RECHERCHE D’EXTREMUMA. Définitions
Soit une partie de . Soit . Soit1) Extremum global ou absolu
On dit que la fonction admet un maximum absolu (ou global) en si
On dit que la fonction admet un minimum absolu (ou global) en si
On dit que la fonction admet un extremum absolu (ou global) en si la fonction admet un maximum ou un minimum absolu en
2) Extremum relatif (ou local)
On dit que la fonction admet un maximum relatif (ou local) en s’il existe un réel tel
que On dit que la fonction admet un minimum relatif (ou local) en s’il existe un réel tel
que
On dit que la fonction admet un extremum relatif (ou local) en si la fonction admet un maximum ou un minimum relatif en Remarque :Si la fonction admet un extremum global en , alors elle admet un extremum local en
B. Condition nécessaire du premier ordre1) Théorème 1
Soit un ouvert de SoitSoit
Si une fonction de classe sur admet un extremum local en , alors Démonstration :
Si la fonction admet en un maximum local en , tel que
Comme est un ouvert de , tel que
Alors en prenant , on a
Considérons pour , la fonction partielle en
Pour tout réel , en considérant
, c’est-à-dire
La fonction définie sur l’ouvert de possède un extremum en , donc
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Finalement Les points de où le gradient s’annule sont appelés points critiques de la fonctionToutes les dérivées directionnelles en ces points sont nulles
Si une fonction n’a pas de point critique sur , alors n’admet pas d’extremum sur
ATTENTION : la réciproque du théorème est fausse
Considérons la fonction qui est de classe sur comme fonction polynomiale
, ce gradient s’annule uniquement en
Dans toute boule de centre , la fonction prend des valeurs plus petites et des
valeurs plus grandes que la fonction n’admet donc pas d’extremum en
ATTENTION : l’hypothèse ouvert de est essentielle !
Soit
Soit
Cette fonction est de classe sur comme fonction polynomiale Cette fonction possède un maximum local en tout point de norme 1
: ce gradient n’est pas nul en un point de norme 1
2) Théorème 2 : extrema sur un fermé borné (admis)
Une fonction continue sur un fermé borné de admet un maximum global et un minimum global sur ce fermé borné
Application :Soit une forme quadratique sur associée à une matrice symétrique
, avec où est la base canonique de
Alors L’application est sur comme fonction polynomiale
Considérons la « sphère » unité
, donc est un borné de
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La fonction est continue sur ,
est donc fermé comme intersection de deux fermés de
La sphère unité est un fermé borné de , la fonction admet donc un maximum absolu et un minimum absolu sur
(Les réels et sont atteints pour des éléments de )
, si alors est normé donc
, avec où est la base canonique de
Donc
On peut écrire
Cette dernière demeure valable pour :
Bilan :
Si est une forme quadratique sur alors
L’application est une forme quadratique sur associée à l’endomorphisme symétrique canoniquement associé à la matrice A
Il existe base orthonormée de vecteurs propres de l’endomorphisme associés aux
valeurs propres
Si est un vecteur de de coordonnées dans la base alors
Donc
Sous la contrainte , on a :
On peut préciser que : , étant atteint en un vecteur normé du sous espace propre associé à la plus petite des valeurs propres et
étant atteint en un vecteur normé du sous espace propre associé à la plus grande des valeurs propres
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Si une forme quadratique sur associée à la matrice symétrique , alors admet un
maximum global (respectivement un minimum global) sous la contrainte =1, en un point correspondant à un vecteur propre de la matrice associé à la plus grande valeur propre (respectivement la plus petite)
C. Fonctions de classe 1) Dérivées partielles d’ordre 2
Soit un ouvert de Soit
SoitOn suppose que la fonction possède en tout point de une dérivée partielle par rapport à la
variable : est définie sur
Si la fonction admet à son tour une dérivée partielle par rapport à la variable en tout point de , on dit alors que la fonction admet en tout point de une dérivée partielle
d’ordre 2 notée
Comme , la fonction peut admettre éventuellement dérivées partielles d’ordre 2
2) Fonctions de classe
Soit un ouvert de Soit
Soit
On dit que la fonction est de classe sur l’ouvert si elle admet en tout point de des
dérivées partielles d’ordre 2 et si les fonctions sont continues sur
3) Opérations
