Politechnika Wrocławska Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Instytut Inżynierii Lądowej Zakład Dynamiki Budowli rok akadem. 2003/2004 semestr III
Wroclaw 21.01.2004 r.
ZADANIE PROJEKTOWE STATYKA BUDOWLI
Prowadzaca Dr inz. Monika Podwórna
Wykonal: …………………
Nr indeksu ………….
Spis treści:
BELKA
• Sprawdzanie geometrycznej zmienności i statycznej wyznaczalności układu…… 2
• Wyznaczanie reakcji……………………………………………………………… 3
• Równania charakterystyczne……………………………………………………… 4
• Wykres momentów sił tnących i zginających ………………………………........ 6
• Zasada prac przygotowanych……………………………………………………... 7
RAMA
• Sprawdzanie geometrycznej zmienności i statycznej wyznaczalności układu…… 9
• Wyznaczanie reakcji……………………………………………………………… 10
• Równania charakterystyczne……………………………………………………… 12
• Wykres momentów sił tnących i zginających ……………………………………. 13
• Zasada prac przygotowanych……………………………………………………... 15
KRATOWNICA
• Sprawdzanie geometrycznej zmienności i statycznej wyznaczalności układu…… 17
• Wyznaczanie reakcji……………………………………………………………… 18
• Obliczanie sił w prętach metodą analityczną …………………………………….. 19
• Zasada prac przygotowanych……………………………………………………... 23
• Obliczanie sił we wszystkich prętach sposobem Cremony……………………….. 24
• Sprawdzenie równowagi węzła…………………………………………………… 26
SPRAWDZENIE GEOMETRYCZNEJ ZMIENNOŚCI I STATYCZNEJ WYZNACZALNOŚCI UKŁADU:
Warunek ilościowy geometrycznej niezmienności:
te 3= gdzie: e – liczba wiezi t – liczba tarcz
339 ⋅=
Tarcza pierwsza z ostoją tworzą jedną tarcza. Wynika to z twierdzenia o dwóch tarczach. Jeżeli dwie tarcze połączone są trzema więziami i więzi te nie przecinają się w jednym punkcie ani nie są do siebie równoległe to dwie tarcze można zastąpić jedną.
Tarcza druga, trzecia i ostoja tworzą jedną tarcze. Wynika to z twierdzenia o trzech tarczach. Jeżeli każda z tarcz połączona jest z pozostałymi dwiema więziami i środki chwilowego obrotu nie leżą na jednej prostej ani wszystkie środki chwilowego obrotu nie znajdują się w nieskończoności to układ ten tworzy jedną tarcze. Wniosek: Układ jest geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
WYZNACZANIE REAKCJI
Równania równowagi:
00
000
=
=
=
==
∑∑
AL
AP
BP
MY
XMM
6055101055
10125.95107201*105,255
75,45102
5
5
5
−+−=
+*−−+*+−=
−−=
+**−−++**=+**−−=
∑∑
AAL
XA
YA
XAP
XBP
VMMRRVY
RHXRRM
RRM
{ 0125.95107201*105,255075,45102
5
5
=+**−−++**==+**−−=
RRMRRM
XAP
XBP
{ 0125.95107201*105,255075,45102
5
5
=+**−−++**=+**−−
RRRR
X
X
{ 0124757305,6222572
5
5
=+−−+=+−
RRRR
X
X
{ 5,38212722572
5
5
=+−=+−
RRRR
X
X { 7652414
15754914
5
5
−=−=+−
RRRR
X
X
kNR
R4,32
81025
5
5
==
kNRRkNR
RR
XY
X
X
X
9,09,0
6,12147654,32*2414
====
−=−
010 =−−=∑ YA RHX
kNH
H
A
A
9,1009,010
==−−
05101055 5 =+*−−+*+−=∑ RRVY XA 04,325109.01055 =+*−−+*+− AV 4,32509.01025 +−−+=AV kNVA 5,16=
0605 =−+−= AAL VMM 0605,165 =−*+− M 605,82 −=M kNmM 5,22=
Sprawdzenie:
