ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Wachstumstheorie
Prof. Dr. Kai Carstensen LMU und ifo Institut
2
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Begriffe: Konjunktur und Wirtschaftswachstum
Wirtschaftswachstum:•
Langfristige Zunahme des realen BIP bzw. der realen Produktionsmöglichkeiten (Produktionspotential)
•
Wachstumstheorie (1. Hälfte des Semesters)Konjunktur:•
Mehrjährige Schwankungen im Auslastungsgrad des gesamtwirtschaftlichen Produktionspotentials, die bei allen Besonderheiten im einzelnen gewisse Regelmäßigkeiten aufweisen
•
Indikatoren: Wachstumsrate des (realen) BIP, Auslastungsgrad des Produktionspotenzials
•
Konjunkturtheorie (2. Hälfte des Semesters)
3
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Konjunktur und Wachstumsdynamik in China (prozentuale Wachstumsraten)
Frage: Warum wächst China seit über 30 Jahren mit so hohen Wachstumsraten?Was treibt Wachstum?
2
4
6
8
10
12
14
16
1980 1985 1990 1995 2000 2005
WACHSTUM_CHINA KONJUNKTUR_CHINA
4
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Konjunktur- und Wachstumsdynamik in den USA (prozentuale Wachstumsraten)
Frage: Kann Geld-
oder Fiskalpolitik einen Beitrag zur Konjunkturglättung leisten?Ist eine Konjunkturglättung überhaupt erwünscht?
-4
-2
0
2
4
6
8
1980 1985 1990 1995 2000 2005
KONJUNKTUR_USA WACHSTUM_USA
5
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Wachstumstheorie
1.
Neoklassisches Wachstumsmodell (Solow- Modell)
2.
Ramsey Modell
6
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Begriffliche Grundlagen – Wachstumstheorie (1)
•
Wirtschaftliches Wachstum ist die quantitative Zunahme an Gütern in einer Volkswirtschaft, die Bezugsgröße ist aus statistischen Gründen das Bruttoinlandsprodukt
•
Man unterscheidet extensives Wachstum, welches sich ausschließlich am BIP orientiert,
•
und intensives Wachstum, mit dem Pro-Kopf-Einkommen als Bezugsgröße
wobei die Bevölkerungszahl des betreffenden Landes beschreibt.
BIPPKEL
=
( )BIP
( )PKE
L
7
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Begriffliche Grundlagen - Wachstumstheorie (2)
•
Veränderung des Pro-Kopf-Einkommens:
•
Wachstumsrate des Pro-Kopf-Einkommens:
•
Und mit als Symbol für die Wachstumsrate folgt
2 BIP L L BIP dPKEPKE mit PKEL dt
• •• •⋅ − ⋅ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
PKE BIP LPKE BIP L
• • •
= −
PKE BIP Lg g g= −g
8
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Begriffliche Grundlagen – Wachstumstheorie (3)•
Die gesamtwirtschaftliche Arbeitsproduktivität muss man vom Pro-Kopf-Einkommen unterschieden:
•
Bietet jeder Einwohner eines Landes eine Einheit Arbeit vollkommen unelastisch an, so sind beide Begriffe iden-
tisch.
/y BIP L=
y BIP Lg g g= −
BIP pro Kopf (Dt.) BIP je Erwerbst. (Produktivität)
2001 25200 € 2001 51000 €
2002 25500 € 2002 51400 €
2003 25800 € 2003 51800 €
y
wobei L die Zahl der Erwerbstätigen bezeichnet
9
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Stilisierte Fakten zum Wachstum (1)
•
Es gibt sehr große Unterschiede zwischen den Pro-Kopf- Einkommen der einzelnen Länder.
•
Die Wachstumsraten unterscheiden sich beträchtlich.•
Die Wachstumsraten sind nicht notwendigerweise über die Zeit konstant.
•
Die Reihenfolge der Länder kann sich ändern. Arme Länder können (relativ zu anderen) reich werden und umgekehrt.
10
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Stilisierte Fakten zum Wachstum (2)
11
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Stilisierte Fakten zum Wachstum (3)
12
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Was will die Wachstumstheorie? (1)
Sie will Antworten auf bestimmte Fragen geben :•
Weshalb entwickelten sich Länder wie Ost-
und West-
deutschland, Taiwan und China, Süd-
und Nordkorea so unterschiedlich, obwohl sie unter vergleichbaren Umständen starteten?
•
Warum sind wir so reich und andere so arm?•
Kann China zu den führenden Industrienationen der Welt aufschließen?
•
Wie lange brauchen die ostdeutschen Bundesländer, um auf den Entwicklungsstand Westdeutschlands zu gelangen?
13
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Was will die Wachstumstheorie? (2)
•
Warum kam es in Westdeutschland nach dem Zweiten Weltkrieg zu einem Wirtschaftswunder, bei den Sieger-
mächten
Frankreich und England kam es jedoch nicht zu außergewöhnlichen Wachstumsraten?
•
Was ist der Motor des Wirtschaftswachstums?
