Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
EA614 - Analise de Sinais
Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Prof. Pedro L. D. Peres
Faculdade de Engenharia Eletrica e de ComputacaoUniversidade Estadual de Campinas
1o Semestre 2014
Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 1/59
Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Transformada de Fourier de Sinais Contnuos I
A serie de Fourier e adequada para a descricao de um sinal em um intervalo de tempoT , ou para sinais periodicos de perodo T .
x(t)=+
k=
ck exp(jk0t) , |t| 0
e dada por
F{exp(at)u(t)
}=
1
j +a
pois
X () =
+
exp(at)u(t)exp(jt)dt = +0
exp( (j +a)t
)dt =
=1
j +aexp
( (j +a)t
)+
0
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo Exponencial Complexa
Note que, da definicao de transformada de Laplace, tem-se
L {exp(at)u(t)}=1
s+a, Re(s+a)> 0
ou seja, a transformada de Fourier de x(t) = exp(at)u(t) tem a mesma forma datransformada de Laplace, trocando-se s por j. Note ainda que, se Re(a)< 0, atransformada de Fourier nao existe. Entretanto, a transformada de Laplace existe comum domnio que nao contem s = j
Pela Propriedade 3, tem-se
X (0) = +
x(t)dt = +
exp(at)u(t)dt =1
aexp(at)
+0
=1
a
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Propriedade 4
Para x(t) real, o modulo de X () e uma funcao par e a fase e mpar, ou seja
| X () |=| X () |
X () =X ()
X () = X ()
Prova:
X () = +
x(t)exp(jt)dt = A() jB()
com
A() =
+
x(t)cos(t)dt (par) , B() = +
x(t)sen(t)dt (mpar)
| X () |=A2()+B2() =
A2()+B2() =| X () | (par)
X () = arctanB()
A()= arctan
B()
A()=arctan
B()
A()=X () (mpar)
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo 1.2 (Exponencial real)
A transformada de Fourier de
x(t) = exp(at)u(t) , a> 0 a real
e dada por
F{exp(at)u(t)}=1
j +a=
1(2+a2)
exp( j arctan(/a)
)confirmando a Propriedade 4 (sinais reais tem modulo par e fase mpar).
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Note que x(t) = exp(at)u(t) e descontnua em t = 0 e o valor da transformadainversa em t = 0 e x(0) = 0.5 (valor medio na descontinuidade), pois
2pix(0)=
+
1
j +ad =
+0
( 1j +a
+1
j +a
)d =
+0
2a
2+a2d =
=2
a
+0
1
(/a)2+1d = 2
+0
1
2+1d = 2
+pi/20
d = pi
= tan() d tan()
tan2()+1= d
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Teorema 1 (Parseval)
Se x(t) e um sinal de energia, entao
+
| x(t)|2dt =1
2pi
+
| X ()|2d Energia
Prova:
2pi
+
| x(t)|2dt = 2pi +
x(t)x(t)dt =
+
x(t)
+
X ()exp(jt)d 2pix(t)
dt
=
+
X ()
+
x(t)exp(jt)dt X ()
d =
+
X ()X ()d =
+
| X ()|2d
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Densidade espectral de energia I
Definicao 2 (Densidade espectral de energia)
A densidade espectral de um sinal de energia x(t) cuja transformada eX () = F{x(t)} e dada por
1
2pi| X ()|2
Exemplo 1.3
Retomando o Exemplo 1.2, ilustrado na Figura 2 para a= 1, tem-se que x(t) e umsinal de energia, pois
Energia =
+
|x(t)|2dt = +
exp(2at)u(t)dt = 1
2aexp(2at)
0
=1
2a
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Densidade espectral de energia II
-4 -2 0 2 4-0.5
0
0.5
1
1.5
t
Figura : Sinal x(t) = exp(t)u(t).
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Densidade espectral de energia III
A densidade espectral de energia e dada por
1
2pi| X () |2 =
1
2pi
(1
a2+2
)
ilustrada na Figura para a= 1.
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Densidade espectral de energia IV
-10 -5 0 5 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Figura : Densidade espectral de energia de x(t) = exp(t)u(t).
