Úvod do teorie pravděpodobnosti
Michal Fusek
Ústav matematiky FEKT VUT, [email protected]
Pravděpodobnost a statistika (IPT)
Michal Fusek ([email protected]) 1 / 50
Obsah
1 Úvod
2 Náhodný jev
3 Pravděpodobnost
4 Podmíněná pravděpodobnost
5 Úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
6 Nezávislost
Michal Fusek ([email protected]) 2 / 50
Úvod
Teorie pravděpodobnosti
Procesy reálného světa popisujeme pomocí matematickýchmodelů.
Teorie pravděpodobnosti se zabývá tzv. pravděpodobnostnímimodely - popisují procesy ovlivněné množstvím drobných(ne)zjistitelných činitelů (náhodou).
Výsledek procesu nejistý i při stejný základních podmínkách(závisí na náhodě).
Kolísání výsledků procesu při jeho opakování (např. hodkostkou/mincí, losování karty z balíčku, losování sportky,...).
Michal Fusek ([email protected]) 3 / 50
Úvod
PříkladVe výrobní hale je n strojů a 1 opravář. Máme informace o frekvenciporuch a době opravy.Možné otázky:
Jakou část pracovní doby bude opravář nevyužitý?
Kolik času se ztratí tím, že porouchaný stroj nebude opravenihned, protože opravář opravuje jiný stroj? Jak často se to stane?
Jakého efektu by bylo dosaženo přijetím dalšího opraváře?
Vznik poruch je náhodný proces - výsledek můžeme předvídatpouze s určitou pravděpodobností.
Odpovědi na otázky budou platné pouze s určitoupravděpodobností.
Zvolíme-li tuto pravděpodobnost dostatečně velkou, můžemeodpovědi pokládat za prakticky jisté.
Michal Fusek ([email protected]) 4 / 50
Úvod
Statistika
Věda o sběru, zpracování a vyhodnocování hromadných dat.
Matematická statistika vychází z teorie pravděpodobnosti adoplňuje ji.
Teorie pravděpodobnosti - na základě známéhopravděpodobnostního modelu předpovídáme průběh procesu.
Matematická statistika - volba modelu a odhad jeho vlastností nazákladě zjištěných dat.
Obě disciplíny se prolínají a bez jedné nelze pochopit a ovládnoutdruhou.
Michal Fusek ([email protected]) 5 / 50
Úvod
PříkladVyrábíme čipy do PC. Odběrem vzorků kontrolujeme průběh výrobníhoprocesu. Máme vypozorovanou jakost výroby (podíl zmetků) zanormálních podmínek.
Pomocí teorie pravděpodobnosti můžeme předpovědět meze, vekterých se budou prakticky jistě nacházet pozorované podílyzmetků v opakovaných výběrech (za předpokladu stabilityvýchozích podmínek).
Pomocí statistiky ověřujeme platnost předpokladů - vybočenípodílu zmetků z mezí signalizuje přítomnost nových vlivů, které jenutné identifikovat a případně odstranit.
Michal Fusek ([email protected]) 6 / 50
Náhodný jev
Základní pojmyPokus:
Deterministický - splnění stejných počátečních podmínek vedevždy ke stejnému výsledku (zahřátí vody na 100◦ C při tlaku1013,25 hPa - změna vody v páru).
Náhodný - výsledek pokusu se mění i při zachování stejnýchpočátečních podmínek (losování karty z balíčku, uměléoplodnění).
Základní prostor - množina všech možných výsledků pokusu:
Ω = {ω1, ω2, ω3, . . . , ωn, . . .︸ ︷︷ ︸elementární jevy
}
neprázdná množinaje vyčerpávající = obsahuje všechny možné relevantní výsledkyvýsledky pokusu jsou neslučitelnépočet prvků Ω může být konečný, spočetný i nespočetný.
Michal Fusek ([email protected]) 7 / 50
Náhodný jev
Náhodný jev - libovolná podmnožina Ω.
Jev nemožný: ∅
Jev jistý: Ω
PříkladHodíme mincí. Určete základní prostor Ω.
PříkladHodíme dvakrát mincí. Jev A značí, že padne rub. Jev B značí, že vobou hodech padne líc. Určete Ω, A, B.
Michal Fusek ([email protected]) 8 / 50
Náhodný jev
Operace s náhodnými jevyS náhodnými jevy pracujeme jako s množinami.
