Edisi Semester I 17 / 18 EYH 1
Transformasi Z4
Materi :• Definisi Transformasi z• Daerah Konvergensi (Region of Convergence)• Diagram Pole Zero• Sifat Transformasi z• Transformasi z dalam Bentuk Polinomial Rasional• Fungsi Sistem atau Fungsi Transfer H(z) dari Sistem Linier Tidak Berubah terhadap Waktu• Fungsi Sistem untuk Sistem yang Dinyatakan dalamPersamaan Perbedaan Koefisien Konstan Linier• Invers Transformasi z• Respon Frekuensi untuk Fungsi Sistem Rasional
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 2
Transformasi Z4
4.1 Definisi Transformasi z
kompleks variabel adalah dimana
kandidefinisi diskrit sinyal dari z siTransforma
,jω
-n
-n
rez
x(n)z X(z)
x(n)
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 3
bidang z
Re{z}
Im{z}
ROC|z| > a
a
4.2 Daerah Konvergensi (ROC)
Nilai z yang menyebabkan X(z) konvergen didefinisikan pada daerah
di bidang z yang disebut daerah konvergensi, region of convergence
(ROC).
ROC didefinisikan dalam 𝑧 berupa daerah pada bidang z yang dibatasi
oleh lingkaran.
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 4
Transformasi z dapat dianggap sebagai Transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD) dari , .
( )
Bila ROC mencakup lingkaran satuan (| | 1), ( ) mempunyai TFWD (finite
nx n r
n n j nX z x n z x n r e
n n
z x n
energy sequence)
bidang z
Re{z}
Im{z}
ROC mencakup lingk. satuan
TFWD
1
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 5
Sifat-sifat ROC– ROC dari X(z) adalah daerah yang dibatasi lingkaran pada bidang z yang
berpusat pada titik nol.
– Transformasi Fourier dari x(n) adalah konvergen jika dan hanya jika ROC dari x(n) mencakup lingkaran satuan.
– Pada ROC tidak boleh terdapat pole .
– Bila x(n) adalah deret dengan panjang terbatas maka ROC adalah seluruh bidang z ,dengan kemungkinan pengecualian pada z=0 atau z=.
– Bila x(n) adalah deret sisi kanan yaitu deretan yang bernilai nol untuk n <N1
< , ROC adalah daerah dibagian luar dari pole terluar X(z) hingga (kemungkinan) mencakup z=.
– Bila x(n) adalah deret sisi kiri yaitu deretan yang bernilai nol untuk n>N2>- , ROC adalah daerah dibagian dalam dari pole terdalam X(z) hingga (kemungkinan) mencakup z=0.
– Bila x(n) adalah deretan dua sisi maka ROC akan berbentuk cincin yang dibatasi oleh pole terluar dan terdalam dan tidak mengandung satu pun pole pada daerah konvergensinya.
– Daerah konvergensi harus merupakan daerah yang terhubung.
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 6
Contoh deretan sisi kanan
•
• akan konvergen untuk |az-1| < 1
sehingga ROC adalah |z| > |a|
• |a| < 1 finite energy sequence
• |a| > 1 (divergent sequence, infinite energy, TFWD tidak ada tetapi TZ ada yaitu
|z| > a (ROC)
10
1( )
1
n
n n
n
x n a u n
X z a zaz
n-1 1 2 3 4-2
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 7
• Contoh deretan sisi kiri (anti causal)
n-1
1 2 3 4
-2-3-4-5
1
1
1
1
0
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
1
n
n n
n
n n n n
n n
n
n
n n
n
x n a u n
X z a u n z
a z a z
a z
a z
az
az az
az
az
a z
az
akan konvergen untuk |a-1z| < 1
sehingga ROC adalah |z| < |a|
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 8
• Contoh deretan :
1
1( )
1X z
az
bidang z
Re
Im
|a|
ROC |z| > |a| x(n) = a nu(n)
n
ROC |z| < |a| x(n) = -anu(-n-1) nderetan sisi kiri
deretan sisi kanan
( |a| < 1 )
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 9
1 1( ) , 1 dan 11 21 11 11 2
X z a aa z a z
• Misal
• ROC tidak dispesifikasikan maka kemungkinan deretan-deretan x(n) adalah ...