=+**−−*++**+−−= 51 175,1451012610205,75560 RRMM x =*+−*−+++−−= 4,32177259,01260205,187605,22 08,5508,10540 =+−−=
RÓWNANIA CHARAKTERYSTYCZNE:
Momenty:
Siły tnące: Siły osiowe:
Przedział: 21− )2,0(∈x MxVM ax −=)1(
5,225,16)1( −= xM x kNmM x 5,22)01( −==
kNmM x 5,105,2233)21( =−==
ax VT =)1(
kNT x 5,16)1( =
ax HN −=)1(
kNN x 9,10)1( −=
Przedział: A−2 )5,2(∈x 60)2( −−= MxVM ax
5,825,16605,225,16)2( −=−−= xxM x kNmM x 5,49)22( −==
0)52( ==xM
ax VT =)2(
kNT x 5,16)2( =
ax HN −=)2(
kNN x 9,10)2( −=
Przedział: 3−A )6,5(∈x
2)5(560
2
)3(−
−−−=xMxVM ax
2)5(55,825,16
2
)3(−
−−=xxM x
0)53( ==xM kNmM x 14)63( ==
)5(5)3( −−= xVT ax
)5(55,16)3( −−= xT x kNT x 5,16)53( == kNT x 5,11)63( ==
ax HN −=)3(
kNN x 9,10)3( −=
Przedział: 45 − )5,0(∈x
210
2
5)4(xxRM x +−=
2104,32
2
)4(xxM x +−=
0)04( ==xM kNmM x 37)54( −==
xRT x 105)4( −=
xT x 104,32)4( −= kNT x 4,32)04( == kNT x 6,17)4( −=
0)4( =xN
Przedział: B−4 )7,5(∈x )5()5,2(5105)5( −+−*+−= xRxxRM Xx
)5(9,0)5,2(504,32)5( −+−+−= xxxM x kNmM x 37125162)55( −=+−==
08,12258,226)75( =++−==xM
Xx RRT −−= 5*105)5( 9,0504,32)5( −−=xT
kNT x 5,18)5( −=
Yx RN −=)5( kNN x 9,0)5( −=
Przedział: 3−B )11,7(∈x
2)7(5)5()5,2(510
2
5)6(−
−−+−**+−=xxRxxRM Xx
2)7(5)5(9,0)5,2(504,32
2
)6(−
−−+−+−=xxxxM x
08,12258,226)76( =++−==xM kNmM x 34404,54254,356)116( =−++−==
)7(55*105)6( −+−−= xRRT Xx
)7(59,0504,32)6( −+−−= xT x kNT x 5,18)76( −==
kNT x 5,1)116( ==
10)6( −−= Yx RN
109,0)6( −−=xN kNN x 9,10)6( −=
Określenie ekstremów i punktów przecięcia z osią:
Przedział: 3−B )11,7(∈x 0)7(59,0504,32)6( =−+−−= xT x
03555,18 =−+− x 5,535 =x 7,10=x
2)77,10(5)57,10(9,0)5,27,10(507,10*4,32
2
)7,106(−
−−+−+−==xM
225,3413,541068,346)7,106( −++−==xM kNmM x 225,34)7,106( ==
Przedział: 45 − )5,0(∈x 0104,32)4( =−= xT x
4,3210 =x 24,3=x
224,31024,3*4,32
2
)24,34( +−==xM
488,52976,104)24,34( +−==xM kNmM x 488,52)24,34( −==
Przedział: 21− )2,0(∈x 05,225,16)1( =−= xM x
5,225,16 =x )36(,1=x
ZASADA PRAC PRZYGOTOWANYCH:
• Dla przekroju alfa: a) Momenty
b) Tnące
54' hh=
hh54'=
3htg =β
5htg =α
020'105,1260 =⋅−⋅+⋅+⋅−⋅ αββ tghhtgtgM
05
2054105,12
360
3=⋅−⋅+⋅+⋅−⋅
hhhhhM
0485,12203
=−++−M
5,33=
M
5,10=M kNm
• Dla reakcji
54' hh=
hh54'=
5htg =α
020'105,12 =⋅−⋅+⋅+⋅− αtghhhT
05
2054105,12 =⋅−⋅+⋅+⋅−
hhhhT
0485,12 =−++−T kNT 5,16=
52' hh=
hh52'=
5'htg =β
hhtg252
51
52
=⋅=β
5'
1'' hh=
hhh252
51
52'' =⋅=
025'5,1220''10 =⋅−⋅−⋅−⋅−⋅− hRhhtgh β
025525,12
25220
25210 =⋅−⋅−⋅−⋅−⋅− hRhhhh
R=−−−− 25525
58
54
RkN =− 4,32
SPRAWDZENIE GEOMETRYCZNEJ ZMIENNOŚCI I STATYCZNEJ WYZNACZALNOŚCI UKŁADU:
Warunek ilościowy geometrycznej niezmienności: te 3=
gdzie: e – liczba wiezi t – liczba tarcz
236 ⋅=
Tarcza pierwsza z ostoją tworzą jedną tarcza. Wynika to z twierdzenia o dwóch tarczach. Jeżeli dwie tarcze połączone są trzema więziami i więzi te nie przecinają się w jednym punkcie ani nie są do siebie równoległe to dwie tarcze można zastąpić jedną.