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
O Teorema de Parseval e verificado, pois
Energia =1
2pi
+
(1
a2+2
)d =
1
2piaarctan
(a
)+
=1
2pia
(pi2(
pi
2
))=
1
2a
Uma avaliacao da distribuicao da area sob a curva da Figura 3 pode ser obtida apartir do ndice
Ik =area de k a +k
area total I5 = 0.87, I10 = 0.94, I40 = 0.98
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Reversao no tempo
Propriedade 5 (Reversao no tempo)
F{x(t)}= X ()
pois
F{x(t)}= +
x(t)exp(jt)dt = +
x( )exp(j )d
=
+
x( )exp( j()
)d =
+
x(t)exp( j()t
)dt =X ()
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo I
Exemplo 1.4
F{exp(at)u(t)}=1
j +a; Re(a)> 0F{exp(at)u(t)}=
1
j +a; Re(a)> 0
A Figura 4 mostra o sinal x(t) = exp(t)u(t).
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo II
-4 -2 0 2 4-0.5
0
0.5
1
1.5
t
Figura : Sinal x(t) = exp(t)u(t).
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo III
A densidade espectral de energia e dada por
1
2pi| X () |2 =
1
2pi
(1
a2+2
)
que e tambem a densidade espectral de x(t) = exp(t)u(t), mostrada na Figura 3.
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Funcao real e par
Propriedade 6 (Funcao real e par)
A transformada de Fourier de um sinal real e par x(t) e um sinal X () real e par, pois
+
x(t)exp(jt)dt = +
x(t)cos(t)dt j +
x(t)sen(t)dt = 0
Exemplo 1.5
Considere o sinal x(t) dado por
x(t) = exp(a | t |) = exp(at)u(t)+exp(at)u(t) , a> 0
mostrado na figura para a= 1, cuja transformada de Fourier e
X () =1
j +a+
1
j +a=
2a
2+a2
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
-4 -2 0 2 4-0.5
0
0.5
1
1.5
t
Figura : Sinal x(t) = exp(|t|).
Note que X () e uma funcao real e par, pois x(t) e real e par.
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
A densidade espectral de energia, mostrada na figura para a= 1, e
1
2pi| X ()|2 =
1
2pi| 2a/(a2+2)|2
-10 -5 0 5 10-1
0
1
2
3
4
5
Figura : Espectro de energia do sinal x(t) = exp(|t|).
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Observe que a densidade espectral cai com 4, enquanto que nos exemplos 1.2 e 1.4o decaimento ocorre com 2. Esse comportamento em frequencia esta relacionado a`presenca ou nao de descontinuidades nos sinais.O espalhamento em frequencia do espectro pode ser avaliado pelo ndice Ik ,resultando neste caso em
I5 = 0.99 ; I10 = 1.00
confirmando que a energia esta mais concentrada do que nos caso dos sinais comdescontinuidade.
A integral de x(t) e 2/a, o que e confirmado pelo valor de
X (0) = +
x(t)dt =2
a
e a integral de X () e igual a 2pi, o que e confirmado por
x(0) =1
2pi
+
X ()d = 1
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Simetria
Propriedade 7 (Simetria)
F{x(t)}= X () F{X (t)}= 2pix()
pois
x(t) =1
2pi
+
X ()exp(jt)d 2pix(t) = +
X ( )exp(j t)d
2pix() = +
X ( )exp(j )d
2pix() = +
X (t)exp(jt)dt = F{X (t)}
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo
Exemplo 1.6A transformada de Fourier de
x(t) =1
1+ t2
e dada por
X () = pi exp(||)
pois, pela Propriedade 7 (simetria), tem-se
F
{12exp(|t|)
}=
1
1+2 F
{ 11+ t2
}= pi exp(||)
Note que x(t) e X () sao ambas funcoes reais e pares
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo I
Exemplo 1.7
A transformada de Fourier da funcao gate
x(t) = GT (t) = u(t+T/2)u(tT/2)
mostrada na figura, e dada por
F{GT (t)}= TSa(T/2) , Sa(T/2) =sen(T/2)
T/2
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo II
GT (t)
T
2T
2t
1
Figura : Funcao gate GT (t).