Si et sont deux fonctions de classe sur un ouvert de , alors les fonctions etsont de classe sur
Si de plus ne s’annule pas sur , alors la fonction est de classe surSoient un ouvert de et un intervalle de
Si est une fonction de classe sur à valeurs dans et si est une fonction de classe sur , alors est de classe sur
Les fonctions polynomiales de variables donc à fortiori les fonctions affines de variables sont de classe sur
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4) Théorème de Schwarz (admis)
Si est une fonction de classe sur un ouvert de , alors pour tout et pour tout
couple on a
5) Matrice hessienneLudwig Otto Hesse (1811-1874) mathématicien allemand
Si est une fonction de classe sur un ouvert de ,on appelle hessienne de en un
point la matrice notée définie par Conséquence immédiate :
Le théorème de Schwarz permet d’affirmer que la hessienne en tout point est une matrice symétrique réelle donc diagonalisable
La forme quadratique associée à la hessienne est donc définie par
,avec matrice des coordonnées du vecteur dans la base canonique de
Remarquons que
6) Développement limite d’ordre 2 a) Définition
Soit une fonction de classe sur un ouvert de , On dit que la fonction admet un développement limité d’ordre 2 en s’il existe
Un réel
Une application continue en et vérifiant
Des réels et
Tels que
b) Théorème
Si est une fonction de classe sur un ouvert de , alors la fonction admet en tout point un développement limité unique à l’ordre 2 Celui est donné par la formule :
Où est la forme quadratique à la hessienne de en
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7) Dérivée seconde directionnelle
Soit où est un ouvert de
Soit et
On considère la fonction définie sur par : à la condition que
On appelle alors dérivée seconde directionnelle de la fonction au point dans la
direction , la dérivée seconde en 0 de la fonction g :
La dérivée seconde directionnelle de la fonction au point est donc
En effet, on pose et ,
On a avec .
D. Recherche d’extrema1) Condition d’ordre 2
Soit est une fonction de classe sur un ouvert de
Soit un point critique de
Si , alors admet un minimum local en C’est-à-dire si la hessienne de la fonction en n’admet que des valeurs propres strictement positives alors admet un minimum local en
Si , alors admet un maximum local en C’est-à-dire si la hessienne de la fonction en n’admet que des valeurs propres strictement négatives alors admet un maximum local en
Si contient deux réels non nuls de signe distincts, alors n’admet pas d’extremum en : on dit alors que est un point selle ou un point col
Remarque : Dans les autres cas (les valeurs propres sont de même signe et l’une au moins est nulle), on ne peut rien conclure par cette méthode
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Démonstration partielle :Soit tel que
La fonction étant de classe sur ,elle admet en un développement limité d’ordre 2
On a avec continue en
et
Soit la matrice hessienne de en , notons la forme quadratique sur associée à la matrice hessienne
Il existe base orthonormée de vecteurs propres de l’endomorphisme symétrique
canoniquement associé à la matrice hessienne associés aux valeurs propres
Si est un vecteur de de coordonnées dans la base alors
Supposons que les valeurs propres de la matrice hessienne sont strictement négatives
En notant la plus grande des valeurs propres, on a
Puisque est un point critique :
On a alors
La fonction est continue en : c’est-à-dire
En prenant , on a
Finalement, en notant , on a
La fonction admet en un maximum local
Lien avec la forme quadratique associée à la hessienneSoit est une fonction de classe sur un ouvert de
Soit un point critique de
contient deux réels non nuls de signe instincts n’a pas de signe constant En effet L’implication est vraie : cours formes quadratiques Réciproque
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Supposons que
Comme l’application est une forme quadratique sur associée à la matrice hessienne
de en , et à l’endomorphisme symétrique canoniquement associé cette hessienne
Il existe base orthonormée de vecteurs propres de l’endomorphisme associés aux
valeurs propres et si est un vecteur de de coordonnées dans la base
alors
Pour , chaque vecteur propre est non nul et on a , donc
Remarque : recherche d’extremum global
Méthode générale : étudier le signe sur de
Dans des situations qui s’y prêtent, on pourra étudier le cas où, pour tout , est positive ou négative, par exemple en appliquera la formule de Taylor avec reste intégral à