a1nu(n)
n- a1
nu(-n-1)n
atau
n-a2nu(-n-1)
n
a2nu(n)atau
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 10
ROC: |z| > |a1| and |z| > |a2|
ImRe
|a1|< |a2|
Im
1 1( )
1 11 11 2
X za z a z
n
x(n) = a1nu(n) + a2
nu(n)
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 11
ImRe
|a1|< |a2|
Im
nx(n) = -a1
nu(-n-1) - a2nu(-n-1)
ROC: |z| < |a1| and |z| < |a2|12
11 1
1
1
1)(
zazazX
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 12
ROC: |z| > |a1| and |z| < |a2|
ImRe
|a1|
<
|a2|
Im
1 1( )
1 11 11 2
X za z a z
n
x(n) = a1nu(n) - a2
nu(-n-1)
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 13
ROC: |z| < |a1| and |z| > |a2|
Re
|a1|< |a2|
Im
1 1( )
1 11 11 2
X za z a z
nx(n) = -a1
nu(-n-1) + a2nu(n)
Tidak ada ROC
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 14
• Deretan eksponensial dua sisi
• Tidak ada overlap pada ROC, TZ tidak ada
(tidak konvergen untuk nilai z berapapun)
, -
1
nx n a n
n na u n a u n
ROC
|z| > |a|
ROC
|z| < |a|
Re
|a|
Im
n
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 15
Pole dinotasikan dengan x dan zero dengan o pada bidang kompleks z :
bidang z
Re{z}
Im{z}
1 o
o
o
o
pole - pole pk
(merupakan pasangan
konjugat kompleks bila
g(n) riil)
Zero-zero zk
4.3 Diagram Pole Zero
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 16
• G(z): fungsi kompleks dari variabel kompleks
• Bidang perpotongan antara permukaan G(z) dan silinder (|z| = 1 z = ejw) adalah G(ejw) yaitu TFWD
Permukaan Bidang z Kompleks
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 17
Bidang Z dan TFWD
Unwrapping permukaan silinder dan diperoleh TFWD
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 18
Bila ( ) , -
( ) , -
maka : ( )
( ) ( )
nx n X z x n z R z Rx x
n
ny n Y z y n z R z Ry y
n
n nax n by n X z ax n z by n z
n n
ax n by n aX z bY z
max , min ,- -
11 1Contoh: 2 2111
2
11 1 3 3111
3
1 1 1 maka 211 111 1
2 3
R R z R Rx y x y
nx n u n z
z
ny n u n z
z
x n y n z
z z
4.4 Sifat Transformasi z4.4.1 Linier
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 19
0 0
0
0
0
0
0 0
1 1Contoh: cos . . .0 2 2
1 . 1
11
1 . 1
11
1 1 1 1 1
1 12 21 1
j n j nx n n u n e u n e u n
j ne u n z
je z
j ne u n z
je z
X z zj j
e z e z
0 0
0 0
11 cos 0 cos . 1 0 1 21 2 cos 0
1 1 sin . . .0 2 2
1 1 1 1
1 12 1 1
sin 0
zn u n z
z z
j n j nx n n u n e u n e u n
j j
X z zj jj e z e z
1 sin 0. 1
1 21 2 cos 0
zn u n z
z z
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 20
0
0 0
Bila ( ) , -
maka : ( ) 0 -
Bukti : = ( ) 0 0
nx n X z x n z R z Rx x
n
nx n n z X z R z Rx x
k n nnx n n x n n z x k z z X z
n k
-
Daerah konvergensi dan sama dengan kemungkinan pengecualian di z=0 atau z= 0
1 2 3 4Contoh: 2 1 3 2 2 3 4 1 2. 3. 2. 0
R z Rx x
x n x n n
x n n n n n n z z z z z
2 1 2 2 2 2 1 3 2 1 2 2. 3 2. 0<
2 3 4 5 6 2 2 2 3 3 4 2 5 6 2. 3. 2. 0
4 3 2 4 4 2 3 3 2 2 1 2. 3.
x n n n n n n z z z z z
x n n n n n n z z z z z z
x n n n n n n z z z
2. 1 z z
4.4.2 Pergeseran Deretan
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 21
Bila ( ) -
1maka : . . = .
