y
x y x x yx y x x y
x x y y x y x y x x y y x y
x y x x y x y x
3 2 2 3
9 6 4 1 12 3 2 6 3 2 6 2 3 15 0
15 0 15
1 1
x y x y
x y x yx y x
2 3 42 2 2 6 2 2 2 2 3 3 2 42 6 4
2 2 3 2 2 2 1 2 2 233 2 3 1 2
4 6 3 2 6 8 4 4 6 3 2 2 4
6 4 3 2 4 6 4 3 6 1 8
f) : :
:
x x y y x y x y x x y y x y x y
x y x x yx y x x y
x x y y x y x y x x y y x y
x y x x y x y x x y x y
4
4 6 6 3 2 6 8 3 2 4 4 1 4 11 2 11 2 x y x y x y
25. Vypočtěte:
a)
1 20 2 1
6 2 3
8 9:
18 2
a b a
c b c
b)
2 13 2 6 6
4 6
15 27:
9 25
a b c a
c b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 60
Řešení:
1 2 1 2 3 1 0 1 2 10 2 1 3 0 2 2 1 2 2 1 2
6 2 3 2 6 2 3 2 2 2 3 22 1 6 11
3 0 2 4 2 3 0 2
1 2 6 2 4 6 1 2
8 9 2 3 2 3a) : : :
18 2 2 3 2 22 3
2 3 2 :
2 3 2 2 3
a b a a b a a b a
c b c c b c b cc
a b a a b
c b c c
3 2 12 4 60 2 6 62 4
6 4 2 2 4
0 2 2 2 22 2 0 2 2
2 2 2
2 2
3 3
2 1 1
3 3 3 9
b ca b c
a
a b a ba b c a b
2 1 2 13 2 6 6 3 2 3 6 6
4 6 2 4 2 6
2 2 3 1 6 1 6 12 2 3 2 2 2 6 4 3 6 6
2 2 4 2 4 8 2 62 1 6 1
2 2 6
15 27 3 5 3b) : :
9 25 3 5
3 5 3 3 5 3 : :
3 3 55
3 5
a b c a a b c a
c b c b
a b c a a b c a
c c bb
a b
4 2 6 4 6 2 2
2 4 3 2 2 6 6 1 0 0
4 8 3 6 6 8 6 2 2
5 33 5 3 5
3 3
b b b ba a
c c a c c c
26. Vypočtěte:
a)
3 1 23 3 0 2 4
2 4 5 3 5
4 2:
a b c d a b
c d a b c d
b)
3 2 13 1 3 3 7 2
1 2 1 5 7 0
3 3 3:
a b c d b c
c d a b a d
c)
1 2 22 3 4 1 2 0
2 2 3 2 1 3
25 5:
a b c d a d
c d a b b c
Řešení:
3 1 2 3 3 0 1 1 2 2 4 23 3 0 2 4 3 3 1 2
2 4 5 3 5 4 3 5 1 3 2 5 22 3 1
12 0 1 2 19 9 2 4 8 9 9 0 1 6 10
6 12 5 1 6 10 6 12 5 1
4 2 4 2a) : :
2 2 2 :
2
a b c d a b a b c d a b
c d a b c d c d a b c d
c da b a b a b c d c d
c d a b c d c d a b
2 4 8
9 1 8 1 10 12 2 29 5 4 0 6 6 0 0 0 1 0 2 2
a b
a b c d a b c d d
Základní poznatky z matematiky
Stránka 61
3 2 1 3 3 1 2 3 2 3 2 7 1 2 13 1 3 3 7 2 3 3 1
1 2 1 5 7 0 1 3 2 3 1 2 5 2 7 1 0 1
3 9 3 2 6 6 1 7 2 3 9 3 2 6
3 6 2 10 7 0 3 6
3 3 3 3 3 3b) : :
3 3 3 3 3 :
a b c d b c a b c d b c
c d a b a d c d a b a d
a b c d b c a b c d
c d a b a d c d
6 7 0
2 10 1 7 2
3 10 7 6 0 6 3 2 19 7 2 6 3 2 0 0 1 0 0
3
3 3
a d
a b b c
a b c d a b c d c
1 2 2 2 1 3 1 1 2 2 2 0 22 3 4 1 2 0 1 2 4 2
2 2 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 2 3 22 2
12 2 3 2 8 2 4 0 2 2 3 2 8 2 2
2 2 6 4 2 6 2 2 6 4
25 5 25 5c) : :
5 5 5 5 :
a b c d a d a b c d a d
c d a b b c c d a b b c
a b c d a d a b c d b c
c d a b b c c d a b
6
4 0
2 6 4 2 2 03 2 4 8 6 2 2 2 0 1 0 0 0 5 3
a d
a b c d a b c d b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 62
1.4 Množiny
1. Zapište všechny podmnožiny množiny:
a) 3 2; 1; b) 6 5; 4;
Řešení:
a) 3 ;2 ;1 ;3 ;2 ;3 ;1 ;2 ;1;3 ;2 ;1 ;
b) ; 4 ; 5 ; 6 ; 4;5 ; 4;6 ; 5;6 ; 4;5;6
2. Určete BA , AB , B\A , A\B pro dané množiny:
a) 8 5; 2; 1;A , 7 5; 3; 1;B b) 10 7; 4; 3;A , 9 7; 5; 3;B
Řešení:
a) 8 ;7 ;5 ;3 ;2 ;1BA , 5 ;1BA , 8 ;2B\A , 7 ;3A\B
b) A B 3; 4; 5; 7; 9; 10 , A B 3; 7 , A\B 4; 10 , B\A 5; 9
3. Určete BA , AB , A\B , B\A , /
RA , /
RB pro dané množiny:
a) 1 ;3A , 2 ;0B
b) 3 ;4A , 5 ;2B
c) 3 ;2A , 5 ;1B
Řešení:
a)
A B 0; 1 , A B 3; 2 , A\B 3; 0 , B\A 1; 2 , /
RA ; 3 1; ,
/
RB ; 0 2;
b)
A B 2; 3 , A B 4; 5 , A\B 4; 2 , B\A 3; 5 ,
/
RA ; 4 3; , /
RB ; 2 5;
Základní poznatky z matematiky
Stránka 63
A B 1; 3 , A B 2; 5 , A\B 2; 1 , B\A 3; 5 ,
/
RA ; 2 3; , /
RB ; 1 5;
4. Určete CBA , ABC , C B A , CBA pro dané množiny:
a) 2 ;A , 3 ;1B , 2;1 1;C
b) 1 ;A , 2;0B , 1;0 ;2C
Řešení:
a)
3 ;21 ;1CBA , 2 ;1ABC , 1ABC , RCBA
b)
A B C 2; 0 1; 2 , C B A 2; 1 , C B A 0 , RCBA
5. Určete doplněk dané množiny v množině Z:
a) 5 Z;A xx b) 4 Z;A xx
Řešení:
a) 5 Z;A /
Z xx b) /
ZA Z; 4x x
6. Jsou dány dvě množiny A, B. Určete:
a) ABA
b) ABA
Základní poznatky z matematiky
Stránka 64
Řešení:
a) AABA
b) A B A A
7. Do Vennova diagramu pro množiny A, B, C znázorni:
a) /
Z
/
Z CBA
b) CBA /
Z
c) /
Z
/
Z CBA
d) /
ZCBA
e) CBA /
Z
/
Z
Řešení:
a) b)
c) d)
e)
1.4.1 Slovní úlohy na Vennovy diagramy
1. V obci Malá dělali průzkum jazyků, kterými hovoří středoškolsky vzdělaní lidé. Německy
hovoří 320 osob, anglicky 216 osob, z nichž 152 mluví jen anglicky. Kolik osob umí jen
německy?
Základní poznatky z matematiky
Stránka 65
Řešení:
320
216
152
a b
b c
c
Postupným dosazováním získáme:
256
64
152
a
b
c
Jen německy hovoří (a) 256 občanů.
2. Malá firma má 41 zaměstnanců. Z toho 25 má řidičský průkaz a 8 má svářečský průkaz,
10 nemá nic. Kolik zaměstnanců má oba průkazy?
Řešení:
41
2510
8
10
a b c d
a bd
b c
d
31 31 25 6
25 8 6 2
8 25 2 23
a b c c
a b b
b c a
(postupným dosazováním do rovnic)
Kolik zaměstnanců má oba průkazy? Oba průkazy vyjadřuje pole b . Oba průkazy mají 2
zaměstnanci.
3. Na malé základní škole je 123 žáků. 95 má psa nebo kočku, 113 má nejvýše jedno z těchto
zvířat. Psa má o 15 žáků víc než na kočku. Kolik žáků má obě zvířata a kolik žáků nemá kočku?
Řešení:
Základní poznatky z matematiky
Stránka 66
123
9528
113
15
a b c d
a b cd
a c d
a b b c
(z první a druhé rovnice)
95 2 100 50
85 35
15 10
a b c a a
a c c
a c b
(z druhé a třetí rovnice vypočítáme ;a c a dosazením do první rovnice získáme b )
Kolik žáků má obě zvířata (pole b ) a kolik žáků nemá kočku (pole a d )?
Obě zvířata má 10 žáků, kočku nemá 78 žáků.
4. Z 15 kontrolovaných lavic je buď poškrábaných, nebo popsaných 14 kusů. 10 lavic má nejvýše
1 druh poškození. Poškrábaných je o 3 více než popsaných.
a) Kolik lavic je jen poškrábaných
b) Kolik lavic je jen pošpiněných
c) Kolik lavic nemá žádné poškození
d) Kolik lavic je čistých nebo má obě poškození?
Řešení:
15
141
10
3
a b c d
a b cd
a c d
a b b c
(z první a druhé rovnice)
14 2 12 6
9 3
3 5
a b c a a
a c c
a c b
(z druhé a třetí rovnice vypočítáme ;a c a dosazením do první rovnice získáme b )
a) Kolik lavic je jen poškrábaných: 6a lavic
b) Kolik lavic je jen pošpiněných: 3c lavice
c) Kolik lavic nemá žádné poškození: 1d lavice
d) Kolik lavic je čistých nebo má obě poškození: 6b d lavic
Základní poznatky z matematiky
Stránka 67
5. Ze 45 žáků 40 mluví německy nebo anglicky. 37 žáků mluví nejvýše jedním z těchto jazyků.
Anglicky mluví o 4 více než německy. (Řešte pomocí Vennových diagramů)
a) Kolik žáků neumí ani jeden z těchto jazyků?
b) Kolik žáků mluví jen anglicky
c) Kolik žáků mluví jen německy
d) Kolik žáků nemluví ani jedním z těchto jazyků nebo oběma?
Řešení:
45
405
37
4
a b c d
a b cd
a c d
a b b c
40 2 36 18
32 14
4 8
a b c a a
a c c
a c b
¨
a) Kolik žáků neumí ani jeden z těchto jazyků: 5d žáků
b) Kolik žáků mluví jen anglicky: 18a žáků
c) Kolik žáků mluví jen německy: 14c žáků
d) Kolik žáků nemluví ani jedním z těchto jazyků nebo oběma: 13b d žáků
6. K obědu byla svíčková s knedlíkem. Kuchařky u okénka se špinavým nádobím provedly
výzkum vrácených talířů od hlavního jídla. Alespoň kus knedlíku vrátilo 301, kus knedle nebo
masa 328 strávníků. Ani kousek masa nebyl na 554 talířích, pouze maso nebo knedlík vrátilo
250 obědvajících.
a) Kolik lidí snědlo všechno?
b) Kolik strávníků tento den jedlo?
c) Kolik vrátilo maso i knedlíky?
Řešení:
Základní poznatky z matematiky
Stránka 68
301 27
328 527
554 223
250 78
a b c
a b c d
c d a
a c b
a) Kolik lidí snědlo všechno: 527d strávníků
b) Kolik strávníků tento den jedlo: 855a b c d strávníků
c) Kolik vrátilo maso i knedlíky: 78b strávníků
7. 45 účastníků mělo k dispozici 3 výlety. První výlet absolvovalo 23 rekreantů, první i druhý
výlet 7 rekreantů, 15 účastníků jelo na první výlet a přitom nejelo na třetí výlet. 10 jelo pouze na
první výlet a 3 pouze na třetí výlet. Právě jeden z výletů si zvolilo 17 osob. Jedna třetina z počtu
účastníků se nezúčastnila žádného z výletů. Kolik účastníků si vybralo:
a) jeden výlet
b) druhý výlet
c) právě dva výlety
d) druhý a třetí výlet a přitom si nevybralo první výlet?
Řešení:
45 10
23 5
7 4
15 6
10 2
3 0
17 3
3 15
a b c d e f g h a
a b d e b
b e c
a b d
a e
g f
a c g g
a b c d e f g h h h
a) jeden výlet: 17a c g účastníků
b) druhý výlet: 11b c e f účastníků
c) právě dva výlety: 11b d f účastníků
d) druhý a třetí výlet a přitom si nevybralo první výlet: 0f účastníků
8. 820 osob bylo oslovených během výzkumu. Šetřením se zjistilo že: 380 osob používá počítač
doma nebo ve škole. Počet těch, kteří užívají počítač doma je 2x větší než těch, kteří jej
používají doma i v zaměstnání a počet těch, kteří počítač používají doma je o 40 menší než těch,
kteří jej používají jen v zaměstnání.
a) Kolik jich používá počítač pouze doma?
b) Doma?
Základní poznatky z matematiky
Stránka 69
Řešení:
820
38040
2
40
a b c d
a b cd
a b b
a b c
380
40
a b c
a b
a b c
2 380
2 40
4 420 105 105 170
b c
b c
b b a c
a) Kolik jich používá počítač pouze doma: 105a osob
b) Doma: 210a b osob
9. Studenti jedné třídy psali během jednoho dne dva testy; z matematiky a dějepisu. Test
z matematiky napsalo jen 10 studentů. Těch, kteří napsali oba testy nebo žádný, bylo 8.
Matematiku nenapsalo 22 studentů, zatímco oba testy napsalo jen 6 lidí. Zodpovězte následující
otázky:
a) Kolik žáků je ve třídě?
b) Kolik žáků nenapsalo test z dějepisu?
c) Kolik žáků nenapsalo žádný test?
d) Kolik žáků napsalo test z matematiky nebo test z dějepisu?
Řešení:
Základní poznatky z matematiky
Stránka 70
10 4
8 6
22 4
6 18
a b a
b c b
c d c
b d
a) Kolik žáků je ve třídě: 32a b c d žáků
b) Kolik žáků nenapsalo test z dějepisu: 22a d žáků
c) Kolik žáků nenapsalo žádný test: 18d žáků
d) Kolik žáků napsalo test z matematiky nebo test z dějepisu: 14a b c žáků
10. Devadesát osm lidí navštívilo jisté sportovní centrum. Ze sportovních zařízení si mohou vybrat
mezi saunou, posilovnou a bazénem. V bazénu bylo 25 lidí, saunu navštívilo 38 lidí. Lidí, kteří
navštívili pouze saunu, bylo o 2 méně než těch, kteří byli ve všech zařízeních. 53 lidé využili
pouze zdejší bar. V bazéně i v sauně bylo 25 lidí. Ve všech třech zařízeních bylo dvanáct lidí.
Zodpověz následující otázky:
a) Kolik lidí navštívilo posilovnu?
b) Kolik lidí bylo v posilovně i v sauně?
c) Kolik lidí navštívilo právě jedno ze zařízení?
d) Bar nebo posilovnu navštívilo kolik lidí?
Řešení:
10
25 3
38 7
2 13
53 12
25 0
12 0
53
a
d e f g b
a b d e c
a e d
h e
d e f
e g
h
a) Kolik lidí navštívilo posilovnu: 22b c e f
b) Kolik lidí bylo v posilovně i v sauně: 15b e
c) Kolik lidí navštívilo právě jedno ze zařízení: 17a c g
d) Bar nebo posilovnu navštívilo kolik lidí: 75b c e f h
Základní poznatky z matematiky
Stránka 71
11. Studenti jedné třídy si mohli vybrat a navštívit zdarma některé ze dvou divadelních představení
– Othella nebo Carmen. Někteří studenti navštívili obě představení. Tři studenti neviděli ani
jedno z představení. Othella vidělo devět a Carmen dvanáct studentů. Právě jedno představení
navštívilo 17 studentů.
a) Kolik studentů bylo ve třídě?
b) Kolik studentů vidělo obě představení?
Řešení:
3 4
9 2
12 10
17 3
d a
a b b
b c c
a c d
a) Kolik studentů bylo ve třídě: 14a b c
b) Kolik studentů vidělo obě představení: 2b
12. V nejmenované obci byl proveden průzkum třídění odpadu. Bylo zjištěno, že nejčastěji
tříděnými odpadky jsou papír, PET láhve a sklo. Papír třídí 397 domácností, PET láhve 436
a sklo 394 dotázaných domácností. 7 lidí přiznalo, že doma odpad netřídí. 238 dotázaných třídí
všechny tři zmíněné druhy odpadu. Papír a zároveň PET láhve třídí 314 domácností a 299 jich
třídí zároveň papír a sklo. PET láhve nebo sklo třídí 509 dotázaných domácností. Určete kolik
domácností:
a) třídí pouze PET láhve,
b) třídí papír nebo sklo,
c) třídí alespoň dva druhy uvedeného odpadu,
d) bylo dotázáno
Řešení:
Základní poznatky z matematiky
Stránka 72
397 375
436 76
394 39
7 61
238 238
314 83
299 12
509 7
a b e d a
b c e f b
d e f g c
h d
e e
b e f
d e g
b c e f d g h
a) třídí pouze PET láhve: 375a
b) třídí papír nebo sklo: 845a b d e f g
c) třídí alespoň dva druhy uvedeného odpadu: 409b e f g
d) bylo dotázáno: 891a b c d e f g h
13. Vytápění zemním plynem je v současné době nejrozšířenějším zdrojem tepla pro vytápění bytů
a rodinných domů. Podle statistik však mnozí lidé kromě plynových kotlů používají i kamna na
tuhá paliva, kde topí uhlím, dřevem či biomasou. Ze 683 dotázaných domácností vytápí buď
plynem, nebo tuhými palivy 624 dojmů. 308 jich topí nejvýše jedním druhem vytápění. Plynové
topení má o 93 domácností více než kamna na tuhá paliva. Kolik domácností topí:
a) jen zemním plynem,
b) zemním plynem i kamny.
Řešení:
683
62459
308
93
624 375
249 171
93 78
a b c d
a b cd
a c d
a b b c
a b c b
a c a
a c c
a) jen zemním plynem: 171a
b) zemním plynem i kamny: 375b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 73
14. 35 dětí si vybíralo mezi pastelkami, barvami a voskovkami. Všechny děti si něco vybraly. Dvě
děti si vybrali jen pastelky a tři děti jen barvy. Pastelky a barvy si vybralo 16 dětí, barvy
a voskovky 14 dětí. Všechny tři si vzalo 10 dětí, pastelky nebo voskovky 31 dětí a 3 děti si
nevzaly pastelky ani barvy. Kolik dětí si vzalo:
a) aspoň dvě malovátka?
b) pastelky?
Řešení:
2 2
3 6
16 3
14 12
10 10
31 4
3 3
a a
c b
b e c
e f d
e e
a d e f g f
g g
a) aspoň dvě malovátka: 32b d e f
b) pastelky: 23a b d e
15. Ženy na koncertě měly náušnice, náhrdelníky a náramky. Náhrdelník mělo 34 žen, náramek 36
a náušnice 38. Žádnou ozdobu nemá 35 žen. Pouze dvě ženy mají všechny tři šperky najednou.
Náhrdelník i náramek si vzalo 6 žen a 3 ženy se ozdobily zároveň náhrdelníkem a náušnicemi.
Jenom náramek měla pouze 1 žena. Náramek nebo náušnice má 65 žen. Urči kolik žen:
a) Má pouze náušnice?
b) Má náušnice nebo náhrdelník?
c) Má alespoň dva šperky?
d) Je přítomno na koncertě?
Řešení:
Základní poznatky z matematiky
Stránka 74
3428
361
3827
3529
22
64
31
135
65
b c e fa
d e f gb
a b d ec
hd
ee
e ff
b eg
gh
a b d e g f
a) Má pouze náušnice: 7a
b) Má náušnice nebo náhrdelník: 65a b d e f g
c) Má alespoň dva šperky: 36b e d f
d) Je přítomno na koncertě: 127a b c d e f g h
16. Každý student ve třídě chodí do nějakého kroužku. Do matematického kroužku chodí 16
studentů, do výtvarného 17 a do jazykového 14 studentů. 8 studentů chodí současně do
matematického i výtvarného kroužku, 6 do matematického i jazykového kroužku, 4 do
výtvarného i jazykového kroužku. Tři studenti navštěvují všechny tři kroužky.
a) Kolik je žáků ve třídě?
b) Kolik žáků má právě dva kroužky?
c) Kolik žáků chodí jen do jednoho kroužku?
Řešení:
516
517
814
38
36
14
73
0
aa b d e
bb c e f
cd e f g
db e
ed e
fe f
ge
h
a) Kolik je žáků ve třídě: 32a b c d e f g h
b) Kolik žáků má právě dva kroužky: 9b d f
c) Kolik žáků chodí jen do jednoho kroužku: 20a c g
Základní poznatky z matematiky
Stránka 75
1.5 Výroková logika
1. U následujících tvrzení rozhodněte, zda se jedná o výroky.
a) Praha je hlavní město ČR.
b) Vesnicí teče potok.
c) Číslo x je kladné.
d) 2 3 5
e) Za tři týdny budou Vánoce.
f) Sněží.
g) Prezidentem ČR je Václav Havel.
h) Je zima.
i) Číslo x je záporné.
j) 9 3 6
k) Za 21 dní budou Vánoce.
l) Prší.
m) ČR je členem EU.
n) Je teplý podzim.
o) Číslo x je nezáporné.
p) 4 3 6
q) Byly dva dny ředitelského volna.
r) Svítí slunce.
s) Začněte se učit!
t) Nemám moc času.
u) Trojúhelník ABC je rovnostranný.
Řešení:
a) ano
b) ne
c) ne
d) ano
e) ano
f) ne
g) ano
h) ne
i) ne
j) ano
k) ano
l) ne
m) ano
n) ne
o) ne
p) ano
q) ano
r) ne
s) ne
t) ne
u) ne
2. U následujících tvrzení rozhodněte, zda se jedná o výroky.
a) Rozsviťte.
b) Číslo 8 je větší než 5.
c) 3 6
d) Číslo 12 je dělitelné 5.
e) Kolik je hodin?
f) 3; 2x
g) Isaac Newton se narodil v roce 1643.
h) Venku prší.
i) Zítra je pondělí.
j) 2 8 10x
k) Zítra píšeme písemnou práci.
l) Úhlopříčky čtverce svírají úhel 90 .
m) Obsah obdélníku je 16 2cm .
n) Dnes chybí jeden student.
o) Číslo x je sudé.
p) 7 je prvočíslo.
q) Obdélníku lze opsat kružnici.
r) Čtverec má čtyři osy souměrnosti.
s) 3x y
Řešení:
a) ne
b) ano
c) ano
d) ano
e) ne
f) ne
g) ano
h) ano
i) ano
j) ne
k) ano
l) ano
m) ne
n) ano
o) ne
p) ano
q) ano
r) ano
s) ne
3. Utvořte negace následujících výroků:
a) Dnes jsem se učil.
b) Zítra půjdu do kina.
c) Zítra bude pršet.
d) Daný trojúhelník ABC je tupoúhlý.
e) Daný trojúhelník ABC je ostroúhlý.
f) Číslo 5 je prvočíslo.
g) Dané dvě přímky se protínají.
h) 8 je sudé číslo
i) Číslo 6 je kladné.
j) Číslo 3 je záporné.
k) Číslo 5 není rovno nule.
l) 2 3 6 .
m) 1 1 3 .
n) 1 3 5 .
o) 6 8 2 .
p) 3 4 6 .
q) 6 5 3
r) 5 4 .
s) 4 3 .
