8/10/2019 Tp Maple : Rduction des endomorphismes - correction
1/14
(1.3)(1.3)
(1.2)(1.2)
OO
OO
(1.1)(1.1)
TP 03Rduction des endomorphismes
CPGE - Laayoune
Essaidi AliMP1-2013-2014
Exercice 01 :
Dterminer les lments propres, le polynme minimal et le polynme caractristique de la matrice :
1 1 1 3 1
3 5 6 0 3
3 6 7 0 3
1 2 2 5 1
3 7 7 3 5
.
restart;with LinearAlgebra :
AdMatrix 1, 1, 1, 3, 1 , 3, 5, 6, 0, 3 , 3, 6, 7, 0, 3 , 1, 2, 2, 5, 1 ,3, 7, 7, 3, 5 ;
A :=
1 1 1 3 1
3 5 6 0 3
3 6 7 0 3
1 2 2 5 1
3 7 7 3 5
Valeurs propres deA:
convert Eigenvalues A ,set ;1, 2, 4, 5
Vecteurs propres deA:
Eigenvectors A ;
5
2
1
1
4
,
1 1 1 0 1
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
1 0 0 0 1
1 1 1 0 0
Polynme minimal :
8/10/2019 Tp Maple : Rduction des endomorphismes - correction
2/14
OO
OO
(1.5)(1.5)
OO
(2.4)(2.4)
(2.3)(2.3)
(2.2)(2.2)
(2.1)(2.1)
(2.5)(2.5)
(1.4)(1.4)factor MinimalPolynomial A,X ;
XK5 XK1 XK2 XK4
Polynme caractristique :
factor CharacteristicPolynomial A,X ;
XK5 XK2 XK4 XK1 2
Exercice 02 :
Dterminer les relsx,y,z, t, uet vpour que le systme
1
1
0
,
1
2
1
,
1
1
2
forme une base de vecteurs propres de la
matriceA =
x 1 y
1 z t
u v 1
.
restart;with LinearAlgebra :
PdMatrix 1, 1, 1 , 1, 2, 1 , 0, 1, 2 ;
P :=1 1 11 2 1
0 1 2
AdMatrix x, 1, y , 1, z , t , u, v, 1 ;
A :=
x 1 y
1 z t
u v 1
Le systme
1
1
0
,
1
2
1
,
1
1
2
forme une base de vecteurs propres de la matrice A si et seulement si la matrice
P 1AP:
MdMatr i xMatr i xMul t i pl y Matr i xI nverse P ,MatrixMatrixMultiply A,P ;
M:=3
2xC1K
1
2zK
1
2uK
1
2v,
3
2xC3C
3
2yKzK
1
2tK
1
2uKv,
3
2xC2C3yK
1
2zK t
K1
2uK
1
2v ,
xCz, xK1KyC2zC t, xK2yCzC2 t ,
1
2xK
1
2zC
1
2uC
1
2v,
1
2xC
1
2yKzK
1
2tC
1
2uCv,
1
2xK1CyK
1
2zK tC
1
2uC
1
2v
MdMat r i xAdd M, Di agonal Mat r i x M 1, 1 ,M2, 2 , M 3, 3 , 1, 1 ;
M:= 0,3
2xC3C
3
2yKzK
1
2tK
1
2uKv,
3
2xC2C3yK
1
2zK tK
1
2uK
1
2v ,
xCz, 0, xK2yCzC2 t ,
1
2xK
1
2zC
1
2uC
1
2v,
1
2xC
1
2yKzK
1
2tC
1
2uCv, 0
sysdconvert M,set ;
8/10/2019 Tp Maple : Rduction des endomorphismes - correction
3/14
OO
(3.3)(3.3)
OO
(2.6)(2.6)
(3.4)(3.4)
(3.1)(3.1)
OO
OO
OO
(2.5)(2.5)
(2.7)(2.7)
(3.2)(3.2)
OO
sys := 0, xCz, xK2yCzC2 t,1
2xK
1
2zC
1
2uC
1
2v,
1
2xC
1
2yKzK
1
2tC
1
2uCv,
3
2xC2
C3yK1
2zK tK
1
2uK
1
2v,
3
2xC3C
3
2yKzK
1
2tK
1
2uKv
sdsolve sys, x,y,z,t,u,v ;s := t= 3,u = 4,v = 4,x = 4,y = 3,z = 4
assign s;A
;4 1 3
1 4 3
4 4 1
Exercice 03 :
Soient a, b2=. Rduire la matrice :
A =
a2 ab ab b2
ab a2 b2 ab
ab b2 a2 ab
b2 ab ab a2
.
