Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng
Ng y 7 th¡ng 10 n«m 2010
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Nëi dung ch½nh
H m sè mët bi¸n sè
Giîi h¤n d¢y sè
Giîi h¤n h m sè�ành ngh¾a, c¡c t½nh ch§tL÷ñng væ còng b², L÷ñng væ còng lînH m sè li¶n töc, gi¡n �o¤n
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Nëi dung ch½nh
H m sè mët bi¸n sè
Giîi h¤n d¢y sè
Giîi h¤n h m sè�ành ngh¾a, c¡c t½nh ch§tL÷ñng væ còng b², L÷ñng væ còng lînH m sè li¶n töc, gi¡n �o¤n
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Nëi dung ch½nh
H m sè mët bi¸n sè
Giîi h¤n d¢y sè
Giîi h¤n h m sè
�ành ngh¾a, c¡c t½nh ch§tL÷ñng væ còng b², L÷ñng væ còng lînH m sè li¶n töc, gi¡n �o¤n
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Nëi dung ch½nh
H m sè mët bi¸n sè
Giîi h¤n d¢y sè
Giîi h¤n h m sè�ành ngh¾a, c¡c t½nh ch§tL÷ñng væ còng b², L÷ñng væ còng lînH m sè li¶n töc, gi¡n �o¤n
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
�ành ngh¾a
�ành ngh¾a
Cho tªp hñp sè thüc R . Mët ¡nh x¤ f tø R v o R �÷ñc gåi l mëth m sè thüc cõa mët bi¸n sè thüc, hay h m sè cõa mët bi¸n sè.
C¡c chó þ
Ph¦n tû x �÷ñc gåi l bi¸n sè �ëc lªp. Ph¦n tû y t÷ìngùng vîi x �÷ñc gåi l gi¡ trà cõa h m sè t¤i x , kþ hi»uy = f (x)
Mi·n x¡c �ành: D = {x ∈ R | ∃ f (x) }Mi·n gi¡ trà: Y = { f (x)| x ∈ D }
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
�ành ngh¾a
�ành ngh¾a
Cho tªp hñp sè thüc R . Mët ¡nh x¤ f tø R v o R �÷ñc gåi l mëth m sè thüc cõa mët bi¸n sè thüc, hay h m sè cõa mët bi¸n sè.
C¡c chó þ
Ph¦n tû x �÷ñc gåi l bi¸n sè �ëc lªp. Ph¦n tû y t÷ìngùng vîi x �÷ñc gåi l gi¡ trà cõa h m sè t¤i x , kþ hi»uy = f (x)
Mi·n x¡c �ành: D = {x ∈ R | ∃ f (x) }Mi·n gi¡ trà: Y = { f (x)| x ∈ D }
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
�ành ngh¾a
�ành ngh¾a
Cho tªp hñp sè thüc R . Mët ¡nh x¤ f tø R v o R �÷ñc gåi l mëth m sè thüc cõa mët bi¸n sè thüc, hay h m sè cõa mët bi¸n sè.
C¡c chó þ
Ph¦n tû x �÷ñc gåi l bi¸n sè �ëc lªp. Ph¦n tû y t÷ìngùng vîi x �÷ñc gåi l gi¡ trà cõa h m sè t¤i x , kþ hi»uy = f (x)
Mi·n x¡c �ành: D = {x ∈ R | ∃ f (x) }Mi·n gi¡ trà: Y = { f (x)| x ∈ D }
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
�ành ngh¾a
�ành ngh¾a
Cho tªp hñp sè thüc R . Mët ¡nh x¤ f tø R v o R �÷ñc gåi l mëth m sè thüc cõa mët bi¸n sè thüc, hay h m sè cõa mët bi¸n sè.
C¡c chó þ
Ph¦n tû x �÷ñc gåi l bi¸n sè �ëc lªp. Ph¦n tû y t÷ìngùng vîi x �÷ñc gåi l gi¡ trà cõa h m sè t¤i x , kþ hi»uy = f (x)
Mi·n x¡c �ành: D = {x ∈ R | ∃ f (x) }
Mi·n gi¡ trà: Y = { f (x)| x ∈ D }
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
�ành ngh¾a
�ành ngh¾a
Cho tªp hñp sè thüc R . Mët ¡nh x¤ f tø R v o R �÷ñc gåi l mëth m sè thüc cõa mët bi¸n sè thüc, hay h m sè cõa mët bi¸n sè.
C¡c chó þ
Ph¦n tû x �÷ñc gåi l bi¸n sè �ëc lªp. Ph¦n tû y t÷ìngùng vîi x �÷ñc gåi l gi¡ trà cõa h m sè t¤i x , kþ hi»uy = f (x)
Mi·n x¡c �ành: D = {x ∈ R | ∃ f (x) }Mi·n gi¡ trà: Y = { f (x)| x ∈ D }
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
V½ dö
Cho h m sèy =
√9− x2
Mi·n x¡c �ành?
D = [−3; 3]Mi·n gi¡ trà?Y = [0; 3]
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
V½ dö
Cho h m sèy =
√9− x2
Mi·n x¡c �ành?D = [−3; 3]
Mi·n gi¡ trà?Y = [0; 3]
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
V½ dö
Cho h m sèy =
√9− x2
Mi·n x¡c �ành?D = [−3; 3]Mi·n gi¡ trà?
Y = [0; 3]
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
V½ dö
Cho h m sèy =
√9− x2
Mi·n x¡c �ành?D = [−3; 3]Mi·n gi¡ trà?Y = [0; 3]
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
�ç thà cõa h m sè
�ành ngh¾a
Cho h m sè y = f (x) câ mi·n gi¡ trà D. Tªp t§t c£ c¡c �iºm tr¶nm°t ph¯ng Oxy : G = {M (x , y)| x ∈ D, y = f (x)} �÷ñc gåi l �çthà cõa h m sè.
V½ dö: Biºu di¹n �ç thà cõa h m sè f : D → R x¡c �ành bðif (x) = −x3 + 2x + 1 trong hai tr÷íng hñp
1 D = {−1, 0, 1}2 D = R
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
�ç thà cõa h m sè
�ành ngh¾a
Cho h m sè y = f (x) câ mi·n gi¡ trà D. Tªp t§t c£ c¡c �iºm tr¶nm°t ph¯ng Oxy : G = {M (x , y)| x ∈ D, y = f (x)} �÷ñc gåi l �çthà cõa h m sè.
