Transformações de Funções de
Transferências Analógicas para Digitais
e Transformações Espectrais
Projeto de Filtros IIR
Introdução
• Métodos mais usados para obtenção de funções de transferência de filtros digitais 𝐺(𝑧) a partir das de filtros analógicos 𝐻 𝑠 :
Invariância ao impulso
Transformação Bilinear
Invariância ao Impulso
• Dada a função de transferência 𝐻(𝑠) de um filtro analógico, sua resposta ao impulso é
ℎ 𝑡 = ℒ−1 𝐻(𝑠)
• Amostrando ℎ(𝑡), com período de amostragem 𝑇, tem-se:
𝑔 𝑛 = 𝑇ℎ 𝑛𝑇 , 𝑛 = 0,1,2,⋯
• A função de transferência do filtro digital é então dada por
𝐺 𝑧 = 𝒵 𝑔(𝑛)
Invariância ao Impulso
• Sabemos que a relação entre a CTFT do sinal analógico ℎ 𝑡 e a DTFT do sinal digital 𝑔 𝑛 é:
𝐺 𝑒𝑗𝜔 = 𝐻 𝑗𝜔
𝑇+ 𝑗
2𝜋𝑛
𝑇
∞
𝑛=−∞
• Se 𝐻 𝑗Ω = 0 para Ω > 2𝜋/𝑇, então não haverá distorção na resposta em frequência do filtro digital, ou seja, esta terá a mesma forma (ripples) da do filtro analógico, respeitando a relação linear entre a frequência analógica Ω e digital 𝜔:
𝜔 = Ω𝑇
Invariância ao Impulso
Invariância ao Impulso
• A função de transferência de um filtro analógico de ordem 𝑁 pode ser escrita como:
𝐻 𝑠 = 𝐴𝑘
𝑠 − 𝛼𝑘
𝑁
𝑘=1
sendo sua resposta ao impulso dada por
ℎ 𝑡 = 𝐴𝑘𝑒𝛼𝑘𝑡𝑢(𝑡)
𝑁
𝑘=1
Invariância ao Impulso
• O filtro digital obtido pelo método da invariância ao impulso terá resposta ao impulso
𝑔 𝑛 = 𝑇. ℎ 𝑛𝑇 = 𝑇 𝐴𝑘𝑒𝛼𝑘𝑛𝑇𝑢(𝑛)
𝑁
𝑘=1
e função de transferência
𝐺 𝑧 = 𝑇 𝐴𝑘
1 − 𝑒𝛼𝑘𝑇𝑧−1
𝑁
𝑘=1
Invariância ao Impulso
• O filtro digital obtido pelo método da invariância ao impulso terá resposta ao impulso
𝑔 𝑛 = 𝑇ℎ 𝑛𝑇 = 𝑇 𝐴𝑘𝑒𝛼𝑘𝑛𝑇𝑢(𝑛)
𝑁
𝑘=1
e função de transferência
𝐺 𝑧 = 𝑇 𝐴𝑘
1 − 𝑒𝛼𝑘𝑇𝑧−1
𝑁
𝑘=1
Invariância ao Impulso
• Portanto, partindo de um filtro analógico estável, onde ℛℯ{𝛼𝑘} < 0, 𝑘 = 1, ⋯ ,𝑁, o filtro digital obtido pelo método da invariância ao impulso será também estável, pois:
𝑒𝛼𝑘𝑇 = 𝑒ℛℯ{𝛼𝑘}𝑇+𝑗ℐ𝓂{𝛼𝑘}𝑇 = 𝑒ℛℯ{𝛼𝑘}𝑇 < 1
• A resposta em frequência do filtro digital ( 𝜔 ≤ 𝜋)
terá a mesma forma da do filtro analógico ( Ω ≤𝜋/𝑇) se
𝐻(𝑗Ω) Ω≥𝜋/𝑇
≈ 0
Transformação Bilinear
• No método da transformação bilinear, faz-se um mapeamento do domínio 𝑠 para o domínio 𝑧, através da transformação:
𝑠 =2
𝑇
1 − 𝑧−1
1 + 𝑧−1
• A função de transferência do filtro digital é dada por
𝐺 𝑧 = 𝐻(𝑠) 𝑠=
2𝑇
1−𝑧−1
1+𝑧−1
Transformação Bilinear
• Portanto, no método da transformação bilinear, um ponto no
plano 𝑠 é mapeado em um único ponto no plano 𝑧. • Fazendo-se 𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜔 e s = 𝜎 + 𝑗Ω, temos:
𝜎 + 𝑗Ω =2
𝑇
𝑟𝑒𝑗𝜔 − 1
𝑟𝑒𝑗𝜔 + 1=
2
𝑇
(𝑟2−1) + 𝑗2𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜔
𝑟𝑒𝑗𝜔 + 1 2
𝑟 < 1 ⟺ 𝜎 < 0, ou seja, o semiplano lateral esquerdo do
plano 𝑠 é mapeado dentro do círculo unitário no plano 𝑧. 𝑟 > 1 ⟺ 𝜎 > 0, ou seja, o semiplano lateral direito do
plano 𝑠 é mapeado fora do círculo unitário no plano 𝑧. 𝑟 = 1 ⟺ 𝜎 = 0, ou seja, o eixo imaginário do plano 𝑠 é
mapeado sobre a circunferência unitária no plano 𝑧.