restart;with LinearAlgebra :
AdMatrix a2, a$b, a$b, b
2, a$b,a
2,b
2, a$b , a$b, b
2, a
2, a$b , b
2, a$b, a$b,
a2
;
A :=
a2 ab ab b2
ab a2 b2 ab
ab b2 a2 ab
b2 ab ab a2
MdEigenvectors A ;
M:=
a2Kb2
a2Kb2
a2C2 abCb2
a2K2 abCb2
,
0 1 1 1
1 0 1 1
1 0 1 1
0 1 1 1
Aest diagonalisable si et seulement si =4admet une base forme de vecteurs propres deA:
Determinant M2 ;8
Matrice diagonale semblable A:
DiagonalMatrix M1 ;
a2Kb2 0 0 0
0 a2Kb2 0 0
0 0 a2C2 abCb2 0
0 0 0 a2K2 abCb2
Matrice de passage :
M2 ;
8/10/2019 Tp Maple : Rduction des endomorphismes - correction
4/14
(4.1)(4.1)
OO
OO
OO
(4.2)(4.2)
(3.5)(3.5)
OO
(4.4)(4.4)
OO
(4.5)(4.5)
(4.3)(4.3)
OO
0 1 1 1
1 0 1 1
1 0 1 1
0 1 1 1
Exercice 04 :
A quelle condition sur a, b2=la matrice
1 1 0 0
0 a b 0
0 b a 0
0 0 1 1
est-elle diagonalisables ?
restart;with LinearAlgebra :
AdMatrix 1, 1, 0, 0 , 0,a,b, 0 , 0, b, a, 0 , 0, 0, 1, 1 ;
A :=
1 1 0 0
0 a b 0
0 b a 0
0 0 1 1
MdEigenvectors A 2 ;
M:=
0 1 1 1
0 0 bCaK1 bKaC1
0 0 bCaK1 bCaK1
1 0 1 1
La matriceAest diagonalisable si et seulement si =4admet une base forme de vecteurs propres de Adonc si et
seulement si detM0. Il suffit alors d'carter le cas detM= 0 :
SdDeterminant M ;
S:= 2 b2K2 a2C4 aK2
solsdsolve S ;sols := a = bC1,b =b , a =bC1,b =b
La matrice Aest diagonalisable si et seulement si as bC1 ouasbC1.
Etude du cas a = bC1 :
assign sols 1 ;Determinant M ;JordanForm A ;unassign 'a ' ;unassign 'b
' ;0
2 bC
1 0 0 00 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Etude du cas a =bC1 :
assign sols 2 ;Determinant M ;JordanForm A ;unassign 'a ' ;unassign 'b
' ;
0
8/10/2019 Tp Maple : Rduction des endomorphismes - correction
5/14
(5.1)(5.1)
(5.2)(5.2)
OO
(5.5)(5.5)
OO
OO
OO
(4.6)(4.6)
OO
OO
(5.4)(5.4)
2 bC1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Exercice 05 :
A quelle condition sur a, b,c2=la matrice :
a 0 0 0 b
0 a 1 b 0
0 0 c 0 0
0 b 1 a 0
b 0 0 0 a
Est-elle diagonalisable ?
restart;with LinearAlgebra :
MdMatrix a, 0, 0, 0, b , 0,a, 1, b, 0 , 0, 0,c, 0, 0 , 0, b, 1, a, 0 , b,
0, 0, 0,a ;
M:=
a 0 0 0 b
0 a 1 b 0
0 0 c 0 0
0 b 1 a 0
b 0 0 0 a
PdEigenvectors M 2 ;
P :=
0 1 1 0 0
1 0 0 1 1
0 0 0 0 bKaCc
1 0 0 1 1
0 1 1 0 0
La matriceMest diagonalisable si et seulement si =5admet une base forme de vecteurs propres deMdonc si etseulement si det P0. Il suffit alors d'carter le cas det P= 0 :
SdDeterminant P ;S:= 4 bK4 aC4 c
solsdsolve S, a,b,c ;
sols := a =cKb,b =b,c =c
La matrice Aest diagonalisable si et seulement si aCbsc.