Základní poznatky z matematiky
Stránka 76
Řešení:
a) Dnes jsem se neučil.
b) Zítra nepůjdu do kina.
c) Zítra nebude pršet.
d) Daný trojúhelník ABC je ostroúhlý
nebo pravoúhlý.
e) Daný trojúhelník ABC je tupoúhlý
nebo pravoúhlý.
f) Číslo 5 není prvočíslo.
g) Dané dvě přímky se neprotínají.
h) 8 není sudé číslo
i) Číslo 6 je nekladné.
j) Číslo 3 je nezáporné.
k) Číslo 5 je rovno nule.
l) 2 3 6 .
m) 1 1 3 .
n) 1 3 5
o) 6 8 2 .
p) 3 4 6 .
q) 6 5 3
r) 5 4 .
s) 4 3 .
4. Utvořte negace následujících výroků:
a) Ve třídě je 16 lavic.
a) Ve třídě je 23 chlapců.
b) Ve třídě je 10 dívek.
c) Ve třídě je 7 oken.
d) Ve třídě je 32 židlí.
e) Ve škole je právě 22 vyučujících matematiky.
Řešení:
a) Ve třídě není 16 lavic.
a) Ve třídě není 23 chlapců.
b) Ve třídě není 10 dívek.
c) Ve třídě není 7 oken.
d) Ve třídě není 32 židlí.
e) Ve škole není 22 vyučujících matematiky.
5. Utvořte negace následujících výroků:
a) Nejvýše 7 studentů je nemocných.
b) Nejvýše 28 studentů není nemocných.
c) Nejvýše 3 studenti nepřišli.
d) Ve třídě je nemocných nejvýše 8 studentů.
e) Ve třídě je nejvýše 10 dívek.
f) Ve třídě je nejvýše 5 oken.
g) Ve škole je nejvýše 480 dívek.
h) Nejvýše tři studenti ve třídě nebudou psát písemnou práci.
i) Písemnou práci píše nejvýše 31 studentů.
Řešení:
a) Aspoň 8 studentů je nemocných.
b) Alespoň 29 studentů není nemocných.
c) Alespoň 4 studenti nepřišli.
d) Ve třídě je nemocných alespoň 9 studentů.
e) Ve třídě je alespoň 11 dívek.
f) Ve třídě je alespoň 6 oken
g) Ve škole je alespoň 481 dívek.
h) Alespoň čtyři studenti ve třídě nebudou psát písemnou práci.
i) Písemnou práci píše alespoň 32 studentů.
Základní poznatky z matematiky
Stránka 77
6. Utvořte negace následujících výroků:
a) Na písemnou práci přišlo alespoň 25 studentů.
b) Ve třídě je alespoň 15 chlapců.
c) Alespoň 3 studenti jsou nemocní.
d) Alespoň 5 dní bude ještě teplo.
e) Alespoň 20 studentů napsalo domácí úkol.
f) Ve škole je alespoň 550 chlapců
g) Ve třídě je alespoň 6 oken.
Řešení:
a) Na písemnou práci přišlo nejvýše 24 studentů.
b) Ve třídě je nejvýše 14 chlapců.
c) Nejvýše 2 studenti jsou nemocní.
d) Nejvýše 4 dny bude ještě teplo.
e) Nejvýše 19 studentů napsalo domácí úkol.
f) Ve škole je nejvýše 549 chlapců.
g) Ve třídě je nejvýše 5 oken.
7. Utvořte disjunkci výroků a a b, jestliže:
a) a: Číslo x je liché.; b: Číslo x je dělitelné 5.
b) a: Číslo 3x .; b: Číslo 5x .
Řešení:
a) Číslo x liché nebo je dělitelné 5.
b) Číslo 5x .
8. Utvořte konjunkci výroků a a b, jestliže:
a) a: Číslo x je sudé.; b: Číslo x je prvočíslo.
b) a: Číslo 4x .; b: Číslo 7x .
Řešení:
a) Číslo x je rovno 2.
b) Číslo 4; 7x .
9. Jsou dány výroky a: Číslo 12 je násobkem čísla 2 a b: Číslo 12 je násobkem čísla 3.
Utvořte následující složené výroky a určete jejich pravdivostní hodnotu:
a) ba b) ba c) ba
Řešení:
a) Číslo 12 je násobkem čísla 2 a zároveň násobkem čísla 3. (pravdivostní hodnota 1)
b) Číslo 12 je násobkem čísla 2 nebo násobkem čísla 3. (pravdivostní hodnota 1)
c) Jestliže je číslo 12 násobkem čísla 2, pak není násobkem čísla 3. (pravdivostní hodnota
0)
10. Jsou dány výroky a: Číslo 15 je násobkem čísla 3 a b: Číslo 15 je násobkem čísla 5.
Utvořte následující složené výroky a určete jejich pravdivostní hodnotu:
a) ba b) ba c) ba
Řešení:
a) Číslo 15 je násobkem čísla 3 a zároveň násobkem čísla 5. (pravdivostní hodnota 1)
b) Číslo 15 je násobkem čísla 3 nebo násobkem čísla 5. (pravdivostní hodnota 1)
c) Jestliže je číslo 15 násobkem čísla 3, pak není násobkem čísla 5. (pravdivostní hodnota 0)
Základní poznatky z matematiky
Stránka 78
11. Jsou dány výroky a: Číslo 15 je dělitelné číslem 3 a b: Číslo 15 je dělitelné číslem 5. Utvořte
následující složené výroky a určete jejich pravdivostní hodnotu:
a) ba b) ba c) ba
Řešení:
a) Číslo 15 je dělitelné číslem 3 a zároveň číslem 5. (pravdivostní hodnota 1)
b) Číslo 15 je dělitelné číslem 3 nebo číslem 5. (pravdivostní hodnota 1)
c) Jestliže je číslo 15 dělitelné číslem 3, pak není dělitelné číslem 5. (pravdivostní
hodnota 0)
12. Utvořte negace následujících výroků:
a) Pojedeme do Brna nebo do Prahy.
b) V Praze navštívíme Pražský hrad nebo Národní galerii.
c) Půjdeme do kina nebo do divadla.
d) Půjdu domů nebo do města.
e) Budu se učit fyziku nebo chemii.
f) Půjdu studovat ekonomii nebo práva.
g) Dnes máme matematiku nebo fyziku.
h) Číslo 15 je dělitelné třemi nebo pěti.
i) Vypočítám první nebo třetí příklad.
j) Z písemné práce dostanu jedničku nebo dvojku.
Řešení:
a) Nepojedeme do Brna ani do Prahy.
b) V Praze nenavštívíme Pražský hrad ani Národní galerii.
c) Nepůjdeme do kina a nepůjdeme do divadla.
d) Nepůjdu domů a nepůjdu do města.
e) Nebudu se učit fyziku a chemii.
f) Nepůjdu studovat ekonomii ani práva.
g) Dnes nemáme matematiku ani fyziku.
h) Číslo 15 není dělitelné třemi a není dělitelné pěti.
i) Nevypočítám první ani třetí příklad.
j) Z písemné práce nedostanu ani jedničku ani dvojku.
13. Utvořte negace následujících výroků:
a) V Praze navštívíme Pražský hrad a Národní galerii.
b) Pojedeme do Brna a do Prahy.
c) Dnes máme matematiku a český jazyk.
d) Ve třídě jsou židle a lavice.
e) Do školy chodí chlapci a dívky.
f) Pavel sbírá známky a pohledy.
g) Číslo 18 je dělitelné dvěma a třemi.
h) Dnes prší a sněží.
i) Na lavici leží pero a tužka.
j) Na parkovišti jsou auta a motocykly.
Základní poznatky z matematiky
Stránka 79
Řešení:
a) V Praze nenavštívíme Pražský hrad nebo nenavštívíme Národní galerii.
b) Nepojedeme do Brna nebo do Prahy.
c) Dnes nemáme matematiku nebo český jazyk.
d) Ve třídě nejsou židle nebo lavice.
e) Do školy nechodí chlapci nebo dívky.
f) Pavel nesbírá známky nebo pohledy.
g) Číslo 18 není dělitelné dvěma nebo není dělitelné třemi.
h) Dnes neprší nebo nesněží.
i) Na lavici neleží pero nebo neleží tužka.
j) Na parkovišti nejsou auta nebo nejsou motocykly.
14. Utvořte negace následujících výroků:
a) Jestliže bude sněžit, pojedeme lyžovat.
b) Jestliže bude zítra pěkně, pojedeme na výlet.
c) Jestliže bude epidemie, budou chřipkové prázdniny.
d) Jestliže se budu učit, budu mít dobré známky.
e) Jestliže se naučím, budu všemu rozumět.
f) Je-li člověk ctižádostivý, hodně toho dokáže.
g) Jestliže budeme psát test z fyziky, dostanu jedničku.
h) Jestliže dnes bude matematika, budeme psát test.
i) Jestliže bude zima, musím se teple obléci.
j) Jestliže bude mrznout, půjdeme bruslit.
Řešení:
a) Bude sněžit a nepojedeme lyžovat.
b) Zítra bude pěkně a nepojedeme na výlet.
c) Bude epidemie a nebudou chřipkové prázdniny.
d) Budu se učit a nebudu mít dobré známky.
e) Naučím se a nebudu všemu rozumět.
f) Člověk je ctižádostivý a hodně toho nedokáže.
g) Budeme psát test z fyziky a nedostanu jedničku.
h) Dnes bude matematika a nebudeme psát test.
i) Bude zima a nemusím se teple obléci.
j) Bude mrznout a nepůjdeme bruslit.
15. Utvořte negace následujících výroků:
a) Nikdo nekouří.
b) Nikdo nepřišel.
c) Nikdo nebyl nemocný.
d) Dnes nikdo nechybí.
Řešení:
a) Aspoň jeden kouří.
b) Aspoň jeden přišel.
c) Aspoň jeden byl nemocný.
d) Aspoň jeden dnes chybí.
16. Utvořte negace následujících výroků:
a) Každý kouří.
b) Každý přišel.
c) Každý byl nemocný.
Základní poznatky z matematiky
Stránka 80
d) Každý student ve třídě má občanský průkaz.
e) Každý student ve třídě měl 15 let.
f) Každý student dostane o pololetí vysvědčení.
g) Každý student napsal domácí úkol.
h) Každý student ve třídě je připraven na písemnou práci.
i) Všechna auta na parkovišti jsou červená.
Řešení:
a) Aspoň jeden nekouří.
b) Aspoň jeden nepřišel.
c) Aspoň jeden nebyl nemocný.
d) Aspoň jeden student ve třídě nemá občanský průkaz.
e) Alespoň jeden student ve třídě neměl 15 let.
f) Alespoň jeden student nedostane o pololetí vysvědčení.
g) Alespoň jeden student nenapsal domácí úkol.
h) Alespoň jeden student ve třídě není připraven na písemnou práci.
i) Alespoň jedno auto na parkovišti není červené.
17. Utvořte negace následujících výroků:
a) Aspoň jeden nekouří.
b) Aspoň jeden nepřišel.
c) Aspoň jeden byl nemocný.
d) Alespoň jeden student ve třídě má jedničku z matematiky.
e) Alespoň jeden politik to s námi myslí dobře.
f) Alespoň jeden semafor ve městě funguje.
g) Aspoň jeden student napsal domácí úkol.
h) Aspoň jeden student dnes chybí.
i) Alespoň jeden student ve třídě vypočítá všechny příklady.
j) V rybníku je alespoň jeden kapr.
Řešení:
a) Každý kouří. Všichni kouří.
b) Každý přišel. Všichni přišli.
c) Nikdo nebyl nemocný.
d) Nikdo ve třídě nemá jedničku z matematiky.
e) Všichni politici to s námi nemyslí dobře.
f) Žádný semafor ve městě nefunguje.
g) Žádný student nenapsal domácí úkol.
h) Žádný student dnes nechybí.
i) Žádný student ve třídě nevypočítá všechny příklady.
j) V rybníku není žádný kapr.
18. Za předpokladu, že uvedená tvrzení považujeme za výroky, utvořte jejich negace:
a) Až naprší a uschne.
b) Hloupost a pýcha na jednom dřevě rostou.
c) Ševcova žena a kovářova kobyla chodí bosy.
d) Nebude-li pršet, nezmoknem.
e) Neuč se, život tě naučí.
f) Když krtek v listopadu ryje, budou o Vánocích létat komáři.
g) Kdo se moc ptá, moc se dozví.
h) Mráz kopřivu nespálí.
Základní poznatky z matematiky
Stránka 81
i) Každý dobrý skutek je po zásluze potrestán.
Řešení:
a) Nenaprší nebo neuschne.
b) Hloupost nebo pýcha nerostou na jednom dřevě.
c) Ševcova žena nebo kovářova kobyla nechodí bosy.
d) Nebude pršet a zmokneme.
e) Uč se nebo tě život nenaučí.
f) Krtek v listopadu ryje a o vánocích nebudou létat komáři.
g) Moc se ptá a nic se nedozví.
h) Aspoň jednu kopřivu mráz spálí.
i) Aspoň jeden dobrý skutek není po zásluze potrestán.
19. Utvořte negace následujících výroků:
a) a b b) a b c) a b d) a b
Řešení:
a) a b a b
b) a b a b
c) a b a b
d) a b a b
20. Pomocí tabulkové metody určete pravdivostní hodnoty následujících složených výroků:
a) a a
b) a a
c) a a
d) a a
e) a a
f) a a
g) a a
h) a a
i) a a
j) a a
k) a a
l) a a
m) a a
Řešení:
a)
a a a
0 0 0 0
1 1 1 1
b) a a a
0 0 0 0
1 1 1 1
c) tautologie a a a
0 0 1 0
1 1 1 1
d) tautologie a a a
0 0 1 0
1 1 1 1
e) kontradikce a a a
0 0 0 1
1 1 0 0
f) tautologie
a a a
0 0 1 1
1 1 1 0
g) a a a
0 0 1 1
1 1 0 0
h) a a a
0 1 0 0
1 0 1 1
i) kontradikce a a a
0 0 0 1
1 1 0 0
j) a a a
0 1 1 1
1 0 0 0
Základní poznatky z matematiky
Stránka 82
k)
a a a
0 1 1 1
1 0 0 0
l) tautologie
a a a
0 1 1 1
1 0 1 0
m) tautologie
a a a
0 1 1 1
1 0 1 0
21. Pomocí tabulkové metody určete pravdivostní hodnoty následujících složených výroků:
a) )( aa
b) )( aa
c) )( aa
d) aaa )(
e) aaa )(
f) aaaa
g) aaaa
h) aaaa
i) a a a
j) a a a
k) a a a a
l) a a a a
Řešení:
a)
a a a
0 0 0 1 1
1 1 1 0 0
b) tautologie
a a a
0 1 0 0 1
1 1 1 0 0
c) tautologie
a a a
0 1 0 0 1
1 1 1 0 0
d) tautologie
a a a a
0 1 0 0 1 0
1 0 1 1 1 1
e)
a a a a
0 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 1
f)
a a a a a
0 0 1 1 0 0
1 1 1 0 1 1
Základní poznatky z matematiky
Stránka 83
g) tautologie
a a a a a
0 0 0 1 1 0
1 1 0 0 1 1
h) tautologie
a a a a a
0 0 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1
i) tautologie
a a a a
0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0
j)
a a a a
0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0 0
k)
a a a a a
0 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0
l)
a a a a a
0 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 1 0 1 0 0
22. Pomocí tabulkové metody určete pravdivostní hodnoty následujících složených výroků:
a) )( baa
b) )()( baba
c) )()( baba
d) )()( baba
e) baba
f) baba
g) baba
h) )()( baba
i) )()( baba
j) )()( baba
k) ( ) ( )a b a b
l) ( ) ( )a b a b
m) a b a b
n) a b a b
Řešení:
a) tautologie
a b a a b
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 1 0 1 1
Základní poznatky z matematiky
Stránka 84
b) tautologie
a b a b a b
0 0 1 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1 0
1 0 1 0 1 0 1 1
1 1 0 1 1 0 0 0
c) tautologie
a b a b a b
0 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0 1
1 1 0 1 1 0 0 0
d) tautologie
a b a b a b
0 0 0 1 1 0 0 1
0 1 0 1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 0 0
e) tautologie
a b a b a b
0 0 0 0 1 1 0
0 1 0 0 0 1 1
1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 1 1
f)
a b a b a b
0 0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0
1 0 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 1 1
g)
a b a b a b
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 1 0
1 0 0 1 1 1 1
h)
a b a b a b
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 0
1 0 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0
Základní poznatky z matematiky
Stránka 85
i)
a b a b a b
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 0 0 1
j) tautologie
a b a b a b
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 0 0 1 1 0
1 1 0 0 0 1 1
k)
a b a b a b
0 0 0 0 1 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 1
l)
a b a b a b
0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 1 1 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 0 1 0 0
m) tautologie
a b a b a b
0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 0
1 1 0 1 1 1 1
n)
a b a b a b
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 1 0
1 0 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 1 1
Základní poznatky z matematiky
Stránka 86
1.6 Absolutní hodnota
1. Na číselné ose vyznač čísla, pro která platí:
a) 3x
b) 2 1x
c) 2 4x
d) 2 4 6x
e) 3 4x
f) 5x
g) 5 2x
h) 2 4x
i) 3 6 9x
j) 2 3x
Řešení:
a) 3x
hledáme čísla na číselné ose, jejichž vzdálenost od počátku je menší nebo rovna 3
jednotky
b) 2 1x
hledáme čísla na číselné ose, jejichž vzdálenost od čísla 2 je menší než 1 jednotka
c) 2 4x
Vzdálenost všech čísel od čísla 2 je větší než 4 . Vzdálenost je vždy kladné číslo