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo III
pois
F{GT (t)}= +
GT (t)exp(jt)dt = +T/2T/2
exp(jt)dt =
=1
jexp(jt)
+T/2
T/2
=T
(sen(T/2)
T/2
)=TSa(T/2)
Note que o primeiro cruzamento de Sa(/2) com o eixo das abscissas ocorre em2pi/T . Portanto, quanto mais estreito for o pulso no tempo, mais espalhado sera seuespectro em e vice-versa.
A funcao Sa(/2) e a densidade espectral de energia (multiplicada por 2pi) saomostradas nas figuras.
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo IV
-30 -20 -10 0 10 20 30-0.5
0
0.5
1
1.5
Figura : Funcao Sa(/2) (sampling).
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo V
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Figura : |X ()|2 = Sa2(/2).
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo VI
Note que os ndices de espalhamento em frequencia do espectro, neste caso, dados por
I2pi = 0.90 ; I4pi = 0.95 ; I8pi = 0.97
sao similares aos do sinal do Exemplo 1.2, que tambem possui descontinuidade.
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo
Exemplo 1.8
F{Sa(0t/2)}=2pi
0G0()
pois
F
{ 1G(t)
}= Sa(/2)
e, pela Propriedade 7 (simetria),
F{Sa(t/2)}=2pi
G()
Note que a transformada de Fourier da funcao sampling, que nao e limitada notempo, e uma funcao gate, ou seja, e limitada em frequencia.
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Transformada de Fourier da funcao impulso
Propriedade 8 (Transformada de Fourier da funcao impulso)
F{ (t)}= +
(t)exp(jt)dt = 1
Observe que (t) nao e um sinal de energia e portanto o Teorema de Parseval nao seaplica.
Note tambem que a funcao impulso poderia ser calculada como a transformadainversa de 1, ou seja
(t) = F1{1}=1
2pi
+
exp(jt)d
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Sinais de potencia
Definicao 3 (Sinais de potencia)
Um sinal x(t) e de potencia finita se
limT+
1
T
+T/2T/2
|x(t)|2dt
Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo I
Exemplo 1.10A transformada de Fourier de
sinal(t) =
+1 , t > 0
1 , t < 0
e dada por
F{sinal(t)}=2
j
pois, escrevendo a funcao sinal(t) na forma
sinal(t) = lima0+
(exp(at)u(t) exp(at)u(t)
)tem-se
F{sinal(t)}= lima0+
( 1a+ j
1
a j
)=
2
j
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo II
Note que a funcao sinal(t) possui a mesma potencia media que a funcao x(t) = 1,mas as transformadas de Fourier sao distintas, assim como os valores medios, 0 e 1,respectivamente.
A funcao sinal(t) pode ser interpretada como uma inversao de polaridade numaalimentacao em corrente contnua (acionamento de uma chave).
A transformada de Fourier da funcao sinal(t) ilustra o rudo (clic) que se ouve nosradios a pilha quando um interruptor da rede eletrica, proximo do radio, e acionado.
