Download - Určování struktury krystalů

Určování struktury krystalů

Malé molekuly Velké molekuly

))(2cos()()()(||1 1

22kj

N

j

N

kjkjj fffI rrHHHHFHH

Měřená intenzita (bez korekčních faktorů)

Atomové rozptylové faktoryPolohové vektory atomů

????

Strukturní faktor

N

jjj ifdi

1

)2exp()()2exp()( HrHrHrrFH

N

jnnnnhkl lzkyhxifF

1

))(2exp(

Experimentální veličinyElektronová hustota

Fázový problém

Monokrystalová strukturní analýza

• Příprava krystalů vhodných k difrakčnímu měření• Sběr difrakčních dat• Řešení fázového problému• Upřesnění struktury

Malé vzorky (~ 0.1 mm), nejlépe kulový tvar

Biologické vzorky - v mateřském roztoku, molekuly solvátu(30-70 %)

Mezní rozlišení atomů - Rmin = 0.92 dmin max= 25° pro Mo K

Omezení pro makromolekuly

Určení symetrie krystalové struktury

Bijvoetovy páry lkhhkl

n

nnnnhkl lzkyhxfF )(2cos

n

nnnnlkhlzkyhxfF )(2cos

Centrosymetrický krystal

hkllkhFF

Necentrosymetrický krystal

n

nnnnhkl lzkyhxfF )](2exp[

n

nnnnlkhlzkyhxfF )](2exp[

*hkllkh

FF Friedelův zákon

hkllkhII

Intenzita závisí pouze na velikosti strukturních faktorů

Difrakční obraz je vždy centrosymetrický Vážená reciproká mříž každého krystaluje centrosymetrická

2''

22'

21221 cosicoscos fffffFhkl

Anomální disperze

)cos(i)cos( 2''

22'

21 fffFlkh



)2/(exp)exp( 2''

22'

21 ififfFhkl

)2/(exp)(exp 2''

22'

21 ififfFlkh

Intenzita difraktovaných svazků závisí pouze na velikosti strukturních faktorů a nezávisí na jejich fázi

Laueova grupa symetrie 10 možných typů lauegramůLze určit pouze makroskopické prvky symetrie

Vyhasínání reflexí

Subtranslace -šroubové osyskluzové roviny

centrování mříže

Př. 21 podél c (x,y,z)

2

1,, zyx

m

mmmmmmmhkl lzkyhxilzkyhxifF )}]2/1(2exp{)}(2[exp{

Pro 00l ])exp(1}[2exp{00 m

mml ililzfF Pro l liché, F00l = 0

Šroubové osy se projevují vyhasínáním – h00, 0k0, 00l, hh0

Skluzové roviny se projevují vyhasínáním – 0kl, h0l, hhl, hk0

Možné difrakce Typ mříže

h + k + l = 2n I

h + k = 2n C

h + l = 2n B

l + k = 2n A

h + k = 2nh + l = 2nl + k = 2n

F

-h + k + l = 3n R

Vyhasínání vlivem centrování buňky

Urcčení typu mříže a přítomnost šroubových os nebo skluzových rovin

Obecné a speciální vyhasínací podmínky

Renningerův jev – vícenásobná difrakce

Komplikace při hledání prvků symetrïe

Určení

Laueho grupy symetrieTypu mřížePřítomnosti šroubových os a skluzových rovin

Difrakční symboly

mmmI---mmmI-a-mmmIbca

122 symbolů

Daný atom nepřispívá k pozorované intenzitě

Metody řešení struktur

Iterativní metody - struktury určené symetrií krystalu jednoparametrové struktury

Pattersonovské metody

Přímé metody

Př. CsCl, NaCl, KCl, U [Valvoda, str. 292]

CsCl Jedna vzorcová jednotka na buňku Primitivní buňka

Difrakční symbol m-3P--- nebo m-3mP---

P23, Pm-3, P432, P-43m, Pm-3m

Ekvivalentní polohy 1a: 0 0 0, 1b: ½ ½ ½

Pattersonovské metody

Pattersonova funkce xuxxxxu dPV )()()(*)()(

N

jjjP

1

)()()( urru

)2exp(||)(2

uHFuH

H iP Maxima odpovídají všem možným meziatomovým vektorům spojujícím atomy v elementární buňce.