1 -
Contoh:
cos . 0
x n X z R z Rx x
nn n na x n a x n z x n a z
n n
na x n X a z a R z a Rx x
n u n
11 cos 0 1 1 21 2 cos 0
11 cos 0 cos . 0 1 2 21 2 cos 0
1 sin 0 sin . 1 0 1 21 2 cos 0
1 sin 0 sin . 01 2
zz
z z
azna n u n z aaz a z
zn u n z
z z
azna n u na
1 2 2cos 0
z az a z
4.4.3 Perkalian dengan deretan eksponensial
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 22
Bila ( ) -
1maka : . = . = .
1 1 1
1Contoh:
11
x x
x n X z R z Rx x
kkn nx n a x n z x k z x k z
n k k
x n X z zR R
u nz
1
1 maka 1 1
z u n zz
Bila ( ) -
( ) 1 -1 -1maka : = . = - . . . - . .
( ) sehingga :
C
x n X z R z Rx x
dX z d n n nx n z x n nz z n x n z z TZ n x ndz dz
n n n
dX znx n z R z Rx x
dz
11ontoh: maka
1 21 11
11 Bila 1 maka 1 maka 1
1 21 11
azn na u n z a na u n z aaz
az
za u n z nu n z
zz
4.4.4 Pembalikan waktu
4.4.5 Turunan dalam kawasan z
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 23
( ) -Bila dan
( ) -
( ) = .
=
x n X z R z Rx xy n x k h n k
h n H z R z Rh hk
n nY z x k h n k z x k h n k z
n k k n
x k
k
. . . ( ). ( )
maka : ( ). ( )
Daerah konvergensinya adalah interseksi antara dan - -
Contoh :
l k k lh l z x k z h l z X z H z
l k l
x n h n X z H z
R z R R z Rx x h h
4.4.6 Penjumlahan Konvolusi
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 24
( ) -Bila . dan
( ) -
1 1 - ( ) . = . . .2
- 1 = .
2
x n X z R z Rx xy n x n w n
w n W z R z Rw w
n n nY z x n w n z X v v dv w n zj
n n C
nzX v w nvj
n
11 1. - -2
1 1Jadi : . ( ) - -2
C adalah lintasan tertutup yang melingkari titik 0 dan lintasan terletak dalam da
zv dv X v W v dv R R z R Rx w x wvj
C C
zy n x n w n Y z X v W v dv R R z R Rx w x wvj
C
erah konvergen
1untuk kedua dan
1 1Atau : . ( ) - -2
C adalah lintasan tertutup yang melingkari titik 0 dan lintasan terletak dalam daerah konvergen
untuk ked
X v Wv
zy n w n x n Y z W v X v dv R R z R Rx w x wvj
C
1ua dan
W v Xv
4.4.7 Perkalian dua deretan
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 25
1Bila dan maka ( ) . . adalah konvolusi periodik
2
Bila dan w deretan kompleks, maka integral konvolusi kompleks :
1 1 . ( ) 2
jj j j jv e z e Y e X e W e d
x n n
zy n x n w n Y z X v W v dvj v
C
- -
1Contoh :
11
1
11
1 1 . ( ) - -2
R R z R Rx w x w
nx n a u n X z z aaz
nw n b u n W z z bbz
zy n w n x n Y z X W v v dv R R z R Rx w x wvj
C
ny n ab
/1 1 1 1 11( ) 1 12 2 / .1 . 1 .