d) 2 4 6 2 2 6 2 3x x x
Z výrazu můžeme vytknout kladné číslo 2, kterým pak nerovnici vydělíme
e) 4 43 3x x
Základní poznatky z matematiky
Stránka 87
f) 5x
g) 5 2x
h) 2 4x
žádné reálné číslo nemá od druhého čísla zápornou vzdálenost
i) 3 6 9 2 3x x
j) 2 3x
2. Pomocí absolutních hodnot zapiš vztah pro čísla vyznačená na číselné ose.
a)
b)
c)
d)
e)
Základní poznatky z matematiky
Stránka 88
f)
g)
h)
i)
j)
Řešení:
a)
2x
b)
3x
c)
3x
d)
3 2x
e)
3 1x
Základní poznatky z matematiky
Stránka 89
f)
1 2x
g)
4 2x
h)
1 2x
i)
3 3x
j)
5 5x
3. Urči hodnoty výrazů v uvedených intervalech:
a) 3 1x x
; 3x ; 3; 1x ; 1;x
b) 2 2x x
; 2x ; 2;2x ; 2;x
c) 1 2x x
;1x ; 1;2x ; 2;x
d) 4 2x x
;2x ; 2;4x ; 4;x
e) 3 1x x
;1x ; 1;3x ; 3;x
f) 2 2 3x x x
; 3x ; 3;0x ; 0;2x ; 2;x
g) 3 1x x x
;0x ; 0;1x ; 1;3x ; 3;x :
Základní poznatky z matematiky
Stránka 90
h) 1 1x x
;1x ; 1;x
i) 2 4 1 3 3x x x
; 2x ; 2;1x ; 1;x
j) 3 2
3 2
x x
x x
; 2x ; 2;3x ; 3;x
Řešení:
a) 3 1x x
0, 1 0 3 1; 3 : 3 3 1 2x x x xx x x
0, 1 0 3 1 33; 11 : 3 2 4x x x x xx x x
0, 1 0 3 1 3 1 21; : 3 x x x x xx x
b) 2 2x x
0, 2 0 2 2; 2 : 3 2 2 4x x x xx x x
0, 2 0 2 2 22;2 : 2 2 2x xx x x xx x
0, 2 0 2 2 2: 2 22; 4x xx x xx x
c) 1 2x x
0, 2 0 1 2 1 2 1;1 : 1 x x xx xx x
0, 2 0 1 2 1 21 21;2 : 3xx x x xx x x
0, 2 0 1 2 1 2 12; : 1 x x x xx xx
d) 4 2x x
0, 2 0 4 2 4 2 2;2 : 4 x x x x xx x
0, 2 0 42; 2 4 2 2 64 : 4 x x x x xx x x
0, 2 0 4 2 4 2: 4 24; x x x x xx x
e) 3 1x x
0, 1 0 3 1 3 1 2;1 : 3 x x x x xx x
0, 1 0 31; 1 3 1 2 43 : 3 x x x x xx x x
0, 1 0 3 1 3 2: 3 13; x x x x xx x
f) 2 2 3x x x
0, 3 0, 0 2 2;
8
3 2 3
2
:
2 6
x x x x x
x
x
x
x
x
0, 3 0, 0 2 2 3
2 2 6
3;0 :
4 4
2 x x x x x
x x
x x
x x
0, 3 0, 0 2 2 3
2 2 6 2
0;2 : 2
4
x xx x x x
x x x x
x
Základní poznatky z matematiky
Stránka 91
0, 3 02 , 0 2 2 3
2 2 6
:
8
; 2 x x x x x
x x
x x
x
g) 3 1x x x
0, 0, 1 0 3 (;0 : 3 ) 1
3 1 4
x xx x x x x
x x x x
0, 0, 1 0 3 1
3
0;1
3
:
1
3
4
x x x x
x
x
x
x x
x x
0, 0, 1 0 3 1
3 1
: 3
2
1;3 x xx x x x x
x x x x
0, 0, 1 0 3 1
3 1
3; : 3
4
x x x x x
x x x x
x x
h) 1 1x x
2;1 : 1 0 1 1 1x x x x x
2 11; 0: 1 1 1x xx x x
i) 2 4 1 3 3x x x
; 2 : 2 4 0, 1 0 2 4 1 3 3
2 4 1 3 3 1
x x x x
x x x
x x
0, 1 0 2 4 1 3 3
2 4 1 3 3
2
4
;1
9
: 2 4 x x x x
x x
x
x
x
x
0, 1 0 2 41; : 1 3 3
2 4 1 3 3 1
4
1
2
2
x x x x
x x x x
x x
j) 3 2
3 2
x x
x x
3 2
; 2 : 3 1 1 23 2
0, 2 0x x
xxx x
x
3 2
2;3 : 3 1 1 03 2
0, 2 0x
xx
x xx x
3 2
3; : 3 1 1 23 2
0, 2 0x
xx
x xx x
4. Vypočtěte:
a) 1 2 2 3 2
b) 2 1 2 2 3
c) 2 1 1 3
d) 1 2 3 1
Řešení:
a) 1 2 2 3 2 1 2 2 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 5
b) 2 1 2 2 3 2 1 2 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1
c) 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 4 2 1 4 2 4
2 4 6 6
Základní poznatky z matematiky
Stránka 92
d) 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 4 1 2 4 1 8
1 8 9 9
5. Vypočtěte:
a) 2 2 2 2 2
b) 2 2 2 2 2
c) 2 1 3 3 3 1
d) 31 2 2 2 1
e) 2 2 3 3 3 2
f) 2 3 2 3 2 3
g) 6 2 3 12 3 2
h) 12 2 3 6 3 2
i) 6 2 2 3 6 2 3 2
j) 12 3 3 2 12 2 2 3
Řešení:
a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 6 3 2
b) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 6 3 2
c) 2 1 3 3 3 1 2 1 3 3 3 1 2 2 3 3 3 3 5 3 5
d) 31 2 2 2 1 3 1 2 2 2 1 3 3 2 2 2 2 5 2 5
e) 2 2 3 3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3 2
2 3
f) 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3 2
2 3
g) 6 2 3 12 3 2 6 3 2 12 3 2
18 12 36 24 9 2 4 3 6 4 6
3 2 2 3 6 2 6
h) 12 2 3 6 3 2 12 3 2 6 3 2
36 24 18 12 6 4 6 9 2 4 3
6 2 6 3 2 2 3
i) 6 2 2 3 6 2 3 2 6 2 2 3 6 2 3 2
2 12 18 2 18 12 18 12
9 2 4 3 3 2 2 3
j) 12 3 3 2 12 2 2 3 12 3 3 2 12 2 2 3
3 36 24 2 24 36 2 36 24
2 6 4 6 12 2 6
Základní poznatky z matematiky
Stránka 93
6. Vypočtěte:
a) 1
1 2
b) 1
2 1
c) 1
1 3
d) 1
3 1
e) 1
2 3
f) 1
3 2
Řešení:
a)
2
1 1 2 1 2 1 2 12 1
2 12 1 2 11 2 2 1
b)
2
1 1 2 1 2 1 2 12 1
2 12 1 2 12 1 2 1
c)
2
1 1 3 1 3 1 3 1 3 1
3 1 23 1 3 11 3 3 1
d)
2
1 1 3 1 3 1 3 1 3 1
3 1 23 1 3 13 1 3 1
e)
2 2
1 1 3 2 3 2 3 23 2
3 23 2 3 22 3 3 2
f)
2 2
1 1 3 2 3 2 3 23 2
3 23 2 3 23 2 3 2
7. Vypočtěte:
a) 3 2
2 1 2 4
Řešení:
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 6 2a)
4 2 4 2 2 4 6 2 6 22 1 2 4 2 2 1 4
18 3 2 6 2 4 18 3 2 2 16 3 2
36 2 3436 4
8. Vypočtěte:
a)
2 1
2 1 2 3 2 1
b)
2 1
3 1 2 2 2 1
c)
2 1
3 1 2 2 2 1
d)
3 1
2 1 3 2 1 3
Sbírka řešených úloh z matematiky
Stránka 94
e)
1 3
2 3 1 2 3 1
f) 2 3
3 3 2 2 2 2 3
g) 2 3
3 3 2 2 2 2 3
h) 3 2
2 2 3 3 3 2 2
i) 1 2
2 2 1 2 2 2
j) 2 2
2 1 2 2 2 1
k) 2 2 5
2 5 2 5 2 2
l) 2 3 5
5 3 2 3 2 5
m) 4 2 2
2 1 8 2 2 1
n) 8 4
4 1 2 2 2 3
Řešení:
2 1 2 1 2 1
a) 2 2 2 3 2 32 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1
2 1 2 1 4 2 2 1 2 2 2 1
2 12 1 2 1 4 1
3 2 23 2 2
1
2 1 2 1 2 1
b) 3 3 2 2 2 23 1 2 2 2 1 3 1 2 2 2 1
2 1 2 5 4 5 2 2 5 2 6 2 5
2 252 5 2 5 4 25
7 6 2 6 2 7
23 23
2 1 2 1 2 1
c) 3 3 2 2 2 23 1 2 2 2 1 3 1 2 2 2 1
2 1 2 1 4 2 2 1 2 2 2 1
2 12 1 2 1 4 1
3 2 23 2 2
1
Základní poznatky z matematiky
Stránka 95
3 1 3 1 3 1
d) 2 3 2 2 2 32 1 3 2 1 3 2 3 1 2 1 3
3 1 3 9 3 3 3 3 3
4 3 124 3 3 4 9
1 3 1 3 1 3
e) 2 3 2 2 3 22 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1
1 3 3 3 9 3 3 3 3
4 3 124 3 3 4 9
2 3 3 2 3 2f)
3 3 3 2 4 2 2 33 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 3
3 2 5 3 7 2 5 9 7 6 5 6 7 4 5 3 2 6 7 2 15 2 6 14
25 3 49 2 75 985 3 7 2 5 3 7 2 25 9 49 4
1 2 6 1 2 6
24 24
2 3 3 2 3 2g)
3 3 3 2 4 2 2 33 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 3
3 2 3 2 9 6 6 4 3 2 6 2 1 2 6 1 2 6
3 2 13 2 3 2 9 4
3 2 3 2 3 2h)
2 3 2 2 6 2 3 32 2 3 3 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3
3 2 5 3 8 2 5 9 8 6 5 6 8 4 5 3 3 6 8 2
25 3 64 25 3 8 2 5 3 8 2 25 9 64 4
15 2 6 16 2 6 1 1 2 6
75 128 53 53
1 2 2 1 2 1i)
2 2 2 4 2 22 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2
2 1 4 2 6 4 4 6 2 4 2 6 4 2 2 2 6
16 2 364 2 6 4 2 6 16 4 36
28 2 2 6 2 2 2
32 36 4
2 1
4
2 1
2
2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4j)
2 2 2 2 2 2 4 2 4 4 2 42 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1
8 2 8 4 4 4 2 4 2 8 4 2 4 2 8 8 4
16 2 16 32 1616 4 16
2
16
2
4
Základní poznatky z matematiky
Stránka 96
2 2 5 2 2 5 2 2 5k)
5 2 4 2 2 52 5 2 5 2 2 5 2 2 2 2 5
2 2 5 3 5 5 2 6 10 10 4 3 25 5 10 10 10 2 3 5 =
9 5 25 23 5 5 2 3 5 5 2 9 25 25 4
10 20 15 10 5
45 50 5
2 3 5 2 3 5 2 3 5l)
5 3 4 5 2 35 3 2 3 2 5 5 3 2 2 5 3
2 3 5 3 3 5 2 9 6 15 15 3 25 2 3 5 15 3 5
3 9 53 3 5 3 3 5 9 9 25
6 5 15 15 9 5 15 9 5 15
3 45 42 42
4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2m)
2 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 42 1 8 2 2 1 2 8 1 2 2 1
4 2 2 4 2 2 1
4 2 2 2 4 2 2 4
8 4 4 8 4 2 2 4 2 2n)
4 2 4 6 2 2 6 2 104 1 2 2 2 3 4 2 1 2 3 2
2
2 2
2
2 2 3 2 5 6 2 10 3 4 5 2 2 10 3 2
9 2 253 2 5 3 2 5 9 4 253 2 5
2 10 6 2 4 2 4
18 25 7 7
Základní poznatky z matematiky
Stránka 97
1.7 Algebraické výrazy a jejich úpravy
1.7.1 Mnohočleny
1. Jsou dány mnohočleny 265 2 xxxA , 5342 23 xxxxB , 13 5 xxC .
a) Určete jejich stupně.
b) Určete kvadratický člen mnohočlenu xA , lineární člen mnohočlenu xB , absolutní člen
mnohočlenu xC .
c) Vypočtěte 3A
d) Vypočtěte 2B
e) Vypočtěte xBxA .
f) Vypočtěte xAxB
Řešení:
a) xA - stupeň 2, xB - stupeň 3, xC - stupeň 3,
b) kvadratický člen mnohočlenu 25: xxA , lineární člen mnohočlenu 24: xxB ,
absolutní člen mnohočlenu 1: xC .
c) 25204521895236353 2 A
d) 431116165644825232422223
B
e) 7325342265 23232 xxxxxxxxxBxA
f)
3992
2655342)265(5342
23
223223
xxx
xxxxxxxxxxxAxB
2. Zjednodušte:
a) 2 2 2 2 24 5 7 3 9 3 3 6 2 5x x x x x x x x
b) 2 3 23 2 2 4 3 4 2 3 1a b a a b b b a
c) 4 2 5 7 2 3 2 3 4x y x y x y x y
d) 2 3 4 2 8 2 3 3 2 4 3a b c a a c b a b c a c
e) 5 2 2 3 4 6 2 6 3 2 6x y z x y z y x z x z y z y z
Řešení:
a) 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 5 7 3 9 3 3 6 2 5
4 5 7 3 9 3 3 6 2 5
4 5 7 3 9 9 18 6 15 32 23 15
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
b) 2 3 2
2 3 2 3
2 3 2 3 3 2
3 2 2 4 3 4 2 3 1
3 2 8 2 3 12 2 3 1
3 2 8 2 3 12 2 3 1 5 5 5 10 1
a b a a b b b a
a b a a b b b a
a b a a b b b a b a a b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 98
c)
4 2 5 7 2 3 2 3 4 4 2 5 7 2 3 6 8
4 2 5 7 2 3 6 8 4 2 5 7 2 3 6 8
13 14
x y x y x y x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y x y x y
x y
d)
2 3 4 2 8 2 3 3 2 4 3
2 3 4 2 8 2 3 3 2 4 3
2 3 4 2 8 2 3 3 2 4 3
2 3 4 2 8 2 3 3 2 4 3 15 2
a b c a a c b a b c a c
a b c a a c b a b c a c
a b c a a c b a b c a c
a b c a a c b a b c a c a b
e)
5 2 2 3 4 6 2 6 3 2 6
5 2 2 3 4 6 2 6 3 2 6
5 2 2 3 4 6 2 6 3 2 6
5 2 2 3 4 6 2 6 3 2 6 8 8 13
x y z x y z y x z x z y z y z
x y z x y z y x z x z y z y z
x y z x y z y x z x z y z y z
x y z x y z y x z x z y z y z x y z
3. Jsou dány mnohočleny: 432234 2653 yxyyxyxxA ,
432234 46532 yxyyxyxxB 432234 53264 yxyyxyxxC .
a) Vypočtěte CBA
b) Vypočtěte BAC
c) Vypočtěte B A C
d) Vypočtěte 2 3A B C
e) Vypočtěte BA
Řešení:
a)
4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
3 3 2 2 4 4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
3 5 6 2 2 3 5 6 4
4 6 2 3 5
4 6 10 6 4 6 2 3 5
5 12 12 3
A B C x x y x y xy y x x y x y xy y
x x y x y xy y
x x y x y y x x y x y xy y
x x y x y xy y
b)
4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2
3 4 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
4 6 2 3 5 3 5 6 2
2 3 5 6 4 4 6 2 3 5 3 5
6 2 2 3 5 6 4 5 12 12 3
C A B x x y x y xy y x x y x y xy y
x x y x y xy y x x y x y xy y x x y x y
xy y x x y x y xy y x x y x y xy y
c) 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2
3 4 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
2 3 5 6 4 3 5 6 2
4 6 2 3 5 2 3 5 6 4 3 5
6 2 4 6 2 3 5 2 6 2 9 7
B A C x x y x y xy y x x y x y xy y
x x y x y xy y x x y x y xy y x x y x y
xy y x x y x y xy y x x y x y xy y
d) 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 4 3
2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
2 3 2 3 5 6 2 3 2 3 5 6 4
4 6 2 3 5 2 6 10 12 4 6 9
15 18 12 4 6 2 3 5 12 9 7 33 3
A B C x x y x y xy y x x y x y xy y
x x y x y xy y x x y x y xy y x x y
x y xy y x x y x y xy y x x y x y xy y
Základní poznatky z matematiky
Stránka 99
e) 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
8 7 6 2 5 3 4 4 7 6 2 5 3 4 4 3 5
6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 5 3 4 4 3 5 2 6
7 4 4 3 5 2
3 5 6 2 2 3 5 6 4
2 3 5 6 4 6 9 15 18 12
10 15 25 30 20 12 18 30 36
24 4 6 10
A B x x y x y xy y x x y x y xy y
x x y x y x y x y x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y x y x y x y
xy x y x y x
6 7 8 8 7 6 2 5 3
4 4 3 5 2 6 7 8
12 8 2 3 14 12
25 18 6 12 8
y xy y x x y x y x y
x y x y x y xy y
4. Určete hodnotu výrazu:
a) 24532 23 ,xxxx
b) 213223 ,y,xyxyyxx
c) 2 2 23 2 4 3 1 2 3xyz x y xyz xy x y ,x , y ,z
d) 2 2 2 22 3 2 3 4 3 2 0 1 2x y yz xyz y z x yz xyz y z ,x , y ,z
e) 2 2 2 2 23 2 3 2 5 2 3 1 2 2xyz x z xyz xz x y xz xy yz ,x , y ,z
Řešení:
a) 364106164102382425232223
b) 158421221211 3223
c)
2 2 23 1 2 3 2 1 2 1 2 3 4 1 2 3 1 2
18 4 6 16 6 18 4 6 10 18 4 4 18 8 10
d)
2
2
2 0 1 1 2 3 0 1 2 2 1 2 3 0
4 1 2 3 0 1 2 2 1 2
0 2 4 8 4 6 4 10
e)
2 2 2
22
1 2 2 3 1 2 2 1 2 2 3 1 2 2 1 2
5 1 2 2 1 2 3 2 2
4 6 8 12 4 10 8 24 4 6 8 8 42
4 22 42 4 22 42 68
5. Vypočtěte:
a) 2 4 3 5 4 9 3 2a b a b a b a b
b) abababa 4752369
c) xyxyx 75824
d) ababa 75326
e) yyxxyyxyx 1086749325
Základní poznatky z matematiky
Stránka 100
Řešení:
a)
2 4 3 5 4 9 3 2 2 4 3 5 4 9 3 2
2 7 14 2 7 14 8 12
a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
b)
9 6 3 2 5 7 4 9 6 3 2 5 7 4
9 6 3 2 5 7 4 9 6 3 2 5 7 4 3
a b a b a b a a b a b a b a
a b a b a b a a b a b a b a a b
c) xyyxyxyyxyxxyxyx 12758247582475824
d)
6 2 3 5 7 6 2 3 5 7
6 2 3 5 7 6 2 3 5 7 16 3
a b a b a a b a b a
a b a b a a b a b a a b
e)
5 2 3 9 4 7 6 8 10
5 2 3 9 4 7 6 8 10
5 2 3 9 4 7 6 8 10
5 2 3 9 4 7 6 8 10 21 9
x y x y y x x y y
x y x y y x x y y
x y x y y x x y y
x y x y y x x y y x y
6. Sečtěte a výsledek uspořádejte sestupně podle exponentů.
a) 4 3 4 3 2 3 22 4 5 9 2 5 2 7 5a a a a a a a
b) 2 2 3 2 33 4 5 7 6 3 7a a a a a a a
c) 5 3 5 4 5 312 6 5 10 3 9x x x x x x
d) 4 2 3 3 4 2 3 2 410 6 2 8 6 2 9 7 5a a a a a a a a a
e) 7 5 7 5 75 9 4 8 7 4 6 3a a a a a a a a
Řešení:
a) 4 3 4 3 2 3 2 4 3 2 2 4 5 9 2 5 2 7 5 11 14 7 9a a a a a a a a a a
b) 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3
3 2
3 4 5 7 6 3 7 3a 4 5 7 6 3 7
10 2 2 7
a a a a a a a a a a a a a
a a a
c) 5 3 5 4 5 3 5 3 5 4 5 3
5 3 5 4 5 3 5 4 3
12 6 5 10 3 9 12 6 5 10 3 9
12 6 5 10 3 9 14 10 3
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
d)
4 2 3 3 4 2 3 2 4
4 2 3 3 4 2 3 2 4
4 2 3 3 4 2 3 2 4
4 2 3 3 4 2 3 2 4 4 3 2
10 6 2 8 6 2 9 7 5
10 6 2 8 6 2 9 7 5
10 6 2 8 6 2 9 7 5
10 6 2 8 6 2 9 7 5 15
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
e) 7 5 7 5 7
7 5 7 5 7
7 5 7 5 7 7 5
5 9 4 8 7 4 6 3
5 9 4 8 7 4 6 3
5 9 4 8 7 4 6 3 18 14
a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 101
7. Vynásobte a sečtěte:
a) 3 ( 2 ) ( 4 ) ( 5 )x y x y
b) 3 2 4 2 3 5 6a a a a
c) 3 2 2 3 5 4 2 3 (2 4 5 )x y x y xy x y
d) 2 2 2 2 3 24 2 3 2 4 3 5 2a a ab a b a a ab
e) 133263 4252 nnnn aaaa
Řešení:
a) 3 ( 2 ) ( 4 ) ( 5 ) 6 10 16x y x y xy xy xy
b) 3 2 4 3 2 4 2 3 5 6 24 12 18 30a a a a a a a a
c) 3 2 2 3 5 4 2 5 5 4 7 7 4 3 (2 4 5 ) 6 12 15x y x y xy x y x y x y x y
d)
2 2 2 2 3 2
3 2 2 2 2 3 2
3 2 2 2 4 2 3 4 2 2
4 2 3 2 4 3 5 2
8 12 8 4 12 20 2
28 16 4 2 56 32 8
a a ab a b a a ab
a a b a a b a a ab
a a b a ab a b a b a b
e) 4243133263 84104252 nnnnnnn aaaaaaa
8. Vynásobte a sečtěte:
a) 3 5x x
b) 4 3 2x x x
c) 3 4 5 2 3 4 2a a a a
d) 3 24 2 3 5 6a a a a
e) 7521436 223 aaaaa
f) 223223 25243 bababbaaba
g) 4352234 223 xxxxxx
h) babababababa 43322323
i) 11 2222222222 cbbacabcba
j) 534165423123 xxxxxx
Řešení:
a) 2 23 5 5 3 15 8 15x x x x x x x
b) 2 2
3 2 2 3 2
4 3 2 3 4 12 2 12 2
2 2 12 24 3 10 24
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
c) 2 2
2
3 4 5 2 3 4 2 15 6 20 8 3 6 4 8
10 18 14
a a a a a a a a a a
a a
d) 3 2 4 3 3 2 2
4 3 2
4 2 3 5 6 4 24 2 12 3 18 5 30
4 26 14 23 30
a a a a a a a a a a a
a a a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 102
e) 3 2 2
5 4 3 4 3 2 3 2 2
5 4 3 2
6 3 4 1 2 5 7
12 60 42 6 15 21 8 20 28 5 7
12 54 65 2 33 7
a a a a a
a a a a a a a a a a a
a a a a a
f) 3 2 2 3 2 2
5 4 3 2 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
3 4 2 5 2
3 6 3 4 8 4 2 4 2 5 10 5
3 4 5 5 6 5
a ab a b b a ab b
a a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab b
a a b a b a b ab b
g)
3 2 2
3 4 2 3 2 2
3 4 2 2
5 4 3 6 5 4 4 3 2
3 2 2
6 5 4 3 2
4 3 2 2 5 3 4
8 4 6 3 2 4 2 5 3 4
11 4 7 4 4 5 3 4
55 33 44 20 12 16 35 21 28
20 12 16 20 12 16
20 55 52 3 4 4 16
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x
h)
2 2
2 2
2 2
3 2 2 2
3 2 3 2 2 3 3 4
3 2 3 2 2 3 3 3 4 4
3 2 3 2 2 3 3 3 4 4
3 2 3 2 3 2 3 4
3 2 9 6 9 3 12 6 4 6
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a ab ab b
a b a b a b a b a ab ab b
a b a b a b a a b ab b
a b a b a a ab ab ab a b ab
2 2 3
3 2 2 2 2 3
3 2 2 2 2 3
2 4 3 2 2 2 3 2 3
2 3 2 2 2 2 3 4
2
2 8
3 2 9 6 7 14 6 6 8
3 2 9 6 7 14 6 6 8
3 3 27 18 21 42 18 18 24
2 2 18 12 14 28 12 12 16
3
b ab b
a b a b a a ab ab a b b b
a b a b a a ab ab a b b b
a ab a a a b a b a b ab ab
ab b a b a b ab ab ab b b
a
4 3 2 2 2 2 3 2 3 3 45 27 18 9 42 32 24 2 18 12 16ab a a a b a b ab ab b a b b b
i) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
0
a b c b a c a b b c
a b a c a b b a c b c b c b
j)
2 2
2 2 2
2
3 2 1 3 2 4 5 6 1 4 3 5
3 3 2 2 12 15 8 10 6 24 3 5
3 3 2 2 12 15 8 10 18 30 72 120
60 121 12
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x
9. Vynásobte:
a) abba 2534
b) xyxxyx 22 224
c) 2323 4254 xxyxyy
d) 231253 2234 xxxxxx
Základní poznatky z matematiky
Stránka 103
Řešení:
a) 2222 152686158202534 babaabbaababba
b) 22342233422 2882448224 yxyxxyxyxyxxxyxxyx
c) 23523262323 20101684254 yxyxyxxyxxyxyy
d) 4 3 2 2 6 5 4 5 4 3 4 3
2 3 2 2 6 5 4 3 2
3 5 2 1 3 2 3 2 3 9 6 5 15
10 2 6 4 3 2 6 16 23 17 7 2
x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
10. Vypočtěte použitím vzorců a pak sečtěte:
a) 2 -3 2 3 2 3 2 3x x x x
b) 4 -5 5 4 3 7 7 3a a a a
c) 0,2 -0,1 0,2 0,1 0,1 0,3 0,3 0,1x x x x
d) 2 2 2 22a b ab a b ab
e) 2 4 3 2 4 3 3 2 4 3 2 4x y x y x y x y x y x y x y x y
Řešení:
a) 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3 2 3 4 9 (4 9 ) 4 9 4 9 13 13x x x x x x x x x
b) 2 2 2 2
2
4 5 5 4 3 7 7 3 16 25 (9 49) 16 25 9 49
5 24
a a a a a a a a
a
c) 2 2
2
0,2 - 0,1 0,2 0,1 0,1 0,3 0,3 0,1 0,04 0,01 0,01 0,09
0,05 0,1
x x x x x x
x
d) 2 2 2 2 4 2 2 42 4a b ab a b ab a b a b
e) 2 4 3 2 4 3 3 2 4 3 2 4
4 8 6 2 6 2 4 8 4 8 6 2 6 2 4 8 4 8 6 2( ) 2 2
x y x y x y x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y
11. Vypočtěte:
a) 2 4 3 5 - 4 9 3a b a b a b a b
b) abababa 4752369
c) xyxyx 75824
d) ababa 75326
e) yyxxyyxyx 1086749325
Řešení:
a)
2 4 3 5 - 4 9 3 2 4 3 5 4 9 3 2
2 7 14 2 7 14 8 12
a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
b)
9 6 3 2 5 7 4 9 6 3 2 5 7 4
9 6 3 2 5 7 4 9 6 3 2 5 7 4 3
a b a b a b a a b a b a b a
a b a b a b a a b a b a b a a b
c) 4 2 8 5 7 4 2 8 5 7 4 2 8 5 7 12x y x y x x y x y y x y x y y x
Základní poznatky z matematiky
Stránka 104
d)
6 2 3 5 7 6 2 3 5 7
6 2 3 5 7 6 2 3 5 7 16 3
a b a b a a b a b a
a b a b a a b a b a a b
e)
5 2 3 9 4 7 6 8 10
5 2 3 9 4 7 6 8 10
5 2 3 9 4 7 6 8 10
5 2 3 9 4 7 6 8 10 21 9
x y x y y x x y y
x y x y y x x y y
x y x y y x x y y
x y x y y x x y y x y
12. Sečtěte a výsledek uspořádejte sestupně podle exponentů:
a) 4 3 4 3 2 3 22 4 5 9 2 5 2 7 5a a a a a a a
b) 2 2 3 2 33 4 5 7 6 3 7a a a a a a a
c) 5 3 5 4 5 312 6 5 10 3 9x x x x x x
d) 4 2 3 3 4 2 3 2 410 6 2 8 6 2 9 7 5a a a a a a a a a
e) 7 5 7 5 75 9 4 8 7 4 6 3a a a a a a a a
Řešení:
a) 4 3 4 3 2 3 2 4 3 22 4 5 9 2 5 2 7 5 11 14 7 9a a a a a a a a a a
b) 2 2 3 2 3 3 23 4 5 7 6 3 7 10 2 2 7a a a a a a a a a a
c) 5 3 5 4 5 3 5 3 5 4 5 3
5 3 5 4 5 3 5 4 3
12 6 5 10 3 9 12 6 5 10 3 9
12 6 5 10 3 9 14 10 3
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
d)
4 2 3 3 4 2 3 2 4
4 2 3 3 4 2 3 2 4
4 2 3 3 4 2 3 2 4
4 2 3 3 4 2 3 2 4 4 3 2
10 6 2 8 6 2 9 7 5
10 6 2 8 6 2 9 7 5
10 6 2 8 6 2 9 7 5
10 6 2 8 6 2 9 7 5 15
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
e) 7 5 7 5 7
7 5 7 5 7
7 5 7 5 7 7 5
5 9 4 8 7 4 6 3
5 9 4 8 7 4 6 3
5 9 4 8 7 4 6 3 18 14
a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a
1.7.2 Dělení mnohočlenu mnohočlenem
1. Dělte a uveďte podmínky pro dělitele:
a) 12:5656 23 aaaa
b) 3:65 11 xxxx aaa
c) 32:2018496 234 xxxxx
d) 14:51219148 234 aaaaa
e) 82:321622212 22345 xxxxxxx
Základní poznatky z matematiky
Stránka 105
Řešení:
a)
3 2 2
3 2
2
2
1 6 5 6 5 : 2 1 3 4 5, 2 1 0
2
6 3
8 6 5
8 4
10 5
10 5
0
a a a a a a a a
a a
a a
a a
a
a
b)
1 1 1
1
1
1
6 : 3 2 , 3 0 3
3
2 6
2 6
0
a a a a a
a a
a a-
a a
x x x x x x x x
x x
x x
x x
c)
4 3 2 3
4 3
2
2
2 3 6 9 4 18 20 : 2 3 3 2 6 , 2 3 0
2 3 2
6 9
4x 18 20
4 6
12x-20
12 18
x x x x x x x x xx
x x
x
x x
x
2
d)
4 3 2 3 2
4 3
3 2
3 2
2
2
3 1 8 14 19 12 5 4 1 2 3 4 2 , 4 1 0
4 1 4
8 2
12 19 12 5
12 3
16 12 5
16 4
a a a a : a a a a a aa
a a
a a a
a a
a a
a a
8 5
8 5
3
a
a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 106
e)
5 4 3 2 2 3 2
1 2
5 4 3
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
2 21 22 16 32 : 2 8 2 3 4, 4, 2
2 4 16
3 5 22 16 32
3 6 24
2 16 32
2 8
x x x x x x x x x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
2
2
4 8 32
4 8 32
0
x x
x x
2. Dělte a uveďte podmínky pro dělitele:
a) 2 2 1 1 12 3 4 :n n n nx x x x
b) 4 3 29 9 14 7 1 : 3 1x x x x x
c) 4 24 19 17 3 : 2 3x x x x
Řešení:
a) podmínka: 0x
2 2 1 1 1 1 22 3 4 : 2 3 4n n n n n nx x x x x x x
b) podmínka:
3
1013 xx
4 3 2 3 2
4 3
3 2
3 2
2
2
9 9 14 7 1 : 3 1 3 2 4 1
9 3
6 14 7 1
6 2
12 7 1
12 4
x x x x x x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
3 1
3 1
0
x
x
Základní poznatky z matematiky
Stránka 107
c) podmínka:
2
3032 xx
4 2 3 2
4 3
3 2
3 2
2
2
4 19 17 3 : 2 3 2 3 5 1
4 6
6 19 17 3
6 9
10 17 3
10 15
2 3
2 3
x x x x x x x
x x
x - x x
x x
- x x
x x
x -
x
0
3. Vypočtěte:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Řešení:
5 4 3 2 212 14 7 5 1 : 3 2 1x x x x x x x
5 4 3 2 212 14 17 11 5 1 : 3 2 1x x x x x x x
5 4 3 2 212 2 13 3 2 : 3 2x x x x x x x
5 4 3 2 28 16 12 7 3 : 2 3x x x x x x x
5 4 3 2 212 14 13 3 2 : 3 2x x x x x x x
5 4 3 2 210 21 13 2 12 : 2 3x x x x x x x
5 4 3 2 2 3 2
5 4 3
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
a) 12 14 7 5 1 : 3 2 1 4 2 3 1
12 8 4
6 5 7 5 1
6 4 2
9 9 5 1
9 6 3
x x x x x x x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
2
2
3 2 1
3 2 1
0
x x
x x
Základní poznatky z matematiky
Stránka 108
5 4 3 2 2 3 2
5 4 3
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
b) 12 14 17 11 5 1 : 3 2 1 4 2 3 1
12 8 4
6 13 11 5 1
6 4 2
9 9 5 1
9 6 3
x x x x x x x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
2
2
3 2 1
3 2 1
0
x x
x x
5 4 3 2 2 3 2
5 4
4 3 2
4 3
3 2
3 2
c) 12 2 13 3 2 : 3 2 4 2 3 1
12 8
6 13 3 2
6 4
9 3 2
9 6
x x x x x x x x x x
x x
x x x x
x x
x x x
x x
2
2
3 2
3 2
0
x x
x x
5 4 3 2 2 3 2
5 4
4 3 2
4 3
3 2
3 2
d) 8 16 12 7 3 : 2 3 4 2 3 1
8 12
4 12 7 3
4 6
6 7 3
6 9
x x x x x x x x x x
x x
x x x x
x x
x x x
x x
2
2
2 3
2 3
0
x x
x x
5 4 3 2 2 3 2
5 4
4 3 2
4 3
3 2
3 2
e) 12 14 13 3 2 : 3 2 4 2 3 1
12 8
6 13 3 2
6 4
9 3 2
9 6
x x x x x x x x x x
x x
x x x x
x x
x x x
x x
2
2
3 2
3 2
0
x x
x x
Základní poznatky z matematiky
Stránka 109
4. Vypočtěte:
a)
b)
Řešení:
5 4 3 2 2 3 2
5 4
4 3 2
4 3
3 2
3 2
f) 10 21 13 2 12 : 2 3 5 3 2 4
10 15
6 13 2 12
6 9
4 2 12
9 6
x x x x x x x x x x
x x
x x x x
x x
x x x
x x
2
2
8 12
8 12
0
x x
x x
6 5 4 3 2 22 12 22 17 15 25 : 2 5x x x x x x x x
6 5 4 3 2 23 7 21 18 4 16 : 3 4x x x x x x x x
6 5 4 3 2 2 4 3 2
6 5 4
5 4 3
5 4 3
4 3 2
4 3 2
a) 2 12 22 17 15 25 : 2 5 2 3 4 5
2 4 10
3 2 22
3 6 15
4 7 17
4 8 20
x x x x x x x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
3 2
3 2
2
2
3 15
2 5
5 10 +25
5 10 25
x x x
x x x
x x
x x
0
6 5 4 3 2 2 4 3 2
6 5 4
5 4 3
5 4 3
4 3 2
4 3 2
b) 3 7 21 18 4 16 : 3 4 3 2 5 2 4
3 9 12
2 11 21
2 6 8
5 13 18
5 15 20
x x x x x x x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
3 2
3 2
2
2
2 2 4
2 6 8
4 12 16
4 12 16
x x x
x x x
x x
x x
0
Základní poznatky z matematiky
Stránka 110
5. Vypočtěte:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Řešení:
6 5 4 3 23 5 8 4 : 1x x x x x x x
6 5 4 3 2 22 6 9 9 8 2 1 : 1x x x x x x x x
6 5 4 2 24 4 4 9 7 5 : 2 2 1x x x x x x x
6 5 4 3 2 26 10 17 20 19 12 : 2 2 1x x x x x x x x
6 5 4 3 2 23 3 10 6 9 9 8 : 2 2x x x x x x x x
6 5 4 3 2 25 12 3 7 6 4 7 : 2 2x x x x x x x x
6 5 4 3 2 4 3 2
2
6 5 4
5 4 3
5 4 3
4 3
4 3 2
2 1a) 3 5 8 4 : 1 3 2 4 5
1
3 3 3
2 2 5 8 4
2 2 2
4 3 8 4
4 4 4
xx x x x x x x x x x x
x x
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
3 2
3 2
2
2
4 8 4
5 7 4
5 5 5
x x x
x x x
x x
x x
2 1 x
6 5 4 3 2 2 4 3 2
2
6 5 4
5 4 3 2
5 4 3
4 3 2
4
3 2b) 2 6 9 9 8 2 1 : 1 2 4 3 2 3
1
2 2 2
4 7 9 8 2 1
4 4 4
3 5 8 2 1
3
xx x x x x x x x x x x x
x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x x
x
3 2
3 2
3 2
2
2
3 3
2 5 2 1
2 2 2
3 1
3 3 3
x x
x x x
x x x
x
x x
3 2 x
Základní poznatky z matematiky
Stránka 111
6 5 4 2 2 4 3 2
2
6 5 4
5 4 2
5 4 3
4 3 2
4
20 6c) 4 4 4 9 7 5 : 2 2 1 2 4 3 5 11
2 2 1
4 4 2
8 2 9 7 5
8 8 4
6 4 9 7 5
6 6
xx x x x x x x x x x x
x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x
x
3 2
3 2
3 2
2
2
3
10 12 7 5
10 10 5
22 2 5
22 22 11
x x
x x x
x x x
x x
x x
20 6 x
6 5 4 3 2 2 4 3 2
2
6 5 4
5 4 3 2
5 4 3
4 3 2
2 3d) 6 10 17 20 19 12 : 2 2 1 3 2 5 4 3
2 2 1
6 6 3
4 14 20 19 12
4 4 2
10 18 19 12
xx x x x x x x x x x x x
x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x x
4 3 2
3 2
3 2
2
10 10 5
8 14 12
8 8 4
6 8
x x x
x x x
x x x
x x
26 6 3
2 3
x x
x
6 5 4 3 2 2 4 3 2
2
6 5 4
5 4 3 2
5 4 3
4 2
5 2e) 3 3 10 6 9 9 8 : 2 2 3 3 2 4 3
2 2
3 6 6
3 4 6 9 9 8
3 6 6
2 9 9 8
xx x x x x x x x x x x x
x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x
4 3 2
3 2
3 2
2
2
2 4 4
4 5 9 8
4 8 8
3 8
3 6 6
x x x
x x x
x x x
x x
x x
5 2 x
Základní poznatky z matematiky
Stránka 112
1.7.3 Druhá a třetí mocnina mnohočlenu
1. Vypočtěte použitím vzorců:
a) 2233 xx
b) 22223 baab c)
2
3
2
3
2
2
3
a
a
d) 2341 2,03,0 aa xx
e) 223 aaa
Řešení:
a) 456223 693 xxxxx
b) 443322222 412923 babababaab
c)
6
4
63
242
3
2
9
41
4
9
9
4
6
6
4
9
3
2
2
3
aa
a
aa
aa
a
a
d) aaaaa xxxxx 6823222341 04,02,109,02,03,0
e) 23456
234256223223223
2222
2222
aaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
2. Umocněte:
a) 232 34 aa
b) 2
2312
2
3
3
2
yxyx
c) 2312 1030 ba,ba,
Řešení:
a) 614232 9241634 aaaaa
b) 4612446124
2
2312
4
92
9
4
4
9
2
3
3
22
9
4
2
3
3
2yxyxyxyxyxyxyxyx
c) 6223242312 0100300901030 ba,ba,ba,ba,ba,
6 5 4 3 2 2 4 3 2
2
6 5 4
5 4 3 2
5 4 3
4 3 2
2 3f) 5 12 3 7 6 4 7 : 2 2 5 2 3 5 2
2 2
5 10 10
2 7 7 6 4 7
2 4 4
3 11 6 4 7
3
xx x x x x x x x x x x x
x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x x
x
4 3 2
3 2
3 2
2
2
6 6
5 12 4 7
5 10 10
2 6 7
2 4 4
x x
x x x
x x x
x x
x x
2 3 x
Základní poznatky z matematiky
Stránka 113
3. Vypočtěte:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Řešení:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4. Vypočtěte:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Řešení:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5. Vypočtěte:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Řešení:
2
3 22a b
2
2 32a b
2
4 32a b
2
4 32b a
2
3 22a b
2
3 32a b
2 2 2
3 2 3 3 2 2 6 3 2 42 2 2 2 4 4a b a a b b a a b b
2 2 2
2 3 2 2 3 3 4 2 3 62 2 2 2 4 4a b a a b b a a b b
2 2 2
4 3 4 4 3 3 8 4 3 62 2 2 2 4 4a b a a b b a a b b
2 2 2
4 3 4 4 3 3 8 3 4 62 2 2 2 4 4b a b b a a b a b a
2 2 2
3 2 3 3 2 2 6 3 2 42 2 2 2 4 4a b a a b b a a b b
2 2 2
3 3 3 3 3 3 6 3 3 62 2 2 2 4 4a b a a b b a a b b
2
2 32a b
2
2 32b a
2
4 32a b
2
4 32b a
2
4 32a b
2
4 32b a
2 2 2
2 3 2 2 3 3 4 2 3 62 2 2 2 4 4a b a a b b a a b b
2 2 2
2 3 2 2 3 3 4 3 2 62 2 2 2 4 4b a b b a a b a b a
2 2 2
4 3 4 4 3 3 8 4 3 62 2 2 2 4 4a b a a b b a a b b
2 2 2
4 3 4 4 3 3 8 4 3 62 2 2 2 4 4b a b b a a b b a a
2 2 2
4 3 4 4 3 3 8 4 3 62 2 2 2 4 4a b a a b b a a b b
2 2 2
4 3 4 4 3 3 8 4 3 62 2 2 2 4 4b a b b a a b b a a
2 2
2 2 2 22 3 3 4a b ab a b ab
2 2
2 2 2 22 3 3 4a b ab a b ab
2 2
2 2 2 23 2 4 3a b ab a b ab
2 2
2 2 2 23 2 4 3a b ab a b ab
2 2
2 2 2 24 3 5 4a b ab a b ab
2 2
2 2 2 24 3 5 4a b ab a b ab
2 22 2 2 2 4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
2 2 2 2
a) 2 3 3 4 4 12 9 9 24 16
4 12 9 9 24 16 5 36 7
5 36 7
a b ab a b ab a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a ab b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 114
6. Vypočtěte:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Řešení:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7. Vypočtěte:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Řešení:
a)
2 22 2 2 2 4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
2 2 2 2
b) 2 3 3 4 4 12 9 9 24 16
4 12 9 9 24 16 5 36 7
5 36 7
a b ab a b ab a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a ab b
2 22 2 2 2 4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
2 2 2 2
c) 3 2 4 3 9 12 4 16 24 9
9 12 4 16 24 9 7 36 5
7 36 5
a b ab a b ab a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a ab b
2 22 2 2 2 4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
2 2 2 2
d) 3 2 4 3 9 12 4 16 24 9
9 12 4 16 24 9 7 36 5
7 36 5
a b ab a b ab a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a ab b
2 22 2 2 2 4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
2 2 2 2
e) 4 3 5 4 16 24 9 25 40 16
16 24 9 25 40 16 9 64 7
9 64 7
a b ab a b ab a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a ab b
2 22 2 2 2 4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
2 2 2 2
f) 4 3 5 4 16 24 9 25 40 16
16 24 9 25 40 16 9 64 7
9 64 7
a b ab a b ab a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a ab b
3
2 2a b
3
22a b
3
2 22a b
3
2 22a b
3
2 32a b
3
3 22a b
3 3 2 2 32 2 2 2 6 4 2 2 32 3 2 3 2 2 6 12 8a b a a b a b b a a b a b b
3 2 33 22 2 2 2 3 2 2 4 62 2 3 2 3 2 8 12 6a b a a b a b b a a b ab b
3 3 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2 6 4 2 2 4 62 3 2 3 2 2 6 12 8a b a a b a b b a a b a b b
3 3 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2 6 4 2 2 4 62 2 3 2 3 2 8 12 6a b a a b a b b a a b a b b
3 3 2 2 3
2 3 2 2 3 2 3 3 6 4 3 2 6 92 3 2 3 2 2 6 12 8a b a a b a b b a a b a b b
3 3 2 2 3
3 2 3 3 2 3 2 2 9 6 2 3 4 62 2 3 2 3 2 8 12 6a b a a b a b b a a b a b b
3
3 2a b
3
3 2b a
3
3 22a b
3
3 22b a
3
3 42a b
3
3 42b a
3 3 2 2 33 3 3 3 9 6 3 2 32 3 2 3 2 2 6 12 8a b a a b a b b a a b a b b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 115
b)
c)
d)
e)
f)
8. Vypočtěte:
a)
b)
c)
d)
Řešení:
9. Vypočtěte:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Řešení:
3 3 2 2 33 3 3 3 9 6 2 3 32 3 2 3 2 2 6 12 8b a b b a b a a b ab a b a
3 3 2 2 3
3 2 3 3 2 3 2 2 9 6 2 3 4 62 3 2 3 2 2 6 12 8a b a a b a b b a a b a b b
3 3 2 2 3
3 2 3 3 2 3 2 2 9 6 2 3 4 62 3 2 3 2 2 6 12 8b a b b a b a a b b a b a a
3 3 2 2 3
3 4 3 3 4 3 4 4 9 6 4 3 8 122 2 3 2 3 2 8 12 6a b a a b a b b a a b a b b
3 3 2 2 3
3 4 3 3 4 3 4 4 9 6 4 3 8 122 2 3 2 3 2 8 12 6b a b b a b a a b b a b a a
3 3
2 22 3 3 2a a
3 3
2 23 2 2 3a a
3 3
2 22 3 3 2a a
3 3
2 23 2 2 3a a
3 3
2 2 6 4 2 6 4 2
6 4 2 6 4 2 6 4 2
a) 2 3 3 2 8 36 54 27 27 54 36 8
8 36 54 27 27 54 36 8 35 18 90 19
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
3 3
2 2 6 4 2 6 4 2
6 4 2 6 4 2 6 4 2
b) 3 2 2 3 27 54 36 8 8 36 54 27
27 54 36 8 8 36 54 27 35 18 90 19
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
3 3
2 2 6 4 2 6 4 2
6 4 2 6 4 2 6 4 2
c) 2 3 3 2 8 36 54 27 27 54 36 8
8 36 54 27 27 54 36 8 35 90 90 35
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
3 3
2 2 6 4 2 6 4 2
6 4 2 6 4 2 6 4 2
d) 3 2 2 3 27 54 36 8 8 36 54 27
27 54 36 8 8 36 54 27 35 90 90 35
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
3 32 3 2 3a b a b
3 32 3 2 3a b a b
3 3
2 2 2 23 3a b b a
3 3
2 2 2 23 3a b b a
3 3
2 2 2 22 3 2 3a b b a
3 3
2 2 2 23 2 3 2a b b a
3 32 6 4 2 2 3 3 2 2 3
6 4 2 2 3 3 2 2 3 6 4 3 2 2
2 2 5 3 2 2 2
a) 3 2 3 9 27 27 8 36 54 27
9 27 27 8 36 54 27 9 8 27
36 54 9 8 27 36 54
a b a b a a b a b b a a b ab b
a a b a b b a a b ab b a a b a a b
a b ab a a a b a ab ab b
3 32 6 4 2 2 3 3 2 2 3
6 4 2 2 3 3 2 2 3 6 4 3 2 2
2 2 5 3 2 2 2
b) 3 2 3 9 27 27 8 36 54 27
9 27 27 8 36 54 27 9 8 27
36 54 9 8 27 36 54
a b a b a a b a b b a a b ab b
a a b a b b a a b ab b a a b a a b
a b ab a a a b a ab ab b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 116
10. Vypočtěte:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
aa)
Řešení:
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 4 2 2 2 3 2 2 2 2 4 3 2
d) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b ab ab a a b a b ab ab b
3 32 2 2 2 6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6
6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6
6 4 2 2 4 6
c) 3 3 9 27 27 9 27 27
9 27 27 9 27 27 28 18 36 26
2 14 9 18 13
a b b a a a b a b b b b a b a a
a a b a b b b b a b a a a a b a b b
a a b a b b
3 32 2 2 2 6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6
6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6
6 4 2 2 4 6
d) 3 3 27 27 9 27 27 9
27 27 9 27 27 9 28 18 36 26
2 14 9 18 13
a b b a a a b a b b b b a b a a
a a b a b b b b a b a a a a b a b b
a a b a b b
3 3
2 2 2 2 6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6
6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6
e) 2 3 2 3 8 36 54 27 8 36 54 27
8 36 54 27 8 36 54 27 19 90 18 35
a b b a a a b a b b b b a b a a
a a b a b b b b a b a a a a b a b b
3 3
2 2 2 2 6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6
6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6
f) 3 2 3 2 27 54 36 8 27 54 36 8
27 54 36 8 27 54 36 8 19 90 18 35
a b b a a a b a b b b b a b a a
a a b a b b b b a b a a a a b a b b
2
a ab b
2
2a ab b
2
3a ab b
2
2a ab b
2
2 2a ab b
2
2 3a ab b
2
3a ab b
2
3 2a ab b
2
3 3a ab b
2
2a a b b
2
2 2a a b b
2
2 3a a b b
2
3a a b b
2
3 2a a b b
2
3 3a a b b
2
2 2a a b b
2
2 2 2a a b b
2
2 2 3a a b b
2
3 2a a b b
2
3 2 2a a b b
2
3 2 3a a b b
2
2 3a a b b
2
2 3 2a a b b
2
2 3 3a a b b
2
3 3a a b b
2
3 3 2a a b b
2
3 3 3a a b b
2 22 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b ab ab a a b a b ab ab b
2 222 2 2 2 2
2 2 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 3 4
b) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b ab ab a a b a b ab ab b
2 223 2 3 3 3
2 2 2 6 2 3 4 2 2 2 2 3 4 6
c) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b ab ab a a b a b ab ab b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 117
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 4 4 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 4 4
e) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b ab ab a a b a b ab ab b
2 2 2
2 3 2 2 3 2 3 2 3
2 2 4 6 2 2 3 5 2 2 2 2 4 3 5 6
f) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b ab ab a a b a b ab ab b
2 2
3 2 3 2 3 3
2 2 6 2 2 3 4 2 2 3 2 6 4 2
g) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b ab ab a a b a b ab ab b
2 2 2
3 2 2 3 2 3 2 3 2
2 2 6 4 2 3 2 5 2 2 3 2 6 2 5 4
h) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b ab ab a a b a b ab ab b
2 2 2
3 3 2 3 3 3 3 3 3
2 2 6 6 2 3 3 6 2 2 3 2 6 3 6 6
i) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b ab ab a a b a b ab ab b
2 2
2 2 2 2 2 2
2 4 2 2 3 2 2 4 2 3 2 2 2 2
j) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 4 2 4 3 2 2 3 4 2 3 2 3 2 2 4
k) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2 2 2
2 3 2 2 3 2 3 2 3
2 4 2 6 3 3 2 4 4 2 3 2 4 2 3 6
l) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2 2
3 2 3 2 3 3
2 6 2 2 4 3 2 6 2 4 3 2 2 2
m) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2 2 2
3 2 2 3 2 3 2 3 2
2 6 2 4 4 2 3 3 6 2 4 3 3 2 2 4
n) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2 2 2
3 3 2 3 3 3 3 3 3
2 6 2 6 4 3 3 4 6 2 4 3 4 2 3 6
o) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 4 4 2 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 2 2
p) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 4 4 4 3 2 2 2 4 4 4 3 2 2 4 2 2 4
q) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2 2 2
2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3
2 4 4 6 3 2 3 2 5 4 4 3 2 2 5 2 3 6
r) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2 2
3 2 2 3 2 2 3 2 3 2
2 6 4 2 4 2 3 3 6 4 4 2 3 3 2 2
s) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2 2 2
3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
2 6 4 4 4 2 2 3 4 6 4 4 2 3 4 2 2 4
t) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 118
11. Vypočtěte:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
aa)
Řešení:
2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3
2 6 4 6 4 2 3 3 5 6 4 4 2 3 5 2 3 6
u) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2 2
2 3 2 2 3 2 2 3 2 3
2 4 6 2 3 3 2 4 4 6 3 3 2 4 2 2
v) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2 2 2
2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2
2 4 6 4 3 3 2 2 5 4 6 3 3 2 5 2 2 4
w) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2 2 2
2 3 3 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3
2 4 6 6 3 3 3 2 6 4 6 3 3 2 6 2 3 6
x) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2 2
3 3 2 3 3 2 3 3 3 3
2 6 6 2 4 3 3 4 6 6 4 3 3 4 2 2
y) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2 2 2
3 3 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2
2 6 6 4 4 3 2 3 5 6 6 4 3 3 5 2 2 4
z) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2 2 2
3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 6 6 6 4 3 3 3 6 6 6 4 3 3 6 2 3 6
aa) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b ab a b a b a b a b a ab b
2
2a ab b
2
2 2a ab b
2
2 3a ab b
2
2 2a ab b
2
2 2 2a ab b
2
2 2 3a ab b
2
2 3a ab b
2
2 3 2a ab b
2
2 3 3a ab b
2
2 2a a b b
2
2 2 2a a b b
2
2 2 3a a b b
2
2 3a a b b
2
2 3 2a a b b
2
2 3 3a a b b
2
2 2 2a a b b
2
2 2 2 2a a b b
2
2 2 2 3a a b b
2
2 3 2a a b b
2
2 3 2 2a a b b
2
2 3 2 3a a b b
2
2 2 3a a b b
2
2 2 3 2a a b b
2
2 2 3 3a a b b
2
2 3 3a a b b
2
2 3 3 2a a b b
2
2 3 3 3a a b b
2 2 22 2 2 2 2
4 2 2 2 3 2 2 4 3 2 2 2 2 2
a) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
2 2 222 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2 4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
b) 2 2 2
2 2 2 2 3 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b ab b
2 2 222 3 2 3 2 2 3 3
4 2 2 6 3 2 3 4 4 3 2 2 2 3 4 6
c) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 119
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 4 2 3 2 2 3 4 3 2 2 4 2 3 2
d) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 4 4 3 2 2 2 4 4 3 2 2 4 2 2 4 4
e) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
2 2 2 2
2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 3
4 2 4 6 3 2 2 3 5 4 3 2 2 4 2 3 5 6
f) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
2 2 2
2 3 2 3 2 2 3 2 3
4 2 6 2 3 3 2 4 4 3 3 2 6 2 4 2
g) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
2 2 2 2
2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2
4 2 6 4 3 3 2 2 5 4 3 3 2 6 2 2 5 4
h) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
2 2 2 2
2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3
4 2 6 6 3 3 2 3 6 4 3 3 2 6 2 3 6 6
i) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 2 2 4 2 2 2 4 4 2 4 2 2 2 2
j) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 2 4 4 2 2 2 3 4 4 4 2 2 2 2 3 4
k) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2 2 2 2
2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 3
4 4 2 6 4 2 3 2 4 4 4 4 2 2 3 2 4 6
l) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2 2 2
2 3 2 3 2 2 3 2 3
4 6 2 2 5 2 3 2 6 2 5 4 3 2 2 2
m) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a b a b a a b a b b
2 2 2 2
2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2
4 6 2 4 5 2 2 3 3 6 2 5 4 3 3 2 2 4
n) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a b a b a a b a b b
2 2 2 2
2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3
4 6 2 6 5 2 3 3 4 6 2 5 4 3 4 2 3 6
o) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a b a b a a b a b b
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 2 4 2 2 2 3 4 4 2 4 4 2 2 3 2
p) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 3 2 2 2 2 4 4 4 4 3 2 2 2 2 4 4
q) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2 2 2 2
2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3
4 4 4 6 4 2 2 3 2 5 4 4 2 4 4 2 3 2 5 6
r) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2 2 2
2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2
4 6 4 2 5 2 2 3 3 6 4 5 2 4 3 3 2 2
s) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a b a b a a b a b b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 120
12. Vypočtěte:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
aa)
Řešení:
2 2 2 2
2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2
4 6 4 4 5 2 2 2 3 4 6 4 5 2 4 3 4 2 2 4
t) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a b a b a a b a b b
2 2 2 2
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3
4 6 4 6 5 2 2 3 3 5 6 4 5 2 4 3 5 2 3 6
u) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a b a b a a b a b b
2 2 2
2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3
4 4 6 2 4 3 2 2 4 4 4 3 4 6 2 4 2
v) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b ab b
2 2 2 2
2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2
4 4 6 4 4 3 2 2 2 5 4 4 3 4 6 2 2 2 5 4
w) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2 2 2 2
2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 3
4 4 6 6 4 3 2 3 2 6 4 4 3 4 6 2 3 2 6 6
x) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2 2 2
2 3 3 2 3 3 2 2 3 3 2 3 3
4 6 6 2 5 3 2 3 4 6 6 5 3 4 3 4 2 2
y) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a b a b a a b a b b
2 2 2 2
2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2
4 6 6 4 5 3 2 2 3 5 6 6 5 3 4 3 5 2 2 4
z) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a b a b a a b a b b
2 2 2 2
2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3
4 6 6 6 5 3 2 3 3 6 6 6 5 3 4 3 6 2 3 6
aa) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a b a b a a b a b b
2
3a ab b
2
3 2a ab b
2
3 3a ab b
2
3 2a ab b
2
3 2 2a ab b
2
3 2 3a ab b
2
3 2a a b b
2
3 2 2a a b b
2
3 2 3a a b b
2
3 2 2a a b b
2
3 2 2 2a a b b
2
3 2 2 3a a b b
2
3 3a a b b
2
3 3 2a a b b
2
3 3 3a a b b
2
3 3 2a a b b
2
3 3 2 2a a b b
2
3 3 2 3a a b b
2
3 3 3a a b b
2
3 3 3 2a a b b
2
3 3 3 3a a b b
2
3 3a ab b
2
3 3 2a ab b
2
3 3 3a ab b
2
3 2 3a a b b
2
3 2 3 2a a b b
2
3 2 3 3a a b b
2 2 2 23 3 3 3
6 2 2 2 4 3 2 6 4 3 2 2 2 2
a) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
2 2 223 2 3 2 3 3 2 2
6 2 2 4 4 3 2 3 6 4 3 2 2 2 3 4
b) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 121
2 2 223 3 3 3 3 3 3 3
6 2 2 6 4 3 3 4 6 4 3 3 2 2 4 6
c) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
2 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2
6 2 4 2 4 2 3 3 6 4 2 3 2 4 3 2
d) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
2 2 2 2
3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2
6 2 4 4 4 2 3 2 4 6 4 2 3 2 2 4 4 4
e) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
2 2 2 2
3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3
6 2 4 6 4 2 3 3 5 6 4 2 3 3 2 4 5 6
f) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
2 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2
6 4 2 2 5 3 2 2 6 5 4 2 3 2 2 2
g) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2 2 2 2
3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2
6 4 2 4 5 3 2 2 3 6 5 4 2 3 2 2 3 4
h) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2 2 2 2
3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3
6 4 2 6 5 3 3 2 4 6 5 4 2 3 3 2 4 6
i) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2 2 2 23 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
6 4 4 2 5 2 3 2 3 6 5 2 4 4 3 2 3 2
j) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2 2 2 2
3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2
6 4 4 4 5 2 3 2 2 4 6 5 2 4 4 3 2 2 4 4
k) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2 2 2 2
3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3
6 4 4 6 5 2 3 3 2 5 6 5 2 4 4 3 3 2 5 6
l) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3
6 6 2 2 6 3 3 2 6 6 2 6 3 2 3 2
6 2 3 2
m) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
a b b a b b b
2 2 2 23 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 2
6 6 2 4 6 3 2 3 3 6 6 2 6 3 3 3 2 4
6 2 3 2 4
n) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
a b b a b b b
2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
6 6 2 6 6 3 3 3 4 6 6 2 6 3 4 3 3 6
6 2 3 3 6
o) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
a b b a b b b
2 2 2 23 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2
6 6 4 2 6 2 3 3 3 6 6 4 6 2 3 3 3 2
6 4 2 3 2 2
p) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
a b b a b b b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 122
13. Vypočtěte:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2 2 2 23 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 2
6 6 4 4 6 2 3 2 3 4 6 6 4 6 2 3 4 3 2 4
6 4 2 3 2 2 4
q) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
a b b a b b b
2 2 2 23 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3
6 6 4 6 6 2 3 3 3 5 6 6 4 6 2 3 5 3 3 6
6 4 2 3 3 2 6
r) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
a b b a b b b
2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
6 6 6 2 6 3 3 3 4 6 6 6 6 3 3 4 3 2
6 6 3 3 3 2
s) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
a b b a b b b
2 2 2 23 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 2
6 6 6 4 6 3 3 2 3 5 6 6 6 6 3 3 5 3 2 4
6 6 3 3 2 3 4
t) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
a b b a b b b
2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
6 6 6 6 6 3 3 3 3 6 6 6 6 6 3 3 6 3 3 6
6 6 3 3 3 3 6
u) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
a b b a b b b
2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3
6 2 6 2 4 3 3 4 6 4 3 3 2 6 4 2
v) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
2 2 2 2
3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 2
6 2 6 4 4 3 3 2 5 6 4 3 3 2 2 6 5 4
w) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
6 2 6 6 4 3 3 3 6 6 4 3 3 3 2 6 6 6
x) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
2 2 2 23 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3
6 4 6 2 5 3 3 2 4 6 5 3 4 6 3 2 4 2
y) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2
6 4 6 4 5 3 3 2 2 5 6 5 3 4 6 3 2 2 5 4
z) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2 2 2 2
3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3
6 4 6 6 5 3 3 3 2 6 6 5 3 4 6 3 3 2 6 6
aa) 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b b a b a b a b a a b a b a b a b b
2
3 2 2a a b b
2
3 2 2b ab a
2
3 3a ab b
2
3 2a ab a
2
3 2 2a a b a
2
3 2 2b ab b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 123
Řešení:
14. Vypočtěte:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Řešení:
2 2 2 2
3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2
6 5 4 2 3 2 2 3 4
a) 2 2 2
2 2 2
a a b b a a b b a a b a b a b b
a a b a b a b a b b
2 2 2 2
3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2
6 5 4 2 3 2 2 3 4
b) 2 2 2
2 2 2
b ab a b ab a b ab b a ab a
b b a b a b a b a a
2 2 223 3 3 3 3 3 3 3
6 4 3 3 2 2 4 6
c) 2 2 2
2 2 2
a ab b a ab b a ab a b ab b
a a b a b a b ab b
2 2 223 2 3 2 3 3 2 2
6 5 4 4 3 2 2
d) 2 2 2
2 2 2
a ab a a ab a a ab a a ab a
a a a a b a b a b
2 2 2 2
3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2
6 5 5 4 4 2 4
e) 2 2 2
2 2 2
a a b a a a b a a a b a a a b a
a a a b a b a b a
2 2 2 2
3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2
6 5 5 4 4 2 4
f) 2 2 2
2 2 2
b ab b b ab b b ab b b ab b
b b b a b a b a b
2 2
2 23 2 1 2 3 1x x x x
2 2
2 22 3 1 3 2 1x x x x
2 2
2 24 3 1 3 4 1x x x x
2 2
2 23 4 1 4 3 1x x x x
2 2
2 24 5 2 5 4 2x x x x
2 2
2 25 4 2 4 5 2x x x x
2 2
2 23 3 1 2 2 1x x x x
2 2
2 23 2 1 2 3 1x x x x
2 22 2 4 2 3 2 4 2 3
2 4 2 3 2 4 2 3 2 4 3
2 3 2
a) 3 2 1 2 3 1 9 4 1 12 6 4 4 9 1 12
4 6 9 4 1 12 6 4 4 9 1 12 4 6 5 24
15 2 5 24 15 2
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x
2 22 2 4 2 3 2 4 2 3
2 4 2 3 2 4 2 3 2 4 3
2 3 2
b) 2 3 1 3 2 1 4 9 1 12 4 6 9 4 1 12
6 4 4 9 1 12 4 6 9 4 1 12 6 4 5 24
5 2 5 24 5 2
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x
2 22 2 4 2 3 2 4 2 3
2 4 2 3 2 4 2 3 2 4 3
2 3 2
c) 4 3 1 3 4 1 16 9 1 24 8 6 9 16 1 24
6 8 16 9 1 24 8 6 9 16 1 24 6 8 7 48
9 14 7 48 9 14
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x
2 22 2 4 2 3 2 4 2 3
2 4 2 3 2 4 2 3 2 4 3
2 3 2
d) 3 4 1 4 3 1 9 16 1 24 6 8 16 9 1 24
8 6 9 16 1 24 6 8 16 9 1 24 8 6 7 48
9 14 7 48 9 14
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x
Základní poznatky z matematiky
Stránka 124
2 22 2 4 2 3 2 4 2 3
2 4 2 3 2 4 2 3 2
4 3 2 3 2
h) 3 2 1 2 3 1 9 4 1 12 6 4 4 9 1 12
4 6 9 4 1 12 6 4 4 9 1 12 4 6
5 24 15 2 5 24 15 2
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
1.7.4 Rozklad na součin
1. Rozložte na součin:
a) xbxa 34543
b) bccaab 263
c) 255 aaxabbx
d) 1222 324 xxxx
e) 22222 byaxbayx
Řešení:
a) baxxbxaxbxa 3434354334543
b) cabbcbabccaab 32223263
c) axababaabxaabaxbxaaxabbx 555555 22
d)
4 2 3 4 2 2 3 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
22
2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2
1 1 2 1 1 1 2 1 2 1
1 1
x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x
e)
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
x y a b ax by a x b x a y b y a x axby b y
a x b x a y b y a x axby b y b x axby a y bx ay
2. Rozložte na součin:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2 22 2 4 2 3 2 4 2
3 2 4 2 3 2 4 2 3
2 4 3 2 3 2
e) 4 5 2 5 4 2 16 25 4 40 16 20 25 16
4 40 20 16 16 25 4 40 16 20 25 16 4 40
20 16 9 80 13 36 9 80 13 36
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
2 22 2 4 2 3 2 4 2
3 2 4 2 3 2 4 2 3
2 4 3 2 3 2
f) 5 4 2 4 5 2 25 16 4 40 20 16 16 25
4 40 16 20 25 16 4 40 20 16 16 25 4 40
16 20 9 80 13 36 9 80 13 36
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
2 22 2 4 2 3 2 4 2 3
2 4 2 3 2 4 2 3 2
4 3 2 3 2
g) 3 3 1 2 2 1 9 9 1 18 6 6 4 4 1 8
4 4 9 9 1 18 6 6 4 4 1 8 4 4
5 26 5 2 5 26 5 2
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
2 2 33 6 12a x ax a x 2 2 34 8 12x y xy x y 3 2 3 2 26 4 8a x a x a x
3 2 3 2 215 10 20ax a x a x 3 2 2 2 36 4 8ax a x a x
2 2 3 3 26 9 15a x a x a x
Základní poznatky z matematiky
Stránka 125
Řešení:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3. Rozložte na součin:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Řešení:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4. Rozložte na součin:
a)
b)
c)
d)
Řešení:
a)
b)
c)
d)
5. Rozložte na součin:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Řešení:
a)
b)
c)
2 2 3 23 6 12 3 2 4a x ax a x ax a x a
2 2 3 24 8 12 4 2 3x y xy x y xy x y x
3 2 3 2 2 2 26 4 8 2 3 2 4a x a x a x a x a x x
3 2 3 2 2 215 10 20 5 3 2 4ax a x a x ax x ax a
3 2 2 2 3 26 4 8 2 3 2 4ax a x a x ax x a ax
2 2 3 3 2 26 9 15 3 2 3 5a x a x a x a x x a ax
2 6 3ax ay bx by
6 2 3bx by ax ay
4 2 6 3ax ay bx by
3 6 2 4ax ay bx by
6 4 9 6ax ay bx by
6 9 4 6bx by ax ay
2 6 3 2 3 3 3 2ax ay bx by a x y b x y x y a b
6 2 3 2 3 3 3 2bx by ax ay b x y a x y x y b a
4 2 6 3 2 2 3 2 2 2 3ax ay bx by a x y b x y x y a b
3 6 2 4 3 2 2 2 2 3 2ax ay bx by a x y b x y x y a b
6 4 9 6 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3ax ay bx by a x y b x y x y a b
6 9 4 6 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2bx by ax ay b x y a x y x y b a
2 33 2 3 2ay ax xy x 2 2 26 2 3x xy ax ay
3 2 2 36 2 3x x y xy y 3 2 2 36 3 2x x y xy y
2 3 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2 3 2ay ax xy x a y x x y x a x y x
2 2 2 2 2 26 2 3 2 3 3 2 3x xy ax ay x x y a x y x a x y
3 2 2 3 2 2 2 2 26 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2x x y xy y x x y y x y x y x y
3 2 2 3 2 2 2 2 26 3 2 3 2 2 2 3x x y xy y x x y y x y x y x y
4 216 9a b4 225 4a b
6 425 4a b4 616 9a b
6 44 9a b6 49 4a b
2 24 2 2 2 216 9 4 3 4 3 4 3a b a b a b a b
2 24 2 2 2 225 4 5 2 5 2 5 2a b a b a b a b
2 2
6 4 3 2 3 2 3 225 4 5 2 5 2 5 2a b a b a b a b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 126
d)
e)
f)
6. Rozložte na součin:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Řešení:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7. Rozložte na součin:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Řešení:
2 2
4 6 2 3 2 3 2 316 9 4 3 4 3 4 3a b a b a b a b
2 2
6 4 3 2 3 2 3 24 9 2 3 2 3 2 3a b a b a b a b
2 2
6 4 3 2 3 2 3 29 4 3 2 3 2 3 2a b a b a b a b
4 2 2 616 25a b a b6 2 2 425 16a b a b
6 4 4 29 16a b a b2 4 6 216 9a b a b
4 4 2 69 4a b a b8 2 4 44 9a b a b
4 2 2 6 2 2 2 4 2 2 2 216 25 16 25 4 5 4 5a b a b a b a b a b a b a b
6 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 225 16 25 16 5 4 5 4a b a b a b a b a b a b a b
6 4 4 2 4 2 2 2 4 29 16 9 16 3 4 3 4a b a b a b a b a b ab ab
2 4 6 2 2 2 2 4 2 2 2 216 9 16 9 4 3 4 3a b a b a b b a a b b a b a
4 4 2 6 2 4 2 2 2 49 4 9 4 3 2 3 2a b a b a b a b a b a b a b
8 2 4 4 4 2 4 2 4 2 2 24 9 4 9 2 3 2 3a b a b a b a b a b a b a b
2 2
25 2 4 2a b a b
2 2
9 2 16 2a b a b
2 2
16 2 9 2a b a b
2 2
4 2 25 2a b a b
2 2
25 2 16 2a b a b
2 2
16 2 25 2a b a b
2 2
16 3 25 2a b a b
2 2
9 3 16 2a b a b
2 22 2a) 25 2 4 2 5 2 2 2 5 2 2 2
5 2 2 2 5 10 4 2 5 10 4 2 8 9 12
3 3 4 8
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a b
2 22 2b) 9 2 16 2 3 2 4 2 3 2 4 2
3 2 4 2 6 3 4 8 6 3 4 8 2 5 10 11
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b
2 22 2c) 16 2 9 2 4 2 3 2 4 2 3 2
4 2 3 2 8 4 3 6 8 4 3 6 5 2 11 10
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b
2 22 2d) 4 2 25 2 2 2 5 2 2 2 5 2
2 2 5 2 2 4 10 5 2 4 10 5
8 15 12 9 3 8 15 4 3
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 127
8. Rozložte na součin:
a) 3 364a b
b) 3 38 27a b
c) 3 38a b
d) 3 327 64a b
e) 3 327a b
f) 3 38a b
Řešení:
a) 3 3 2 264 4 4 16a b a b a ab b
b) 3 3 2 28 27 2 3 4 6 9a b a b a ab b
c) 3 3 2 28 2 2 4a b a b a ab b
d) 3 3 2 227 64 3 4 9 12 16a b a b a ab b
e) 3 3 2 227 3 3 9a b a b a ab b
f) 3 3 2 28 2 4 2a b a b a ab b
9. Rozložte na součin:
a) 3 38 27a b
b) 3 364a b
c) 3 327 64a b