V½ dö: Biºu di¹n �ç thà cõa h m sè f : D → R x¡c �ành bðif (x) = −x3 + 2x + 1 trong hai tr÷íng hñp
1 D = {−1, 0, 1}2 D = R
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
H m 1-1
�ành ngh¾a h m 1-1
H m y = f (x) �÷ñc gåi l h m 1-1 n¸u ∀x1 6= x2 ∈ D th¼f (x1) 6= f (x2)
Chó þ: H m y = f (x) l h m 1-1 khi v ch¿ khi khæng tçn t¤i�÷íng th¯ng n¬m ngang ct �ç thà nhi·u hìn mët �iºm.
H¼nh: H m 1-1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
H m 1-1
�ành ngh¾a h m 1-1
H m y = f (x) �÷ñc gåi l h m 1-1 n¸u ∀x1 6= x2 ∈ D th¼f (x1) 6= f (x2)
Chó þ: H m y = f (x) l h m 1-1 khi v ch¿ khi khæng tçn t¤i�÷íng th¯ng n¬m ngang ct �ç thà nhi·u hìn mët �iºm.
H¼nh: H m 1-1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
H m 1-1
�ành ngh¾a h m 1-1
H m y = f (x) �÷ñc gåi l h m 1-1 n¸u ∀x1 6= x2 ∈ D th¼f (x1) 6= f (x2)
Chó þ: H m y = f (x) l h m 1-1 khi v ch¿ khi khæng tçn t¤i�÷íng th¯ng n¬m ngang ct �ç thà nhi·u hìn mët �iºm.
H¼nh: H m 1-1� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
H m ng֖c
�ành ngh¾a h m ng÷ñc
Cho y = f (x) l h m 1-1 vîi mi·n x¡c �ành D v mi·n gi¡ trà Y .H m ng÷ñc cõa h m y = f (x) l h m tø Y v o D, kþ hi»ux = f −1 (y), x¡c �ành bði x = f −1 (y)⇔ y = f (x)
H¼nh: H m ng÷ñc
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
H m ng֖c
�ành ngh¾a h m ng÷ñc
Cho y = f (x) l h m 1-1 vîi mi·n x¡c �ành D v mi·n gi¡ trà Y .H m ng÷ñc cõa h m y = f (x) l h m tø Y v o D, kþ hi»ux = f −1 (y), x¡c �ành bði x = f −1 (y)⇔ y = f (x)
H¼nh: H m ng÷ñc
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
�ç thà cõa h m sè ng÷ñc
Nhªn x²t
V¼ a = f −1 (b)⇔ b = f (a) n¶n (a, b) thuëc �ç thà h m sèy = f (x) khi v ch¿ khi (b, a) thuëc �ç thà cõa f −1
H¼nh: Nhªn x²t
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
�ç thà cõa h m sè ng÷ñc
Nhªn x²t
V¼ a = f −1 (b)⇔ b = f (a) n¶n (a, b) thuëc �ç thà h m sèy = f (x) khi v ch¿ khi (b, a) thuëc �ç thà cõa f −1
H¼nh: Nhªn x²t
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
�ç thà cõa h m sè ng÷ñc
K¸t luªn
�ç thà y = f (x) v �ç thà cõa f −1 �èi xùng vîi nhau qua �÷íngth¯ng y = x
V½ dö V³ �ç thà cõa h m y =√−x − 1 v �ç thà cõa h m sè
ng֖c
H¼nh: T½nh ch§t cõa �ç thà h m ng÷ñc
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
�ç thà cõa h m sè ng÷ñc
K¸t luªn
�ç thà y = f (x) v �ç thà cõa f −1 �èi xùng vîi nhau qua �÷íngth¯ng y = x
V½ dö V³ �ç thà cõa h m y =√−x − 1 v �ç thà cõa h m sè
ng֖c
H¼nh: T½nh ch§t cõa �ç thà h m ng÷ñc
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
�ç thà cõa h m sè ng÷ñc
K¸t luªn
�ç thà y = f (x) v �ç thà cõa f −1 �èi xùng vîi nhau qua �÷íngth¯ng y = x
V½ dö V³ �ç thà cõa h m y =√−x − 1 v �ç thà cõa h m sè
ng֖c
H¼nh: T½nh ch§t cõa �ç thà h m ng÷ñc� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m sì c§p
�ành ngh¾a
C¡c h m sau �¥y �÷ñc gåi l c¡c h m sì c§p cì b£n:
1 H m h¬ng2 H m lôy thøa y = xα
3 H m mô y = ax ; a > 0, a 6= 14 H m logarit y = logax ; (a > 0, a 6= 1)5 H m l÷ñng gi¡c6 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc7 H m hypebolic
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m sì c§p
�ành ngh¾a
C¡c h m sau �¥y �÷ñc gåi l c¡c h m sì c§p cì b£n:
1 H m h¬ng
2 H m lôy thøa y = xα
3 H m mô y = ax ; a > 0, a 6= 14 H m logarit y = logax ; (a > 0, a 6= 1)5 H m l÷ñng gi¡c6 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc7 H m hypebolic
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m sì c§p
�ành ngh¾a
C¡c h m sau �¥y �÷ñc gåi l c¡c h m sì c§p cì b£n:
1 H m h¬ng2 H m lôy thøa y = xα
3 H m mô y = ax ; a > 0, a 6= 14 H m logarit y = logax ; (a > 0, a 6= 1)5 H m l÷ñng gi¡c6 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc7 H m hypebolic
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m sì c§p
�ành ngh¾a
C¡c h m sau �¥y �÷ñc gåi l c¡c h m sì c§p cì b£n:
1 H m h¬ng2 H m lôy thøa y = xα
3 H m mô y = ax ; a > 0, a 6= 1
4 H m logarit y = logax ; (a > 0, a 6= 1)5 H m l÷ñng gi¡c6 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc7 H m hypebolic
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m sì c§p
�ành ngh¾a
C¡c h m sau �¥y �÷ñc gåi l c¡c h m sì c§p cì b£n:
1 H m h¬ng2 H m lôy thøa y = xα
3 H m mô y = ax ; a > 0, a 6= 14 H m logarit y = logax ; (a > 0, a 6= 1)
5 H m l÷ñng gi¡c6 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc7 H m hypebolic
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m sì c§p
�ành ngh¾a
C¡c h m sau �¥y �÷ñc gåi l c¡c h m sì c§p cì b£n:
1 H m h¬ng2 H m lôy thøa y = xα
3 H m mô y = ax ; a > 0, a 6= 14 H m logarit y = logax ; (a > 0, a 6= 1)5 H m l÷ñng gi¡c
6 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc7 H m hypebolic
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m sì c§p
�ành ngh¾a
C¡c h m sau �¥y �÷ñc gåi l c¡c h m sì c§p cì b£n:
1 H m h¬ng2 H m lôy thøa y = xα
3 H m mô y = ax ; a > 0, a 6= 14 H m logarit y = logax ; (a > 0, a 6= 1)5 H m l÷ñng gi¡c6 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
7 H m hypebolic
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m sì c§p
�ành ngh¾a
C¡c h m sau �¥y �÷ñc gåi l c¡c h m sì c§p cì b£n:
1 H m h¬ng2 H m lôy thøa y = xα
3 H m mô y = ax ; a > 0, a 6= 14 H m logarit y = logax ; (a > 0, a 6= 1)5 H m l÷ñng gi¡c6 H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc7 H m hypebolic
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m sì c§p
�ành ngh¾a
H m sì c§p l h m thu �÷ñc tø c¡c h m sì c§p cì b£n b¬ng c¡chsû döng húu h¤n c¡c ph²p to¡n: Cëng, trø, nh¥n, chia, khai c«n v ph²p hñp.
