Matemática Financeira
Prezado Aluno,
Sabemos que o público-alvo dos cursos de pós-graduação lato sensu da Fundação
Getulio Vargas é constituído de executivos que buscam atualizar-se nas áreas de
Economia, Gestão e Direito, que são fundamentais para seu desempenho
profissional. Por razões diversas, muitos desses executivos optam pelos cursos a
distância do FGV Online.
Por estarmos atentos, em todos os momentos, à presença do sujeito do aprendizado
– você, nosso aluno –, bem como a suas demandas ao realizar um curso a distância,
elaboramos o material didático dos cursos do FGV Online acreditando que a prática
educativa deve torná-lo apto à auto-aprendizagem, ao autocontrole e à
automotivação.
Cientes da relevância dos materiais e dos recursos multimídia de um curso a distância,
nós, do FGV Online, acreditamos que o trabalho que agora conosco você inicia seja,
de fato, capaz de responder positivamente às mudanças tecnológicas e sociais de
nosso tempo, bem como às suas necessidades e expectativas.
A Coordenação Pedagógica
versão 6 – setembro/2012
Matemática Financeira S U M Á R I O
SUMÁRIO
ABERTURA .................................................................................................................................. 9
APRESENTAÇÃO .......................................................................................................................................................................... 9
OBJETIVO E CONTEÚDO ......................................................................................................................................................... 9
ATIVIDADES ............................................................................................................................................................................... 10
GRADE DE CORREÇÃO DE ATIVIDADES........................................................................................................................... 11
SEÇÕES ........................................................................................................................................................................................ 11
MATERIAL .................................................................................................................................................................................... 12
AVALIAÇÃO ................................................................................................................................................................................ 12
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................................................................... 13
NAVEGAÇÃO .............................................................................................................................................................................. 14
PROGRAMAS E PLUGINS ....................................................................................................................................................... 15
PROFESSOR-AUTOR ................................................................................................................................................................. 15
SUPORTE ..................................................................................................................................................................................... 15
MÓDULO 1 – CONCEITOS BÁSICOS ........................................................................................ 17
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................................ 17
APRESENTAÇÃO ........................................................................................................................................................................ 17
ESTRUTURA DO MÓDULO 1 ................................................................................................................................................ 17
UNIDADE 1 – PRINCÍPIO BÁSICO ........................................................................................................ 17
1.1 PRINCÍPIO BÁSICO ............................................................................................................................................................ 17
1.2 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 18
1.2.1 EXEMPLO .......................................................................................................................................................................... 18
1.2.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 18
1.3 POSSIBILIDADES DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ................................................................................................. 19
1.4 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 19
UNIDADE 2 – VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO ................................................................................ 19
2.1 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 19
2.2 VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO ......................................................................................................................... 20
2.2.1 OPERAÇÃO FINANCEIRA .............................................................................................................................................. 20
2.2.2 OPERAÇÕES FINANCEIRAS E PRAZOS .................................................................................................................... 21
2.3 JUROS E TAXA DE JUROS ............................................................................................................................................... 21
2.3.1 UNIDADE DE MEDIDA ................................................................................................................................................. 21
2.3.1.1 PADRONIZAÇÃO ......................................................................................................................................................... 22
2.4 JUROS SIMPLES ................................................................................................................................................................. 22
2.4.1 EXEMPLO .......................................................................................................................................................................... 22
2.5 JUROS COMPOSTOS ......................................................................................................................................................... 23
2.5.1 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................................................... 23
2.5.2 EVOLUÇÃO DO VALOR COM CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ................... 24
2.6 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 24
2.7 AVALIAÇÃO .......................................................................................................................................................................... 24
2.8 JOGO ...................................................................................................................................................................................... 24
UNIDADE 3 – ATIVIDADES .................................................................................................................. 24
3.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ............................................................................................................................................... 24
3.1.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ............................................................................................................................................ 24
Matemática FinanceiraS U M Á R I O
MÓDULO 2 – JUROS SIMPLES E COMPOSTOS ...................................................................... 25
APRESENTAÇÃO ........................................................................................................................................................................ 25
ESTRUTURA DO MÓDULO 2 ................................................................................................................................................ 25
UNIDADE 1 – JUROS SIMPLES ............................................................................................................. 25
1.1 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 25
1.1.1 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................................................... 26
1.1.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 27
1.1.3 EXEMPLO 3 ...................................................................................................................................................................... 28
1.1.3.1 LISTA DE EXERCÍCIOS ................................................................................................................................................ 28
UNIDADE 2 – OPERAÇÕES COM JUROS SIMPLES .............................................................................. 29
2.1UTILIZAÇÃO DOS JUROS SIMPLES .............................................................................................................................. 29
2.2 TAXAS DE DESCONTO BANCÁRIO .............................................................................................................................. 29
2.3 TAXA DE RENTABILIDADE .............................................................................................................................................. 30
2.3.1 TAXAS DE DESCONTO VERSUS TAXA DE RENTABILIDADE ........................................................................... 30
2.4 DESCONTOS ........................................................................................................................................................................ 30
2.4.1 DESCONTO DE DUPLICATAS ..................................................................................................................................... 30
2.4.2 DESCONTO DE PROMISSÓRIAS ................................................................................................................................ 31
2.4.2.1 FÓRMULA PARA DESCONTO .................................................................................................................................. 31
2.4.2.1.1 CÁLCULO ................................................................................................................................................................... 32
2.4.2.2 FÓRMULA PARA RENTABILIDADE ......................................................................................................................... 32
2.4.2.3 EXEMPLO 1 ................................................................................................................................................................... 33
2.4.2.4 EXEMPLO 2 ................................................................................................................................................................... 34
2.4.2.5 EXEMPLO 3 ................................................................................................................................................................... 34
2.5 LISTA DE EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................................... 35
2.6 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 35
UNIDADE 3 – JUROS COMPOSTOS .................................................................................................... 36
3.1 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 36
3.1.1 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................................................... 37
3.1.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 39
3.1.3 EXEMPLO 3 ...................................................................................................................................................................... 40
3.1.4 EXEMPLO 4 ...................................................................................................................................................................... 42
3.1.5 EXEMPLO 5 ...................................................................................................................................................................... 43
3.2 LISTA DE EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................................... 44
3.3 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 45
3.4 AVALIAÇÃO .......................................................................................................................................................................... 45
3.5 JOGO ...................................................................................................................................................................................... 45
UNIDADE 4 – ATIVIDADES .................................................................................................................. 45
4.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ............................................................................................................................................... 45
GABARITOS ........................................................................................................................................ 56
4.2 ATIVIDADE INDIVIDUAL – ANIMAÇÃO ..................................................................................................................... 67
4.2.1 ATIVIDADE INDIVIDUAL – TAREFA .......................................................................................................................... 67
4.2.2 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO PARA CORREÇÃO ............................................................................................ 68
MATRIZ DE ATIVIDADE INDIVIDUAL .................................................................................................. 69
Matemática Financeira S U M Á R I O
MÓDULO 3 – TAXAS E FLUXOS DE CAIXA EQUIVALENTES .................................................... 71
APRESENTAÇÃO ........................................................................................................................................................................ 71
ESTRUTURA DO MÓDULO 3 ................................................................................................................................................ 71
UNIDADE 1 – TAXAS EQUIVALENTES, NOMINAIS, EFETIVAS E PROPORCIONAIS ............................. 71
1.1 ILUSTRAÇÃO ....................................................................................................................................................................... 71
1.2 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA ............................................................................................................................... 72
1.3 TAXAS EQUIVALENTES .................................................................................................................................................... 72
1.3.1 EQUIVALÊNCIA COM JUROS SIMPLES ................................................................................................................... 73
1.3.1.1 GENERALIZAÇÃO ........................................................................................................................................................ 73
1.3.2 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................................................... 74
1.3.3 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 74
1.3.3.1 RESOLUÇÃO ................................................................................................................................................................. 75
1.3.3.2 CONTINUAÇÃO ........................................................................................................................................................... 76
1.4 OPERAÇÕES COM JUROS SIMPLES ............................................................................................................................. 77
1.5 OPERAÇÕES COM JUROS COMPOSTOS .................................................................................................................... 77
1.5.1 APLICAÇÃO ...................................................................................................................................................................... 78
1.5.1.1 EXEMPLO 1 ................................................................................................................................................................... 79
1.5.1.2 EXEMPLO 2 ................................................................................................................................................................... 80
1.5.1.3 EXEMPLO 3 ................................................................................................................................................................... 82
1.6 LISTA DE EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................................... 83
1.7 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 83
UNIDADE 2 – SÉRIES DE PAGAMENTOS .............................................................................................. 83
2.1 CONCEITOS ......................................................................................................................................................................... 83
2.2 ANUIDADES – PAGAMENTOS IGUAIS ....................................................................................................................... 83
2.2.1 RESOLUÇÃO DE QUESTÕES ....................................................................................................................................... 84
2.3 APRESENTAÇÃO DO EXEMPLO .................................................................................................................................... 84
2.3.1 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................................................... 84
2.3.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 85
2.3.3 EXEMPLO 3 ...................................................................................................................................................................... 86
2.3.4 EXEMPLO 4 ...................................................................................................................................................................... 87
2.3.5 LISTA DE EXERCÍCIOS ................................................................................................................................................... 88
2.4 PERPETUIDADES ................................................................................................................................................................ 88
2.4.1 EXEMPLOS ........................................................................................................................................................................ 88
2.5 RESUMO DAS FÓRMULAS ............................................................................................................................................. 89
2.6 APRESENTAÇÃO DOS EXERCÍCIOS .............................................................................................................................. 89
2.6.1 EXEMPLO 1 ..................................................................................................................................................................... 89
2.6.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 90
2.6.3 EXEMPLO 3 ...................................................................................................................................................................... 90
2.6.4 EXEMPLO 4 ...................................................................................................................................................................... 91
2.6.5 EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................................................... 91
2.7 FLUXOS NÃO UNIFORMES ............................................................................................................................................ 91
2.8 CÁLCULO DE UM VALOR PRESENTE DE UM FLUXO NÃO UNIFORME NA FÓRMULA ........................... 92
2.9 CÁLCULO DE UM VALOR PRESENTE DE UM FLUXO NÃO UNIFORME NA CALCULADORA ................. 92
2.10 PAGAMENTOS BALÃO - PAGAMENTOS INTERMEDIÁRIOS ............................................................................. 93
2.10.1 EXEMPLO ........................................................................................................................................................................ 93
Matemática FinanceiraS U M Á R I O
2.10.2 EXEMPLO 2 .................................................................................................................................................................... 93
2.10.3 EXEMPLO 3 .................................................................................................................................................................... 94
2.10.4 LISTA DE EXERCÍCIOS ................................................................................................................................................ 95
2.11 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 95
UNIDADE 3 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO E EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA ...................... 95
3.1 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMO ............................................................................................................................... 95
3.2 DESAFIO ............................................................................................................................................................................... 96
3.2.1 JOGO .................................................................................................................................................................................. 96
3.3 ESTUDO DE CASO ............................................................................................................................................................. 96
3.3.1 PAGAMENTO NO FINAL .............................................................................................................................................. 97
3.3.2 PAGAMENTO PERIÓDICO ............................................................................................................................................ 98
3.3.3 SISTEMA PRICE ............................................................................................................................................................. 101
3.3.4 SISTEMA SAC ................................................................................................................................................................. 105
3.3.5 SISTEMA SAM ............................................................................................................................................................... 107
3.4 EXEMPLO 1 ........................................................................................................................................................................ 108
3.5 EXEMPLO 2 ................................................................................................................................. 108
3.6 LISTA DE EXERCÍCIOS .................................................................................................................................................... 110
3.7 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 110
3.8 AVALIAÇÃO ........................................................................................................................................................................ 110
3.9 JOGO .................................................................................................................................................................................... 110
3.10 AUTOAVALIAÇÃO .......................................................................................................................................................... 110
3.11 APRESENTAÇÃO DOS EXERCÍCIOS ......................................................................................................................... 110
UNIDADE 4 – ATIVIDADES ................................................................................................................ 110
4.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ............................................................................................................................................. 110
GABARITOS ...................................................................................................................................... 119
MÓDULO 4 – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROJETOS ........................................................ 129
APRESENTAÇÃO ...................................................................................................................................................................... 129
ESTRUTURA DO MÓDULO 4 .............................................................................................................................................. 129
UNIDADE 1 – VPL E TIR ..................................................................................................................... 129
1.1 ILUSTRAÇÃO ..................................................................................................................................................................... 129
1.2 VPL E TIR ............................................................................................................................................................................ 129
1.2.1 VPL .................................................................................................................................................................................... 129
1.2.2 TIR ...................................................................................................................................................................................... 130
1.3 TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE ............................................................................................................................. 131
1.3.1 VALOR PRESENTE DE UM PROJETO ...................................................................................................................... 131
1.3.2 FÓRMULA DO VPL ....................................................................................................................................................... 132
1.4 CÁLCULO DA TIR ............................................................................................................................................................. 132
1.5 CRITÉRIOS PARA O USO DA TIR .................................................................................................................................. 133
1.5.1 EXEMPLO 1 .................................................................................................................................................................... 133
1.5.2 EXEMPLO 2 .................................................................................................................................................................... 133
1.5.3 EXEMPLO 3 .................................................................................................................................................................... 134
1.5.4 EXEMPLO 4 .................................................................................................................................................................... 136
1.5.5 EXEMPLO 5 .................................................................................................................................................................... 137
1.5.6 EXEMPLO 6 .................................................................................................................................................................... 138
Matemática Financeira S U M Á R I O
1.5.7 EXEMPLO 7 .................................................................................................................................................................... 139
1.6 CONCLUSÃO .....................................................................................................................................................................140
1.7 LISTA DE EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................................140
1.8 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 140
1.9 AVALIAÇÃO ........................................................................................................................................................................140
1.10 JOGO .................................................................................................................................................................................140
1.11AUTOAVALIAÇÃO ...........................................................................................................................................................140
1.12 APRESENTAÇÃO DOS EXERCÍCIOS ......................................................................................................................... 140
UNIDADE 2 - ATIVIDADES ................................................................................................................. 141
2.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO .............................................................................................................................................141
GABARITOS ...................................................................................................................................... 153
2.2 ATIVIDADE INDIVIDUAL – DESENHO ANIMADO ................................................................................................162
2.2.1 ATIVIDADE INDIVIDUAL – TAREFA ........................................................................................................................162
2.2.2 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO PARA CORREÇÃO .......................................................................................... 163
MATRIZ DE ATIVIDADE INDIVIDUAL ................................................................................................ 164
MÓDULO 5 – ENCERRAMENTO .............................................................................................. 165
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................................165
ANEXOS ................................................................................................................................... 167
ANEXO 1 ........................................................................................................................................... 167
APRESENTAÇÃO DO TRABALHO PARA CORREÇÃO ....................................................................................................167
ANEXO 2 ........................................................................................................................................... 168
GRADE DE CORREÇÃO DE ATIVIDADES......................................................................................................................... 168
Matemática Financeira A B E R T U R A
9
ABERTURA
APRESENTAÇÃO
Em Matemática Financeira, trataremos dos cálculos que nos permitem manipular valores
financeiros – dinheiro – ao longo do tempo, com o objetivo de fazer comparações consistentes
entre diferentes alternativas de investimentos.
Na prática, trabalharemos com o cálculo do valor de prestações e do saldo devedor de
financiamentos, de modo a identificarmos o melhor financiamento e se um determinado
investimento vai dar lucro ou prejuízo.
Tentaremos ainda determinar a viabilidade econômica de um projeto de investimento, de modo
a sabermos quanto tempo esse projeto demora para dar lucro. Para tal, discutiremos formas para
definir a rentabilidade de um investimento, de modo a selecionar o melhor investimento.
Finalmente, calcularemos quanto precisamos ter hoje para cobrir gastos futuros e quanto
deveremos cobrar de juros para termos lucro. Determinaremos ainda a taxa de juros real e a
efetiva.
Ao optar por fazer o Matemática Financeira, você optou também por participar de um novo
método de ensino – o ensino a distância. Dessa forma, você terá bastante flexibilidade para
realizar as atividades nele previstas. Embora você possa definir o tempo que irá dedicar a este
trabalho, ele foi planejado para ser concluído em um prazo determinado. Verifique sempre, no
calendário, o tempo de que você dispõe para dar conta das atividades nele propostas. Lá, estarão
agendadas todas as atividades, inclusive aquelas a serem realizadas em equipe ou encaminhadas,
em data previamente determinada, ao Professor-Tutor.
OBJETIVO E CONTEÚDO
Em Matemática Financeira, objetivamos apresentar tanto o fundamento teórico quanto a
metodologia necessária para efetuar cálculos financeiros. Buscamos, simultaneamente, oferecer
um treinamento prático, em nível executivo, por meio de exemplos numéricos e de uma série de
exercícios – acompanhados de gabaritos e comentários.
Sob esse foco, a disciplina de Matemática Financeira foi estruturada em cinco módulos, onde
foi inserido o seguinte conteúdo...
Módulo 1 – Conceitos básicos
Neste módulo, mostraremos os fundamentos e os princípios que norteiam a Matemática
Financeira, bem como suas definições e fórmulas fundamentais.
A B E R T U R A Matemática Financeira
10
Módulo 2 – Juros simples e compostos
Neste módulo, veremos como se dá o acompanhamento das aplicações financeiras
disponíveis no mercado, a partir do uso das fórmulas e dos cálculos dos juros com
capitalização simples ou composta.
Módulo 3 – Taxas e fluxos de caixa equivalentes
Neste módulo, trabalharemos com as taxas efetivas e nominais, identificando a
equivalência entre as taxas de juros das transações do mercado, construindo fluxos de
caixa, assim como calculando operações de financiamento a partir dos principais sistemas
de amortização praticados no mercado.
Módulo 4 – Introdução à análise de projetos
Neste módulo, analisaremos dois critérios muito importantes para decidir sobre que
investimento fazer – o valor presente líquido e a taxa interna de retorno.
Módulo 5 – Encerramento
Neste módulo – além da avaliação desse trabalho –, você encontrará um simulado
para avaliar o que você aprendeu durante a disciplina, além de algumas divertidas
opções para testar seus conhecimentos sobre o conteúdo desenvolvido nos módulos
anteriores: caça-palavras, jogo da memória, jogo da caça e jogo do labirinto. Entre neles
e bom trabalho!
ATIVIDADES
Aqui, foram definidos os seguintes tipos de atividades...
Autoavaliação: tarefas constituídas de questões objetivas devidamente gabaritadas,
para que você verifique até que ponto apreendeu o conteúdo tratado no módulo. Por
se tratar de autoavaliações, essas tarefas não serão encaminhadas ao Professor-Tutor e,
delas, não resultará uma nota a ser considerada em sua média final.
Exercícios de fixação: mais elaborados do que as auto-avaliações, o objetivo desses
exercícios é possibilitar que você verifique também o aprendeu sobre o conteúdo de
cada módulo. Todas as questões propostas são gabaritadas e explicadas. Os exercícios
também não devem ser enviados ao Professor-Tutor para correção e, deles, como nas
autoavaliações, não resultará uma nota a ser computada em sua média final.
Matemática Financeira A B E R T U R A
11
Simulado: no módulo de encerramento – para que possa se preparar para a avaliação
presencial desta disciplina – você encontrará um simulado, ou seja, questões, com
gabarito e explicações, em formato semelhante ao de sua prova presencial. Desse
simulado também não resultará uma nota a ser computada em sua média final.
Atividade individual: tarefas individuais, visando à produção de texto escrito
relacionado a questões relevantes inerentes ao conteúdo da disciplina.
GRADE DE CORREÇÃO DE ATIVIDADES
A grade de correção de atividades do Programa FGV Online tem como objetivo minimizar as
discrepâncias e as variações nas avaliações dos trabalhos de uma mesma disciplina nas diferentes
turmas ou cursos.
Do mesmo modo, por meio da grade de correção de atividades, temos a oportunidade de
garantir a transparência do processo de avaliação de nossos alunos.
A grade de correção de atividades é utilizada pelo Professor-Tutor para avaliar...
§ a atividade individual;
§ a participação individual em sala de aula.
É importante que você, ao receber o resultado de uma atividade, analise seu desempenho de
maneira detalhada. Só assim você saberá em que pontos especificamente você precisa melhorar.
A grade de correção de atividades encontra-se no Anexo 2.
SEÇÕES
Aqui você poderá navegar pelas seguintes seções...
desempenho – no site do FGV Online, na área de alunos, você terá acesso aos resultados
das avaliações feitas, podendo, assim, acompanhar o seu desempenho acadêmico, consultando
sempre que desejar a sua área de desempenho.
área de estudos – aqui você terá acesso às disciplinas em que estiver inscrito; aos módulos,
às unidades e às seções, onde está estruturada a parte teórica; às orientações para os trabalhos
individuais e em equipe, e às avaliações.
calendário – para que você possa acompanhar, com tranquilidade, as atividades aqui
propostas, fique atento ao calendário. É justamente neste espaço que serão agendados os
trabalhos a serem realizados individualmente ou em equipe.
A B E R T U R A Matemática Financeira
12
biblioteca virtual – esta área funciona como um centro de recursos multimídia. Neste
espaço, ficarão a sua disposição verbetes, biografias, textos, estudos de caso, indicações de filmes
e sites...
sala de aula – por ser este espaço interativo, você poderá desenvolver trabalhos em
equipe, interagir com os demais participantes da turma e receber um atendimento personalizado
do Professor-Tutor. Pela sala de aula, você poderá acessar ainda a área de...
perfis – onde você poderá registrar seus dados pessoais, assim como saber
quem/como são seus colegas de turma e seu Professor. Este é o espaço reservado
ainda para e-mails.
MATERIAL
Aqui você terá acesso aos seguintes tipos de material, via web...
§ textos teóricos relativos à temática tratada;
§ atividades diversas;
§ jogos didáticos;
§ vídeos e desenhos animados;
§ textos complementares de diversos tipos;
§ biografias das pessoas citadas nos textos;
§ verbetes de termos técnicos, conceitos, processos...
§ links para diversos sites;
§ modelos específicos de documentos.
Todos os direitos reservados. A reprodução não autorizada deste material, no todo ou em parte,
constitui violação do copyright – Lei nº 9.610/98. Em relação às imagens que compõem as diferentes
telas, ou elas foram criadas pelo FGV Online ou foram capturadas no Corel Gallery™Gallery 1.3
Million –, tendo sido a titularidade dos direitos autorais assim definida: Direitos Autorais/Copyright
(c) 1999 FGV Online e seus licenciantes. Em relação aos desenhos animados, eles foram criados pela
AB2 Comunicação e por Rodrigo Padua, a partir de roteiros criados pelo FGV Online.
AVALIAÇÃO
Por estarmos tratando de ensino a distância, aqui não nos preocupamos em utilizar os métodos,
as técnicas e os instrumentos tradicionais de avaliação da aprendizagem. Preocupamo-nos, sim,
em criar mecanismos que nos possibilitem acompanhar seu desempenho, possibilitando ainda
que você possa reelaborar e construir o conhecimento necessário ao aperfeiçoamento que se
propõe a obter.
Ainda por se tratar de ensino a distância, estamos cientes de todas as vantagens e limitações que
um trabalho como este pode apresentar. Das vantagens, não precisamos agora falar. Acreditamos
que você poderá, concretamente, avaliá-las. Das limitações, uma que muito nos incomoda é a
percepção de solidão, que se manifesta pela ausência da sala de aula... pela necessidade do
grupo... pela falta do bate-papo dos intervalos...
Matemática Financeira A B E R T U R A
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Por estarmos conscientes disso, optamos aqui por uma metodologia centrada na interação, na
participação e na autoavaliação.
Considerando essas diretrizes, a avaliação se dará a partir das seguintes atividades...
§ atividade individual (AI): avaliada a partir da escala de 0 a 10.0 pontos;
§ participação e intervenções significativas (PI) nas reuniões síncronas e
assíncronas realizadas: avaliadas na escala de 0 a 2.0 pontos;
§ prova presencial obrigatória (PP), a ser realizada presencialmente, em data
previamente agendada, na sua instituição conveniada: avaliada na escala de 0 a
10.0 pontos.
Sua média online (MO) será assim computada...
MO = [(AI1 + AI2)/2] + PI
*Ressaltamos que a nota máxima da média online será 10.0 pontos. E sua média final será assim
calculada...
MF = (PP X 0,55) + (MO X 0,45)
BIBLIOGRAFIA
JUER, Milton. Matemática financeira. 5ª ed. Rio de Janeiro: Ibmec, 1995.
Livro didático e de referência, de ampla abrangência, com mais de 360 exercícios
resolvidos, inclusive com apoio da calculadora HP 12C, envolvendo as mais variadas
operações, desde uma simples cobrança de mora até amortizações com pagamentos
não uniformes e com incidência de tributação variada. Indicado para alunos de Economia,
Administração e Contabilidade e para profissionais que atuam no mercado financeiro,
ou em outras áreas que, de alguma forma, relacionam-se com a área financeira.
PUCCINI, Abelardo L. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 1999.
Livro bastante conhecido no mercado, já na sexta edição. Apresenta uma seqüência
fácil e objetiva dos tópicos relevantes. O enfoque adotado no livro é o de privilegiar o
aspecto prático, sendo os conceitos demonstrados a partir de exemplos enquadrados
nos padrões adotados pelas Tabelas Financeiras, pela Calculadora HP-12 e pela Planilha
Eletrônica Excel. O livro apresenta também um apêndice específico para o aprendizado
do uso da calculadora HP 12C.
ZENTGRAF, Roberto. Matemática financeira objetiva. Rio de Janeiro: Zentgraf Consultoria e
Treinamento, 1997.
Apresenta um conteúdo atualizado aliado ao uso da moderna tecnologia de informática.
É um livro tecnicamente rigoroso, porém aplicado, voltado para as necessidades dos
alunos e dos profissionais com interesse em mercado de capitais e finanças.
A B E R T U R A Matemática Financeira
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NAVEGAÇÃO
O Moodle é um sistema de aprendizado baseado na web, criado para atividades individuais, em
equipe ou orientadas por um Professor-Tutor. Todo o trabalho on-line é feito por meio de um
browser.
A maioria das atividades é inserida na área de estudos. Desta seção, você poderá se dirigir a
outras seções, tais como a sala de aula – para interagir com seu Professor-Tutor – ou a biblioteca
virtual – para ler ou consultar um material.
Para exibir as disciplinas nas quais você já está inscrito, clique no botão . A seguir, clique na
disciplina que lhe interessa para exibir seu conteúdo programático na janela à direita. Nesta
seção, você acessará o conteúdo teórico disponibilizado e as atividades propostas. Para acessar a
biblioteca virtual, clique em , na barra de ferramentas.
Para realizar, adequadamente, esta disciplina, você deverá observar a seqüência em que as seções
foram organizadas. Para isso, fique atento, ao final de cada seção, às seguintes possibilidades de
navegação...
§ navegação a partir dos botões específicos da disciplina, localizados na barra de
ferramentas, na base das telas;
§ navegação a partir da função back/retorna do browser.
Para acompanhar a seqüência de telas, em qualquer seção, é suficiente clicar no botão ,
localizado na base de cada tela.