Tarcza druga z ostoją tworzą jedną tarcza. Wynika to z twierdzenia o dwóch tarczach. Jeżeli dwie tarcze połączone są trzema więziami i więzi te nie przecinają się w jednym punkcie ani nie są do siebie równoległe to dwie tarcze można zastąpić jedną.
Wniosek: układ jest geometrycznie nie zmienny i statycznie wyznaczalny.
WYZNACZANIE REAKCJI PODPOROWYCH:
Równania równowagi:
00
00
4 =
=
=
=
∑∑
MX
YM AP
MVMRX
VRYRM
a
a
AP
−⋅⋅+⋅+⋅+⋅−⋅=
⋅++−+=
−+=
⋅+⋅−=
∑∑
5,431011310220320310102040
203203405
4
2
4
4
03203405 4 =⋅+⋅−= RM AP
kNR
RR
12605
0601205
4
4
4
==
=+−
0204 =−+=∑ aVRY
kNV
VV
a
a
a
32032
02012
==−
=−+
0310102040 2 =⋅++−+=∑ RX
kNR
RR
1000100
0301060
2
2
2
==+−
=++−
05,4310113102203204 =−⋅⋅+⋅+⋅+⋅−⋅= MVM a
kNmMM
MM
5370537
013535230406001351132304060
==−
=−+++−=−+⋅++−
Sprawdzenie:
=+⋅−⋅++⋅⋅+−= 421 1140392035.1310 RRMM
013212018030045537
1211120180100345537=+−+++−=
=⋅+−+⋅++−=
RÓWNANIA CHARAKTERYSTYCZNE:
Momenty: Siły tnące : Siły osiowe: Przedział: 34 − )3,0(∈x
xM x 40)1( = 0)01( ==xM
kNmM x 120)31( ==
kNT x 40)1( −=
kNN x 12)1( =
Przedział: 53− )2,0(∈x 12012)2( +−= xM x
kNmM x 120)02( == kNmM x 96)22( ==
kNT x 12)2( =
kNN x 40)2( =
Przedział: A−5 )5,2(∈x )2(2012012)3( −−+−= xxM x
kNmM x 96)23( == 0)53( ==xM
2012)3( +=xT
kNT x 32)3( =
kNN x 60)3( =
Przedział: A−2 )3,0(∈x xM x 100)4( −=
0)04( ==xM kNmM x 300)34( −==
kNT x 100)4( =
0)4( =xN
Przedział: 6−A )90,0(∈α 300)cos33(32sin330)( −⋅−⋅−⋅⋅−= αααM
kNmM 300)0( −==α kNmM 5,326)15( −==α kNmM 8,357)30( −==α kNmM 7,391)45( −==α kNmM 9,425)60( −==α
kNmM 458)75( −==α kNmM 486)90( −==α
32sin30cos)( ⋅+⋅= αααT
kNT 30)0( ==α kNT 26,37)15( ==α kNT 98,41)30( ==α kNT 98,41)45( ==α kNT 98,41)60( ==α kNT 67,38)75( ==α
kNT 32)90( ==α
30sin32cos)( ⋅−⋅= αααN
kNN 32)0( ==α kNN 16,23)15( ==α kNN 71,12)30( ==α
kNN 41,1)45( ==α kNN 0)5.46( =≈α
kNN 98,9)60( −==α kNN 69,20)75( −==α
kNN 30)90( −==α
Przedział: 61− )90,0(∈α
537)cos33(322
)sin3(102
)( −⋅−⋅+⋅
⋅−= αα
αM
kNmM 537)0( −==α kNmM 7,536)15( −==α kNmM 3,535)30( −==α kNmM 3,531)45( −==α kNmM 7,522)60( −==α kNmM 8,507)75( −==α
kNmM 486)90( −==α
103sincos32sin)( ⋅⋅⋅−⋅= ααααT
kNT 0)0( ==α kNT 78,0)15( ==α kNT 01,3)30( ==α kNT 63,7)45( ==α kNT 72,14)60( ==α kNT 41,23)75( ==α
kNT 32)90( ==α
10sin332cos 2
)( ⋅⋅−⋅−= αααNkNN 32)0( −==α
kNN 9,32)15( −==α kNN 211,35)30( −==α
kNN 62,37)45( −==α kNN 5,38)60( −==α kNN 3,36)75( −==α
kNN 30)90( −==α
ZASADA PRAC PRZYGOTOWANYCH:
• Dla przekroju alfa: a) Momenty
|''||''||''|
BBAAAA
=∆=
03
40 =∆⋅−∆⋅M
340 M
= kNmM 120=
b) Tnące
|''||''||''|
BBAAAA
=∆=
040 =∆⋅−∆⋅− T 040 =−− T kNT 40−=
• Dla reakcji
|''||''||'"||''||''||''||''||''||''||''|
|''|
