Visualisierung algebraischer
Zusammenhänge
Addition ungerader ZahlenAddiert man die ersten ungeraden Zahlen, so erhält man immer eine Quadratzahl.
Addition ungerader ZahlenAddiert man die ersten ungeraden Zahlen, so erhält man immer eine Quadratzahl.
Beispiel: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
Addition ungerader ZahlenAddiert man die ersten ungeraden Zahlen, so erhält man immer eine Quadratzahl.
Beispiel: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
Addiert man die ersten n ungeraden Zahlen, so ist die Summe n2.
Addition ungerader ZahlenAddiert man die ersten ungeraden Zahlen, so erhält man immer eine Quadratzahl.
Beispiel: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
Addiert man die ersten n ungeraden Zahlen, so ist die Summe n2.
1+ 3+ 5 + ...+ 2n −1= n2
Addition ungerader ZahlenHilfsüberlegung: Jede ungerade Zahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Zahlen.
Addition ungerader ZahlenHilfsüberlegung: Jede ungerade Zahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Zahlen.
Beispiel: 11 = 5 + 6
Addition ungerader ZahlenHilfsüberlegung: Jede ungerade Zahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Zahlen.
Beispiel: 11 = 5 + 6
Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11unger. Zahl 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
Addition ungerader ZahlenHilfsüberlegung: Jede ungerade Zahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Zahlen.
Beispiel: 11 = 5 + 6
Die n. ungerade Zahl kann man zerlegen in die Summe aus n und n-1.
Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11unger. Zahl 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
Addition ungerader Zahlenu1=1 u2=3 u3=5 u4=7 u5=9 u6=11
Addition ungerader Zahlenu1=1 u2=3 u3=5 u4=7 u5=9 u6=11
Addition ungerader Zahlenu1=1 u2=3 u3=5 u4=7 u5=9 u6=11
Addition ungerader Zahlenu1=1 u2=3 u3=5 u4=7 u5=9 u6=11
Addition ungerader Zahlenu1=1 u2=3 u3=5 u4=7 u5=9 u6=11
Addition ungerader Zahlenu1=1 u2=3 u3=5 u4=7 u5=9 u6=11
Addition ungerader Zahlenu1=1 u2=3 u3=5 u4=7 u5=9 u6=11
Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =
12n n +1( )
Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =
12n n +1( )
Also:
Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =
12n n +1( )
Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15
Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =
12n n +1( )
Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15
Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =
12n n +1( )
Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15
2 ⋅Dn = n n +1( )
Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =
12n n +1( )
Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15
2 ⋅Dn = n n +1( )
Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =
12n n +1( )
Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15
2 ⋅Dn = n n +1( )
Dreieckszahlen1+ 2 + 3+ ...+ n = Dn =
12n n +1( )
Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15
2 ⋅Dn = n n +1( )
Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen
Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.
Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen
Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.
Beispiel: 36=62 = 15 + 21 =D5 + D6
Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen
Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.
Beispiel: 36=62 = 15 + 21 =D5 + D6
Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
n2 = Dn + Dn−1
Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen
Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.
Beispiel: 36=62 = 15 + 21 =D5 + D6
Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
n2 = Dn + Dn−1
Dn + Dn−1 =n n +1( )2
+n −1( )n2
= ...= n2
Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen
Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.
Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen
Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.
Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Beispiel: 49=72 = 21 + 28 =D6 + D7
Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen
Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.
Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Beispiel: 49=72 = 21 + 28 =D6 + D7
Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen
Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen.
Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Dreieckszahl 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Beispiel: 49=72 = 21 + 28 =D6 + D7
Summe der Quadratzahlenk2
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)
zweidimensional dreidimensional
Summe der Quadratzahlenk2
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)
zweidimensional dreidimensional
Folgerung für die Visualisierung: quadratische Platten, die geschickt zu einem Körper zusammengesetzt werden
Summe der Quadratzahlenk2
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)
Bielefelder Lösung
Summe der Quadratzahlenk2
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)
Bayreuther Lösung
Die Dreieckszahlen als Dimensionswandler
Dn =n n +1( )2
Fläche, zweidimensional
Die Dreieckszahlen als Dimensionswandler
Dn =n n +1( )2
Fläche, zweidimensional
Die Dreieckszahlen als Dimensionswandler
Dn =n n +1( )2
= 1+ 2 + 3+ ...+ n
Fläche, zweidimensional
Die Dreieckszahlen als Dimensionswandler
Dn =n n +1( )2
= 1+ 2 + 3+ ...+ n
Fläche, zweidimensional
aneinander gelegte Längen, eindimensional
Summe der Quadratzahlenk2
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)
Summe der Quadratzahlenk2
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)
k2
k=1
n
∑ = 1
n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)6
Summe der Quadratzahlenk2
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)
k2
k=1
n
∑ = 1
n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2
Summe der Quadratzahlenk2
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)
k2
k=1
n
∑ = 1
n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2
Summe der Quadratzahlenk2
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)
k2
k=1
n
∑ = 1
n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2
Summe der Quadratzahlen
3⋅ k2
k=1
n
∑ = Dn ⋅(2n +1)
k2k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)
k2
k=1
n
∑ = 1
n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2
Summe der Quadratzahlen
3⋅ k2
k=1
n
∑ = Dn ⋅(2n +1)
k2k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)
k2
k=1
n
∑ = 1
n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2
Länge
Summe der Quadratzahlen
3⋅ k2
k=1
n
∑ = Dn ⋅(2n +1)
k2k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)
k2
k=1
n
∑ = 1
n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2
Länge Länge
Summe der Quadratzahlen
3⋅ k2
k=1
n
∑ = Dn ⋅(2n +1)
k2k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)
k2
k=1
n
∑ = 1
n ⋅ n +1( ) ⋅(2n +1)3⋅2
zweidimensional!
Länge Länge
Summe der Quadratzahlen3⋅12 = 1⋅3= 1⋅(2 ⋅1+1)Das ist für n = 13⋅ k2
k=1
n
∑ = Dn ⋅(2n +1)
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat…
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D2 und D1 .
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D2 und D1 .D2 wird in Streifen geschnitten.
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D2 und D1 .
D1 füllt die Lücke links.D2 wird in Streifen geschnitten.
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D2 und D1 .
D1 füllt die Lücke links.D2 ergibt eine neue Schicht.
D2 wird in Streifen geschnitten.
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D2 und D1 .
D1 füllt die Lücke links.D2 ergibt eine neue Schicht.
D2 wird in Streifen geschnitten.
3⋅ 12 + 22( ) = 3⋅5 = 3⋅(2 ⋅2 +1)
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D2 und D1 .
D1 füllt die Lücke links.D2 ergibt eine neue Schicht.
D2 wird in Streifen geschnitten.
3⋅ 12 + 22( ) = 3⋅5 = 3⋅(2 ⋅2 +1)Das ist für n = 2
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D2 und D1 .
D1 füllt die Lücke links.D2 ergibt eine neue Schicht.
D2 wird in Streifen geschnitten.
3⋅ 12 + 22( ) = 3⋅5 = 3⋅(2 ⋅2 +1)Das ist für n = 23⋅ k2
k=1
n
∑ = Dn ⋅(2n +1)
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat…
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D3 und D2 .Beide werden in Streifen geschnitten.
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D3 und D2 .
D2 füllt die Lücke links.Beide werden in Streifen geschnitten.
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D3 und D2 .
D2 füllt die Lücke links.D3 ergibt eine neue Schicht.
Beide werden in Streifen geschnitten.
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D3 und D2 .
D2 füllt die Lücke links.D3 ergibt eine neue Schicht.
Beide werden in Streifen geschnitten.
3⋅ 12 + 22 + 32( ) = 3⋅14 = 6 ⋅7 = 6 ⋅(2 ⋅3+1)
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D3 und D2 .
D2 füllt die Lücke links.D3 ergibt eine neue Schicht.
Beide werden in Streifen geschnitten.