Por meio dos botões que aparecem na barra inferior de tarefas, você poderá se locomover,
livremente, revendo textos, exercícios...
Na base da tela, você encotra uma barra de controle...
Arrastando este botão, você controla o ritmo da tela.
Quando você encontrar palavras sublinhadas, você terá a opção de clicar sobre elas para ter
acesso a mais informações sobre seu conteúdo. Ao final, basta clicar no botão da caixa aberta
para fechá-la.
Ao final de algumas seções, indicamos alguns materiais que complementam o conteúdo que
está sendo trabalhado.
Clique no ícone para acessar as informações disponibilizadas. Algumas palavras aparecem
marcadas na tela. Clique nelas para ter acesso a mais informações sobre seu conteúdo. Ao terminar
qualquer consulta a esses materiais complementares, clique em back/retorna, na barra superior
de ferramentas do browser.
Matemática Financeira A B E R T U R A
15
PROGRAMAS E PLUGINS
Para que você possa usufruir de todos os recursos aqui disponibilizados, é necessário que você
tenha instalados, em seu micro, alguns programas e plugins. São eles...
§ Zip Central – programa necessário à descompactação dos arquivos em Word;
§ Adobe Acrobat Reader – programa que possibilita a visualização dos arquivos criados
pelo Adobe Acrobat;
§ Flash Player – plugin que possibilita a visualização das animações criadas em flash;
§ Windows Media Player – programa que permite a recepção de aúdios e vídeos.
PROFESSOR-AUTOR
José Carlos Abreu é Doutor em Finanças pelo Departamento de
Engenharia Industrial da PUC, Rio de Janeiro. É Mestre em Business
Administration pela Columbia University, Nova Iorque. Engenheiro
Eletrônico pela Universidade de Brasília, atuou como consultor do BCG
Consulting Group New York entre 1992 e 1993, e do General Manager da
Unipac Trading Company, Los Angeles, entre 1989 e 1992. Atualmente,
é consultor financeiro de empresas. Atua também como Professor do
Mestrado da EBAP-FGV e como Professor de cursos de Pós-Graduação lato sensu da FGV. É um dos
Coordenadores Acadêmicos do MBA em Administração de Empresas do FGV Online.
SUPORTE
Caso você tenha qualquer dúvida sobre questões administrativas ou financeiras, em relação a
pagamento, trancamento, emissão de boleto, etc., entre em contato com a Secretaria Acadêmica
dos cursos do FGV Online pelo e-mail [email protected] ou pelo telefone (21) 3799-4770.
Caso sua dúvida seja sobre a utilização do programa, clique no ícone , na barra de ferramentas.
Nesse momento, será aberta uma janela de ajuda com vários itens. Selecione aquele a que se
refere sua questão. Caso não consiga esclarecê-la, entre em contato com o suporte técnico do
FGV Online, pelo e-mail [email protected] ou pelo telefone (21) 3799-4770...
§ de segunda a sexta-feira, das 9h às 22h30min;
§ aos sábados e aos domingos, das 9h às 18h.
Lembre-se...
Estamos aqui, no FGV Online, prontos para ajudá-lo a realizar bem este trabalho!
Bom trabalho...
Matemática Financeira M Ó D U L O 1
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MÓDULO 1 – CONCEITOS BÁSICOS
INTRODUÇÃO
A transformação do valor do dinheiro no tempo só pode ser feita a partir da fixação dos juros, ou
seja, do custo do dinheiro ao longo do prazo...
Vamos começar com um desenho animado? Acesse-o, no ambiente on-line. São só 3
minutos...
Leia, no ambiente on-line, parte de um arquivo que mostra, de forma clara, a
transformação do valor do dinheiro no tempo...
APRESENTAÇÃO
Em Matemática Financeira, trataremos dos cálculos que nos permitem manipular valores
financeiros – dinheiro – ao longo do tempo, com o objetivo de fazer comparações consistentes
entre diferentes alternativas de investimentos.
Na prática, trabalharemos com o cálculo do valor de prestações e do saldo devedor de
financiamentos, de modo a identificarmos qual o melhor financiamento e se um determinado
investimento vai dar lucro ou prejuízo.
Inserimos, ao final do módulo, uma bateria de exercícios de fixação, para que você possa neles
aplicar o conteúdo aqui tratado. Mais ainda... esses exercícios foram organizados por grau crescente
de dificuldade.
Lembre-se... na base da tela de cada exercício, disponibilizamos links, para que você possa acessar
tanto a calculadora financeira quanto o gabarito e as explicações para esta questão.
ESTRUTURA DO MÓDULO 1
Este primeiro módulo tem apenas duas unidades: princípio básico e valor do dinheiro no
tempo.
Vamos para a primeira?
UNIDADE 1 – PRINCÍPIO BÁSICO
1.1 PRINCÍPIO BÁSICO
A Matemática Financeira é uma ferramenta que nos auxilia a tomar decisões financeiras ótimas.
Uma decisão financeira ótima é aquela que visa à maximização da riqueza dos investidores. E essa
riqueza se estabelece a partir do valor do dinheiro no tempo... R$ 1,00 hoje vale mais do que R$
1,00 no futuro.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 1
18
1.2 CONCEITUAÇÃO
Partindo da premissa de que existem aplicações financeiras disponíveis – poupança, renda fixa,
títulos do governo... – podemos hoje aplicar R$ 1,00 e, no futuro, teremos esse R$ 1,00 mais os
juros referentes a essa aplicação.
São justamente os juros que remuneram a aplicação de nosso dinheiro ao longo do tempo. Assim,
se aplicamos R$ 100,00 a uma taxa de juros de 10% ao mês, ao final de um mês de aplicação,
teremos R$ 110,00.
Logo...
§ R$ 100,00 hoje equivalem a R$ 110,00 daqui a um mês;
§ R$ 100,00 hoje não são a mesma coisa que R$ 100,00 daqui a um mês.
Receber R$ 100,00, hoje, vale mais do que receber R$ 100,00 daqui a um mês.
1.2.1 EXEMPLO
Suponha que você esteja vendendo uma impressora antiga por R$ 100,00. Você recebe duas
propostas...
§ proposta A: pagamento à vista de R$ 100,00;
§ proposta B: pagamento de R$ 105,00 daqui a um mês.
O que é melhor?
§ Receber R$ 100,00 hoje?
§ Receber R$ 105,00 daqui a um mês?
Ora, se a taxa de juros para aplicações é 10% ao mês, você deve preferir receber os R$ 100,00 à
vista – proposta A –, pois poderá aplicá-los e, em um mês, terá R$ 110,00, que valem mais do que
os R$ 105,00 da proposta B.
1.2.2 EXEMPLO 2
Vejamos um outro exemplo para essa mesma situação. Suponha agora que você receba uma
terceira proposta para esse equipamento...
§ proposta C: pagamento de R$ 120,00 daqui a um mês.
E agora, o que é melhor?
Veja...
Se a taxa de juros para aplicações é 10% ao mês, você deve preferir receber os R$
120,00 daqui a um mês – proposta C –, pois, se você aceitar a proposta A – R$ 100,00
hoje – e aplicar o que recebeu, você terá, ao fim de um mês, R$ 110,00, que valem
menos do que estaria recebendo pela proposta C.
Matemática Financeira M Ó D U L O 1
19
1.3 POSSIBILIDADES DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
A Matemática Financeira trata dos cálculos que nos permitem manipular valores financeiros –
dinheiro – ao longo do tempo, com o objetivo de fazer comparações consistentes entre diferentes
alternativas de investimentos.
Na prática, a Matemática Financeira é uma ferramenta que nos permite...
§ calcular o valor de uma prestação;
§ calcular o saldo devedor de um financiamento;
§ decidir qual o melhor financiamento dentre vários;
§ verificar se um determinado investimento vai dar lucro ou prejuízo;
§ verificar se é melhor alugar ou comprar um equipamento;
§ saber quanto devemos poupar mensalmente para atingir um determinado objetivo;
§ saber o lucro que teremos em uma operação financeira;
§ verificar a viabilidade econômica de um projeto de investimento;
§ saber quanto tempo um projeto demora para dar lucro;
§ saber quanto deveríamos ter hoje para cobrirmos gastos futuros;
§ definir quanto devemos cobrar de juros para ter lucro;
§ determinar qual é a taxa de juros real e efetiva que estamos pagando/recebendo;
§ determinar a rentabilidade de um investimento;
§ escolher qual é o melhor investimento dentre vários.
1.4 SÍNTESE
Acesse, no ambiente on-line, a síntese desta unidade.
UNIDADE 2 – VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
2.1 CONCEITUAÇÃO
Partimos da premissa de que existem inúmeros investimentos disponíveis – poupança, renda
fixa... – que podem ser realizados por qualquer investidor que disponha de capital. Sabemos
ainda que todo o capital aplicado, em qualquer investimento, recebe uma remuneração que
pode ser maior ou menor, dependendo do tipo de investimento feito.
Todo capital parado e não investido – que não está sendo remunerado – perde o que poderia
estar recebendo sob a forma de juros, o que configura uma medida de custo de oportunidade
perdido.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 1
20
2.2 VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO
Em princípio, estamos todos no tempo presente. Quando recebemos ou aplicamos algum valor
hoje... agora... neste instante... isso significa que este valor é o valor presente.
Quando vamos receber ou pagar ou aplicar algum valor no futuro, no ano que vem, no mês que
vem... isso significa que tal valor é o valor futuro.
Como a Matemática Financeira baseia-se, fundamentalmente, em convenções, um valor
considerado futuro – VF – pode ser também um valor presente – VP – em relação a outro valor
alocado mais no futuro.
2.2.1 OPERAÇÃO FINANCEIRA
Sabemos também que, em toda operação financeira, existem pelo menos dois lados...
§ o lado do investidor ou emprestador;
§ o lado do tomador.
Assim, quando depositamos algum dinheiro na poupança, nós somos o investidor; a instituição do
depósito é o tomador, que recebe nosso investimento.
Se depositamos hoje – saída de caixa – um valor presente – também chamado de principal –,
esperamos receber futuramente – entrada de caixa – um valor futuro, que deve ser igual à soma
de nosso investimento inicial – valor presente – com os juros dessa aplicação.
Operação financeira é o nome genérico que o mercado utiliza para referir-se
a operações de empréstimos, financiamentos, desconto antecipado de duplicatas,
aplicação em fundos de investimentos e outros. Em resumo, são as transações que
efetuamos no dia a dia, sejam de aplicação ou de captação de recursos.
O Valor Presente é usualmente representado por VP. Nas calculadoras
financeiras, é comum encontrarmos a sigla PV – Presente Value. Há ainda autores
que preferem se referir ao VP como capital inicial, Principal ou, simplesmente, P.
O Valor Futuro é usualmente representado por VF. Nas calculadoras
financeiras, é comum encontrarmos a sigla FV – Future Value. Há ainda autores
que preferem se referir ao VF como montante – S –, data futura ou,
simplesmente, F.
VF
Matemática Financeira M Ó D U L O 1
21
2.2.2 OPERAÇÕES FINANCEIRAS E PRAZOS
Visando à padronização dos prazos, comerciantes medievais adotaram algumas regras
simplificadoras dos cálculos, criando o mês e o ano comerciais.
Segundo a convenção adotada, o mês comercial tem 30 dias, enquanto o ano, por ser decomposto
em exatos 12 meses, tem, portanto, 360 dias.
2.3 JUROS E TAXA DE JUROS
Juro é o valor que se paga ao investidor por sua aplicação – investimento – durante um determinado
período de tempo, ou seja, com um prazo determinado.
Para calcularmos os juros, precisamos da taxa de juros pactuada entre as partes, do valor da
operação e do prazo.
Por exemplo, se a taxa de juros é 10% ao ano e o valor da operação é R$ 1.000,00, então os juros
relativos a um ano de aplicação serão de R$ 100,00.
2.3.1 UNIDADE DE MEDIDA
As taxas de juros são apresentadas sempre em referência a uma unidade de tempo: ano, semestre,
trimestre, mês, dia.
Logo...
§ 12% ao ano = 12% a.a.;
§ 10% ao mês = 10% a.m.
Os economistas ainda definem juros como sendo a remuneração do uso do
fator capital financeiro. O conceito de juros também pode ser entendido como...
§ o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, o custo do
capital de terceiros colocado a nossa disposição;
§ a remuneração do capital empregado em atividades produtivas ou
ainda a remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital
nelas aplicado;
§ o aluguel do capital alheio.
A taxa de juros, como indica o próprio nome, é uma TAXA, geralmente
expressa em base percentual, por exemplo, 10% ao ano.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 1
22
Assim...
Um capital de R$ 10.000,00, aplicado a uma taxa de juros de 8% a.a., proporcionará, no
final de 1 ano, um total de juros. Qual é esse total?
Esse total será de...
8% de 10.000,00 = (8 / 100) x 10.000,00 = R$ 800,00
2.3.1.1 PADRONIZAÇÃO
Ao efetuarmos cálculos com taxas de juros, devemos sempre adotar uma única unidade de
tempo. Se temos as taxas de juros em anos e o número de períodos em meses, devemos colocar
o tempo em anos, ou então colocar os juros em meses.
Retornando ao problema anterior...
Um capital de R$ 10.000,00, aplicado a uma taxa de juros de 8% a.a., proporcionará, no
final de 12 meses, um total de juros. Qual é esse total?
Para calcular esse total, devemos transformar, inicialmente, o prazo de 12 meses em seu equivalente
anual – 1 ano. Teremos, então, a taxa de juros e o tempo da aplicação na mesma unidade de
tempo, isto é, em anos.
Teremos, então...
8% de 10.000,00 = (8 / 100) x 10.000,00 = R$ 800,00
2.4 JUROS SIMPLES
Os juros são, normalmente, classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de
cálculo utilizado. Entendemos como juros simples aqueles calculados em função do capital inicial.
Juros com capitalização simples...
Juros que incidem sobre o valor inicial de um empréstimo. Em outras palavras, sobre os
juros não pagos, não incide cobrança / pagamento de juros.
2.4.1 EXEMPLO
Se você aplicou R$ 100,00 em CDB – aplicação que lhe renderá juros simples com taxa
de 10% a.a. –, veja o saldo dessa aplicação ao final de 4 anos...
Matemática Financeira M Ó D U L O 1
23
Ano Saldo Taxa Base para Juros do Saldo
(início do ano) (juros) cálculo período (final do ano)
1 R$100,00 10% R$100,00 R$10,00 R$110,00 (p/ próx. ano)
2 R$110,00 10% R$100,00 R$10,00 R$120,00 (p/ próx. ano)
3 R$120,00 10% R$100,00 R$10,00 R$130,00 (p/ próx. ano)
4 R$130,00 10% R$100,00 R$10,00 R$140,00 (p/ final)
Aqui, existe uma outra variável a considerar. Esse banco não permite que o aplicador retire os juros
de cada período. Assim, apesar de os juros estarem à disposição do banco, eles nunca foram
remunerados.
Caso esse banco permitisse que o investidor retirasse os juros – ainda que continuasse a não
remunerar os juros remanescentes –, você passaria a ter uma entrada nova de capital por conta da
eventual aplicação que pudesse fazer com os juros recebidos em outra instituição financeira.
Neste caso, você estaria recebendo os juros dessa nova aplicação sobre a aplicação dos juros.
Seria um caso de juros compostos.
2.5 JUROS COMPOSTOS
Nesta categoria, os juros de cada período são calculados sempre em função do saldo existente no
início de cada respectivo período.
2.5.1 EXEMPLO 1
Se você aplicou R$ 100,00 em CDB – aplicação que lhe renderá juros compostos a
uma taxa de 10% a.a. –, veja o saldo dessa aplicação ao final de 4 anos...
Ano Saldo Taxa Base para Juros do Saldo
(início do ano) (juros) cálculo período (final do ano)
1 R$100,00 10% R$100,00 R$10,00 R$110,00
2 R$110,00 10% R$110,00 R$11,00 R$121,00
3 R$121,00 10% R$121,00 R$12,10 R$133,10
4 R$133,10 10% R$133,10 R$13,31 R$146,41
Em 4 anos, já podemos notar a diferença entre uma capitalização de juros simples e uma de juros
compostos.
Juros com capitalização composta...
Juros que são calculados sobre o saldo devedor de um empréstimo, que
inclui o principal e os juros ainda não pagos, a cada período. Em outras
palavras, juros que incidem sobre os juros devidos e não pagos.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 1
24
2.5.2 EVOLUÇÃO DO VALOR COM CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Veja a evolução do valor de R$ 100,00, aplicado por 20 anos, a uma taxa de 10% ao ano, com
capitalização simples e com capitalização composta...
Repare... Aplicações com juros simples evoluem linearmente...Quando os juros são compostos, a
evolução é exponencial.
2.6 SÍNTESE
Acesse, no ambiente on-line, a síntese desta unidade.
2.7 AVALIAÇÃO
Acesse, no ambiente on-line, a avaliação deste módulo.
2.8 JOGO
Acesse, no ambiente on-line, um jogo sobre o conteúdo deste módulo.
UNIDADE 3 – ATIVIDADES
3.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Alguém tem alguma dúvida?! Então vamos aos exercícios de fixação!
3.1.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Não deixe de resolver os exercícios de fixação propostos no ambiente on-line.
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
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MÓDULO 2 – JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
APRESENTAÇÃO
Neste módulo, veremos como se dá o acompanhamento das aplicações financeiras disponíveis
no mercado, a partir do uso das fórmulas e dos cálculos dos juros com capitalização simples ou
composta.
Inserimos, ao final do módulo, uma bateria de exercícios de fixação, para que você possa neles
aplicar o conteúdo aqui tratado. Mais ainda... esses exercícios foram organizados por grau crescente
de dificuldade.
Lembre-se... na base da tela de cada exercício, disponibilizamos links, para que você possa acessar
tanto a calculadora financeira quanto gabarito e as explicações para esta questão.
ESTRUTURA DO MÓDULO 2
Você já teve uma visão geral sobre os juros simples e compostos. Vejamos isso, agora, de forma
mais detalhada.
Este módulo está estruturado em duas unidades: juros simples e juros compostos.
Pronto para começar?
Temos bastante trabalho pela frente!
UNIDADE 1 – JUROS SIMPLES
1.1 CONCEITUAÇÃO
Hoje, quando você investe determinado valor presente – VP, também chamado de principal –, a
uma determinada taxa de juros i, por um prazo n, você espera receber no futuro um valor futuro
– VF – que deve ser igual a seu principal mais os juros.
Os juros simples são calculados como sendo o produto entre o valor principal (VP), a taxa de juros
(i) e o prazo (n)...
Juros com capitalização simples...
Juros que incidem sobre o valor inicial de um empréstimo. Em outras
palavras, sobre os juros não pagos não incide cobrança de juros.
Juros = VP x i x n
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
26
Fórmulas já utilizadas
Juros simples...
Juros = VP x i x n
VF = VP + VP x i x n
VF = VP + VP x i x n
A fórmula que relaciona valor presente VP, taxa de juros i, prazo n e valor futuro VF é...
Essa fórmula mostra que...
Valor Futuro = Valor Presente + Juros
Onde...
§ VP é o valor presente inicial;
§ VF é o valor futuro;
§ i é a taxa de juros – abreviatura que vem do inglês interest;
§ n é o prazo da aplicação – número de períodos.
1.1.1 EXEMPLO 1
Suponha que você ligue para o seu banco querendo aplicar R$ 100,00, a uma taxa de 10% ao mês,
pelo prazo de 1 mês. Quanto você deverá receber de juros?
VP = 100
i = 0,1
n = 1
Aplicando a fórmula... Juros = VP x i x n
Substituindo os valores e calculando... Juros = 100 x 0,1 x 1
Obtemos... Juros = 10
E com quanto você ficaria ao final da operação?
Aplicando a fórmula... VF = VP + Juros
Substituindo os valores e calculando... VF = 100 + 10
Obtemos... VF = 110
Lembre-se de que a taxa de juros normalmente é expressa em base
percentual, 10%. Para colocarmos esse valor na fórmula, devemos utilizar a taxa de
juros em base decimal, isto é, 0,1.
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
27
1.1.2 EXEMPLO 2
Após somar todas as vendas, você verificou que o bazar beneficente realizado com sua amiga
rendeu R$100,00. Por ela ter um perfil conservador, sugeriu que você aplicasse esse dinheiro a
uma taxa de juros simples de 2% ao mês, durante dois anos. Qual seria o valor futuro obtido ao
final dessa operação?
A partir do enunciado e das conversões que devem ser feitas, temos o seguinte...
VP = 100
i = 0,02
n = 24
VF = ?
§ temos de colocar a taxa de juros em base decimal, em que 2% equivalem a 0,02.
§ você deve transformar o tempo expresso em anos para meses, ou seja, você deve
demarcar o tempo – duração do investimento – como 24 meses, já que a taxa de
juros está expressa em meses;
Aplicando a fórmula... VF = VP + VP x i x n
Substituindo os valores... VF = 100 + 100 x 0,02 x 24
Calculando... VF = 100 + 48
Obtemos... VF = 148
Obs.: Alternativamente, você poderia resolver esse mesmo problema – juros simples –
representando a taxa de juros em anos – no lugar de transformar o período da operação de anos
para meses. Para fazer isso, bastaria multiplicar a taxa mensal por 12, já que o ano tem 12 meses.
Lembre-se de que para efetuarmos os cálculos, a taxa de juros deve estar
na mesma unidade de tempo que os períodos de aplicação.
Por exemplo, se você tem uma taxa de juros simples de 10% ao mês, sua
aplicação deve estar explicitada em meses.
Lembre-se de que as operações de multiplicação e divisão devem ser feitas
antes das operações de soma e subtração.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
28
Inicialmente, você deve transformar a taxa fornecida em meses para anos, de forma a fazê-la
concordar com a mesma unidade de tempo do período da aplicação. Fazendo as contas, obtemos
a taxa anual como sendo 2% x 12 = 24% ao ano. Não se esqueça de colocar a taxa de juros em
base decimal, ou seja, 24% são 0,24 em decimal.
Aplicando a fórmula... VF = VP + VP x i x n
Substituindo os valores... VF = 100 + 100 x 0,24 x 2
Calculando... VF = 100 + 48
Obtemos... VF = 148
Somente quando estamos tratando de juros simples, a conversão da taxa de meses para anos
pode ser feita dessa maneira.
1.1.3 EXEMPLO 3
Daqui a um ano, você precisará ter R$ 1.200,00. Considerando que você tenha conseguido uma
aplicação cuja taxa de juros seja de 20% ao ano, no regime de juros simples, quanto você
precisaria aplicar hoje?
VF = 1.200
n = 1
i = 0,2
VP = ?
Aplicando a fórmula... VF = VP + VP x i x n
Substituindo os valores... 1.200 = VP + VP x 0,2 x 1
Calculando... 1.200 = VP + 0,2 VP
Substituindo... 1.200 = 1,2 VP
Trocando de lado... 1,2 VP = 1.200
Dividindo ambos os lados por 1,2... VP = 1.200 / 1,2
Obtemos... VP = 1.000
1.1.3.1 LISTA DE EXERCÍCIOS
Acesse, no ambiente on-line, a lista de exercícios desta unidade.
Lembre-se de que a taxa de juros normalmente é expressa em base
percentual, 20%. Para colocarmos esse valor na fórmula, devemos utilizar a taxa de
juros em base decimal, isto é, 0,2.
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
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UNIDADE 2 – OPERAÇÕES COM JUROS SIMPLES
2.1UTILIZAÇÃO DOS JUROS SIMPLES
O conceito de juros que vimos até agora (Juros = VF - VP) não muda...
A mudança se dá na fórmula que relaciona as variáveis VF, VP, i e n... Veja...
Conforme vimos anteriormente, os juros correspondem à diferença entre o
valor futuro e o valor presente de um investimento. Logo...
A fórmula que relaciona valor presente VP, taxa de juros i, prazo n e valor futuro
VF, quando tratamos de capitalização composta, é...
2.2 TAXAS DE DESCONTO BANCÁRIO
As taxas de desconto bancário, na maioria das vezes, são expressas em termos de juros, com
capitalização simples, salvo indicação em contrário dos bancos ou dos exercícios que iremos
fazer.
Os juros que ocorrem nos prazos comerciais são chamados de juros comerciais. Essas operações
não costumam considerar os juros exatos.
Juros exatos são os que levam em consideração os dias, os meses e os anos civis.
Assim como existem as taxas de desconto, existem as taxas de rentabilidade...
Juros = VF - VP
VP é o valor presente inicial
i é a taxa de juros
n é o prazo da aplicação
VF é o valor futuro.
VF = VP (1 + i)n
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
30
2.3 TAXA DE RENTABILIDADE
A taxa de rentabilidade i é aplicada sobre o valor presente, durante n períodos, para produzir o
valor futuro. Por outro lado, a taxa de desconto D é aplicada sobre o valor futuro, durante n
períodos, para obtermos o valor presente.
Essas relações podem ser representadas da seguinte forma...
2.3.1 TAXAS DE DESCONTO VERSUS TAXA DE RENTABILIDADE
Quando falamos em ir ao banco para aplicar, hoje, um valor de R$ 100,00, a uma taxa de 10% de
juros simples ao ano, para obtermos um valor futuro de R$ 110,00 daqui a 1 ano, estamos falando
em taxa de rentabilidade.
Assim...
10% de 100,00 são 10,00, pois a rentabilidade é calculada sobre VP.
Quando falamos em ir ao banco para realizar uma operação de desconto de um título – duplicatas,
por exemplo –, com valor futuro de R$ 110,00 daqui a 1 ano, a uma taxa de 10% de juros simples
ao ano, para obter, hoje, o valor de R$ 99,00, estamos falando em taxa de desconto.
Assim...
10% de 110,00 são 11,00, pois o desconto é calculado sobre VF.
2.4 DESCONTOS
O conceito de taxas de desconto bancário normalmente é utilizado nas operações bancárias de...
§ desconto de duplicatas;
§ desconto de promissórias.
2.4.1 DESCONTO DE DUPLICATAS
Quando uma empresa vende uma mercadoria, ela emite uma nota fiscal. De acordo com a lei,
essa nota fiscal deve ter algumas vias – cópias eletrônicas ou de papel...
§ uma via acompanha a mercadoria vendida e fica com o comprador;
§ a segunda permanece com o vendedor e é encaminhada para a contabilidade da
empresa que vendeu a mercadoria;
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
31
§ uma terceira via deve permanecer fixada ao talão de notas fiscais;
§ dependendo da legislação em vigor, podem ser exigidas ainda outras vias.
Caso essa empresa necessite de dinheiro, os bancos podem adiantar-lhe os valores que ela tem
a receber de seus compradores. Na verdade, o que o banco faz é adiantar os pagamentos que ela
tem a receber dos clientes na data estabelecida para esses pagamentos.
Denominamos esse processo de desconto de duplicata. Obviamente, o banco cobra uma taxa por
esse adiantamento. Ele cobra esse valor adiantado, liberando para a empresa – vendedora da
mercadoria, que está descontando a duplicata – um valor menor que o valor do pagamento a ser
feito no futuro pelo comprador da mercadoria.