Průnik jevů A a B je jev, který nastane právě tehdy, když nastanoujevy A a B současně. Značíme jej A ∩ B.
Jestliže A ∩ B = ∅, mluvíme o jevech disjunktních (neslučitelných).Michal Fusek ([email protected]) 9 / 50
Náhodný jev
Sjednocení jevů A a B je jev, který nastane právě tehdy, když nastanealespoň jeden z jevů A a B. Značíme jej A ∪ B.
Opačný jev (nebo též doplněk) k jevu A je jev, který nastane právětehdy, když nenastane jev A. Značíme jej A a platí
A = Ω \ A.
A = A, A ∩ B = A ∪ B, A ∪ B = A ∩ B
Michal Fusek ([email protected]) 10 / 50
Náhodný jev
Jevy A1,A2, . . . tvoří úplný systém jevů, jestliže
A1 ∪ A2 ∪ · · · = Ω.
Pokud navíc platí Ai ∩ Aj = ∅ ∀i 6= j , mluvíme o úplném systémuneslučitelných jevů.
PříkladHázíme klasickou šestistěnnou kostkou. Jev A značí, že padne sudéčíslo. Jev B značí, že padne číslo větší než 4. Určete Ω, A, B, A, B,A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A.
Michal Fusek ([email protected]) 11 / 50
Náhodný jev
Jevové polePro zavedení exaktního matematického modelu náhodného pokusupotřebujeme vhodný systém náhodných jevů.
Mějme neprázdnou množinu Ω 6= ∅ a neprázdný systém podmnožinA ⊆ 2Ω, pro který platí
1) Ω ∈ A,2) A ∈ A ⇒ A ∈ A,
3) Ai ∈ A, i = 1,2, . . . ⇒∞⋃
i=1Ai ∈ A.
Pak A nazveme jevovou σ-algebrou na Ω, dvojici (Ω,A) nazvemejevovým polem a libovolný prvek A ∈ A nazveme náhodným jevem.
S každými dvěma množinami A,B ∈ A obsahuje σ-algebra nejenjejich doplňky, ale i jejich sjednocení, průniky a rozdíly.
Michal Fusek ([email protected]) 12 / 50
Náhodný jev
PříkladPro množinu Ω = {1,2,3} je příkladem σ-algebry:
systém všech jejích podmnožinA1 = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.systém podmnožin A2 = {∅, {1}, {2,3}, {1,2,3}}.
PříkladPro množinu Ω = {1,2,3} je příkladem systému podmnožin, kterýnení σ-algebrou např. A3 = {∅, {1}, {2}, {1,2,3}}.
Doplněk množiny A = {1} není prvkem A3.Sjednocení množin A = {1}, B = {2} není prvkem A3.
Michal Fusek ([email protected]) 13 / 50
Pravděpodobnost
Axiomatická definice pravděpodobnosti
Necht’ (Ω,A) je jevové pole a P je množinová funkce definovaná na As vlastnostmi:
1) P(Ω) = 1,2) P(A) ≥ 0 ∀A ∈ A,3) jestliže Ak ∈ A, k = 1,2, . . . , jsou navzájem disjunktní jevy
(Ai ∩ Aj = ∅ pro i 6= j), pak
P
(∞⋃i=1
Ai
)=∞∑
i=1
P(Ai).
Funkci P nazveme pravděpodobností a trojici (Ω,A,P) nazvemepravděpodobnostním prostorem.
Michal Fusek ([email protected]) 14 / 50
Pravděpodobnost
Pravděpodobnost je funkce, která každé množině ze σ-algebry Apřiřazuje jakousi „velikost“, přičemž „velikost“ celé množiny Ω jerovna jedné.
Tato „velikost“ odpovídá šanci, že jev při náhodném pokusunastane (pravděpodobnost nastoupení).