C adalah lintasan tertutup yang melingkari titik 0 dan lintasan terletak dalam daerah konvergen
1untuk kedua dan .
Pole terletak di
z au n Y z v dv dv
j j v z a v ba z v b vC C
W v Xv
v
z dan ,daerah konvergensi adalah z ,maka daerah konvergensi adalah ,v
sehingga pole diluar lintasan integrasi C. Dengan teorema residu Cauchy untuk menghitung
/ 1( )
/ 1
z zb v X z a X aa v
z v Y za
z aY z
b z a a
z
1ab
bz
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 26
1 1
2 2
( ) 1 1 -Bila dan deretan kompleks dan 1 2
( ) 2 2 -
1* 11maka 1 2 1 22
n=-
Lintasan integrasi harus berada di d
x n X z R z Rx xx n x n
x n W z R z Rx x
x n x n X v X v dvj v
C
alam daerah konvergensi dan .1 2
Bila dan konvergen di lingkaran satuan, dipilih ,maka1 2
1* ( ). ( ) 1 2 1 22
n=- -
12 11Bila = = maka = 1 2 1 22
-
X z X z
jX z X z v e
j jx n x n X e X e d
x n x n x n x n X v X v dvvj
n C
-
C adalah lintasan tertutup di dalam daerah konvergensi .
212Bila maka = ( )
2- -
R z Rx x
X z
j jv e x n X e d
n
4.4.8 Teorema Parseval
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 27
1 2Bila deretan kausal: ( ) 0 1 2 ....
0
maka: 0 lim ( )
nx n x n X z x n z x x z x z
n
x X zz
Bila ( ) dan semua pole ( )berada di dalam lingkaran satuan
11maka: lim lim
11
x n X z X z
zx n X z
n z z
4.4.9 Teorema Nilai Awal
4.4.10 Teorema Nilai Akhir
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 28
1 All z
1| | 1
11
11 | | 1
11
1| | | |
11
11 | | | |
11
untuk seluruh harga z kecuali 0 untuk m 0
atau untuk m 0
n
u n z
z
u n z
z
n u n z
z
n u n z
z
mn m z
4.4.11 Pasangan Transformasi z
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 29
r|z|
zrzncosr21
zsinrnunsinr
r|z|zrzncosr21
zcosr1nuncosr
1|z|zzncos21
zsinnunnsin
1|z|zzncos21
zcos1nuncos
|||z|z1
z1nun
|||z|z1
znun
221
0
1
00
n
221
0
1
00
n
21
0
1
00
21
0
1
00
21
1n
21
1n
4.4.11 Pasangan Transformasi z
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 30
Polinomial rasional dari H(z) :
1 ( 1)
0 1 1
1 ( 1)
0 1 1
M M
M M
N N
N N
Y z b b z b z b zH z
X z a a z a z a z
1
0 1 0 1
111
1
1
M M Mk k k
N NNkk k
b z z b z z zH z
z z pp z
zk adalah akar-akar pembilang dari H(z)
H(z)= 0 zk adalah zero dari H(z)
pk adalah akar-akar penyebut dari H(z)
H(z)= pk adalah pole dari H(z)
4.5 Transformasi Z dalam bentuk polinomial rasional
Transformasi Z dalam bentuk rasional yang difaktorkan
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 31
Sistem LTI
h[n]x(n) y(n)=x(n)*h(n)
X(z) Y(z) = X(z) H(z)
2
1
( )( )
( )
( )N
n
n N
Y zH z
X z
H z h n z
4.6 Fungsi Sistem atau Fungsi Transfer H(z) dari Sistem Linier Tidak Berubah terhadap waktu
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 32
0
0 0
1 2 1
1 2 0 1
1 2
0 1 2
1 2
1 2
a 1
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )
...( )( )
( ) 1 ...