Veja, no ambiente on-line, um caso de desconto de duplicatas...
2.4.2 DESCONTO DE PROMISSÓRIAS
O conceito de desconto de promissórias é o mesmo do de desconto de duplicatas. Uma promissória
é um instrumento de confissão de dívida.
O emitente da promissória é aquele que a assina, reconhecendo que deve e que vai pagar
determinado valor em data fixada neste mesmo documento.
Vimos, até aqui, que o conceito de desconto é diferente do de rentabilidade. Será que existe,
então, alguma fórmula específica para calcularmos o desconto? Vejamos a seguir...
2.4.2.1 FÓRMULA PARA DESCONTO
Você aplicou R$ 100,00, a uma taxa de 10% ao mês, por 1 mês. Qual deverá ser o valor futuro que
você vai receber ao final da aplicação?
Aplicando a fórmula... Valor futuro = Valor presente + Juros
Desdobrando-a em... VF = VP + (VP x i x n)
Substituindo os valores... VF = 100 + (100 x 0,1 x 1)
Calculando... VF = 100 + 10
Obtemos... VF = 110
Vamos analisar a lógica desta fórmula...
Valor futuro = Valor presente + Juros
Juros = VP x i x n
VF = VP + (VP x i x n)
A diferença entre o valor liberado hoje e o valor a receber no futuro são os
juros da operação de desconto de duplicatas. Esse é o retorno que o banco obtém
por adiantar – emprestar – recursos a quem deles está necessitando agora.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
32
2.4.2.1.1 CÁLCULO
Como os juros para desconto de títulos são calculados sobre o valor futuro, devemos registrar...
Juros (desconto) = VF x i x n
E como o valor que vamos receber hoje – VP – é igual ao valor futuro – VF – menos os juros
descontados, devemos registrar...
Valor presente = VF - Juros
Substituindo uma fórmula por outra para chegarmos à fórmula para desconto, teremos...
Juros (desconto) = VF x i x n
Aplicando a fórmula do valor presente após o desconto e substituindo os juros na fórmula do VP...
VP = VF - VF x i x n
Colocando VF em evidência...
VP = VF (1 - i x n) g fórmula do desconto
2.4.2.2 FÓRMULA PARA RENTABILIDADE
Vamos analisar a lógica desta fórmula...
Nossa primeira fórmula de juros simples já é uma fórmula baseada no conceito de rentabilidade...
VF = VP + (VP x i x n)
De qualquer maneira, colocando VP em evidência, ficamos com uma fórmula visualmente
semelhante à do desconto...
VF = VP (1 + i x n) g fórmula da rentabilidade
Fórmulas já utilizadas
Juros simples...
Juros = VP x i x n
VF = VP + VP x i x n
Fórmula do desconto bancário (capitalização simples)
VP = VF (1 - i x n)
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
33
2.4.2.3 EXEMPLO 1
Você vendeu hoje uma mercadoria a um cliente por R$ 10.000,00, com pagamento acertado para
daqui a 2 meses – 60 dias. Contudo, ainda hoje, antes de partir para uma viagem ao Japão, você
precisa de dinheiro para fechar a folha de pagamentos de sua empresa. Você decide ir ao Banco
Forte e descontar a duplicata relativa a essa venda.
Suponha que o gerente do Banco Forte lhe informe que a taxa de desconto está fixada em 3% ao
mês, a juros simples. Quanto você vai receber, se descontar essa duplicata?
A partir do enunciado, percebemos o seguinte...
§ tenho de usar a fórmula de desconto;
§ o valor que tenho a receber no futuro é R$10.000,00.
VF = 10.000
n = 2
i = 0,03
Aplicando a fórmula... VP = VF (1 - i x n)
Substituindo os valores... VP = 10.000 (1 - 0,03 x 2)
Calculando... VP = 10.000 (0,94)
Obtemos... VP = 9.400
O valor a receber hoje é R$ 9.400,00.
Se você vai receber hoje R$ 9.400,00 por essa operação, qual é a taxa de rentabilidade do Banco
Forte?
Fórmulas já utilizadas
Juros simples...
Juros = VP x i x n
VF = VP + VP x i x n
Fórmula do desconto bancário (capitalização simples)
VP = VF (1 - i x n)
Fórmula da rentabilidade
VF = VP (1 + i x n)
Temos de colocar a taxa de juros em base decimal. Assim, 3% equivalem a 0,03.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
34
2.4.2.4 EXEMPLO 2
Se você vai receber hoje R$ 9.400,00 por essa operação, qual é a taxa de rentabilidade do Banco
Forte?
VF = 10.000
VP = 9.400
n = 2
i = ?
Aplicando a fórmula da rentabilidade... VF = VP (1 + i x n)
Substituindo os valores... 10.000 = 9.400 (1 + i x 2)
Calculando... 10.000 = 9.400 + 18.800 i
Invertendo ambos os termos... 9.400 + 18.800 i = 10.000
Passando 9.400 para o outro lado... 18.800 i = 10.000 - 9.400
Passando 18.800 para o outro lado... i = (10.000 - 9.400) / 18.800
Obtemos... i = 0,03191
A taxa de rentabilidade do Banco Forte, a juros simples, é de 3,19% ao mês.
2.4.2.5 EXEMPLO 3
Um banco comercial realiza operações de desconto de notas promissórias de acordo com os
seguintes critérios, a juros simples...
§ o prazo da operação é de 3 meses;
§ a taxa cobrada pelo banco é de 2% ao mês, ou seja, de 6% ao trimestre;
§ os juros são pagos antecipadamente.
Assim, se o cliente desejar realizar uma operação de R$ 100.000,00, deverá assinar uma nota
promissória nesse valor com vencimento para 3 meses. Os dados dessa operação podem, então,
ser assim resumidos...
§ valor liberado hoje pelo banco: R$ 94.000,00;
§ prazo n da operação: 3 meses;
§ valor a ser pago no final do terceiro mês: R$ 100.000,00;
§ a taxa de desconto é de 2% ao mês, com juros simples.
Como os juros da operação serão de 6% de R$100.000,00, isto é,
R$ 6.000,00, o valor líquido recebido pelo cliente, na data da operação, será de R$
94.000,00, uma vez que os juros são pagos antecipadamente.
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
35
Em referência à taxa de 2,00% a.m., podemos destacar...
§§§§§ ela é conhecida como taxa de desconto bancário, pois, ao ser aplicada sobre o
montante – VF – de R$100.000,00, determinará um desconto mensal de R$2.000,00.
Esses descontos mensais de R$2.000,00, por sua vez, ao serem acumulados por 3
meses, proporcionarão um desconto total de R$6.000,00 e, com isso, transformarão
o montante de R$100.000,00 em R$ 94.000,00;
§§§§§ essa taxa é sempre aplicada sobre o montante pelo número de períodos que for
estabelecido.
Qual é a taxa de rentabilidade, isto é, qual é a taxa necessária para que R$ 94.000,00, aplicados
com juros simples ao mês, tenham, em 3 meses, um valor futuro de R$ 100.000,00?
Utilizando i como a taxa de juros, de rentabilidade ao mês... 94.000 x i x 3 = 6.000
Calculando i... i = 0,02128, ou seja, i = 2,128% a.m.
Em referência à taxa de 2,128% a.m., podemos destacar...
§ ela corresponde à taxa i da expressão genérica do regime de juros simples;
§ ela é conhecida como taxa de rentabilidade, pois, ao ser aplicada sobre o principal
de R$ 94.000,00, determinará uma rentabilidade mensal de R$ 2.000,00 sobre
esse valor. Esses juros mensais de R$ 2.000,00, ao serem acumulados por 3 meses,
proporcionarão uma rentabilidade total de R$ 6.000,00 e, com isso, transformarão
o principal de R$ 94.000,00 no montante de R$ 100.000,00;
§ essa taxa é sempre aplicada ao principal pelo número de períodos que for
estabelecido.
2.5 LISTA DE EXERCÍCIOS
Acesse, no ambiente on-line, a lista de exercícios sobre o conteúdo desta unidade.
2.6 SÍNTESE
Acesse, no ambiente on-line, a síntese desta unidade.
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36
UNIDADE 3 – JUROS COMPOSTOS
3.1 CONCEITUAÇÃO
O conceito de juros que vimos até agora (Juros = VF - VP) não muda... A mudança se dá
na fórmula que relaciona as variáveis VF, VP, i e n... Veja...
Como vimos anteriormente, os juros correspondem à diferença entre o valor futuro e o valor
presente de um investimento. Logo...
Vimos que, quando investimos, hoje, determinado valor presente – também chamado de Principal
–, a uma determinada taxa de juros por um prazo, esperamos receber, no futuro, um valor futuro,
que deve ser igual a seu principal mais os juros. Ou seja...
VF = VP + Juros
Expresso de outra forma...
Juros = VF - VP
A fórmula que relaciona valor presente VP, taxa de juros i, prazo n e valor futuro VF, quando
tratamos de capitalização composta, é...
Onde...
§ VP é o valor presente inicial;
§ VF é o valor futuro;
§ i é a taxa de juros;
§ n é o prazo da aplicação.
VF = VP (1 + i )n
Juros = VF - VP
Fórmulas já utilizadas
Juros simples...
Juros = VP x i x n
VF = VP + VP x i x n
Fórmula do desconto bancário (capitalização simples)
VP = VF (1 - i x n)
Fórmula da rentabilidade
VF = VP (1 + i x n)
Juros compostos...
VF = VP (1 + i)n
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
37
3.1.1 EXEMPLO 1
Imagine que você tenha depositado, hoje, R$ 1.000,00, a serem pagos com juros de 10% ao ano,
capitalizados anualmente de forma composta, para formar uma poupança para seu filho. Quanto
ele terá se resgatar o dinheiro daqui a 1 ano?
VP = 1.000
n = 1
i = 0,1
VF = ?
Podemos resolver este problema de quatro maneiras...
Utilizando o conceito geral...
Valor dos juros por ano... Valor do principal x Taxa de juros
Valor dos juros ao final do ano 1... 1.000 x 0,1 = 100
Valor do principal... 1.000
VF = Juros + Valor do principal... 100 + 1.000 = 1.100
Utilizando a fórmula...
Juros compostos... VF = VP (1 + i)n
Substituindo os valores... VF = 1.000 (1 + 0,1)1
Calculando... VF = 1.000 (1,1)
Obtemos... VF = 1.100
Utilizando a calculadora financeira...
Optamos por utilizar, neste curso, a calculadora financeira HP-12C. É claro que
você pode trabalhar com outra calculadora financeira, mas, neste caso, preste
bastante atenção aos botões de sua calculadora... Além de serem visualmente
diferentes, eles podem realizar outras funções que não as da calculadora que
vamos utilizar nos exemplos deste curso.
A grande maioria das calculadoras apresenta as seguintes teclas com
abreviações em inglês...
PV = Present Value, em português é VP, valor presente;
FV = Future Value, em português é VF, valor futuro;
n = Number of Periods, em português é n, número de períodos;
i = Interest Rate, em português é i, taxa de juros;
PMT = Payments, em português é PGTO, valor de pagamentos/
recebimentos intermediários / prestações.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
38
Digitando 1.000 mais a tecla...
PV: valor presente – present value – expresso no enunciado.
Digitando 10 mais a tecla...
i: taxa de juros de 10% ao ano em base percentual.
Na calculadora financeira, devemos digitar o valor da taxa de juros em base percentual.
Digitando 1 mais a tecla...
n: prazo em anos.
Digitando 0 mais a tecla...
PMT: valor dos pagamentos / das retiradas periódicas – periodic payment.
Utilizando o “excel”...
Acesse, no ambiente on-line, uma simulação no “excel”.
Para que usar a calculadora financeira?
Para poupar tempo e trabalho repetitivo. Por exemplo, considere um conjunto
de 10 pagamentos sobre os quais incida cobrança de juros. Para calcular o total
dos juros, você deve calcular os juros de cada pagamento individualmente
para, então, somar e obter o total. Com uma calculadora financeira, basta entrar
com os valores dos pagamentos e fornecer a taxa de juros que a máquina
calculará todos os juros, apresentando o resultado final já consolidado.
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
39
Digitando FV = ? – valor futuro a ser calculado...
A calculadora apresentará no visor -1.100,00. O sinal do FV é negativo porque ele é
sempre o oposto do sinal do valor presente. Sempre que o PMT for igual a zero, o sinal
do valor em VF será diferente do sinal do valor em VP, posto que, para a calculadora,
um valor é recebimento e outro pagamento – ou vice-versa.
3.1.2 EXEMPLO 2
Imagine que você tenha depositado, hoje, R$ 1.000,00, a serem pagos com juros de 10% ao ano,
capitalizados de forma composta, para formar uma poupança para seu filho. Quanto ele terá, se
resgatar o dinheiro daqui a 2 anos?
VP = 1.000
n = 2
i = 0,1
VF = ?
Utilizando o conceito geral...
Aproveitando os cálculos que já havíamos feito, sabemos que, no final do primeiro ano, seu filho já
teria R$ 1.100, 00.
Quando não existirem os pagamentos intermediários, isto é, pagamentos ao
longo do tempo, teremos apenas VP e VF, pois PMT será zero.
É bom lembrar que essa operação na calculadora financeira só vai funcionar se
você digitar os valores de 4 das 5 variáveis – FV, PV, PMT, n e i – para pedir a
quinta.
Preciso colocar zero na calculadora, mesmo quando o valor for zero?
As calculadoras têm memória. Mesmo quando você desliga e liga a máquina,
os valores que estavam em determinadas posições da memória permanecem.
Suponha que você acabe de resolver um problema financeiro em que o valor
do PMT tenha sido 150. Suponha agora que você decida iniciar a resolução de
um novo problema em que o PMT seja zero. Se você não colocar explicitamente
PMT = 0 na máquina, a memória continuará a registrar PMT com o valor 150.
Então, se você tentar resolver esse problema sem indicar PMT=0, obterá um
resultado errado.
Ao utilizar a calculadora financeira, não se esqueça de limpar os registros de
cálculos anteriores teclando f FIN.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
40
Valor dos juros para o ano 2... Saldo Anterior x Taxa de juros
Substituindo os valores... 1.100 x 0,1 = 110
Valor total = valor dos juros do ano 1 + valor dos juros do ano 2 + principal
Substituindo os valores... 100 + 110 + 1.000 = 1.210,00
Utilizando a fórmula...
Juros compostos... VF = VP (1 + i)n
Substituindo os valores... VF = 1.000 (1 + 0,1)2
Calculando... VF = 1.000 (1,1)2
Calculando... VF = 1.000 (1,21)
Obtemos... VF = 1.210
Utilizando a calculadora financeira...
Digitando 1.000 mais a tecla...
PV: valor presente – present value – expresso no enunciado.
Digitando 10 mais a tecla...
i: taxa de juros de 10% ao ano em base percentual.
Digitando 2 mais a tecla...
n: prazo em anos.
Digitando 0 mais a tecla...
PMT: valor dos pagamentos.
Digitando FV = ? – valor futuro a ser calculado...
A calculadora apresentará no visor -1.210,00. O sinal do FV é negativo porque ele
indica um pagamento – saída de caixa –, ou seja, o oposto do sinal do valor presente,
que, por sua vez, é o valor do empréstimo – entrada de caixa. O sinal do valor em VF
será sempre diferente do sinal do valor em VP, posto que, para a calculadora, um valor
é recebimento e outro pagamento – ou vice-versa.
Utilizando o “excel”...
Acesse, no ambiente on-line, uma simulação no “excel”.
3.1.3 EXEMPLO 3
Um empresário aplicou R$1.000,00, capitalizados de forma composta, por 2 anos – juros anuais –
para montar uma reserva para a primeira festa de final de ano que seria comemorada por todos os
funcionários de sua empresa. Passados os dois anos, ele resgatou R$1.210,00. Qual foi a taxa de
juros que incidiu sobre seu capital inicial?
Quando não existirem os pagamentos intermediários, isto é, pagamentos ao
longo do tempo, teremos apenas VP e VF. O PMT será igual a zero. De qualquer
forma, como dissemos anteriormente, é preciso digitar 0, PMT.
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
41
VP = 1.000
n = 2
VF = 1.210
i = ?
Podemos resolver este problema de três maneiras...
Utilizando a fórmula...
Aplicando a fórmula para juros compostos... VF = VP (1 + i)n
Substituindo os valores... 1.210 = 1.000 (1+ i)2
Calculando... (1 + i)2 = 1.210 / 1.000
Calculando... (1 + i)2 = 1,21
Calculando a raiz de ambos os lados... (1 + i) = 1,1
1 + i = 1,1
i = 1,1 - 1
Obtemos... i = 0,1 = 10%
Utilizando a calculadora financeira...
Digitando 1.000 mais a tecla...
PV: valor presente apresentado no enunciado do problema.
Digitando -1.210 mais a tecla...
FV: valor futuro, ou seja, digite 1210 mais a tecla CHS para inverter o sinal e obter -1210.
Digitando 2 mais a tecla...
n: prazo em anos.
Digitando 0 mais a tecla...
PMT: valor dos pagamentos / das retiradas periódicas.
Teclando, então, o botão i, a calculadora apresentará no visor 10, que significa 10%.
O sinal do valor em VF será sempre diferente do sinal do valor em VP, posto
que, para a calculadora, um valor é recebimento e outro pagamento – ou vice-
versa.
Para digitarmos um valor negativo na HP 12-C, temos de digitar o valor e,
em seguida, a tecla CHS, que significa Change Signal – em português, mudar
de sinal.
Por isso, digitamos 1210, CHS e FV. Informamos, assim, que VF = -1210.
Quando não existirem os pagamentos intermediários, isto é, pagamentos ao
longo do tempo, teremos apenas VP e VF. O PMT será igual a zero. De qualquer
forma, como dissemos anteriormente, é preciso digitar 0, PMT.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
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Utilizando o “excel”...
Acesse, no ambiente on-line, uma simulação no “excel”.
3.1.4 EXEMPLO 4
Depois de ter sido cobaia de uma experiência científica, Dr. Albideres perdeu a noção do tempo.
Imagine que ele tenha pedido emprestados, hoje, R$ 1.000,00, a serem pagos com juros de 10%
ao ano, capitalizados de forma composta. Supondo que, para quitar o que deve, ele deva pagar
R$ 1.210,00 na data do vencimento, qual é o prazo desse empréstimo?
Problemas que pedem prazo ou taxa de aplicação envolvem cálculos trabalhosos. Por
isso, geralmente usamos a calculadora. De qualquer maneira, vejamos três maneiras
de calcular o prazo desse empréstimo...
Utilizando a fórmula...
Aplicando a fórmula para juros compostos... VF = VP (1 + i)n
Substituindo os valores... 1.210 = 1.000 (1+ 0,1)n
Calculando... 1,21 = (1,1)n
Calculando o logaritmo de ambos os lados... Ln 1,21 = Ln 1,1n
Lembrando que... Ln Ax = x Ln A
Calculando... Ln 1,21 = n Ln 1,1
Onde... n = Ln 1,21 / Ln 1,1
n = 0,19062036 / 0,09531018
Obtemos... n = 2
Como fazer operações com logaritmos?
Você não precisa usar os logaritmos. Utilizando a calculadora financeira, você
pode calcular diretamente o número n de período de um investimento. Essas
operações com logaritmos foram aqui colocadas apenas a título de ilustração
para aqueles que são mais afeitos à matemática e que gostam de chegar à
solução de um problema com o uso das fórmulas e com o uso da calculadora.
Não é objetivo deste curso o estudo dos logaritmos.
Para quem quiser, a fórmula para cálculo de n...
n = Ln (VF / VP) / Ln (1 + i)
Ou...
n = log (VF / VP) / log (1 + i)
Ln significa logaritmo neperiano – base e; log indica logaritmo decimal – base 10.
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
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Utilizando a calculadora financeira...
Digitando 1.000 mais a tecla...
PV: valor presente apresentado no enunciado do problema.
Digitando -1.210 mais a tecla...
FV: valor futuro, ou seja, digite 1210 mais a tecla CHS para inverter o sinal e obter -1210.
Digitando 10 mais a tecla...
i: taxas de juros de 10% em base percentual.
Digitando 0 mais a tecla...
PMT: valor dos pagamentos.
A calculadora apresentará 2 no visor, o que significa 2 anos.
Utilizando o “excel”...
Acesse, no ambiente on-line, uma simulação no “excel”.
3.1.5 EXEMPLO 5
Rafaela ficou sem dinheiro para pagar a última mensalidade do curso de Biblioteconomia. Passados
dois anos, chegou em sua casa uma cobrança com as seguintes especificações...
O sinal do valor em VF será sempre diferente do sinal do valor em VP, posto que,
para a calculadora, um valor é recebimento e outro pagamento – ou vice-versa.
Para digitarmos um valor negativo na HP 12-C, temos de digitar o valor e,
em seguida, a tecla CHS, que significa Change Signal – em português, mudar
de sinal.
Por isso, digitamos 1210, CHS e FV. Informamos, assim, que VF = -1210.
Quando não existirem os pagamentos intermediários, isto é, pagamentos ao
longo do tempo, teremos apenas VP e VF. O PMT será igual a zero. De qualquer
forma, como dissemos anteriormente, é preciso digitar 0, PMT.
A calculadora HP-12C utiliza a convenção de final de período e, dessa forma,
eventualmente, apresenta o resultado de n um pouco diferente do da fórmula.
O resultado de n da HP-12C não é uma aproximação, mas uma convenção.
Total da dívida: R$1.210,00*
*Sobre o valor inicial da dívida, foi aplicada uma taxa de juros de 10% ano,
capitalizados de forma composta, por 2 anos.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
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Rafaela, então, se perguntou... Quanto estava devendo há dois anos?
Vejamos três maneiras de calcular este valor...
Utilizando a fórmula...
Aplicando a fórmula para juros compostos... VF = VP (1+i)n
Substituindo os valores... 1.210 = VP (1+ 0,1)2
Calculando... VP = 1.210 / (1,1)2
Obtemos... VP = 1.000
Utilizando a calculadora financeira...
Digitando -1210 mais a tecla...
FV: valor futuro, ou seja, digite 1210 mais a tecla CHS para inverter o sinal e obter -1210.
Digitando 10 mais a tecla...
i: taxas de juros de 10% em base percentual.
Digitando 2 mais a tecla...
n: prazo em anos.
Digitando 0 mais a tecla...
PMT: valor dos pagamentos.
Teclando, então, o botão PV, a calculadora apresentará no visor 1000.
Utilizando o “excel”...
Acesse, no ambiente on-line, uma simulação no “excel”.
3.2 LISTA DE EXERCÍCIOS
Acesse, no ambiente on-line, a lista de exercícios sobre o conteúdo desta unidade.
O sinal do valor em VF será sempre diferente do sinal do valor em VP, posto que,
para a calculadora, um valor é recebimento e outro pagamento – ou vice-versa.
Para digitarmos um valor negativo na HP 12-C, temos de digitar o valor e,
em seguida, a tecla CHS, que significa Change Signal – em português, mudar
de sinal.
Por isso, digitamos 1210, CHS e FV. Informamos, assim, que VF = -1210.
Quando não existirem os pagamentos intermediários, isto é, pagamentos ao
longo do tempo, teremos apenas VP e VF. O PMT será igual a zero. De qualquer
forma, como dissemos anteriormente, é preciso digitar 0, PMT.
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
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3.3 SÍNTESE
Acesse, no ambiente on-line, a síntese desta unidade.
3.4 AVALIAÇÃO
Acesse, no ambiente on-line, a avaliação deste módulo.
3.5 JOGO
Acesse, no ambiente on-line, um jogo sobre o conteúdo deste módulo.
UNIDADE 4 – ATIVIDADES
4.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
QUESTÃO 1
Um de seus sonhos mais antigos é realizar uma viagem a Fortaleza durante o reveillon.
A Rhapsody oferece viagens de 7 dias e 6 noites para Fortaleza, a partir de R$ 1.260,00.
Você tem hoje (t=0) R$ 1.000,00 para aplicar a juros simples, com uma taxa de 10% ao
ano.
Daqui a três anos, você terá o valor necessário para realizar esse sonho?
a) Você não terá o valor necessário pois faltam ainda R$ 260,00.
b) Você terá o valor necessário para a viagem e ainda sobram R$ 260,00.
c) Você precisaria obter mais R$ 31,00 para pagar a viagem.
d) Você terá os recursos necessários porém não temos como calculá-los.
e) Você terá os recursos para viajar e ainda sobram R$ 40,00.
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QUESTÃO 2
Hoje, você tem R$ 2.000,00. Se você investir em uma instituição bancária, terá, em 2
anos, R$ 2.400,00 para comprar uma nova máquina fotográfica.
Qual é a taxa de juros simples anual que a instituição está pagando para sua aplicação?
a) A instituição está pagando uma taxa de 40% ao ano.
b) A instituição está pagando uma taxa de 20 % ao ano.
c) A instituição está pagando uma taxa de 10% ao ano.
d) A instituição está pagando uma taxa de 5% ao ano.
e) A instituição está pagando uma taxa de 400% ao ano.
QUESTÃO 3
Você tem, hoje, R$ 10.000,00 e deseja obter o valor necessário para pagar a entrada de
um carro que custa R$ 19.000,00.
Para ter este valor total – juros mais principal –, você precisa aplicar seu dinheiro, a uma
taxa de juros simples de 30% ao ano.
Quanto tempo você deve deixar seu dinheiro aplicado para obter a entrada do
automóvel?
a) Você deve deixar os recursos aplicados por 3 anos.
b) Você deve deixar os recursos aplicados por 9 anos.
c) Você deve deixar os recursos aplicados por 1 ano.
d) Você deve deixar os recursos aplicados por 30 anos.
e) Você deve deixar os recursos aplicados por 90 anos.
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
47
QUESTÃO 4
Você precisa ter R$ 17.760,00, daqui a quatro anos, para comprar uma nova impressora.
Para tal, decidiu fazer uma aplicação, com taxa de juros simples de 12% ao ano.
Qual deve ser hoje o valor dessa aplicação?
a) Hoje você deve depositar R$ 17.760,00.
b) Hoje você deve depositar R$ 5.760,00.
c) Hoje você deve depositar R$ 12.760,00.
d) Hoje você deve depositar R$ 12.000,00.
e) Hoje você deve depositar R$ 5.000,00.
QUESTÃO 5
Você resolveu aplicar R$ 2.000,00 a juros simples, por 4 anos, em ações do Banco Porto.
Essas ações apresentam uma taxa de rentabilidade de 20% ao ano.
Qual será o valor futuro que você obterá com essas ações?
a) O valor futuro será R$ 1.600,00.
b) O valor futuro será R$ 2.000,00.
c) O valor futuro será R$ 8.000,00.
d) O valor futuro será R$ 2.600,00.
e) O valor futuro será R$ 3.600,00.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
48
QUESTÃO 6
Você é encarregado de contas a pagar em sua empresa. Os pagamentos que vencem
hoje – contas a pagar – montam a R$ 236.000,00.
Você tem mais de R$ 1.000.000,00 em contas a receber de diversos clientes, porém o
vencimento de todas elas é daqui a 90 dias.
O banco com que você trabalha cobra uma taxa de 2% ao mês, para descontar
duplicatas.
