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||IfB, ETHZRechnergestützte Physik der Werkstoffe

Werkstoffmodellierung - Mikromechanik –Dr. F. Wittel

Rechnergestützte Physik der Werkstoffe @ IFB

1


• Definieren was ein Stoffgesetz ist, wozu man sie braucht und einige Bedingungen kennen.

• Verstehen was Längenskalen in Materialien sind und einige typische Beispiele benennen.

• Erklären wie Simulationen auf der atomistischen Skala funktionieren (Grundannahmen)

• Möglichkeiten und Grenzen der Molekulardynamik erkennen

1. Grundlagen von Stoffgesetzen

2. Grössenskalen in Werkstoffen


Stoffgesetze (Konstitutives Gesetz) = • Verhältnis zweier physikalischer Grössen (meist Tensoren) zueinander, dass

von der betrachteten Substanz abhängt und z.B. die Antwort des Materials (Dehnung) auf eine externe Kraft (Spannung) approximiert.

• Beinhalten die Summe aller Vorgänge (Mechanismen) im Material, die sich mechanisch auswirken.

• Unabhängig von der Form und Grösse eines Körpers aber gilt erst ab der Grösse eines Repräsentativen Volumen Elements (RVE).

• Grundlage der Elastizitäts– respektive Plastizitätstheorie und somit der Verformungsberechnung.

• Meist experimentell ermittelt und mit einfachen Funktionen approximiert.

Aber: Interaktion der Mechanismen führt auf ein komplexes System, dass nur im statistischen Mittel das Stoffgesetz wiedergibt.

Werkstoffsimulation zur numerischen Vorhersage von Materialstrukturen und –eigenschaften!


Abhängige Variablen für thermo-mechanische Feldprobleme:Variable Symbol #Verschiebung uk(xm,t) 3

Spannung kl(xm,t) 6

Dichte (xm,t) 1

Temperatur (xm,t) 1

Wärmestrom qk(xm,t) 3

Spezifische innere Energie

U*(xm,t) 1

Spezifische Entropie

S*(xm,t) 1

Bilanz GleichungMasse 1

Impuls / Drehimpuls

3

Energie 1

, 0k k

, ( ) 0kl k l lf a *

,kl kl k kU d q r

Liste der Bilanzgleichungen

=16

=5• 6 Gleichungen für das Deformationsgesetz• 1 Gleichung für die spezifische innere Energie• 1 Gleichung für die spezifische Entropie• 3 Beziehungen für den Wärmstrom =11

Für ideales Material gilt somit:( , , , , , , , , ) 0kl k k mf u q U S x t


Stoffgesetz (Zustandsgleichung): ( , , , ,..., ; , )ij kl ij kl mf T x t Abhängige | unabhängige Variablen

Vereinfachungen: Stoffgesetz ist unabhängig vonVorzeichen der Belastungsänderung (vollständig reversibel).Beanspruchungsart: Zug, Druck, Schub, die auch durch Biegung/

Torsion hervorgerufen werden können.Der Belastungsgeschichte ( Reihenfolge und Häufigkeit der

Belastungen seien egal)Der Belastungsgeschwindigkeit (alle Ableitungen nach der Zeit

verschwinden).Der Zeit und Temperatur (z.B. Alterung) ( ; )ij ij kl mx

Kontinuum Diskontinuum

Homogen Inhomogen

Isotrop Anisotrop

Gleiche Phase:

Gleiche Eigenschaft:

Richtungsunabhängig:


Ceiiinosssttuu !

Ut tensio sic uis


Thomas Young 1773-1829

.Spannung

constDehnung

E


Unabhängige Variablen z.B. Raum und Zeit.Zustandsvariablen sind Variablen, die den Zustand eines Systems als Funktion der

unabhängigen Variablen, unabhängig von ihrer Geschichte ausdrücken. Beispiele sind Verschiebungsvektor u=(u1,u2,u3)= u (x,t) oder der Dehnungstensor e= u (x,t) /dt.