N M
k k
k k
N M
N M
M
M
N
N
a y n k b x n k
Y z a z Y z a z Y z a z Y z b X z b z X z b z X z
b b z b z b zY zH z
X z a z a z a z
4.7 Fungsi Sistem untuk Sistem yang Dinyatakan dalamPersamaan Perbedaan Koefisien Konstan Linier
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 33
0
1 2
Contoh:
Filter FIR yang direalisasikan secara non rekursif
,
Respon impuls sistem ini
1 0 atau h n 1 2 ...
( ) 1 ...
M
k
M
y n x n k
h n
h n n M n n n n M
h n H z z z z
-1 1
1
-1
Filter FIR yang direalisasikan secara rekursif
1 1
Y(z) Y(z)z ( ) ( )
( ) 1 ( )
( ) 1-z
1
M
M
y n y n x n x n M
X z X z z
Y z zH z
X z
h n u n u n M
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 34
Sistem LTI Kausal
Sistem LTI adalah kausal jika:
0 0
ROC transformasi Z dari sistem LTI kausal adalah bagian luar
dari lingkaran berjari-jari
Sistem LTI Stabil
ROC transformasi z dari
h n n
r
-
deretan adalah harga-harga
yang menyebabkan (absolutely summable).
Sehingga bila ROC mencakup lingkaran satuan yaitu 1 , maka
, artinya sistem LTI tersebut akan s
n
n
n
h n
z r h n r
z
h n
tabil .
Sistem LTI Kausal akan stabil jika dan hanya jika
seluruh pole ( ) terletak didalam lingkaran satuan.
Daerah konvergensi sistem LTI yang kausal dan stabil
adalah dan 1.
H z
z r r
4.8 Kausalitas dan Stabilitas Sistem Linier Tidak BerubahTerhadap
Sistem LTI Kausal
Sistem LTI adalah kausal jika:
0 0
ROC transformasi Z dari sistem LTI kausal adalah bagian luar
dari lingkaran berjari-jari
Sistem LTI Stabil
ROC transformasi z dari
h n n
r
-
deretan adalah harga-harga
yang menyebabkan (absolutely summable).
Sehingga bila ROC mencakup lingkaran satuan yaitu 1 , maka
, artinya sistem LTI tersebut akan s
n
n
n
h n
z r h n r
z
h n
tabil .
Sistem LTI Kausal akan stabil jika dan hanya jika
seluruh pole ( ) terletak didalam lingkaran satuan.
Daerah konvergensi sistem LTI yang kausal dan stabil
adalah dan 1.
H z
z r r
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 35
4.8 Kausalitas dan Stabilitas Sistem Linier Tidak BerubahTerhadap
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 36
Ada 3 pendekatan untuk menghitung transformasi z invers :
– Transformasi z invers
– Power series in z (long division)
– Fraksi pecahan parsial
4.9 Transformasi z Invers
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 37
Transformasi dari
( )
1Kedua sisi persamaan diatas dikalikan dengan faktor dan diintegrasikan pada
lintasan tertutup dalam ROC ,sehingga diperoleh
1 1. .= .
z x k
kX z x k zk
nz
X z
n knX z z dz x k z d
kC
dimana C adalah lintasan tertutup yang berputar berlawanan arah jarum jam dalam ROC .
1 1. .= . .
Dengan menggunakan teorema integral Cauchy,
11 2
z
C
X z
n n kX z z dz x k z dz
kC C
n kz dj
1, =
0,
maka persamaan sebelumnya dapat dituliskan
1 . .= 2
11 .2
k nz
k nC
nX z z dz x n j
C
nx n X z z dzj
C
4.9.1 Transformasi z Invers
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 38
Teorema integral Cauchy
Bila adalah lintasan tertutup dan ' ada pada lintasan atau di dalam ,
, di dalam 0 01 =2 0, di luar 0 0
Untuk pole yang
C f z C C
f z f z z Cdz
j z z z C
C
k
0
sama yang terdapat dalam , ' dengan turunan orde 1, dan
yang tidak mempunyai pole dalam , maka
11, di dalam 01 1 = 1 !