14
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Zur Geschichte der Wachstumstheorie
Wachstumstheorie (WT)
Neoklassische WTSolow/Swan
(1956)
Ramsey-Modell,Cass/Koopmans
(1965),
Endogene WT
mit konstantemTechnologieparameter
z.B. konstante Kapitalproduk-tivität, Rebelo
(1991)
mit variablemTechnologieparameterz.B. horizontale/vertikale
Innovation, Grossman/Helpman(1991)
15
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Grundlagen: Mathematische Eigenschaften der Wachstumsverläufe
•
Das reale Bruttoinlandsprodukt in Niveauwerten folgt im Allgemeinen einem exponentiellen Verlauf.
•
Es ist für Untersuchungen üblich, die Niveauwerte zu logarithmieren.
•
Der Anstieg der logarithmierten Zeitreihen kann als Wachstumsrate interpretiert werden.
16
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Betrachtung des realen Bruttoinlandsproduktes von China (Basisjahr 1987), Einheit Mrd. Renminbi (Yuan)
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
1980 1985 1990 1995 2000 2005
BIP_CHINA
Das Wachstum in China scheint einem exponentiellen Verlauf zu folgen!
17
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Betrachtung des realen Bruttoinlandsproduktes der USA (Basisjahr 1987), Einheit Mrd. US-Dollar
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
4,500
5,000
5,500
1980 1985 1990 1995 2000 2005
BIP_USA
Das Wachstum der USA der vergangenen 30 Jahre hat eher einen linearen oder nur ganz schwach exponentiellen Verlauf!
18
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Wirtschaftswachstum•
Die Änderung des BIPs
ergibt sich aus der folgenden
Gleichung:
•
Wir kennen die durchschnittliche Wachstumsrate vom BIP, aber wir wollen das Niveau in 10 Jahren wissen.
•
Am besten wäre ein Funktion, die folgende Argumente enthält:
homogene Differentialgleichung
t BIP tBIP g BIP•
= ⋅
BIPg
( )0 , ,t BIPBIP f BIP g t=
19
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Deterministische Differentialgleichung 1. Ordnung (1)
•
Eine lineare homogene Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten sieht wie folgt aus:
•
Ein Beispiel wäre:
t tx ax
wobei a einen Koeffizienten darstellt=
i
00,05 , 100t tBIP BIP BIP= ⋅ =i
20
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Deterministische Differentialgleichung 1. Ordnung (2)
•
Folgende Schritte sind zur Lösung erforderlich
•
Endgültige Lösung der homogenen Differentialgleichung
0
homogene Differentialgleichung
Allgemeine Lösung, C ist eine Konstante Anfangsbedingung
t tat
t
x ax
x Cex C
•
=
=
=
………
0at
tx x e=
21
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Lösung einer Differentialgleichung 1. Ordnung (1)
•
Für unser Beispiel ergibt sich:
•
Endgültige Lösung der homogenen Differenzialgleichung
•
Für und ergibt sich:
0,05
0
0,05 homogene Differenzialgleichung
Allgemeine Lösung, C ist eine Konstante Anfangsbedingung
t tt
t
BIP BIP
BIP CeBIP C
•
= ⋅
==
………
0,050
ttBIP BIP e= ⋅
0 100BIP =10t =0,05 0,05 10
0 100 164,9ttBIP BIP e e ⋅= ⋅ = ⋅ =
22
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Betrachtung des realen Bruttoinlandsproduktes von China (Basisjahr 1987) mit einem exponentiellen Verlauf, Einheit Mrd. Renminbi
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
1980 1985 1990 1995 2000 2005
BIP_CHINA BIP_CHINA_SIM
Berechnung BIP_CHINA_SIM: BIP_CHINA_SIM=514*exp(0,094*t)wobei t die Zeit darstellt
23
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Von der Theorie zur Praxis an einem Beispiel•
In der angewandten Forschung ist es üblich, alle Zeitreihen außer Zinssätze zu logarithmieren.
•
Intuition: alle Zeitreihen wachsen langfristig exponentiell.
wobei die langfristige Wachstumsrate beschreibt.•
Vorteil: die Veränderung der logarithmierten Zeitreihe über
einen kurzen Zeitraum kann als Wachstumsrate
interpretiert werden
0t
tX X eγ=
γ
( ) ( ) 1ln lnt t t t t t
t t t
X X X X X Xt X t X X
γ+∂ ∂ ∂ −= = =
∂ ∂ ∂
i Kettenregelbeim Ableiten!!!
24
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Betrachtung des Logarithmus des realen Bruttoinlands- produktes von China
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
1980 1985 1990 1995 2000 2005
LOG_BIP_CHINA
Die logarithmierte Zeitreihe hat einen linearen Verlauf!