Etude du cas c =aCb:
assign sols ;Determinant Eigenvectors M 2 ;JordanForm M ;unassign 'a' ;unassign 'b ' ;unassign 'c ' ;
0
cK2 b 0 0 0 0
0 c 1 0 0
0 0 c 0 0
0 0 0 c 0
0 0 0 0 cK2 b
8/10/2019 Tp Maple : Rduction des endomorphismes - correction
6/14
(6.6)(6.6)
(6.4)(6.4)
(6.3)(6.3)OO
OO
(6.7)(6.7)
(6.2)(6.2)
OO
OO
(6.9)(6.9)
(6.5)(6.5)
OO
OO
OO
(6.1)(6.1)
(6.8)(6.8)
OO
OO
Exercice 06 :
Montrer que la matrice :
A=
2 2 2
2 2 2
2 2 2
est diagonalisable et calculerAno n2;.
restart;with LinearAlgebra :
AdMatrix 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ;
A :=
2 2 2
2 2 2
2 2 2
BdEigenvectors A ;
B :=
4
2
0
,
2 1 1
1 1 1
1 1 0
Det er mi nant B 2 ;
3
PdB 2 ;
P :=
2 1 1
1 1 1
1 1 0
dDiagonalMatrix B 1 ;
:=
4 0 0
0 2 0
0 0 0
fdx/xn;
f:=x/xn
dndmap f, ;
dn :=
4n 0 0
0 2 n 0
0 0 0
AndMatrixMatrixMultiply MatrixMatrixMultiply P,dn ,MatrixInverse P ;
An :=
2
3 4nC
1
3 2 n 2
3 4nK
1
3 2 n
2 n
1
34nC
1
3 2 n
1
34nK
1
3 2 n 2 n
1
34nC
1
3 2 n
1
34nK
1
3 2 n 2 n
subs n =1,An ;
8/10/2019 Tp Maple : Rduction des endomorphismes - correction
7/14
(7.1)(7.1)
OO
(7.3)(7.3)
(7.5)(7.5)
(6.9)(6.9)
(7.4)(7.4)
OO
OO
OO
(7.6)(7.6)
OO
OO
OO
(7.2)(7.2)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Exercice 07 :
Soit la matriceA2M = telle quec i,j2 1, 2, 3, 4,5 , aij= 1Cij.Montrer que la matriceAest diagonalisable et calculerAno n2;
restart;with LinearAlgebra :
AdMatrix5, 5, i,j /piecewise i =j, 2, 1 ;
A :=
2 1 1 1 1
1 2 1 1 1
1 1 2 1 1
1 1 1 2 1
1 1 1 1 2
BdEigenvectors A ;
B :=
1
1
1
1
6
,
1 1 1 1 1
0 0 0 1 1
1 0 0 0 1
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
Determinant B 2 ;
5
PdB 2 ;
P :=
1 1 1 1 1
0 0 0 1 1
1 0 0 0 1
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
dDiagonalMatrix B 1 ;
:=
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 6
dndmap x/xn, ;
dn :=
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 6n
8/10/2019 Tp Maple : Rduction des endomorphismes - correction
8/14
(8.1)(8.1)
OO
OO
(7.7)(7.7)
OO
(8.2)(8.2)
(7.8)(7.8)
OO
AndMatrixMatrixMultiply MatrixMatrixMultiply P,dn ,MatrixInverse P ;
An :=
4
5C
1
56n
1
5C
1
56n
1
5C
1
56n
1
5C
1
56n
1
5C
1
56n
1
5C
1
56n
4
5C
1
56n
1
5C
1
56n
1
5C
1
56n
1
5C
1
56n
1
5
C1
5
6n1
5
C1
5
6n4
5
C1
5
6n1
5
C1
5
6n1
5
C1
5
6n
1
5C
1
56n
1
5C
1
56n
1
5C
1
56n
4
5C
1
56n
1
5C
1
56n
1
5C
1
56n
1
5C
1
56n
1
5C
1
56n
1
5C
1
56n
4
5C
1
56n
subs n =1,An ;
2 1 1 1 1
1 2 1 1 1
1 1 2 1 1
1 1 1 2 1
1 1 1 1 2
Exercice 08 :
Calculer la puissance n-ime de la matrice :
A=
9 2 8
8 5 4
14 2 13
.