20 0,
C f z k
f z C
kdf z f z z C
kdz z zk dzj kz z
C
i
di luar 0
Bila terdapat pole dan tidak mempunyai pole dalam ,maka
1 = lim2 ...1 2
1
...1 2
z C
n f z C
nf z
dz z zi zj z z z z z z z zn
iC
f zz
z z z z z zn
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 39
Contoh
Tentukan transformasi z invers untuk ( ) berikut
,
Solusi
Untuk 0
11 1 . . , 02 2
Untuk 0
1 1 1 1 1 11 11 . . 02 2
0
12
X z
zX z z a
z a
n
nz zn nx n z dz dz a nj jz a z a
C C
n
zx dz dz
j jz a z z a z a z a az z aC C
x
2 1 1 1 1 11. . 02 2 2 2 2 2
0
0, 0
z ddz dz
j jz a dz z az z a z a az z aC C
x n n
nx n a u n
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 40
X(z) dinyatakan dalam bentuk X(z) = a + bz-1 + cz-2 ...
Umumnya X(z) adalah deretan sisi kanan dan berbentuk polinomial rasional
Jika X(z) berbentuk ponomial rasional, ekspansi dilakukan dengan pembagian cara panjang (long division).
( ) nX z x n zn
( )
( )
P zX z
Q z
4.9.2 Power series in z (long division)
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 41
1Contoh :
1 21 1.5 0.5
(a) ROC: 1
(b) ROC: 0.5
Solusi
(a)Karena ROC adalah bagian luar lingkaran,maka kausal.
1 2 Ekspansi deret dalam bentuk , ,...dst.
H zz z
z
z
x n
z z
4.9.2 Power series in z (long division)
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 42
1 2 31 1.5 1.75 1.875 ...1 21 1.5 0.5 1
1 21 1.5 0.5
1 2 1.5 0.5
1 2 3 1.5 2.25 0.75
2 3 1.75 0.75
z z z
z z
z z
z z
z z z
z z
2 3 1.75 2.625
3 1.875
1,1.5,1.75,1.875,...
z z
z
x n
(b) Karena ROC adalah bagian dalam lingkaran,maka anti kausal.
2 Ekspansi deret dalam bentuk , ,...dst.
2 32 6 142 1 0.5 1.5 1 1
21 3 2
2 3 2
2 3 3 9 6
2 3 7 6
x n
z z
z z z
z z
z z
z z
z z z
z z
4 ...
...14,6,2,0,0
x n
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 43
1 ( 1)
0 1 1
1 ( 1)
0 1 1
Polinomial rasional ( )
Fungsi rasional diatas dikatakan proper jika 0 dan .
Fungsi rasional improper dapat dituliskan sebagai
M M
M M
N N
N N
N
X z
N z b b z b z b zX z
D z a a z a z a z
a M N
M N
11 ( )
0 1
penjumlahan
polinomial dan fungsi rasional proper.
Ekspansi pecahan parsial dilakukan pada fungsi rasional proper.
M N
M N
N z N zX z c c z c z
D z D z
4.9.3 Ekspansi Pecahan Parsial
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 44
31 2
1 2 3
1 N
Untuk polinomial rasional ( ) dengan pole yang berbeda maka bentuk ekspansinya menjadi
...
Nilai koefisien ,..., ditentukan sebagai berikut
N
N
k
k
z p
X z N
X z A AA A
z z p z p z p z p
A A
z p X zA
z
2
2
1 2
1 20.20.60.6
1, 2,...,
Contoh
Tentukan ekspansi pecahan parsial dari berikut
2
0.4 0.12
2
0.6 0.2 0.6 0.2
2 20.6 1.75, 2.750.60.2
k
zzz
k N
X z
z zX z
z z z
X z A Az
z z z z z
X z z zA z Azz z
4.9.3.1 Pole yang berbeda
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 45
1k 2k
2
Untuk polinomial rasional ( ) dengan pole yang sama yaitu ,maka
ekspansi pecahan parsial menjadi
...