3⋅ 12 + 22 + 32( ) = 3⋅14 = 6 ⋅7 = 6 ⋅(2 ⋅3+1)Das ist für n = 3
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D3 und D2 .
D2 füllt die Lücke links.D3 ergibt eine neue Schicht.
Beide werden in Streifen geschnitten.
3⋅ 12 + 22 + 32( ) = 3⋅14 = 6 ⋅7 = 6 ⋅(2 ⋅3+1)Das ist für n = 33⋅ k2
k=1
n
∑ = Dn ⋅(2n +1)
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat…
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D4 und D3 .Beide werden in Streifen geschnitten.
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D4 und D3 .
D3 füllt die Lücke links.Beide werden in Streifen geschnitten.
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D4 und D3 .
D3 füllt die Lücke links.D4 ergibt eine neue Schicht.
Beide werden in Streifen geschnitten.
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D4 und D3 .
D3 füllt die Lücke links.D4 ergibt eine neue Schicht.
Beide werden in Streifen geschnitten.
3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( ) = 3⋅30 = 10 ⋅9 = 10 ⋅(2 ⋅4 +1)
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D4 und D3 .
D3 füllt die Lücke links.D4 ergibt eine neue Schicht.
Beide werden in Streifen geschnitten.
3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( ) = 3⋅30 = 10 ⋅9 = 10 ⋅(2 ⋅4 +1)Das ist für n = 4
Summe der Quadratzahlen3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( )
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.Das dritte Quadrat……wird zerlegt in D4 und D3 .
D3 füllt die Lücke links.D4 ergibt eine neue Schicht.
Beide werden in Streifen geschnitten.
3⋅ 12 + 22 + 32 + 42( ) = 3⋅30 = 10 ⋅9 = 10 ⋅(2 ⋅4 +1)Das ist für n = 43⋅ k2
k=1
n
∑ = Dn ⋅(2n +1)
Summe der DreieckszahlenDk
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)
Summe der DreieckszahlenDk
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)
Beispiel für n = 4:
Summe der DreieckszahlenDk
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)
Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3+ 6 +10 = 20
Summe der DreieckszahlenDk
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)
Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3+ 6 +10 = 201/6⋅4 ⋅5 ⋅ /6 = 20
Summe der DreieckszahlenDk
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)
Dkk=1
n
∑ = 1
n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)6
Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3+ 6 +10 = 201/6⋅4 ⋅5 ⋅ /6 = 20
Summe der DreieckszahlenDk
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)
Dkk=1
n
∑ = 1
n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)3⋅2
Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3+ 6 +10 = 201/6⋅4 ⋅5 ⋅ /6 = 20
Summe der DreieckszahlenDk
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)
Dkk=1
n
∑ = 1
n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)3⋅2
Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3+ 6 +10 = 201/6⋅4 ⋅5 ⋅ /6 = 20
Summe der DreieckszahlenDk
k=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)
Dkk=1
n
∑ = 1
n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)3⋅2
Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3+ 6 +10 = 201/6⋅4 ⋅5 ⋅ /6 = 20
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ Dkk=1
n
∑ = Dn ⋅(n + 2)
Dkk=1
n
∑ = 16n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)
Dkk=1
n
∑ = 1
n ⋅ n +1( ) ⋅(n + 2)3⋅2
Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3+ 6 +10 = 201/6⋅4 ⋅5 ⋅ /6 = 20