25
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Regression des Logarithmus des realen Bruttoinlands- produktes von China auf den Trend
26
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Betrachtung des Logarithmus des realen Bruttoinlands- produktes von China mit der geschätzten Regressions- gerade (LOG_BIP_CHINA_SIM)
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
1980 1985 1990 1995 2000 2005
LOG_BIP_CHINA LOG_BIP_CHINA_SIM
27
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Vergleich von berechneten Wachstumsraten (in Prozent)
2
4
6
8
10
12
14
16
1980 1985 1990 1995 2000 2005
LOG_WACHSTUMSRATE WACHSTUMSRATE
Berechnung: LOG_WACHSTUMSRATE=LOG_BIP_CHINA(t)-LOG_BIP_CHINA(t-1)WACHSTUMSRATE=BIP_CHINA(t)/BIP_CHINA(t-1)-1
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Übungsaufgaben
Aufgabe 1:
Das Pro-Kopf-Einkommen beträgt 1000 €
und nach 10 Jahren 2594 €. Wie groß
war die
durchschnittliche Wachstumsrate?
Aufgabe 2:
Nach wie vielen Jahren würde sich das Ein- kommen verdoppeln, wenn die durchschnittliche
Wachstumsrate 5 % beträgt?
29
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1. Neoklassische Wachstumstheorie - Grundmodell ohne technischen
Fortschritt
30
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Das neoklassische Grundmodell – Idee (1)•
Das neoklassische Grundmodell wurde von Solow (1956) und Swan
(1956) entwickelt.
Idee: Der gesamtwirtschaftliche Output einer Ökonomie wird mit einer Technologie konstanter Skalenerträge unter Einsatz der beiden Produktionsfaktoren Arbeit und Kapital produziert. Empirisch kann man ein konstantes Verhältnis von Kapitaleinsatz und Output beobachten. Nimmt man daher an, dass Kapital und Output mit derselben Rate wachsen, so muss aufgrund der Technologie konstanter Skalenerträge auch der Arbeitseinsatz mit dieser Rate wachsen…
31
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Das neoklassische Grundmodell – Idee (2)
Idee: …Der Arbeitseinsatz kann zum einen quantitativ aufgrund von Bevölkerungswachstum und zum anderen qualitativ durch technischen Fortschritt zunehmen, der jedoch exogen gegeben ist.
Nun stellt das Bevölkerungswachstum in erster Linie eine demographische Größe dar, die sich schwerlich
von ökonomischen Entscheidungen beeinflussen läßt. Deshalb ist langfristiges Wirtschaftswachstum im
Solow-Swan-Modell exogen und wird getrieben durch
Bevölkerungswachstum und exogenen techni-
schen
Fortschritt.
32
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Produktionsfunktion (1)
Die Ökonomie produziert mit einer gesamtwirtschaftlichen Pro-duktionsfunktion:
Eigenschaften (neoklassische Eigenschaften):1. Y ist bezüglich seiner Argumente stetig zweimal differenzier-
bar
und hat positive, abnehmende Grenzproduktivitäten
( ) ( ) ( )( ),Y t F K t L t=
2 2
2 2
: 0, : 0
: 0, : 0
K L
KK LL
Y YF FK L
Y YF FK L
∂ ∂= > = >∂ ∂∂ ∂
= < = <∂ ∂
Diese Eigenschaft impliziert die Substituierbarkeit der beiden Produktionsfaktoren.
33
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Produktionsfunktion (2)
2. Inada-Bedingungen
3. Konstante Skalenerträge
Produktionsfunktion ist linear homogen (homogen
vom Grade 1)
0 0
lim 0, lim 0
lim , limK LK L
K LK L
F F
F F→∞ →∞
→ →
= =
= ∞ = ∞
( ) ( )( ) ( ) ( )( ), , , 0F K t L t F K t L tλ λ λ λ= ∀ >
34
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Sidestep: Linear homogene Produktionsfunktionen (1)
•
Eine linear homogene Produktionsfunktion
besitzt folgende Eigenschaft (Euler Theorem):
Die Inputfaktoren werden zu ihren Grenzproduktivitäten vergütet, der Output wird vollkommen auf die Produktionsfaktoren aufgeteilt.
( ),Y F K L=
( ) ( ), ,F K L F K LY K L
K L∂ ∂
≡ ⋅ + ⋅∂ ∂
35
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Sidestep: Linear homogene Produktionsfunktionen (2)
•
Beispiel: Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
•
Grenzproduktivitäten:
( ) 1, , 0 1Y F K L A K Lα α α−= = ⋅ ⋅ < <
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1,, /
,, 1 1 /
K
L
F K LF K L AK L Y K
KF K L
F K L AK L Y LL
α α
α α
α α
α α
− −
−
∂= = =
∂∂
= = − = −∂
36
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Sidestep: Linear homogene Produktionsfunktionen (3)
•
Einkommensanteile am Output:
•
Elastizitäten des Outputs bzgl. der Inputfaktoren:
( )1 1
K
L
K Y KFY K YL Y LFY L Y
α α
α α
⋅ = =
⋅ = − = −
( )
( )
,
, 1
K
L
dY K KdY dK F K LY K dK Y Y
dY L LdY dL F K LY L dL Y Y
α
α
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ = −
37
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Produktionsfunktion (3)
•
Eigenschaft 3 ermöglicht es, die Produktionsfunktion in intensiver Form zu schreiben:
( , ) ( / ,1) ( / )Y F K L L F K L L f K L= = ⋅ = ⋅
( )y f k=
• Sei y=Y/L die Arbeitsproduktivität (Pro-Kopf-Output) undk=K/L die Kapitalintensität. Damit folgt:
•
Den gesamten Output der Ökonomie erhält man durch Multiplikation mit L
Y L y= ⋅
38
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Produktionsfunktion (4)
•
Es gilt , und ist gleich der Grenz- produktivität
des Kapitals:
•
Beispiel für eine neoklassische Produktionsfunktion: Cobb-Douglas
Produktionsfunktion
A: Stand des technischen Wissens
In intensiver Form:
'( ) 0, ''( ) 0f k f k> < '( )f k
( ),'( )
F K Lf k
K∂
=∂
1 , 0< 1Y AK Lα α α−= <
y Akα=
39
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Euler Theorem
•
Wir wissen:
•
Daraus folgt:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
, ,,
,, und
F K L F K LY F K L K L
K NF K L f k
F K L L f kK k
∂ ∂≡ = ⋅ + ⋅
∂ ∂∂ ∂
= ⋅ =∂ ∂
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
, ,,
, 1 , '
'
F K L F K LL F K L K
L KF K LY KMPL F K L f k
L L L LMPL f k k f k
∂ ∂⋅ = − ⋅
∂ ∂∂∂
≡ ≡ = ⋅ −∂ ∂
= − ⋅
40
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Kapitalakkumulation
•
Produktion kann durch Kapitalakkumulation gesteigert werden, indem nicht das gesamte Sozialprodukt konsumiert wird: Ersparnis = Investition.