Nilai koefisien ditentukan sebagai berikut
1
!
l
k
lk
l
k k k
jk
jk
X z l z p
AA A
z p z p z p
A
dA
l j
( )
1,2,...,
j
l jl
kl j
z p
X zz p j l
dz z
4.9.3.2 Pole yang sama
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 46
-1( ) ( ( )),k kx n Z X z z a k Xk (z)
...
Tabel Invers Transformasi untuk Metoda Ekspansi
Pecahan Parsial
12
2
3
3
4
1
2
13
2!
1 24
3!
n
n
n
n
k
z a u nz a
z na u nz a
n n az u n
z a
n n n az u n
z a
zkz a
11 ... 2
1 !
n kn n n k au n
k
4.9.3.2 Pole yang sama
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 47
2
123
1 12 4
3111 21 4
3 2 31 11 1 1 12 42 4 2 2
11
Contoh
Tentukan invers transformasi z dari
,
Solusi
1
1 ( ) 1, 2,...,
!
1
3
j
l jl
jk kl j
z p
z zX z z
z z
X z AA A Az
z z zz z z z
d X zA z p j N
l j dz z
A
12
1 112 42
23
12 32 1 1
2 4
21 31 4 31 1 14 4 2
2
3 2 31 11 1 1 12 42 4 2 2
1 80
1 !
1 1 1 1-20 , =6, = -80
3 2 !
80 20 6 80
8
z
z zz
d zz
dz z z
d z z zA A A
dz z z z
z z z z z zX z
z zz z z z
x n
1 2
1 1 1 12 2 2 4
0 20 6 1 / 2 80n n n n
n n n u n
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 48
Fungsi respon frekuensi memberikan informasi tentang
karakteristik filter dijital LTI dalam domain frekuensi . Dengan fungsi kompleks variabel frekuensi , realiasasi danmanipulasi filter dijital akan sulit.
Akan tetapi dengan menggunakan transformasi z darirespon impuls sistem LTI, yang disebut fungsi sistem/fungsitransfer (H(z)), dimana polinomial dinyatakan dalam z-1, danuntuk sistem dengan respon impuls real, koefisien daripolinomial fungsi sistem nya juga akan real. Hal ini akanmemudahkan dalam sintesa dan realisasi filter dijital.
4.10 Respon Frekuensi untuk Fungsi Sistem Rasional
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 49
1 2 ...( ) 0 1 2( )1 2( ) 1 ...1 2
Polinomial pembilang dan penyebut difaktorkan :
11
1 ( ) 0
11
1
Karena TFWD adalah evaluasi pada bid-z dimana maka
Mb b z b z b zY z MH zNX z a z a z a zN
M
z zk
kH z bN
p zk
k
jz e
H e
1
1 0
1
1
1j ( )e 0
1
Mjz ek
kj bN
jp ek
k
Mje zk
kj N MH b eN
je pk
k
Edisi Semester I 17 / 18 EYH
j 1
0
1
j ( ) 1
0
1
( )
( )
j 1
0
1
0
1 1
1
e
1
e
( )
- ( )
( )
e
( )
( ) ( ) ( ) ( )
k
k
Mj
k
k
Nj
k
k
Mj
k
j N M k
Nj
k
k
jj
k k
jj
k k
M
k
k
N
k
k
M N
k k
k k
z e
H b
p e
e z
H b e
e p
e z V e
e p U e
V
H b
U
H b N M
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 51
Respon Frekuensi Fungsi Sistem Rasional
1circle Unit : 1z
Im (z)
Re(z)
xpk
zk
ej
C
A
L
B
jk
jk
e BL z
e AL p
CLALCA
CLBLCB
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 52
Respon Frekuensi Fungsi Sistem Rasional (lanj)
)(jk
)(jk
k
k
e)(V
e)(U
kj
kj
z e
p -e
( )k
1
Im (z)
Re(z)
xpk
zk