Qual o valor mínimo das duplicatas que você deve descontar junto ao banco, para fazer
hoje os pagamentos?
a) Você deve entregar R$ 764.000,00 em duplicatas.
b) Você deve entregar R$ 251.063,83 em duplicatas.
c) Você deve entregar R$ 457.840,00 em duplicatas.
d) Você deve entregar R$ 236.000,00 em duplicatas.
e) Você deve entregar R$ 15.063,83 em duplicatas.
QUESTÃO 7
Você vendeu mercadorias a um restaurante no valor de R$ 2.400,00, concedendo 60
dias para o pagamento.
O banco com o qual você trabalha desconta duplicatas a uma taxa de 7% ao mês.
Se você descontar esse título, quanto receberá do banco hoje?
a) O banco deve creditar em sua conta R$ 2.064,00.
b) O banco deve creditar em sua conta R$ 4.464,00.
c) O banco deve creditar em sua conta R$ 2.790,70.
d) O banco deve creditar em sua conta R$ 2.736,00.
e) O banco deve creditar em sua conta R$ 2.232,00.
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
49
QUESTÃO 8
Você vai ao banco para descontar uma nota promissória, no valor de R$ 1.300,00, com
vencimento em 10 de dezembro de 2008.
Hoje é dia 11 de dezembro de 2005. O banco lhe informa que as taxas de desconto
simples estão fixadas, hoje, em 10% ao ano.
O desconto é efetuado no ato e você recebe o líquido da promissória menos os juros.
Quanto você receberá, hoje, se concordar com a taxa e efetuar o desconto?
a) Você deverá receber hoje R$ 390,00.
b) Você deverá receber hoje R$ 910,00.
c) Você deverá receber hoje R$ 2.210,00.
d) Você deverá receber hoje R$ 1.610,00.
e) Você deverá receber hoje R$ 1.690,00.
QUESTÃO 9
Você precisa de R$ 4.000,00, daqui a 2 anos, para pagar sua festa de formatura. Hoje,
você possui R$ 3.000,00.
Você resolve aplicar esse dinheiro a uma taxa de 20% a. a., no regime de juros simples.
Se você aplicar esse capital, o montante acumulado será suficiente para cobrir as
despesas?
a) Não. Você obterá R$ 200,00 de juros daqui a dois anos.
b) Sim. Você obterá R$ 1.200,00 de juros daqui a dois anos.
c) Sim. Você obterá R$ 4.200,00 de juros daqui a dois anos.
d) Não. Você obterá R$ 600,00 de juros daqui a dois anos.
e) Não. Você obterá R$ 300,00 de juros daqui a dois anos.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
50
QUESTÃO 10
Você precisa de dinheiro para injetar em sua empresa. Você não tem dinheiro em
espécie, mas realizou muitas vendas a prazo e tem diversas contas a receber nos
próximos 90 dias.
Sua opção é descontar sua carteira nos bancos e recebê-las antecipadamente, a um
valor menor.
O banco com o qual você trabalha tem uma taxa de juros para desconto de duplicatas de 36% ao
ano.
Sua carteira de títulos passíveis de desconto é constituída de...
R$ 145.000,00, em títulos com vencimento em 30 dias.
R$ 238.000,00, em títulos com vencimento em 60 dias.
R$ 172.000,00, em títulos com vencimento em 90 dias.
Qual é o valor que você receberá hoje do banco, pelo desconto de todos esses títulos?
a) Você receberá hoje do banco R$ 520.890,00 pelo desconto das 3 duplicatas.
b) Você receberá hoje do banco R$ 140.650,00 pelo desconto das 3 duplicatas.
c) Você receberá hoje do banco R$ 223.720,00 pelo desconto das 3 duplicatas.
d) Você receberá hoje do banco R$ 156.520,00 pelo desconto das 3 duplicatas.
e) Nenhuma das respostas acima.
QUESTÃO 11
Você precisa realmente emagrecer e resolveu economizar para ir a uma spa. Para tal,
você aplicou hoje R$ 100,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.
Quanto você terá daqui a dois anos?
a) Você terá, daqui a dois anos, R$ 121,00.
b) Você terá, daqui a dois anos, R$ 100,00.
c) Você terá, daqui a dois anos, R$ 120,00.
d) Você terá, daqui a dois anos, R$ 110,00.
e) Você terá, daqui a dois anos, R$ 21,00.
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
51
QUESTÃO 12
Há 6 anos, você está economizando para comprar uma nova televisão. Para tal, você
aplicou hoje R$ 100,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.
Quanto você terá – valor futuro – daqui a 6 anos?
a) Você terá, daqui a 6 anos, R$ 160,00.
b) Você terá, daqui a 6 anos, R$ 177,16.
c) Você terá, daqui a 6 anos, R$ 77,15.
d) Você terá, daqui a 6 anos, R$ 110,00.
e) Você terá, daqui a 6 anos, R$ 121,00.
QUESTÃO 13
Você pretende viajar em suas próximas férias. Para ter, daqui a 12 meses, a quantia
necessária para essa vigem, você fará uma aplicação.
A taxa paga pelo banco é 3% ao mês no regime de juros compostos.
Quanto você deve aplicar hoje – valor presente – para ter R$ 1.000,00, daqui a 12 meses?
a) Você deve aplicar hoje R$ 1.000,00.
b) Você deve aplicar hoje R$ 70,14.
c) Você deve aplicar hoje R$ 701,38.
d) Você deve aplicar hoje R$ 200,00.
e) Você deve aplicar hoje R$ 964,00.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
52
QUESTÃO 14
Você tem R$ 1.000,00, porém precisa comprar um equipamento que custa o dobro
deste valor.
Felizmente, os preços estão estáveis há alguns anos. Isso significa que você pode fazer
uma aplicação a juros compostos e, daqui a 1 ano, comprar o equipamento pelo mesmo
preço.
Qual é a taxa de juros anual para aplicação que lhe renderá esse valor?
a) A taxa de juros esperada é de 50% ao ano.
b) A taxa de juros esperada é de 1.000% ao ano.
c) A taxa de juros esperada é de 200% ao ano.
d) A taxa de juros esperada é de 100% ao ano.
e) A taxa de juros esperada é de 10% ao ano.
QUESTÃO 15
Você decidiu investir na casa própria. Para tal, você aplicará R$ 222.000,00, a juros
compostos, por 14 anos.
A taxa paga pelo banco é de 20% ao ano.
Após 14 anos, qual o valor futuro que você espera obter com essa aplicação?
a) Você espera obter R$ 2.800.000,00.
b) Você espera obter R$ 2.850.298,99.
c) Você espera obter R$ 280.000,00.
d) Você espera obter R$ 1.850.298,99.
e) Você espera obter R$ 1.950.000,00.
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53
QUESTÃO 16
Você precisa dar um jeito em sua biblioteca. Para isso, você irá pegar um empréstimo
que deve ser pago em 3 parcelas...
§ a primeira, em 3 meses, no valor de R$ 20,00;
§ a segunda, em 6 meses, no valor de R$ 15,00;
§ a terceira, em 9 meses, no valor de R$ 10,00.
Porém, você gostaria de trocar esses 3 pagamentos por um único pagamento, no final
do segundo mês. A taxa de juros acertada com o banco é 12% ao mês.
Qual seria o valor desse pagamento?
a) O valor desse pagamento seria de R$ 11,91.
b) O valor desse pagamento seria de R$ 45,00.
c) O valor desse pagamento seria de R$ 50,40.
d) O valor desse pagamento seria de R$ 31,91.
e) O valor desse pagamento seria de R$ 60,10.
QUESTÃO 17
Você deve receber R$ 1.200,00 como restituição do imposto de renda, daqui a 6
meses. Contudo, você desejaria ter capital, agora, para comprar um computador novo.
Seu banco lhe ofereceu um empréstimo que pode ser liberado, hoje, em sua conta
corrente, cujo pagamento será realizado com a transferência de seu crédito do IR para
o banco. Para essas operações de crédito, a taxa de juros composta cobrada pelo banco
é de 3,5% ao mês.
Qual é o valor que o banco deve creditar hoje em sua conta?
a) O valor a ser liberado hoje é de R$ 976,20.
b) O valor a ser liberado hoje é de R$ 1.200,00.
c) O valor a ser liberado hoje é de R$ 1.344,00.
d) O valor a ser liberado hoje é de R$ 243,37.
e) O valor a ser liberado hoje é de R$ 1.410,37.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
54
QUESTÃO 18
Você precisa economizar para comprar um brinquedo novo para seu filho. Para tal,
você investiu um principal em uma aplicação financeira.
A taxa de juros paga pelo banco é de 3% ao mês, no regime composto. No final do
quarto mês, o valor do montante é de R$ 100,00.
Qual era o valor do montante no final do primeiro e do sétimo meses?
a) O montante ao final do primeiro mês foi R$103,00; e o do sétimo mês foi R$ 127,00.
b) O montante ao final do primeiro mês foi R$ 91,51; e o do sétimo mês foi R$ 109,27.
c) O montante ao final do primeiro mês foi R$ 9,51; e o do sétimo mês foi R$ 10,92.
d) O montante ao final do primeiro mês foi R$ 82,54; e o do sétimo mês foi R$ 119,62.
QUESTÃO 19
Sua esposa deseja muito um carro novo. Você deseja fazer uma aplicação, para aumentar
seu capital em 50% ao fim de 5 meses.
Qual deve ser a taxa de juros mensal composta para que seu capital aumente 50%?
a) A taxa de juros é de 8,447% ao mês.
b) A taxa de juros é de 2,50% ao mês.
c) A taxa de juros é de 5,00% ao mês.
d) A taxa de juros é de 6,789% ao mês.
e) A taxa de juros é de 4,80% ao mês.
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
55
QUESTÃO 20
Para preparar a festa de aniversário de seu filho, você pediu um empréstimo de R$ 1.000,00,
a ser pago com uma nota promissória no valor de R$ 1.100,00, cuja data de vencimento
é daqui a um ano. A taxa de juros anunciada foi de 10% ao ano.
Ao dirigir-se ao caixa para receber esse empréstimo contratado, o caixa lhe entrega R$ 550,00 e
o seguinte recibo para você assinar...
§ Valor bruto do empréstimo: R$ 1.000,00.
§ Taxa de abertura de cadastro: R$ 120,00.
§ Taxa de liberação de crédito: R$ 140,00.
§ Taxa de liberação de empréstimo: R$ 30,00.
§ Comissão do agente: R$ 60,00.
§ Taxa de manutenção: R$ 45,00.
§ Taxa de cliente VIP: R$ 55,00.
§ Total dos descontos: R$ 450,00.
§ Valor líquido a receber: R$ 550,00.
Qual é a taxa real de juros que essa financeira está cobrando? A taxa de juros de 10%
anunciada configura propaganda enganosa?
a) Sim. A propaganda é enganosa. A taxa real cobrada é de 100% ao ano.
b) Não. A propaganda não é enganosa. A taxa real cobrada é de 10% ao ano.
c) Sim. A propaganda é enganosa. A taxa real cobrada é de 120% ao ano.
d) Sim. A propaganda é enganosa. A taxa real cobrada é de 112,64% ao ano.
e) Sim. A propaganda é enganosa. A taxa real cobrada é de 92,94% ao ano.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
56
GABARITOS
QUESTÃO 1
Gabarito: Você terá os recursos para viajar e ainda sobram R$ 40,00.
QUESTÃO 2
Gabarito: A instituição está pagando uma taxa de 10% ao ano.
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
57
QUESTÃO 3
Gabarito: Você deve deixar os recursos aplicados por 3 anos para obter um carro novo.
QUESTÃO 4
Gabarito: Você deve depositar hoje 12.000,00 para conseguir, no futuro, sua impressora nova.
QUESTÃO 5
Gabarito: O valor futuro será R$ 3.600,00.
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58
QUESTÃO 6
Gabarito: Você deve entregar ao banco para desconto um valor mínimo de R$ 251.063,83 em
duplicatas.
QUESTÃO 7
Gabarito: O banco deve creditar em sua conta R$ 2.064,00.
QUESTÃO 8
Gabarito: Você deverá receber hoje R$ 910,00.
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59
QUESTÃO 9
Gabarito: Sim. Você obterá R$ 1.200,00 de juros daqui a 2 anos, mais do que o bastante para sua
festa de formatura, pois o montante final será de R$ 4.200,00.
QUESTÃO 10
Gabarito: Você receberá hoje do banco R$ 520.890,00 pelo desconto das 3 duplicatas.
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60
QUESTÃO 11
Gabarito: Você terá, daqui a 2 anos, R$ 121,00.
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61
QUESTÃO 12
Gabarito: Você terá, daqui a 6 anos, R$ 177,16.
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62
QUESTÃO 13
Gabarito: Você deve aplicar hoje R$ 701,38.
QUESTÃO 14
Gabarito: A taxa de juros esperada é de 100% ao ano.
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
63
QUESTÃO 15
Gabarito: Você espera obter R$ 2.850.298,99.
QUESTÃO 16
Gabarito: O valor de um único pagamento no final do segundo mês seria de R$ 31,91.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
64
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
65
QUESTÃO 17
Gabarito: O valor a ser liberado – creditado – hoje é de R$ 976,20.
QUESTÃO 18
Gabarito: O principal do montante ao final do primeiro mês foi de R$ 91,51, enquanto o valor do
montante ao final do sétimo mês foi de R$ 109,27.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
66
QUESTÃO 19
Gabarito: A taxa de juros desejada é de 8,447% ao mês.
QUESTÃO 20
Gabarito: Sim. A propaganda é enganosa. A taxa real cobrada é de 100% ao ano.
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
67
4.2 ATIVIDADE INDIVIDUAL – ANIMAÇÃO
Antes de iniciar a próxima tarefa, assista à animação, no ambiente on-line, que introduz a
problemática da Atividade Individual Regime de Capitalização.
4.2.1 ATIVIDADE INDIVIDUAL – TAREFA
Nessa atividade individual, vamos analisar o custo do dinheiro ao longo do tempo.
Por esta tarefa, você poderá receber de 0 a 10 pontos.
Observe a grade de correção utilizada pelo Professor-Tutor na avaliação dessa atividade,
disponível no Anexo 2.
Acesse, na biblioteca virtual, a categoria de formatação de trabalhos acadêmicos.
INFORMAÇÕES SOBRE A ATIVIDADE INDIVIDUAL
Objetivo
Refletir sobre custo do dinheiro ao longo do tempo.
Tarefa
A transformação do valor do dinheiro no tempo só pode ser feita a partir da determinação
dos juros, ou seja, do custo do dinheiro ao longo do tempo.
Partindo dessa afirmação, elabore um texto...
§ apontando os pontos positivos e negativos dos regimes de capitalização – simples
e composta –, considerando, no dia-a-dia das empresas, tanto a aplicação quanto a
captação de recursos;
§ posicionando-se sobre o regime de capitalização mais adequado à aplicação e à
captação de recursos pela empresa.
Registro do trabalho
Registre os dados desta tarefa na Matriz de atividade individual. Para tal...
§ acesse o arquivo com a Matriz de atividade individual, disponível no ambiente
on-line;
§ abra o arquivo;
§ salve esse arquivo em seu computador;
§ preencha a matriz com os dados de seu trabalho;
§ salve seu trabalho;
§ encaminhe o trabalho ao Professor-Tutor para correção.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 2
68
4.2.2 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO PARA CORREÇÃO
Lembre-se de que as orientações sobre o desenvolvimento desta atividade começam no início
desta seção, ou seja, na tela de animação.
Não se esqueça de verificar a data agendada para esta atividade no calendário.
Para saber como apresentar seu trabalho ao Professor na sala de aula, leia o Anexo 1.
Matemática Financeira M Ó D U L O 2
69
MATRIZ DE ATIVIDADE INDIVIDUAL*
*Esta matriz serve para a apresentação de trabalhos a serem desenvolvidos segundo ambas as
linhas de raciocínio: lógico-argumentativa ou lógico-matemática.
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
71
MÓDULO 3 – TAXAS E FLUXOS DE CAIXA EQUIVALENTES
APRESENTAÇÃO
Neste módulo, trabalharemos com as taxas efetivas e nominais, identificando a equivalência
entre as taxas de juros das transações do mercado, construindo fluxos de caixa, assim como
calculando operações de financiamento a partir dos principais sistemas de amortização praticados
no mercado.
Inserimos, ao final do módulo, uma bateria de exercícios de fixação, para que você possa neles
aplicar o conteúdo aqui tratado. Mais ainda... esses exercícios foram organizados por grau crescente
de dificuldade.
Lembre-se... na base da tela de cada exercício, disponibilizamos links, para que você possa acessar
tanto a calculadora financeira quanto gabarito e as explicações para esta questão.
ESTRUTURA DO MÓDULO 3
Você já deve ter ouvido falar em sistema PRICE, em sistemas de amortizações constantes etc., né?
Neste módulo, trabalharemos com os sistemas de amortização.
Antes, porém, trabalharemos com o cálculo das taxas de juros equivalentes e sua
conversão a partir de taxas nominais e taxas efetivas.
Este módulo está estruturado em duas unidades: taxas equivalentes, nominais, efetivas
e proporcionais, e sistemas de amortização e equivalência de fluxos de caixa.
Pronto para começar?
UNIDADE 1 – TAXAS EQUIVALENTES, NOMINAIS, EFETIVAS E PROPORCIONAIS
1.1 ILUSTRAÇÃO
Um jornal publica a seguinte manchete...
Antes de comprar a casa, é preciso poupar...
Alguns bancos focados em financiamento de imóveis criam linhas específicas. Há
instituições oferecendo uma taxa nominal de 12% a.a. capitalizados mensalmente.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
72
1.2 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA
Nessa manchete, o banco anuncia uma taxa nominal. A taxa nominal é bastante utilizada no
mercado, entretanto, seu valor nunca é usado nos cálculos, por não representar uma taxa efetiva.
O que realmente interessa é a taxa efetiva embutida na taxa nominal, pois é ela que será
efetivamente aplicada em cada período de capitalização. São exemplos de taxas nominais...
§ 12% ao ano, capitalizados mensalmente;
§ 24% ao ano, capitalizados semestralmente;
§ 10% ao ano, capitalizados trimestralmente.
A transformação da taxa nominal em taxa efetiva é sempre realizada no regime de capitalização
simples, por convenção de mercado, mesmo que o problema a ser resolvido envolva capitalização
composta...
1.3 TAXAS EQUIVALENTES
Em Matemática Financeira, dizemos que duas ou mais taxas são equivalentes quando o regime
de capitalização é composto. Quando o regime de capitalização é simples, as taxas equivalentes
são chamadas de proporcionais. Assim, duas ou mais taxas serão proporcionais quando, ao serem
aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmo prazo, no regime de capitalização simples,
produzirem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo.
Taxa nominal é aquela em que a unidade de referência de tempo não
coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é
quase sempre fornecida em termos anuais, enquanto os períodos de capitalização
podem ser semestrais, trimestrais ou mensais.
Período de capitalização é o período no qual os juros de uma aplicação são
creditados – liberados – para o investidor e cobrados do tomador do empréstimo.
Nesse sentido, capitalização mensal significa que os juros são pagos – creditados /
cobrados – mensalmente. Logo, a capitalização diária significa que os juros são
pagos – creditados / cobrados – diariamente.
Taxa efetiva é aquela em que a unidade de referência de tempo coincide
com as unidades de tempo dos períodos de capitalização.
Assim...
§ 3% ao mês, capitalizados mensalmente;
§ 4% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;
§ 6% ao semestre, capitalizados semestralmente;
§ 10% ao ano, capitalizados anualmente.
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
73
1.3.1 EQUIVALÊNCIA COM JUROS SIMPLES
Como sabemos, devemos registrar as taxas de juros e os prazos das operações financeiras nas
mesmas unidades de tempo. Ocorre que, às vezes, as taxas de juros são apresentadas em anos –
20% ao ano, por exemplo –, enquanto nossa aplicação renderá apenas alguns meses – 4 meses,
por exemplo. Nesses casos, devemos converter a taxa de juros anual para sua equivalente mensal.
Ao tratarmos de juros simples, a fórmula de equivalência no tempo é...
Taxa Mensal x 12 = Taxa Anual
ou
im
x 12 = ia
Onde...
§ im
é a taxa de juros mensal;
§ ia é a taxa de juros anual.
Assim, se temos uma taxa mensal de 1%, a taxa semestral equivalente é...
1% x 6 = 6%
Por estarmos tratando de proporcionalidade, esse cálculo pode ser efetuado também por regra
de três.
1.3.1.1 GENERALIZAÇÃO
Taxa mensal (im
) para taxa anual (ia) ——————————
Taxa mensal (im
) para taxa semestral (is) ————————
Taxa diária (id) para taxa mensal (i
m) ——————————
Taxa anual (ia) para taxa mensal (i
m) ——————————
Taxa mensal (im
) para taxa trimestral (id) ————————
Equivalente significa, então, de mesmo valor, ou que vale a mesma coisa.
Duas ou mais taxas são ditas equivalentes quando, ao serem aplicadas a um
mesmo principal, durante um mesmo prazo, produzem, ao final desse prazo, um
mesmo montante.
ia = i
m x 12
im
= id
x 30
id = i
m / 30
im
= ia / 12
is = i
m x 6
id
x 360 = im
x 12 = it x 4 = i
s x 2 = i
a
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
74
1.3.2 EXEMPLO 1
Para entendermos o significado de uma taxa nominal, precisamos identificar as taxas efetivas
implícitas nas taxas nominais...
12% a.a. capitalizados mensalmente são
transformados em uma taxa efetiva de... 12% a.a. / 12 meses = 1% ao mês
24% a.a. capitalizados semestralmente são
transformados em uma taxa efetiva de... 24% a.a. / 2 semestres = 12% ao semestre
10% a.a. capitalizados trimestralmente são
transformados em uma taxa efetiva de... 10% a.a. / 4 trimestres = 2,5% ao trimestre
Lembre-se de que você deve sempre usar esse procedimento para determinar a taxa
efetiva embutida na taxa nominal.
1.3.3 EXEMPLO 2
Uma determinada empresa solicitou a dois bancos o desconto de R$ 1.000.000,00 em duplicatas
– todas com vencimento dentro de 3 meses.
O banco comercial BX realiza suas operações de desconto de duplicatas com uma taxa de desconto
de 2% a.m., porém, exige um saldo médio de 30% do valor da operação a título de reciprocidade
bancária.
Outra instituição – o banco BW – anuncia que cobra uma taxa de desconto de 2,75% ao mês, sem
nenhuma taxa adicional, nem qualquer reciprocidade do cliente.
Fórmulas já utilizadas
Juros simples...
Juros = VP x i x n
VF = VP + VP x i x n
Fórmula do desconto bancário (capitalização simples)
VP = VF (1 - i x n)
Fórmula da rentabilidade
VF = VP (1 + i x n)
Fórmula da equivalência
id
x 360 = im
x 12 = it x 4 = i
s x 2 = i
a
Juros compostos...
VF = VP (1 + i)n
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
75
A empresa analisou as duas propostas e optou por realizar a operação com o banco BX.
1.3.3.1 RESOLUÇÃO
Uma determinada empresa solicitou a 2 bancos o desconto de R$ 1.000.000,00 em duplicatas -
todas com vencimento dentre de 3 meses.
Proposta Banco CX - taxa de desconto de duplicatas - 2% a.m.*
* O banco exige um saldo médio de 30% do valor da operação a título de reciprocidade bancária.
Proposta Banco BW - taxa de desconto de duplicatas - 2,75% ao mês, sem taxas adicionais, nem
qualquer reciprocidade do cliente.
Qual foi o valor creditado na conta da empresa e qual a taxa de rentabilidade mensal do banco BX,
a juros simples, sem o saldo médio?
Valor a ser creditado...
VP = VF (1 - i x n)
VP = 1.000.000 (1 - 0,02 x 3)
A taxa de desconto anunciada pelo Banco BX é de 2% ao mês. Para substituirmos essa
taxa na fórmula, devemos usar o formato decimal.
As duplicatas da empresa que está realizando a operação vencem em 3 meses. Este é,
pois, o prazo da operação.
VP = 940.000,00
Reciprocidade bancária
São exigências que as instituições fazem, eventualmente, para realizar
operações financeiras para seus clientes. Exemplo disso é a exigência de um
saldo médio na conta de uma empresa para realizar o desconto de duplicatas.
Além dos juros de uma operação bancária, essas operações apresentam custos
adicionais, já que, na prática, a taxa de juros efetivamente paga é superior à taxa
anunciada.
Se o Banco BX não exigisse saldo médio, utilizando a fórmula para desconto,
poderíamos calcular o valor que seria creditado...
Uma vez descoberto o VP, podemos calcular a taxa de rentabilidade...
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
76
Taxa de rentabilidade mensal...
VF = VP (1 + i x n)
1.000.000 = 940.000 (1 + i x 3)
i = 0,02128 = 2,128% ao mês.
Agora que já temos o VP da operação sem saldo médio, vamos guardar esse valor, para ver qual foi
o valor creditado na conta da empresa, que teve de deixar um saldo médio parado no banco...
1.3.3.2 CONTINUAÇÃO
Uma determinada empresa solicitou a 2 bancos o desconto de R$ 1.000.000,00 em duplicatas – todas com
vencimento dentro de 3 meses.
Proposta Banco BX – taxa de desconto de duplicatas – 2% a.m.*
*O banco exige um saldo médio de 30% do valor da operação a título de reciprocidade bancária.
Proposta Banco BW – taxa de desconto de duplicatas – 2,75% ao mês, sem taxas adicionais, nem
qualquer reciprocidade do cliente.
Qual foi o valor creditado na conta da empresa e qual a taxa de rentabilidade mensal do Banco BX,
a juros simples, com o saldo médio?
O saldo médio exigido pelo banco é 30% de R$ 1.000.000,00, ou seja, R$ 300.000,00.
Na prática, é como se o banco, por ocasião da liberação dos recursos, fizesse uma
retenção de R$ 300.000,00.
Assim, o valor líquido efetivamente disponível será de R$ 640.000,00 (R$ 940.000,00 –
R$ 300.000,00).
Nesse caso, R$ 300.000,00 ficarão parados no banco durante os 3 meses.
Na liquidação da operação - ao final do 3º mês -, a empresa precisará desenbolsar
apenas R$ 700.000,00, pois o banco já dispõe dos R$ 300.000,00 que nunca foram
utilizados pela empresa.
Considerando o saldo médio, aplicando a fórmula para desconto, vamos descobrir a taxa efetiva
dessa operação...
Taxa de desconto paga...
VP = VF (1 - i x n)
640.000 = 700.000 (1 - i x 3)
640.000 = 700.000 (1 - 3i)
Quando aplicamos a fórmula para desconto com os valores fornecidos pela
proposta do Banco BX, descobrimos que o VP seria de R$ 940.000,00.
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
77
640.000 = 700.000 - 2.100.000i
2.100.000i = 700.000 - 640.000
i = 60.000 / 2.100.000 = 0,02857 = 2,857% ao mês.
Taxa de rentabilidade mensal...