Michal Fusek ([email protected]) 15 / 50
Pravděpodobnost
Vlastnosti pravděpodobnosti
Necht’ (Ω,A,P) je pravděpodobnostní prostor. Pak pravděpodobnostP má následující vlastnosti:
(1) P(∅) = 0,(2) A,B ∈ A, A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)(3) A,B ∈ A, A ⊆ B ⇒ P(B − A) = P(B)− P(A)(4) A,B ∈ A, A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)(5) A ∈ A ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1(6) A ∈ A ⇒ P(A) = 1− P(A)(7) A,B ∈ A ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)(8) A1, . . . ,An ∈ A ⇒ P
(⋃ni=1 Ai
)≤∑n
i=1 P(Ai)
(9) A1, . . . ,An ∈ A ⇒ P(⋃n
i=1 Ai)
=∑n
i=1 P(Ai )−∑n−1
i=1∑n
j=i+1 P(Ai ∩ Aj )+∑n−2
i=1∑n−1
j=i+1∑n
k=j+1 P(Ai ∩ Aj ∩ Ak )+ · · · (−1)n−1P(A1 ∩ · · · ∩ An)
Michal Fusek ([email protected]) 16 / 50
Pravděpodobnost
Množina Ω je konečnáΩ = {ω1, ω2, . . . , ωn}
A = 2Ω
Pravděpodobnost libovolného jevu A ={ωi1 , . . . , ωik
}∈ A je
P(A) =k∑
j=1
P(ωij ),
přičemž platí∑n
i=1 P(ωi) = 1.
Jestliže P(ωi) = 1n , mluvíme o tzv. klasické pravděpodobnosti, prokterou platí
P(A) =|A||Ω|
,
kde | · | značí počet prvků množiny.Michal Fusek ([email protected]) 17 / 50
Pravděpodobnost
PříkladHázíme klasickou šestistěnnou kostkou. Jev A značí, že padne sudéčíslo. Jev B značí, že padne číslo větší než 4. Určete P(Ω), P(A),P(B), P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A ∪ B), P(A \ B), P(B \ A).
PříkladPokud se ke zkoušce naučíte z 10 otázek pouze 4, jaká jepravděpodobnost, že ze 3 vylosovaných otázek budete znát
a) právě 2,b) alespoň 1?
Řešení:a) A . . . budu znát právě 2 ze 3
[P(A) = 0,3]b) B . . . budu znát alespoň 1 ze 3
B . . . nebudu znát žádnou z vylosovaných [P(B) = 56
]Michal Fusek ([email protected]) 18 / 50
Pravděpodobnost
PříkladHázíme 2x klasickou šestistěnnou kostkou. S jakou pravděpodobnostíbude součet na obou kostkách větší než 9?
Řešení:A...součet větší než 9Ω = {[1,1], [1,2], [1,3], . . . , [6,4], [6,5], [6,6]}A = {[5,5], [4,6], [6,4], [5,6], [6,5], [6,6]}
[P(A) = 16
]PříkladKolikrát je třeba hodit hrací kostkou, aby pravděpodobnost, že alespoňjednou padne 6, byla větší než 0.7?
Řešení:A...alespoň jednou padne 6A...ani jednou nepadne 6 [n > 6,6...]
Michal Fusek ([email protected]) 19 / 50
Pravděpodobnost
PříkladMáme šestistěnnou kostku, která není homogenní, takže šestka na nípadá s pravděpodobností 0,75. Jednička padá jen s pravděpodobností0,01. U všech ostatních čísel jsou pravděpodobnosti stejné. Jaká jepravděpodobnost, že na této kostce padne sudé číslo?
Řešení:
Ω = {ω1, . . . , ω6}, kde ωi značí, že na kostce padlo číslo i , i = 1, . . . ,6
A . . . padne sudé číslo ⇒ A = {ω2, ω4, ω6}
P(ω1) = 0,01, P(ω6) = 0,75
P(ω2) = P(ω3) = P(ω4) = P(ω5) = 0,06
P(A) = P(ω2) + P(ω4) + P(ω6) = 0,87
Michal Fusek ([email protected]) 20 / 50
Pravděpodobnost
Množina Ω je spočetná
Ω = {ω1, ω2, . . . , ωn, . . . }
A = 2Ω
Pravděpodobnost libovolného jevu A ={ωi1 , . . . , ωik , . . .
}∈ A je
P(A) =∑ωij∈A
P(ωij ),
přičemž platí ∑ωij∈Ω
P(ωij ) = 1.
Michal Fusek ([email protected]) 21 / 50
Pravděpodobnost
PříkladHázíme mincí, dokud nepadne líc. Jaká je pravděpodobnost, žebudeme muset hodit více než třikrát?
