Zentralprojektion
„Perspektive“
Die geometrischen Grundlage der räumlichen Skizzen und Schaubilder
Darstellende Geometrie:
Ein Teilgebiet der Geometrie ist die Darstellende Geometrie.
Die 1. Aufgabe der Darstellenden Geometrie ist
die Abbildung räumlicher Gegenstände in der Zeichenebene.
Abbildungsverfahren:
• Parallelprojektion und
• Zentralprojektion
Diese Abbildungsverfahren liefern:
maßhaltige (oft unanschauliche) als auch
anschauliche Abbildungen plastisch-räumlicher Gegenstände.
„Maßhaltige“ Abbildung:
Darstellung der:
• „wahren“ Form
• „wahren“ Längen von Strecken
• „wahren“ Größen von Winkel
Sie können direkt aus den Zeichnungen abgelesen werden.
Diese Zeichnungen vermitteln nicht immer eine Vorstellung von der „plastisch – räumlichen“ Form und der Wirkung des Gegenstandes.
Das Lesen solcher Abbildungen erfordert
• Übung und
• räumliches Vorstellungsvermögen
Günter Domenig: Werkzeichnung Fassade „Zentralsparkasse“ Wien
Günter Domenig: Werkzeichnung Fassade „Zentralparkasse“ Wien
Günter Domenig: Werkzeichnung Fassade „Zentralsparkasse“ Wien
„Anschauliche“ Abbildungen
Darstellung von
• Form• Räumliche Anordnung• Oberflächenqualitäten• Licht und Schatten
• Spiegelung und Reflexion
Abbildungsverfahren:
• Militär- und Kavalierprojektion (allgemeine Parallelprojektion)• Axonometrie (senkrechte Parallelprojektion)
• Zentralprojektion („Perspektive“)
Die 2. Aufgabe der Darstellenden Geometrie ist
• die Behandlung und Lösung räumlicher Konstruktionsprobleme in der Zeichenebene.
Projektion:
Die Abbildung des Raumes auf eine Ebene
Z
Bild
eben
e
Zeichenebene
Projektionsstrahl
Standebene
Objekt
Projektion : Abbildung
Projektionszentrum: Augpunkt Z
Bildebene: Zeichenebene
Projektionsstrahl: Sehstrahl r
Punkt im Raum: Objektpunkt P
Bild des Punktes P: Bildpunkt Pc
Pc = ZP *
Verschwindungsebene:
Fernelemente: Fernpunkt Qu
Ferngerade gu
Fernebene u
Zusammenfassung:
Voraussetzung für die Zentralprojektion
Jedem Punkt des Raumes wird ein Punkt in der Bildebene zugeordnet.
Jeder Geraden im Raum wird eine Gerade in der Bildebene zugeordnet. (Geradentreue)
Ein Punkt der mit Z zusammenfällt kann nicht abgebildet werden
Eine Gerade die Z enthält bildet sich als Punkt ab (projiziernde Gerade)
Eine Ebene die Z enthält bildet sich als Gerade ab
Elemente einer Ebene die Z enthält und parallel zur Bildebene ist bilden sich auf der Ferngeraden der Bildebene ab. („die Bilder liegen im Unendlichen“)
•
•
•
•
••
Abbildungsverfahren
Zentralprojektion:
Parallelprojektion:
Geradentreu
(Linearität)
Doppelverhältnistreu
Geradentreu
(Linearität)
Parallelentreu
Teilverhältnistreu
Zentralprojektion:
Modell: Pyramide
Kegel
Parallelprojektion:
Modell: Prisma
Zylinder
Zentralprojektion:
Parallelprojektion: Militärprojektion
Kavalierprojektion
Senkrechte Parallelprojektion
Allgemeine Parallelprojektion
Kotierte Prejektion Axonometrie
ZugeordneteNormalrisse
Zweitafelverfahren
PerspektivitätIst die Zuordnung zweier verschiedener Ebenen aus einem Zentrum, das in keiner der
beiden Ebenen liegen darf. Den Punkten der einen Ebene werden Punkte der anderen
zugeordnet. Zu den Punkten zählen auch die Fernpunkte.
Perspektivitätszentrum : Z
Perspektivitätsachse : a
Zuordnungsgerade: r
2 zugeordnete Ebenen:
Zugeordnetes Punktepaar: P - P‘
Perspektivität
• die Zuordnungsgeraden sind gerichtet und gehen
von Z aus;
• Zugeordnete Punkte liegen auf
Zuordnungsgeraden;
• Liegen mehrere Punkte auf einer Zuordnungs-
geraden so fallen die zugeordneten Punkte in
einem Punkt zusammen (Inzidenz);
• Einer Geraden wird wieder eine Gerade
zugeordnet;
• Zugeordnete Geraden schneiden einander auf
auf der Schnittgeraden (Perspektivitätsachse) der
beiden zugeordneten Ebenen.
Perspektivität
Fluchtpunkt : F
Verschwindungspunkt: V
Spurpunkt: S
Fluchtpunkt der Geraden g: Fg
Spurpunkt der Geraden g: Sg
Perspektivität
Die Bilder paralleler Geraden haben bei Zentralprojektion
einen Punkt in der Bildebene gemeinsam: den
Fluchtpunkt.
• Parallele Gerade haben einen Fluchtpunkt
• Parallele Gerade im Raum gehen nicht in parallele
Geraden der Bildebene über
• eine Zentralprojektion ist nicht parallelentreu
• eine Zentralprojektion ist nicht teilverhältnistreu
Perspektivität
Fluchtpunkt : F
Fluchtgerade: Fg
Fluchtebene: F
Verschwindungspunkt: VVerschwindungsgerade: vVewrschwindungsebene:
Spurpunkt: S
Spurgerade: Sg
Perspektivität• Zu jeder Ebene im Raum gibt es eine zu ihr parallele
Fluchtebene durch Z. Diese schneidet die Bildebenein der Fluchtgeraden der Ebene.
• Die zur Bildebene parallele Verschwindungsebene durch Z schneidet eine beliebige Ebene im raum in der Verschwindungsgeraden der Ebene.
• Die Schnittgerade einer beliebigen Ebene im Raum
schneidet die Bildebene in der Spurgeraden der Ebene.
• Fluchtgerade, Verschwindungsgerade und Spurgerade einer Ebene sind stets zueinander parallel.
• Parallele Ebenen haben eine Fluchtgerade gemeinsam.
• Die Fluchtpunkte aller Geraden einer Ebene liegen auf der Fluchtgeraden der Ebene. Parallele Geraden haben einenFluchtpunkt gemeinsam.
Perspektivität• Die Verschwindungspunkte aller Geraden einer Ebene liegen
auf der Verschwindungsgeraden der Ebene.
• Ist eine Gerade a der Ebene a parallel zur zur Spurgeraden der Ebene a, so ist die zugeordnete Gerade der Ebene b ebenfalls
parallel zur Spurgeraden. • Das Teilverhältnis bleibt bei Perspektivität (Zentralprojektion)
nicht erhalten: ein Mittelpunkt einer Strecke geht nicht in denMittelpunkt der zugeordneten Strecke über.
• Bei Perspektivität (Zentralprojektion) bleibt das Doppelverhältnis erhalten.
Unter Doppelverhältnis versteht man das Verhältnis derTeilverhältnisse, in das die Punkte C und D die Strecke ABteilen:
(AC : CB) : (AD:DB)
Ende der Vorlesung
Thema der 3. Vorlesung:
Perspektive Kollineation -
Perspektive Affinität
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