restart;with LinearAlgebra :
AdMatrix 9, 2, 8 , 8, 5, 4 , 14, 2, 13 ;
A :=
9 2 8
8 5 4
14 2 13
BdEi genvect orsA ; PdB 2 ; dDiagonalMatrix B 1 ;
B :=
3
1
5
,
1 11
2
2 11
2
1 1 1
P :=
1 1 12
2 11
2
1 1 1
:=
3 0 0
0 1 0
0 0 5
8/10/2019 Tp Maple : Rduction des endomorphismes - correction
9/14
(8.3)(8.3)
(9.3)(9.3)
(9.1)(9.1)
OO
(8.4)(8.4)
OO
(9.4)(9.4)
(8.5)(8.5)
(9.2)(9.2)
OO
dndmap x/xn, ;
dn :=
3n 0 0
0 1 0
0 0 5n
AndMatrixMatrixMultiply MatrixMatrixMultiply P,dn ,MatrixInverse P ;
An :=
3 3nC5K5n 3nC1 2 3nK3C5n
6 3nK5K5n 2 3nK1 4 3nC3C5n
3 3nC5K2 5n 3nC1 2 3nK3C2 5n
subs n =1,evalm An ;
9 2 8
8 5 4
14 2 13
Exercice 09 :
Calculer la puissance n-ime de la matrice :
A=
1 4 2
0 6 3
1 4 0
.
restart;with LinearAlgebra :
AdMatrix 1, 4, 2 , 0, 6, 3 , 1, 4, 0 ;
A :=
1 4 2
0 6 3
1 4 0
TdJ or danFor mA ;PdJordanForm A,output ='Q' ;
T:=
3 0 0
0 2 1
0 0 2
P :=
3 4 2
3 3 3
3 4 3
Del t ad DiagonalMatrix Diagonal T ; NdMatrixAdd T, Del t a, 1, 1 ;
:=
3 0 0
0 2 0
0 0 2
N:=
0 0 0
0 0 1
0 0 0
dn/map x/xn, Del t a ;
:=n/map x/x^n, Delta
8/10/2019 Tp Maple : Rduction des endomorphismes - correction
10/14
(9.8)(9.8)
(9.7)(9.7)
OO
(10.1)(10.1)
OO
OO
(9.5)(9.5)
OO
(9.6)(9.6)
(10.2)(10.2)
OO
MatrixPowerN, 2 ; #Indice de nilpotence de N
0 0 0
0 0 0
0 0 0
La puissance n-ime de Test alors Tn= DnCnDnK1:
TndMat r i xAdd del t a n ,MatrixMatrixMultiplydel t anK1 ,N, 1,n ;
Tn :=
3n 0 0
0 2n n2nK1
0 0 2n
La puissance n-ime deAest alorsAn=PTnP 1:
AndMatrixMatrixMultiply MatrixMatrixMultiply P,Tn ,MatrixInverse P ;
An :=
3 3nK4 n2nK1K2 2n 4 3nK4 2n 6 3nC6 2nC4 n2nK1
3 3nK3 n2nK1K3 2n 4 3nK3 2n 6 3nC6 2nC3 n2nK1
3 3nK4 n2nK1K3 2n 4 3nK4 2n 6 3nC7 2nC4 n2nK1
subs n =1,evalm An ;
1 4 2
0 6 3
1 4 0
Exercice 10 :
Calculer la puissance n-ime de la matrice :
A=
2 0 0
2 4 2
3 2 0
.
restart;with LinearAlgebra :
AdMatrix 2, 0, 0 , 2, 4, 2 , 3, 2, 0 ;
A :=
2 0 0
2 4 2
3 2 0
TdJ or danFor mA ;PdJordanForm A,output ='Q' ;
T:=
2 1 0
0 2 1
0 0 2
P :=
0 0 1
2 2 0
2 3 0
d DiagonalMatrix Diagonal T ; NdMatrixAdd T, , 1, 1 ;
:=
2 0 0
0 2 0
0 0 2
8/10/2019 Tp Maple : Rduction des endomorphismes - correction
11/14
OO
(10.4)(10.4)
(10.6)(10.6)
(10.8)(10.8)
(10.9)(10.9)
(10.3)(10.3)
(10.7)(10.7)
(10.5)(10.5)
OO
N:=
0 1 0
0 0 1
0 0 0
dn/map x/xn, ;
:=n/map x/x^n, Delta
MatrixPowerN, 2 ;MatrixPowerN, 3 ; #Indice de nilpotence de N0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
La puissance n-ime de Test alors Tn= DnCnDnK1Cn nK1
2Dn 2N2:
Cdk/piecewise k =0, 1,simplify productnKp
pC1 ,p =0. .kK1 ;C0 ;
C1 ;C2 ;
C:=k/piecewise k= 0, 1,simplify ?p = 0
kK1nKp
pC1
1
n
1
2n nK1
Tndadd Mat r i xScal arMul t i pl y Mat r i xMat r i xMul t i pl y nKk ,MatrixPower N,
k ,C k ,k =0. . 2 ;
Tn :=
2n n2nK11
2n nK1 2nK2
0 2n n2nK1
0 0 2n
La puissance n-ime deAest alorsAn=PTnP 1:
AndMatrixMatrixMultiply MatrixMatrixMultiply P,Tn ,MatrixInverse P ;
An :=
2n 0 0
n nK1 2nK2K2 n2nK1 2nC2 n2n 1 2 n2n 1
n nK1 2nK2K3 n2nK1 2 n2nK1 2nK2 n2nK1
subs n =1,evalm An ;
2 0 0
2 4 2
3 2 0
Exercice 11 :
Donner une CNS pour sur a,bet cpour que la matriceAsoit diagonalisable. Dans ce cas, calculerAn.
