MAKALAH KAPITA SELEKTA MATEMATIKA TRIGONOMETRI 1
Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Kapsel Matematika
Disusun oleh :
Nanan Sumartini
PENDIDIKAN MATEMATIKA
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN SEBELAS APRIL
SUMEDANG
1
KATA PENGANTAR
Assalamualaikum wr.wb.
Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Illahi Robi Allah swt, atas berkat dan
rahmat-Nya kami dapat menyusun makalah ini tepat pada waktunya. Makalah ini
disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Kapsel Matematika.
Kami ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang ikut membantu dalam
pembuatan dan penyusunan makalah ini, karena kami tidak dapat menyelesaikan
makalah ini jika tanpa bantuan setiap pihak, bantuan berupa materil ataupun segala hal
yang dapat membantu dalam penyelesaian makalah ini.
Makalah ini masih jauh dari sempurna, karena kami manusia yang tidak bisa lepas
dari kesalahan, kami hanya dapat berusaha untuk mencoba sedikit lebih baik, karena itu
kami akan sangat bisa untuk menampung setiap kritik dan saran yang bersifat
membangun demi kesempurnaan makalah ini.
Sumedang, Oktober 2014
Penyusun
2
DAFTAR ISI
Kata Pengantar..........................................................................................................i
Daftar Isi..................................................................................................................ii
BAB I PENDAHULUAN........................................................................................1
1.1 Latar Belakang Masalah..........................................................................1
1.2 Rumusan Masalah....................................................................................1
1.3 Tujuan Penulisan.....................................................................................2
1.4 Sistematika Penulisan..............................................................................2
BAB II PEMBAHASAN MATERI.........................................................................3
2.1 Pengertian Trigonometri..........................................................................3
2.2 Fungsi Trigonometri................................................................................3
2.3 Grafik Fungsi Trigonometri.....................................................................6
2.4 Identitas Trigonometri............................................................................10
2.5 Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri........................................14
BAB III PENUTUP................................................................................................19
3.1 Kesimpulan............................................................................................19
3.2 Saran......................................................................................................21
Daftar Pustaka........................................................................................................22
3
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Matematika sebagai dasar ilmu pengetahuan dan merupakan salah satu mata
pelajaran ujian nasional. Matematika dengan peranannya menjadikannya sebagai ilmu
yang penting dan salah satu peranannya matematika adalah sebagai alat berfkiir untuk
menghantarkan siswa memahami konsep matematika yang dipelajarinya. Salah satu
konsp matematika tersebut adalah konsep trigonometri.
Trigonometri merupakan cabang ilmu Matematika yang melibatkan dua bidang
teori penting, yaitu teori bilangan dan geometri. Secara geometris, trigonometri
dikembangkan berdasarkan studi bintang–bintang. Trigonometri memiliki banyak
penerapan praktis, misalnya dalam teknik bangunan dan arsitektur, digunakan untuk
mengukur rangka atap dan sudut elevasi pada sebuah kawat penyangga jembatan. Serta
dapat digunakan sebagai aplikasi dalam menghitung panjang baja yang dibutuhkan
dalam pembuatan jembatan dengan gelagar rangka (trapesium), yang mepunyai sisi
berbetuk segitiga-segitiga.
Berdasarkan uraian di atas, maka penulis membuat sebuah makalah dengan
judul “Makalah Kapita Selekta Matematika Trigonometri 1”.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut.
1. Bagaimana pengertian trigonometri?
2. Bagaimana fungsi trigonometri?
3. Bagaimana grafik dan periode trigonometri?
4. Bagaimana identitas persamaan dan pertidaksamaan trigonometri ?
4
1.3 Tujuan Penulisan
Adapun tujuan penulisan dari pembuatan makalah ini adalahsebagai berikut.
1. Untuk mengetahui pengertian trgonometri.
2. Untuk mengetahui fungsi terugonometri.
3. Untuk mengetahui grafik dan periode trigonometri.
4. Untuk mengetahui identitas persamaan dan pertidaksamaan trigonometri.
1.4 Sistematika Penulisan
Kata Pengantar
Daftar Isi
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
1.2 Rumusan Masalah
1.3 Tujuan Penulisan
1.4 Sistematika Penulisan
BAB II PEMBAHASAN MATERI
2.1 Pengertian Trigonometri
2.2 Fungsi Trigonometri
2.3 Grafik Fungsi Trigonometri
2.4 Identitas Trigonometri
2.5 Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan
3.2 Saran
Daftar Pustaka
5
BAB II
PEMBAHASAN MATERI
2.1 Pengertian Trigonometri
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur)
adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi
trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan
dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya, bagi
beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.
Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan
peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah
perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan
juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang
menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya
Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel
trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga. Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy
sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang
berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam
bahasa Inggris dan Perancis.
2.2 Fungsi Trigonometri
Fungsi trigonometri adalah relasi yang memasangkan setiap sudut tepat
hanydengan sebuah perbandingan trigonometri atau gabungan dari perbandingan
trigonometri. Terdapat tiga fungsi baku trigonometri, yaitu y = f(x)=sin x, y = f(x) = cos
x, dan y = f(x) = tan x.
6
Sebelum membahas grafik fungsi trigonometri perlu diketahui bahwa satuan
ukuran sudut ada dua macam, yaitu derajat dan radian.
1 putaran penuh = 360o
Sudut pusat lingkaran (1 putaran penuh) = 2 πr
r radian = 2 π radian
Jadi 360o = 2 π rad
180o = rad
90o = rad, dan seterusnya
Jika kita perhatikan gambar berikut, perbandingan trigonometri untuk sudut θ
masing-masing adalah
Karena untuk setiap sudut θ mengakibatkan hanya ada satu nilai sinθ, cos θ dan
tan θ maka terdapat pemetaan dari himpunan real (R) ke himpunan bilangan real (R).
7
Catatan :
1 rad = 180°
π = 57,296
1o = 180°
π rad = 0,017 rad
Untuk π = 3,141592
Pemetaan-pemetaan atau fungsi-fungsi sin, cos dan tan merupakan pemetaan dari
himpunan sudut ke bilangan real. Hal ini dapat digambarkan sebagai berikut:
R R R R R R
a. Gambar (i) fungsi sinus didefenisikan
f :θ → sin θ , θ∈ R , dengan f (θ )=sin θb. Gambar (ii) fungsi kosinus didefenisikan
f :θ → cosθ , θ∈R , dengan f (θ )=cosθ
c. Gambar (iii) fungsi tangent didefenisikan
f :θ → tan θ , θ∈B ,dengan f (θ )=tan θ
Untuk B= R artinya\{…. ,−3π2
,− π2
,π2
,3π2
, …… ..} semua anggota himpunan
bilangan real selain {…. ,−3π2
,− π2
,π2
,3π2
, …… ..}Fungsi f (θ )=sin θ , f (θ )=cosθ , f (θ )=tan θ disebut sebagai fungsi trigonometri.
Adapun nilai sin, cos dan tan suatu sudut dapat bernilai positif, nol atau negatif
tergantung letak sudut di kuadrannya. Adapun nilai sin, cos dan tan suatu sudut dapat
bernilai positif, nol atau negatif tergantung letak sudut di kuadrannya. Adapun fungsi
yang lainnya yaitu :
8
• θ
• θ
• tan❑θ
• cos❑θ
• Sin θ
• θ
2.3 Grafik Fungsi Trigonometri
Grafik fungsi sin f(x)=sin x dengan domain 0 ¿ x ¿ 360o
x 0
Sin x 0 12
12√3 1 1
2√3 1
2 0 -12 -
12√3 -1 -
12√3 -
12 0
9
Grafik fungsi cos f(x)=cos x dengan domain 0 ¿ x ¿ 360o
x 0
cos x 0 0 0-
1… … 0 … … 1
y
Grafik fungsi tan f(x)=cos x dengan domain 0 ¿ x ¿ 360o
x 0
tan x 0 0 … … … … 0
y
x
Periode maksimum dan minimum fungsi trigonometri secara umum dapat
ditentukan bahwa :
10
π2
π
-1
1
2 π3
5 π6
π 7 π6
4 π3
3 π2
π6
π3
a. f(x) = Periode = atau
Nilai maksimum =
Nilai maksimum = -
b. f(x) = Periode = atau
Nilai maksimum =
Nilai maksimum = -
c. f(x) = Periode = atau
Nilai maksimum dan minimum tidak ada
Adapun grafik fungsi yang lainnya adalah :
1. Fungsi sinus , f ( x )=sin x ,untuk 0≤ x≥ 2 π