VF = VP (1 + i x n)
700.000 = 640.000 (1 + i x 3)
i = 3,125%
1.4 OPERAÇÕES COM JUROS SIMPLES
Quando se trata de juros simples, as taxas equivalentes são também proporcionais. A relação é
linear.
Para podermos tomar decisões administrativas, devemos calcular a taxa de juros que, na prática,
estamos pagando sobre um empréstimo. Reciprocidades bancárias e cobranças adicionais
embutem taxas de juros maiores.
1.5 OPERAÇÕES COM JUROS COMPOSTOS
Ao tratarmos de juros compostos, a fórmula de equivalência no tempo é...
Onde...
§§§§§ im
é a taxa de juros mensal;
§§§§§ ia
é a taxa de juros anual.
Sendo que a taxa de rentabilidade do BX é de...
A taxa realmente cobrada pelo Banco BX é de 2,857% ao mês. A empresa
teria feito melhor negócio se tivesse optado pelo Banco BW, que cobra 2,75% ao
mês para desconto de duplicatas.
Cobranças adicionais...
Referem-se a cobranças de valores para liberação de crédito, análise de
cadastro, confecção de fichas, tarifas...
(1 + im
)12 = (1 + ia)
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
78
Por estarmos tratando de juros compostos, não existe proporcionalidade. Logo, não podemos
efetuar esses cálculos por regra de três.
Taxa mensal (im
) para taxa anual (ia) ——————————
Taxa mensal (im
) para taxa semestral (is) ————————
Taxa diária (id) para taxa mensal (i
m) ——————————
Taxa mensal (im
) para taxa trimestral (it) ————————
1.5.1 APLICAÇÃO
Lembrando...
Quando se trata de juros compostos, taxas equivalentes não são proporcionais. Em
juros simples, taxas equivalentes são proporcionais.
Vejamos alguns exemplos...
A taxa de juros em regime de capitalização composta de 10% ao mês é equivalente a
21% ao bimestre.
Exemplo numérico...
R$100,00, aplicados a 10% ao mês, valerão, em 2 meses, R$121,00.
(1 + id)360 = (1 + i
m)12 = (1 + i
t)4 = (1 + i
s)2 = (1 + i
a)
Fórmulas já utilizadas
Juros simples...
Juros = VP x i x n
VF = VP + VP x i x n
Fórmula do desconto bancário (capitalização simples)
VP = VF (1 - i x n)
Fórmula da rentabilidade
VF = VP (1 + i x n)
Fórmula da equivalência
id
x 360 = im
x 12 = it x 4 = i
s x 2 = i
a
Juros compostos...
VF = VP (1 + i)n
Fórmula da equivalência
(1 + id)360 = (1 + i
m)12 = (1 + i
t)4 = (1 + i
s)2 = (1 + i
a)
(1 + im
)12 = (1 + ia)
(1 + id)30 = (1 + i
m)
(1 + im
)3 = (1 + it)
(1 + im
)6 = (1 + is)
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
79
A taxa de juros em regime de capitalização composta de 1% ao mês é equivalente a
12,6825% ao ano.
Exemplo numérico...
R$100,00, aplicados a 1% ao mês, terão um valor futuro, em 1 ano, de R$112,68.
Veja como chegamos a esse número...
Utilizando a fórmula...
A fórmula para conversão é... (1 + im
)12 = (1 + ia)
Substituindo os valores... (1 + 0,01)12 = (1 + ia)
Calculando... (1,01)12 = (1 + ia)
1,12682503 = 1 + ia
1,12682503 - 1 = ia
Invertendo os lados... ia = 0,12682503
ia = 12,6825% ao ano
1.5.1.1 EXEMPLO 1
João resolveu aplicar seu dinheiro para poder comprar um supercomputador. Qual o montante
que João acumulará, ao final de 12 meses, a partir de um principal de R$1.000,00, com uma taxa
de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos?
Vejamos três maneiras de resolver este problema...
VP = 1.000
n = 12
VF = ?
i = 0,01
Utilizando a fórmula...
Aplicando a fórmula... VF = VP (1 + i)n
Substituindo os valores... VF = 1.000 (1,01)12
Obtemos... VF = 1.126,83
Temos de colocar a taxa de juros em base decimal. Assim, 1% equivale a
0,01 – forma unitária.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
80
Utilizando a calculadora financeira...
Digitando 1.000 mais a tecla...
PV: valor presente.
Digitando 1 mais a tecla...
i: taxas de juros de 1% ao mês.
Digitando 12 mais a tecla...
n: prazo do empréstimo em meses.
Digitando 0 mais a tecla...
PMT: valor dos pagamentos.
Teclando, então, o botão....
FV: valor futuro.
A calculadora apresentará no visor: -1.126,83.
Utilizando o “excel”...
Acesse, no ambiente on-line, uma simulação no “excel”.
1.5.1.2 EXEMPLO 2
Resolveremos o mesmo problema, só que, agora, tendo a taxa de juros anual como base.
João resolveu aplicar seu dinheiro para poder comprar um supercomputador. Qual o montante
que João acumulará, ao final de 1 ano, a partir de um principal de R$1.000,00, com uma taxa de
juros de 12,683% a.a., no regime de juros compostos?
Quando não existirem os pagamentos intermediários, isto é, pagamentos ao
longo do tempo, teremos apenas VP e VF. O PMT será igual a zero. De qualquer
forma, como dissemos anteriormente, é preciso digitar 0, PMT.
A calculadora apresentará no visor -1.126,83. O sinal do valor em VF será
sempre diferente do sinal do valor em VP, posto que, para a calculadora, um valor
é recebimento e outro pagamento – ou vice-versa.
Neste caso, se tivéssemos entrado com -1.000 PV (saída de caixa / aplicação), o
resultado seria FV = 1.126,83 (entrada de caixa / resgate da aplicação).
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
81
Utilizando a fórmula...
Aplicando a fórmula... VF = VP (1 + i)n
Substituindo os valores... VF = 1.000 (1 + 0,12683)1
Obtemos... VF = 1.126,83
Utilizando a calculadora financeira...
Digitando 1.000 mais a tecla...
PV: valor presente.
Digitando 12,683 mais a tecla...
i: taxas de juros de 12,683% ao ano.
Digitando 1 mais a tecla...
n: prazo do empréstimo em anos.
Digitando 0 mais a tecla...
PMT: valor dos pagamentos.
Teclando, então, o botão....
FV: valor futuro.
A calculadora apresentará no visor: -1.126,83.
Acesse, no ambiente on-line, uma simulação deste cálculo.
Os juros de 1% a.m. produziram um crescimento efetivo do dinheiro de 12,683% a.a. Assim, as
taxas de 1% a.m. e de 12,683% a.a. são taxas equivalentes.
Vimos que, quando se trata de juros compostos, taxas equivalentes não são proporcionais. Neste
exemplo, o tempo foi aumentado em 12 vezes – de mês para ano – e a taxa aumentou mais de
12 vezes, o que significa que tempo / taxa de juros não seguem a mesma proporção.
Utilizando o “excel”...
Acesse, no ambiente on-line, uma simulação no “excel”.
Repare que, na HP-12C, a vírgula que separa as casas decimais é, às vezes,
representada por um ponto.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
82
1.5.1.3 EXEMPLO 3
O gerente de seu banco lhe oferece uma aplicação financeira com taxa nominal de 24% ao ano
e capitalização mensal. Se você aplicar R$100,00, quanto terá ao final de 1 ano?
Encontrando a taxa efetiva mensal...
24% ao ano, capitalizados mensalmente, são equivalentes a.................. 0,24 / 12 = 0,02 = 2% a.m.
Podemos, agora, resolver este problema de três formas...
Utilizando a fórmula...
Aplicando a fórmula... VF = VP (1 + i )n
Substituindo os valores... VF = 100 (1 + 0,02)12
VF = 100 x 1,268242
Obtemos... VF = 126,8242
Utilizando a calculadora financeira...
Digitando 100 mais a tecla...
PV: valor presente.
Digitando 2 mais a tecla...
i: taxas de juros de 2% ao mês.
Digitando 12 mais a tecla...
n: prazo do empréstimo em meses.
Digitando 0 mais a tecla...
PMT: valor dos pagamentos.
Teclando, então, o botão....
FV: valor futuro.
No início desta unidade, vimos que a taxa nominal é bastante utilizada no
mercado, entretanto, seu valor nunca é usado nos cálculos – sejam eles de
juros simples ou compostos –, por não representar uma taxa efetiva. O que
realmente interessa é a taxa efetiva embutida na taxa nominal...
Já analisamos estes exemplos...
12% a.a., capitalizados mensalmente, significam uma taxa efetiva
de...12 % a.a. / 12 meses = 1% ao mês.
24% a.a., capitalizados semestralmente, significam uma taxa efetiva de...
24% a.a. / 2 semestres = 12% ao semestre.
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
83
A calculadora apresentará no visor: -126,82.
Acesse, no ambiente on-line, uma simulação deste cálculo.
Ao final de 1 ano, você terá R$126,82.
A taxa anual equivalente – 26,82% ao ano – a essa taxa efetiva embutida – 2% ao mês – é maior do
que a taxa nominal que lhe deu origem – 24% ao ano nominal –, pois essa equivalência ocorre no
regime de juros compostos.
1.6 LISTA DE EXERCÍCIOS
Acesse, no ambiente on-line, a lista de exercícios sobre o conteúdo desta unidade.
1.7 SÍNTESE
Acesse, no ambiente on-line, a síntese desta unidade.
UNIDADE 2 – SÉRIES DE PAGAMENTOS
2.1 CONCEITOS
Alguns dos conceitos mais importantes de Matemática Financeira são aqueles que fazem parte
do dia a dia das empresas em suas análises e decisões de investimento.
Os conceitos a que nos referimos são...
§§§§§ séries de pagamentos
§§§§§ pagamentos uniformes
§§§§§ anuidades
§§§§§ perpetuidades
§§§§§ pagamentos não uniformes
§§§§§ pagamentos balão – intermediárias
2.2 ANUIDADES – PAGAMENTOS IGUAIS
Uma anuidade consiste em uma série uniforme de pagamentos – ou recebimentos – iguais e
sucessivos.
Esses pagamentos devem ser feitos ao final de cada período de tempo.
Conforme o intervalo de tempo em que os pagamentos são feitos, eles podem ser
classificados, por exemplo, em...
§§§§§ mensalidade;
§§§§§ semestralidade;
§§§§§ anuidade.
Você sabe o que é anuidade? Vejamos...
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
84
2.2.1 RESOLUÇÃO DE QUESTÕES
As questões de anuidade podem ser resolvidas com ajuda de uma calculadora ou pode-se, ainda,
lançar mão de fórmulas para resolvê-las.
Vejamos fórmulas para resolver anuidades para quem não gosta de usar calculadora...
Onde...
§§§§§ i é a taxa de juros composta
§§§§§ n é o período de duração do financiamento ou empréstimo.
2.3 APRESENTAÇÃO DO EXEMPLO
Já conhecemos o conceito de anuidade e as fórmulas que nos ajudam a resolvê-las.
A partir de agora, teremos a oportunidade de acompanhar exemplos a respeito do tema, bem
como suas soluções.
Dessa forma, tiraremos dúvidas sobre o cálculo dessa série uniforme de pagamento.
2.3.1 EXEMPLO 1
Suponhamos que você deposite $100,00 hoje e mais $100,00 a cada final de ano, durante três
anos, em uma poupança.
Consideremos que a poupança rende 10% ao ano.
Quanto você poderá retirar ao final desses três anos?
PV = PMT {[(1 + i)n - 1] / i (1 + i)n}
PMT = VP * (i * (1 + i)^n) / (((1 + i)^n) - 1)
FV = PMT {[(1 + i)n - 1] / i}
PMT = FV {i / [(1+i)n - 1]}
n = Log (FV / PV) / Log (1+i)
Que tal vermos alguns exemplos de situações em que é necessário calcular
uma anuidade?
E como resolver questões que envolvem anuidades?
Vejamos o primeiro exemplo sobre anuidade!
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
85
Atenção! Neste caso, o nosso interesse é calcular o valor futuro da anuidade.
2.3.2 EXEMPLO 2
Há várias situações em que precisamos calcular uma anuidade.
Analisemos mais uma...
Imaginemos que você precise retirar $100,00 a cada final de ano, durante três anos,
em uma poupança.
Consideremos que a poupança renda 10% ao ano.
Quanto você precisa ter hoje depositado nessa poupança?
Atenção! Neste caso, nosso interesse é calcular o valor presente na anuidade.
Solução
Utilizando as fórmulas...
T=0 t=1 t=2 t=3
100 100 100 100
VF = PV (1 + i)3 + PMT (1 + i)2 + PMT (1 + i) + PMT
VF = 100 x 1,13 + 100 x 1,12 + 100 x 1,1 + 100 = 464,10
Com a calculadora, obtemos...
N = 3 PMT = 100
VP = 100 i = 10% aa
VF = 464,10
Resposta: O valor futuro desta unidade é R$ 464,10.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
86
2.3.3 EXEMPLO 3
Consideremos, neste terceiro exemplo, que você tenha emprestado R$2.000,00 hoje e mais
R$100,00 a cada final de ano, durante três anos, a seu cunhado.
Vocês acertaram que a taxa de juros seria de 10% ao ano.
Quanto você deverá receber ao final desses três anos?
Atenção! Nesse caso, nosso interesse é calcular o valor futuro da anuidade.
Solução
Utilizando as fórmulas...
T=0 t=1 t=2 t=3
VP = ? -100 -100 -100
VP = PMT / (1 + i) + PMT / (1+i)2 + PMT / (1 + i)3
VP = 100 / 1,1 + 100 / 1,12 + 100 / 1,13 = 248,68
Com a calculadora, obtemos...
N = 3 Pmt = -100
VF = 0 i = 10% aa
VF = 248,68
Resposta: O valor futuro desta anuidade é R$ 248,68.
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
87
2.3.4 EXEMPLO 4
Suponhamos que você deposite R$2.000,00 hoje em sua poupança, que rende 10% ao ano.
Suponhamos agora que você vai retirar R$100,00 a cada final de ano, durante três anos.
Quanto você poderá ainda retirar ao final desses três anos?
Atenção! Neste caso, nosso interesse é calcular o valor futuro da anuidade.
Solução
Utilizando as fórmulas...
T=0 t=1 t=2 t=3
-2.000 -100 -100 -100
VF = PV (1 + i)3 + PMT (1 + i)2 + PMT (1 + i) + PMT
VF = 2.000 x 1,13 + 100 x 1,12 + 100 x 1,1 + 100 = 2.993,00
Com a calculadora, obtemos...
N = 3 Pmt = -100
VP = -2.000 i = 10% aa
VF = 2.993,00
Resposta: O valor futuro desta anuidade é R$ 2.993,00
Vamos ao último exemplo sobre anuidade...
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
88
2.3.5 LISTA DE EXERCÍCIOS
Acesse, no ambiente on-line, a lista de exercícios desta unidade.
2.4 PERPETUIDADES
A perpetuidade é um conjunto de pagamentos – ou recebimentos – que não acabam nunca.
São pagamentos periódicos que duram para sempre, que não têm prazo para terminar.
Por isso, recebem o nome de perpetuidade.
2.4.1 EXEMPLOS
Vejamos uma demonstração do que é perpetuidade...
Exemplo 1...
Consideremos que você tenha investido R$100.000,00 em uma aplicação perpétua,
que pague 10% ao ano.
Você vai receber, a cada ano, em perpetuidade, R$10.000,00 a título de juros.
Pois...
R$100.000x 10% = R$10.000
Solução
Utilizando as fórmulas...
T=0 t=1 t=2 t=3
2.000 -100 -100 -100
VF = PV (1 + i)3 - PMT (1 + i)2 - PMT (1 + i) - PMT
VF = 2.000 x 1,3310 - 100 x 1,2100 - 100 x 1,1 - 100 = 2.331,00
Com a calculadora, obtemos...
N = 3 Pmt = -100
VP = 2.000 i = 10% aa VF = 2.331,00
Resposta: O valor futuro desta anuidade é R$ 2.331,00
Obviamente, em uma perpetuidade, o investimento fica investido para
sempre.
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
89
Exemplo 2...
Obviamente, o dia em que você retirar os R$100.000,00 da aplicação, vai deixar de
receber os juros de R$10.000,00.
É uma escolha, pois, à taxa de 10% ao ano, os R$100.000 hoje na mão é equivalente a
um fluxo de R$10.000 em perpetuidade.
Então, podemos dizer que receber R$10.000,00 periodicamente, em regime de
perpetuidade, é a mesma coisa que ter hoje na mão o valor presente de R$100.000,00,
considerando uma taxa para aplicação de 10% ao ano.
A fórmula que relaciona o investimento a valor presente – hoje – com o pagamento
dos fluxos em perpetuidade é...
VP = FC1 / i
2.5 RESUMO DAS FÓRMULAS
Resumindo, até agora, já aprendemos a calcular o valor presente de...
§§§§§ um único pagamento futuro >> VP = FCn / (1 + i)n;
§§§§§ diversos pagamentos futuros >> VP = Σt = 1t = n FC’s/(1 + i)n;
§§§§§ perpétuos pagamentos futuros >> VP = FC1 / i.
2.6 APRESENTAÇÃO DOS EXERCÍCIOS
Temos aprendido várias fórmulas...
O melhor modo de fixá-las é por meio de exemplos e exercícios!
Por isso, acompanhe com atenção os próximos exemplos e exercícios.
2.6.1 EXEMPLO 1
Imaginemos que você queira alugar um imóvel. O imóvel está avaliado em R$100.000,00.
A taxa de retorno para aluguéis nessa região é de 0,5% ao mês.
Vejamos o exemplo...
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
90
Como calcular o aluguel?
2.6.2 EXEMPLO 2
Consideremos, neste exemplo, que você queira alugar um imóvel... O aluguel é R$1.000,00.
A taxa de retorno para aluguéis nessa região é de 1,0% ao mês.
Qual deve ser o valor desse imóvel?
2.6.3 EXEMPLO 3
Suponhamos que seu imóvel esteja avaliado em R$200.000,00. E que você consiga alugá-lo
facilmente no mercado por R$1.000,00.
Solução
VP = FC1 / i
100.000 = FC1 / 0,005
FC1 = 500,00
Resposta: O aluguel mensal é R$500,00.
Solução
VP = FC1 / i
VP = 1.000 / 0,01
FC1 = 100.000,00
Resposta: O valor desse imóvel hoje é R$100.000,00.
Que tal analisarmos mais um exemplo?
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
91
Qual a taxa de retorno que você obteria?
2.6.4 EXEMPLO 4
O exemplo desta unidade demonstra a relação entre pagamentos periódicos e seu valor à vista.
Acesse, no ambiente on-line, o exemplo desta unidade.
2.6.5 EXERCÍCIOS
Acesse, no ambiente on-line, os exercícios desta unidade.
2.7 FLUXOS NÃO UNIFORMES
Como já sabemos, uma anuidade tem como característica básica o fato de ser uma série constante
de pagamentos – ou recebimentos.
Muitas vezes, no entanto, nos deparamos com uma série de pagamentos que são
diferentes ao longo do tempo, que não tem relação entre si, especialmente na análise
de fluxos de caixa de projetos de investimento de empresas.
Solução
VP = FC1 / i
200.000 = 1.000 / i
i = 1.000; 200.000 = 0,005 = 0,5% ao mês
Resposta: A taxa de retorno desse imóvel seria de 0,5% ao mês.
Primeiro, serão apresentadas diversas questões.
Depois, você verá uma explicação sobre elas. O exemplo é longo, por isso,
acompanhe-o com calma.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
92
2.8 CÁLCULO DE UM VALOR PRESENTE DE UM FLUXO NÃO UNIFORME NA FÓRMULA
O valor presente de um fluxo não uniforme pode ser calculado achando-se o valor presente de
cada fluxo individualmente, e somando-se depois todos os valores encontrados.
Supondo uma taxa de juros de 20% por período, temos...
2.9 CÁLCULO DE UM VALOR PRESENTE DE UM FLUXO NÃO UNIFORME NA CALCULADORA
Podemos utilizar a calculadora financeira, ou mesmo a planilha Excel para automatizar os cálculos
necessários.
t=0 t=1 t=2 t=3
0 294.000 616.000 938.000
VP (FC1) = FC
1 / (1 + i)1 = 245.000,00
VP (FC2) = FC
2 / (1 + i)2 = 427.777,78
VP (FC3) = FC
3 / (1 + i)3 = 542.824,07
Total (t=0) = 245.000,00 + 427.777,78 + 542.824,07 =
1.215.601,85
Esses pagamentos são os chamados fluxos não uniformes.
Vejamos um exemplo...
T=0 t=1 t=2 t=3
0 294.000 616.000 938.000
Vamos calcular o valor presente de um fluxo não uniforme pela fórmula?
Vamos calcular o valor presente de um fluxo de caixa não uniforme na
calculadora?
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
93
Considere o mesmo fluxo anterior. O procedimento passo a passo para HP 12c envolve o uso das
teclas azuis, que são acessadas sempre que se digita a tecla g, é o seguinte...
2.10 PAGAMENTOS BALÃO - PAGAMENTOS INTERMEDIÁRIOS
São encontrados, eventualmente, nos pagamentos das mensalidades e anuidades, alguns
pagamentos intermediários com valores mais elevados.
Esses pagamentos visam atender as necessidades, os perfis, ou as características dos
fluxos de caixa dos credores e devedores.
2.10.1 EXEMPLO
Imaginemos esta situação...
Um tomador de financiamento para a compra de um automóvel gostaria de usar
integralmente o pagamento do décimo terceiro salário, todos os anos, para acelerar o
pagamento da divida.
Então as prestações do seu financiamento incluirão, a cada 12 meses, uma prestação
maior, coincidindo com o recebimento do décimo terceiro salário.
Procedendo dessa forma, ao invés de financiar em 48 meses, o indivíduo poderia
quitar o financiamento, por exemplo, em 36 meses.
E, melhor de tudo, pagando as mesmas prestações mensais.
Chamamos esses pagamentos anuais extras de intermediária.
2.10.2 EXEMPLO 2
Agora, imaginemos esta situação...
Uma construtora financia a venda de imóveis residenciais novos ainda em construção.
1 0 g Fo
2 294.000 g Fj
3 616.000 g Fj
4 938.000 g Fj
6 20 i
7 f PV
Obtemos, então, 1.215.601,85.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
94
Quando o imóvel fica pronto, na hora da entrega das chaves, a construtora cobra um pagamento
maior, chamado de pagamento para entrega das chaves.
Esse pagamento balão é chamado de pagamento balão.
Depois, continuam as prestações menores, já com o comprador morando no imóvel.
2.10.3 EXEMPLO 3
Consideremos que você tenha um financiamento de casa própria.
Você deve pagar 60 prestações mensais e sucessivas no valor de R$950,00 cada.
Além dessas prestações, você deve pagar, a cada seis meses, uma intermediária no valor de
R$4.000,00.
A taxa de juros é de 1% ao mês.
Qual é o valor presente do financiamento?
Dessa vez, veremos um exemplo que inclui cálculos.
Solução
Cálculo do VP das mensais...
Pmt = 950 mensais
N = 60 meses
FV = 0
I = 1% ao mês
PV = ?
Cálculo do VP das semestrais...
Pmt = 4.000 semestrais
N = 10 semestres
FV = 0
I = 6,15201506% ao semestre
PV = ?
Somando o VP das duas sequências de pagamentos obtemos o resultado.
Resposta: O valor presente do financiamento é R$71.936,76.
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
95
2.10.4 LISTA DE EXERCÍCIOS
Acesse, no ambiente on-line, a lista de exercícios desta unidade.
2.11 SÍNTESE
Acesse, no ambiente on-line, a síntese desta unidade.
UNIDADE 3 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO E EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA
3.1 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMO
Um empréstimo pode ser amortizado – pago – de diferentes formas. Os modelos mais conhecidos
e utilizados no mercado são...
Sistema de pagamento no final – pagam-se os juros capitalizados mais o principal ao final...
O financiamento é pago, de uma única vez, no final; juros mais principal. Os juros são
capitalizados – mas não pagos –, ao final de cada período – mês ou ano. Esta modalidade de
pagamento é utilizada em papéis de renda fixa – letras de câmbio ou certificados de depósito
com renda final – e títulos descontados em banco comercial.
Sistema de pagamento periódico de juros – onde o principal é pago apenas ao final...
Somente o pagamento de juros é realizado ao final de cada período e, ao final do prazo
do empréstimo, além dos juros do último período, é pago o principal integral. Este sistema é
conhecido também como sistema americano de amortização. Esta modalidade é utilizada em
papéis de renda fixa com renda paga periodicamente – letras de câmbio com renda mensal,
certificados de depósito com renda mensal, trimestral...
Sistema de Prestações Iguais – ‘PRICE’...
O sistema PRICE também é conhecido como sistema francês. A parcela periódica de pagamentos –
prestações – compreende os juros do período mais a amortização de parte do principal. Esta modalidade
é utilizada em financiamentos imobiliários e crédito direto ao consumidor. Seu cálculo pode ser assim
processado...
§ cálculo do valor da prestação constante – com o uso de tabelas ou de calculadoras;
§ cálculo dos juros do período, pela aplicação da taxa do contrato sobre os valores do
saldo – remanescente do principal – no início do período;
§ cálculo da amortização do principal, pela diferença entre o valor da prestação e o
valor dos juros do período.
Observamos que os juros de cada prestação vão diminuindo com o tempo, pois o principal
remanescente vai se tornando cada vez menor. Como o valor da prestação é constante, a parcela
de amortização de cada prestação aumenta ao longo do tempo.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
96
Sistema de Amortizações Constantes – SAC...
O sistema SAC é utilizado em financiamentos imobiliários e financiamentos a empresas
por parte de entidades governamentais ou privadas. O financiamento é pago em
prestações decrescentes. Cada parcela compreende pagamento de juros e de
amortização de parte do principal.
Para calculá-lo, devemos efetuar...
§ o cálculo da amortização do principal, que tem valor constante em todas as
prestações por meio da divisão do principal pelo número de prestações;
§ o cálculo dos juros do período, pela aplicação da taxa do contrato sobre o valor do
saldo – remanescente do principal – no início do período;
§ o cálculo do valor da prestação pela soma da amortização do principal com os juros
do período.
Em cada período, o principal remanescente decresce do valor de uma amortização. Como
todas as amortizações são iguais, esse decréscimo será uniforme e, portanto, os juros dos períodos
também serão uniformemente decrescentes ao longo do tempo.
Sistema de Amortização Misto – SAM...
O sistema misto SAM é utilizado na liquidação de financiamentos da casa própria. O principal é
pago em parcelas periódicas, cujos valores correspondem à média do sistema PRICE e do sistema
de amortizações constantes – SAC –, ou seja, sistema francês 50% e SAC 50%.
Para calculá-lo, devemos saber o valor...
§ das prestações pelo sistema PRICE;
§ do pagamento de prestações iguais e periódicas;
§ das prestações pelo sistema SAC.
3.2 DESAFIO
Acesse, no ambiente on-line, um jogo sobre o conteúdo deste módulo.
3.2.1 JOGO
Acesse, no ambiente on-line, um jogo sobre o conteúdo deste módulo.
