3
04/13/20232
2
04/13/20233
1
04/13/20234
Video Monitor
Arial Font
BAB VIINVERSE FUNGSI
TRIGONOMETRI DAN BILANGAN KOMPLEKS
04/13/2023 BAB VI TRIGONOMETRI
CREW :Tangguh Yudho
(021)Fanny Nur S (022)Diah Hapsari (026)
Prastiwi Angger (029)
Randha Ayu (032)Mu’ahid N (034)Isti Handayani
(045)
A. Inverse Fungsi Trigonometri1. Relasi SiklometriFungsi y = f(x) = sin x, x R,
merupakan salah satu fungsi Trigonometri seperti telah dibicarakan di muka. Untuk setiap x pasti dapat ditemukan nilai y tunggal.Bagaimanakah sebaliknya?Andaikan, y = , sehingga diperoleh y = f (x) = sin x =
atau sin x = sin ( + k. 2) atau
sin x = sin ( + k. 2), k B
2
1
2
1
6
56
1
sehingga diperoleh penyelesaian
x = + k. 2 atau x = + k. 2 , k B
Ternyata untuk nilai y tunggal terdapat banyak nilai x yang berpasangan dengan nilai y.
Kesimpulan y = sin x bukan fungsi 1 – 1, sehingga inverse fungsi tersebut bukan merupakan fungsi.
6
1
6
5
Definisi :
Relasi Siklometri1. Jika f menyatakan fungsi
trigonometri yang terdefinisi pada x R dan dinyatakan sebagai y = f (x) maka kebalikan fungsi f dinyatakan sebagai f-1 atau x = f-1(y) disebut Relasi Siklometri
2. Oleh karena ada 6 fungsi trigonometri, maka terdapat 6 relasi siklometri, yaitu:
a. y = sin x --------> x = arc sin yb. y = cos x --------> x = arc cos yc. y = tan x --------> x = arc tan xd. y = ctg x --------> x = arc ctg ye. y = sec x --------> x = arc sec yf. y = csc x --------> x = arc csc y
Catatan : Daerah asal Relasi Siklometri tergantung daerah hasil fungsi Trigonometri
2. Grafik Dan Domain Relasi Siklometri
Pandang relasi siklometri y = arc sin x, merupakan invers dari fungsi x = sin y , y R …………………………………………...…. (1)
Bandingkan dengan fungsi y = sin x, x R ……………………. (2)
Antara (1) dan (2) terdapat penggantian variabel x dengan y dan seba-liknya, sehingga grafik relasi siklometri dapat diperoleh dari grafik fungsi trigonometri awal, dengan mencerminkan terhadap garis y = x. Grafik keenam relasi siklometri dan grafik fungsi trigonometri asal dapat dilihat sebagai berikut.
1. Grafik y = sin x dan y = arc sin x
2. Grafik y = cos x dan y = arc cos x
3. Grafik y = tan x dan y = arc tan x
4. Grafik y = ctg x dan y = arc ctg x
5. Grafik y = sec x dan y = arc sec x
6. Garfik y = csc x dan y = arc csc x
2
13
C. Nilai Relasi Siklometri
Untuk menentukan nilai relasi siklometri digunakan fungsi trigonometri awal. Beberapa contoh akan disajikan berupa contoh soal dan penyelesaiannya.
1. Tentukan nilai arc sin !
2. Jika m = arc cos - , tentukan nilai m!
3. Jika y = arc tan , tentukan nilai cos y!
4. Jika sin arc ctg – 1 = x. Tentukan nilai x!
5. Jika y = cos arc sec x. Nyatakan y sebagai formula dalam x!
6. Buktikan arc sin x + arc cos x =
2
1
12
5
2
04/13/202320
B. BILANGAN KOMPLEKS
1. Bilangan Imaginair Adakalanya dalam suatu perhitungan kita menjumpai bentuk , -1, -3, -9 dan sebagainya. Untuk semesta pembicaraan himpunan bilangan riel, bentuk-bentuk seperti tersebut di atas bukan merupakan penyelesaian sebab bukan anggota semesta.