-Y¶u c¦u sinh vi¶n æn l¤i t½nh ch§t cõa h m �a thùc, h m ph¥nthùc, h m mô, h m logarit, h m l÷ñng gi¡c.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m sì c§p
�ành ngh¾a
H m sì c§p l h m thu �÷ñc tø c¡c h m sì c§p cì b£n b¬ng c¡chsû döng húu h¤n c¡c ph²p to¡n: Cëng, trø, nh¥n, chia, khai c«n v ph²p hñp.
-Y¶u c¦u sinh vi¶n æn l¤i t½nh ch§t cõa h m �a thùc, h m ph¥nthùc, h m mô, h m logarit, h m l÷ñng gi¡c.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
X²t h m l÷ñng gi¡c y = sin x . Tr¶n �o¤n[−π
2; π2
], y = sin x l
h m 1-1. Do �â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arcsin x .
H¼nh: �ç thà h m sin v h m arcsin
Nhªn x²t v· mi·n x¡c �ành v mi·n gi¡ trà?
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
X²t h m l÷ñng gi¡c y = sin x . Tr¶n �o¤n[−π
2; π2
], y = sin x l
h m 1-1. Do �â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arcsin x .
H¼nh: �ç thà h m sin v h m arcsin
Nhªn x²t v· mi·n x¡c �ành v mi·n gi¡ trà?
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
X²t h m l÷ñng gi¡c y = sin x . Tr¶n �o¤n[−π
2; π2
], y = sin x l
h m 1-1. Do �â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arcsin x .
H¼nh: �ç thà h m sin v h m arcsin
Nhªn x²t v· mi·n x¡c �ành v mi·n gi¡ trà?� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
X²t h m l÷ñng gi¡c y = cos x . Tr¶n �o¤n [0;π], y = cos x l h m1-1. Do �â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arccos x .
H¼nh: �ç thà h m cos v h m arccos
Nhªn x²t v· mi·n x¡c �ành v mi·n gi¡ trà?
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
X²t h m l÷ñng gi¡c y = cos x . Tr¶n �o¤n [0;π], y = cos x l h m1-1. Do �â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arccos x .
H¼nh: �ç thà h m cos v h m arccos
Nhªn x²t v· mi·n x¡c �ành v mi·n gi¡ trà?
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
X²t h m l÷ñng gi¡c y = cos x . Tr¶n �o¤n [0;π], y = cos x l h m1-1. Do �â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arccos x .
H¼nh: �ç thà h m cos v h m arccos
Nhªn x²t v· mi·n x¡c �ành v mi·n gi¡ trà?� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
H m arcsinx
Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];Mi·n gi¡ trà
[−π
2; π2
]H m luæn luæn t«ng.H m arccosx
Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];Mi·n gi¡ trà [0;π]H m luæn luæn gi£m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
H m arcsinx
Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];
Mi·n gi¡ trà[−π
2; π2
]H m luæn luæn t«ng.H m arccosx
Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];Mi·n gi¡ trà [0;π]H m luæn luæn gi£m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
H m arcsinx
Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];Mi·n gi¡ trà
[−π
2; π2
]
H m luæn luæn t«ng.H m arccosx
Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];Mi·n gi¡ trà [0;π]H m luæn luæn gi£m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
H m arcsinx
Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];Mi·n gi¡ trà
[−π
2; π2
]H m luæn luæn t«ng.H m arccosx
Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];Mi·n gi¡ trà [0;π]H m luæn luæn gi£m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
H m arcsinx
Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];Mi·n gi¡ trà
[−π
2; π2
]H m luæn luæn t«ng.H m arccosx
Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];
Mi·n gi¡ trà [0;π]H m luæn luæn gi£m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
H m arcsinx
Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];Mi·n gi¡ trà
[−π
2; π2
]H m luæn luæn t«ng.H m arccosx
Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];Mi·n gi¡ trà [0;π]
H m luæn luæn gi£m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
H m arcsinx
Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];Mi·n gi¡ trà
[−π
2; π2
]H m luæn luæn t«ng.H m arccosx
Mi·n x¡c �ành:[−1; 1];Mi·n gi¡ trà [0;π]H m luæn luæn gi£m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
X²t h m l÷ñng gi¡c y = tan x . Tr¶n kho£ng(−π
2; π2
), y = tan x l
h m 1-1. Do �â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arctan x .
H¼nh: �ç thà h m tan v h m arctan
Nhªn x²t v· mi·n x¡c �ành v mi·n gi¡ trà?
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
X²t h m l÷ñng gi¡c y = tan x . Tr¶n kho£ng(−π
2; π2
), y = tan x l
h m 1-1. Do �â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arctan x .
H¼nh: �ç thà h m tan v h m arctan
Nhªn x²t v· mi·n x¡c �ành v mi·n gi¡ trà?
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
X²t h m l÷ñng gi¡c y = tan x . Tr¶n kho£ng(−π
2; π2
), y = tan x l
h m 1-1. Do �â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arctan x .
H¼nh: �ç thà h m tan v h m arctan
Nhªn x²t v· mi·n x¡c �ành v mi·n gi¡ trà?� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
X²t h m l÷ñng gi¡c y = cot x . Tr¶n kho£ng (0;π), y = cot x l h m 1-1. Do �â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arccotx .
H¼nh: �ç thà h m cot v h m arccot
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
X²t h m l÷ñng gi¡c y = cot x . Tr¶n kho£ng (0;π), y = cot x l h m 1-1. Do �â tçn t¤i h m ng÷ñc, kþ hi»u y = arccotx .