d) 3 38a b
e) 3 38a b
f) 3 327a b
Řešení:
a) 3 3 2 28 27 2 3 4 6 9a b a b a ab b
b) 3 3 2 264 4 4 16a b a b a ab b
c) 3 3 2 227 64 3 4 9 12 16a b a b a ab b
d) 3 3 2 28 2 2 4a b a b a ab b
e) 3 3 2 28 2 2a b a b a ab b
f) 3 3 2 227 3 3 9a b a b a ab b
2 22 2e) 25 2 16 2 5 2 4 2 5 2 4 2
5 2 4 2 5 10 8 4 5 10 8 4
3 6 13 14 3 2 13 14
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b
2 22 2f) 16 2 25 2 4 2 5 2 4 2 5 2
4 2 5 2 4 8 10 5 4 8 10 5
6 3 14 13 3 2 14 13
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b
2 22 2g) 16 3 25 2 4 3 5 2 4 3 5 2
4 3 5 2 4 12 10 5 4 12 10 5
6 17 14 7 7 6 17 2
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b
2 22 2h) 9 3 16 2 3 3 4 2 3 3 4 2
3 3 4 2 9 3 4 8 9 3 4 8 5 11 13 5
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 128
10. Rozložte na součin:
a) 3 6 6 327 64a b a b
b) 6 3 3 664 27a b a b
c) 6 6 3 98 27a b a b
d) 9 3 6 627 8a b a b
e) 6 6 3 98a b a b
f) 6 3 3 627a b a b
Řešení:
a) 3 6 6 3 3 3 3 3 3 3 2 227 64 27 64 3 4 9 12 16a b a b a b b a a b b a b ab a
b) 6 3 3 6 3 3 3 3 3 3 2 264 27 64 27 4 3 16 12 9a b a b a b a b a b a b a ab b
c) 6 6 3 9 3 6 3 3 3 6 2 28 27 8 27 2 3 4 6 9a b a b a b a b a b a b a ab b
d) 9 3 6 6 6 3 3 3 6 3 2 227 8 27 8 3 2 9 6 4a b a b a b a b a b a b a ab b
e) 6 6 3 9 3 6 3 3 3 6 2 28 8 2 4a b a b a b a b a b a b a ab b
f) 6 3 3 6 3 3 3 3 3 3 2 227 27 3 9 3a b a b a b a b a b a b a ab b
11. Rozložte na součin:
a) 3 6 6 327 8a b a b
b) 6 6 3 98 27a b a b
c) 6 3 3 664 27a b a b
d) 3 6 6 327 64a b a b
e) 6 3 3 627a b a b
f) 6 6 3 98a b a b
Řešení:
a) 3 6 6 3 3 3 3 3 3 3 2 227 8 27 8 3 2 9 6 4a b a b a b b a a b b a b ab a
b) 6 6 3 9 3 6 3 3 3 6 2 28 27 8 27 2 3 4 6 9a b a b a b a b a b a b a ab b
c) 6 3 3 6 3 3 3 3 3 3 2 264 27 64 27 4 3 16 12 9a b a b a b a b a b a b a ab b
d) 3 6 6 3 3 3 3 3 3 3 2 227 64 27 64 3 4 9 12 16a b a b a b b a a b b a b ab a
e) 6 3 3 6 3 3 3 3 3 3 2 227 27 3 9 3a b a b a b a b a b a b a ab b
f) 6 6 3 9 3 6 3 3 3 6 2 28 8 2 2 4a b a b a b a b a b a b a ab b
12. Rozložte na součin:
a) 2 22 1a a b
b) 2 24 4a a b
c) 2 26 9a a b
d) 2 28 16a a b
e) 2 210 25a a b
f) 2 212 36a a b
Řešení:
a) 22 2 22 1 1 1 1 1 1a a b a b a b a b a b a b
b) 22 2 24 4 2 2 2 2 2a a b a b a b a b a b a b
c) 22 2 26 9 3 3 3 3 3a a b a b a b a b a b a b
d) 22 2 28 16 4 4 4 4 4a a b a b a b a b a b a b
e) 22 2 210 25 5 5 5 5 5a a b a b a b a b a b a b
f) 22 2 212 36 6 6 6 6 6a a b a b a b a b a b a b
13. Rozložte na součin:
a) 2 22 1a a b
b) 2 24 4a a b
c) 2 26 9a a b
d) 2 28 16a a b
e) 2 210 25a a b
f) 2 212 36a a b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 129
Řešení:
a) 22 2 22 1 1 1 1 1 1a a b a b a b a b a b a b
b) 22 2 24 4 2 2 2 2 2a a b a b a b a b a b a b
c) 22 2 26 9 3 3 3 3 3a a b a b a b a b a b a b
d) 22 2 28 16 4 4 4 4 4a a b a b a b a b a b a b
e) 22 2 210 25 5 5 5 5 5a a b a b a b a b a b a b
f) 22 2 212 36 6 6 6 6 6a a b a b a b a b a b a b
14. Rozložte na součin:
a) 2 2 2 1a b b
b) 2 2 4 4a b b
c) 2 2 6 9a b b
d) 2 2 8 16a b b
e) 2 2 10 25a b b
f) 2 2 12 36a b b
Řešení:
22 2 2 2 2a) 2 1 2 1 1 1 1
1 1
a b b a b b a b a b a b
a b a b
22 2 2 2 2b) 4 4 4 4 2 2 2
2 2
a b b a b b a b a b a b
a b a b
22 2 2 2 2c) 6 9 6 9 3 3 3
3 3
a b b a b b a b a b a b
a b a b
22 2 2 2 2d) 8 16 8 16 4 4 4
4 4
a b b a b b a b a b a b
a b a b
22 2 2 2 2e) 10 25 10 25 5 5 5
5 5
a b b a b b a b a b a b
a b a b
22 2 2 2 2f) 12 36 12 36 6 6 6
6 6
a b b a b b a b a b a b
a b a b
15. Rozložte na součin:
a) 2 2 2 1a b b
b) 2 2 4 4a b b
c) 2 2 6 9a b b
d) 2 2 8 16a b b
e) 2 2 10 25a b b
f) 2 2 12 36a b b
Řešení:
22 2 2 2 2a) 2 1 2 1 1 1 1
1 1
a b b a b b a b a b a b
a b a b
22 2 2 2 2b) 4 4 4 4 2 2 2
2 2
a b b a b b a b a b a b
a b a b
22 2 2 2 2c) 6 9 6 9 3 3 3
3 3
a b b a b b a b a b a b
a b a b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 130
22 2 2 2 2d) 8 16 8 16 4 4 4
4 4
a b b a b b a b a b a b
a b a b
22 2 2 2 2e) 10 25 10 25 5 5 5
5 5
a b b a b b a b a b a b
a b a b
22 2 2 2 2f) 12 36 12 36 6 6 6
6 6
a b b a b b a b a b a b
a b a b
16. Rozložte na součin:
a) 4 3 2 2 32a b a b a b a b
b) 3 2 2 2 2 44 4a b a b ab ab
c) 4 2 3 2 2 2 2 46 9a b a b a b a b
d) 3 2 38 16a b a b ab ab
e) 4 3 2 2 310 25a b a b a b a b
f) 3 2 2 2 2 412 36a b a b ab ab
Řešení:
24 3 2 2 3 2 2 2 2 2
2 2
a) 2 2 1 1
1 1 1 1
a b a b a b a b a b a a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
23 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2
2 2
b) 4 4 4 4 2
2 2 2 2
a b a b ab ab ab a a b ab a b
ab a b a b ab a b a b
24 2 3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
c) 6 9 6 9 3
3 3 3 3
a b a b a b a b a b a a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
23 2 3 2 2 2d) 8 16 8 16 4
4 4 4 4
a b a b ab ab ab a a b ab a b
ab a b a b ab a b a b
24 3 2 2 3 2 2 2 2 2
2 2
e) 10 25 10 25 5
5 5 5 5
a b a b a b a b a b a a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
23 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2
2 2
f) 12 36 12 36 6
6 6 6 6
a b a b ab ab ab a a b ab a b
ab a b a b ab a b a b
17. Rozložte na součin:
a) 3 2 2 2 2 42a b a b ab ab
b) 4 2 3 2 2 2 2 44 4a b a b a b a b
c) 4 3 2 2 36 9a b a b a b a b
d) 3 2 38 16a b a b ab ab
e) 3 2 310 25a b a b ab ab
f) 4 2 3 2 2 2 2 412 36a b a b a b a b
Řešení:
23 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2
2 2
a) 2 2 1 1
1 1 1 1
a b a b ab ab ab a a b ab a b
ab a b a b ab a b a b
24 2 3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
b) 4 4 4 4 2
2 2 2 2
a b a b a b a b a b a a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 131
24 3 2 2 3 2 2 2 2 2
2 2
c) 6 9 6 9 3
3 3 3 3
a b a b a b a b a b a a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
23 2 3 2 2 2d) 8 16 8 16 4
4 4 4 4
a b a b ab ab ab a a b ab a b
ab a b a b ab a b a b
23 2 3 2 2 2e) 10 25 10 25 5
5 5 5 5
a b a b ab ab ab a a b ab a b
ab a b a b ab a b a b
24 2 3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
f) 12 36 12 36 6
6 6 6 6
a b a b a b a b a b a a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
18. Rozložte na součin:
a) 3 2 4 3 22a b ab ab ab
b) 3 3 24 4a b ab ab ab
c) 4 2 3 2 2 26 9a b a b a b a b
d) 4 2 2 4 2 3 2 28 16a b a b a b a b
e) 4 2 2 4 2 3 2 210 25a b a b a b a b
f) 4 2 3 2 2 212 36a b a b a b a b
Řešení:
3 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2
a) 2 2 1 2 1
1 1 1 1 1
a b ab ab ab ab a b b ab a b b
ab a b ab a b a b ab a b a b
3 3 2 2 2 2 2
22
b) 4 4 4 4 4 4
2 2 2 2 2
a b ab ab ab ab a b b ab a b b
ab a b ab a b a b ab a b a b
4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2
c) 6 9 6 9 6 9
3 3 3 3 3
a b a b a b a b a b a b b a b a b b
a b a b a b a b a b a b a b a b
4 2 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2
d) 8 16 8 16 8 16
4 4 4 4 4
a b a b a b a b a b a b b a b a b b
a b a b a b a b a b a b a b a b
4 2 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2
e) 10 25 10 25 10 25
5 5 5 5 5
a b a b a b a b a b a b b a b a b b
a b a b a b a b a b a b a b a b
4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2
f) 12 36 12 36 12 36
6 6 6 6 6
a b a b a b a b a b a b b a b a b b
a b a b a b a b a b a b a b a b
19. Rozložte na součin:
a) 3 3 22a b ab ab ab
b) 4 2 3 2 2 24 4a b a b a b a b
c) 3 2 4 3 26 9a b ab ab ab
d) 4 2 2 4 2 2 2 28 16a b a b a b a b
e) 4 2 3 2 2 210 25a b a b a b a b
f) 3 3 212 36a b ab ab ab
Základní poznatky z matematiky
Stránka 132
Řešení:
3 3 2 2 2 2 2
22
a) 2 2 1 2 1
1 1 1 1 1
a b ab ab ab ab a b b ab a b b
ab a b ab a b a b ab a b a b
4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2
b) 4 4 4 4 4 4
2 2 2 2 2
a b a b a b a b a b a b b a b a b b
a b a b a b a b a b a b a b a b
3 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2
c) 6 9 6 9 6 9
3 3 3 3 3
a b ab ab ab ab a b b ab a b b
ab a b ab a b a b ab a b a b
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2
d) 8 16 8 16 8 16
4 4 4 4 4
a b a b a b a b a b a b b a b a b b
a b a b a b a b a b a b a b a b
4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2
e) 10 25 10 25 10 25
5 5 5 5 5
a b a b a b a b a b a b b a b a b b
a b a b a b a b a b a b a b a b
3 3 2 2 2 2 2
22
f) 12 36 12 36 12 36
6 6 6 6 6
a b ab ab ab ab a b b ab a b b
ab a b ab a b a b ab a b a b
1.7.5 Racionální lomené výrazy
1. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a) 2
1 2 11
1 1
a
a a a
b) 2
1 2 21
2 4
a
a a a
c) 2
1 2 31
3 9
a
a a a
d) 2
1 2 41
4 16
a
a a a
e) 2
1 2 51
5 25
a
a a a
f) 2
1 2 61
6 36
a
a a a
Řešení:
2
1 2 1 1 2 1 1 2 1a) 1
1 1 1 1 1 1 1
11 1
1 1
a a a a a a
a a a a a a a a a a
aa a
a a a
1a 1a
1a
1
podm.: 1; 0
a a
a a
2
1 2 2 1 2 2 2 2 2b) 1
2 4 2 2 2 2 2
22 2
2 2
a a a a a a
a a a a a a a a a a
aa a
a a a
2a 2a
2a
1
podm.: 2; 0
a a
a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 133
2
1 2 3 1 2 3 3 2 3c) 1
3 9 3 3 3 3 3
33 3
3 3
a a a a a a
a a a a a a a a a a
aa a
a a a
3a 3a
3a
1
podm.: 3; 0
a a
a a
2
1 2 4 1 2 4 4 2 4d) 1
4 16 4 4 4 4 4
44 4
4 4
a a a a a a
a a a a a a a a a a
aa a
a a a
4a 4a
4a
1
podm.: 4; 0
a a
a a
2
1 2 5 1 2 5 5 2 5e) 1
5 25 5 5 5 5 5
55 5
5 5
a a a a a a
a a a a a a a a a a
aa a
a a a
5a 5a
5a
1
podm.: 5; 0
a a
a a
2
1 2 6 1 2 6 6 2 6f) 1
6 36 6 6 6 6 6
66 6
6 6
a a a a a a
a a a a a a a a a a
aa a
a a a
6a 6a
6a
1
podm.: 6; 0
a a
a a
2. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a) 2 1 11 1
1 1a
a a
b) 2 1 14 1
2 2a
a a
c) 2 1 19 1
3 3a
a a
d) 2 1 116 1
4 4a
a a
e) 2 1 125 1
5 5a
a a
f) 2 1 136 1
6 6a
a a
Řešení:
2 2
2
1 1 1 11 1a) 1 1 1
1 1 1 1
1
a a a aa a
a a a a
a
2
2
1 1 1
1
a a a
a
23
podm.: 1
a
a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 134
2 2
2
2 2 2 21 1b) 4 1 4
2 2 2 2
4
a a a aa a
a a a a
a
2
2
2 2 4
4
a a a
a
28
podm.: 2
a
a
2 2
2
3 3 3 31 1c) 9 1 9
3 3 3 3
9
a a a aa a
a a a a
a
2
2
3 3 9
9
a a a
a
215
podm.: 2
a
a
2 2
2
4 4 4 41 1d) 16 1 16
4 4 4 4
16
a a a aa a
a a a a
a
2
2
4 4 16
16
a a a
a
224
podm.: 4
a
a
2 2
2
5 5 5 51 1e) 25 1 25
5 5 5 5
25
a a a aa a
a a a a
a
2
2
5 5 25
25
a a a
a
235
podm.: 5
a
a
2 2
2
6 6 6 61 1f) 36 1 36
6 6 6 6
36
a a a aa a
a a a a
a
2
2
6 6 36
36
a a a
a
248
podm.: 6
a
a
3. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a) 2
3 2 3
2 2 1 1
a a
a a a
b) 2
3 2 3
2 2 1 1
a a
a a a
c) 2
1 3 4
2 4 2 4
a a
a a a
d) 2
1 3 4
2 4 2 4
a a
a a a
e) 2
1 2 3
2 6 3 9
a a
a a a
f) 2
1 2 3
2 6 3 9
a a
a a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 135
Řešení:
2
2 2
2 2 2 2
2
3 2 3 3 2 3 3 2 3a)
2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1
3 3 2 2 2 63 1 2 2 1 2 3
2 1 1 2 1 1
2 3 4 4 2 2 6 4 13 4 13
2 1 1 2 1 1 2 1
a a a a a a
a a a a a a a a a a a
a a a a a aa a a a
a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a
podm.: 1a
2
2 2
2
2 2 2 2
3 2 3 3 2 3 3 2 3b)
2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1
3 3 2 2 2 63 1 2 2 1 2 3
2 1 1 2 1
2 3 4 4 2 2 6 4 1 4 1
2 1 1 2 1 1 2 1 1
p
a a a a a a
a a a a a a a a a a a
a a a a a aa a a a
a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a
odm.: 1a
2
2 2
2 2 2 2
2
1 3 4 1 3 4 1 3 4c)
2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 3 6 2 81 2 2 3 2 2 4
2 2 2 2 2 2
2 6 12 2 4 8 11 22 11 22
2 2 2 2 2 2 2 4
a a a a a a
a a a a a a a a a a a
a a a a a aa a a a
a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a
podm.: 2a
2
2 2
2 2 2
2
1 3 4 1 3 4 1 3 4d)
2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 3 6 2 81 2 2 3 2 2 4
2 2 2 2 2 2
2 6 12 2 4 8 3 9 2
2 2 2 2 4
podm.: 2
a a a a a a
a a a a a a a a a a a
a a a a a aa a a a
a a a a
a a a a a a a
a a a
a
2
2 2
2 2 2 2
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3e)
2 6 3 9 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3
3 3 2 2 6 3 61 3 2 2 3 2 3
2 3 3 2 3 3
2 3 4 12 2 6 6 12 21 12 21
2 3 3 2 3 3 2 9
a a a a a a
a a a a a a a a a a a
a a a a a aa a a a
a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a
podm.: 3a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 136
2
2 2
2 2 2
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3f)
2 6 3 9 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3
3 3 2 2 6 3 61 3 2 2 3 2 3
2 3 3 2 3 3
2 3 4 12 2 6 6 3 82 3
2 3 3 2 9
podm.: 3
a a a a a a
a a a a a a a a a a a
a a a a a aa a a a
a a a a
a a a a a a a
a a a
a
4. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a) 2 2
12 3 3 91
6 9 2 6 6 9
a a a
a a a a a
b) 2
2 2
16 4 41
8 16 8 2 8 16
a a a a
a a a a a
c) 2 2
24 3 9 32 :
6 9 2 6 6 9
a a a
a a a a a
d) 2
2 2
32 4 42 :
8 16 2 8 8 16
a a a a
a a a a a
e) 2 2
12 3 9 31
6 9 2 6 6 9
a a a
a a a a a
f) 2
2 2
16 4 41
8 16 2 8 8 16
a a a a
a a a a a
Řešení:
2
22 2 2
2 22 2 2
2 2 2 2 22
2
12 3 3 9 6 9 12 3 3 9a) 1
6 9 2 6 6 9 6 9 2 3 3
3 3 2 3 9 3 36 9 9 6 18 6 9
6 9 2 3 3 2 3 3 2 3
3
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a aa a a a a a
a a a a a a a
a
2
3a
2
3a
2
2 3a
1
2
podm.: 3a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 137
2 2 2
22 2 2
222 2 2
2 2 22
22 2
2 2
16 4 4 8 16 16 4 4b) 1
8 16 8 2 8 16 8 16 2 4 4
4 4 2 4 48 16 16 2 8
8 16 2 4 4 2 4
44 8 16
4 2 4
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a aa a a a a
a a a a a
aa a a
a a
2
4 a
2
4 a
2
2 4 a
1
2
podm.: 4a
2
22 2 2
2 2 2
2 22 2
2 2
2
2 6 9 2424 3 9 3 3 9 3c) 2 : :
6 9 2 6 6 9 6 9 2 3 3
3 3 2 9 32 12 18 24 2 12 18 9 18 6 : :
6 9 6 92 3 2 3
2 6 9 6 9 :
6 9
a a aa a a a a
a a a a a a a a a
a a aa a a a a a a
a a a aa a
a a a a
a a
22 2
2 2 2
2 32 3 3:
2 3 3 2 3
aa a
a a a
2
3a
2
2 3a
2
3a 2 2 4
podm.: 3a
22 2
22 2 2
22 2 2 2
2 22 2
2
2
2 8 16 3232 4 4 4 4d) 2 : :
8 16 2 8 8 16 8 16 2 4 4
4 4 2 42 16 32 32 2 16 32 16 2 8 : :
8 16 8 162 4 2 4
2 8 16
a a aa a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a aa a a a a a a a
a a a aa a
a a
a
22 22
2 2 2
2 42 4 48 16: :
8 16 2 4 4 2 4
aa aa a
a a a a
2
4a
2
2 4a
2
4a 2 2 4
podm.: 4a
2
22 2 2
2 22 2 2
2 2 2 2 22
2
12 3 9 3 6 9 12 3 9 3e) 1
6 9 2 6 6 9 6 9 2 3 3
3 3 2 9 3 3 36 9 9 18 6 6 9
6 9 2 3 3 2 3 3 2 3
3
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a aa a a a a a
a a a a a a a
a
2
3a
2
3a
2
2 3a
1
2
podm.: 3a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 138
2 2 2
22 2 2
222 2 2
2 2 22
22 2
2 2
16 4 4 8 16 16 4 4f) 1
8 16 2 8 8 16 8 16 2 4 4
4 4 2 4 48 16 16 2 8
8 16 2 4 4 2 4
44 8 16
4 2 4
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a aa a a a a
a a a a a
aa a a
a a
2
4 a
2
4 a
2
2 4a
1
2
podm.: 4a
5. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a)
2
2
11 3 2 3 31
2 4 3 6 4 5
aa a
a a a a
b)
2
2
13 1 2 3 31
2 4 3 6 4 5
aa a
a a a a
Řešení:
2 2
2
2
22
1 11 3 2 3 3 1 3 2 3 3a) 1 1
2 4 3 6 4 5 2 2 3 2 2 2 5
3 1 3 2 2 2 3 2 6 1 5 3 =
6 2 2 5
3 9 2 4 6 2 6 2 1 2
6 2 2
a aa a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a a a a a
a a a
2 2 2
2 2 2 2
5
3 6 9 18 4 8 6 12 6 12 6 2
6 2 2 5
3 6 9 18 4 8 6 12 6 12 6 2 5 2
6 2 2 5 6 2 2 5
5
a a a a a a a a a
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
a a
6 2a
2
2
a
a
5a 6 2
podm.: 2; 5
a
a
a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 139
2 2
2
2
22
1 13 1 2 3 3 3 1 2 3 3b) 1 1
2 4 3 6 4 5 2 2 3 2 2 2 5
3 3 1 2 2 2 3 2 6 1 5 3 =
6 2 2 5
9 3 2 4 6 2 6 2 1 2
6 2 2
a aa a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a a a a a
a a a
2 2 2
2 2 2 2
5
9 18 3 6 4 8 6 12 6 12 6 2
6 2 2 5
9 18 3 6 4 8 6 12 6 12 6 2 5 2
6 2 2 5 6 2 2 5
5
a a a a a a a a a
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
a a
6 2a
2
2
a
a
5a 6 2
podm.: 2; 5
a
a
a a
6. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a) 1 1
1 11 2 1 2
a aa a
b) 1 1
1 11 2 1 2
a aa a
c) 1 1
1 11 2 1 2
a aa a
d) 1 1
1 11 2 1 2
a aa a
e) 1 1
1 11 2 1 2
a aa a
f) 1 1
1 11 2 1 2
a aa a
Řešení:
2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 2 11 1a) 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 2 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
a a a aa a
a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a
a a
1 2a
1 2a a
1 2a
2
1 podm.:
2
a
a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 140
2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 2 11 1b) 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 2 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
a a a aa a
a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a
a a
1 2a
1 2a a
1 2a
2
1 podm.:
2
a
a
2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 2 11 1c) 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 2 1 2 3 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
a a a aa a
a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a
a a
23 2
1 2 1 2
a a
a a
2 33 2
1 2
1 podm.:
2
a a
a
a
2 2 2 2
2
1 1 2 1 1 1 2 11 1d) 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 2 1 3 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
3 2
1 2
a a a aa a
a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a
a a
a
1 2a a
2 3 2 33 2 3 2
1 2 1 2 2 1
1 podm.:
2
a a a a
a a a
a
2 22 2 2 2
2 4
2
1 1 2 1 1 1 2 11 1e) 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
3 2 3 21 2 2 1 1 2 2 1 3 2 3 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
9 4
1 4
1 podm.:
2
a a a aa a
a a a a
a a a aa a a a a a a a a a
a a a a a a
a a
a
a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 141
2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 2 11 1f) 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 2 1 2 3 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
a a a aa a
a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a
a a
23 2
1 2 1 2
a a
a a
2 33 2
1 2
1 podm.:
2
a a
a
a
7. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a) 2 5 4
1 :3 3 3 18 14
a a
a a a a
