Finanzas para no
financieros
Matemáticas financieras
Valor del dinero a través del
tiempo, interés y equivalencias
Elaborado por Luis Olmedo Figueroa D
Contenido a desarrollar • Conceptos fundamentales
– Valor del dinero a través del tiempo.
– Interés.
– Tasa de interés.
• Interés
– Simple.
– Interés compuesto.
• Tipos de tasa de interés.
– Tasa nominal.
– Tasa efectiva.
• Equivalencias.
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Valor del dinero a través del tiempo
Hoy Mañana
Inflación
Costo de oportunidad
Riesgo
Elaborado por Luis Olmedo Figueroa D
Flujo de caja 100.000
1 2 3 4 5 6
20.000 20.000 20.000 20.000 20.000
20.000
El banco XYZ, le presta al señor Pérez la suma de $100.000 a 6 meses, luego de
realizar un acuerdo con el banco llegaron a la conclusión de cancelar $20.000
mensuales, a una tasa mensual del 2%, ¿usted aceptaría el crédito?
Observa como el dinero pierde valor a través del tiempo.
Si no esta de acuerdo hasta cuanto cancelaría mensualmente.
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Interés y tasa de interés
• Uso del dinero.
• Costo.
• Diferencia entre el valor de hoy y el de mañana.
• Ecuación
I = F – P, expresión monetaria.
Tasa de interés; i = I/P indicador porcentual.
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Interés Simple y Compuesto
Simple
• Capital inicial no varia.
• Tasa de interés siempre se pagan. sobre el mismo capital, es decir intereses siempre iguales.
• I = P*i*n
• F = P*(1+ni)
Compuesto
• Capital varia periodo a periodo.
• Se capitalizan los intereses; es decir los intereses se adicionan al saldo de capital anterior.
• In = P*i*(1+i)^n-1
• F = P*(1+i)^n
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Aplicaciones – interés simple
• Carlos tiene un capital $4.000.000. Invierte el 60 % del capital al 15% anual y el 40% restante lo presta a un hermano al 1% mensual, revisemos los intereses mensuales.
El 60% de $4.000.000 es 4.000.000 * 0,60 = 2.400.000
La inversión de Carlos fue: $2.400.000 al 15 % anual y $1.600.000 al 1% mensual.
Interés mensual de $2.400.000
I = 2.400.000 * 0,15/12 * 1 = 30.000
Interés mensual de 1.600.000
I = 1.600.000 * 0,01 * 1 = 16.000
Interés mensual total
30.000 + 16.000 = 46.000
Todos los meses son el mismo valor, es decir solo se necesita multiplica por el número de veces el interés mensual.
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Aplicaciones – interés compuesto
• Carlos tiene un capital $4.000.000. Invierte el 60 % del capital al 15% anual pagadero mes vencido y el 40% restante lo presta a un hermano al 1% mensual, revisemos los intereses mensuales.
El 60% de $4.000.000 es 4.000.000 * 0,60 = 2.400.000
La inversión de Carlos fue: $2.400.000 al 15 % anual y $1.600.000 al 1% mensual.
Interés para el primer mes de $2.400.000
I = 2.400.000 * 0,15/12 * (1+0,15/12)^0 = 30.000
Interés para el segundo mes de $2.400.000
I = 2.400.000 * 0,15/12 * (1+0,15/12)^1 = 30.375, y así sucesivamente
Interés para el primer mes de 1.600.000
I = 1.600.000 * 0,01 * (1+0,01)^0 = 16.000
Interés para el segundo mes de 1.600.000
I = 1.600.000 * 0,01 * (1+0,01)^1 = 16.160, y así sucesivamente.
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Aplicaciones – interés compuesto
Interés total para el primer mes.
30.000 + 12.000 = 46.000
Interés total para el segundo mes.
30.375 + 16.160 = 46.535 y así sucesivamente.