Bilangan-bilangan pada contoh di atas disebut bilangan imaginair atau bilangan khayal.
1
04/13/202321
Bilangan-bilangan pada contoh diatas disebut bilangan imaginair sejati, yang dapat dinyatakan dalam bentuk baku (memuat symbol i), yaitu :
-1 = i -3 = i 3
-9 = i 9 = 3i
Definisi : -1 = i , i2 = - 1Catatan : Penggunaan simbol bilangan imaginair dalam bentuk baku dimaksudkan untuk memudahkan perhitungan.
04/13/202322
2. Bilangan Kompleks
Himpunan bilangan kompleks K = {(a + bi)| a, b R}, bi disebut bagian imaginair sejati.1. Kesamaan dua bilangan kompleks a + bi = c
+ di, apabila : a = c dan b = d2. Dua bilangan kompleks disebut pasangan
bilangan kompleks konjugate , apabila komponen riilnya sama dan bagian imaginair sejati berlawanan tanda.
Contoh : 2 + 3i dan 2 – 3i -5 + i dan -5 – iSecara umum a + bi dan a – bi adalah pasangan dua bilangan kompleks konjugate.
3. Operasi Pada Bilangan Kompleks
a. Operasi PenjumlahanJumlahan dua bilangan kompleks (a + bi) dan (c + di) didefinisikan sebagai :
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)iContoh : (4 + 5i) + (7 – 3i) = 11 + 2i
b. Operasi PenguranganPengurangan bilangan kompleks a + bi oleh c + di
didefinisikan sebagai:(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Contoh : (17 – 4i) – (–2 – 3i) = 19 – i
c. Operasi PerkalianPerkalian dua bilangan kompleks a + bi
dengan c + di, didefinisikan sebagai berikut:(a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)iContoh : (4 + 5i) . (2 - 3i) = (8 + 15) + (-12 + 10) I
= 23 – 2i
Catatan : Seperti pada operasi perkalian pada bilangan-bilangan yang lain tanda titik"." boleh tidak ditulis.
d. Operasi Pembagian
(a + bi) : (c + di) = .
= ( ac + bd) + (bc – ad) i
c2 + d2
Contoh : ( 2 + 3i) : (4 - 5i) = .
=
= = + i
i
i
54
32
i
i
54
54
2516
)1012()158(
i
44
227 i44
744
22
dic
bia
dic
dic
Setiap bilangan kompleks a + bi berkorespondensi 1–1 dengan setiap titik P (x,y) pada bidang koordinat, dengan syarat
a = x dan b = y
Contoh: Titik P (3,2) menyatakan bilangan kompleks 3 + 2i Sumbu x adalah sumbu rielSumbu y adalah sumbu imajinair
4. Grafik Bilangan Kompleks Pada Bidang Koordinat
Kesimpulan yang diperoleh :
a. Titik O menyatakan 0 + 0i = 0
b. Setiap titik pada sumbu x menyatakan a + 0i = a , a R
c. Setiap titik pada sumbu y menyatakan 0 + bi = bi , b R
04/13/202328
5. Grafik Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Kompleks
Andaikan diketahui 2 bilangan kompleks
sebarang z1 dan z2, dengan z1 = x1 + y1 i
dan z2 = x2 + y2 i
Grafik penjumlahan dan pengurangan z1
dan z2 dalam bidang koordinat dapat
disajikan sebagai grafik penjumlahan dan
pengurangan 2 vektor (lihat gambar pada
slide berikutnya).