Kinematische Gleichungen werden verwendet um Grössen wie Dehnungen, Dehnungsraten, Rotationen unter Einfluss äusserer oder innerer Zwangsbedingungen zu bestimmen. Bsp.: Gleichung um Dehnungstensor aus Verschiebungsvektor zu bestimmen.

Zustandsgleichung Pfadunabhängige Funktion die den aktuellen Zustand des System als Funktion der Werte der abhängigen Variablen ausdrückt. Bsp: Hook‘schesGesetz verbindet Zustandsvariable 'Dehnung' mit Zustandsgrösse 'Spannung‚.

Evolutionsgleichung Pfadabhängige Funktion, die die Evolution einer Grösse als Funktion der Änderung der Werte der unabhängigen Variablen ausdrückt. Bsp: Newtonsche Bewegungsgleichung für Partikel.

Physikalische Parameter Zustandsvariablen in den Zustandsgleichungen werden über Parameter gewichtet. Bsp: Elastizitätsmodul.

Rand- und Anfangsbedingungen

z.B. kinematische RB, Felder, etc.

Numerische Algorithmen oder analytische Methoden


Prinzip der Kausalität

Prinzip des Determinismus

Prinzip der Äquipräsenz

Prinzip der materiellen Objektivität

Prinzip der materiellen Symmetrie

Prinzip der lokalen (Wechsel)Wirkung

Prinzip der nachlassenden Erinnerung

Prinzip der thermodynamischen Zulässigkeit

Grundprinzipien zur Aufstellung von Materialgleichungen


Die Bewegung des Körpers und seine Temperatur sind der ursächlicheGrund für sein Verhalten, alle anderen physikalischen Grössen hängendavon ab:

1 Prinzip der Kausalität:

Die Bewegung u und die Temperatur J der materiellen Punkte xm des Körpers werden als selbstverständlich messbare Grössen in jedem thermomechanischen Vorgang angesehen. Alle anderen Grössen, die nicht aus der Bewegung und der Temperatur abgeleitet werden können, jedoch im 2. Hauptsatz der Thermodynamik auftreten, werden als abhängige konstitutive Variablen bezeichnet.

uk(xm,t)(xm,t)

kl(xm,t)qk(xm,t)

S*(xm,t)

U*(xm,t)

Spannungen,Wärmeflussvektor,Spezifische innere EnergieSpezifische Entropie

VerschiebungTemperatur

Unabhängige konstitutive Variablen Abhängige konstitutive Variablen



2 Prinzip des Determinismus:Alle abhängigen konstitutiven Variablen in einem materiellen

Ausschnitt sind durch die Geschichte der unabhängigen Variablen im Körper bestimmt.

uk(xm,t)(xm,t)

kl(xmh, xm,t)

qk(xmh, xm,t)

S*(xmh, xm,t)

U*(xmh, xm,t)

Spannungen,Wärmeflussvektor,Spezifische innere EnergieSpezifische Entropie

VerschiebungTemperatur

Unabhängige konstitutive Variablen Abhängige konstitutive

Variablen, h für die Geschichte3 Prinzip der Äquipräsenz:

In allen Stoffgesetzen wird zunächst der gleiche Satz unabhängiger konstitutiver Variablen zugelassen.



4 Prinzip der materiellen Objektivität:Die Stoffgesetze ändern sich nicht, wenn sich das Bezugssystem des

lokalen Beobachters durch eine beliebige Starrkörperbewegung unterscheidet, bzw. wenn der Bewegung des materiellen Ausschnitts eine beliebige Starrkörperbewegung überlagert wird.

5 Prinzip der materiellen Symmetrie:Die konstitutiven Gleichungen sind unabhängig in Bezug auf die

Transformationen der materiellen Koordinaten aus der Symmetriegruppe des betrachteten Materials.

6 Prinzip der lokalen Wirkung:Die abhängigen konstitutiven Variablen in einem materiellen Aus-

schnitt werden nur durch die Werte der unabhängigen konstituti-ven Variablen in der näheren Umgebung des Ausschnitts bestimmt. Ist dies ausschliesslich die differentiell nahe Umgebung, so heisst das Material «einfach».