l’ordre 1 à la fonction avec En effet la formule de Taylor à l’ordre 1 appliqué à la fonction donne :
C’est à dire
Comme est un point critique,
Pour ,
Soit
Si la forme quadratique garde un signe constant pour tout tel que , alors
l’intégrale a toujours le signe de et la fonction admet en un
extremum global en (minimum si et maximum si )
2) Recherche d’extrema sous une contrainte quelconque
Soit une fonction de classe sur un ouvert de
On note l’ensemble des points de vérifiant la contrainte
Soit une fonction définie sur l’ouvert deOn dit que la fonction admet un maximum relatif (ou local) en sous la contrainte s’il
existe un réel tel que
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C’est-à-dire si la restriction de la fonction à admet un maximum local en
On dit que la fonction admet un minimum relatif (ou local) en sous la contrainte s’il
existe un réel tel que C’est-à-dire si la restriction de la fonction à admet un minimum local en
a) Condition nécessaire du premier ordre pour un extremum sous la contrainte non critique (résultat admis)
On se place dans le cas où : on dit alors que la contrainte est non critique (la fonction n’admet pas de point critique sur )
Si est une fonction de clase sur un ouvert de , pour que atteigne un extremum local en sous la contrainte non critique il faut qu’il existe un réel tel que
b) Application à une forme quadratique :
La sphère unité est un fermé borné de , la fonction continue sur (Fonction polynômiale) admet donc un maximum absolu et un minimum absolu sur
On pose, pour tout , où est la base canonique de
Il existe une matrice symétrique telle que
De plusLa fonction est de classe sur (fonction polynômiale)
Pour tout , puisque la matrice est symétrique
On a donc Le théorème ci-dessus précise que, pour que atteigne un extremum en sous la contrainte
, il faut que et qu’il existe un réel tel que
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, la fonction est de classe sur , on a
On résout donc , soit et Les points critiques de correspondent aux vecteurs propres normés de
On vient de redémontrer : (voir page 3)
Si une forme quadratique sur associée à la matrice symétrique , alors admet un
maximum global (respectivement un minimum global) sous la contrainte =1, en un point correspondant à un vecteur propre normé de la matrice associé à la plus grande valeur propre (respectivement la plus petite)
3) Recherche d’extrema sous contrainte d’égalités linéaires
L’entier est un entier naturel non nul
On note l’ensemble des solutions d’un système linéaire : où l’inconnue est
, avec fonctions linéaires (voir ci-dessous) de dans et réels
On note l’ensemble des solutions du système homogène associé :
Si le système admet au moins une solution , alors c’est-à-dire est
obtenu en ajoutant à une solution du système linéaire toutes les solutions du système homogène associé
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En effet soit et un système linéaire
Notons
Donc
a) Condition nécessaire du premier ordre (admis)
Si est une fonction de classe sur un ouvert de , et si la restriction de à
admet un extremum local en , alors
Donc si une fonction de classe sur un ouvert de admet un extremum local sous la
contrainte en un point , alors la dérivée de en dans la directionest nulle
Conséquence :
Définition
Soient une fonction de classe sur un ouvert de et
Si appartient à , on dit que est un point critique de dans l’optimisation sous contrainte
Rappelons que l’ensemble des solutions d’un système linéaire :
Théorème :
Notons la matrice du système linéaire
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, , on a
est indépendant de et
Et donc
Si est une fonction de classe sur un ouvert de et un point de , alors est un
point critique de dans l’optimisation sous contrainte si et seulement si
tel que
b) Remarques :
Si la famille est libre, les scalaires sont uniques. Ils sont appelés multiplicateurs de Lagrange
ATTENTION :Cette condition n’est que nécessaire mais pas suffisante pour déterminer un extremum sous contrainte, pour établir qu’au point critique de dans l’optimisation sous contrainte la
fonction présente effectivement un extremum, il faut étudier le signe de pour tout …..
Remarque :On pourra aussi, dans les situations qui s’y prêtent, étudier le cas où pour tout et pour
tout , est positif ou négatif.
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