H¼nh: �ç thà h m cot v h m arccot
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
H m arctanx
Mi·n x¡c �ành:R ;Mi·n gi¡ trà
(−π2;π
2
)H m luæn luæn t«ng.H m arccotx
Mi·n x¡c �ành:R ;Mi·n gi¡ trà (0;π)H m luæn luæn gi£m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
H m arctanx
Mi·n x¡c �ành:R ;
Mi·n gi¡ trà(−π2;π
2
)H m luæn luæn t«ng.H m arccotx
Mi·n x¡c �ành:R ;Mi·n gi¡ trà (0;π)H m luæn luæn gi£m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
H m arctanx
Mi·n x¡c �ành:R ;Mi·n gi¡ trà
(−π2;π
2
)
H m luæn luæn t«ng.H m arccotx
Mi·n x¡c �ành:R ;Mi·n gi¡ trà (0;π)H m luæn luæn gi£m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
H m arctanx
Mi·n x¡c �ành:R ;Mi·n gi¡ trà
(−π2;π
2
)H m luæn luæn t«ng.H m arccotx
Mi·n x¡c �ành:R ;Mi·n gi¡ trà (0;π)H m luæn luæn gi£m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
H m arctanx
Mi·n x¡c �ành:R ;Mi·n gi¡ trà
(−π2;π
2
)H m luæn luæn t«ng.H m arccotx
Mi·n x¡c �ành:R ;
Mi·n gi¡ trà (0;π)H m luæn luæn gi£m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
H m arctanx
Mi·n x¡c �ành:R ;Mi·n gi¡ trà
(−π2;π
2
)H m luæn luæn t«ng.H m arccotx
Mi·n x¡c �ành:R ;Mi·n gi¡ trà (0;π)
H m luæn luæn gi£m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
C¡c h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc
H m arctanx
Mi·n x¡c �ành:R ;Mi·n gi¡ trà
(−π2;π
2
)H m luæn luæn t«ng.H m arccotx
Mi·n x¡c �ành:R ;Mi·n gi¡ trà (0;π)H m luæn luæn gi£m.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
H m Hyperbolic
�ành ngh¾a
Sin Hyperbolic: sinh x =ex − e−x
2
Cos Hyperbolic: cosh x =ex + e−x
2
Tan Hyperbolic: tanh x =sinh xcosh x
Cotan Hyperbolic: coth x =cosh xsinh x
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
H m Hyperbolic
H¼nh: �ç thà h m sinh v h m cosh
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
H m Hyperbolic
H¼nh: �ç thà h m tanh v h m coth
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
H m Hyperbolic
C¡c cæng thùc
cosh2a− sinh2a = 1sinh 2a = 2 sinh a cosh a; cosh 2a = cosh2a + sinh2acosh (a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh bcosh (a− b) = cosh a cosh b − sinh a sinh bsinh (a + b) = sinh a cosh b + sinh b cosh asinh (a− b) = sinh a cosh b − sinh b cosh a
v c¡c cæng thùc kh¡c. �º thu �÷ñc cæng thùc l÷ñng gi¡cHyperbolic tø cæng thùc l÷ñng gi¡c quen thuëc, ta thay cos bðicosh v sin bði isinh.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
H m Hyperbolic
C¡c cæng thùc
cosh2a− sinh2a = 1sinh 2a = 2 sinh a cosh a; cosh 2a = cosh2a + sinh2acosh (a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh bcosh (a− b) = cosh a cosh b − sinh a sinh bsinh (a + b) = sinh a cosh b + sinh b cosh asinh (a− b) = sinh a cosh b − sinh b cosh a
v c¡c cæng thùc kh¡c. �º thu �÷ñc cæng thùc l÷ñng gi¡cHyperbolic tø cæng thùc l÷ñng gi¡c quen thuëc, ta thay cos bðicosh v sin bði isinh.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
H m Hyperbolic
C¡c cæng thùc
cosh2a− sinh2a = 1sinh 2a = 2 sinh a cosh a; cosh 2a = cosh2a + sinh2acosh (a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh bcosh (a− b) = cosh a cosh b − sinh a sinh bsinh (a + b) = sinh a cosh b + sinh b cosh asinh (a− b) = sinh a cosh b − sinh b cosh a
v c¡c cæng thùc kh¡c. �º thu �÷ñc cæng thùc l÷ñng gi¡cHyperbolic tø cæng thùc l÷ñng gi¡c quen thuëc, ta thay cos bðicosh v sin bði isinh.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
H m cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè
Cho hai h m x = x(t); y = y(t) x¡c �ành trong mët l¥n cªn V n o�â cõa �iºm t0.Gi£ sû tçn t¤i h m ng÷ñc cõa x = x(t) l t = t(x).Khi �â tçn t¤i h m y = y(t(x)) v h m n y �÷ñc gåi l h m chobði ph÷ìng tr¼nh tham sè x = x(t) v y = y(t).