7 Prinzip der nachlassenden Erinnerung:

Die Werte der konstitutiven Variablen in grösserer zeitlicher Entfernung beeinflussen die Momentanwerte der konstitutiven Funktionen nicht wesentlich.

8 Prinzip der (thermodynamischen) Zulässigkeit:

Alle konstitutiven Gleichungen müssen konsistent, d.h. verträglich mit den grundlegenden Aussagen der Kontinuumsmechanik sein, wie:

Massenerhaltung,Erhaltung der Bewegungsstösse,Drehimpulserhaltung,Energieerhaltungssatz (1. Hauptsatz der Thermodynamik)Entropiesatz (2. Hauptsatz der Thermodynamik).



Zug

Druck

Biegung

Schub

Torsion

Ingenieurspannungen

0/ AFF Last senkrecht zum

ProbenquerschnittA0 Querschnittsfläche

senkrecht zur Last

Ingenieurdehnungen

0/ llDl Längenänderungl0 Anfangslänge

Zug


Unregelmässige, inhomogene, mikrostruk-turierte, komplexe, multi-Phasen Materialien

Materialien unter der Lupe: Mikrostrukturen

Kontinuums-Mikromechanik!

( )

( )

i

el m

Ec

E

Phasenkontrast:


16

DiskontinuitätHomogenität

Ingenieuranwendungen

MaterialwissenschaftenAngewandte MechanikBruchmechanik

QuantendynamikMolekulardynamik

PartikelmodelleKontinuumsmodell

DEM

Skalen in Raum und Zeit


17

Material reagiert auf Umweltänderungen auf unterschiedlichen Skalen, die miteinander interagieren (Mechanismen).

Multiskalenansätze versuchen den Einfluss feinerer Skalen zu berücksichtigen.

Komplexes Materialverhalten.Das traditionelle wissenschaftliche

Instrumentarium aus Theorie und Experiment stösst rasch an Grenzen.

Beispiel Textilbewehrte BetonschaleSkalen Beispiel:


Einfache Regeln komplexes Verhalten

Einfache Regeln

Struktur mit Unordnung

Lokale Wechselwirkungen(dynamisch)

Grosse Zahl Elemente

Nichtlinearität

Geschichte

Komplexität auf kleinen Skalen


AttraktorenPhasen-übergängeEmergenz

Selbst-organisation

Pfadab-hängigkeit






3. Modellierung und Simulation

4. Simulationen auf atomistischer Skala


21

The o

rie

Exp

e ri m

ent

Si m

ulat

i on

Simulation als „dritte Säule“ der Wissenschaft.Erweitert heute fast jedes Wissenschaftsfeld.Wichtiges Werkzeug zum Verständnis komplexer Systeme.

Simulation im Spannungsfeld vonInformatik, angewandter Mathematik,Ingenieur- und Naturwissenschaften.Interdisziplinäres denken und arbeiten notwendig.

Simulationstechniken für Werkstoffe


22

phänomenologische,theoretische, konzeptionelle Arbeit.

Anwendung des Programms mit - Rand- und Anfangsbedingungen,- realen Parametern.

ImplementierungModellierung Simulation

• sind Hauptinstrumente der modernen Wissenschaft.• helfen die komplexe Umwelt begreifbar zu machen.• sind immer nur Abstraktionen der Realität reduzierte Komplexität.• werden in einem iterativen Prozess generiert.

Modelle …

kinetisch, statischPfadabhängigkeit

Grundprinzip, Phänomenologisch, EmpirischBeschreibungsart

deterministisch, stochastich/probabilistisch, statistischVorhersage

Kontinuum, PartikelRäumliche Diskretisierung

ein-, zwei-, dreidimensionalRäumliche Dimension

makro-, mikro-, meso-,nanoskopischGrössenskala

ModelltypEigenschaft

Klas

sifiz

ieru

ng

Klassifizierung


Fall: Struktur-Eigenschaft Beziehung auf molekularer / atomarer Ebene• Molekulare Simulation (Molecular Dynamics (MD))• Molekulares Modellieren (molecular modeling) / Chemische Reaktionen• Atomgenaue Simulation (atomistic simulation) / Quantenmechanik• Monte Carlo Simulation / Statistische Mechanik

Simulationstechniken der Nano-Mikro-Skala


Experimente erlauben heute kaum Zugriff auf Informationen von molekularer Ebene.