b) 2 5 6
1 :2 2 2 12 14
a a
a a a a
c) 6 9 7
1 :1 1 1 2 10
a a
a a a a
d) 2 6 5
1 :4 4 4 6 3
a a
a a a a
e) 2 3 5 6
2 :4 4 4 5 5
a a
a a a a
f) 2 2 4 7
2 :3 3 3 3 3
a a
a a a a
Řešení:
2 3 5 32 5 4 3 4a) 1 : :
3 3 3 18 14 3 3 3
a aa a a a
a a a a a a a
2
a
9 7
3 2 6 15 5 2 3 7 9 2 : :
3 3 3 9 7 3 3 3 9 7
a
a a a a a
a a a a a a a a
3
3a
3 a
3 3 32 2 3 9 2 3 9 2 5 9
7 9 9 7 7 9 9 7 7 9 7 9 7 9 7 9
9 podm.: 3;
7
a aa a a a a a a
a a a a a a a a
a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 142
2 2 5 22 5 6 2 6b) 1 : :
2 2 2 12 14 2 2 2
a aa a a a
a a a a a a a
2
a
6 7
2 2 4 10 5 3 2 7 6 3 : :
2 2 2 6 7 2 2 2 6 7
a
a a a a a
a a a a a a a a
2
2a
2 a
2 2 23 3 2 4 3 2 4 3
7 6 6 7 7 6 6 7 7 6 7 6 7 6
5 4
7 6
6 podm.: 2;
7
a aa a a a a a
a a a a a a a
a
a
a a
6 1 9 16 9 7 1 7c) 1 : :
1 1 1 2 10 1 1 1 2 10
1 6 6 9 9 7 1 15 3 7 : :
1 1 1 2 10 1 1 1 2 10
a aa a a a a
a a a a a a a a
a a a a a
a a a a a a a a
1
1a
1 a
1 7 1 7 1 7
15 3 2 10 3 5 1 2 1 5 3 5 1 2 5 1
2 1 3 7 2 2 21 23 2
6 5 1 6 5 1 6 5 1
1 podm.: 1;
5
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a
a a a
a a
2 4 6 42 6 5 4 5d) 1 : :
4 4 4 6 3 4 4 4 6 3
4 2 8 24 6 5 4 8 16 5 : :
4 4 4 6 3 4 4 4 6 3
a aa a a a a
a a a a a a a a
a a a a a
a a a a a a a a
4
4a
4 a
4 45
8 16 6 3
a a
a a
4
8
a
5 4 5
3 2 2 2 3 22
3 4 2 5 3 12 10 13 12
6 2 6 2 6 2
podm.: 1; 2
a a a
a a aa
a a a a a
a a a
a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 143
2 2 4 3 4 5 42 3 5 6 6e) 2 : :
4 4 4 5 5 4 4 4 5 5
2 2 8 3 12 20 5 6 8 8 8 6 : :
4 4 4 5 5 4 4 4 5 5
4 48 6 8
4 8 8 5 5
a a a aa a a
a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a
a a a
4a
4 a
4
8
a
46 6
5 5 1 5 11
5 4 64 6 5 20 6 11 20
1 5 1 5 1 5 1 5 1
podm.: 4; 1
aa a
a a aa
a aa a a a a
a a a a a
a a
2 2 3 2 3 4 32 2 4 7 7f) 2 : :
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 6 2 6 12 4 7 6 6 6 7 : :
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 36 7 6
3 6 6 3 3
a a a aa a a
a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a
a a a
3a
3 a
3
6
a
37 7
3 3 1 3 11
3 3 73 7 3 9 7 10 9
1 3 1 3 1 3 1 3 1
podm.: 3; 1
aa a
a a aa
a aa a a a a
a a a a a
a a
8. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a) :a b a b a b
a b a b b a
b) :b a b a b a
b a b a a b
c) 2 2 2
:2 2 2
a b a b a b
a b a b b a
d) 2 2 2
:2 2 2
a b a b a b
a b a b b a
e) 2 3 2 3 2 3
:2 3 2 3 3 2
a b a b a b
a b a b b a
f) 3 2 3 2 3 2
:3 2 3 2 2 3
a b a b a b
a b a b b a
Řešení:
2 2 2 2 2 2
a) : :
:
a a b b a b a a b b a ba b a b a b
a b a b b a a b a b ab
a ab ab b a ab ab b a b
a b a b ab
2 2
ab
a b a b a b
2 2
podm.: ; 0; 0
ab
a b
a b a b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 144
2 2 2 2 2 2
b) : :
:
b b a a b a b b a a b ab a b a b a
b a b a a b b a b a ab
b ab ab a b ab ab a b a
b a b a ab
2 2
ab
b a b a b a
2 2
podm.: ; 0; 0
ab
b a
b a a b
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2 2c) : :
2 2 2 2 2 2
2 2 4 2 2 4 4 :
2 2 2
a a b b a b a a b b a ba b a b a b
a b a b b a a b a b ab
a ab ab b a ab ab b a b
a b a b ab
2 2
2
2 2 4
ab
a b a b a b
2 2
2
4
podm.: 2 ; 0; 0
ab
a b
a b a b
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2 2d) : :
2 2 2 2 2 2
4 2 2 4 2 2 4 :
2 2 2
a a b b a b a a b b a ba b a b a b
a b a b b a a b a b ab
a ab ab b a ab ab b a b
a b a b ab
2 2
2
2 2 4
ab
a b a b a b
2 2
2
4
podm.: ; 0; 02
ab
a b
ba a b
2 2 2 2 2 2
2 3 2 3 2 3e) :
2 3 2 3 3 2
2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 :
2 3 2 3 6
4 6 6 9 4 6 6 9 4 9 :
2 3 2 3 6
a b a b a b
a b a b b a
a a b b a b a a b b a b
a b a b ab
a ab ab b a ab ab b a b
a b a b ab
2 2
6
2 3 2 3 4 9
ab
a b a b a b
2 2
6
4 9
3 podm.: ; 0; 0
2
ab
a b
ba a b
2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2f) :
3 2 3 2 2 3
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2 :
3 2 3 2 6
9 6 6 4 9 6 6 4 9 4 :
3 2 3 2 6
a b a b a b
a b a b b a
a a b b a b a a b b a b
a b a b ab
a ab ab b a ab ab b a b
a b a b ab
2 2
6
3 2 3 2 9 4
ab
a b a b a b
2 2
6
9 4
2 podm.: ; 0; 0
3
ab
a b
a b a b
9. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a) 1 2 1
111
11
a a
a
b) 2 4 1
122
12
a a
a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 145
c) 3 6 1
133
13
a a
a
d) 4 8 1
144
14
a a
a
e) 5 10 1
155
15
a a
a
f) 6 12 1
166
16
a a
a
Řešení:
1 2 1 1 1 2 1 2 1a) 1
1 1 11 1 11
1 1 1
2 1 2 1 2 1 1 1 1
1 1 1 1
podm.: 1; 0
a a
a aa a a a a a
a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a
2 4 1 2 2 4 1 4 1b) 1
2 2 22 2 21
2 2 2
4 2 4 2 4 2 2 1 1
2 2 2 2
podm.: 2; 0
a a
a aa a a a a a
a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a
3 6 1 3 3 6 1 6 1c) 1
3 3 33 3 31
3 3 3
6 3 6 3 6 3 3 1 1
3 3 3 3
podm.: 3; 0
a a
a aa a a a a a
a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a
4 8 1 4 4 8 1 8 1d) 1
4 4 44 4 41
4 4 4
8 4 8 4 8 4 4 1 1
4 4 4 4
podm.: 4; 0
a a
a aa a a a a a
a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 146
5 10 1 5 5 10 1 10 1e) 1
5 5 55 5 51
5 5 5
10 5 10 5 10 5 5 1 1
5 5 5 5
podm.: 5; 0
a a
a aa a a a a a
a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a
6 12 1 6 6 12 1 12 1f) 1
6 6 66 6 61
6 6 6
12 6 12 6 12 6 6 1 1
6 6 6 6
podm.: 6; 0
a a
a aa a a a a a
a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a
10. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a)
11
21
2
a
aa
b)
21
44
4
a
aa
c)
31
69
6
a
aa
d)
41
816
8
a
aa
e)
51
1025
10
a
aa
f)
61
1236
12
a
aa
Řešení:
2 22
1 2 1 1 1 11
12 2 2 2 2a) 1 2 1 2 1 2 1 1
2 22 22
a a a a
aa a a a aa a a a a a aa
a aa aa
2a
2 a
2
1a
1
1
podm.: 1; 2
a
a a
2 22
2 4 2 2 2 21
24 4 4 4 4b) 4 4 4 4 4 4 4 2
4 44 44
a a a a
aa a a a aa a a a a a aa
a aa aa
4a
4 a
2
2a
1
2
podm.: 2; 4
a
a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 147
2 22
3 6 3 3 3 31
36 6 6 6 6c) 9 6 9 6 9 6 9 3
6 66 66
a a a a
aa a a a aa a a a a a aa
a aa aa
6a
6 a
2
3a
1
3
podm.: 3; 6
a
a a
2 22
4 8 4 4 4 41
8 8 8 8 8d) 16 8 16 8 16 8 16 4
8 88 88
4
a a a a
a a a a aa a a a a a aa
a aa aa
a
8a
8 a
2
4a
1
4
podm.: 4; 8
a
a a
2 22
5 10 5 5 5 51
10 10 10 10 10e) 25 10 25 10 25 10 25 5
10 1010 1010
5
a a a a
a a a a aa a a a a a aa
a aa aa
a
10a
10 a
2
5a
1
5
podm.: 5; 10
a
a a
2 22
6 12 6 6 6 61
12 12 12 12 12f) 36 12 36 12 36 12 36 6
12 1212 1212
6
a a a a
a a a a aa a a a a a aa
a aa aa
a
12a
12 a
2
6a
1
6
podm.: 6; 12
a
a a
11. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a) 1 3
1 3
a a
a aa a
a a
b) 1 3
1 3
a a
a aa a
a a
c) 2 4
2 4
a a
a aa a
a a
d) 2 4
2 4
a a
a aa a
a a
e) 3 1
3 1
a a
a aa a
a a
f) 1 3
1 3
a a
a aa a
a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 148
Řešení:
2 2
2 2 2
2 2
3 1 3 4
1 3 1 3 1 31 3a) 3 1 3 2 2
1 3 1 3 1 31 3
1 34 4 4
1 3 2 2 2 2
a a a a a a a a aa aa a a a a aa a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a aa a
a aa a a
a a a a a a
2a
2
11
podm.: 1; 3; 0
aa
a a a
2 2
2 2 2
2 2
3 1 3 2
1 3 1 3 1 31 3b) 3 1 3 2 4
1 3 1 3 1 31 3
1 32 2 2
1 3 2 4 2 4
a a a a a a a a aa aa a a a a aa a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a aa a
a aa a a
a a a a a a
2a
1
22
podm.: 3; 2; 1; 0
aa
a a a a
2 2
2 2 2
2 2
4 2 4 2 6
2 4 2 4 2 42 4c) 4 2 4 2 2 2
2 4 2 4 2 42 4
2 46 6 6
2 4 2 2 2 2
a a a a a a a a aa aa a a a a aa a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a aa a
a aa a a
a a a a a a
2a
3
11
podm.: 2; 0; 1; 4
aa
a a a a
2 2
2 2 2
2 2
4 2 4 2 6
2 4 2 4 2 42 4d) 4 2 4 2 2 2
2 4 2 4 2 42 4
2 46 6 6
2 4 2 2 2 2
a a a a a a a a aa aa a a a a aa a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a aa a
a aa a a
a a a a a a
2a
3
11
podm.: 4; 1; 0; 2
aa
a a a a
2 2
2 2 2
2 2
1 3 3 4
3 1 3 1 3 13 1e) 1 3 3 2 2
3 1 3 1 3 13 1
3 14 4 4
3 1 2 2 2 2
a a a a a a a a aa aa a a a a aa a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a aa a
a aa a a
a a a a a a
2a
2
11
podm.: 1; 0; 3
aa
a a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 149
2 2
2 2 2
2 2
3 1 3 2
1 3 1 3 1 31 3f) 3 1 3 2 4
1 3 1 3 1 31 3
1 32 2 2
1 3 2 4 2 4
a a a a a a a a aa aa a a a a aa a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a aa a
a aa a a
a a a a a a
2a
1
22
podm.: 0; 1; 2; 3
aa
a a a a
12. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a) 2
2 4
2 43
32
a
a a
a
b) 2
3 6
3 95
53
a
a a
a
c) 2
6 3
9 34
43
a
a a
a
d) 2
4 2
4 24
42
a
a a
a
e) 2
10 5
16 42
24
a
a a
a
f) 2
4 8
4 161
14
a
a a
a
Řešení:
2
2 2 42 4 2 4 42 42 2 2 2 2 2 22 4a)
3 3 6 3 3 93 2 33
2 2 22
2 4
2 22 2 2 4 2
3 9 2 2 3 9
2
a aa a aaa a a a a a aa a
a aa
a a aa
a
aa a a a
a a a a
a
2a 2a
2a
2
3 3 3 3
podm.: 2; 3
a a
a a
2
3 3 63 6 3 9 63 63 3 3 3 3 3 33 9b)
5 5 15 5 5 205 3 55
3 3 33
3 9
3 33 3 3 9 3
5 20 3 3 5 20
3
a aa a aaa a a a a a aa a
a aa
a a aa
a
aa a a a
a a a a
a
3a 3a
3a
3
5 4 5 4
podm.: 3; 4
a a
a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 150
2
6 3 36 3 6 3 96 33 3 3 3 3 3 39 3c)
4 4 12 4 4 84 3 44
3 3 33
3 9
3 33 3 3 9 3
4 8 3 3 4 8
3
a aa a aaa a a a a a aa a
a aa
a a aa
a
aa a a a
a a a a
a
3a 3a
3a
3
4 2 4 2
podm.: 3; 2
a a
a a
2
4 2 24 2 4 2 44 22 2 2 2 2 2 24 2d)
4 4 8 4 4 44 2 44
2 2 22
2 4
22 2 2 4 2
4 4 2 2 4 4
2
a aa a aaa a a a a a aa a
a aa
a a aa
a
a a a a
a a a a
a
2a
2a 2a
2a
4 1
2 11
podm.: 2; 1
aa
a a
2
10 5 410 5 10 5 2010 54 4 4 4 4 4 416 4e)
2 2 8 2 2 62 4 22
4 4 44
5 20
5 44 4 5 20 4
2 6 4 4 2 6
4
a aa a aaa a a a a a aa a
a aa
a a aa
a
aa a a a
a a a a
a
4a 4a
4a
5
2 3 2 3
podm.: 4; 3
a a
a a
2
4 4 84 8 4 16 84 84 4 4 4 4 4 44 16f)
1 4 1 51 4 11
4 4 44
4 16
4 44 4 4 16 4
5 4 4 5
4
a aa a aaa a a a a a aa a
a aa
a a aa
a
aa a a a
a a a a
a
4a 4a
4a
4
5 5
podm.: 4; 5
a a
a a
13. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a) 2 2
4 1
4 12
2 1
a aa a
a a
b) 2 2
9 1
9 13
3 1
a aa a
a a
c) 2 2
16 1
16 14
4 1
a aa a
a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 151
d) 2 2
16 4
16 44 2
4 2
a aa a
a a
e) 2 2
9 4
9 43 2
3 2
a aa a
a a
f) 2 2
16 9
16 94 3
4 3
a aa a
a a
Řešení:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2
2
4 1 1 4 4 4 4 34 1
1 4 1 4 1 44 1a) 2 2 1 2 2 2 2 3
2 1 2 1 2 12 1
3
a a a a a
a a a a a aa aa a a a a a a a a a a
a a a a a aa a
a
1 1a a 2a
2
2
a
a
1a
23a 1
1 2
podm.: 1; 2; 0
a a
a a a
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2
2
9 1 1 9 9 9 9 89 1
1 9 1 9 1 99 1b) 3 3 1 3 3 3 3 4
3 1 3 1 3 13 1
8
a a a a a
a a a a a aa aa a a a a a a a a a a
a a a a a aa a
a
1 1a a 3a
3
3
a
a
1a
24a 2
1 3
podm.: 1; 3; 0
a a
a a a
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2
2
16 1 1 16 16 16 16 1516 1
16 1 16 1 16 116 1c) 4 4 1 4 4 4 4 5
4 1 4 1 4 14 1
15
a a a a a
a a a a a aa aa a a a a a a a a a a
a a a a a aa a
a
4 4a a 1a
4
1
a
a
1a
25a 3
4 1
podm.: 1; 4; 0
a a
a a a
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2
2
16 4 4 16 16 64 4 64 1216 4
16 4 16 4 16 416 4d) 4 2 4 2 2 4 4 8 2 8 6
4 2 4 2 4 24 2
12
a a a a a
a a a a a aa aa a a a a a a a a a a
a a a a a aa a
a
4 4a a 2a
4
2
a
a
2a
26a 2
4 2
podm.: 2; 4; 0
a a
a a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 152
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2
2
9 4 4 9 9 36 4 36 59 4
9 4 9 4 9 49 4e) 3 2 3 2 2 3 3 6 2 6 5
3 2 3 2 3 23 2
5
a a a a a
a a a a a aa aa a a a a a a a a a a
a a a a a aa a
a
3 3a a 2a
3
2
a
a
2a
25a 1
3 2
podm.: 2; 3; 0
a a
a a a
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2
2
16 9 9 16 16 144 9 144 716 9
16 9 16 9 16 916 9f) 4 3 4 3 3 4 4 12 3 12 7
4 3 4 3 4 34 3
7
a a a a a
a a a a a aa aa a a a a a a a a a a
a a a a a aa a
a
4 4a a 3a
4
3
a
a
3a
27a 1
4 3
podm.: 3; 4; 0
a a
a a a
14. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a)
11
11
11
x
x
b)
11
11
11
x
x
c)
11
11
11
x
x
d)
11
11
11
x
x
e)
11
11
11
x
x
f)
11
11
11
x
x
Řešení:
2
1 1 1 1 1 11 11 1
a) 1 1 1 1 1 1
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1
1
podm.: 0; 1
x x x x xxx xx x x x x x
x x x x x xx x x x x
x x
x x
2
1 1 1 1 1 11
1 1 1b)
1 1 1 1 1 11 1 1 1
1 1 1 1 1 1 11
podm.: 0; 1
x x x x x
x x xx x x x x xx x x x x x
x x x x x
x x
x x
Základní poznatky z matematiky
Stránka 153
2
2
1 1 1 1 1 11
1 1 1c)
1 1 1 1 2 1 2 1 21 1 1 1
1 1 1 1 1 1 11
1 podm.: 0; 1;
2
x x x x x
x x xx x x x x xx x x x x x x x x
x x x x x
x x
x x x
2
2
1 1 1 1 1 11 11 1
d) 1 1 1 1 2 1 2 1 2
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1
1
1 podm.: 0; 1;
2
x x x x xxx xx x x x x x
x x x x x x x x xx x x x x
x x
x x x
2
2
1 1 1 1 1 11 11 1
e) 1 1 1 1 2 1 2 1 2
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1
1
1 podm.: 0; 1;
2
x x x x xxx xx x x x x x
x x x x x x x x xx x x x x
x x
x x x
2
1 1 1 1 1 11 11 1
f) 1 1 1 1 1 1
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1
1
podm.: 0; 1
x x x x xxx xx x x x x x
x x x x x xx x x x x
x x
x x
15. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a) 1
11
11a
b) 1
11
11a
c) 1
11
11a
d) 1
11
11a
e) 1
11
11a
f) 1
11
11a
Řešení:
1 1 1 1 1 1 1 2 1a) 1 1 1 1 1
1 1 1 11
1 1 1
podm.: 0; 1
a a a a a
a a a a a a
a a a
a a
1 1 1 1 1 1 1 2 1b) 1 1 1 1 1
1 1 1 11
1 1 1
podm.: 0; 1
a a a a a
a a a a a a
a a a
a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 154
1 1 1 1 1 1 2 1 2 3c) 1 1 1 1 1
1 1 1 2 1 2 2 2 21
1 1 1
podm.: 2; 1
a a a a a
a a a a a a
a a a
a a
1 1 1 1 1 1 2 1 1d) 1 1 1 1 1
1 1 1 2 1 2 2 2 21
1 1 1
podm.: 1; 2
a a a a
a a a a a a
a a a
a a
1 1 1 1 1 1 1 1e) 1 1 1 1 1
1 1 1 11
1 1 1
podm.: 0; 1
a a a a
a a a a a a
a a a
a a
1 1 1 1 1 1 1 1f) 1 1 1 1 1
1 1 1 11
1 1 1
podm.: 0; 1
a a a a
a a a a a a
a a a
a a
16. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a)
11
11
11
1
a
a
b)
11
11
11
1
a
a
c)
11
11
11
1
a
a
d)
11
11
11
1
a
a
e)
11
11
11
1
a
a
f)
11
11
11
1
a
a
Řešení:
2
1 1 11
11 1 1 1 1 1a) 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1
1
podm.: 1; 0; 1
a a a a a
a a a aa a a a a aa a a a a a
a a a a a
a a
a a a
1 1 1 2 2 2 21
21 1 1 1 1 1b) 1 1 1 1 2 1 11 1 1 1
1 1 1 1 1 1 11
a a a a a
aa a a a a aa a a a a a
a a a a a
a a
1a
2
2 1 2 1
1 podm.: 0; ; 1
2
a
a a
a a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 155
1 1 11
1 1 1 1 1 1c) 1 1 1 1 2 1 11 1 1 1
1 1 1 1 1 1 11
a a a a a
aa a a a a aa a a a a a
a a a a a
a a
1a 2 1 2 1
1 podm.: 1; ; 0
2
a
a a
a a a
1 1 1 2 2 2 21
21 1 1 1 1 1d) 1 1 1 1 1 11 1 1 1
1 1 1 1 1 1 11
a a a a a
aa a a a a aa a a a a
a a a a a
a a
1a 2
1
podm.: 1; 0
a
a a
1 1 1 2 2 2 21
21 1 1 1 1 1e) 1 1 1 1 2 1 11 1 1 1
1 1 1 1 1 1 11
a a a a a
aa a a a a aa a a a a a
a a a a a
a a
1a
2
2 1 2 1
1 podm.: 1; ; 0
2
a
a a
a a a
1 1 1 2 2 2 21
21 1 1 1 1 1f) 1 1 1 1 1 11 1 1 1
1 1 1 1 1 1 11
a a a a a
aa a a a a aa a a a a
a a a a a
a a
1a 2
1
podm.: 0; 1
a
a a
17. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a)
11
21
2
a
aa
b)
21
44
4
a
aa
c)
31
69
6
a
aa
d)
41
816
8
a
aa
e)
51
1025
10
a
aa
f)
61
1236
12
a
aa
Řešení:
2 22
1 2 1 1 1 11
12 2 2 2 2a) 1 2 1 2 1 2 1 1
2 22 22
a a a a
aa a a a aa a a a a a aa
a aa aa
2a
2 a
2
1a
1
1
podm.: 1; 2
a
a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 156
2 22
2 4 2 2 2 21
24 4 4 4 4b) 4 4 4 4 4 4 4 2
4 44 44
a a a a
aa a a a aa a a a a a aa
a aa aa
4a
4 a
2
2a
1
2
podm.: 2; 4
a
a a
2 22
3 6 3 3 3 31
36 6 6 6 6c) 9 6 9 6 9 6 9 3
6 66 66
a a a a
aa a a a aa a a a a a aa
a aa aa
6a
6 a
2
3a
1
3
podm.: 3; 6
a
a a
2 22
4 8 4 4 4 41
48 8 8 8 8d) 16 8 16 8 16 8 16 4
8 88 88
a a a a
aa a a a aa a a a a a aa
a aa aa
8a
8 a
2
4a
1
4
podm.: 4; 8
a
a a
2 22
5 10 5 5 5 51
10 10 10 10 10e) 25 10 25 10 25 10 25 5
10 1010 1010
5
a a a a
a a a a aa a a a a a aa
a aa aa
a
10a
10 a
2
5a
1
5
podm.: 5; 10
a
a a
2 22
6 12 6 6 6 61
12 12 12 12 12f) 36 12 36 12 36 12 36 6
12 1212 1212
6
a a a a
a a a a aa a a a a a aa
a aa aa
a
12a
12 a
2
6a
1
6
podm.: 6; 12
a
a a
18. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a)
12
11
2
a
a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 157
Řešení:
2 1 11 2 2 1 2 12
2 11 1 1 1a) 1 2 1 2 1 2 1
2
a a a
aa a a aa a a
a a a a
1 2 1
a
a a
1
1 podm.: 1; 0;
2
a
a
a a a
19. Upravte následující výrazy a určete podmínky řešitelnosti:
a) 2 3
2 3 31 1
a a a b
b b b a b
b) 2 3
2 3 3
81 1
2 4 2 8
a a a b
b b b a b
c) 2 3
2 3 3
81 1
2 4 2 8
b b b a
a a a b a
d) 2 3
2 3 3
271 1
3 9 3 27
a a a b
b b b a b
e) 2 3
2 3 3
271 1
3 9 3 27
b b b a
a a a b a
f) 2 3
2 3 3
2 4 2 271 1
3 9 3 8 27
a a a b
b b b a b
Řešení:
2 3 2 2 3
2 3 3 2 2 2
2 2
a) 1 1
a a a b b ab a b a b
b b b a b b b a b a ab b
a ab b
1 a b 3b
3b a b 2 2a ab b 1
podm.: ; 0a b b
2 3 2 2 3
2 3 3 2 2 2
2 2
8 4 2 2 8b) 1 1
2 4 2 8 4 2 2 2 4
2 4
a a a b b ab a b a b
b b b a b b b a b a ab b
a ab b
1 2a b 38b
38b 2a b 2 22 4a ab b 1
podm.: 2 ; 0a b b
2 3 2 2 3
2 3 3 2 2 2
2 2
8 4 2 2 8c) 1 1
2 4 2 8 4 2 2 2 4
2 4
b b b a a ab b a b a
a a a b a a a b a b ab a
b ab a
1 2b a 38a
38a 2b a 2 22 4b ab a 1
podm.: 2 ; 0b a a
Základní poznatky z matematiky
Stránka 158
2 3 2 2 3
2 3 3 2 2 2
2 2
27 9 3 3 27d) 1 1
3 9 3 27 9 3 3 3 9
3 9
a a a b b ab a b a b
b b b a b b b a b a ab b
a ab b
1 3a b 327b
327b 3a b 2 23 9a ab b 1
podm.: 3 ; 0a b b
2 3 2 2 3
2 3 3 2 2 2
2 2
27 9 3 3 27e) 1 1
3 9 3 27 9 3 3 3 9
3 9
b b b a a ab b a b a
a a a b a a a b a b ab a
b ab a
1 3b a 327a
327a 3b a 2 23 9b ab a 1
podm.: 3 ; 0b a a
2 3 2 2 3
2 3 3 2 2 2
2 2
2 4 2 27 9 6 4 3 2 27f) 1 1
3 9 3 8 27 9 3 2 3 4 6 9
4 6 9
a a a b b ab a b a b
b b b a b b b a b a ab b
a ab b
1 2 3a b 327b
327b 2 3a b 2 24 6 9a ab b 1
3 podm.: ; 0
2a b b
Základní poznatky z matematiky
Stránka 159
1.8 Dělitelnost
1. Dokažte:
a) součin dvou sudých čísel je číslo sudé
b) součinem dvou sudých čísel je číslo dělitelné čtyřmi
c) součet dvou sudých čísel je číslo sudé
d) součet sudého a lichého čísla je číslo liché
e) součtem dvou lichých čísel je číslo sudé.