Tato maxima mají stejnou periodicitu a symetrii jako krystalová mřížka.Výška píku je úměrná součinu protonových čísel atomů spojenýchvektorem u vynásobeném multiplicitou tohoto vektoru (N2 maxim)

Výrazná maxima v Pattersonově funkci

1. Řada vektorů se stejnou délkou a směrem 2. Limitovaný počet těžkých atomů s protonovým číslem výrazně větším než zbývající atomy

Vždy centrosymetrická funkcezachovává centraciprvky symetrie s translační složkou jsounahrazeny prvky bez této složky

)(2cos1

)( 22

lzkyhxFV

xyzPh k l

hkl

Použití projekcí Pattersonovy funkce

)(2cos1

)( 22

kyhxFAV

xyPh k

hkl

těžký atom – těžký atom – výrazné maximum na mapě

těžký atom – lehký atom – střední maximum na mapělehký atom – lehký atom – výrazné maximum na mapě

Harkerovy řezy a přímky Nakupení maxim (od atomů spjatých operacemi symetrie)

Pětiatomová molekula

Všechny možné meziatomové vektory

Pattersonova mapa

Maxima elektronové hustoty

Pattersonova funkce

Rozdělení elektronové hustotyFourierova řada

aXxnxAx n /,2cos)( periodicita

1

0

2cos)( dxnxxAn

h k lhkl a

Zl

a

Yk

a

XhiA

VXYZ 2exp

1)(

dXdYdZabc

V

a

Zl

a

Yk

a

XhiXYZ

VA

a b c

hkl

0 0 0

2exp)(1

dVrSirSFV

}2exp{)()(

VFA hklhkl /

Fourierova syntéza, mapy elektronové hustoty

h k lhkl a

Zl

a

Yk

a

XhiF

VXYZ 2exp

1)(

Dvojrozměrné řezy

h k lhkl a

Yk

a

XhiF

VXY 2exp)(

1)0(

Projekce

h khk a

Yk

a

XhiF

AXY exp

1)( 0

Projekce vážené reciproké mříže do roviny l = 0

Translační perioda

a b ca b

dXdYdZabc

VXYdXdY

ab

AXY

0 0 00 0

)()(

h khk

l

c

hklh k

c

h k lhkl

c

b

Yk

a

XhiF

A

dZc

ZilF

b

Yk

a

Xhi

Ac

dZc

Zl

b

Yk

a

XhiF

VAc

V

dZXYZabc

V

A

abXY

0

0

0

0

1

2exp2exp1

2exp1

)()(

Metoda těžkého atomu

nN

jjj

THH fFF

1

2cos Hr

Polohy těžkých atomů známé (např. z Pattersonovy funkce)

Postupná Fourierova syntéza se startovacím souborem FH

o stejných znaménkách jako FHT

.

Rozptyl na těžkých atomech dominuje a určuje znaménka většiny strukturních faktorů

n těžkých atomů

-4/60 4/60-12/60-17/60-25/60

Příklad

12/60 17/60 25/60

m1/m2 = 3/8

f1 ~ 3·(-2 sin2/2)

f2 ~ 8·(-2 sin2/2)h F(h) FT(h)

0 34 16

1 4 5

2 -11 -10

3 -7 -13

4 5 3

5 11 14

6 -6 6

7 -6 -9

8 -16 -11

9 -4 1

Pattersonova funkce

Fourierova syntéza se znaménkyurčenými z poloh těžkých atomů

Fourierova syntéza se znaménkyurčenými z poloh těžkých atomů a vynecháním nejistě určených faktorů

Fourierova syntéza se správnými znaménky

Fourierova syntéza s váženými koeficienty

xT = 0,196 ~ 12/60

Substituční metody

MIR - Multiple Isomorphous ReplacementSIR- Single Isomorphous ReplacementSIRAS - Single Isomorphous Replacement and