MD erlaubt Einblicke, die experimentell noch nicht möglich sind. Simulationen zeigen ein Abbild der molekularen Struktur und Dynamik.

MD Simulationen können verwendet werden um:• Eigenschaften neuer Materialen vorherzusagen, die noch nicht

synthetisiert sind.• Mechanismen in Materialien auf molekularer Ebene zu untersuchen• zur Validierung gröberer Modelle. MD mächtiges Werkzeug mit unterschiedlichen Verfeinerungsstufen in Bezug

auf Physik und Numerik.Aber:

Zugängliche Simulationsfenster heute ca. 10ns, max. 109 Teilchen, kürzer als viele Vorgänge; 1010 mal kleiner als Laborgrössenskalen.

Molekulardynamik - Möglichkeiten


Deterministische Methode: Zukünftige Systemzustände können aus aktuellem Zustand vorhergesagt werden.

Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichung:Alternativ: Lösung der klassischen Hamilton-Funktion :

Lösung über FDM wie Leap-Frog, Verlet oder PKV.

Kraft auf ein Atom ist konstant während eines Zeitintervals.Beschleunigung über Summe aller Kräfte auf ein Atom.Kräfte werden über Potentialfunktionen berechnet.

Alles hängt von Potentialfunktionen ab!

F ma

2

1

( , ) ( ); ; 2

Ni i

i i i i i ii i i i i

P pH HH p r V r p f r

m r p m

MD – Wie geht das?


MD: Potentialfunktionen

Interaktion der Atome über Potentialfunktionen Interaktion ohne BindungElektrostatische Van der WaalsKräfte: Kräfte:

Lennard-Jones Energie:

12 612 6

4 2m mr rV

r r r r

12 6

ij ijLJ

i j ij ij

B AV

r r


Interaktion der Atome über PotentialfunktionenInteraktion über Verbindungsenergie:Dehnung:

Biegung:

Torsion:

V-Stellung von Flächen:

MD: Potentialfunktionen


Viele in Werkstoffen gültigen Gesetze werden als Differentialgleichungen formuliert.

Herleitung und Lösung von DGLs ist somit häufigste Aufgabe.Bsp. Bewegungsgleichung (DGL 2. Ordnung):

2

2

( )( , )i

i

d r tm F r t

dt

MD: DGLs - Lösungsverfahren


29

Einfaches numerisches Verfahren zur Lösungsapproximation von ODE/PDEs (L. Euler).

Effiziente, leicht implementierbare Methode für einfache Gebietsformen.

Grosse Vielzahl unterschiedlicher FDM Varianten.Direkte Approximation aller auftretenden Ableitungsterme

durch Finite Differenzen (kleine Intervalle h).

MD: DGLs – Lösungsverfahren - FDM


DGL wird an jedem Gitterpunkt approximiert.Differenzen ersetzten Ableitungen. Differenzenausdruck mit Knoten- und Nachbarkontenwerten.

Reguläre, nicht-reguläre oder affine Gitter für komplexe Geometrie.FDM ist Gitterverfahren.

Dirichlet-RB: Werte auf Randkonten werden gesetzt.Neumann-RB: Normalenableitungen der gesuchten Funktion werden gesetzt (Zu-/Abluss).



Vielzahl der FDM unterschiedlicher Ordnung ist über Taylor-Reihenentwicklung herleitbar.

( )(0)

0

( )( ) ( ) ( )

!i

i

f xf x f x x x

Entwicklung an der Stelle xi-1 und xi+1:

2 3( )

1

2 3( )

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ),2! 3! !