Řešení:Ω = {L,RL,RRL,RRRL,RRRRL, . . . }A . . . hodíme více než třikrátA = {RRRL,RRRRL, . . . }
A . . . hodíme méně než čtyřikrátA = { L︸︷︷︸
ω1
, RL︸︷︷︸ω2
,RRL︸︷︷︸ω3
}
P(ω1) = 1/2 (L, R)P(ω2) = 1/4 (LL, LR, RL, RR)P(ω3) = 1/8 (LLL, LLR, LRL, RLL, RRR, RRL, RLR, LRR)
P(A) = 18Michal Fusek ([email protected]) 22 / 50
Pravděpodobnost
Množina Ω je nespočetná
Ω ⊆ Rn (borelovská množina v Rn a µ(Ω)
Pravděpodobnost
PříkladStudent FIT jede na FEKT na přednášku z IPT. Na zastávku Semilasomůže přijít se stejnou pravděpodobností v libovolném okamžiku.Autobus č. 53 jezdí ve 20minutových intervalech a vždy čeká vzastávce 1 minutu. Jaká je pravděpodobnost, že student přijde nazastávku v době, kdy tam bude stát autobus?
Řešení:Ω = 〈0,20) (čas v minutách od posledního odjezdu autobusu)A = 〈0,1) (autobus čeká v zastávce 1 minutu)
P(A) =µ(A)µ(Ω)
=1
20
Michal Fusek ([email protected]) 24 / 50
Pravděpodobnost
PříkladAdam a Eva si na Tinderu domluvili rande. Mají sraz v restauraci mezisedmou a osmou hodinou (každý okamžik příchodu je stejněpravděpodobný). První příchozí si dá aperitiv, což zabere 15 minut.Jestliže do vypití nápoje potenciální partner nepřijde, tak zaplatí anaštvaně odejde. Jaká je pravděpodobnost, že rande proběhne?
Řešení:
Ω = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
x - čas příchodu Adama (v hodinách)y - čas příchodu Evy
Michal Fusek ([email protected]) 25 / 50
Pravděpodobnost
A . . . potkají seA =
{(x , y) : |x − y | ≤ 14
}
µ(A) = 1−(3
4
)2= 716
P(A) = µ(A)µ(Ω) =7
161 =
716
Michal Fusek ([email protected]) 26 / 50
Podmíněná pravděpodobnost
Podmíněná pravděpodobnost
Jaká je pravděpodobnost výsledku, když máme doplňujícíinformace o výsledku pokusu?
PříkladHázíte ve tmě dvěma klasickými šestistěnnými kostkami. Váš kamarádmá noktovizor a vidí, co padlo na které kostce. Určetepravděpodobnost, že
a) na 1. kostce padla šestka, když víte od kamaráda, že součet naobou kostkách je větší než 10.
b) součet na obou kostkách je větší než 10, když víte od kamaráda,že na 1. kostce padla šestka.
c) součet na obou kostkách je větší než 10, když víte od kamaráda,že na 1. kostce nepadla šestka.
Michal Fusek ([email protected]) 27 / 50
Podmíněná pravděpodobnost
A . . . na 1. kostce padla šestkaB . . . součet je větší než 10Ω = {[1,1], [1,2], . . . , [6,6]}
Michal Fusek ([email protected]) 28 / 50
Podmíněná pravděpodobnost
a) Jaká je pravděpodobnost, že na 1. kostce padla šestka, když víteod kamaráda, že součet na obou kostkách je větší než 10?
P(A|B) = 23
Michal Fusek ([email protected]) 29 / 50
Podmíněná pravděpodobnost
b) Jaká je pravděpodobnost, že součet na obou kostkách je většínež 10, když víte od kamaráda, že na 1. kostce padla šestka?
P(B|A) = 26
Michal Fusek ([email protected]) 30 / 50
Podmíněná pravděpodobnost
c) Jaká je pravděpodobnost, že součet na obou kostkách je většínež 10, když víte od kamaráda, že na 1. kostce nepadla šestka?
P(B|A) = 130
Michal Fusek ([email protected]) 31 / 50
Podmíněná pravděpodobnost
Necht’ (Ω,A,P) je pravděpodobnostní prostor, B ∈ A, P(B) > 0. Pakčíslo
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)
nazveme podmíněnou pravděpodobností jevu A za podmínky, ženastal jev B.