•
Annahme: konstante Sparquote s.
•
Allerdings verschleißen die Kapitalgüter im Gebrauch. Es kommt zu Abschreibungen.
•
Annahme: konstante Abschreibungsrate δ.•
Entwicklung des Kapitalstocks:
K I Kδ= −i
( ), , 0 s 1I s F K L= ⋅ ≤ ≤
41
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Break-even Investitionen
•
Aus der Kapitalakkumulationsgleichung
folgt, dass der Kapitalstock konstant bleibt, wenn die Investitionen mindestens das Abschreibungsvolumen umfassen. Die Investitionsmenge
δK
wird daher als break-
even
Investition bezeichnet.
K I Kδ= −i
42
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Kapitalakkumulation (Aggregierte Größen)
K
Y
K*
δK (Break-even investment)
F(K,L)
s·F(K,L) (Actual
investment)
Y*
K1 K2
43
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Kapitalakkumulation (Aggregierte Größen)
K•
δK
s·F(K,L)
K
Y
K*
F(K,L)
Y*
K1
AbschreibungErhaltung des VorhandenenKapitalstocks
TatsächlicheInvestitionen
K2
K•
44
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Fundamentale Wachstumsgleichung (1)
•
Veränderung des Kapitalstocks über die Zeit entspricht den Bruttoinvestitionen abzüglich der Abschreibungen :
wobei s die konstante Sparquote bezeichnet.•
Division durch liefert:
K I Kδ= −i
mit ( ), , 0 s 1I s F K L= ⋅ ≤ ≤
( ),K s F K L Kδ= ⋅ −i
( )K s f k kL
δ= ⋅ −
iL
I Kδ
45
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Fundamentale Wachstumsgleichung (2)•
Die Kapitalintensität ist definiert als ; für die Änderung der Kapitalintensität erhält man:
•
Umstellen der Gleichung liefert:
•
Die Bevölkerung wachse mit konstanter Rate n:
2
K K L K L K K Lkt L L L L L∂ −⎛ ⎞= = = − ⋅⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
i i i ii
K Lk k k k nL L= + ⋅ = + ⋅
i ii i
( ) 0 00 , ( ) , nt LL L L t L e nL
= = =
i
k n
k /k K L=
46
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Fundamentale Wachstumsgleichung (3)•
Damit erhält man die fundamentale Wachstumsgleichung des neoklassischen Modells:
•
Dynamisches Verhalten:
1) Actual
Investment > Break-Even-Investment: k steigt2) Actual
Investment < Break-Even-Investment: k sinkt
( ) ( )k s f k n kδ= ⋅ − + ⋅i
Bruttoin- vestitionen
Abschreibungen -
physische Abschreibung des Kapitalstocks δ
-
Ausdünnung infolge des Bevölkerungswachstums n
47
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Graphisch (1)
1k 2k kk∗
y
y∗ ( )n kδ+
( )s f k⋅
( )f k
48
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Graphisch (2)
Phasendiagramm für im Solow Modell:
k•
kk ∗
k
Break-even
Investmentgeringer als ActualInvestment
Break-even
Investmentgrößer als ActualInvestment
49
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Steady State und transitorische Dynamik (1)
•
Langfristiges Gleichgewicht (steady-state) ist der Zustand, in dem die relevanten Wachstumsraten konstant (balanced growth path) sind.
•
Kapitalintensität k konvergiert unabhängig vom Ausgangs- punkt k(0)>0 zur gleichgewichtigen Kapitalintensität k*.
•
Es gilt und die Bruttoinvestitionen reichen somit gerade aus, die Abschreibungen zu decken.