2.400.000 * (1+(0,15/12))^12 = 2.785.810,84
1.600.000 * (1+0,01)^12 = 1.802.920,05; total 4.588.730,89
4.000.000 + (46.000 * 12) = 4.552.000; interés simple
El señor Rodríguez entra a laborar a una compañía ganado un sueldo
mensual de $500.000 y espera recibir un aumento anual promedio
de 10%. ¿Cuánto tendrá por sueldo al cabo de cinco años?
500.000 * (1+0,1)^5 = 525.505
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Equivalencia
• Problema
fundamental de las
matemáticas
financieras.
¿Cómo comparo
cifras en diferentes
fechas en el tiempo?
Las equivalencias
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Tasas de interés y equivalencias
financieras
• Tasa nominal: tasa de interés expresada
para un periodo, la cual debe tener el
valor, la frecuencia de pago y la
liquidación de intereses.
• Tasa efectiva: tasa de interés que mide el
costo ó rentabilidad efectiva y resulta de
capitalizar la nominal.
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Equivalencias financieras
Las equivalencias las podemos dividir en
vencidas y anticipadas, de acuerdo a su
modalidad de pago.
Equivalencia básica en modalidad vencida:
Ie = [(1+in)^t]-1.
Equivalencia básica en modalidad.
anticipada:
Ie = [(1-in)^-t]-1
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Calculo de equivalencias
• El Banco le concede un crédito a una tasa de interés de D.T.F.+ 4 mes vencido, donde la D.T.F = 7% E.A., calcular el costo del crédito expresado en tasa efectiva anual.
• Para poder sumar linealmente las tasas de interés, debemos convertirlas a tasas nominales.
• De la formula base despejamos la in = (1+ie)1/12-1
• El interés arrojado es un interés nominal mensual, el cual debemos pasar a anual M.V.
• Sumamos las dos tasas y ese costo total lo convertimos a tasa efectiva anual.
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Ejemplo
•in = (1+ie)1/12-1
In = [(1+0,07)^(1/12)] -1 = 0,005654
0,005654*12 = 0,0678*100 = 6,78%
6,78% + 4 = 10,78% Anual M.V.; 10,78/12 = 0,898%
M.V
Ie = [(1+(0,00898)^12] -1 = 0,1132 =11,32%
Calculo de equivalencias
• El día de hoy usted ingresa a laborar y es
llamado de personal para que determine
que fondo de pensiones desea, ellos le
ofrecen tres alternativas, ¿Usted cual
tomaría?
• Alternativa A = 14.8% E.A.
• Alternativa B = 1.2% M.V.
• Alternativa C = 3.5% T.A.
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Ejemplo
• Alternativa A = 14,8%
• Alternativa B = ie = [(1+0,12)^12]-1 =
0,159834 *100 = 15,9834%
• Alternativa C = ie = [(1-0,035)^-4]-1 =
• 0,153163*100 = 15,3163%
• La mejor alternativa de inversión es B.
Valor presente
• Cálculo de una suma presente equivalente a un
valor futuro.
• El señor Pérez, recibirá una suma de
$50.000.000 dentro de siete meses, sin
embargo el necesita saber cuanto vale esa
suma el día de hoy, con el fin de asegurar el
pago de materiales de construcción, si la tasa
de interés mensual del proveedor es del 1.2%
M.V., ¿Cuánto tiene hoy el señor Pérez para
comprometerse?
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Valor presente
• Solución
VF = 50.000.000
Plazo 7 meses
Interés 1,20%
VP = VF
(1+i)n
VP = 50.000.000 = 45.994.554,52
1,087085211
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Valor futuro
• Es el resultado de calcular el valor
equivalente de un bien a precios de hoy,
dentro de un periodo de tiempo con un
reconocimiento de intereses.
• Si usted invierte $1.000.000 a seis meses
en un CDT y le reconocen mensualmente
el 1%, ¿Cuánto dinero le entregarán al
final del plazo?
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Valor futuro
• Solución
VP = 1.000.000
Plazo 6 meses
Interés 1%
VF = VP*(1+i)n
VP = 1.061.520,15
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