2. Fungsi kosinus,f ( x )=cos x , untuk 0≤ x≥ 2π
11
INGAT!SIFAT-SIFAT GRAFIK FUNGSI :
Sinus dan cosinus : - kontinu di tiap titik sudut
- periodik, p=2 π
- range : -1 < sin x < 1
-1 < cos x < 1
Tangen : - diskontinu, asimtosis di
- periodik,
- mempunyai range tak hingga : - < tan x
3. Fungsi tangen, f(x) = tan x, untuk 0 ≤ x≥ π
4. Fungsi cotangen
5. Fungsi sec x
12
6. Fungsi cosec x
Adapun cara menggambarkan garfik fungsi y=A sin/cos/tan/cot/sec/csc (kx ± b) ± c
1. Periode fungsi untuk sin/cos/sec/csc = 2π/k → artinya: grafik akan berulang setiap
kelipatan 2π/k. Periode fungsi untuk tan/cot = π/k → artinya: grafik akan berulang
setiap kelipatan π/k
2. Nilai maksimum = c + |A|, nilai minimum = c – |A|
3. Amplitudo = ½ (ymax – ymin)
4. Cara menggambar:
a. Gambar grafik fungsi dasarnya seperti pada gambar di atas
b. Hitung periode fungsi, dan gambarkan grafik sesuai dengan periode fungsinya
c. Jika A ≠ 1, kalikan semua nilai y pada grafik fungsi dasar dengan A
13
d. Untuk kx + b → grafik digeser ke kiri sejauh b/k, Untuk kx – b → grafik
digeser ke kanan sejauh b/k
e. Untuk + c → grafik digeser ke atas sejauh c, Untuk – c → grafik digeser ke
bawah sejauh c
2.4 Identitas Trigonometri
Membuktikan identitas trigonometri sederhana
Rumus-rumus yang perlu dipahami :
a. Rumus dasar yang merupakan kebalikan
sin θ= 1
cosec θ
cosθ= 1
sec θ
tanθ= 1
cot θ
b. Rumus dasar yang merupakan hubungan perbandingan
tanθ=sin θ
cosθ
cot θ=cosθ
sin θ
c. Rumus dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras
sin θ=cos( 90°−θ)
cosθ=sin( 90°+θ )
tanθ=cot (90 °−θ )
cot θ=tan (90 °−θ )
sin θ= y
r atau y=rsin θ
cosθ= xr atau x=r cosθ
14
x2+ y2=r2
(r cosθ )2+(rsin θ )2=r 2
r2 (cos2θ+sin2 θ )=r2
Jadi, cos2θ+sin2θ=1
cos2θ+sin2θ=1 (kedua ruas dibagi dengan cos2 )
1+sin2 θ
cos2 θ= 1
cos2 θ
1+(sin θ
cosθ )2
=( 1cosθ )
2
1+ tan2 θ=sec2θ
Jadi 1+ tan2 θ=(secθ )2
cos2θ+sin2θ=1 (kedua ruas dibagi dengan sin2 )
cos2 θsin2 θ
+1= 1sin2 θ
(cos θsin θ )
2
+1=(cosec θ )2
cot2θ+1=cos ec2 θ
Jadi cot2θ+1=cos ec2θ
Sebelum membuktikan suatu identitas perlu dipahami terlebih dahulu cara
penyelesaiannya.
1. Sebaiknya kita mengubah satu ruas saja sehingga sama dengan ruas yang lain.
2. Boleh kedua-duanya diubah sehingga mendapatkan dua bangun ruas kiri dan
kanan yang sama.
3. Jika selain sinus dan cosinus terdapat juga tangen, cotangen, secan dan
cosecan, sebaiknya dijasikan sinus dan cosinus semuanya.
15
4. Penyederhanaan persamaan dicari peluangnya dengan cara memfaktorkan,
menggabungkan pecahan, memisahkan pecahan, faktor kuadrat suatu
binominal, atau menciptakan suatu faktor yang sama pada pembilang dan
penyebut suatu pecahan.
Sehingga kita dapatkan bahwa bentuk suatu identitas trigonometri adalah :
Contoh Soal.
Buktikan Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α)!
Jawab:
Ruas kiri = Sin α . Cos α . Tan α
= Sin α . Cos α .
Sin αCos α
= Sin2 α
= 1 – Cos2 α
= (1 – Cos α) (1 + Cos α) = Ruas Kanan Terbukti!
Pemfaktoran Sebelum Menggunakan Identitas Dasar
Contoh Soal.
Buktikan sin2 A−sin2 A cos2 A=sin4 A !
Jawab:
sin2 A−sin2 A cos2 A=sin2 A (1−cos2 A )
=sin2 A×sin2 A
16
=sin4 A
Penggabungan Pecahan Sebelum Menggunakan Identitas Dasar
Contoh Soal.