Summe der Dreieckszahlen3⋅D1 = 3⋅1= 1⋅3= 1⋅(1+ 2)Das ist für n = 13⋅ Dk
k=1
n
∑ = Dn ⋅(2n +1)
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ 1+ 3( ) = 3⋅4 = 3⋅(2 + 2)
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )
Das ist für n = 2
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ 1+ 3( ) = 3⋅4 = 3⋅(2 + 2)
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2( ) = 3⋅ 1+ 3( )
Das ist für n = 23⋅ Dk
k=1
n
∑ = Dn ⋅(n + 2)
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ 1+ 3( ) = 3⋅4 = 3⋅(2 + 2)
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ 1+ 3+ 6( ) = 3⋅10 = 6 ⋅5 = 6 ⋅(3+ 2)
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )
Das ist für n = 3
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ 1+ 3+ 6( ) = 3⋅10 = 6 ⋅5 = 6 ⋅(3+ 2)
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6( )
Das ist für n = 33⋅ Dk
k=1
n
∑ = Dn ⋅(n + 2)
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ 1+ 3+ 6( ) = 3⋅10 = 6 ⋅5 = 6 ⋅(3+ 2)
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3 + D4( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6 +10( )
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3 + D4( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6 +10( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3 + D4( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6 +10( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3 + D4( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6 +10( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3 + D4( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6 +10( )Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ 1+ 3+ 6 +10( ) = 3⋅20 = 10 ⋅6 = 10 ⋅(4 + 2)
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3 + D4( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6 +10( )
Das ist für n = 4
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ 1+ 3+ 6 +10( ) = 3⋅20 = 10 ⋅6 = 10 ⋅(4 + 2)
Summe der Dreieckszahlen3⋅ D1 + D2 + D3 + D4( ) = 3⋅ 1+ 3+ 6 +10( )
Das ist für n = 43⋅ Dk
k=1
n
∑ = Dn ⋅(n + 2)
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ 1+ 3+ 6 +10( ) = 3⋅20 = 10 ⋅6 = 10 ⋅(4 + 2)
Summe der DreieckszahlenDie$Summe$von$Dreieckszahlen$
!Addiert!man!Dreieckszahlen,!so!erhält!man!die!Tetraederzahlen.!Für!die!explizite!Formel!der!Tetraederzahlen!!
!!Tn =
16n n+1( ) n+2( ) !
gibt!es!verschiedene!Herleitungen!und!Begründungen.!Hier!wollen!wir!analog!zur!Idee!des!jungen!Gauß!(Summe!1!bis!100)!arbeiten.!!Vorüberlegung!!
!
!!
Tn = D1 +D2 +D3 +D4 + ...+Dn−1 +Dn= !1!+ !1!+ !1!+ !1!+ ...+ !1!+ !1!+ 2!+ !2!+ !2!+ ...+ !2!+ !2+ 3!+ !3!+ ...+ !3!+ !3+ 4!+ ...+ !4!+ !4
...+ n−1+n−1+ n
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!
= n⋅1+ n−1( )⋅2+ n−2( )⋅3+ n−3( )⋅4!!!!!...+2⋅ n−1( )+1⋅n
!!!
!Grafisch:!In!der!Abbildung!rechts!sehen!wir!den!Tetraeder!der!Stufe!4.!Die!Schichten!von!links!hinten!nach!rechts!vorn!sind!die!Dreieckszahlen!D4,!dahinter!D3,!D2!und!D1.!Betrachtet!man!die!Schichten!von!vorn!links!nach!rechts!hinten,!so!hat!man!Rechtecke!der!Form!1x4,!2x3,!3x2!und!4x1.!!1.Variante!!Nun!addieren!wir!dreimal!die!Summe!der!DreiecksSzahlen,!ein!Mal!in!der!neu!hergeleiteten!Form!und!zwei!Mal!in!der!direkten.!
!!
Tn = n⋅1+ n−1( )⋅2+ n−2( )⋅3+ n−3( )⋅4+ ...+2⋅ n−1( )+1⋅nTn = !D1 + !!!!!!!D2 !!!!!+ !!!!!!D3 !!!!+ !!!!!!D4 !!!!!+ ...+ !!!!Dn−1 !!!+ !!DnTn = !D1 + !!!!!!!D2 !!!!!+ !!!!!!D3 !!!!+ !!!!!!D4 !!!!!+ ...+ !!!!Dn−1 !!!+ !!Dn
3Tn = n− k−1( )( )⋅k+2Dk⎡⎣
⎤⎦
k=1
n
∑
!