ej
( )k
Uk()
Vk()
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 53
Respon Frekuensi Fungsi Sistem Rasional :zero & pole pada lingkaran satuan
)e(H0)(U,
0)e(H0)(V,
jk
jk
sehinggap saatPada
sehinggaz saatPada
k
k
( )k
1
Im (z)
Re(z)
xpk
zk
ej ( )k
Uk() Vk()
zk
pk
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 54
Contoh 1 : Respon Frekuensi Fungsi Sistem Rasional 1 pole
8.0cos
sintan)(
cos6.164.1
1
8.0e
e)e(H
8.0e
e)e(H
1
j
j
j
j
jj
( )k
1
Im (z)
Re(z)x0.8
ej
Uk()
pole= 0.8
8.0z
z
z8.01
1)z(H
1
LPF
maksimum)e(H)(U
;0
08.0
jk
0
0
minimum
p saat Pada
p
k
k
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 55
Contoh 2 : Respon Frekuensi Fungsi Sistem Rasional 1 pole
8.0cos
sintan)(
cos6.164.1
1
8.0e
e)e(H
8.0e
e)e(H
1
j
j
j
j
jj
( )k
1
Im (z)
Re(z)x
- 0.8
ej
Uk()Pole = - 0.8
8.0z
z
z8.01
1)z(H
1
HPF
maksimum)e(H)(U
;180
1808.0
jk
0
0
minimum
p saat Pada
p
k
k
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 56
Ingat !
1
Im (z)
Re(z)x
ej
U(1)
U(2)
U(3)
U(4)
1
)(j
)(U
p
)(U
e)(U
saat pada
minimum gambar Pada
frekuensi saat pada
minimum berharga akan
pe j
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 57
1
j
0
j
j ( )
j 1
1
j
0
j
1Mis : ( )
1 0.8
1( )
1 0.8
z 0 dan p 0.8 0
z ( ) 1
e - p ( )
( )( ) 1
e( ) ( )
( )
( ) minimum pada saat e maksimum.
Pada contoh diatas 0 .
e 0
j
j
M
k
k
N
k
k
k
k
H zz
H ee
e V
U e
VV
HU U
U
U p H
p
H
0
bila ( ) 0,hal ini dapat terjadi apabila
zero terletak pada lingkaran satuan pada frekuensi yang sama
dengan frekuensi zero ( 0 ) pada bidang z.k
V
z
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 58
1
1
1
Re (z)
Im(z)
Re (z)
Im(z)
X
X
Low pass filter
High pass filter
= 0 H(e j) maks
= H(e j) maks
Edisi Semester I 17 / 18 EYH
Contoh Soal.
Filter band pass dengan frekuensi maksimum pada = /2, responfrekuensinya nol pada =0 dan = .
Respon magnitude pada frekuensi = 4/9 adalah 1/2.
Koefisien H(z) adalah bilangan riil. Tentukan fungsi transfer/fungsi sistem H(z) .
Jawab Sistem jelas harus mempunyai pole pada p1= r ej/2 dan p2=r e-j/2
Sistem jelas harus mempunyai zero pada z1=1 dan z2 = -1
1
Re
(z)
Im(z)
X
X
Edisi Semester I 17 / 18 EYH 60
2
2
11
11
4222
24
2
24
24
9/4jj
222/j2/jj
24
j
222
22
22j2
j2
jj
jj
j
22
2
11
11
z1
z115.0
zj1zj1
z1z115.0
7.0
rr88.11r194.1
2
1
9/8cosr2r1
9/8cos22
2
1
9/8cosr2r1
9/8cos22
2
1
9/8cosr2r1
9/8cos22k)e(H
9
4
2
1)e(H
2111er1r1
22k)e(H
2)e(H
2cosr2r1
2cos22k)e(
2sinr2cos
2sin12cosk
r2sinj2cos
12sinj2cosk
re
1e
jejre
1e1ek)e(
zr1
z1k
zj1zj1
z1z1k
0.7 H(z)
0.70.7H(z)
20
3 k 1
0.7-1
2k r
2
r-1
2
r-1
maka pada Jika
karena 1 r-1
2k maka pada maksimum
H
k r
H
rrH(z)
2
2
2
2
Top Related