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo
Exemplo 1.11A transformada de Fourier da funcao
x(t) = u(t)
e dada por
F{u(t)}= F{12+
1
2sinal(t)
}= pi ()+
1
j
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Deslocamento no tempo
Propriedade 9 (Deslocamento no tempo)
F{x(t )}= X ()exp(j)
pois
F{x(t )}= +
x(t )exp(jt)dt
F{x(t )}= +
x( )exp(j )exp(j)d =
exp(j) +
x( )exp(j )d X ()
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo
Exemplo 1.12
F{ (t )}= exp(j)
Propriedade 10 (Deslocamento em frequencia)
F{x(t)exp(j0t)}= X (0)
pois
F{x(t)exp(j0t)}= +
x(t)exp(j0t)exp(jt)dt =
= +
x(t)exp( j(0)t
)dt = X (0)
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo 1.13
F{exp(j0t)}= 2pi (0)
pois, aplicando-se a Propriedade 10 (deslocamento em frequencia) para x(t) = 1,tem-se
F{1}= 2pi () F{exp(j0t)}= 2pi (0)
Exemplo 1.14
F{exp(j0t)}= 2pi ( +0)
Exemplo 1.15
F{cos(0t)}= F{12exp(j0t)+
1
2exp(j0t)
}= pi (0)+pi ( +0)
F{sen(0t)}= F{ 12j
exp(j0t)1
2jexp(j0t)
}=
pi
j (0)
pi
j ( +0)
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Transformada de Fourier de sinal periodico
Propriedade 11 (Transformada de Fourier de sinal periodico)
Considere o sinal periodico
x(t) =1
T
+
k=
Xk exp(jk0t) , Xk = +T/2T/2
x(t)exp(jk0t)dt
A transformada de Fourier de x(t) e dada pelo trem de impulsos modulado
X () = 0+
k=
Xk (k0) , 0 =2pi
T
pois
X () = F{x(t)}=1
T
+
k=
XkF{exp(jk0t)}=2pi
T
+
k=
Xk (k0)
Exemplo:
F
{ +
k=
(tkT )}= 0
+
k=
(k0)
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Transformada de Fourier da convolucao
Propriedade 12 (Transformada de Fourier da convolucao)
F{x(t)y(t)
}= F
{x(t)
}F{y(t)
}= X ()Y ()
pois
F{x(t)y(t)
}= F
{ +
x(t )y( )d}=
+
y( )
( +
x(t )exp(jt)dt
)
X ()exp(j )
d
F{x(t)y(t)
}= X ()
+
y( )exp(j )d = X ()Y ()
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo
Exemplo 1.16A transformada de Fourier do sinal
Tri2T (t) = (t/T +1)GT (t+T/2)+(1 t/T )GT (tT/2) =1
TGT (t)GT (t)
e dada por
F{Tri2T (t)}=1
T
(TSa
(T2
))2= TSa2
(T2
)
Exemplo 1.17
A transformada de Fourier do sinal Sa2(0t
2
)e dada por (usando a Propriedade 7, de
simetria)
F
{Sa2
(0t2
)}=
2pi
0Tri20() =
2pi
0Tri20()
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Transformada da integral
Propriedade 13 (Transformada da integral)
F
{Ix (t) =
t
x( )d}= F{x(t)u(t)}= X ()
(pi ()+
1
j
)
Se X (0) = 0, isto e, se
+
x(t)dt = 0
entao
F
{Ix (t) =
t
x( )d}=
1
jX ()
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo I
Exemplo 1.18
A transformada de Fourier do sinal x(t) = Tri2(t) mostrado na Figura 10 pode serobtida a partir das suas derivadas sucessivas.
1
1
1
x(t)
t
Figura : Sinal x(t) = Tri2(t).
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo II
A Figura 11 mostra o sinal x(t) derivado duas vezes. Observe que as areas sob asfuncoes x(t) e x(t) sao nulas.
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo III
11
1
1
1
1
1
1
dx
dt
t
t
2
d2x
dt2
Figura : Derivadas do sinal x(t) = Tri2(t).
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Transformada da derivada
Propriedade 14 (Transformada da derivada)
F
{ ddt
x(t)}= (j)X ()
pois
x(t) =1
2pi
+
X ()exp(jt)d
d
dtx(t) =
1
2pi
+
X ()d
dtexp(jt)d =
1
2pi
+
(j)X ()exp(jt)d
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Transformada de Fourier do produto
Propriedade 15 (Transformada de Fourier do produto)
F{x(t)y(t)}=1
2piF{x(t)}F{y(t)}=
1
2piX ()Y ()
pois
F{x(t)y(t)}= +
x(t)y(t)exp(jt)dt =
+
x(t)( 12pi
+
Y ( )exp(j t)d)exp(jt)dt
=1
2pi
+
Y ( )( +
x(t)exp(jt( )dt
)
X ( )
d =1
2pi
+
Y ( )X ( )d
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo Modulacao
Exemplo 1.19 (Modulacao)
F{x(t)cos(0t)}=1
2piX ()
(pi (0)+pi ( +0)
)=
1
2X (0)+
1
2X ( +0)
Exemplo 1.20 (Recuperacao de um sinal modulado)
Considere o sinal y(t) = x(t)cos(0t) com X () = 0 para ||> 2piB e 2piB < 0, Breal positivo.