8/10/2019 Tp Maple : Rduction des endomorphismes - correction
12/14
(11.6)(11.6)
(11.3)(11.3)
(11.5)(11.5)
OO
(11.7)(11.7)
(11.2)(11.2)
(11.1)(11.1)
(11.8)(11.8)
(11.4)(11.4)
OO
A=
aKbKc 2 a 2 a
2 b bKaKc 2 b
2 c 2 c cKaKb
.
restart;with LinearAlgebra :
AdMatrix aKbKc, 2$a, 2$a , 2$b,bKaKc, 2$b , 2$c, 2$c,cKaKb ;
A :=
aKbKc 2 a 2 a
2 b bKaKc 2 b
2 c 2 c cKaKb
BdEigenvectors A ;
B :=
aCbCc
cKaKb
cKaKb
,
a
c1 1
b
c0 1
1 1 0
PdCol umnOper at i onB 2 , 1, c ;
P :=
a 1 1
b 0 1
c 1 0
Determinant P ;cKaKb
La matrice A est diagonalisable si et seulement si aCbCcs0.
dDi agonal Mat r i x B 1 ;
:=
aCbCc 0 0
0 cKaKb 0
0 0 cKaKb
QdMatrixInverse P :Qdsubs aCbCc =u,Q;
Q :=
1
u
1
u
1
u
c
u
c
u
aCb
u
b
u
aCc
u
b
u
Dndmap x/xn, ;
Dn :=
aCbCc n 0 0
0 cKaKb n 0
0 0 cKaKb n
Dndsubs aCbCc =u, cKaKb =u,Dn : Dndsubs un
= 1n
un, Dn ;
Dn :=
un 0 0
0 1 nun 0
0 0 1 nun
Expression deAn:
8/10/2019 Tp Maple : Rduction des endomorphismes - correction
13/14
8/10/2019 Tp Maple : Rduction des endomorphismes - correction
14/14
(12.2)(12.2)
(12.3)(12.3)
(12.1)(12.1)
OO
OO
(12.4)(12.4)
OO
Programmer cette mthode et comparer avec les rsultats obtenus l'aide de Maple.
restart;with LinearAlgebra :
dprocA
local k,n,M,P, ;
MdA;
ndRowDimension M ;
PdXn
; for k from 1 to n do
d1
k$Trace M ;
PdPK$XnKk
;
MdMatrixMatrixMultiply MatrixAdd M,IdentityMatrix n , 1, ,A ;
end do;
P;
endproc:
AdRandomMat ri x 10, 10, gener at or =1. . 10 ;
A :=
7 10 1 6 7 3 1 2 9 4
3 1 9 2 5 10 10 3 10 1
4 4 1 3 8 7 6 6 7 6
5 5 2 3 9 8 6 7 2 2
9 4 9 3 7 7 8 7 3 4
10 9 2 3 3 10 9 9 2 5
6 1 10 9 7 1 9 2 7 8
5 10 2 7 3 6 10 6 1 7
5 4 5 4 6 9 10 2 8 3
10 9 8 2 1 7 3 10 6 5
UdA ;
U:=X10K57X9C61X8K1461X7K11665X6C154267X5K925077X4C6809820X3K14766335X2
K8685946XC60663808
VdCharacteristicPolynomial A, X ;
V:=X10K57X9C61X8K1461X7K11665X6C154267X5K925077X4C6809820X3K14766335X2
K8685946XC60663808
evalb U=V ;true
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