V½ dö: H m y = y(x) cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè:{x = 2 cos ty = 3 sin t
ch½nh l ph÷ìng tr¼nh ellipse:x2
4+y2
9= 1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
H m cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè
Cho hai h m x = x(t); y = y(t) x¡c �ành trong mët l¥n cªn V n o�â cõa �iºm t0.Gi£ sû tçn t¤i h m ng÷ñc cõa x = x(t) l t = t(x).Khi �â tçn t¤i h m y = y(t(x)) v h m n y �÷ñc gåi l h m chobði ph÷ìng tr¼nh tham sè x = x(t) v y = y(t).V½ dö: H m y = y(x) cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè:{
x = 2 cos ty = 3 sin t
ch½nh l ph÷ìng tr¼nh ellipse:x2
4+y2
9= 1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia ham so mot bien soDo thi cua ham soHam so nguoc va do thi cua ham so nguocCac ham so cap
H m cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè
Cho hai h m x = x(t); y = y(t) x¡c �ành trong mët l¥n cªn V n o�â cõa �iºm t0.Gi£ sû tçn t¤i h m ng÷ñc cõa x = x(t) l t = t(x).Khi �â tçn t¤i h m y = y(t(x)) v h m n y �÷ñc gåi l h m chobði ph÷ìng tr¼nh tham sè x = x(t) v y = y(t).V½ dö: H m y = y(x) cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè:{
x = 2 cos ty = 3 sin t
ch½nh l ph÷ìng tr¼nh ellipse:x2
4+y2
9= 1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
�ành ngh¾a d¢y sè
�ành ngh¾a
Mët h m f : N → N x¡c �ành trong tªp hñp c¡c sè tü nhi¶n N
�÷ñc gåi l mët d¢y sè.�°t u1 = f (1) ; u2 = f (2) ; ...; un = f (n) .... Sè un �÷ñc gåi l sèh¤ng têng qu¡t cõa d¢y sè. Kþ hi»u d¢y sè l {un}
C¡ch x¡c �ành mët d¢y sè
Câ thº x¡c �ành d¢y sè b¬ng c¡ch:
Cho cæng thùc têng qu¡t: un = f (n)
Cho cæng thùc truy chùng (truy hçi):u1 = a; u2 = b; un = f (un−1, un−2)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
�ành ngh¾a d¢y sè
�ành ngh¾a
Mët h m f : N → N x¡c �ành trong tªp hñp c¡c sè tü nhi¶n N
�÷ñc gåi l mët d¢y sè.�°t u1 = f (1) ; u2 = f (2) ; ...; un = f (n) .... Sè un �÷ñc gåi l sèh¤ng têng qu¡t cõa d¢y sè. Kþ hi»u d¢y sè l {un}
C¡ch x¡c �ành mët d¢y sè
Câ thº x¡c �ành d¢y sè b¬ng c¡ch:
Cho cæng thùc têng qu¡t: un = f (n)
Cho cæng thùc truy chùng (truy hçi):u1 = a; u2 = b; un = f (un−1, un−2)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
�ành ngh¾a
�ành ngh¾a
Sè a �÷ñc gåi l giîi h¤n cõa d¢y sè {un} n¸u
∀ε > 0,∃n0 (n > n0 ⇒ |un − a| < ε)
Kþ hi»u lim unn→+∞
= a
N¸u giîi h¤n cõa d¢y l húu h¤n th¼ d¢y �÷ñc gåi l d¢y hëi tö.Ng÷ñc l¤i d¢y �÷ñc gåi l d¢y ph¥n ký.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
�ành ngh¾a
�ành ngh¾a
Sè a �÷ñc gåi l giîi h¤n cõa d¢y sè {un} n¸u
∀ε > 0,∃n0 (n > n0 ⇒ |un − a| < ε)
Kþ hi»u lim unn→+∞
= a
N¸u giîi h¤n cõa d¢y l húu h¤n th¼ d¢y �÷ñc gåi l d¢y hëi tö.Ng÷ñc l¤i d¢y �÷ñc gåi l d¢y ph¥n ký.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
V½ dö
v½ dö
Dòng �ành ngh¾a chùng tä limn→+∞
n
n + 1= 1
ε > 0,∣∣∣∣ n
n + 1− 1∣∣∣∣ < ε⇔ 1
n + 1< ε⇔ n >
1e− 1
Chån sè tü nhi¶n n0 >1ε− 1
Khi �â ∀n > n0 : |un − 1| =∣∣∣∣ n
n + 1− 1∣∣∣∣ = 1
n + 1<
1n0 + 1
< ε
Vªy theo �ành ngh¾a ta câ: limn→+∞
n
n + 1= 1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
V½ dö
v½ dö
Dòng �ành ngh¾a chùng tä limn→+∞
n
n + 1= 1
ε > 0,∣∣∣∣ n
n + 1− 1∣∣∣∣ < ε⇔ 1
n + 1< ε⇔ n >
1e− 1
Chån sè tü nhi¶n n0 >1ε− 1
Khi �â ∀n > n0 : |un − 1| =∣∣∣∣ n
n + 1− 1∣∣∣∣ = 1
n + 1<
1n0 + 1
< ε
Vªy theo �ành ngh¾a ta câ: limn→+∞
n
n + 1= 1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
C¡c ph²p t½nh v· d¢y hëi tö
�ành lþ
N¸u d¢y {un} hëi tö �¸n a, d¢y {vn} hëi tö �¸n b th¼
1 D¢y têng {un + vn} hëi tö tîi a + b
2 D¢y t½ch {un.vn} hëi tö tîi a.b
3 D¢y nghàch �£o{
1vn
}hëi tö tîi
1bvîi �i·u ki»n b 6= 0
4 D¢y th÷ìngun
vnhëi tö tîi
a
bvîi �i·u ki»n b 6= 0
5 limn→∞
|un| = |a|
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
C¡c ph²p t½nh v· d¢y hëi tö
�ành lþ
N¸u d¢y {un} hëi tö �¸n a, d¢y {vn} hëi tö �¸n b th¼
1 D¢y têng {un + vn} hëi tö tîi a + b
2 D¢y t½ch {un.vn} hëi tö tîi a.b
3 D¢y nghàch �£o{
1vn
}hëi tö tîi
1bvîi �i·u ki»n b 6= 0
4 D¢y th÷ìngun
vnhëi tö tîi
a
bvîi �i·u ki»n b 6= 0
5 limn→∞
|un| = |a|
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
C¡c ph²p t½nh v· d¢y hëi tö
�ành lþ
N¸u d¢y {un} hëi tö �¸n a, d¢y {vn} hëi tö �¸n b th¼
1 D¢y têng {un + vn} hëi tö tîi a + b
2 D¢y t½ch {un.vn} hëi tö tîi a.b
3 D¢y nghàch �£o{
1vn
}hëi tö tîi
1bvîi �i·u ki»n b 6= 0
4 D¢y th÷ìngun
vnhëi tö tîi
a
bvîi �i·u ki»n b 6= 0
5 limn→∞
|un| = |a|
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
C¡c ph²p t½nh v· d¢y hëi tö
�ành lþ
N¸u d¢y {un} hëi tö �¸n a, d¢y {vn} hëi tö �¸n b th¼
1 D¢y têng {un + vn} hëi tö tîi a + b
2 D¢y t½ch {un.vn} hëi tö tîi a.b
3 D¢y nghàch �£o{
1vn
}hëi tö tîi
1bvîi �i·u ki»n b 6= 0
4 D¢y th÷ìngun
vnhëi tö tîi
a
bvîi �i·u ki»n b 6= 0
5 limn→∞
|un| = |a|
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
C¡c ph²p t½nh v· d¢y hëi tö
�ành lþ
N¸u d¢y {un} hëi tö �¸n a, d¢y {vn} hëi tö �¸n b th¼
1 D¢y têng {un + vn} hëi tö tîi a + b
2 D¢y t½ch {un.vn} hëi tö tîi a.b
3 D¢y nghàch �£o{
1vn
}hëi tö tîi
1bvîi �i·u ki»n b 6= 0
4 D¢y th÷ìngun
vnhëi tö tîi
a
bvîi �i·u ki»n b 6= 0
5 limn→∞
|un| = |a|
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
C¡c ph²p t½nh v· d¢y hëi tö
�ành lþ
N¸u d¢y {un} hëi tö �¸n a, d¢y {vn} hëi tö �¸n b th¼
1 D¢y têng {un + vn} hëi tö tîi a + b
2 D¢y t½ch {un.vn} hëi tö tîi a.b
3 D¢y nghàch �£o{
1vn
}hëi tö tîi
1bvîi �i·u ki»n b 6= 0
4 D¢y th÷ìngun
vnhëi tö tîi
a
bvîi �i·u ki»n b 6= 0
5 limn→∞
|un| = |a|
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Hai ti¶u chu©n �õ �º d¢y hëi tö
Ti¶u chu©n 1 - �ành lþ kµp
Cho 3 d¢y {un} , {vn} , {wn} sao cho∃n0, ∀n > n0 ⇒ vn ≤ un ≤ wn v {vn} , {wn} còng hëi tö �¸n a.Khi �â d¢y {un} công hëi tö tîi a.