Buktikan
1sin A+1
− 1sin A−1
=2 sec2 A
Jawab :
1sin A+1
− 1sin A−1
=(sin A−1)−(sin A+1)(sin A+1)(sin A−1)
sin A−1−sin A−1
sin2 A−1= −2
−(1−sin2 A )
2
(1−sin2 A )=2× 1
cos2 A=2 sec2 A
Pemisahan Pecahan Sebelum Menggunakan Identitas Dasar
Contoh Soal.
Buktikan sin2 θ=sec2 θ−1
sec2 θ
Jawab :
sec2 θ−1sec2 θ
=sec2 θsec2 θ
− 1sec2 θ
=1− 1
sec2 θ=1−cos2 θ
=sin2 θ
Pengubahan ke Sin x dan Cos x
Contoh soal.
1. Buktikan identitas berikut:
sin x+tan xcot anx+cos ecx
=sin x tan x
Jawab:
17
sin x+tan xcot anx+cos ecx
=sin x+sin x
cos xcos xsin x
+1
sin x
=
sin x cos x+sin xcos x
cos x+1sin x
=sin x (sin x cos x+sin x )cos x (cos x+1)
=sin x
cos x×
sin x (cos x+1)cos x+1
=sin x
cos x×sin x
=tan x×sin x
2.5 Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri
1. Persamaan Trigonometri
Persamaan trigonometri adalah suatu persamaan yang memuat perbandingan
trigonometri.
a. Bentuk persamaan dasar
sin x = sin a
x = a + k.360° atau x = (180 – a) + k.360° (kuadran I atau II)
cos x = cos a
x = a + k.360° atau x = (180 – a) + k.360° (kuadran I atau II)
cos x = cos a
x = a + k.360° atau x = –a + k.360° (kuadran I atau IV)
tan x = tan a
x = a + k.180
dalam hal ini k = bilangan bulat
Notes :
Jika tedapat persamaan cos x = sin a, cot x = tan a, sec x = cosec a, atau sebaliknya,
salah satu diubah menjadi (90 – a)°. Misalnya : cos x = sin a → cos x = cos (90 – a)°
18
Perhatikan contoh berikut :
1. Tentukan HP (Himpunan Penyelesaian) dari 2 cos x – √3 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360°
Jawab :
2 cos x = √3
cos x = ½ √3
cos x = cos 30°
x = 30° + k.360° atau x = (180 – 30)° + k.360°
k = 0 → x = 30° x = 150° + k.360°
k = 1 → x = 390° (tidak memenuhi) k = 0 → x = 150°
Sehingga HP = {30°, 150°}
b. Bentuk persamaan a cos x + b sin nx
Jika kita menemukan persamaan dalam bentuk a cos nx + b sin nx maka kita
ubah menjadi k cos(nx – α)
dimana
Kemudian diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan dasar cos x = cos a
Penentuan letak α:
Jika a +, b + → α di kuadran I
Jika a –, b + → α di kuadran II
Jika a –, b – → α di kuadran III
Jika a +, b – → α di kuadran IV
Untuk persamaan a cos nx + b sin nx = c,
syarat agar persamaan ini dapat diselesaikan:
19
Dan persamaan ini tidak dapat diselesaiakan jika :
c. Persamaan bentuk a cos2x + b sin x.cos x + c sin2x = d
Ketika terdapat bentuk persamaan a cos2x + b sin x.cos x + c sin2x = d. Untuk
menyelesaikannya lakukan dengan mengubah unsur-unsurnya seperti berikut ini:
Dan untuk berikutnya persamaan diselesaikan seperti halnya menyelesaikan
persamaan a cos nx + b sin nx = c
d. Persamaan berbentuk a(cos x ± sin x) + b sin x.cos x + c = 0
Untuk persamaan berbentuk a(cos x ± sin x) + b sin x.cos x + c = 0, dalam
menyelesaikannya kita dapat mengikuti cara sebagai berikut :
Misalnya (cos x ± sin x) = p
sehingga
(cos x ± sin x)2 = p2
cos2x ± 2 sin x.cos x + sin2x = p2
1 ± 2 sin x.cos x = p2
± 2 sin x.cos x = p2 – 1
Sehingga 2 sin x.cos x = ± ½ (p2 – 1)
20
Sehingga persamaan di atas akan menjadi persamaan kuadrat:
a.p ± ½ b(p2 – 1) + c = 0
Selesaikan dengan cara pemfaktoran atau rumus abc untuk mendapatkan nilai p,
selanjutnya persamaan cos x ± sin x = p dapat diselesaikan dengan cara ketika
menyelesaikan persamaan a cos nx + b sin nx = c
Nilai ekstrim y = a cos nx + b sin nx + c
2. Pertidaksamaan Trigonometri
Langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri
pada hakikatnya hampir sama dalam menyelesaikan persamaan trigonometri. Hanya
terdapat tambahan menentukan daerah penyelesaian. Berikut ini langkah-langkahnya :
1. Mencari harga nol sama dengan cara menyelesaikan persamaan trigonometri
2. Diselesaikan dengan menggunakan garis bilangan
Contoh:
Selesaikan sin 2x < cos x untuk 0 ≤ x ≤ 360°
Penyelesaian :
sin 2x – cos x < 0
2 sin x.cos x – cos x < 0
cos x.(2 sin x – 1) < 0
harga nol:
cos x = 0
cos x = cos 90°
x = 90° + k.360° atau x = –90° + k.360°
k = 0 → x = 90° k = 1 → x = 270°
2 sin x – 1 = 0
2 sin x = 1
21
sin x = ½
sin x = sin 30°
x = 30° + k.360° atau x = (180 – 30)° + k.360°
k = 0 → x = 30° x = 150° + k.360°
k = 0 → x = 150°
Memberi tanda (+) dan (-) pada garis bilangan:
Jika x = 180° maka sin 2.180° – cos 180° = sin 360° – cos 180° = 0 – (–1) = 1 (+)
Jadi garis bilangannya sebagai berikut:
berdasarkan soal yang diminta yaitu kurang dari (<) 0, maka yang diarsir adalah bagian-
bagian yang bertanda (-)
Sehingga HPnya: {0° ≤ x < 30° atau 90° < x < 150° atau 270° < x ≤ 360°}
BAB III
PENUTUP
22
3.1 Kesimpulan
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur)
adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi
trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan
dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya, bagi
beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.
Fungsi trigonometri adalah relasi yang memasangkan setiap sudut tepat
hanydengan sebuah perbandingan trigonometri atau gabungan dari perbandingan
trigonometri. Terdapat tiga fungsi baku trigonometri, yaitu y = f(x)=sin x, y = f(x) = cos
x, dan y = f(x) = tan x.
Membuktikan identitas trigonometri sederhana
Rumus-rumus yang perlu dipahami :
a. Rumus dasar yang merupakan kebalikan
sin θ= 1
cosec θ
cosθ= 1
sec θ
tanθ= 1
cot θ
23
b. Rumus dasar yang merupakan hubungan perbandingan
tanθ=sin θ
cosθ
cot θ=cosθ
sin θ
c. Rumus dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras
sin θ=cos( 90°−θ)
cosθ=sin( 90°+θ )
tanθ=cot (90 °−θ )
cot θ=tan (90 °−θ )
sin θ= y
r atau y=rsin θ
cosθ= xr atau x=r cosθ
x2+ y2=r2
(r cosθ )2+(rsin θ )2=r 2
r2 (cos2θ+sin2 θ )=r2
Jadi, cos2θ+sin2θ=1
cos2θ+sin2θ=1 (kedua ruas dibagi dengan cos2 )
24
1+sin2 θ
cos2 θ= 1
cos2 θ
1+(sin θ
cosθ )2
=( 1cosθ )
2
1+ tan2 θ=sec2θ
Jadi 1+ tan2 θ=(secθ )2
cos2θ+sin2θ=1 (kedua ruas dibagi dengan sin2 )
cos2 θsin2 θ
+1= 1sin2 θ
(cos θsin θ )
2
+1=(cosec θ )2
cot2θ+1=cos ec2 θ
Jadi cot2θ+1=cos ec2θ
3.2 Saran
Berdasarkan pembahasan materi di atas, maka penulis mempunyai beberapa saran :
Untuk para calon guru, mudah-mudahan dengan adanya makalah ini dapat
menjadi referensi untuk bahan ajar ketika memulai pengajaran mengenai materi
yang sama.
Untuk para pembaca yang lainnya, semoga makalah ini dapat bermanfaat dan
dapat menjadi salah satu sumber ilmu mengenai trigonometri
Makalah ini tidaklah sempurna, oleh karena itu kami selaku penulis meminta
saran dan kritikannya untuk kami agar kami dapat memperbaiki kekurangan-
kekurangan yang ada dan dapat membuat makalah yang lainnya lebih baik lagi.
25
DAFTAR PUSTAKA
http://trigonometri-pengertian/wikipedia.com
http://persamaandanpertidaksamaan/trigonometri/agungramat.blogspot.com
http://grafikfungsitrigonometri_taufikhendriyanto.blogspot.com
http://mamannugroho_identitas_trigonometri_materi.blogspot.com
26
Top Related