PříkladHázíte ve tmě dvěma klasickými šestistěnnými kostkami. Váš kamarádmá noktovizor a vidí, co padlo na které kostce. Určetepravděpodobnost, že
a) na 1. kostce padla šestka, když víte od kamaráda, že součet naobou kostkách je větší než 10.
b) součet na obou kostkách je větší než 10, když víte od kamaráda,že na 1. kostce padla šestka.
c) součet na obou kostkách je větší než 10, když víte od kamaráda,že na 1. kostce nepadla šestka.
Michal Fusek ([email protected]) 32 / 50
Podmíněná pravděpodobnost
Řešení:A . . . na 1. kostce padla šestkaB . . . součet je větší než 10
Ω = {[1,1], [1,2], . . . , [6,6]} P(Ω) = 1A = {[6,1], [6,2], [6,3], [6,4], [6,5], [6,6]} P(A) = 636B = {[6,5], [5,6], [6,6]} P(B) = 336
a) A ∩ B = {[6,5], [6,6]} P(A ∩ B) = 236P(A|B) = P(A∩B)P(B) =
2363
36= 23
b) P(B|A) = P(B∩A)P(A) =2
366
36= 13
c) B ∩ A = {[5,6]} P(B ∩ A) = 136P(B|A) = P(B∩A)
P(A)=
1363036
= 130
Michal Fusek ([email protected]) 33 / 50
Podmíněná pravděpodobnost
PříkladStudenti pořádají večírek, kterého se podle odhadů zúčastní 500 osob.Pro prvních 50 příchozích je připravena štamprle slivovice napřivítanou. Dvacet z nich však obsahuje pouze vodu. Určetepravděpodobnost, že
a) první příchozí si vylosuje panáka slivovice.b) první 2 příchozí si vylosují panáka slivovice.
Řešení:Ai ...příchozí číslo i si vylosuje slivovici; i = 1,2
a) P(A1) = 3050
b) P(A1 ∩ A2) =?
P(A|B) = P(A∩B)P(B) ⇒ P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B)
P(A2 ∩ A1) = P(A1) · P(A2|A1) = 3050 ·2949 =
87245 ≈ 0,36
Michal Fusek ([email protected]) 34 / 50
Podmíněná pravděpodobnost
Pravidlo o násobení pravděpodobností
Platí
P
(n⋂
i=1
Ai
)= P(A1)·P(A2|A1)·P(A3|A1∩A2)· · · · ·P(An|A1∩· · ·∩An−1)
pro P(⋂n−1
i=1 Ai)> 0.
Michal Fusek ([email protected]) 35 / 50
Podmíněná pravděpodobnost
PříkladJestliže se v určité oblasti nachází letadlo, radar jej detekuje a spustípoplach s pravděpodobností 99 %. V 10 % případů spustí radarfalešný poplach, přestože se v oblasti žádné letadlo nenachází.Předpokládáme, že se letadlo nachází v dané oblasti spravděpodobností 5 %. Určete pravděpodobnost, že
a) v oblasti se žádné letadlo nenachází a spustí se poplach.b) v oblasti se nachází letadlo, ale poplach se nespustí.
Řešení:A . . . letadlo je v oblastiB . . . spustí se poplachP(B|A) = 0,99 P(B|A) = 0,10P(A) = 0,05 ⇒ P(A) = 0,95
a) P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = 0,095
b) P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = 0,0005 P(B|A) = 1− P(B|A)Michal Fusek ([email protected]) 36 / 50
Úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
Úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
Necht’ (Ω,A,P) je pravděpodobnostní prostor. Náhodné jevyH1, . . . ,Hn ∈ A tvoří úplný systém neslučitelných jevů na (Ω,A,P),jestliže platí
Hi ∩ Hj = ∅, i 6= j , an⋃
i=1
Hi = Ω.
Michal Fusek ([email protected]) 37 / 50
Úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
Úplná pravděpodobnost
Necht’ H1, . . . ,Hn tvoří úplný systém neslučitelných jevů na (Ω,A,P)takový, že P(Hi) > 0 pro i = 1, . . . ,n. Pak
P(A) =n∑
i=1
P(Hi) · P(A|Hi),
kde P(Hi) jsou tzv. apriorní pravděpodobnosti.
Michal Fusek ([email protected]) 38 / 50
Úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
Bayesův vzorec
Po provedení pokusu.