•
Das Solow-Swan-Modell
impliziert Konvergenz zum steady- state
. Also gilt:
* 0k =i
* 0k =i
* *( ) ( )s f k n kδ⋅ = + ⋅
50
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Steady State und transitorische Dynamik (2)•
Als Steady-State
Wachstumsrate erhält man:
•
Da k* im Steady
State konstant ist, sind dann auch die Pro- Kopf-Größen y*=f(k*) und c*=(1-s)y* konstant; der
gesamtwirtschaftliche Output Y sowie der Kapitalstock K wachsen mit der Rate n (balanced
growth path):
*
* * * *
* * *
( ) ( ) ( ) ( ) 0k
k s f k n k s f kg nk k k
δ δ
•
⋅ − + ⋅= = = − + =
* *
* *
* *
* *
* * 0 analog K Y
Y L yK L k
K L kg n n gK L k
= ⋅
= ⋅
= = + = + =
i ii
51
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Steady State und transitorische Dynamik (3)•
Eine Ökonomie wächst im Allgemeinen entlang des transitorischen
Pfades:
f(k)/k : durchschnittliche Kapitalproduktivität•
Da die Produktionsfunktion konstante Skalenerträge auf-
weist, lässt sie sich schreiben als Y=L·f(k) und damit ist f(k)=Y/L. Da k=K/L gilt, folgt:
( ) ( )( ) ( )k
s f k n kk s f kg nk k k
δδ
⋅ − + ⋅= = = − +
i
( )
( ) / ( / ) /( / ) /
k
f k k Y L K L Y Ks Yg nK
δ
= =⋅
= − +
und daher
52
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Steady State und transitorische Dynamik (4)
•
Auf dem Weg zum Gleichgewicht verlangsamt sich das (absolute) Wachstum in den Pro-Kopf-Größen, bis es im Gleichgewicht zum Stillstand kommt:
( )
2 2
( )
'( ) ( ) / 0
kg s f k nk k k
f k k f k Y Ls sk k
δ∂ ∂ ⋅⎡ ⎤= − +⎢ ⎥∂ ∂ ⎣ ⎦⋅ − ∂ ∂
= = − <
53
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Grafik Transitorische Dynamik im Modell ohne TF
k∗
0kg <
k
( ) /s f k k⋅
0kg >( )n δ+
( ) /s f k k⋅
54
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Wachstumsrate des Pro-Kopf-Einkommens (1)
•
Entwicklung der Wachstumsrate des Pro-Kopf-Einkommens auf dem Weg ins Gleichgewicht
'( )
'( ) '( )( ) ( )
'( )( )
y
y k
dy dy dky f k kdt dk dt
y f k k f k kg ky f k f k k
k f kg gf k
= = = ⋅
⎡ ⎤⋅= = = ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎡ ⎤⋅
⇒ = ⎢ ⎥⎣ ⎦
i i
i ii
55
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Wachstumsrate des Pro-Kopf-Einkommens (2)
( )'( )'( )
YKK K L Y k k f kf k
Y L Y K y f k
∂∂ ∂ ⋅
= = =∂
•
k*f´(k)/f(k) ist die Kapitalertragsquote, also der Anteil des Kapitaleinkommens am gesamten Pro-Kopf-Einkommen
•
Für eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
ist die Kapitalertragsquote konstant und entspricht dem Kapitalkoeffizienten α. Dann ergibt sich:
d.h. die Wachstumsrate des Outputs steht in einem festen Verhältnis
zur Kapitalwachstumsrate. Empirisch ist die Kapitalertragsquote recht stabil, Cobb-Douglas
also eine gute Näherung.
•
Dann gilt insbesondere, dass gy
steigt (sinkt), wenn gk
steigt (sinkt).•
Im Gleichgewicht sind die Wachstumsraten für die Pro-Kopf-Größen gleich Null!
'( )( )y k k
k f kg g gf k
α⎡ ⎤⋅
= =⎢ ⎥⎣ ⎦
56
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
k
y
k0
*
Einfluss von Parameteränderungen: Erhöhung der Sparquote s (1)
*1c
(n+δ)k
f(k)
s0
·f(k)
s1
·f(k)
k1
*
*0c
57
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Einfluss von Parameteränderungen: Erhöhung der Sparquote s (2)
k•
k
0t t
t
t0t
0t
s
58
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Einfluss von Parameteränderungen: Erhöhung der Sparquote s (3)
t0t
yg
c
0t t
Ob der Pro-Kopf Konsum sinkt oder steigt,hängt vom Anfangszustand ab!