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )2! 3! !

nn

i i i i i i n i

nn

i i i i i i n i

x x xf x f x f x x f x f x f x f x R x

n

x x xf x f x f x x f x f x f x f x R x

n

Bsp. 1: Umstellen und vernachlässigen von Termen höherer Ordnung und Rest Vorwärts und Rückwärtsdifferenzenquotient 1. Ordnung

Bsp. 2: Subtraktion zentraler Differenzenquotient 1. Ordnung

Bsp. 3: Addition zentraler Differenzenquotient 2. Ordnung



Güte: (Abweichung der approximierten von der exakten Lösung)1. Rundungsfehler: Folge der Vernachlässigung von Termen höherer

Ordnung sowie des Resttems (Abbruchfehler).2. Diskretisierungsfehler: Folge der Unterteilung der Problemdomäne

durch das Gitter ~ Gitterweite. Diskretisierung = Ersetzen kontinuierlicher Größen durch bekannte Ansatzfunktionen und unbekannte Größen an einzelnen, diskreten Punkten (=Knoten).

3. Stabilität: verstärken sich Fehler während der Berechnung oder nicht.4. Vereinfachte geometrische Repräsentation.



Bsp: Einfaches Anfangswertproblem u‘(t)=f(u,t)

Euler Verfahren:Bestimmen der lokalen Tangente am Punkt ti

1( ) mit ( ) ( , )i ii i i i

u udu dut t f u t

dt h dt

1 ( , )i i i iu u h f u t Vorwärts oder explizites Euler Verfahren (Euler-Cauchy-Verfahren)

1 1 1( , )i i i iu u h f u t Rückwärts oder implizites Euler Verfahren (aufwändiger aber stabiler)



Wie Euler Verfahren nur höhere Genauigkeit durch zentralen Differenzenquotient (höherer Ordnung)

Berechnen der Geschwindigkeiten des Halb-Zeitschritts (t+dt/2) aus der Beschleunigung des aktuellen Zeitschritts t:

Bestimmen der Positionen beim nächsten Zeitschritt:

t-t/2 t t+t/2 t+t t+3t/2 t+2t

v X

2 ( 2) ( )v t dt v t dt a t dt

t+t t+3t/2 t+2t

( ) ( 2)x t dt x t v t dt dt

Bsp: Einfaches Anfangswertproblem u‘‘(t)=f(u‘,u,t)

Leap‐Frog Verfahren:

v X v X v X



35

Verlet Verfahren:2

2 2

1 1[ ( ) 2 ( ) ( )] ( )d ri r t h r t r t h F ti i i idt h m

21 1 2 /n n n nr r r F h mi i i i

1 1( )/2n n nv r r hi i i

Von ri0 und ri

1 ausgehend werden alle nachfolgenden Positionen berechnet.

Geschwindigkeiten zur Berechnung der kinetischen Energie:

!!! Geschwindigkeiten sind 1 Schritt zurück. Lösung:

Mit tn=nh; ri=ri(tn); Fin=Fi(tn) folgt

1nir

1. Bestimme die Positionen ri0 und ri

1

2. Rechne Kräfte beim Zeitschritt n: Fin, n=1,2,…

3. Rechne Positionen zum Zeitschritt (n+1)

4. Rechne Geschwindigkeiten bei n, inkrementierte danach n und wiederhole 2.

Bsp: Einfaches Anfangswertproblem u‘‘(t)=f(u‘,u,t)



Problem: Algorithmus startet nicht von selbst ri0 und ri

1 sind erforderlichIst vi

0 bekannt ri1=ri

0+hvi0+Fi

0h2/2mEs gilt:

1. Bestimme die Positionen und Geschwindigkeiten ri1 und vi

1

2. Rechne Kräfte beim Zeitschritt n: Fin, n=1,2,…

3. Rechne Positionen zum Zeitschritt (n+1)

4. Rechne Geschwindigkeiten bei (n+1), Inkrementierte n und wiederhole 2.

• Positionen und Geschwindigkeiten im selben Schritt berechnet (Kinetische und potentielle Energie des selben Schritts).

• Höhere numerische Stabilität, da Geschwindigkeit nicht mehr als über Differenz zweier fast gleich grosser Zahlen bestimmt wird (Rundungsfehler).

• Mit ordentlichen h gilt beim Verlet Algorithmus Energieerhaltung.