Transformação Bilinear
• O mapeamento entre as frequências analógica e digital é obtido
fazendo 𝑧 = 𝑒𝑗𝜔 e s = 𝑗Ω:
𝑗Ω =2
𝑇
𝑒𝑗𝜔 − 1
𝑒𝑗𝜔 + 1=
2
𝑇
𝑗𝑒𝑗𝜔/2𝑠𝑒𝑛 𝜔/2
𝑒𝑗𝜔/2cos(𝜔/2)=
2
𝑇jtan(𝜔/2)
ou seja, o mapeamento é não-linear:
𝛺 =2
𝑇𝑡𝑎𝑛(𝜔/2)
O eixo imaginário do plano s é inteiramente mapeado uma só vez sobre o círculo unitário no plano 𝑧.
Transformação Bilinear
Distorção introduzida pelo mapeamento bilinear nas especificações do filtro:
Exemplo
Exemplo: O filtro analógico passa-baixas Butterworth de 1a. ordem com frequência de corte Ω𝑐 = 1 tem função de transferência:
𝐻(𝑠) =1
𝑠 + 1
Encontre a função de transferência dos filtros digitais passa-baixas com frequência de corte 𝜔𝑐 = 𝜋/8 obtidos pelos métodos da invariância ao impulso e da transformação bilinear . (i) Método da invariância ao impulso:
𝐺 𝑧 =𝑇
1 − 𝑒𝛼𝑇𝑧−1
sendo 𝛼 = −1 (polo de 𝐻(𝑠)) e 𝑇 escolhido tal que
𝜔𝑐 = Ω𝑐𝑇
ou seja, 𝑇 = 𝜋/8.
Exemplo
Portanto, a função de transferência resultante é
𝐺 𝑧 =𝜋/8
1 − 𝑒−𝜋/8𝑧−1=
0,3927
1 − 0,6752𝑧−1
Para verificar se não há distorção significativa na resposta em frequência (devido à amostragem de ℎ(𝑛)), devemos calcular o ganho máximo de 𝐻 𝑠 para frequências acima de Ω = 𝜋/𝑇. Como a aproximação de Butterworth é monotonicamente decrescente, basta calcular
𝐻 𝑗𝜋/𝑇 = 𝐻 𝑗8 = 0,3927 65 = 0,0487 Podemos concluir que haverá uma diferença não desprezível na resposta em frequência do filtro digital em relação à do filtro analógico.
Exemplo
(ii) Método da transformação bilinear:
Do mapeamento não-linear entre as frequências analógica e digital temos:
𝑇 =2
Ω𝑐tan
𝜔𝑐
2= 2 tan
𝜋
16= 0,3978
Portanto, fazendo
𝑠 =2
0,3978
1 − 𝑧−1
1 + 𝑧−1
em 𝐻(𝑠), obtemos a função de transferência
𝐺 𝑧 =1 + 𝑧−1
6,0273 − 4,0273𝑧−1
Exemplo
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4M
agnitude
frequência
Invariância ao Impulso
Transformação Bilinear
Transformações Espectrais
• Transformações em frequência são usadas para obter, a partir de uma função de transferência passa-baixas digital 𝐻𝐿𝑃(𝑧), filtros passa-altas, passa-banda, rejeita-faixa, ou passa-baixas com diferente faixa de passagem 𝐻(𝑧).
• Faz-se 𝑧 = 𝑔 𝑧 em 𝐻𝐿𝑃 𝑧 , ou seja: 𝐻 𝑧 = 𝐻𝐿𝑃(𝑔(𝑧)).
• O mapeamento deve ser tal que uma função racional estável
𝐻𝐿𝑃 𝑧 seja transformada numa função também racional e estável 𝐻 𝑧 , o que implica que:
𝑔 𝑧 seja uma função racional de 𝑧 O interior do círculo unitário no plano𝑧 seja mapeado no
interior do círculo unitário no plano 𝑧 Pontos sobre o círculo unitário no plano𝑧 sejam mapeados
sobre o círculo unitário no plano 𝑧
Transformações Espectrais
• Sejam 𝜃 e 𝜔 as variáveis de frequência nos planos 𝑧 e 𝑧, ou
seja, nos respectivos círculos unitários temos 𝑧 = 𝑒𝑗𝜃 e 𝑧 = 𝑒𝑗𝜔.