3.3 ESTUDO DE CASO
O Banco Federal emprestou R$100,00 a um cliente, por três anos, cobrando uma taxa de juros de
10% ao ano. Esse empréstimo poderá ser liquidado de diferentes maneiras por meio do pagamento
de prestações. Vejamos como seria pago pelos seguintes sistemas de amortização...
§§§§§ pagamento no final;
§§§§§ sistema PRICE;
§§§§§ sistema SAM;
§§§§§ pagamento periódico;
§§§§§ sistema SAC.
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
97
3.3.1 PAGAMENTO NO FINAL
O Banco Federal emprestou R$ 100,000 a um cliente, por três anos, cobrando uma taxa de juros
de 10% ao ano. Esse empréstimo poderá ser liquidado de diferentes maneiras, por meio do
pagamento de prestações. Vejamos como seria pago pelos seguintes sistemas de amortização...
Pagamento no final
O financiamento é pago, de uma única vez, no final, juros mais principal. Os juros são
capitalizados (mas não pagos), ao final de cada período – mês ou ano. Esta modalidade de
pagamento é utilizada em papéis de renda fixa – letras de câmbio ou certificados de depósito
com renda final – e títulos descontados em banco comercial.
Sistema de pagamento de juros e principal no final
-133,10
Como neste sistema o pagamento é todo feito no final – não há prestações
intermediárias –, no final do primeiro ano, t =1, não há desembolso.
Memória de cálculo
Saldo devedor inicial (t = 0) ... R$100,00
Saldo devedor em t = 1... VF = VP (1 + i)1
VF = 100 (1 + 0,1) = 110
Como nada foi pago, esse saldo devedor é levado ao período seguinte.... (VP
em t=2 será R$110,00).
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
98
3.3.2 PAGAMENTO PERIÓDICO
O Banco Federal emprstou R$ 100,000 a um cliente, por três anos, cobrando uma taxa de juros de
10% ao ano. Esse empréstimo poderá ser liquidado de diferentes maneiras, por meio do pagamento
de prestações. Vejamos como seria pago pelos seguintes sistemas de amortização...
Pagamento periódico
Somente o pagamento de juros é realizado ao final de cada período e, ao final do prazo
do empréstimo, além dos juros do último período, é pago o principal integral. Este sistema é
conhecido também como sistema americano de amortização.
Esta modalidade é utilizada em papéis de renda fixa com renda paga periodicamente - letras de
câmbio com renda mensal, certificados de depósito com renda mensal, trimestral...
Como neste sistema o pagamento é todo feito no final, é exatamente no t = 3
– final do prazo do empréstimo – que tudo (principal + juros) será pago.
Memória de cálculo
Saldo devedor em t = 2 ... R$121,00
Saldo devedor em t = 3... VF = VP (1 + i)1
VF = 121 (1 + 0,1) = 133,10
Saldo devedor em t = 3, após pagamento = R$0,00.
Como neste sistema o pagamento é todo feito no final – não há prestações
intermediárias –, no final do segundo ano, t =2, também não há desembolso.
Memória de cálculo
Saldo devedor em t = 1 ... R$110,00
Saldo devedor em t = 2... VF = VP (1 + i)1
VF = 110 (1 + 0,1) = 121
Como nada foi pago, esse saldo devedor é levado ao período seguinte... (VP
em t=3 será R$121,00).
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
99
Sistema de pagamento de juros periódicos e principal no final
Como neste sistema, a cada período, é realizado o pagamento dos juros e, no
final, o pagamento dos juros do último período mais o principal, no final do
primeiro ano, t=1, só pagamos os juros do primeiro ano da operação.
Memória de cálculo
Saldo devedor inicial (t = 0) ... R$100,00
Saldo devedor em t = 1... VF = VP (1 + i)1
VF = 100 (1 + 0,1) = 110
Com o pagamento dos juros no valor de R$10,00, o saldo devedor em t = 1,
após o pagamento da prestação, é 110,00 - 10,00 = 100,00. Esse é, pois, o
saldo devedor levado para t = 2 (VP em t = 2 será R$100,00).
Prestação = amortização + juros
Como, neste caso, não há amortizações periódicas – o pagamento é feito todo
ao final –, a prestação dos períodos intermediários passa a ser igual aos juros.
Em t = 1...
Juros = 10,00
Amortização = 0,00
Prestação = 10,00
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
100
Como neste sistema, a cada período, é realizado o pagamento dos juros e, no
final, o pagamento dos juros do último período mais o principal, no final do
último período, t=3, pagamos os juros relativos a esse período mais o principal.
Memória de cálculo
Saldo devedor inicial (t = 2) ... R$100,00
Saldo devedor em t = 3... VF = VP (1 + i)1
VF = 100 (1 + 0,1) = 110
Com o pagamento dos juros no valor de R$10,00, o saldo devedor em t = 3,
após o pagamento da prestação, é 110,00 - 110,00 = 0,00.
Como neste sistema, a cada período, é realizado o pagamento dos juros e, no
final, o pagamento dos juros do último período mais o principal, no final do
segundo ano, t=2, só pagamos os juros relativos ao segundo ano da operação.
Memória de cálculo
Saldo devedor inicial (t = 1) ... R$100,00
Saldo devedor em t = 2... VF = VP (1 + i)1
VF = 100 (1 + 0,1) = 110
Com o pagamento dos juros no valor de R$10,00, o saldo devedor em t = 2,
após o pagamento da prestação, é 110,00 - 10,00 = 100,00. Esse é, pois, o
saldo devedor levado para t = 3 (VP em t = 3 será R$100,00).
Prestação = amortização + juros
Como, nesse caso, não há amortizações periódicas – o pagamento é feito todo
ao final –, a prestação dos períodos intermediários passa a ser igual aos juros.
Em t = 2...
Juros = 10,00
Amortização = 0,00
Prestação = 10,00
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
101
3.3.3 SISTEMA PRICE
O Banco Federal emprstou R$ 100,000 a um cliente, por três anos, cobrando uma taxa de juros de
10% ao ano. Esse empréstimo poderá ser liquidado de diferentes maneiras, por meio do pagamento
de prestações. Vejamos como seria pago pelos seguintes sistemas de amortização...
Sistema PRICE
Sistema de prestações iguais (também conhecido como sistema francês)...
A parcela periódica de pagamentos - prestações - compreende os juros do período mais a
amortização de parte do principal. Esta modalidade é utilizada em financiamentos imobiliários e
crédito direto ao consumidor. Seu cálculo pode ser assim processado...
– cálculo do valor da prestação constante – com o uso de tabelas ou de calculadoras;
– cálculo dos juros do período, pela aplicação da taxa do contrato sobre os valores do
saldo - remanescente do principal - no início do período;
– cálculo da amortização do principal pela diferença entre o valor da prestação e o
valor dos juros do período.
Observamos que os juros de cada prestação vão diminuindo com o tempo, pois o principal
remanescente vai se tornando cada vez menor. Como o valor da prestação é constante, a parcela
de amortização aumenta ao longo do tempo.
Sistema de pagamento de prestações iguais e periódicas
Prestação = amortização + juros
Como, neste caso, não há amortizações periódicas – o pagamento é feito todo
no final –, é no último período que o principal é pago, juntamente com os juros
do período.
Em t = 1...
Juros = 10,00
Amortização = 100,00
Prestação = 110,00
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
102
Entendendo o saldo devedor em t = 1 e o que faz parte da prestação...
Memória de cálculo
Saldo devedor inicial (t = 0) ..... R$100,00
Saldo devedor em t = 1.... VF = VP (1 + i)1
VF = 100 (1 + 0,1) = 110
Com o pagamento da primeira prestação de R$ 40,21, o novo saldo devedor
passa a ser 110,00 - 40,21= 69,79. Esse é, pois, o saldo devedor levado para t = 2
(VP em t = 2 será R$ 69,79).
Entendendo o saldo devedor em t = 2 e o que faz parte da prestação...
Memória de cálculo
Saldo devedor inicial (t = 1)... R$ 69,79
Saldo devedor em t = 2... VF = VP (1 + i)1
VF = 69,79 (1 + 0,1) = 76,77
Com o pagamento da segunda prestação de R$ 40,21, o novo saldo devedor
passa a ser 76,77 - 40,21= 36,56. Esse é, pois, o saldo devedor levado para t = 3
(VP em t=3 será R$ 36,56).
Prestação = amortização + juros ou... Amortização = prestação - juros
Desmembrando a segunda prestação...
Saldo devedor... 69,79
Valor da prestação... R$ 40,21
Juros = saldo devedor x taxa de juros... R$ 69,79 x 0,1 = R$ 6,98
Amortização é a diferença... R$ 40,21 - R$ 6,98 = R$ 33,23
Saldo devedor após pagamento... R$ 69,79 - R$ 33,23 = R$ 36,56
Nesta prestação, R$33,23 correspondem à amortização da dívida e R$ 6,98
ao pagamento dos juros do período.
Prestação = amortização + juros ou... Amortização = prestação - juros.
Desmembrando a primeira prestação...
Saldo devedor inicial... 100,00
Valor da prestação... R$ 40,21
Juros = saldo devedor x taxa de juros... R$ 100,00 x 0,1 = R$ 10,00
Amortização é a diferença... R$ 40,21 - R$ 10,00 = R$ 30,21
Saldo devedor após pagamento... R$ 100,00 - R$ 30,21 = R$ 69,79
Nesta prestação, R$ 30,21 correspondem à amortização da dívida e R$ 10,00
ao pagamento dos juros do período.
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
103
Neste caso, a primeira coisa que devemos fazer é calcular o valor da prestação da HP...
Utilizando a calculadora financeira...
Teclando 100 mais a tecla...
PV: valor presente.
Teclando 10 mais a tecla...
i: taxa de juros de 10%.
Teclando 3 mais a tecla...
n: prazo do empréstimo.
Teclando 0 mais a tecla...
FV: valor futuro.
Prestação = amortização + juros ou... Amortização = prestação - juros
Desmembrando a terceira prestação...
Saldo devedor... 36,56
Valor da prestação... R$ 40,21
Juros = saldo devedor x taxa de juros... R$ 36,56 x 0,1 = R$ 3,65
Amortização é a diferença... R$ 40,21 - R$ 3,65 = R$ 36,56
Saldo devedor após pagamento... R$ 36,56 - R$ 36,56 = R$ 0,00
Nesta prestação, R$ 36,56 correspondem à amortização da dívida e R$ 3,65
ao pagamento dos juros do período.
Entendendo o saldo devedor em t = 3 e o que faz parte da prestação...
Memória de cálculo
Saldo devedor inicial (t = 2)... R$36,56
Saldo devedor em t = 3... VF = VP (1 + i)1
VF = 36,56 (1 + 0,1) = 40,21
Com o pagamento da terceira prestação de R$ 40,21, após o pagamento da
prestação, o novo saldo devedor é 40,21 - 40,21 = 0,00... Dívida quitada...
Se o saldo devedor final deve ser igual a zero, já que ele tem de pagar o
empréstimo em 3 anos, seu valor futuro (FV) deve ser zero.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
104
Teclando PMT, vemos no visor o valor -40,21.
Utilizando o “excel”...
Acesse, no ambiente on-line, uma simulação no “excel”.
Resultados consolidados...
As diferenças de R$ 0,01 resultam de arredondamentos.
As fórmulas utilizadas para o cálculo das prestações de um financiamento são complexas. Para
facilitar seu uso, devemos empregar a calculadora financeira. Apenas a título de ilustração,
vamos ver, aqui, fórmulas que relacionam...
§ i é a taxa de juros composta;
§ n é o período de duração do financiamento ou empréstimo.
Valor Presente com Valor Futuro...
Valor Presente com Pagamentos Uniformes...
Valor Futuro com Pagamentos Uniformes...
Calculamos, assim, o valor das prestações do sistema PRICE.
O sinal negativo significa que, se você recebeu R$ 100,00, deverá pagar 3
prestações – PMT – de R$ 40,21. O sinal (+) indica, pois, recebimento, enquanto o
sinal (-) indica pagamento.
Na linguagem das calculadoras financeiras, os fluxos de caixa, quando
idênticos – constantes –, são chamados de PMT –, do inglês, abreviação de
PayMenTs.
VP = PMT { [ (1+ i )n - 1] / i (1+ i )n}
VF = PMT { [ (1+ i )n - 1] / i}
VF = VP (1+ i)n
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
105
3.3.4 SISTEMA SAC
O Banco Federal emprstou R$ 100,000 a um cliente, por três anos, cobrando uma taxa de juros de
10% ao ano. Esse empréstimo poderá ser liquidado de diferentes maneiras, por meio do pagamento
de prestações. Vejamos como seria pago pelos seguintes sistemas de amortização...
Sistema SAC
Pelo sistema de amortizações constantes SAC...
O sistema SAC é utilizado em financiamentos imobiliários e financiamentos a empresas por parte
de entidades governamentais ou privadas. Este financiamento é pago em prestações decerscentes.
Cada parcela compreende pagamento de juros e da amortização de parte do principal.
Para calculá-lo, devemos efetuar...
– o cálculo da amortização do principal, que tem valor constante em todas as
prestações, por meio da divisão do principal pelo número de prestações;
– saldo – remanescente do principal - no início do período;
– o cálculo do valor da prestação pela soma da amortização do principal com os juros
do período.
Em cada período, o principal remanescente decresce do valor de uma amortização. Como
todas as amortizações são iguais, esse decréscimo será uniforme e, portanto, os juros dos períodos
também serão uniformemente decrescentes ao longo do tempo.
Calculando a primeira prestação...
Prestação = amortização + juros
A amortização constante = 33,33. E os juros...
Juros em t = 1... (principal remanescente x taxa)
Juros em t = 1... 100,00 x 0,1 = 10,00
Prestação 1 = 33,33 + 10,00 = 43,33
Principal remanescente = 100,00 - 33,33 = 66,66
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
106
Repare que o que vale é a diferença...
SALDO DEVEDOR - PRESTAÇÃO
Neste caso, o que vale é a diferença...
PRINCIPAL REMANESCENTE - AMORTIZAÇÃO
Se você for reler a definição do sistema SAC, verá que...
(...) o cálculo dos juros do período se dá pela aplicação da taxa do
contrato sobre o valor do saldo – remanescente do principal – no início
do período; e que (...) Em cada período, o principal remanescente
decresce do valor de uma amortização.
O valor da amortização se dá por meio da divisão do principal pelo número de
prestações.
Amortização = Principal / número de prestações
Amortização = 100,00 / 3 = 33,33
Calculando a segunda prestação...
Prestação = amortização + juros
A amortização é constante = 33,33. E os juros...
Juros em t = 2... (principal remanescente x taxa)
Juros em t = 2... 66,66 x 0,1 = 6,66
Prestação 2 = 33,33 + 6,66 = 40,00
Principal remanescente = 66,66 - 33,33 = 33,33
Calculando a terceira prestação...
Prestação = amortização + juros
A amortização é constante = 33,33. E os juros...
Juros em t = 3... (principal remanescente x taxa)
Juros em t = 3... 33,33 x 0,1 = 3,33
Prestação 3 = 33,33 + 3,33 = 36,66
Principal remanescente = 33,33 – 33,33 = 0,00
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
107
Resultados consolidados...
3.3.5 SISTEMA SAM
O Banco Federal emprstou R$ 100,000 a um cliente, por três anos, cobrando uma taxa de juros de
10% ao ano. Esse empréstimo poderá ser liquidado de diferentes maneiras, por meio do pagamento
de prestações. Vejamos como seria pago pelos seguintes sistemas de amortização...
Sistema SAM
Pelo SAM – o sistema misto SAM é utilizado na liquidação de financiamentos da casa própria –, o
principal é pago em parcelas periódicas, cujos valores correspondem à média do sistema PRICE e
do sistema de amortizações constantes – SAC –, ou seja, sistema francês 50% e SAC 50%.
Para cálculá-lo, devemos saber o valor...
§ das prestações pelo sistema PRICE;
§ das prestações pelo sistema SAC.
Resultados consolidados – Sistema PRICE...
Resultados consolidados – Sistema SAC...
Sistema SAM...
Prestação – PRICE 40,21 40,21 40,21
(+)
Prestação – SAC 43,33 40,00 36,66
83,54 80,21 76,87
/2
41,77 40,10 38,43
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
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3.4 EXEMPLO 1
Uma fábrica de tachinhas vende 1.000 taxinhas por mês, de um único modelo, por R$ 0,90 cada
unidade. Seus custos variáveis são de R$ 0,40 por unidade e os custos fixos mensais são de R$
300,00. A alíquota do único imposto que incide sobre o lucro da operação é de 20%. Assumindo
que as vendas não mudem ao longo do tempo, qual é o fluxo de caixa dessa fábrica a cada mês?
Faturamento (entrada): 1000 x 0,90 = R$ 900,00
Custos operacionais (saída): 1000 x 0,40 = R$ 400,00 – custos variáveis
+ R$ 300,00 – custos fixos
R$ 700,00 – custo total
Resultado bruto: R$ 900,00 - R$ 700,00 = R$ 200,00
Aplicando a alíquota do único imposto (20%)... R$ 200,00 x 20% = - R$ 40,00 – IRPJ
Fluxo de caixa – resultado operacional líquido... R$160,00
O fluxo de caixa líquido dessa fábrica para seus investidores é de R$ 160,00 por mês.
3.5 EXEMPLO 2
Você deve uma quantia a seu cunhado, que lhe ofereceu três alternativas para pagar essa dívida
a uma taxa de juros de 10% ao ano: a) ao final de 1 ano, pagar R$ 2.200,00; b) ao final de 2 anos,
pagar R$ 2.420,00; c) ao final de 3 anos, pagar R$ 2.662,00.
Acesse, no ambiente on-line, uma simulação deste cálculo.
Essas três alternativas são equivalentes?
entrada (+)
saída (-)
Um fluxo de caixa é formado por entradas e saídas... Vamos começar
calculando o dinheiro que entra!
Vejamos, agora, os custos...
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
109
Veja, a seguir, as opções a, b e c...
Opção a
Você está liquidando o empréstimo do seu cunhado, com uma taxa de juros de 10%
ao ano, quando paga uma prestação de R$ 2.200,00 em t = 1. O valor presente de R$
2.200,00 em t = 0 é R$ 2.000,00.
VF = VP (1 + i)n
2.200 = VP (1 + 0,1)1
VP = 2.000
Opção b
Você está quitando o empréstimo de seu cunhado, com uma taxa de juros de 10% ao
ano, quando paga uma prestação de R$ 2.420,00 em t = 2. Calculando o valor presente
em t = 0, obtemos R$ 2.000,00.
VF = VP (1 + i)n
2.420 = VP (1 + 0,1)2
VP = 2.000
Opção c
Você está quitando o empréstimo de seu cunhado, com uma taxa de juros de 10% ao
ano, quando paga uma prestação de R$ 2.662,00 em t = 3. Calculando o valor presente
em t = 0, obtemos R$ 2.000,00.
Como chegamos a esse valor?
Como chegamos a esse valor?
Como chegamos a esse valor?
Puxa!!! Chegamos ao mesmo VP da opção a.
t = 0
2000 (-)
opção C
opção B
opção A
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
110
VF = VP (1 + i)n
2.662 = VP (1 + 0,1)3
VP = 2.000
Como vimos, as alternativas são equivalentes, pois têm o mesmo VP.
3.6 LISTA DE EXERCÍCIOS
Acesse, no ambiente on-line, a lista de exercícios sobre o conteúdo desta unidade.
3.7 SÍNTESE
Acesse, no ambiente on-line, a síntese desta unidade.
3.8 AVALIAÇÃO
Acesse, no ambiente on-line, a avaliação deste módulo.
3.9 JOGO
Acesse, no ambiente on-line, um jogo sobre o conteúdo deste módulo.
3.10 AUTOAVALIAÇÃO
Acesse, no ambiente on-line, a autoavaliação deste módulo.
3.11 APRESENTAÇÃO DOS EXERCÍCIOS
UNIDADE 4 – ATIVIDADES
4.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Você vendeu um equipamento e vai aplicar o dinheiro que recebeu nesta transação, auma taxa mensal de 10% no regime de capitalização simples.
Qual é a taxa anual equivalente à taxa mensal de 10% no regime de capitalizaçãosimples?
a) A taxa de juros anual equivalente é de 12%.
b) A taxa de juros anual equivalente é de 240%.
c) A taxa de juros anual equivalente é de 120%.
d) A taxa de juros anual equivalente é de 30%.
e) A taxa de juros anual equivalente é 36%.
Interessante... Mesmo VP de novo.
Muito bem! Vamos passar agora aos exercícios de fixação!
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
111
QUESTÃO 2
Você precisa comprar uma cafeteira nova para seu bistrô, pagando a perder de vista.
Junto ao preço do aparelho, a loja anunciava uma taxa de juros de 2% ao mês para os
pagamentos a prazo.
Qual é a taxa anual de juros, equivalente a 2% ao mês, cobrada pela loja?
a) A taxa de juros anual equivalente é 12%.
b) A taxa de juros anual equivalente é 24%.
c) A taxa de juros anual equivalente é 26.82%.
d) A taxa de juros anual equivalente é 13.42%.
e) A taxa de juros anual equivalente é 10%.
QUESTÃO 3
Você está interessado em um crédito automático oferecido pelo Banco Porto. A taxa
de juros compostos mensal cobrada por esse banco é 3,5% ao mês.
Já o Banco Puerta cobra 60% ao ano.
Qual das duas instituições cobra menos juros?
a) O Banco Porto, pois cobra 42% ao ano.
b) O Banco Puerta, pois cobra 60% ao ano.
c) O Banco Porto, pois cobra aproximadamente 42,88% ao ano.
d) O Banco Porto, pois cobra 3,5% ao ano.
e) O Banco Porto, pois cobra aproximadamente 51,11% ao ano.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 3
112
QUESTÃO 4
Você deseja conhecer a Rússia, aproveitando os preços promocionais e pagamentos
facilitados das passagens aéreas. Em uma dessas promoções a taxa é de 18% ao ano.
Você pretende efetuar os pagamentos em menos de um ano e, para isso, deseja saber
o equivalente em meses a essa taxa de juros anual.
Qual é a taxa mensal cobrada, equivalente a 18% ao ano, no regime de capitalização
composto?
a) A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,3888% ao mês.
b) A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,50% ao mês.
c) A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,80% ao mês.
d) A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,888% ao mês.
e) A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,111% ao mês.
QUESTÃO 5
Você se aborreceu com a empresa na qual mantinha um seguro de vida. Ao invés de
renovar o seguro, resolveu aplicar os R$ 2.500,00 que pagava anualmente à seguradora.
Quanto você irá receber de juros, se aplicar os R$ 2.500,00, a uma taxa nominal de 24%
ao ano, capitalizada mensalmente?
a) Você irá receber R$ 3.170,60 de juros ao final de um ano.
b) Você irá receber R$ 2.500,00 de juros ao final de um ano.
c) Você irá receber R$ 670,60 de juros ao final de um ano.
d) Você irá receber R$ 2.670,60 de juros ao final de um ano.
e) Você irá receber R$ 1.670,00 de juros ao final de um ano.
Matemática Financeira M Ó D U L O 3
113
QUESTÃO 6
Você precisa comprar um carro novo. Para isso, irá aplicar seu dinheiro a uma taxa
nominal anual de 36%, com capitalização mensal.
Se você aplicá-los por 3 meses, qual será a taxa mensal, trimestral e semestral equivalente
a essa taxa anual?
a) As taxas equivalentes seriam 3% a. m.; 9,273% a. t. e 19,405% a. s.
b) As taxas equivalentes seriam 3% a. m.; 19,405% a. t. e 9,272% a. s.
c) As taxas equivalentes seriam 3% a. m.; 9% a. t. e 19% a. s.
d) As taxas equivalentes seriam 3,124% a. m.; 9,273% a. t. e 19,405% a. s.
e) As taxas equivalentes seriam 3% a. m.; 9% a. t. e 19% a. s.
QUESTÃO 7
Você recebeu R$ 20.000,00 após 4 anos de uma aplicação financeira, para poder
reformar seu bistrô. A taxa de juros nominal que remunerou sua aplicação foi de 30%
ao ano com capitalização mensal.
Qual foi o valor da aplicação que você realizou quatro anos atrás?
a) O valor original da aplicação foi R$ 6.113,42.
b) O valor original da aplicação foi R$ 7.002,55.
c) O valor original da aplicação foi R$ 15.198,00.
d) O valor original da aplicação foi R$ 57.122,00.
e) O valor original da aplicação foi R$ 3.006,53.
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114
QUESTÃO 8
O Banco Porto anuncia taxas de juros nominais de 40,80% ao ano com capitalização
mensal para aplicações em seu fundo A de renda fixa.
O Banco Puerta anuncia taxas de juros nominais de 42% ao ano com capitalização
semestral, também para aplicações em seu fundo B de renda fixa.
Se você tivesse R$ 28.000,00 para investir por 2 anos, qual banco escolheria?
a) Você deve escolher o Banco Puerta. Ele paga 46,41% ao ano.
b) Você deve escolher o Banco Puerta. Ele paga 42% ao ano.
c) Você deve escolher o Banco Porto. Ele paga 40,80% ao ano.
d) Você deve escolher o Banco Porto. Ele paga 49,36% ao ano.
e) Você deve escolher o Banco Puerta. Ele paga 52% ao ano.
QUESTÃO 9
Você venceu uma competição esportiva e, como prêmio, ganhou R$ 2.500,00. Você
aplicou essa quantia a uma taxa de juros efetiva de 24% a.a.
Quanto você vai receber de juros, se mantiver essa aplicação, com capitalização
composta, durante um ano?
a) Você deve receber R$ 600,00 de juros ao final de um ano.
b) Você deve receber R$ 3.100,00 de juros ao final de um ano.
c) Você deve receber R$ 2.500,00 de juros ao final de um ano.
d) Você deve receber R$ 5.600,00 de juros ao final de um ano.
e) Você deve receber R$ 3.600,00 de juros ao final de um ano.
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115
QUESTÃO 10
Você precisa comprar um forno novo e pretende pagá-lo ao final de quatro anos. Você
pagará R$ 100,00, com uma taxa de juros de 12% a.a., no regime de juros compostos.
Qual o montante acumulado, no final desse período?
a) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 57,35.
b) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 157,35.
c) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 257,35.
d) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 357,35.
e) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 137,35.
QUESTÃO 11
Uma loja promete vender seus artigos de R$ 100,00 a uma taxa de juros efetiva de 6%
ao semestre, no regime de juros compostos.
Qual é o montante acumulado, ao final de quatro anos, a partir do principal de R$ 100,00?
a) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 159,38.
b) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 59,38.
c) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 259,38.
d) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 359,38.
e) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 459,38.
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116
QUESTÃO 12
O Banco Porto anuncia que aplicações em seu fundo de investimentos de renda fixa
pagam uma taxa de 12% nominais ao ano, com capitalização mensal.
Qual é a taxa efetiva anual oferecida pelo banco?
a) A taxa efetiva anual é 12,00% ao ano.
b) A taxa efetiva anual é 1,00% ao ano.
c) A taxa efetiva anual é 13,825% ao ano.
d) A taxa efetiva anual é 12,6825% ao ano.
e) A taxa efetiva anual é 8,00% ao ano.