FDM – Verlet Verfahren - Geschwindigkeitsform

1 2

1 1

/ 2

( ) / 2

n n n ni i i i

n n n ni i i i

r r hv F h m

v v h F F m


Prediktor: Positionen und zeitliche Ableitung bis zu einer Ordnung q bei Zeit t werden zur Vorhersage der gleichen Grössen bei t+1 verwendet.

Kraftberechnung: Kraft wird aus Gradient der potentiellen Energie bei der vorhergesagten Position berechnet. Abweichung der daraus folgenden Beschleunigungen von den vorhergesagten bilden die “Fehlergrösse”.

Korrektor: Die Fehlergrösse wird zur Korrektur der Positionen und ihrer Ableitungen verwendet. Alle

Korrekturen sind proportional zur Fehlergrösseund einem Proportionalitätskoeffizienten (magic number) für maximale Stabilität des Algorithmus.

FDM Predictor-Korrektor Verfahren (PKV):


Prediktorschritt: explizites Eulerverfahren

Korrektorschritt: impliziter Algorithmus

Gute Genauigkeit. GEAR PKV 5. Ordnung benötigt mehr Rechenaufwand und Speicher als

Verlet aber dafür nur eine Kraftberechnung pro Zeitschritt (Verletbraucht 2).

Wichtige Algorithmen in der Molekulardynamik, Fluiddynamik, zur Berechnung von Partikeltrajektorien, Simulation von Diffusionsprozessen etc..

1 ( , )pi i i iu u h f u t

1 1 1( , )pi i i iu u h f u t


FDM Predictor-Korrektor Verfahren (PKV):


Satz von Partikel FHG z.B.

Zeitliche Ableitungen:

Prediktor:

Korrektor:

1. Ordnung: 2. Ordnung:

FDM Gear PKV 5. Ordnung


Gleichungen 1. Ordnung:

Gleichungen 2. Ordnung:

Gear PKV- 5. Ordnung:

FDM Gear PKV 5. Ordnung «magic numbers»


FDM 2. Ordnung. Werte von f(u,t) werden in ti und ti+1 gemittelt:

Entspricht Entwicklung mit Ableitung bei t1 für die erste Hälfte und der Steigung bei ti+1 für zweite Hälfte.

Akkurates Schema für kleine Zeitschritte jedoch aufwändig. PKV mit explizitem Euler Prediktor und CNV Korrektor.

Runge-Kutta Verfahren

1 1 1( , ) ( , )2i i i i i ihu u f u t f u t


FDM Crank-Nichelson Verfahren (CNV):


Simulationsverlauf

Anfangskonfiguration setzen.

Anfangsgeschwindigkeiten setzen.

Im thermodynamische Gleichgewicht ist der Wert der kinetischen Energie des Systems bei Temperatur T.

TkNvmE B

N

iiikin )3(

2

1

2

1 3

1

2

Temperatur kann also über normalverteilte Geschwindigkeiten vi mit Mittelwert 0 und Standardabweichung kBT/mi eingestellt werden.

2 Bi

i

k Tv m


43

Applet

http://physics.weber.edu/schroeder/software/mdapplet.html


Problem 1: Verbindungsinteraktion: lokal skaliert O(N)Interaktion ohne Bindung: nichtlokal skaliert O(N2)

Molekulardynamik: Potentialfunktionen

12 6

, , 0

24

ij ij i jNB ij

i j nonbonded i j nonbondedij ij ij

R R q qV

r r r

Lösung:Reduzierung der Rechenzeit über cut-off von VNB mit cut-off Distanz <1/2 L.

Unterschiedlichste Cutt-Off-Schemata im Einsatz.

Beispiel: cut-off bei konstantem Abstand rcut. Vorteil: Einfach, speed-up enormNachteil: Diskontinuität in Energie.


Problem 2:Potentialfunktionen meisst nur für einen gewissen Temperaturbereich gültig.

Bsp: Si > 30, H2O>100 unterschiedliche vorgeschlagene und stückweise gültige Potentialfunktionen.