Anomalous Scattering

Příprava derivátů. Nahrazení několika atomů ve známých polohách jinými atomy (např. lehkých atomů těžkými)

Hlavní užití – při studiu makromolekul

nN

jjjHA

AH fSfF

1

2cos Hr

Příklad pro centrosymetrický krystal:

nN

jjjHB

BH fSfF

1

2cos Hr

HBAB

HA

H SffFF )(

2,20,12

10||,8||,78||,92|| 2211

HBA

Bh

Ah

Bh

Ah

Sff

FFFF

10,8,78,92 1211 Bh

Ah

Bh

Ah FFFF

Faktory symetrie

známéPř.

Následná Fourierova syntéza

Izomorfní deriváty A, B

Metoda anomální disperze

MAD - Multi-wavelength Anomalous Diffraction

Centrosymetrický krystal '''hhh

ah FFFF

změřené hodnoty

FH je pro centrosymetrický krystalreálná veličina

v blízkosti absorpční hrany těžkého atomu

Přímé metody

Statistické metody, využití obecných informací o elektronové hustotě, nerovností

j j

jj

jjj baba 222 ||||||Cauchy

j j

jj

jjj ffiHrf 2|2exp|

j

jhkl FfF 2000

22 ||||||

Střed symetrie

j

jjhkl fF rH2cos

})2(2cos1{

2

12cos|| 22

jf

jj

jjf

jj

jhkl ffffF rHrH

N

jjf

1

)(

||||

H

FU H

HJednotkové strukturnífaktory

)2exp(; 2/12/1jjjjj ifbfa rH


)2cos(2)]2exp()2[exp(2/

1

2/

1j

N

j

N

jjjjjH rHifrHirHifF

Součet N/2 nezávislých náhodných veličin

)2cos(2 rHfx jj

se střední hodnotou

)2cos(2 jjj rHfx

Náhodné rozdělení souřadnic

0 jx 02/

1

N

jjxF

Rozptyl

N

jj

N

jj ffFF

1

22/

1

2222 2

Distribuční funkce F )2/exp(2

1)( 2

1

FFP

)2/||exp(2

)(2|)(| 211

FFPFP


HHH iBAF

2/1;0 2AA

2/1;0 2BB

)/exp(1

)( 2

AAP

)/exp(1

)( 2

BBP

Celková pravděpodobnost, že A leží mezi A a A+dA a B mezi B a B+dB jeP(A).P(B)

)/||exp(||2

|)(| 21

F

FFP

0

..

..

..

..

21

2122

1211

21

0HHHHH

HH0HHH

HHHH0H

HHH0

UUUU

UUUU

UUUU

UUUU

nnn

n

n

n

Karle, Hauptman

Pro střed symetrie

)1(2

1|| 2,2,22

lkhhkl UU

Dvojčetná osa ve směru c

)1(2

1|| 20,2,22

khhkl UU

Elektronová hustota musí být nezáporná a soustředěná dokonečného počtu diskrétních atomů

||,0 000000 HFFF

)1(2

1|| 20,2,02

khkl UU

Rovina zrcadlení kolmá k ose c

N

jjf

1

2 )(

||||

H

FE

H

HH

Normalizované strukturní faktory

Počet identických příspěvkůk FH od symetricky ekvivalentních atomůN... Počet atomů v základní buňce

N

jjjj

jj

iZZ 1

22exp

1HrE

H

H

Atomové číslo Rozptyl na bodovém nekmitajícím atomu, úhlově nezávislý

Mapa s ostrými maximy

Součet fází h1¡+ h2+ h3 je strukturní invariant (nezávislý na volbě počátku mříže), pokud h1 + h2 + h3 = 0 (součet tří difrakčních vektorů je nulový)

Strukturní invariantyFáze obecně závisí na volbě počátku buňky

H = K + (H - K)