59
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
k
y
k1
*
Einfluss von Parameteränderungen: Verbesserung der Technologie
(n+δ)k
f1
(k)
s·f1
(k)
f2
(k)
s·f2
(k)
k2
*
y1
*y2
y2
*
60
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
k
y
k1
*
(n1
+δ)k
f(k)
s·f(k)
Einfluss von Parameteränderungen: Wirkung einer gestiegenen Bevölkerungswachstumsrate
(n2
+δ)k
y1
*
y2
*
k2
*
61
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Optimale Sparquote und Golden-Rule Kapitalstock
•
Eine Ökonomie wird immer reicher, je mehr sie spart.•
Frage: Gibt es eine „optimale Sparquote“, die einen maximalen Konsum über alle Generationen hinweg
ermöglicht?•
Beziehung zwischen der Sparquote s und der steady-state
Kapitalintensität k*
→ positive Korrelation zwischen s und k*•
Pro-Kopf-Konsum im Gleichgewicht lautet:
* *(1 ) ( ( ))c s f k s= −
*( )k s mit *( ) / 0dk s ds >
62
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•
Im Steady-State
gilt:
•
Für den Pro-Kopf-Konsum erhält man:
•
Notwendige Bedingung für ein Maximum im Pro-Kopf- Konsum:
* * * * *( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( )c f k s s f k s f k s n k sδ= − ⋅ = − +
* *( ) ( )s f k n kδ⋅ = +
*
* **
*
/ 0
/ 0
dc dsdc dkdc dsdk ds
=
= =
Optimale Sparquote und Golden-Rule Kapitalstock Mathematische Herleitung (1)
63
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
•
Daraus folgt die Optimalitätsbedingung für den Golden Rule
Kapitalstock:
*
* *
'( )
( ) ( )gold
gold gold gold
f k n
c f k n k
δ
δ
= +
= − +
!
* * *
* *
00
/ ( ( )) ( ) ( ) /
'( ( )) ( ) / 0
dc ds d f k s n k s ds
f k s n dk ds
δ
δ>
=
⎡ ⎤= − +⎣ ⎦⎡ ⎤= − + ⋅ =⎣ ⎦
Optimale Sparquote und Golden-Rule Kapitalstock Mathematische Herleitung (2)
64
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(n+δ)k
f(k)
*goldc
*0k
*1c
sgold
·f(k)
s1
> sgold
s0
< sgold
*1k*
goldk
*0c
Steigung:(n+δ)In ist der Konsum maximal und die Steigung der Produktionsfunktion beträgt n+δ.
*goldk
Optimale Sparquote und Golden-Rule Kapitalstock Grafik
k
y
65
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Wohlfahrtsbetrachtung des Golden-Rule- Kapitalstocks (Pareto-Betrachtung) (1)
c
y
t0t
Fall 1: Anfangskapitalstock größer als Golden-Rule-Kapitalstock (Sparquote zu hoch)
,c y
0cPareto-Verbesserung: Jeder (selbst die gegenwärtige Generation) wird besser gestellt durch Senkung der Sparquote.Übergang von einem überkapitalisierten GG zu einem Golden-Rule-
GG
ist möglich durch Zustimmung aller Generationen!
66
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Wohlfahrtsbetrachtung des Golden-Rule- Kapitalstocks (Pareto- Betrachtung) (2)
c
y
t0t
Fall 2: Anfangskapitalstock geringer als Golden-Rule Kapitalstock
(Sparquote zu niedrig)
,c y
0c
Generationenkonflikt: Zukünftige Generationen sind besser gestellt, jedoch muss die gegenwärtige Generation auf Konsum verzichten!
67
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Neoklassische Wachstumstheorie Grundmodell mit technischem Fortschritt
68
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Einführung•
Welche Kraft verhindert ein Absinken der Wachstumsrate aufgrund der Kapitalintensivierung?
•
Ableiten der Wachstumsrate nach k liefert:
•
Der technische Fortschritt wirkt als Motor des wirtschaft- lichen
Wachstums.
( ) ( )kf kg s n xk
δ= ⋅ − + +
[ ]2
'( ) ( )0k s f k k f kg
k k⋅ −∂
= <∂
x: Wachstumsrate techn. Fortschritt1
1 In dem Buch von Romer
wird die Wachstumsrate des techn. Fortschritts mit g bezeichnet.
69
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Formen des technischen Fortschritts
•
Faktorgebundener (z.B. Hardware, wird eingeführt mit neuen Kapitalgütern) versus
faktorungebundener (z.B.
Software, verbesserte Organisation usw.) technischer Fortschritt
•
Faktorungebundener technischer Fortschritt kann in Form einer Verschiebung der Produktionsfunktion ausgedrückt werden.
•
Faktorgebundener technischer Fortschritt z.B. durch:
•
Neutraler und nichtneutraler technischer Fortschritt
( )1 1t t t tK A I Kδ+ = + −
70
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Arten des neutralen technischen Fortschritts (1)
Erweiterung der neoklassischen Produktionsfunktion um die zeitbezogenen und faktorspezifischen Technologie-
parameter
AK
(t) und AL
(t) :
1. Hicks-neutraler TF: erhöht bei unverändertem Faktoreinsatz die Grenzproduktivität beider Faktoren gleichermaßen. (∂F/∂L)/(∂F/∂K) ist konstant für ein konstantes Verhältnis K/L.
( )( ) ( ) ( ), ( ) ( )K LY t F A t K t A t L t= ⋅ ⋅
( ) ( ) ( ( ), ( )), A( ) 0Y t A t F K t L t t= ⋅ >i
Hicks-neutraler
Fortschritt ist „Technology Augmenting“.
71
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Arten des neutralen technischen Fortschritts (2)
2. Harrod-neutraler TF: bedeutet, dass bei gegebenem Kapitalkoeffizienten K/Y das Verhältnis der
Einkommensquoten
unverändert bleibt.