Molekulardynamik: Zeitintegration

Zu klein: sehr kleines Zeitfenster

Zu gross: instabil

Übliche Zeitschritte:Translation 10 fsFlexible Moleküle und

feste Verbindungen 2fsFlexible Moleküle und

Verbindungen 1fs =10-15s

Problem 3:Wahl des Zeitschritts:


Problem 4: Randbedingungen Ziel:• Unendlich grosse Systeme mit einer kleinen Zahl Partikel. • Keine Oberflächen- und Randeffekt.

Molekulardynamik: Randbedingungen

Periodische Randbedingungen:- blaues System wird gerechnet.- umgebende Boxen sind exakte

Kopien mit allen Zustandsgrössen.- wenn ein Atom die Simulationszelle

verlässt, wird es von einem anderen mit exakt den gleichen Eigen-schaften und Zuständen an der gegenüberliegenden Zellseite ersetzt.

- Partikelzahl und Energie wird erhalten.


Molekulardynamik: Beispiele

Ausbildung von Nanodrähten unter Zugbelastung fürGoldatome. Farben = potentielle Energie in Simulationseinheiten


Martensitbildung (krz) aus der austenitischen Phase (kfz) für kubische Fe-Ni Nano-Partikel (Halbmodell).

Schnelle Abkühlung. Umwandlung beginnt an Kanten und wächst ins innere mit nadelförmigen Mustern.

Endgültige Struktur ist stark verspannt. ( Härtung)

106Atome (=24nm), 67.5ps.

Molekulardynamik: Beispiele


Versetzungsdynamik - MetallvorlesungErinnerung: Versetzungen als Träger plastischer Verformungen:

Stufen-versetzung

Schrauben-versetzung

Druck

Zug


Mikrostruktur Materialeigenschaften?

Klinker – Eigenschaften der Bestandteile

Tricalciumsilikat (Alit), kurz C3S (3 CaO · SiO2) Dicalciumsilikat (Belit), kurz C2S (2 CaO · SiO2) Tricalciumaluminat, kurz C3A (3 CaO · Al2O3) Tetracalciumaluminatferrit, kurz C4AF bzw. C4(A,F) (4 CaO · Al2O3 · Fe2O3) und

C2(A,F).


Klinker – Eigenschaften der Bestandteile


ijkl

ijklφ

ijkltorsions φk

φE )3cos1(2

)(

Verbindungsinteraktionen

20)(

2)( rr

krE ij

ij

ijijbonds

ijkijk

ijkijkangles θθ

kθE 2

0 )(2

)(

TorsionVerbindungs-potential

Winkelpotential

ij ijijijvdW r

r

r

rεE

6

0

9

0 32

Elektrostatische Kräfte

ij ij

jiCoulomb r

qqE

04

Klinker – Aktive Bestandteile des Kraftfeldes

Kraftfeld (englisch: force field) eine Parametrisierung der potentiellen Energie


H. Heinz, T. Lin, R. K. Mishra, Langmuir 2013

Röntgendiffraktion(Gitterstruktur)

Atomladungen

LJ und Verbindungs-parameter

Verifikation von Dichte und Geometrie

Atomtypen

C3S

R. K. Mishra, R. J. Flatt, H. Heinz, J. Phys. Chem. C 2013

Endgültige Kraftfeldparameter

Klinker – Bestimmung der Kraftfeldparameter


• KompressionsmodulV

PVK

• E-modul:

• Querkontraktionszahlen:xx

yyyx

yy

xxxy ε

εν,ε

εν

Eigenschaft Experimenta Rechnungc

Kompressionsmodul, GPa 104 ± 8 105 ± 3, 102.9b

E-Modul, GPa 135 ± 7 137 ± 3Querkontraktionszahl 0.285 ± 0.01 0.29 ± 0.03

a Moon et al., J. Am. Ceram. Soc., 2012. b Manzano et al., J. Am. Ceram. Soc., 2009 c R. K. Mishra, R. J. Flatt, L. Fernandez-Carrasco, H. Heinz, Dalton Transactions 2014 (In press)

Klinker – Bsp. Eigenschaften von C3S


12345