Strukturní invarianty

Triplety, kvartety, F000

1212121

...(exp|...|... HHHHHHHHH iFFFFFFmm

obecně

H1 + H2 + … + Hn = 0

321

3213321

3

33

2

22

1

11

)()(2exp

)(2exp2exp2exp

jjjjjjjjjj

jjj

jjj

jjjKHKH

ifff

ifififFFF

rrKrrH

rKHKrHr

Pro podobné sin

321

1232312

21

1212

32

3223

31

1331

)()(2exp;

||)(2exp;

||)(2exp;

||))((2exp;

;

321

222132

222231

222321

3321

jjjjjjjjjj

jj

jjjjjj

jj

jjjjjj

jj

jjjjjj

jj

rrrrifffjjj

fFrriffjjj

fFrriffjjj

fFrriffjjj

fjjjj

RHK

H

K

KH

H

K

KH

Elektronové hustoty jsou nezáporné

> 0

> 0

> 0

> 0

Pro velká |F|

Součet kladnýcha záporných hodnotmalé číslo

0||3|||||| 22223 RFFFFKfFFF KHKHj

jKHKH

Pro velké strukturní amplitudy

)sgn()sgn()sgn( KHKH FFF

Pro silné reflexe k a h - k, určuje součin těchto reflexí v Sayreho vztahu znaménko

)sgn()sgn()sgn( KHKH EEE )sgn()sgn( K

KHKH EEE

Sayreho rovnice K

KHKH EEECentrosymetrické krystaly

Pravděpodobnost, že určené znaménko je kladné

KKHKHH EEEE )||tanh(

2

1

2

1)( zP

N

j

N

jjj ZZz

1 1

2/323 )/(

Čím větší jsou hodnoty Eh, Ek, Eh-k, tím větší je pravděpodobnostsprávného určení znaménka

4 2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

0.8

11

3.354 104

0.5 1 tanh x( )( )

44 x

KHKH

KHKH

~

~Nejpravděpodobnější hodnota strukturníhoinvariantu je rovna nule

Střední hodnota pro různá K

Necentrosymetrické krystaly

Tangentová formule

H

H

KHKKHK

KHKKHKH C

S

EE

EE

)cos(||

)sin(||tan

S variancí správné hodnoty fáze H

1

20

22 )(

)1()(

4

3 n

nn

n

J

IH

HH

2/122 )(||2 HHHH CSEz

Nejpravděpodobnější hodnota H

2/12/1

1

1

1

1||

KH

KH

K

KKHKH U

U

U

UUUU

Postup při určování struktury

Sběr dat

Orientační matice OVztah mezi souřadným systémem krystalu (C)(goniometrické hlavičky) a systémem reciproké mříže*

),,();,,();,,( lkhzyxzyx LLLLcccc HXX

Souřadnice vektoru h popisujícího nějakou veličinu v reciprokém prostoru

systém krystalu laboratorní systém reciproký systém

GGLL AAA XXHh *COAA *

OAA CC HHX 1)(*

Pro určení orientační matice stačí znalost přesných hodnot Millerových indexůa reciprokých souřadnic pro tři nekoplanární difrakční vektory

„Peak hunting“ – orientační reflexe, ve středu Braggových úhlů

Indexace píkůVolba vhodné počáteční reciproké buňky

Tři nejkratší nezávislé vektory vybrané z tabulky difrakčních vektorůa rozdílů difrakčních vektorů, pomocí nichž se podaří přiřadit Millerovyindexy všem vstupním orientačním reflexím

Indexace v přímém prostoru

Koncové body libovolných nezávislých uzlových vektorů v reciprokémprostoru definují rovinu, jejíž normála splývá s nějakým vektorem v přímém prostoru

Projekce všech uzlových bodů reciprokého prostoru do směruvektoru odpovídajícího přímého prostoru tvoří jednodimenzionálnímřížku.