• Para que a terceira condição seja atendida, é necessário que
𝑒𝑗𝜃 = 𝑔(𝑒𝑗𝜔) 𝑒𝑗∠𝑔(𝑒𝑗𝜔)
𝑔(𝑒𝑗𝜔) = 1 e ∠𝑔 𝑒𝑗𝜔 = 𝜃 ⟹ 𝑔(𝑧): função passa-tudo
Forma geral de 𝑔(𝑧) passa-tudo:
𝑔 𝑧 = ± 𝑧 − 𝛼𝑘
1 − 𝛼𝑘𝑧
𝑁
𝑘=1
Transformações Espectrais
• A escolha de valores apropriados de 𝑁 e 𝛼𝑘 leva a uma variedade de mapeamentos.
• As funções 𝑔 𝑧 utilizadas para o mapeamento de uma função
passa-baixas em funções passa-baixa (de diferente frequência de corte), passa-altas, passa-faixa e rejeita-faixa são dadas a seguir.
Passa-baixas com frequência de corte 𝜃𝑐 em passa-baixas com
frequência de corte 𝜔𝑐:
𝑔 𝑧 =𝑧 − 𝛼
1 − 𝛼𝑧
sendo
𝛼 =𝑠𝑒𝑛
𝜃𝑐 − 𝜔𝑐2
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐 + 𝜔𝑐
2
Transformações Espectrais
Passa-baixas com frequência de corte 𝜃𝑐 em passa-altas com frequência de corte 𝜔𝑐:
𝑔 𝑧 = −𝑧 − 𝛼
1 − 𝛼𝑧
sendo
𝛼 =𝑐𝑜𝑠
𝜔𝑐 + 𝜃𝑐2
𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐 − 𝜃𝑐
2
Transformações Espectrais
Passa-baixas com frequência de corte 𝜃𝑐 em passa-faixa com frequências de corte 𝜔1 e 𝜔2:
𝑔 𝑧 = −𝑧2 + 𝛽1𝑧 + 𝛽2
1 + 𝛽1𝑧 + 𝛽2𝑧2
sendo
𝛽1 =−2𝛼𝐾
𝐾 + 1, 𝛽2 =
𝐾 − 1
𝐾 + 1
𝐾 = 𝑐𝑜𝑡𝜔2 − 𝜔1
2𝑡𝑎𝑛
𝜃𝑐
2
𝛼 =𝑐𝑜𝑠
𝜔2 + 𝜔12
𝑐𝑜𝑠𝜔2 − 𝜔1
2
Transformações Espectrais
Passa-baixas com frequência de corte 𝜃𝑐 em rejeita-faixa com frequências de corte 𝜔1 e 𝜔2:
𝑔 𝑧 =𝑧2 + 𝛽1𝑧 + 𝛽2
1 + 𝛽1𝑧 + 𝛽2𝑧2
sendo
𝛽1 =−2𝛼
𝐾 + 1, 𝛽2 =
1 − 𝐾
𝐾 + 1
𝐾 = 𝑐𝑜𝑡𝜔2 − 𝜔1
2𝑡𝑎𝑛
𝜃𝑐
2
𝛼 =𝑐𝑜𝑠
𝜔2 + 𝜔12
𝑐𝑜𝑠𝜔2 − 𝜔1
2
Transformações Espectrais
• Exemplo 1: Obter um filtro passa-altas com frequência de corte 𝜔𝑐 = 𝜋/2 a partir da função passa-baixas com frequência de corte 𝜃𝑐 = 𝜋/8:
𝐻𝐿𝑃 𝑧 =1 + 𝑧−1
6,0273 − 4,0273𝑧−1
Basta substituir a variável 𝑧 em 𝐻𝐿𝑃 𝑧 por
𝑔 𝑧 = −𝑧 − 𝛼
1 − 𝛼𝑧
com
𝛼 =𝑐𝑜𝑠
𝜋/2 + 𝜋/82
𝑐𝑜𝑠𝜋/2 − 𝜋/8
2
= 0,6682
Transformações Espectrais
• Exemplo 2: Obter um filtro passa-faixa com frequências de corte 𝜔1 = 0,2𝜋 e 𝜔2 = 0,6𝜋 a partir da função passa-baixas do exemplo 1.
Basta substituir a variável 𝑧 em 𝐻𝐿𝑃 𝑧 por
𝑔 𝑧 = −𝑧2 + 𝛽1𝑧 + 𝛽2
1 + 𝛽1𝑧 + 𝛽2𝑧2
com
𝛼 =𝑐𝑜𝑠 0,4𝜋
𝑐𝑜𝑠 0,2𝜋= 0,3820, 𝐾 = 𝑐𝑜𝑡 0,2𝜋 𝑡𝑎𝑛
𝜋
16= 0,2738
𝛽1 =−2𝛼𝐾
𝐾 + 1= −0,1642, 𝛽2 =
𝐾 − 1
𝐾 + 1= −0,5701
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