Řešení:
a) součin dvou sudých čísel je číslo sudé
0
0
Nechť: 2 ;
2 ;
2 2 2 2 číslo je sudé
a k k Z
b l l Z
a b k l kl
b) součin dvou sudých čísel je číslo dělitelné čtyřmi
0
0
Nechť: 2 ;
2 ;
2 2 4 číslo je dělitelné čtyřmi
a k k Z
b l l Z
a b k l kl
c) součet dvou sudých čísel je číslo sudé
0
0
Nechť: 2 ;
2 ;
2 2 2 číslo je sudé
a k k Z
b l l Z
a b k l k l
d) součet sudého a lichého čísla je číslo liché
0
0
Nechť: 2 ;
2 1;
2 2 1 2 1 číslo je liché
a k k Z
b l l Z
a b k l k l
e) součtem dvou lichých čísel je číslo sudé
0
0
Nechť: 2 1;
2 1;
2 1 2 1 2 2 2 2 1 číslo je sudé
a k k Z
b l l Z
a b k l k l k l
2. Dokažte, že platí:
a) 3:3 5n N n n
b) 3:3 7n N n n
c) 3:3 2 3n N n n
d) 3:3 4 3n N n n
e) 4 3 2: 4 2 2n N n n n n
f) 4 3 2: 4 2 2n N n n n n
g) 4 2
0 2 1, : 96 2 2013n k k N n n
Základní poznatky z matematiky
Stránka 160
Řešení:
a)
3 2
3 2 2 2
3
2 2
2 2 2
: 3 5 : 3 5
1. způsob
5 5 1 6 1 6 1 1 6
3 1 13 5
3 6
2. způsob
3 3 3 5 3 9 5 je dělitelné 3
3 1 3 1 3 1 5 3 1 9 6 1 5 3 1 9 6 6
3 3
n N n n n N n n
n n n n n n n n n n n n n
n n nn n
n
n k k k k k
n k k k k k k k k k
k
2
2 2 2
2
3
1 3 2 2 je dělitelné 3
3 2 3 2 3 2 5 3 2 9 12 4 5 3 2 9 12 9
3 3 2 3 4 3 je dělitelné 3
platí tedy, že : 3 5
k k
n k k k k k k k k k
k k k
n N n n
b)
3 2
3 2 2 2
3
: 3 7 :3 7
1. způsob
7 7 1 6 1 6 1 1 6
3 1 13 7
3 6
n N n n n N n n
n n n n n n n n n n n n n
n n nn n
n
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2. způsob
3 3 3 7 3 9 7 je dělitelné 3
3 1 3 1 3 1 7 3 1 9 6 1 7 3 1 9 6 6
3 3 1 3 2 2 je dělitelné 3
3 2 3 2 3 2 7 3 2 9 12 4 7 3 2 9 12 3
3 3 2 3 4 1
n k k k k k
n k k k k k k k k k
k k k
n k k k k k k k k k
k k k
3
je dělitelné 3
platí tedy, že :3 7 n N n n
Základní poznatky z matematiky
Stránka 161
c)
3
3 2 2 2
3
3 3 3
3
: 3 2 3
1. způsob
2 3 2 3 1 3 3 1 3 3 1 1 3 3
1 1 3 1
3 1 13 2 3
3 3 1
2. způsob
3 3 2 3 3 27 6 3 3 9 2 1 je dělitelné 3
3 1 3 1 2 3 1 3
n N n n
n n n n n n n n n n n n n
n n n n
n n nn n
n
n k k k k k k k
n k k k
3 2
3 2 3 2
3 3 2
3 2 3 2
3
27 27 9 1 6 2 3
27 27 15 6 3 9 9 5 2 je dělitelné 3
3 2 3 2 2 3 2 3 27 54 36 8 6 4 3
27 54 42 15 3 9 18 14 5 je dělitelné 3
platí tedy, že : 3 2 3
k k k k
k k k k k k
n k k k k k k k
k k k k k k
n N n n
d)
3
3 2 2 2
3
: 3 4 3
1. způsob
4 3 4 3 1 3 3 1 3 3 1 1 3 3
1 1 3 1
3 1 13 4 3
3 3 1
n N n n
n n n n n n n n n n n n n
n n n n
n n nn n
n
3 3 3
3 3 2
3 2 3 2
3 3 2
2. způsob
3 3 4 3 3 27 12 3 3 9 4 1 je dělitelné 3
3 1 3 1 4 3 1 3 27 27 9 1 12 4 3
27 27 3 3 9 9 je dělitelné 3
3 2 3 2 4 3 2 3 27 54 36 8 12
n k k k k k k k
n k k k k k k k
k k k k k k
n k k k k k k k
3 2 3 2
3
8 3
27 54 24 3 3 9 18 8 1 je dělitelné 3
platí tedy, že :3 4 3
k k k k k k
n N n n
e)
4 3 2
4 3 2 3 3 2
: 4 2 2
2 2 2 2 2 2 1
2 1 1 1 1 2
1 1 2 je součin čtyř po sobě jdoucích přirozených čísel, který
je dělitelný čtyřmi
n N n n n n
n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n
Základní poznatky z matematiky
Stránka 162
f)
4 3 2
4 3 2 3 3 2
: 4 2 2
2 2 2 2 2 2 1
2 1 1 2 1 1
2 1 1 je součin čtyř po sobě jdoucích přirozených čísel, který je
dělitelný čtyřmi
n N n n n n
n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n
g)
24 2 2 2
4 2 3 2 2 4 3 2
4 3 2 3 2
3 2
2 1 2 2 1 2013 4 4 1 2 4 4 1 2013
16 16 1 32 8 8 8 8 2 2013 16 32 32 16 2016
16 2 2 16 126 16 2 2 1 16 126
16 1 2 1 16 126 16 1 1 2 1
k k k k k k
k k k k k k k k k k k
k k k k k k k k
k k k k k k k k k k
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
16 126
16 1 1 2 16 126 16 1 1 16 126
16 1 2 3 1 16 126 16 1 2 1 3 16 126
16 1 1 3 16 126 16 1 1 3 1 126
2 1 1 3 1 1 6 1 1
2 3 1 3 3 1
k k k k k k k k k
k k k k k k k k k k
k k k k k k k k k
k k k k k k k k k
k k k k
2
4 2
2 2
6 3 196 2 2013
2 126 3 126 6 126
16 1 1 3 1 126
k kn n
k k k k k
3. Najděte prvočíselný rozklad uvedených čísel:
a) 13770
b) 4788
c) 2808
d) 760
Řešení:
a) 413770 2 3 5 17
b) 2 24788 2 3 7 19
c) 3 32808 2 3 13
d) 3760 2 5 19
4. Vypište všechny dělitele čísla:
a) 24
b) 30
c) 36
d) 40
e) 48
f) 60
g) 72
h) 80
i) 90
j) 100
k) 150
l) 160
m) 180
n) 252
Řešení:
a) číslo 24 je dělitelné: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
b) číslo 30 je dělitelné: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
c) číslo 36 je dělitelné: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
d) číslo 40 je dělitelné: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Základní poznatky z matematiky
Stránka 163
e) číslo 48 je dělitelné: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
f) číslo 60 je dělitelné: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
g) číslo 72 je dělitelné: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
h) číslo 80 je dělitelné: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
i) číslo 90 je dělitelné: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
j) číslo 100 je dělitelné: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
k) číslo 150 je dělitelné: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150
l) číslo 160 je dělitelné: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160
m) číslo 180 je dělitelné: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
n) číslo 252 je dělitelné: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 28, 36, 42, 63, 84, 126, 252
5. Rozhodněte, zda daná čísla jsou prvočísla:
a) 331
b) 481
c) 563
d) 1537
Řešení:
a) 331
331 18,2
Číslo 331 není dělitelné 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Proto se jedná o prvočíslo
b) 481
481 21,9
Číslo 481 je dělitelné prvočíslem 13, nejedná se o prvočíslo
c) 563
563 23,7
Číslo 331 není dělitelné 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Proto se jedná o prvočíslo
d) 1537
1537 39,2
Číslo 481 je dělitelné prvočíslem 29, nejedná se o prvočíslo
6. Zjistěte, zda uvedené číslo je prvočíslo:
a) 851
b) 899
c) 943
d) 989
e) 997
f) 1009
g) 1073
h) 1189
i) 1591
j) 1739
k) 1763
l) 1927
m) 2139
n) 3515
Řešení:
a) 851 23 37 není prvočíslo
b) 899 29 31 není prvočíslo
c) 943 23 41 není prvočíslo
d) 989 23 43 není prvočíslo
e) 997 je prvočíslo
f) 1009 je prvočíslo
g) 1073 29 37 není prvočíslo
h) 1189 29 41 není prvočíslo
i) 1591 37 43 není prvočíslo
j) 1739 37 47 není prvočíslo
Základní poznatky z matematiky
Stránka 164
k) 1763 41 43 není prvočíslo
l) 1927 41 47 není prvočíslo
m) 2139 3 23 31 není prvočíslo
n) 3515 5 19 37 není prvočíslo
7. Určete nejmenší společný násobek čísel:
a) 24 a 30
b) 28 a 42
c) 30 a 44
d) 32 a 36
e) 36 a 42
f) 28 a 50
g) 72 a 108
h) 54 a 120
Řešení:
a) 24 2 2 2 3
24; 30 2 2 2 3 5 12030 2 3 5
n
b) 28 2 2 7
28; 42 2 2 3 7 8442 2 3 7
n
c) 30 2 3 5
30; 44 2 2 3 5 11 66044 2 2 11
n
d) 32 2 2 2 2 2
32; 36 2 2 2 2 2 3 3 28836 2 2 3 3
n
e) 36 2 2 3 3
36; 42 2 2 3 3 7 25242 2 3 7
n
f) 28 2 2 7
28; 50 2 2 5 5 7 70050 2 5 5
n
g) 72 2 2 2 3 3
72; 108 2 2 2 3 3 3 216108 2 2 3 3 3
n
h) 54 2 3 3 3
54; 120 2 2 2 3 3 3 5 1080120 2 2 2 3 5
n
8. Určete nejmenší společný násobek čísel:
a) 168 a 180
b) 120 a 300
c) 270 a 420
d) 252 a 378
e) 420 a 450
f) 504 a 540
Řešení:
a) 168 2 2 2 3 7
168; 180 2 2 2 3 3 5 7 2520 180 2 2 3 3 5
n
b) 120 2 2 2 3 5
120; 300 2 2 2 3 5 5 600 300 2 2 3 5 5
n
c) 270 2 3 3 3 5
270; 420 2 2 3 3 3 5 7 3780 420 2 2 3 5 7
n
d) 252 2 2 3 3 7
252; 378 2 2 3 3 3 7 756 378 2 3 3 3 7
n
e) 420 2 2 3 5 7
420; 450 2 2 3 3 5 5 7 6300 450 2 3 3 5 5
n
Základní poznatky z matematiky
Stránka 165
f) 504 2 2 2 3 3 7
504; 540 2 2 2 3 3 3 5 7 7560 540 2 2 3 3 3 5
n
9. Určete největší společný dělitel čísel:
a) 480 a 672
b) 540 a 756
c) 1200 a 1680
d) 1260 a 1620
e) 2520 a 2700
f) 3528 a 3780
g) 5040 a 5400
h) 5880 a 6300
i) 7056 a 7560
j) 8400 a 17640
k) 8820 a 9450
l) 10584 a 11340
m) 17640 a 18900
n) 18480 a 19800
Řešení:
a) 480 2 2 2 2 2 3 5
480; 672 2 2 2 2 2 3 96672 2 2 2 2 2 3 7
D
b) 540 2 2 3 3 3 5
540; 756 2 2 3 3 3 108756 2 2 3 3 3 7
D
c) 1200 2 2 2 2 3 5 5
1200; 1680 2 2 2 2 3 5 2401680 2 2 2 2 3 5 7
D
d) 1260 2 2 3 3 5 7
1260; 1620 2 2 3 3 5 1801620 2 2 3 3 3 3 5
D
e) 2520 2 2 2 3 3 5 7
2520; 2700 2 2 3 3 5 1802700 2 2 3 3 3 5 5
D
f) 3528 2 2 2 3 3 7 7
3528; 3780 2 2 3 3 7 2523780 2 2 3 3 3 5 7
D
g) 5040 2 2 2 2 3 3 5 7
5040; 5400 2 2 2 3 3 5 3605400 2 2 2 3 3 3 5 5
D
h) 5880 2 2 2 3 5 7 7
5880; 6300 2 2 3 5 7 4206300 2 2 3 3 5 5 7
D
i) 7056 2 2 2 2 3 3 7 7
7056; 7560 2 2 2 3 3 7 5047560 2 2 2 3 3 3 5 7
D
j) 8400 2 2 2 2 3 5 5 7
17640; 8400 2 2 2 3 5 7 840 17640 2 2 2 3 3 5 7 7
D
k) 8820 2 2 3 3 5 7 7
8820; 9450 2 3 3 5 7 6309450 2 3 3 3 5 5 7
D
l) 10584 2 2 2 3 3 3 7 7
10584; 11340 2 2 3 3 3 7 75611340 2 2 3 3 3 3 5 7
D
m) 17640 2 2 2 3 3 5 7 7
17640; 18900 2 2 3 3 5 7 126018900 2 2 3 3 3 5 5 7
D
n) 18480 2 2 2 2 3 5 7 11
18480; 19800 2 2 2 3 5 11 132019800 2 2 2 3 3 5 5 11
D
Základní poznatky z matematiky
Stránka 166
10. Najděte nejmenší společný násobek a největší společný dělitel čísel:
a) 18; 20; 90 e) 110; 132; 154
b) 70; 25; 98 f) 6; 12; 14; 35
c) 20; 22; 24 g) 72; 90; 150; 240
d) 124; 186; 248 h) 18; 42; 126; 252
Řešení:
a) 18; 20; 90
2
2 2
2
2
18 2 318,20,90 2 3 5 180
20 2 518,20,90 2
90 2 3 5
n
D
b) 70; 25; 98
2 2
2
2
70 2 5 725,70,98 2 5 7 2450
25 5(25,70,98) 1
98 2 7
n
D
c) 20; 22; 24
2
3
3
20 2 520,22,24 2 3 5 11 1320
22 2 1120,22,24 2
24 2 3
n
D
d) 124; 186; 248
2
3
3
124 2 31124,186,248 2 3 31 744
186 2 3 31124,186,248 2 31 62
248 2 31
n
D
e) 110; 132; 154
110 2 5 11110,132,154 2 5 6 7 11 4620
132 2 6 11110,132,154 2 11 22
154 2 7 11
n
D
f) 6; 12; 14; 35
22
6 2 3
6,12,14,35 2 3 5 7 42012 2 3
6,12,14,35 114 2 7
35 5 7
n
D
Základní poznatky z matematiky
Stránka 167
g) 72; 90; 150; 240
3 2
2 4 2 2
2
4
72 2 3
90 2 3 5 72,90,150,240 2 3 5 3600
72,90,150,240 2 3 6150 2 3 5
240 2 3 5
n
D
h) 18; 42; 126; 252
2
2 2
2
2 2
18 2 3
42 2 3 7 18,42,126,252 2 3 7 252
18,42,126,252 2 3 6126 2 3 7
252 2 3 7
n
D
11. Najděte čísla, která splňují následující podmínky:
a) Společné násobky čísel 12 a 42, která jsou menší, než jejich součin
b) Nejmenší čtyřciferné číslo, které je společným násobkem čísel 21 a 35
c) Společný násobek čísel 72 a 90, který je větší než 1000
d) Společný násobek čísel 60 a 84, který je menší než 1000 a větší než 500
Řešení:
a) Společné násobky čísel 12 a 42, která jsou menší než jejich součin.
2
2
12 42 504
12 2 312,42 2 3 7 84
42 2 3 7
84, 3 84 168, 4 84 252, 5 84 336, 6 84 420, 7 84 504
násobky splňující podmínku: 84, 168, 252, 336, 420
n
b) Nejmenší čtyřciferné číslo, které je společným násobkem čísel 21 a 35
21 3 7
21,35 3 5 7 10535 5 7
9 105 945, 10 105 1050
násobek splňující podmínku: 1050
n
c) Nejmenší společný násobek čísel 72 a 90, který je větší než 1000
3 2
3 2
2
72 2 372,90 2 3 5 360
90 2 3 5
3 360 1080
násobek splňující podmínku: 1080
n
d) Společný násobek čísel 60 a 84, který je menší než 1000 a větší než 500
2
2
2
60 2 3 560,84 2 3 5 7 420
84 2 3 7
2 420 840, 3 420 1260
násobek splňující podmínku: 840 a 1260
n
Základní poznatky z matematiky
Stránka 168
12. Hřiště má běžeckou dráhu délky 250 m. Ze startovní čáry vybíhají současně dva běžci. První
uběhne jedno kolo za 56 sekund, druhý za 1 minutu a 4 sekundy. Kolik kol by museli uběhnout,
aby se opět setkali na startovní čáře? Za jakou dobu se tak stane? Kolik km uběhne do té doby
každý z nich?
Řešení:
1
2
3
6
6
56 s
64 s
56 2 756,64 2 7 448
64 2
448 7 min 28 s
448 : 56 8 kol 8 250 2000 m
448 : 64 7 kol 7 250 1750 m
t
t
n
Běžci se potkají za 7 min 28s , první uběhne v 8 kolech 2 000 m, druhá v 7 kolech 1750 m.
13. Určete nejmenší možný počet stromů, které by se daly zasadit v řadách po 6, 8, 9 nebo 10
stromech.
Řešení:
3
3 2
2
6 2 3
8 26,8,9,10 2 3 5 360
9 3
10 2 5
n
Nejmenší počet stromů je 360.
14. Při sokolských sletech se připravují k nástupu cvičenci, kterých je méně než 100. Když se
cvičenci postaví do dvojstupu, trojstupu, čtyřstupu nebo pěti stupu, vždy je jeden cvičenec
navíc. Kolik cvičenců je na nástupu?
Řešení:
2
2
2 2
3 32,3,4,5, 2 3 5 60
4 2
5 5
60 1 61
n
Na nástupu je 61 cvičenců.
15. Obdélník s rozměry 72 cm a 48 cm máme rozdělit na co nejmenší počet shodných čtverců.
Určete počet čtverců a jejich rozměry.
Základní poznatky z matematiky
Stránka 169
Řešení:
3 2
3
4
72 2 372,48 2 3 24
48 2 3
72 : 24 3
48 : 24 2
3 2 6
D
Obdélník je rozdělen na 6 čtverců se stranou 24 cm.
16. Tři ocelové tyče o délkách 24 dm, 3 m a 160 cm mají být rozřezány na stejně dlouhé části.
Určete jejich největší možnou délku a počet.
Řešení:
4
2 2 2
5
24 dm 240 cm
3 m 300 cm
160 cm
240 2 3 5
300 2 3 5 160,240,300 2 5 20
160 2 5
240 : 20 12
300 : 20 15
160 : 20 8
12 15 8 35
D
Tyče jsou rozděleny na 35 částí o velikosti 20 cm.
17. Cihly tvaru kvádru o rozměrech 290 mm, 140 mm a 65 mm chceme naskládat do formátu tvaru
krychle. Určete nejmenší možnou délku hrany této krychle, jestliže má být úplně plná. Dále
určete počet kusů cihel, které se do ní vejdou.
Řešení:
3
2 3 2
3 2
280 2 5 7
140 2 5 7 12,140,280 2 3 5 7 2520
72 2 3
2520 : 280 9
2520 :140 6
2520 : 72 35
9 6 35 1890
n
Krychle by měla hranu 2,52 m a naskládáme do ní 1890 cihel.
18. Určitý počet fazolí skládáme po 3, 4, 5, 6 a 8 a přitom vždy zbydou 2 fazole. Pouze jestliže je
poskládáme po 7, nezbyde žádná fazole.
Základní poznatky z matematiky
Stránka 170
Řešení:
3,4,5,6,8 120
Vyzkoušíme, který násobek 120 zvětšený o 2 je dělitelný 7:
120 2 122 122 : 7 17,4
240 2 242 242 : 7 34,6
360 2 362 362 : 7 51,8
600 2 602 602 :86
Podmínku dělitelnosti 7 splňuje pouze číslo 602.
n
Fazolí je 602.
19. Dvě děti četly stejnou knihu. Starší z dětí denně přečetl 15 stran, mladší 12 stran. Starší knihu
přečetl o 4 dny dříve. Kolik měla kniha stran?
Řešení:
12,15 60
60 :12 55 4 1
60 :15 4
120 :12 1010 8 2
120 :15 8
180 :12 1515 12 3
180 :15 12
240 :12 2020 16 4 dny
240 :15 16
n
Kniha měla 240 stran.
20. Jestliže se posadí 7 žáků do každé řady, zůstane pro poslední řadu jen jeden žák. Jestliže se
posadí do každé lavice jen šest žáků, nezůstane pro jednoho žáka místo. Kolik žáků a kolik lavic
je v této třídě?
Řešení:
Jestliže při obsazení řad po 7 zůstane 1 žák navíc, jedná se o násobky 7 zvětšené o 1
Jestliže při obsazení řad po 6 jedná se o násobky 6, zvětšené o 5
Násobky 7 zvětšené o 1: 8,15,22,29,36
Násobky 6 zvětšené o 5: 11,17,23,29,35
Tato čísla se shodují v čísle 29.
29:7 4 (zb. 1)
Ve třídě je 29 žáků, kteří sedí ve 4 plně obsazených řadách a v jedné obsazené jen částečně.
21. Najděte všechny dvojice přirozených čísel x, y, tak aby jejich největší společný dělitel byl 12
a nejmenší společný násobek byl 180.
Základní poznatky z matematiky
Stránka 171
Řešení: 2
2 2
2 2
2
2
2 2
( , ) 12 2 3
( , ) 180 2 3 5
a) 2 3 36
2 3 5 60
b) 2 3 12
2 3 5 180
D x y
n x y
x
y
x
y
Podmínku splňují dvojice čísel 36,60 a 12,180.
Top Related