Necht’ H1, . . . ,Hn tvoří úplný systém neslučitelných jevů na (Ω,A,P)takový, že P(Hi) > 0 pro i = 1, . . . ,n a A ∈ A, kde P(A) > 0. Pak
P(Hj |A) =P(Hj) · P(A|Hj)∑ni=1 P(Hi) · P(A|Hi)
, j = 1, . . . ,n,
kde P(Hj |A) jsou tzv. aposteriorní pravděpodobnosti.
Michal Fusek ([email protected]) 39 / 50
Úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
PříkladZkoušku z IPT dělali studenti dvou typů: řádní a opakující. Z celkovéhopočtu studentů bylo 40 % opakujících. U zkoušky uspělo 80 % řádnýchstudentů a 75 % opakujících. Jestliže náhodně vybereme jednohostudenta, jaká je pravděpodobnost, že uspěl?
Řešení:A...student udělal zkouškuHR...řádný studentHO...opakující student
P(HO) = 0,4P(HR) = 0,6
P(A|HO) = 0,75P(A|HR) = 0,8
P(A) = P(HO)P(A|HO) + P(HR)P(A|HR) = 0,78
Michal Fusek ([email protected]) 40 / 50
Úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
Příklad (pokračování)
Náhodně vybraný student zkoušku udělal. Jaká je pravděpodobnost,že se jedná o řádného studenta?
Řešení:
P(HR|A) =P(HR) · P(A|HR)
P(A)=
0,6 · 0,80,78
= 0,615
Michal Fusek ([email protected]) 41 / 50
Úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
PříkladJe známo, že jistou nemocí trpí 1 % populace. Jestliže osoba trpídanou nemocí, vyšetření odhalí pozitivní nález s pravděpodobností95 %. Jestliže osoba danou nemocí netrpí, vyšetření bude negativní spravděpodobností 70 %. Určete pravděpodobnost správné diagnózy unáhodně vybrané osoby, jestliže vyšetření bylo a) pozitivní, b)negativní.
Řešení:A . . . vyšetřovaná osoba trpí nemocíB . . . pozitivní nález
P(A) = 0,01 (prevalence nemoci) ⇒ P(A) = 0,99
Spolehlivost vyšetření:P(B|A) = 0,95 (senzitivita testu)P(B|A) = 0,7 (specificita testu)
Michal Fusek ([email protected]) 42 / 50
Úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
A . . . vyšetřovaná osoba trpí nemocíB . . . pozitivní nálezP(A) = 0,01 ⇒ P(A) = 0,99P(B|A) = 0,95 ⇒ P(B|A) = 1− P(B|A) = 0,05P(B|A) = 0,7 ⇒ P(B|A) = 1− P(B|A) = 0,3
a) Pravděpodobnost správné diagnózy - vyšetření pozitivní.
P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)
1−P(B|A)︷ ︸︸ ︷P(B|A) = 0,0095 + 0,297 = 0,3065
P(A|B) = P(A∩B)P(B) =P(A)P(B|A)
P(B).
= 0,030995
b) Pravděpodobnost správné diagnózy - vyšetření negativní.
P(B) = P(A)
1−P(B|A)︷ ︸︸ ︷P(B|A) +P(A)P(B|A) = 0,0005 + 0,693 = 0,6935
P(A|B) = P(A∩B)P(B)
= P(A)P(B|A)P(B)
.= 0,99928
Michal Fusek ([email protected]) 43 / 50
Nezávislost
Nezávislost jevůDva jevy jsou nezávislé, jestliže pravděpodobnost jednoho z nichnezávisí na tom, zda druhý jev nastal nebo nenastal.
Hodíme dvěma kostkama. Na 1. kostce padne sudé číslo (jev A),na 2. kostce padne liché číslo (jev B).V urně jsou černé a bílé koule. V 1. tahu vytáhnu černou (jev A) avrátím ji zpátky. Ve 2. tahu vytáhnu černou (jev B).Dva studenti dělají zkoušku z IPT. První student udělá zkoušku(jev A). Druhý student udělá zkoušku (jev B).
P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B).