Chùng minh
Cho ε > 0. V¼ {vn} , {wn} còng hëi tö �¸n a n¶n ∃n1, n2 ∈ N:{∀n > n1 ⇒ |vn| − a < ε∀n > n2 ⇒ |wn| − a < ε
. �°t n0 = max {n1, n2}. Khi �â ∀n > n0 ta câ{|vn − a| < ε|wn − a| < ε
⇒ −ε < vn − a < un − a < wn − a < ε
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Hai ti¶u chu©n �õ �º d¢y hëi tö
Ti¶u chu©n 1 - �ành lþ kµp
Cho 3 d¢y {un} , {vn} , {wn} sao cho∃n0, ∀n > n0 ⇒ vn ≤ un ≤ wn v {vn} , {wn} còng hëi tö �¸n a.Khi �â d¢y {un} công hëi tö tîi a.
Chùng minh
Cho ε > 0. V¼ {vn} , {wn} còng hëi tö �¸n a n¶n ∃n1, n2 ∈ N:{∀n > n1 ⇒ |vn| − a < ε∀n > n2 ⇒ |wn| − a < ε
. �°t n0 = max {n1, n2}. Khi �â ∀n > n0 ta câ{|vn − a| < ε|wn − a| < ε
⇒ −ε < vn − a < un − a < wn − a < ε
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Suy ra ∀n > n0, |un − a| < ε, hay limn→∞
un = a (dpcm).
H¼nh: Giîi h¤n kµp
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Suy ra ∀n > n0, |un − a| < ε, hay limn→∞
un = a (dpcm).
H¼nh: Giîi h¤n kµp
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Hai ti¶u chu©n �õ �º d¢y hëi tö
V½ dö
T½nh limn→∞
5n
nn
Gi£i:
Ta câ ∀n > 6, 0 <5n
nn<
5n
6n, m°t kh¡c lim
n→∞
5n
6n= lim
n→∞
(56
)n
= 0.
Vªy limn→∞
5n
nn= 0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Hai ti¶u chu©n �õ �º d¢y hëi tö
Ti¶u chu©n 2 - �ành lþ Weierstrass
Måi d¢y t«ng v bà ch°n tr¶n th¼ hëi tö. Måi d¢y gi£m v bà ch°nd÷îi th¼ hëi tö.
trong �â, c¡c kh¡i ni»m t«ng, bà ch°n �÷ñc gi£i th½ch nh÷ sau:
D¢y {un} �÷ñc gåi l �ìn �i»u t«ng n¸u ∀n ∈ N, un+1 ≥ un
D¢y {un} �÷ñc gåi l �ìn �i»u gi£m n¸u ∀n ∈ N, un+1 ≤ un
D¢y {un} �÷ñc gåi l bà ch°n tr¶n n¸u∃A ∈ R : ∀n ∈ N, un ≤ A
D¢y {un} �÷ñc gåi l bà ch°n d÷îi n¸u∃B ∈ R : ∀n ∈ N, un ≥ B
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Hai ti¶u chu©n �õ �º d¢y hëi tö
Ti¶u chu©n 2 - �ành lþ Weierstrass
Måi d¢y t«ng v bà ch°n tr¶n th¼ hëi tö. Måi d¢y gi£m v bà ch°nd÷îi th¼ hëi tö.
trong �â, c¡c kh¡i ni»m t«ng, bà ch°n �÷ñc gi£i th½ch nh÷ sau:
D¢y {un} �÷ñc gåi l �ìn �i»u t«ng n¸u ∀n ∈ N, un+1 ≥ un
D¢y {un} �÷ñc gåi l �ìn �i»u gi£m n¸u ∀n ∈ N, un+1 ≤ un
D¢y {un} �÷ñc gåi l bà ch°n tr¶n n¸u∃A ∈ R : ∀n ∈ N, un ≤ A
D¢y {un} �÷ñc gåi l bà ch°n d÷îi n¸u∃B ∈ R : ∀n ∈ N, un ≥ B
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Hai ti¶u chu©n �õ �º d¢y hëi tö
Ti¶u chu©n 2 - �ành lþ Weierstrass
Måi d¢y t«ng v bà ch°n tr¶n th¼ hëi tö. Måi d¢y gi£m v bà ch°nd÷îi th¼ hëi tö.
trong �â, c¡c kh¡i ni»m t«ng, bà ch°n �÷ñc gi£i th½ch nh÷ sau:
D¢y {un} �÷ñc gåi l �ìn �i»u t«ng n¸u ∀n ∈ N, un+1 ≥ un
D¢y {un} �÷ñc gåi l �ìn �i»u gi£m n¸u ∀n ∈ N, un+1 ≤ un
D¢y {un} �÷ñc gåi l bà ch°n tr¶n n¸u∃A ∈ R : ∀n ∈ N, un ≤ A
D¢y {un} �÷ñc gåi l bà ch°n d÷îi n¸u∃B ∈ R : ∀n ∈ N, un ≥ B
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Hai ti¶u chu©n �õ �º d¢y hëi tö
Ti¶u chu©n 2 - �ành lþ Weierstrass
Måi d¢y t«ng v bà ch°n tr¶n th¼ hëi tö. Måi d¢y gi£m v bà ch°nd÷îi th¼ hëi tö.