Upřesňování orientační matice

p

q

qCi

iki

qi

p

q

qCi

i

qCi XOHobsXcalcXS

1

23

11

23

1

][)]()([

Počet orientačních reflexí

minimalizace

Měření integrálních intenzit

sken sken

Rotační metoda Vhodná pro velké buňky (velké množství reflexí)

Krystal rotuje nebo osciluje kolem osy kolmé na dopadající paprsek

Difrakční podmínka je splněna pro úseky rovin v reciprokém prostoru,které mají nenulový průnik s lunetami vymezenými Ewaldovými koulemiodpovídajícími krajním polohám.Reflexe obsažené v každém z párů lunet mají společný jeden z indexů

Zakázaná oblastNutnost více os

Monokrystalový difraktometr s plošným detektorem

Rmax = /2 sin max

Rmin = /2 sin min

2max = c + tan-1(a/2D)

2min = c - tan-1(a/2D)

Korekce na Lorentzův faktor a polarizaci

Korekce na absorpci

Transmisní koeficient T

dvqpV

dvxV

T ))(exp(1

)exp(1

Dráhy dopadajícíhoa difraktovaného svazku

i

imix

Hmotový absorpční koeficient

Hmotnostní frakce

Analytické korekce:Koule, válec, čtyřstěn

Empirické korekce

Postup při určování struktury

Měřené intenzity korigované na Lp faktor, případně absorpční faktor, určení škály

sin

,)(

)(

)(0

1

2

s

sI

sf

sK

N

jj

Hodnoty strukturních faktorů přibližně korigované na vliv teplotních kmitů

Výpočet normalizovaných strukturních faktorů

)2exp(|||| 2202 BsFKF HobsH

Statistická analýza v souboru reflexí

N

jjs

s

sobsH fsBKF

1

2022

;2ln||

ln

Hodnoty atomovýchfaktorů pro s = <s2>-(1/2)

N

jj

obsHH

fBsK

FE

1

202

2

)2exp(

||||

Iterativní určování fází

Roztřídění reflexí do skupin podle kombinací sudých a lichých indexůSetřídění podle hodnot normalizovaných strukturních faktorůVýběr tří vhodných skupin a v nich max. |Eh|Přiřazení fází těmto hodnotámVýběr dalších reflexí s velkými |Eh| a přiřazení symbolických fází

Startovací soubor reflexí

Fourierova syntéza s koeficienty Eh

Schema určování fází přímými metodami

Normalizace |Fobs|

Nalezení strukturních invariantů

Volba optimální počáteční množiny fází

Výpočet fází strukturních faktorů Eobs

Test fází

Výpočet Fourierovy mapy

Interpretace Fourierovy mapy

1

eH

H

HH

A

AMABS

eH

HH AR /||100

Upřesňování struktury

V přímém nebo v reciprokém prostoru

)exp(||'

)exp(||

co

cc

iF

iF

Modelová struktura

Upřesněná struktura

Elektronová hustota azidopurinu

a) Rozlišení 0,55 nm – 7 reflexíb) 0,25 nm – 27 reflexíc) 0,15 nm - 71 reflexí d) 0,08 nm – 264 reflexí

Rozdílová Fourierova syntéza

h k l

cc lzkyhxiFFV

xyz 00 )}(2exp{)(1

)(

Elektronová hustota spočtenábez neznámých poloh

Upřesňování v reciprokém prostoru

monokrystal polykrystal

Metoda nejmenších čtvercůSimulované žíháníGenetický algoritmus

Faktor spolehlivosti

Porovnávání spočtených a naměřených strukturních faktorů

HH

H

cHHH

w

HH

H

cHH

Fw

FFwR

F

FFR

||

||||||nebo

||

||||||

0

0

10

0

HHH

H

cHHH

w

HH

H

cHH

Fw

FFwR

F

FFR 220

2220

2220

2220

)(

)()(nebo

)(

)()(

Problémy v makromolekulární strukturní analýze

Velký počet určovaných parametrůŠum

Hledání minima E = Echem + Rw

úhly páryatomvazbybchem crrbarkrrkE

.

161220

20 ...)()()(

Empirické informace o rovnovážné kovalentní vazebné geometrii,o molekulových vibracích, vodíkových můstcích a nevazebných interakcích