QUESTÃO 13
Para cobrir despesas hospitalares, você teve de fazer, junto a seu banco, um empréstimo
no valor de R$ 2.000,00, com uma taxa de juros de 4% ao ano.
Usando o sistema PRICE, calcule o valor das prestações anuais que liquidariam esse
empréstimo em 4 anos.
a) As prestações são constantes e cada uma é R$ 550,98.
b) As prestações são constantes e cada uma é R$ 500,00.
c) As prestações são constantes e cada uma é R$ 650,98.
d) As prestações são constantes e cada uma é R$ 450,98.
e) As prestações são constantes e cada uma é R$ 750,98.
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117
QUESTÃO 14
Você tem que pegar um empréstimo de R$ 100.000,00 para tentar salvar sua empresa. Foram
oferecidos a você, dois sistemas de amortização – o sistema de amortização I e o sistema de
amortização II.
A taxa de juros compostos que incide sobre este empréstimo foi de 12% ao ano.
Verifique se esses sistemas são equivalentes, ou seja, se eles têm o mesmo valor presente.
a) Não, pois não têm o mesmo valor presente.
b) Sim, pois o valor presente de ambos é R$ 50.000,00.
c) Sim, pois o valor presente de ambos é R$ 100.000,00.
d) Sim, pois o valor presente de ambos é R$ 150.000,00.
e) Sim, pois o valor presente de ambos é R$ 250.000,00.
QUESTÃO 15
A Associação dos Estudiosos de Matemática Financeira vai realizar um evento no Rio
de Janeiro. Para cumprir os compromissos financeiros assumidos, irá utilizar uma carteira
de investimentos composta por 4 títulos.
A carteira de títulos paga 4 fluxos de caixa idênticos, no valor de R$ 850,00, em t=1,
t=2, t=3 e t=4.
Determine o valor presente dessa carteira, considerando que a taxa para desconto é de
8% por período.
a) O valor do ativo carteira de investimentos é de R$ 3.400,00.
b) O valor do ativo carteira de investimentos é de R$ 2.815,31.
c) O valor do ativo carteira de investimentos é de R$ 3.825,66.
d) O valor do ativo carteira de investimentos é de R$ 2.333,33.
e) O valor do ativo carteira de investimentos é de R$ 1.322,31.
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118
QUESTÃO 16
Uma empresa da área de doces quer lançar sua linha diet. Essa nova linha deve pagar,
no futuro, 3 fluxos de caixa, no valor de R$ 1.800,00, R$ 2.800,00 e R$ 1.300,00, em
t=1, t=2 e t=3, respectivamente.
Determine o valor presente desse projeto, considerando que a taxa para desconto é de
10% por período.
a) O valor do projeto é de R$ 5.900,00.
b) O valor do projeto é de R$ 3.456,78.
c) O valor do projeto é de R$ 4.927,12.
d) O valor do projeto é de R$ 3.333,33.
e) O valor do projeto é de R$ 2.702,00.
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119
GABARITOS
QUESTÃO 1
Gabarito: A taxa de juros anual equivalente é de 120%.
QUESTÃO 2
Gabarito: A taxa de juros anual equivalente é 26,82%.
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120
QUESTÃO 3
Gabarito: O Banco Porto oferece a menor taxa, pois cobra aproximadamente 51,11% ao ano.
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121
QUESTÃO 4
Gabarito: A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,3888% ao mês.
QUESTÃO 5
Gabarito: Você irá receber R$ 670,60 de juros ao final de um ano.
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122
QUESTÃO 6
Gabarito: As taxas equivalentes seriam: 3% a.m.; 9,273% a. t. e 19,405% a. s.
QUESTÃO 7
Gabarito: O valor original da aplicação foi R$ 6.113,42.
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123
QUESTÃO 8
Gabarito: Você deve escolher o Banco Porto. Ele paga 49,36% ao ano.
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124
QUESTÃO 9
Gabarito: Você deve receber R$ 600,00 de juros ao final de um ano.
QUESTÃO 10
Gabarito: O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 157,35.
QUESTÃO 11
Gabarito: O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 159,38.
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125
QUESTÃO 12
Gabarito: A taxa efetiva anual é 12,6825% ao ano.
QUESTÃO 13
Gabarito: Pelo sistema PRICE, as prestações são constantes e o valor de cada uma é R$-550,98.
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QUESTÃO 14
Gabarito: Sim. Os sistemas são equivalentes, pois o valor presente de ambos é R$ 100.000,00.
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127
QUESTÃO 15
Gabarito: O valor do ativo carteira de investimentos é de R$ 2.815,31.
VF = VP (1 + i)n
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128
QUESTÃO 16
Gabarito: O valor do projeto é de R$ 4.927,12.
VF = VP (1 + i)n
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129
MÓDULO 4 – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROJETOS
APRESENTAÇÃO
Neste módulo, analisaremos dois critérios muito importantes para decidir sobre que investimento
fazer – o valor presente líquido e a taxa interna de retorno.
Inserimos, ao final do módulo, uma bateria de exercícios de fixação, para que você possa neles
aplicar o conteúdo aqui tratado. Mais ainda... esses exercícios foram organizados por grau crescente
de dificuldade.
Lembre-se... na base da tela de cada exercício, disponibilizamos links, para que você possa acessar
tanto a calculadora financeira quanto gabarito e as explicações para esta questão.
ESTRUTURA DO MÓDULO 4
Começamos o curso com um módulo introdutório bem pequeno e vamos encerrar o curso com
outro módulo que aqui é pequeno, mas, aí no mercado, pode gerar oportunidades de grandes
retornos!
Pronto para começar?
UNIDADE 1 – VPL E TIR
1.1 ILUSTRAÇÃO
Assista à ilustração no ambiente on-line.
1.2 VPL E TIR
Quando queremos escolher o melhor projeto para investir recursos, devemos nos pautar em
critérios. Os critérios mais utilizados pelo mercado são o VPL e a TIR.
1.2.1 VPL
VPL – Valor Presente Líquido...
Dá ao investidor a medida exata do lucro líquido / prejuízo de um investimento a valor
presente, ou seja, a valores de hoje. Nesse sentido, é o lucro / prejuízo do investidor
que investe X – ou custo – no projeto que vale Y – valor do projeto. Assim sendo, o VPL
é a diferença entre o valor e o custo de um ativo. O VPL deve ser maior do que
zero para que um projeto seja considerado viável.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 4
130
Isso significa, basicamente, que o valor do projeto tem de ser maior do que o seu custo, ora...
§ se um projeto custa mais do que vale, não devemos nele investir, pois a diferença
será um prejuízo;
§ se um projeto vale mais do que custa, devemos nele investir, pois a diferença será
o nosso lucro.
1.2.2 TIR
TIR – Taxa Interna de Retorno...
Dá ao investidor a medida exata da taxa de retorno intrínseca de um projeto. Contudo,
a TIR pode não ser um bom critério para aqueles que não dominam perfeitamente o
assunto, podendo conduzir a conclusões erradas. Assim sendo, a TIR não deve ser
utilizada por leigos. Podemos, então, definir a TIR como...
§ a taxa interna de retorno de um projeto;
§ a taxa máxima de custo de capital que um projeto suporta;
§ a taxa de desconto para os fluxos de caixa de um projeto, que fazem o VPL
desse projeto ser zero.
Nas máquinas financeiras, geralmente, o VPL está representado por sua sigla
em inglês... NPV – Net Present Value.
Na calculadora HP-12C, o VPL é acessado pela sequência de botões f NPV,
respectivamente, onde f é a tecla amarela, que informa à HP-12C, que você quer
calcular o NPV, que está em amarelo. Dessa forma, a HP-12C economiza teclas.
A calculadora HP-12 C apresenta teclas com três funções diferentes.
Por exemplo, se você teclar diretamente a tecla VP ou PV – PV em inglês significa
Present Value –, sua calculadora vai calcular o valor presente.
Entretanto, se você teclar a tecla azul g e depois a mesma tecla – a branca PV –, a
função executada pela calculadora será Cf0 – que significa Cash Flow do tempo
zero –, ou seja, a função que está escrita em azul. E se você teclar a tecla amarela f
e depois a mesma tecla – a branca PV –, a função executada pela calculadora será
NPV, ou seja, a função que está escrita em amarelo. Dessa forma, a calculadora
economiza teclas, colocando três funções diferentes para uma mesma tecla,
dependendo apenas de você indicar previamente à máquina – antes de teclar –
qual é a função que deseja em dado instante.
Matemática Financeira M Ó D U L O 4
131
É a taxa de retorno que um projeto fornece ao seu investidor, ora...
§ se a TIR de um projeto é maior do que a taxa de custo do capital nele alocado,
devemos investir nesse projeto, pois ele retorna uma taxa maior do que a taxa de
custo do capital. A diferença para mais significa que teremos lucro;
§ se a TIR for menor do que a taxa de custo do capital investido, não devemos investir
nesse projeto, pois estaremos pagando mais pelo capital do que conseguimos
receber desse projeto.
1.3 TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE
Se voltássemos à problemática inicial...
Um caminho interessante seria a análise do VPL e da TIR de cada situação, levando-se em
consideração a TMA!
Precisamos, agora, conhecer as fórmulas!
TMA – Taxa Mínima de Atratividade...
É a taxa mínima que o investidor está disposto a receber por aplicar seu capital em um
projeto.
Ora, se temos recursos aplicados no Banco X, a uma taxa de 10%, e recebemos uma proposta para
investir no Banco Y, somente trocaremos para esse banco, se formos receber uma TMA acima de
10%.
1.3.1 VALOR PRESENTE DE UM PROJETO
Se o VPL – Valor Presente Líquido – de um projeto é igual ao valor menos o custo (VPL = Valor
- Custo)...
...precisamos descobrir a fórmula que calcula o valor do projeto...
O valor de um projeto é calculado como sendo a soma do valor presente de todos os fluxos
de caixa provenientes desse projeto...
Nas máquinas financeiras, geralmente, a TIR está representada por sua sigla
em inglês... IRR – Internal Rate of Return.
Na calculadora HP-12C, assim como o VPL, a TIR é acessada pela sequência de
botões f IRR, respectivamente, onde f é a tecla amarela, que informa à HP-12 C,
que você quer calcular a IRR, que está em amarelo.
Reveja a ilustração, apresentada no começo desta unidade, no ambiente on-line.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 4
132
Valor = ∑t
= 1 FC
t / (1 + i)t
t=n
t=n
t=n
Mesma fórmula utilizada no módulo 3 para calcular o valor presente de um
conjunto de fluxos de caixa.
Mas o melhor de tudo é o que vem a seguir...
Lembre-se de que...
...partindo da fórmula para obtermos a TIR, chegaremos a uma equação
do enésimo grau, pois existirão termos da forma (1 + TIR)n, onde n é o
número de fluxos de caixa. Como essa não é uma equação simples,
convém calcularmos a TIR sempre com a calculadora, ao invés de
tentarmos usar suas fórmulas.
VPL = Valor - Custo
Valor = ∑t = 1
FCt / (1 + i)tt=n
VLP = ∑t
= 1 FC
t / (1 + i)t - Custot=n
Onde...
§ ∑ é a letra maiúscula grega sigma, que significa somatório;
§ ∑t = 1
significa somatório com t – tempo –, variando de 1 até n;
§ ∑t
= 1 FC
t / (1 + i)t significa...
FC1 / (1 + i)1 + FC
2 / (1 + i)2 + ... + FC
n / (1 + i)n.
1.3.2 FÓRMULA DO VPL
Se o VPL – Valor Presente Líquido – de um projeto = Valor - Custo... E já sabemos a fórmula do
valor...
A fórmula do VPL é...
Onde...
§ o valor de um ativo é o valor presente dos diversos fluxos de caixa futuros do ativo;
§ o custo de um ativo é o desembolso necessário para adquirir ou implantar o ativo;
§ o custo é o fluxo de caixa do tempo zero – FC – considerando um modelo padrão
em que o investimento é realizado no tempo zero.
1.4 CÁLCULO DA TIR
As calculadoras financeiras têm uma sub-rotina que calcula o VPL diretamente a partir da inserção
dos fluxos de caixa, considerando que TIR é a taxa de desconto i que faz o VPL ser igual a zero.
Matemática Financeira M Ó D U L O 4
133
Antes de passarmos para os exemplos, que tal um desafio para ver se você
entendeu mesmo os conceitos de VPL e TIR?
Esse problema é bem simples... Se temos o Valor e também o Custo, basta
aplicarmos a fórmula!
1.5 CRITÉRIOS PARA O USO DA TIR
A TIR é um importante critério para tomada de decisão. No entanto, alguns cuidados devem ser
tomados quando de sua utilização.
Pode existir mais de uma TIR positiva para um projeto quando houver mais do que uma inversão
no sinal dos fluxos de caixa futuros projetados para um determinado projeto. Em casos como este,
não use a TIR, a menos que você seja um expert no assunto.
Não use também a TIR para comparar dois projetos. O fato de o projeto A ter a TIR maior ou menor
que a TIR do projeto B não significa que um seja melhor ou pior do que o outro.
Você pode, entretanto, usar a TIR para verificar se a taxa de retorno do projeto é maior do que a
taxa do custo de capital do projeto. Se a TIR for maior que a taxa do custo de capital do projeto,
você poderá investir, pois o VPL será positivo. Caso contrário, o investimento não é indicado, pois
o VPL será negativo.
1.5.1 EXEMPLO 1
Apresentaram a você um projeto de investimentos com uma TIR de 10% ao ano. A taxa do custo
de capital desse projeto é de 15% ao ano. Você investiria nesse projeto?
TIR < Taxa do custo de capital
O capital do projeto custa mais do que o projeto é capaz de gerar. Ele, portanto, vai
apresentar um VPL negativo e não deve ser levado adiante.
1.5.2 EXEMPLO 2
Apresentaram a você um projeto para criação de uma empresa de táxi aéreo, hoje, a um custo de
R$2.000.000,00. O valor presente operacional desse projeto é R$2.800.000,00. Calcule o seu VPL
para decidir se nele vale a pena investir.
Aplicando a fórmula... VPL = Valor - Custo
Custo do projeto... 2.000.000, expressos no enunciado do problema
Calculando o VPL... 2.800.000 - 2.000.000 = 800.000
Como o VPL é positivo – R$ 800.000,00 –, você pode investir neste projeto.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 4
134
Quando usamos a fórmula, temos de colocar a taxa de juros em base
decimal. Assim, 10% equivalem a 0,1.
1.5.3 EXEMPLO 3
Investir em um projeto de criação de uma pequena escola de música custa hoje R$ 100.000,00.
Este projeto deve acabar em 1 ano. Ao final de 1 ano, deve apresentar como resultado futuro
R$121.000,00. A taxa de juros utilizada para descontar o valor presente do resultado – fluxo de
caixa – deste projeto é de 10% ao ano. Qual é o seu VPL? Você investiria nele?
Podemos resolver este problema de três formas....
Pela fórmula...
No enunciado, temos o custo do projeto e o valor futuro – ao final de 1 ano.
VF = 121.000 n = 1 i = 0,1 VP = ? VPL = ?
Custo = 100.000
Para calcularmos o VPL, precisamos, primeiro, do VP...
Aplicando a fórmula... VF = VP (1 + i )n
Substituindo os valores... 121.000 = VP x (1 + 0,1)1
Calculando... 121.000 = 1,1 VP
Obtemos... VP = 121.000 / 1,1 = 110.000
Aplicando a fórmula... VPL = Valor - Custo
Substituindo os valores... VPL = 110.000 - 100.000
Obtemos... VPL = 10.000,00
Pela calculadora financeira...
Do enunciado, temos...
CFj = 121.000 n = 1 i = 10 VPL (NPV) = ?
Custo (CFO) = 100.000
Matemática Financeira M Ó D U L O 4
135
t=n
Após o fluxo de caixa do tempo zero (CFo), os outros fluxos de caixa devem
ser colocados na calculadora em sequência, sempre pela tecla CFj, que significa
literalmente Cash Flow no tempo j. Em nosso exemplo, somente existe um único
fluxo de caixa após o fluxo inicial. Por essa razão, colocamos na calculadora apenas
o valor $121.000,00 e nada mais.
Obs.: Quando você deseja repetir, sequencialmente, n vezes um determinado
fluxo de caixa, você deve teclar esse valor n vezes ou, simplesmente, logo após
colocar o valor na máquina, teclar n – o número de vezes que você deseja repetir
esse valor –, seguido da tecla Nj. Em outras palavras, essa tecla serve para poupar o
trabalho de repetir n vezes um mesmo valor na calculadora.
A calculadora HP-12 C tem teclas com três cores: brancas, azuis e amarelas.
Como queremos dizer que -100.000 é o custo em t = 0, devemos indicar para a
calculadora que esse é o fluxo de caixa no tempo zero. CF significa Cash Flow no
tempo zero.
A tecla CF está representada na cor azul (na HP - 12 C). Devemos colocar, pela
ordem, primeiro o número (-100.000,00) seguido da tecla g para indicar que a
próxima tecla é azul e, a seguir, devemos teclar CF para indicar à calculadora
que este numero (-100.000,00) é o fluxo de caixa do tempo zero.
Obs.: Nas outras calculadoras, a tecla normalmente também é CF, porém, pode
não ser necessário utilizar as teclas com cores específicas.
Conforme mostrarmos anteriormente, o VPL, na HP-12C, é representado
pela tecla laranja NPV – Net Present Value.
Por isso, temos de teclar f – tecla laranja – para indicar que o que queremos é o
NPV – que está em laranja.
Teclando 100.000 e os botões...
CHS, g e PV – saída de Fluxo de Caixa – CF.
Digitando 121.000 e os botões...
g e PMT – entrada de Fluxo de Caixa – CF1.
Digitando 10 e o botão...
i.
Podemos pedir o VPL, teclando, então, os botões...
f e PV – Net Present Value.
No visor da máquina, aparece o resultado 10.000,00.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 4
136
Vamos resolver esse problema utilizando a fórmula!
t=n
t=n
t=n
t=n
Acesse, no ambiente on-line, uma simulação desta operação.
Utilizando o “Excel”...
Acesse, no ambiente on-line, uma simulação no “excel”.
Como o VPL é R$ 10.000,00, vale a pena investir neste projeto.
1.5.4 EXEMPLO 4
Sabendo que a TIR é a taxa interna de retorno de um projeto, calcule a TIR de um projeto que
custa R$ 1.000,00 – em t=0 – e paga ao investidor R$ 1.300,00 em t = 1.
Considerando que TIR é a taxa de desconto i que faz o VPL ser igual a zero, utilizando a fórmula
do VPL, temos...
VPL = ∑t
= 1 FC
t / (1 + i)t - Custo
Se VPL = 0...
0 = ∑t
= 1 FC
t / (1 + i)t - Custo
Ou seja...
∑t
= 1 FC
t / (1 + i)t = Custo
De qualquer forma, é bem mais simples realizar os cálculos com a HP...
Utilizando a fórmula...
Aplicando a fórmula.... ∑t=1
FCt / (1 + TIR)t - Custo
Substituindo os valores... 0 = 1.300 / (1 + TIR)1 - 1.000
Calculando... 1.300 / (1 + TIR) = 1.000
1.300 = 1.000 (1 + TIR)
1.300 = 1.000 + 1.000 TIR
1.300 – 1.000 = 1.000 TIR
1.000 TIR = 300
Obtemos... TIR = 300 / 1.000 = 0,3 = 30%
Como só existe um fluxo de caixa, o somatório se reduz ao cálculo do valor presente, isto é, a uma
equação simples e do primeiro grau – e, por isso, podemos resolvê-la sem a calculadora.
Matemática Financeira M Ó D U L O 4
137
1.5.5 EXEMPLO 5
Você entrou em uma franchise de café expresso e, para tanto, teve de desembolsar...
§ R$ 50.000,00 pelo contrato de franchise;
§ R$ 40.000,00 no negócio – estoques e outros.
Ao final de 1 ano, após ter recebido um resultado líquido de R$ 60.000,00, você vendeu a
franchise por R$60.000,00. Se, ao invés de fazer este investimento, você tivesse aplicado seu
dinheiro em uma outra franchise equivalente que rende 38% ao ano (essa seria a TMA). Você teria
feito um bom negócio?
Primeiramente, vejamos o esquema de fluxo de caixa...
Utilizando a HP 12C...
Digitando 90.000 e os botões...
CHS, g e PV – saída de Fluxo de Caixa – CF0.
Digitando 120000 mais as teclas...
g e PMT – entrada de Fluxo de Caixa – CFJ.
Podemos pedir a TIR, teclando os botões...
f e FV – virá o valor do IRR.
Obtemos... 33,33, isto é, 33,33%.
Se sua TMA era de 38% – já que você teria esse rendimento se estivesse com esse dinheiro
aplicado na outra franchise – e a TIR da franchise foi de 33,33%, o negócio não foi tão bom assim...
Acesse, no ambiente on-line, as simulações na calculadora financeira e no “excel”.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 4
138
1.5.6 EXEMPLO 6
O projeto Zeus custa, hoje, R$ 1.000.000,00 e promete pagar a seus investidores um fluxo de
caixa no valor de R$ 1.200.000,00, em t = 1 ano, e um outro e último fluxo de caixa, no valor de
R$ 1.440.000,00, em t = 2 anos. A taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa do projeto Zeus
é de 20% ao ano. Qual é o VPL deste projeto?
Vejamos o esquema de fluxo de caixa...
Utilizando a calculadora financeira...
Digitando 1000000 mais as teclas...
CHS, g e PV – saída de Fluxo de Caixa – CF0.
Digitando 1200000 mais as teclas...
g e PMT – entrada de Fluxo de Caixa – CFJ.
Digitando 1440000 mais as teclas...
g e PMT – entrada de Fluxo de Caixa – CFJ.
Digitando 20 e o botão...
i.
Podemos pedir o VPL, teclando os botões...
f e PV.
Obtemos... 1.000.000,00, que é o VPL do projeto Zeus.
Acesse, no ambiente on-line, as simulações na calculadora financeira e no “excel”.
Matemática Financeira M Ó D U L O 4
139
1.5.7 EXEMPLO 7
Um projeto de investimentos tem os seguintes fluxos de caixa projetados para o futuro...
§ R$ 110,00 em t = 1;
§ R$ 121,00 em t = 2.
O custo deste projeto é de R$ 200,00. Os investidores que irão nele aplicar pretendem receber
uma taxa de retorno de 12% ao ano. Este projeto é viável?
Para resolvermos este último exemplo, podemos calcular a TIR do projeto, para compará-la com
a taxa que os investidores desejam...
Utilizando a calculadora financeira...
Digitando 200 mais as teclas...
CHS, g e PV – saída de Fluxo de Caixa – CF0.
Digitando 110 mais as teclas...
g e PMT – entrada de Fluxo de Caixa – CFJ.
Digitando 121 mais as teclas...
g e PMT – entrada de Fluxo de Caixa – CFJ.
Podemos pedir a TIR, teclando os botões...
f e FV.
A calculadora nos mostrará que a TIR é igual a 10%.
Conclusão...
O projeto não compensa, pois a TIR é menor que a taxa de retorno esperada
do projeto.
Acesse, no ambiente on-line, as simulações na calculadora financeira e no “excel”.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 4
140
1.6 CONCLUSÃO
Como vimos, o VPL é fácil de calcular e seu resultado...
§ quando positivo, nos informa que a operação é lucrativa;
§ quando negativo, nos informa que a operação vai resultar em um prejuízo.
Isso ocorre porque o VPL positivo significa que dado projeto vale mais do que custa. Inversamente,
quando o VPL é negativo, o projeto custa mais do que vale.
Já a TIR serve para determinar se um projeto será lucrativo ou não, dependendo de a TIR ser
maior ou menor do que a taxa de custo de capital do projeto.
1.7 LISTA DE EXERCÍCIOS
Acesse, no ambiente on-line, a lista de exercícios sobre o conteúdo desta unidade.
1.8 SÍNTESE
Acesse, no ambiente on-line, a síntese desta unidade.
1.9 AVALIAÇÃO
Acesse, no ambiente on-line, a avaliação deste módulo.
1.10 JOGO
Acesse, no ambiente on-line, um jogo sobre o conteúdo deste módulo.
1.11AUTOAVALIAÇÃO
Acesse, no ambiente on-line, a autoavaliação deste módulo.
1.12 APRESENTAÇÃO DOS EXERCÍCIOS
Muito bem! Vamos passar agora aos exercícios de fixação!
Matemática Financeira M Ó D U L O 4
141
UNIDADE 2 - ATIVIDADES
2.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
QUESTÃO 1
Oferecem a você um projeto de investimento em uma vacina contra dengue. Nesseprojeto, você deverá investir R$ 10.000,00.
Quando você calculou o valor presente deste projeto, verificou que seu valor hoje é R$ 13.500,00.
Qual é o VPL desse projeto? Você investiria nesse projeto?
a) Não. O VPL é positivo R$ 3.500,00. O lucro vale hoje R$ 3.500,00.
b) Não. O VPL é negativo R$-3.500,00. O prejuízo vale hoje R$ 3.500,00.
c) Sim. O VPL é positivo R$ 3.500,00. O lucro vale hoje R$ 3.500,00.
d) Sim. O VPL é positivo R$ 13.500,00. O lucro vale hoje R$ 13.500,00.
e) Sim. O VPL é positivo R$ 10.000,00. O lucro vale hoje R$ 10.000.00.
QUESTÃO 2
Você está pensando em investir suas economias em uma escola para crianças e tem uma proposta
para comprar um imóvel por R$ 250.000,00 à vista. Você espera obter, durante 3 anos, comoresultados...
§ R$ 60.000,00 ao final do primeiro ano;
§ R$ 80.000,00 ao final do segundo ano;§ R$ 120.000,00 no final do terceiro ano.
Ao final do terceiro ano, você pretende vender a escola por R$ 300.000,00. A taxa adequada paraseus cálculos é 18% ao ano.
Você investe ou não? Qual é o VPL deste projeto?
a) Sim, pois o VPL é R$ 250.000,00.
b) Sim, pois o VPL é R$ 113.927,18.
c) Sim, pois o VPL é R$ 300.000,00.
d) Sim, pois o VPL é R$ 560.000,00.
e) Sim, pois o VPL é R$ 563.975,53.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 4
142
QUESTÃO 3
Você é um dos gerentes de uma grande corporação. Na reunião semanal, alguns executivos lhe
apresentaram um projeto que requer investimentos da ordem de R$ 20.000.000,00. Os lucros
líquidos esperados desse projeto são...
§ R$ 4.800.000,00 em t=1 ano;
§ R$ 7.500.000,00 em t=2 anos;
§ R$ 9.600.000,00 em t=3 anos.
A partir dessa data, o projeto estará encerrado, nada mais havendo a receber. A taxa de desconto
adequada aos fluxos de caixa deste projeto é 12% ao ano.