trong �â, c¡c kh¡i ni»m t«ng, bà ch°n �÷ñc gi£i th½ch nh÷ sau:
D¢y {un} �÷ñc gåi l �ìn �i»u t«ng n¸u ∀n ∈ N, un+1 ≥ un
D¢y {un} �÷ñc gåi l �ìn �i»u gi£m n¸u ∀n ∈ N, un+1 ≤ un
D¢y {un} �÷ñc gåi l bà ch°n tr¶n n¸u∃A ∈ R : ∀n ∈ N, un ≤ A
D¢y {un} �÷ñc gåi l bà ch°n d÷îi n¸u∃B ∈ R : ∀n ∈ N, un ≥ B
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Hai ti¶u chu©n �õ �º d¢y hëi tö
Ti¶u chu©n 2 - �ành lþ Weierstrass
Måi d¢y t«ng v bà ch°n tr¶n th¼ hëi tö. Måi d¢y gi£m v bà ch°nd÷îi th¼ hëi tö.
trong �â, c¡c kh¡i ni»m t«ng, bà ch°n �÷ñc gi£i th½ch nh÷ sau:
D¢y {un} �÷ñc gåi l �ìn �i»u t«ng n¸u ∀n ∈ N, un+1 ≥ un
D¢y {un} �÷ñc gåi l �ìn �i»u gi£m n¸u ∀n ∈ N, un+1 ≤ un
D¢y {un} �÷ñc gåi l bà ch°n tr¶n n¸u∃A ∈ R : ∀n ∈ N, un ≤ A
D¢y {un} �÷ñc gåi l bà ch°n d÷îi n¸u∃B ∈ R : ∀n ∈ N, un ≥ B
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Hai ti¶u chu©n �õ �º d¢y hëi tö
V½ dö - Sè e
limn→∞
(1 +
1n
)n
= e
Sû döng nhà thù newton:(1 +
1n
)n
= ... = 1 + 1 +12!
(1− 1
n
)+
13!
(1− 1
n
)(1− 2
n
)+
...+1n!
(1− 1
n
)(1− 2
n
)...
(1− n − 1
n
)V¼ 1− s
n< 1− s
n + 1n¶n un < un+1. Vªy d¢y t«ng.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Hai ti¶u chu©n �õ �º d¢y hëi tö
V½ dö - Sè e
limn→∞
(1 +
1n
)n
= e
Sû döng nhà thù newton:(1 +
1n
)n
= ... = 1 + 1 +12!
(1− 1
n
)+
13!
(1− 1
n
)(1− 2
n
)+
...+1n!
(1− 1
n
)(1− 2
n
)...
(1− n − 1
n
)
V¼ 1− s
n< 1− s
n + 1n¶n un < un+1. Vªy d¢y t«ng.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Hai ti¶u chu©n �õ �º d¢y hëi tö
V½ dö - Sè e
limn→∞
(1 +
1n
)n
= e
Sû döng nhà thù newton:(1 +
1n
)n
= ... = 1 + 1 +12!
(1− 1
n
)+
13!
(1− 1
n
)(1− 2
n
)+
...+1n!
(1− 1
n
)(1− 2
n
)...
(1− n − 1
n
)V¼ 1− s
n< 1− s
n + 1n¶n un < un+1. Vªy d¢y t«ng.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
V½ dö - Sè e
Ta câ 1− s
n< 1 v
1n!≤ 1
2n−1∀n = 1, 2, 3...
⇒ un < 2+12!
+13!
+...+1n!≤ 2+
12+
122
+...+1
2n−1≤ 2+1− 1
2n−1< 3
Vªy d¢y bà ch°n v t«ng n¶n d¢y hëi tö.
Giîi h¤n cõa d¢y n y �÷ñc kþ hi»u l sè e, v ng÷íi ta chùng minh�÷ñc e l sè væ t�. e ≈ 2.718281828
limn→∞
(1 +
1n
)n
= e
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
V½ dö - Sè e
Ta câ 1− s
n< 1 v
1n!≤ 1
2n−1∀n = 1, 2, 3...
⇒ un < 2+12!
+13!
+...+1n!≤ 2+
12+
122
+...+1
2n−1≤ 2+1− 1
2n−1< 3
Vªy d¢y bà ch°n v t«ng n¶n d¢y hëi tö.Giîi h¤n cõa d¢y n y �÷ñc kþ hi»u l sè e, v ng÷íi ta chùng minh�÷ñc e l sè væ t�. e ≈ 2.718281828
limn→∞
(1 +
1n
)n
= e
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Giîi h¤n væ còng cõa d¢y
�ành ngh¾a
Ta nâi {un} câ giîi h¤n +∞ n¸u
∀A > 0, ∃n0 ∈ N (n > n0 ⇒ un > A)
Ta nâi {un} câ giîi h¤n −∞ n¸u
∀B < 0, ∃n0 ∈ N (n > n0 ⇒ un < B)
Ta câ:un → +∞, vn → +∞⇒ un + vn → +∞; unvn → +∞un → −∞, vn → −∞⇒ un + vn → −∞; unvn → +∞un → +∞, vn → −∞⇒ unvn → −∞un → a > 0, vn → +∞⇒ unvn → +∞
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Giîi h¤n væ còng cõa d¢y
�ành ngh¾a
Ta nâi {un} câ giîi h¤n +∞ n¸u
∀A > 0, ∃n0 ∈ N (n > n0 ⇒ un > A)
Ta nâi {un} câ giîi h¤n −∞ n¸u
∀B < 0, ∃n0 ∈ N (n > n0 ⇒ un < B)
Ta câ:un → +∞, vn → +∞⇒ un + vn → +∞; unvn → +∞un → −∞, vn → −∞⇒ un + vn → −∞; unvn → +∞un → +∞, vn → −∞⇒ unvn → −∞un → a > 0, vn → +∞⇒ unvn → +∞
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Giîi h¤n væ còng cõa d¢y
�ành ngh¾a
Ta nâi {un} câ giîi h¤n +∞ n¸u
∀A > 0, ∃n0 ∈ N (n > n0 ⇒ un > A)
Ta nâi {un} câ giîi h¤n −∞ n¸u
∀B < 0, ∃n0 ∈ N (n > n0 ⇒ un < B)
Ta câ:un → +∞, vn → +∞⇒ un + vn → +∞; unvn → +∞
un → −∞, vn → −∞⇒ un + vn → −∞; unvn → +∞un → +∞, vn → −∞⇒ unvn → −∞un → a > 0, vn → +∞⇒ unvn → +∞
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Giîi h¤n væ còng cõa d¢y
�ành ngh¾a
Ta nâi {un} câ giîi h¤n +∞ n¸u
∀A > 0, ∃n0 ∈ N (n > n0 ⇒ un > A)
Ta nâi {un} câ giîi h¤n −∞ n¸u
∀B < 0, ∃n0 ∈ N (n > n0 ⇒ un < B)
Ta câ:un → +∞, vn → +∞⇒ un + vn → +∞; unvn → +∞un → −∞, vn → −∞⇒ un + vn → −∞; unvn → +∞
un → +∞, vn → −∞⇒ unvn → −∞un → a > 0, vn → +∞⇒ unvn → +∞
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Giîi h¤n væ còng cõa d¢y
�ành ngh¾a