Harrod-neutraler Fortschritt wirkt arbeitsvermehrend.
/ /F K F LK LY Y
∂ ∂ ∂ ∂
( )( ) ( ), ( ) ( ) , A ( ) 0LLY t F K t A t L t t= ⋅ >i
72
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Arten des neutralen technischen Fortschritts (3)
3. Solow-neutraler TF: bedeutet, dass bei gegebenem Arbeitskoeffizienten L/Y das Verhältnis der Einkommensquoten
konstant bleibt.
Solow-neutraler Fortschritt wirkt kapitalvermehrend.
•
Nur für die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion sind alle 3 Arten des technischen Fortschritts äquivalent!
•
Ein GG wird im Allgemeinen nur durch Harrod- neutralen technischen Fortschritt erreicht!
/ /F K F LK LY Y
∂ ∂ ∂ ∂
( )( ) ( ) ( ), ( ) , A ( ) 0KKY t F A t K t L t t= ⋅ ⋅ >i
73
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Fundamentale Wachstumsgleichung mit Harrod-neutralem technischen Fortschritt (1)
•
Die Produktionsfunktion lautet:
•
Der technische Fortschritt wächst mit konstanter Rate x.
•
Das Produkt AL
(t)·L(t) aus der physischen Arbeitsmenge L(t) und dem Effizienzmaß
AL
(t)
wird als Arbeitsmenge in Effizienzeinheiten bezeichnet.
( )( ) ( ), ( ) ( ) , A ( ) 0LLY t F K t A t L t t= ⋅ >i
74
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Fundamentale Wachstumsgleichung mit Harrod-neutralem technischen Fortschritt (2)
•
Aus der Linearhomogenität der Produktionsfunktion folgt:
Kapital pro effizienter Arbeitseinheit Output pro effizienter Arbeitseinheit
•
Fundamentale Wachstumsgleichung mit TF:
( )
( )( ) ( ) ( ) ,1( ) ( )
( ) ( ) ˆˆ( ) ,1 ( )( ) ( ) ( ) ( )
LL
L L
K tY t A t L t FA t L t
Y t K ty t F f k tA t L t A t L t
⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠
ky
ˆ ˆ ˆ( ) ( )k s f k x n kδ= ⋅ − + +i
75
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Fundamentale Wachstumsgleichung mit Harrod-neutralem technischen Fortschritt (3)
•
Im langfristigen Gleichgewicht ist .•
Der gleichgewichtige Kapitalstock in Effizienzeinheiten
erfüllt die Bedingung
ˆ 0k =i
*k
* *ˆ ˆ( ) ( )s f k x n kδ⋅ = + + ⋅
Bruttoin- vestitionen
Abschreibungen -
physische Abschreibungen des Kapitalstocks δ
-
Ausdünnung durch Bevölkerungswachstum n und technischen Fortschritt x
76
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Fundamentale Wachstumsgleichung mit Harrod-neutralem technischen Fortschritt (4)
•
Transitorische
Dynamik:
ˆ
ˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆk
k s f kg x nk k
δ⋅= = − + +
i
77
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Grafik Transitorische Dynamik im Modell mit TF
*kˆ(0)k
ˆ( )ˆ
s f kk
⋅
(x+n+δ)
k
ˆ 0k
g >
ˆ 0k
g <
kg
ˆ( )ˆ
s f kk
⋅
78
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Modell mit TF – Wachstum der Größen
Im Modell mit TF wachsen……
die Größen in Effizienzeinheiten , und nicht
…
die Pro-Kopf-Größen k, y und c mit der Rate des TF x
…
die entsprechenden Niveauvariablen K, Y und C mit der Rate x+n.
y ck
* *
ˆ
ˆ
( ) ( )ˆ( ) ( ) ( )
0L
L
L L
k Ak
Ak k
K t k tkA t L t A t
g g g
g g g x
= =
= −
= ⇒ = =
79
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Konvergenz und Konvergenzgeschwindigkeit
80
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Konvergenz
•
Wachsen arme Länder schneller als reiche Länder?•
Das Solow-Swan-Modell
impliziert, dass Länder zu ihrem
eigenen steady-state
konvergieren.•
Betrachtung zweier Volkswirtschaften–
Unterschiedliche anfängliche Kapitalintensität
–
Identische Sparquoten und Bevölkerungswachstumsraten•
Das arme Land wächst pro Kopf schneller als das Reiche.
•
Wenn beide Länder ihren gleichgewichtigen Wachstums- pfad
erreicht haben, wachsen sie mit den gleichen Raten. Bedingte Konvergenz
(0) (0)arm reichk k<
81
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Bedingte Konvergenz grafisch Unterschiedliche anfängliche Kapitalintensität
*kˆ(0)reichk
ˆ( )ˆ
s f kk
⋅
x+n+δ
k
armgreichg
ˆ(0)armk
ˆ( )ˆ
s f kk
⋅
82
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Bedingte Konvergenz
•
Das neoklassische Wachstumsmodell impliziert bedingte Konvergenz.