Você investe ou não nesse projeto? Qual é seu VPL?
a) Não, o VPL é negativo. VPL = - R$ 2.902.241,25.
b) Sim, o VPL é positivo. VPL = R$ 2.902.241,25.
c) Não, o VPL é negativo. VPL = - R$ 20.000.000,00.
d) Sim, o VPL é positivo. VPL = R$ 20.000.000,00.
e) Não, o VPL é negativo. VPL = - R$ 22.902.241,25.
QUESTÃO 4
Você deve decidir se investe ou não no projeto Criança na Praça, para melhoria de um playground,
cujo custo, hoje, é R$ 6.200.000,00. Esse projeto tem uma projeção dos seguintes lucros líquidos
futuros...
§ R$ 2.280.000,00 em t=1 ano;
§ R$ 3.440.000,00 em t=2 anos;
§ R$ 4.240.000,00 em t=3 anos.
A taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa do projeto Criança na Praça é 18% ao ano.
Você investirá ou não nesse projeto? Qual é o seu VPL?
a) Sim, o VPL = R$ 5.416.647,27.
b) Sim, o VPL = R$ 6.200.000,00.
c) Não, o custo é = - R$ 6.200.000,00.
d) Sim, o VPL = R$ 783.352,73.
e) Sim, o VPL = R$ 6.983.352,73.
Matemática Financeira M Ó D U L O 4
143
QUESTÃO 5
Sua empresa está precisando de up grade tecnológico. Você está em dúvida: investir ou não
R$ 8.500.000, hoje, em um novo projeto de up grade tecnológico. Esse projeto deverá trazer
benefícios, através dos seguintes fluxos de caixa líquidos...
§ R$ 2.600.000,00 em t=1 ano;
§ R$ 3.700.000,00 em t=2 anos;
§ R$ 5.800.000,00 em t=3 anos.
A taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa deste projeto é 18% ao ano.
Calcule o VPL deste projeto, para tomar sua decisão. Você investiria?
a) Não. O custo é = - R$ 8.500.000,00.
b) Não. O VPL = - R$ 109.268,72.
c) Sim. O custo é = R$ 8.500.000,00.
d) Não. O VPL = R$ 109.268,72.
e) Não. O VPL = - R$ 8.609.268,72.
QUESTÃO 6
Você está na dúvida se investe em um projeto que envolve terceirizar temporariamente o transporte
de caixas de pão de queijo. Analistas de mercado garantem que, com isso, as vendas podem
aumentar em 30% durante essa terceirização e, com seu encerramento, os negócios devem
retornar no mês seguinte, a seu nível histórico.
O transporte proposto custa R$ 40.000,00 por mês e você terá de investir em transporte no início
do mês para receber pelas vendas no fim do mês. A taxa do custo do capital é de 7%.
Você deve analisar os seguintes dados...
nível histórico de vendas – sem a campanha de publicidade – 100.000 unidades/mês.
preço de venda de cada produto – R$ 10,00.
custos fixos para qualquer nível de vendas – R$ 150.000,00.
custos variáveis por produto – R$ 3,00.
impostos e taxas sobre o lucro bruto – 30%.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 4
144
Você deve ou não deve terceirizar o transporte? Analise a questão, utilizando o VPL.
a) Sim. Você deve investir, pois o VPL é de R$ 97.383,18.
b) Sim. Você deve investir, pois o VPL é de R$ 137.383,20.
c) Sim. Você deve investir, pois o VPL é de R$ 40.000,00.
d) Sim. Você deve investir, pois o VPL é de R$ 57.383,20.
e) Sim. Você deve investir, pois o VPL é de R$ 27.583,20.
QUESTÃO 7
Você pode investir em projeto que envolve uma campanha de publicidade para aumentar, em
rede internacional, as vendas de bolos de nozes. Analistas de mercado garantem que as vendas
podem aumentar em 30% durante a campanha e, com seu encerramento, os negócios devem
retornar no mês seguinte, a seu nível histórico.
A campanha proposta custa R$ 40.000,00 por mês. Você investirá em propaganda e terá 30 dias
para pagar – isto é, pagará no fim de cada mês –, recebendo pelas vendas também no fim de cada
mês. A taxa do custo do capital é de 7%.
Você deve analisar os seguintes dados...
nível histórico de vendas – sem a campanha de publicidade – 100.000/mês.
preço de venda de cada produto – R$ 10,00.
custos fixos para qualquer nível de venda – R$ 150.000,00.
custos variáveis por produto – R$ 3,00.
impostos e taxas sobre o lucro bruto – 30%.
Você deve ou não deve fazer a campanha? Analise a questão, utilizando o VPL.
a) Sim. Você deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 137.383,20.
b) Sim. Você deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 37.383,20.
c) Sim. Você deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 100.000,00.
d) Sim. Você deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 137.848,50.
e) Sim. Você deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 230.848,10.
Matemática Financeira M Ó D U L O 4
145
QUESTÃO 8
Você está na dúvida se investe ou não em um projeto que envolve uma campanha de publicidade
para aumentar, em rede internacional, as vendas de equipamentos para natação. Analistas de
mercado garantem que as vendas podem aumentar em 30% durante 3 meses, se a campanha
toda for realizada no início do primeiro mês.
A campanha proposta custa R$ 40.000,00. Você investirá em uma única propaganda no início do
primeiro mês e, durante 3 meses, terá as vendas de seu produto aumentadas em 30%. Você
receberá pelas vendas no fim de cada mês. A taxa do custo do capital é de 7%.
Você deve analisar os seguintes dados...
nível histórico de vendas – sem a campanha de publicidade – 100.000/mês.
preço de venda de cada produto – R$ 10,00.
custos fixos para qualquer nível de vendas – R$ 150.000,00.
custos variáveis por produto – R$ 3,00.
impostos e taxas sobre o lucro bruto – 30%.
Você deve ou não deve fazer a campanha? Analise a questão, utilizando o VPL.
a) Sim. Deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 275.554,61.
b) Sim. Deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 385.774,46.
c) Sim. Deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 243.455,76.
d) Sim. Deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 345.774,46.
e) Sim. Deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 146.774,26.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 4
146
QUESTÃO 9
Você tem a oportunidade de retirar seus recursos de uma aplicação, a uma taxa de 24%
ao ano, no Banco Porto, para investir no projeto musical Rock of the Year.
Você terá de aplicar R$ 1.000,00 hoje, para receber, ao final de um ano, R$ 1.200,00.
Calcule a TIR desse projeto, para saber se Mourão deverá investir no projeto do Rock of
the Year.
a) A TIR é 100%. Não, pois o Banco Porto paga mais.
b) A TIR é 10%. Não, pois o Banco Porto paga mais.
c) A TIR é 50%. Não, pois o Banco Porto paga mais.
d) A TIR é 200%. Não, pois o Banco Porto paga mais.
e) A TIR é 20%. Não, pois o Banco Porto paga mais.
QUESTÃO 10
Você foi convidado a investir em uma fábrica de pães de queijo que tem 2 anos de vida
economicamente útil. Caso resolva nela investir, você deverá aplicar R$ 400.000,00. Você espera
receber como lucro...
§ R$ 280.000,00 em t=1 ano;
§ R$ 270.000,00 em t=2 anos.
Não existe valor residual algum desse projeto. Para tomar uma decisão, você precisa saber qual é
a taxa de retorno anual que vai obter.
Qual é a TIR desse projeto?
a) Você deverá receber uma taxa de 24,30% ao ano.
b) Você deverá receber uma taxa de 12,30% ao ano.
c) Você deverá receber uma taxa de 42,30% ao ano.
d) Você deverá receber uma taxa de 20,00% ao ano.
e) Você deverá receber uma taxa de 33,78% ao ano.
Matemática Financeira M Ó D U L O 4
147
QUESTÃO 11
O projeto para montar uma livraria virtual custa R$ 3.500.000,00, caso você decida implementá-
lo hoje. Esse projeto promete pagar...
§ R$ 500.000,00 em t=1 ano;
§ R$ 600.000,00 em t=2 anos;
§ R$ 700.000,00 em t=3 anos, ocasião em que você pretende vender a livraria
virtual por R$ 6.000.000,00.
O custo do capital para financiar esse projeto é de 14% ao ano.
Você investe nesse projeto? Qual é sua TIR?
a) Sim. Ele dará 63,88% ao ano e o custo de capital é 14% ao ano.
b) Sim. Ele dará 3,88% ao ano e o custo de capital é 14% ao ano.
c) Sim. Ele dará 43,88% ao ano e o custo de capital é 14% ao ano.
d) Sim. Ele dará 23,88% ao ano e o custo de capital é 14% ao ano.
e) Sim. Ele dará 33,88% ao ano e o custo de capital é 14% ao ano.
QUESTÃO 12
O projeto Tupinambá, de revenda de artesanato indígena, custa R$ 8.800,00. Este projeto promete
pagar...
§ R$ 3.420,00 em t=1 ano;
§ R$ 4.680,00 em t=2 anos;
§ R$ 1.530,00 em t=3 anos.
Qual é a TIR do projeto Tupinambá?
a) A TIR do projeto Tupinambá é 15,16%.
b) A TIR do projeto Tupinambá é 5,16%.
c) A TIR do projeto Tupinambá é 7,16%.
d) A TIR do projeto Tupinambá é 4,16%.
e) A TIR do projeto Tupinambá é 2,16%.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 4
148
QUESTÃO 13
Foi aprovado o projeto de Dessalinização da Baía de Guanabara. Esse projeto custaria
R$ 2.500.000,00, se você decidisse implementá-lo hoje.
O lucro esperado desse projeto é...
R$ 1.200.000,00 ao final do primeiro ano.
R$ 1.400.000,00 ao final do segundo ano.
R$1.500.000,00 ao final do terceiro ano.
A partir do terceiro ano, o projeto estará obsoleto e será simplesmente abandonado não tendo
mais nenhum valor econômico.
A CEF pode financiá-lo a uma taxa de 16% ao ano.
Você investe ou não nesse projeto? Qual é a sua TIR?
a) Sim. A taxa de retorno é superior à taxa do custo do capital do projeto. O custo do
capital é 16% enquanto o retorno é 18,20%. TIR = 18,20% ao ano.
b) Sim. A taxa de retorno é superior à taxa do custo do capital do projeto. O custo do
capital é 16%, enquanto o retorno é 8,20%. TIR = 8,20% ao ano.
c) Sim. A taxa de retorno é superior à taxa do custo do capital do projeto. O custo do
capital é 16%, enquanto o retorno é 28,20%. TIR = 28,19% ao ano.
d) Sim. A taxa de retorno é superior à taxa do custo do capital do projeto. O custo do
capital é 16%, enquanto o retorno é 38,20%. TIR = 38,20% ao ano.
e) Sim. A taxa de retorno é superior à taxa do custo do capital do projeto. O custo do
capital é 16%, enquanto o retorno é 48,20%. TIR = 48,20% ao ano.
Matemática Financeira M Ó D U L O 4
149
QUESTÃO 14
Você está em dúvida se investe ou não no projeto software Epimetheus. O custo de implementação
desse projeto é R$ 8.000,00. Esse projeto promete pagar...
§ R$ 5.500,00 em t=1;
§ R$ 5.400,00 em t=2;
§ R$ 4.200,00 em t=3.
Qual é a TIR do projeto software Epimetheus?
a) A taxa interna de retorno – TIR – é de 34,839%.
b) A taxa interna de retorno – TIR – é de 12,736%.
c) A taxa interna de retorno – TIR – é de 22,189%.
d) A taxa interna de retorno – TIR – é de 42,189%.
e) A taxa interna de retorno – TIR – é de 32,189%.
QUESTÃO 15
Você é a pessoa que decide em sua empresa. Hoje, na reunião, alguns executivos irão lhe apresentar
um projeto que requer investimentos da ordem de R$ 10.000.000,00. Os lucros líquidos esperados
desse projeto são da seguinte ordem...
§ R$ 2.800.000,00 em t=1 ano, ao final do primeiro ano;
§ R$ 5.200.000,00 em t=2 anos;
§ R$ 5.600.000,00 em t=3 anos.
A taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa desse projeto é 16% ao ano.
Você investe? Qual é o VPL desse projeto?
a) Não, o VPL é negativo. VPL = - R$ 113.726,43.
b) Não, o VPL é negativo. VPL = - R$ 142.726,28.
c) Não, o VPL é negativo. VPL = - R$ 134.076,84.
d) Não, o VPL é negativo. VPL = - R$ 131.132,87.
e) Não, o VPL é negativo. VPL = - R$ 132.543,22.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 4
150
QUESTÃO 16
Você é o responsável pelas decisões de um grupo de investidores e deve decidir se investe ou
não, hoje, R$ 7.000.000,00 no projeto Software Epimetheus.O retorno desse projeto ocorrerá
através da seguinte seqüência de fluxos de caixa líquidos...
§ R$ 3.200.000,00 em t=1 ano;
§ R$ 2.800.000,00 em t=2 anos;
§ R$ 3.400.000,00 em t=3 anos.
A taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa do projeto Software Epimetheus é de 20% ao
ano.
Qual é sua decisão? Investir ou não? Qual é o VPL desse projeto?
a) Não investiria. VPL = - R$ 431.946,43.
b) Não investiria. VPL = - R$ 429.229,04.
c) Não investiria. VPL = - R$ 425.333,24.
d) Não investiria. VPL = - R$ 426.379,20.
e) Não investiria. VPL = - R$ 421.296,30.
QUESTÃO 17
O projeto para internet, NT, custaria R$ 2.300.000,00, caso você decidisse implementá-lo hoje. O
projeto NT promete pagar...
§ R$ 920.000,00 em t=1 ano;
§ R$ 770.000,00 em t=2 anos;
§ R$ 870.000,00 em t=3 anos.
O custo do capital que pode financiar esse projeto é 14% ao ano.
Você investe? Qual é a TIR do projeto NT?
a) Não. O retorno é 5,61% ao ano, o custo do capital é 14%.
b) Não. O retorno é 4,61% ao ano, o custo do capital é 14%.
c) Não. O retorno é 6,61% ao ano, o custo do capital é 14%.
d) Não. O retorno é 3,61% ao ano, o custo do capital é 14%.
e) Não. O retorno é 7,61% ao ano, o custo do capital é 14%.
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151
QUESTÃO 18
O projeto Vovós Doceiras, para o financiamento de uma fábrica de doces, custaria R$ 2.800.000,00,
caso você decidisse implementá-lo hoje.
O projeto Vovós Doceiras promete pagar...
R$ 1.420.000,00 em t=1 ano.
R$ 880.000,00 em t=2 anos.
R$ 930.000,00 em t=3 anos.
O custo do capital que pode financiar esse projeto é 25% ao ano.
Qual é sua decisão? Investir ou não? Qual é a TIR do projeto Vovós Doceiras?
a) Não investiria. O custo do capital é maior do que a taxa interna de retorno do projeto.
TIR = 6,16% ao ano.
b) Não investiria. O custo do capital é maior do que a taxa interna de retorno do projeto.
TIR = 7,16% ao ano.
c) Não investiria. O custo do capital é maior do que a taxa interna de retorno do projeto.
TIR = 8,16% ao ano.
d) Não investiria. O custo do capital é maior do que a taxa interna de retorno do projeto.
TIR = 9,16% ao ano.
e) Não investiria. O custo do capital é maior do que a taxa interna de retorno do projeto.
TIR = 10,16% ao ano.
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152
QUESTÃO 19
Você deve decidir se sua firma investirá ou não no aumento de produção. Esse projeto promete
dar como retorno a seguinte seqüência de fluxos de caixa...
§ R$ 1.800,00, em t=1 ano;
§ R$ 4.200,00, em t=2 anos;
§ R$ 5.600,00, em t=3 anos.
O custo para implementar esse projeto, hoje, é R$ 9.000,00. A taxa de desconto adequada aos
fluxos de caixa do projeto é 8% ao ano.
Você investe ou não? Qual é o VPL desse projeto?
a) Sim, o VPL = R$ 733,45.
b) Sim, o VPL = R$ 723,54.
c) Sim, o VPL = R$ 710,33.
d) Sim, o VPL = R$ 712,95.
e) Sim, o VPL = R$ 708,66.
QUESTÃO 20
Você é o responsável pelas decisões de um grupo de investidores. Você deve decidir se investirá
ou não, hoje, R$ 1.000.000,00 no projeto Mobilis. O retorno desse projeto ocorrerá através da
seguinte seqüência de fluxos de caixa líquidos...
§ R$ 280.000,00, em t=1 ano;
§ R$ 460.000,00, em t=2 anos;
§ R$ 580.000,00, em t=3 anos.
A taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa do projeto Mobilis é 17% ao ano.
Você investe ou não? Qual é o VPL desse projeto?
a) Não, o VPL = - R$ 57.876,22.
b) Não, o VPL = - R$ 62.512,60.
c) Não, o VPL = - R$ 64.523,22.
d) Não, o VPL = - R$ 59.888,32.
e) Não, o VPL = - R$ 61.132,30.
Matemática Financeira M Ó D U L O 4
153
GABARITOS
QUESTÃO 1
Gabarito: Você deve investir. O VPL é positivo, ou seja, R$ 3.500,00. Você terá um lucro que vale
hoje R$3.500,00.
QUESTÃO 2
Gabarito: Você deve investir, pois o VPL é R$ 113.927,18.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 4
154
QUESTÃO 3
Gabarito: Não investir. O VPL é negativo. VPL = - R$ 2.902.241,25.
QUESTÃO 4
Gabarito: Sim. Você deverá investir. VPL = R$ 783.352,73.
QUESTÃO 5
Gabarito: Não investiria. VPL = - R$ 109.268,72.
Matemática Financeira M Ó D U L O 4
155
QUESTÃO 6
Gabarito: Sim. Você deve investir, pois o VPL é de R$ 97.383,18.
Resultado líquido mensal sem terceirização notransporte...
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 4
156
QUESTÃO 7
Gabarito: Sim, você deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 100.000,00.
Matemática Financeira M Ó D U L O 4
157
QUESTÃO 8
Gabarito: Sim. Deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 345.774,46.
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158
QUESTÃO 9
Gabarito: A TIR é 20%. Não investir, pois você está recebendo mais no Banco Porto.
QUESTÃO 10
Gabarito: Você deverá receber uma taxa de 24,30% ao ano.
QUESTÃO 11
Gabarito: Investir. O projeto retorna 33,88% ao ano, o que é bem maior do que o custo de capital
do projeto, que é 14% ao ano.
Matemática Financeira M Ó D U L O 4
159
QUESTÃO 12
Gabarito: A TIR do projeto Tupinambá é 5,16%.
QUESTÃO 13
Gabarito: Sim, investiria. A taxa de retorno é superior à taxa do custo do capital do projeto. O
custo do capital é 16%, enquanto o retorno é 28,20%. IRR = 28,19% ao ano.
QUESTÃO 14
Gabarito: A taxa interna de retorno – TIR – é de 42,189%.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 4
160
QUESTÃO 15
Gabarito: Não investir: o VPL é negativo. VPL = - R$ 134.076,84.
QUESTÃO 16
Gabarito: Não investiria. VPL = - R$ 421.296,30.
QUESTÃO 17
Gabarito: Não investir. O projeto retorna apenas 5,61% ao ano e o custo do capital necessário
para investir é 14% ao ano.
Matemática Financeira M Ó D U L O 4
161
QUESTÃO 18
Gabarito: Não investiria. O custo do capital é maior do que a taxa interna de retorno do projeto.
TIR = 8,16% ao ano.
QUESTÃO 19
Gabarito: Sim, investiria: o VPL = R$ 712,95.
QUESTÃO 20
Gabarito: Não investiria: o VPL = - R$ 62.512,60.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 4
162
2.2 ATIVIDADE INDIVIDUAL – DESENHO ANIMADO
Antes de iniciar a próxima tarefa, assista ao desenho animado, no ambiente on-line, que introduz
a problemática da Atividade Individual Financiar ou comprar à vista.
2.2.1 ATIVIDADE INDIVIDUAL – TAREFA
Nesta atividade individual, analisaremos a relação entre aplicações financeiras e financiamentos
na compra de automóveis.
Por esta tarefa, você poderá receber de 0 a 10 pontos.
Observe a grade de correção utilizada pelo Professor-Tutor na avaliação dessa atividade,
disponível no Anexo 2.
Acesse, na biblioteca virtual, a categoria de formatação de trabalhos acadêmicos.
INFORMAÇÕES SOBRE A ATIVIDADE INDIVIDUAL
Existem inúmeros investimentos disponíveis que podem ser realizados por qualquer
investidor que disponha de capital. Sabemos ainda que todo o capital aplicado, em
qualquer investimento, recebe uma remuneração que pode ser maior ou menor,
dependendo do tipo de investimento.
As aplicações devem remunerar o capital, através dos juros, o que constitui o conceito de
valor do dinheiro no tempo.
Todo capital parado e não investido – que não está sendo remunerado – perde o que poderia
estar recebendo sob a forma de juros, o que configura uma medida de custo de
oportunidade perdido.
Objetivo
Analisar a relação entre aplicações financeiras e financiamentos na compra de automóveis.
Suporte
Para realizar esta atividade, faça uma pesquisa em sites de revendedores de automóveis de sua
cidade sobre as linhas de carros populares disponíveis, analisando...
§ o preço destes automóveis;
§ as ofertas de desconto na compra à vista;
§ as formas de financiamento disponíveis;
§ a taxa de juros e o prazo desses financiamentos.
Matemática Financeira M Ó D U L O 4
163
Tarefa
A partir do material pesquisado...
§ analise a possibilidade de os juros estarem embutidos no valor do automóvel;
§ pesquise, em sites de instituições financeiras, dois tipos de aplicações disponíveis;
§ identificando como a taxa de juros incide sobre tais aplicações;
§ compare as ofertas de financiamento das revendedoras com a possibilidade de
aplicação e resgate do dinheiro nas instituições financeiras;
§ indique qual seria a forma de compra de automóveis populares mais vantajosa para
o consumidor...
§ o deixar o dinheiro aplicado e utilizar o financiamento proposto pela
revendedora;
§ o resgatar o dinheiro aplicado e pagar à vista.
Registro do trabalho
Registre os dados desta atividade na Matriz de atividade individual. Para tal...
§ acesse o arquivo com a Matriz de atividade individual, disponível no ambiente
on-line;
§ abra o arquivo;
§ salve esse arquivo em seu computador;
§ preencha a matriz com os dados de seu trabalho;
§ salve seu trabalho;
§ encaminhe o trabalho ao Professor-Tutor para correção.
2.2.2 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO PARA CORREÇÃO
Lembre-se de que as orientações sobre o desenvolvimento desta atividade começam no início
desta seção, ou seja, na tela da animação.
Não se esqueça de verificar a data agendada para esta atividade no calendário.
Para saber como apresentar seu trabalho ao Professor-Tutor na sala de aula, leia o
Anexo 1.
Matemática FinanceiraM Ó D U L O 4
164
MATRIZ DE ATIVIDADE INDIVIDUAL*
*Esta matriz serve para a apresentação de trabalhos a serem desenvolvidos segundo ambas as
linhas de raciocínio: lógico-argumentativa ou lógico-matemática.
Matemática Financeira M Ó D U L O 5
165
MÓDULO 5 – ENCERRAMENTO
APRESENTAÇÃO
Na unidade 1 deste módulo, você encontrará algumas divertidas opções para testar seus
conhecimentos sobre o conteúdo desenvolvido em toda a disciplina, a fim de se preparar para
seu exame final. São elas...
§ caça-palavras;
§ jogo da memória;
§ jogo da caça;
§ jogo do labirinto.
A estrutura desses jogos é bem conhecida por todos. Você poderá escolher o jogo de sua preferência
ou jogar todos eles... a opção é sua! Em cada um deles você encontrará perguntas – acompanhadas
de gabaritos e comentários – por meio das quais você poderá se autoavaliar.
Na unidade 2, você encontrará um simulado para testar seus conhecimentos, resgatando todos os
módulos da disciplina.
Já, na unidade 3, é hora de falarmos sério! Sabemos que o novo – e a disciplina que você terminou
de cursar enquadra-se em uma modalidade de ensino muito nova para todos nós, brasileiros –
tem de estar sujeito à crítica... a sugestões... a redefinições. Por estarmos cientes desse processo,
contamos com cada um de vocês para nos ajudar a avaliar nosso trabalho.
Finalmente, como é indicado ao final deste módulo, este é o momento de nos prepararmos para
a avaliação final da disciplina que será feita presencialmente na instituição conveniada ao Programa
FGV Management mais próxima à cidade em que você reside.
Lembre-se... Apesar de essas atividades não serem pontuadas na sua média
final, o objetivo delas é lhe oferecer saber... De preferência, com algum sabor...
Divirta-se...
Matemática Financeira A N E X O S
167
ANEXOS
ANEXO 1
APRESENTAÇÃO DO TRABALHO PARA CORREÇÃO
Para enviar seu trabalho ao Professor-Tutor para correção...
§ vá à área de <discussões particulares>;
§ clique no ícone <nova mensagem>;
§ no campo <para>, selecione o Professor-Tutor;
§ você também poderá iniciar uma nova mensagem particular, quando na área
discussões gerais. Para isso, clique em <lista de usuários>, no alto da página.
Selecione o Professor-Tutor e, na janela aberta do perfil desse usuário, clique no
ícone <MP>, de mensagem privada;
§ no campo <assunto>, selecione <atividade individual – solicitar revisão>
(caso esteja enviando a tarefa pela primeira vez ao Professor-Tutor) ou <entrega
final> (caso esteja enviando a tarefa para a atribuição de nota);
§ na área <mensagem>, anexe seu trabalho clicando no ícone <adicionar anexo>,
disponível na tela;
§ se preferir, digite seu trabalho. Para isso, você ainda terá a opção de selecionar a
fonte, o tamanho e a cor de seu texto;
§ à esquerda da tela, você encontrará diferentes opções de Emoticons – cuja utilização,
contudo, não é obrigatória – para personalizar seu texto;
§ a qualquer momento da edição de seu texto, você poderá <pré-visualizar> a
forma de exibição da mensagem ou ainda <limpar tudo> o que escreveu;
§ você poderá optar ainda por acrescentar ser avisado quando sua mensagem for
lida, selecionando <notificar-me quando a mensagem for lida>;
§ salve a mensagem.
Lembre-se de que as orientações sobre o desenvolvimento desta tarefa começam na primeira
seção da atividade.
Matemática FinanceiraA N E X O S
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ANEXO 2
GRADE DE CORREÇÃO DE ATIVIDADES1
Atividade individual (AI1 e AI2) – 0 a 10 pontos
1 Quando o item não se aplicar, considerar a pontuação máxima.
Matemática Financeira A N E X O S
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Participação Individual (PI) – 0 a 2 pontos
Pontualidade 0 a 1 ponto
Atividade individual 1 (AI1)Atividade individual (AI) entregue dentro do prazo
0 0,25 0,5
Atividade individual 2 (AI2)Atividade individual (AI) entregue dentro do prazo
0 0,25 0,5
Interação 0 a 1 pontoAbertura e encerramentoParticipação nas atividades de abertura eencerramento (perfil, resposta a mensagens deboas-vindas).
0 0,25 0,5
Debates adicionaisParticipação, com contribuições significativas, nasdiscussões de módulos promovidas pelo Professor-Tutor dentro da sala de aula.
0 0,25 0,5
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