O sinal resultante da passagem de 2y(t)cos(0t) por um filtro passa-baixas ideal defrequencia de corte B e x(t), pois
2x(t)cos(0t)cos(0t) = x(t)(1+cos(20t)
)
O filtro rejeita a parcela que esta centrada em 20, ficando apenas o espectro de x(t).
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Serie de Fourier a partir da Transformada de Fourier I
Propriedade 16 (Serie de Fourier a partir da Transformada deFourier)
Considere o sinal periodico
x(t) =+
k=
p(tkT ) , p(t) = 0 para |t|> T/2
Usando-se serie exponencial de Fourier, x(t) pode ser escrito como
x(t) =+
k=
ck exp(jk0t) ; ck =1
T
T/2T/2
x(t)exp(jk0t)dt
Como x(t) = p(t) para |t|< T/2, tem-se
P(k0) =
+
p(t)exp(jk0t)dt = Tck ; P() = F{p(t)}
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Serie de Fourier a partir da Transformada de Fourier IIOs coeficientes da serie trigonometrica podem ser obtidos a partir de ck = P(k0)/T
x(t) = a0++
k=1
(ak cos(k0t)+bk sen(k0t)
)com valor medio dado por
a0 = c0 =1
T
+T/2T/2
x(t)dt =1
TP(0)
Os coeficientes dos termos em cosseno sao dados por
ak =(ck + ck
)=
2
T
+T/2T/2
x(t)cos(k0t)dt
ak =1
T(P(k0)+P(k0)) =
2
TRe {P(k0)}
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Serie de Fourier a partir da Transformada de Fourier III
Os coeficientes dos termos em seno sao dados por
bk = j(ck ck
)=
2
T
+T/2T/2
x(t)sen(k0t)dt
bk =j
T
(P(k0)P(k0)
)=2
TIm {P(k0)}
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Exemplo
Exemplo 1.21Considere o sinal
x(t) =+
k=
p(tkT ) , p(t) = TriT (t)
P() = F{TriT (t)}= F{ 2TGT/2(t)GT/2(t)
}=
T
2Sa2
(T4
)
Para T = 2, tem-se
P() = Sa2(2
)
P(k0) = Sa2
(kpi
2
)=
1 , k = 00 , k 6= 0 par(2
kpi
)2, k mpar
a0=1
TP(0)=
1
2; ak =
4
k2pi2, k mpar ; ak =0 , k par ; bk =0 pois P() e real
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Momento
Propriedade 17 (Momento)
F{tmx(t)}= jmdm
dmX ()
Exemplo 1.22Considere
x(t) = exp( t)u(t) , > 0
As integrais (momentos da funcao x(t)) sao
+
x(t)dt = X ()=0
=
j +
=0
= 1
+
tx(t)dt = jd
dX ()
=0
=
(j + )2
=0
=1
+
t2x(t)dt = j2d2
d2X ()
=0
=2
(j + )3
=0
=2
2
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Correlacao
Definicao 4 (Correlacao)
A funcao definida pela integral
rxy () =
+
x(t)y(t )dt = +
x(t+ )y(t)dt , R
e chamada de correlacao cruzada entre os sinais x(t) e y(t), e a funcao rx () = rxx ()e denominada de auto-correlacao de x(t).
Note que a correlacao rxy (0) e o numerador do coeficiente de projecao do sinal x(t)no sinal y(t) dado por
< x(t)y(t)>
< |y(t)|2 >
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Transformada de Fourier de Sinais Contnuos
Correlacao
Propriedade 18 (Correlacao)
A funcao correlacao tem as seguintes propriedades (relacionadas com convolucao ecom transformada de Fourier)
rxy () = x()y()
rxy () = ryx ()
2rx (0)> |rx ()+ rx ()| , 6= 0
F{rxy ()}= F{x()y()}= X ()Y ()
A transformada de Fourier da auto-correlacao rx () e igual a` densidade espectralde x(t) (multiplicada por 2pi)
F{rx ()}= |X ()|2
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