•
Bei unterschiedlichen Parametern folgt aus der bedingten Konvergenz nicht, dass Länder, die weiter vom steady-
state
entfernt sind, schneller wachsen als andere.•
Es trifft lediglich die Aussage zu, dass Länder umso schneller wachsen, je weiter sie von ihrem eigenen langfristigen Gleichgewicht entfernt sind.
•
Nun: Betrachtung eines armen und eines reichen Landes, die sich nun auch in ihren Sparquoten unterscheiden:
arm reichs s<
83
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Bedingte Konvergenz grafisch: unterschiedliche anfängliche Kapitalintensitäten und Sparquoten
ˆ(0)reichk
ˆ( )ˆ
reichs f kk⋅
k
x+n+δarmg
reichg
ˆ(0)armk *ˆarmk *
reichk
ˆ( )ˆ
arms f kk⋅
ˆ( )ˆ
s f kk
⋅
84
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Bedingte und unbedingte Konvergenz
•
Das Konzept der bedingten Konvergenz unterscheidet man vom Konzept der unbedingten Konvergenz.
•
Von unbedingter Konvergenz spricht man, wenn arme Volkswirtschaften unabhängig von den zugrunde liegenden Parametern schneller wachsen als Reiche.Dies ist beim Solow-Swan
Modell nicht erfüllt.
85
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Konvergenzgeschwindigkeit (1)
•
Wie lange braucht ein Land, um ins Gleichgewicht zu gelangen?
•
Wie lange dauert der Anpassungsprozess, der von einer höheren Sparquote verursacht wird?
•
Vollzieht sich die Konvergenz schnell, kann man sich auf das Verhalten im langfristigen Gleichgewicht konzentrieren.
•
Konvergiert das System langsam, so ist die Übergangsdynamik wichtig.→ Diese Fragen lassen sich nur numerisch beantworten.
Üblicherweise betrachtet man dazu lineare Approximationen um das langfristige GG.
86
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Konvergenzgeschwindigkeit (2)
•
Wie schnell konvergiert gegen ?•
Die Veränderung von lautet:
•
Eine Taylorreihenentwicklung 1. O. von um liefert:
•
Differenzieren von (1) bzgl. , an der Stelle liefert:
*kkk
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( )) ( ) ( ) ( )k s f k t x n k t k k kδ= ⋅ − + + ⋅ ⇒ =i i i
ˆ ˆ( )k ki
*ˆ ˆk k=
( )**
ˆ ˆ
ˆ ˆ( )ˆ ˆ ˆˆ k k
k kk k kk =
⎛ ⎞∂⎜ ⎟ −⎜ ⎟∂⎜ ⎟
⎝ ⎠
ii
k *k
(1)
**
ˆ ˆ
ˆ ˆ( ) ˆ'( ) ( )ˆ k k
k k sf k x nk
δ=
∂= − + +
∂
i
(2)
(3)
87
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Konvergenzgeschwindigkeit (3)
•
Da folgt aus (1):
•
Einsetzen in (3) und das Ergebnis dann in (2) liefert:
*ˆ 0k =i
*
*
ˆ( )ˆ( )
x n ksf k
δ+ +=
( )
( )( )
*
*
* *
ˆ ˆ *
*ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) '( )ˆ ˆ( )
ˆ ˆ( ) ˆ( ) 1 0ˆ
k k
Kk k
k k x n k f k x nk f k
k k k x nk
δ δ
α δ
=
=
∂ + + ⋅= − + +
∂
∂= − + + <
∂
i
i
88
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Konvergenzgeschwindigkeit (4)
•
Dabei bezeichnet die Outputelastizität bzgl. des Kapitals an der Stelle
•
Die Konvergenzgeschwindigkeit von ist proportional zur Entfernung vom gleichgewichtigen Kapitalstock .
•
Sei der Abstand und•
Damit folgt
•
Die Wachstumsrate des Abstandes ist konstant und gleich -λ.
( )( )( )* *ˆ ˆ ˆ ˆ1 ( )Kk k x n k kα δ− − + + −i
Kα
* * *ˆ ˆ ˆ'( ) / ( )K k f k f kα = ⋅
*ˆ ˆk k=
k*k
*ˆ ˆ( ) ( )d t k t k= − ( )( )*ˆ: 1 ( )K k x nλ α δ= − + +
( ) ( )d t d tλ− ⋅i
89
ifo Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München
Konvergenzgeschwindigkeit (5)
•
Wenn d(0) den Ausgangswert von d(t) bezeichnet, so ist der Pfad von d(t) gegeben durch .
•
In ausgedrückt:
•
Beispiel: n=0.02, x=0.01, δ=0.03 und α=1/3; damit erhält man ein λ=0.04.
•
In welchem Zeitraum halbiert sich der Abstand?
( ) (0) td t d e λ−
k( )* *ˆ ˆ ˆ ˆ( ) (0)tk t k e k kλ−− −
1( ) (0) (0)2
12
t
t
d t d e d
e
λ
λ
−
−
=
=
90
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Konvergenzgeschwindigkeit (6)
Nach fast 18 Jahren hat sich der Abstand halbiert.
1ln2
1 1ln 17,32
t
t t
λ
λ
− =
= − →
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