Nutná a postačující podmínka nezávislosti
Necht’ (Ω,A,P) je pravděpodobnostní prostor. Pak řekneme, že jevyA ∈ A a B ∈ A jsou nezávislé, jestliže
P(A ∩ B) = P(A) · P(B).Michal Fusek ([email protected]) 44 / 50
Nezávislost
Necht’ (Ω,A,P) je pravděpodobnostní prostor a A1, . . . ,An ∈ A.Řekneme, že náhodné jevy A1, . . . ,An jsou vzájemně (skupinově)nezávislé, jestliže pro libovolné k ∈ {1, . . . ,n} a libovolnou množinuindexů {i1, . . . , ik} ⊆ {1, . . . ,n} platí
P
k⋂j=1
Aij
= k∏j=1
P(
Aij),
tedy
(1) P(Ai ∩ Aj) = P(Ai)P(Aj), i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n,
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak ) = P(Ai)P(Aj)P(Ak ), i 6= j, i 6= k , j 6= k , i, j, k = 1, 2, . . . , n,
...
P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = P(A1)P(A2) · · ·P(An).
Pokud platí pouze (1), jedná se o párovou nezávislost.
Michal Fusek ([email protected]) 45 / 50
Nezávislost
PříkladDělník obsluhuje 3 stroje, které pracují nezávisle na sobě.Pravděpodobnost, že dojde během směny k poruše na 1. stroji je 0,1,na 2. stroji 0,2 a na 3. stroji 0,05. Jaká je pravděpodobnost, že běhemsměny nedojde k poruše na žádném stroji?
Řešení:Ai ...porucha na stroji i , i = 1,2,3B...nedojde k poruše na žádném stroji
P(B) = P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0,684
P(A1) = 0,1 ⇒ P(A1) = 0,9P(A2) = 0,2 ⇒ P(A2) = 0,8P(A3) = 0,05 ⇒ P(A3) = 0,95
Michal Fusek ([email protected]) 46 / 50
Nezávislost
Pravidlo o sčítání pravděpodobnostíPlatí
P
(n⋃
i=1
Ai
)=
n∑i=1
P(Ai )−n−1∑i=1
n∑j=i+1
P(Ai ∩ Aj )
+n−2∑i=1
n−1∑j=i+1
n∑k=j+1
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak ) + · · · (−1)n−1P(A1 ∩ · · · ∩ An).
Jsou-li jevy A1, . . . ,An neslučitelné, pak
P
(n⋃
i=1
Ai
)=
n∑i=1
P(Ai ).
Jsou-li jevy A1, . . . ,An nezávislé, pak
P
(n⋃
i=1
Ai
)= 1−
n∏i=1
[1− P(Ai )] .
Michal Fusek ([email protected]) 47 / 50
Nezávislost
PříkladZ karetní hry obsahující 52 karet je náhodně vybrána 1 karta.Vypočítejte pravděpodobnost, že je to kříž nebo karta s počtem bodůod 6 do 10 (včetně) nebo dvojka.
Řešení:A...křížB...karta od 6 do 10C...dvojka
P(A ∪ B ∪ C) =P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C) = 3152
Michal Fusek ([email protected]) 48 / 50
Nezávislost
Sériové a paralelní systémySystém tvoří více součástí zapojených sériově a paralelně.
PříkladPočítačová sít’ spojuje zařízení A a B. Spojení prochází přes několikuzlů. U každé dvojice uzlů je dána pravděpodobnost, že spojení jeaktivní. Předpokládáme, že chyby ve spojení mezi jednotlivými uzlyjsou nezávislé. Určete pravděpodobnost, že existuje aktivní spojenímezi zařízeními.
Michal Fusek ([email protected]) 49 / 50
Nezávislost
Řešení:
Sij . . . spojení mezi uzly i a j je aktivníP(S1CB) = P(SCE ∩ SEB) = P(SCE ) · P(SEB) = 0,8 · 0,9 = 0,72P(S2CB) = P(SCF ∩ SFB) = 0,8075
P(SCB) = P(S1CB ∪ S2CB) = 1− P(S1CB ∪ S
2CB) = 1− P(S
1CB ∩ S
2CB) =
1− P(S1CB)P(S2CB) = 0,9461
P(S1AB) = P(SAC) · P(SCB) = 0,9 · 0,9461 = 0,85149P(S2AB) = P(SAD) · P(SDB) = 0,7125
P(SAB) = P(S1AB ∪ S2AB) = 1− P(S1AB)P(S2AB).
= 0,957
Michal Fusek ([email protected]) 50 / 50
ÚvodNáhodný jevPravdepodobnostPodmínená pravdepodobnostÚplná pravdepodobnost a Bayesuv vzorecNezávislost
Top Related