04/13/202329
Operasi Penjumlahan Operasi
Pengurangan
z = z1 + z2 z = z1 + (-z2) = z1 – z2
y
z1
z
0 -z2 x
-
z
z1
0
y
x
z2
6. Bentuk Polar (Kutub) Bilangan-Bilangan Kompleks
• Jika sebarang bilangan kompleks x + yi digambarkan
dalam vektor OP, maka :
• OP disebut modulus atau nilai mutlak dari bilangan
komplek tersebut dan dinyatakan sebagai:
r =
y
P(x,y)
0 x
22 yx
• XOP = , disebut amplitudo bilangan komplek tersebut
dan biasanya dipilih sudut positif terkecil yang memenuhi
tan =
• Hubungan antara z, x , y, r dan sebagai berikut:
z = r cos + i r sin
z = r (cos + i sin )
z = r (cos + i sin ) disebut bentuk polar atau bentuk trigonometri.
z = x + yi disebut bentuk rectangular dari z.
x
y
sin
cos
ry
rxz = x + yi
Contoh : 1. Nyatakan z = 2 – i dalam bentuk polar. Penyelesaian: Modulus dari z = = = =r tan = = = - 0,8660
1 = 138024’
2= 318024’
Dalam hal ini 1 tidak digunakan, berikan alasan anda.
Jadi amplitudo z adalah = 3180241 , dan bentuk polar z :z = r (cos + i sin )z = ( cos 3180241 + i sin 3180241)
Mengingat koordinat P juga menyatakan sudut + 2k. , maka bentuk polar dari z dapat juga dinyatakan sebagai:
z = [ cos ( 3180241 + k.3600 )+ i sin (3180241 + 2 k.3600)]
3
OP22 )3(2 7
7
7
y
2
0 x
P2
3
x
y2
3
Jika diketahui
z1 = r1 ( cos 1 + i sin 1) dan
z2 = r2 ( cos 2 + i sin 2 ) , maka
z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]
7. OPERASI PERKALIAN
Model KesimpulanPembuktian
z1 = r1 (cos 1 + i sin 1) dan
z2 = r2 (cos 2 + i sin 2 )
Menurut definisi :
z1 . z2 = r1 r2 (cos 1 cos 2 - sin 1 sin 2 ) + i r1 r2
(sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2)
z1 . z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 +2 )] …..… (terbukti)
7. OPERASI PERKALIAN
Model KesimpulanPembuktian
Jika diketahui z1 = z2 , maka :
1. Modulus z1 . z2 adalah perkalian modulus z1
dengan modulus z2.
2. Amplitudo z1 . z2 adalah jumlah amplitudo z1
dengan amplitudo z2.
7. OPERASI PERKALIAN
Model KesimpulanPembuktian
Jika diketahui
z1 = r1 (cos 1 + i sin 1 ) dan
z2 = r2 (cos 2 + i sin 2)
maka :
z1 : z2 = z1 / z2 = r1/r2 [cos (1 - 2 ) + i sin (1 -2)]
7. OPERASI PEMBAGIAN
KesimpulanPembuktianModel
z1 : z2 = z1 / z2 = r1/r2 [cos (1 - 2 ) + i sin (1 -2)]
7. OPERASI PEMBAGIAN
Model Kesimpulan
)θsiniθ(cosr
)θsiniθ(cosr
z
z
222
111
2
1
)θsiniθ(cosr
)θsiniθ(cosr.
)θsiniθ(cosr
)θsiniθ(cosr
222
222
222
111
)θsinθ(cosr
)}θsinθcosθcosθsin(iθsinθsin θcosθ{cosrr
22
222
2
2121212121
Pembuktian
7. OPERASI PEMBAGIAN
Model Pembuktian
Jika diketahui z1 dan z2 maka :
1. Modulus z1 : z2 adalah hasil bagi modulus z1 , oleh modulus z2 .
2. Amplitudo z1 : z2 adalah hasil pengurangan amplitudo z1 , oleh
amplitudo z2.
Kesimpulan
8. TEOREMA DE MOIVRE
zn = [ r ( cos + i sin )]n =rn ( cos n + i sin n)
8. TEOREMA DE MOIVRE2
1
z
z
Contoh:
Jika z = - i , tentukan z10 !
Penyelesaian :
z = r (cos + i sin )
r = 2 dan tan = ; = 3300 + k. 3600
z10 = 210 [ cos 10 (3300 + k. 3600) +
i sin 10 (3300 + k. 3600)
= 1024 (cos 600 + i sin 600)
= 1024 ( + 1 . )
= 512 + 512 i
3
1
2
13
2
1
3
3
04/13/202341