Erläuterung:!Jeder!Dreiersummand!in!einer!Spalte!hat!die!Form,!wie!sie!in!der!eckigen!Klammer!hinter!dem!Summenzeichen!steht.!!Grafisch:!Auf!jeder!!horizontalen!Ebene!werden!zwei!Dreieckszahlen!addiert!(oben!D1,!ganz!unten!D4).!
!!!das!kann!man!zeilenweise!zusammenfassen!
Sie!formen!Rechtecke!der!Struktur!!!k ⋅ k+1( ) .!Fügt!man!nun!den!dritten!Tetraeder!an,!so!addiert!man!Rechtecke!der!Struktur!!! n−k+1( )⋅k .!Das!Gesamtgebilde!besteht!aus!Dreiecken!(hier!Stufe!4),!von!denen!n+2!(hier!6)!nebeneinander!liegen.!!Den!Term,!über!den!summiert!wird![eckige!Klammer],!können!wir!zusammenfassen.
!!
n− k−1( )( )⋅k+2Dk = n− k−1( )( )⋅k+2k k+1( )2
= n−k+1( )⋅k+k k+1( )= k ⋅ n−k+1+k+1( )= k ⋅ n+2( )
!
!Setzen!wir!das!in!die!Summe!ein!und!lösen!den!Laufindex!k!auf,!erhalten!wir:!
!
!!
3Tn = k n+2( )⎡⎣ ⎤⎦k=1
n
∑=1⋅ n+2( )+2⋅ n+2( )+3⋅ n+2( )+ ...+(n−1)⋅ n+2( )+n⋅ n+2( )= n+2( )⋅ 1+2+3+4+ ...+(n−1)+n( )
n*te!Dreieckszahl! "##### $#####
= n+2( )⋅n n+1( )2
!
!Nun!muss!man!die!Gleichung!nur!noch!durch!3!teilen!und!leicht!ordnen.!
!!
Tn =16n n+1( ) n+2( )
!
!
!!2.Variante!!Diese!Variante!wollen!wir!grafisch!beginnen.!Man!verwendet!die!gleichen!Teile!wie!bei!der!ersten!Variante,!baut!sie!aber!etwas!anders!zusammen.!!Wieder!werden!zwei!Teile!zusammengefügt,!so!dass!die!Dreiecke!in!jeder!horizontalen!Ebene!Rechtecke!der!Struktur!!!k ⋅ k+1( ) !formen!(oben!1!x!2,!ganz!unten!4!x!5).!!!!!!!
Summe der Kubikzahlenk 3
k=1
n
∑ =n n +1( )2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= Dn2
Beispiele:
Summe der Kubikzahlenk 3
k=1
n
∑ =n n +1( )2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= Dn2
Beispiele:
n = 2 : k 3 = 13 + 23 = 1+ 8 = 9 = 32 = 1+ 2( )2k=1
2
∑
Summe der Kubikzahlenk 3
k=1
n
∑ =n n +1( )2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= Dn2
Beispiele:
n = 2 : k 3 = 13 + 23 = 1+ 8 = 9 = 32 = 1+ 2( )2k=1
2
∑
n = 5 : k 3
k=1
5
∑ = 13 + 23 + 33 + 43 + 53
= 1+ 8 + 27 + 64 +125 = 225 = 152 = 1+ 2 + 3+ 4 + 5( )2
Summe der Kubikzahlen
k 3k=1
n
∑ =n n +1( )2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= Dn2
Summe der Kubikzahlenk 3
k=1
n
∑ =n n +1( )2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= Dn2
13 + 23 = 1⋅12 + 2 ⋅22 = 9
Summe der Kubikzahlenk 3
k=1
n
∑ =n n +1( )2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= Dn2
13 + 23 = 1⋅12 + 2 ⋅22 = 9
Summe der Kubikzahlenk 3
k=1
n
∑ =n n +1( )2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= Dn2
13 + 23 = 1⋅12 + 2 ⋅22 = 9
Dreieck: A = 12gh = 1