FFAAEEAADDAACCAABBAA
AA
=====∆=
RkNR
RR
=−=−
−=−−−−−=∆⋅+∆⋅−∆⋅−∆⋅−∆⋅−∆⋅−
100100
151510204001515102040
SPRAWDZENIE GEOMETRYCZNEJ ZMIENNOŚCI I STATYCZNEJ
WYZNACZALNOŚCI UKŁADU:
Warunek ilościowy geometrycznej niezmienność:
WPR 2=+ Gdzie: R – ilość reakcji P – ilość prętów W – ilość węzłów
142253 ⋅=+
Traktując każdy pręt jako tarcze możemy stwierdzić że układ jest geometrycznie niezmienny. Gdyż 3 tarcze połączone ze sobą przegubami tworzą jedną tarcze. Idąc po kolei jak na rysunku za każdym razem korzystamy z twierdzenie o trzech tarczach przez co można stwierdzić ze górna część kratownicy jest jedną tarczą. Górna część kratownicy jest przymocowana 3 witeziami do podłoża które nie są zbieżne do jednego punktu i nie są równoległe do siebie z czego możemy stwierdzamy że kratownica z ostoją tworzą niezmienny układ. Wniosek: Układ jest geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
WYZNACZANIE REAKCJI PODPOROWYCH:
Równania równowagi:
0
00
=
=
=
∑∑
X
YM A
101010
1020101018152012103104105103
−++−=
−−−+=
⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−⋅+⋅=
∑∑
a
ba
bA
HX
VVYVM
01018152012103104105103 =⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−⋅+⋅= bA VM
kNV
VV
b
b
b
3232
154901518024030405030
=
⋅=⋅=+++−+
0102010 =−−−+=∑ ba VVY
kNV
V
a
a
317
01020103232
=
=−−−+
0101010 =−++−=∑ aHX
kNH
H
a
a
100101010
==−++−
Sprawdzenie
01202941201030104044
12032329120103010104
3176
=+−++−−+=
=+⋅−++−−⋅+⋅=
=⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−⋅−⋅+⋅= 1210962011031011046 BAAG VHVM
OBLICZANIE SIŁ WE WSKAZANYCH PRĘTACH METODA ANALITYCZNĄ:
0323231064 1 =⋅−⋅+⋅= RM C
kNR
R5,9
3860984
1
1
==−=⋅
{ Hx
Hx
=⋅
=⋅+
131)15(
xx
xxxx
=⋅=
⋅=+⋅=+
5.7215
3153)15(
05,11032325,15,310205,45,2105,75,95,7 2 =⋅+⋅+⋅+⋅−⋅−⋅−⋅= RM D
2
2
2
30117
5,725,555,7154935902525,71
RkN
RR
=
⋅=⋅=+++−−
091032326203410510
1035 4 =⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−= PM E
4
4
4
51012
101536
101590196604050
PkN
P
P
=−
=−
=+−+−
0333 5 =⋅+⋅+⋅−= aaF VHPM
5
5
5
3117
32230
33173103
PkN
P
P
=
⋅=+
⋅=⋅+⋅
{ Hx
Hx
=⋅
=⋅+
131)12(
xx
xxxx
=⋅=
⋅=+⋅=+
6212
3123)12(
018101512202101101019
103166 4435 =⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+−⋅= BG VPPRPM
3
3
3
3
1582
65115
618049024020105
1085
36104
61801532322402010
51012
1019
51012
103
31176
RkN
R
R
R
=
=
=+−++−−−
=+⋅−++−⋅−⋅−⋅
12*1
0-12
*20+
N*2
0+4*
10-5
*10-
3*10
-3*1
0=0
120-
240+
40-5
0-30
-30=
-20N
-1
90=-
20N
9,
5kN
=N
WYZNACZANIE SIŁ W PRĘTACH METODĄ CREMONY:
SPRAWDZENIE RÓWNOWAGI WĘZŁA:
=+++−=∑2
374,52
957,82,7)3(,17X
0799,3333,62,7)3(,17 ≅+++−=
=+−=∑2
374,52
957,8533,2Y
0799,3333,6533,2 ≅+−=
Top Related