2⋅3⋅2 ⋅ 1+ 2( ) = 9
Summe der Kubikzahlenk 3
k=1
n
∑ =n n +1( )2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= Dn2
13 + 23 = 1⋅12 + 2 ⋅22 = 9
Dreieck: A = 12gh = 1
2⋅3⋅2 ⋅ 1+ 2( ) = 9
n = 2 : A = 12gh = 1
2⋅ n +1( )n ⋅Dn = Dn
2
Summe der Kubikzahlenk 3
k=1
n
∑ =n n +1( )2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= Dn2
Summe der Kubikzahlenk 3
k=1
n
∑ =n n +1( )2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= Dn2
Summe der Kubikzahlenk 3
k=1
n
∑ =n n +1( )2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= Dn2
13 + 23 + 33 + 43 = 1⋅12 + 2 ⋅22 + 3⋅32 + 4 ⋅42 = 100
Summe der Kubikzahlenk 3
k=1
n
∑ =n n +1( )2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= Dn2
13 + 23 + 33 + 43 = 1⋅12 + 2 ⋅22 + 3⋅32 + 4 ⋅42 = 100
Summe der Kubikzahlenk 3
k=1
n
∑ =n n +1( )2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= Dn2
13 + 23 + 33 + 43 = 1⋅12 + 2 ⋅22 + 3⋅32 + 4 ⋅42 = 100
Dreieck: A = 12gh = 1
2⋅5 ⋅4 ⋅ 1+ 2 + 3+ 4( ) = 10 ⋅10 = 100
Summe der Kubikzahlenk 3
k=1
n
∑ =n n +1( )2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= Dn2
13 + 23 + 33 + 43 = 1⋅12 + 2 ⋅22 + 3⋅32 + 4 ⋅42 = 100
Dreieck: A = 12gh = 1
2⋅5 ⋅4 ⋅ 1+ 2 + 3+ 4( ) = 10 ⋅10 = 100
n = 4 : A = 12gh = 1
2⋅ n +1( )n ⋅Dn = Dn
2
Satz vom arithmetischen und geometrischen Mittel
Satz vom arithmetischen und geometrischen Mittel
Beweis zum Fingerrechnen
5
10
5 108
7
Beweis zum Fingerrechnen
5
10
5 108
7
<–– abgeknickt ––> <gestreckt>
<abg
ekni
ckt>
<–––
ges
treck
t ––>
Beweis zum Fingerrechnen
5
10
5 108
7
<–– abgeknickt ––> <gestreckt>
<abg
ekni
ckt>
<–––
ges
treck
t ––>
Beweis zum Fingerrechnen
5
10
5 108
7
<–– abgeknickt ––> <gestreckt>
<abg
ekni
ckt>
<–––
ges
treck
t ––>
Behauptung grün + gelb + rot = Ergebnis
Beweis zum Fingerrechnen
5
10
5 108
7
<–– abgeknickt ––> <gestreckt>
<abg
ekni
ckt>
<–––
ges
treck
t ––>
Behauptung grün + gelb + rot = Ergebnis
Verallgemeinerung
H
2H
H 2Ha
b
Verallgemeinerung
H
2H
H 2Ha
b
<–– nach unten -–> <—nach oben—>
<nac
h un
ten>
<––
nach
obe
n -–
>
Verallgemeinerung
H
2H
H 2Ha
b
<–– nach unten -–> <—nach oben—>
<nac
h un
ten>
<––
nach
obe
n -–
>
Verallgemeinerung
H
2H
H 2Ha
b
<–– nach unten -–> <—nach oben—>
<nac
h un
ten>
<––
nach
obe
n -–
>
Behauptung grün + gelb + rot = Ergebnis
Verallgemeinerung
H
2H
H 2Ha
b
<–– nach unten -–> <—nach oben—>
<nac
h un
ten>
<––
nach
obe
n -–
>
Behauptung grün + gelb + rot = Ergebnis
Quadratzahlen und Teilbarkeit durch 4
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