Ta nâi {un} câ giîi h¤n +∞ n¸u
∀A > 0, ∃n0 ∈ N (n > n0 ⇒ un > A)
Ta nâi {un} câ giîi h¤n −∞ n¸u
∀B < 0, ∃n0 ∈ N (n > n0 ⇒ un < B)
Ta câ:un → +∞, vn → +∞⇒ un + vn → +∞; unvn → +∞un → −∞, vn → −∞⇒ un + vn → −∞; unvn → +∞un → +∞, vn → −∞⇒ unvn → −∞
un → a > 0, vn → +∞⇒ unvn → +∞
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghia day soGioi han cua day so
Giîi h¤n væ còng cõa d¢y
�ành ngh¾a
Ta nâi {un} câ giîi h¤n +∞ n¸u
∀A > 0, ∃n0 ∈ N (n > n0 ⇒ un > A)
Ta nâi {un} câ giîi h¤n −∞ n¸u
∀B < 0, ∃n0 ∈ N (n > n0 ⇒ un < B)
Ta câ:un → +∞, vn → +∞⇒ un + vn → +∞; unvn → +∞un → −∞, vn → −∞⇒ un + vn → −∞; unvn → +∞un → +∞, vn → −∞⇒ unvn → −∞un → a > 0, vn → +∞⇒ unvn → +∞
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
�ành ngh¾a
�ành ngh¾a
H m f (x) câ giîi h¤n l h khi x → a n¸u
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ D, |x − a| < δ ⇒ |f (x)− h| < ε
Kþ hi»u limx→a
f (x) = h
Chó þ
Trong �ành ngh¾a khæng �ái häi l f (x) ph£i x¡c �ành t¤i x = a.V½ dö:
limx→1
2(x2 − 1
)x − 1
= 4
m°c dò f (x) khæng x¡c �ành t¤i x = 1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
�ành ngh¾a
�ành ngh¾a
H m f (x) câ giîi h¤n l h khi x → a n¸u
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ D, |x − a| < δ ⇒ |f (x)− h| < ε
Kþ hi»u limx→a
f (x) = h
Chó þ
Trong �ành ngh¾a khæng �ái häi l f (x) ph£i x¡c �ành t¤i x = a.
V½ dö:
limx→1
2(x2 − 1
)x − 1
= 4
m°c dò f (x) khæng x¡c �ành t¤i x = 1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
�ành ngh¾a
�ành ngh¾a
H m f (x) câ giîi h¤n l h khi x → a n¸u
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ D, |x − a| < δ ⇒ |f (x)− h| < ε
Kþ hi»u limx→a
f (x) = h
Chó þ
Trong �ành ngh¾a khæng �ái häi l f (x) ph£i x¡c �ành t¤i x = a.V½ dö:
limx→1
2(x2 − 1
)x − 1
= 4
m°c dò f (x) khæng x¡c �ành t¤i x = 1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
�ành ngh¾a giîi h¤n ð væ còng
�ành ngh¾a
limx→+∞
= a⇔ ∀ε > 0,∃N > 0 : ∀x > N, |f (x)− a| < ε
�ành ngh¾a
limx→−∞
= a⇔ ∀ε > 0, ∃N < 0 : ∀x < N, |f (x)− a| < ε
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
�ành ngh¾a giîi h¤n ð væ còng
�ành ngh¾a
limx→+∞
= a⇔ ∀ε > 0,∃N > 0 : ∀x > N, |f (x)− a| < ε
�ành ngh¾a
limx→−∞
= a⇔ ∀ε > 0, ∃N < 0 : ∀x < N, |f (x)− a| < ε
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
�ành ngh¾a giîi h¤n ð væ còng
H¼nh: Giîi h¤n ð væ còng
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
�ành ngh¾a giîi h¤n ð væ còng
H¼nh: Giîi h¤n ð væ còng
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
�ành ngh¾a giîi h¤n væ còng
�ành ngh¾a
limx→x0
f (x) = +∞⇔ ∀M > 0,∃δ > 0 : ∀x ∈ Df , |x − x0| < δ ⇒f (x) > M.
�ành ngh¾a
limx→x0
f (x) = −∞⇔ ∀N < 0,∃δ > 0 : ∀x ∈ Df , |x − x0| < δ ⇒f (x) < N.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
�ành ngh¾a giîi h¤n væ còng
�ành ngh¾a
limx→x0
f (x) = +∞⇔ ∀M > 0,∃δ > 0 : ∀x ∈ Df , |x − x0| < δ ⇒f (x) > M.
�ành ngh¾a
limx→x0
f (x) = −∞⇔ ∀N < 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ Df , |x − x0| < δ ⇒f (x) < N.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
C¡c t½nh ch§t cõa giîi h¤n
�ành lþ 1
N¸u f (x) ≥ 0 trong mët l¥n cªn cõa �iºm a v limx→a
f (x) = h th¼
h ≥ 0.
�ành lþ 2
Gi£ sû limx→a
f (x) = h; limx→a
g (x) = k . Khi �â ta câ:
1 limx→a
(f (x) + g (x)) = h + k
2 limx→a
mf (x) = mh (m l h¬ng sè)
3 limx→a
f (x) g (x) = hk
4 limx→a
f (x)
g (x)=
h
k, k 6= 0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
C¡c t½nh ch§t cõa giîi h¤n
�ành lþ 1
N¸u f (x) ≥ 0 trong mët l¥n cªn cõa �iºm a v limx→a
f (x) = h th¼
h ≥ 0.
�ành lþ 2
Gi£ sû limx→a
f (x) = h; limx→a
g (x) = k . Khi �â ta câ:
1 limx→a
(f (x) + g (x)) = h + k
2 limx→a
mf (x) = mh (m l h¬ng sè)
3 limx→a
f (x) g (x) = hk
4 limx→a
f (x)
g (x)=
h
k, k 6= 0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
C¡c t½nh ch§t cõa giîi h¤n
�ành lþ 1
N¸u f (x) ≥ 0 trong mët l¥n cªn cõa �iºm a v limx→a
f (x) = h th¼
h ≥ 0.
�ành lþ 2
Gi£ sû limx→a
f (x) = h; limx→a
g (x) = k . Khi �â ta câ:
1 limx→a
(f (x) + g (x)) = h + k
2 limx→a
mf (x) = mh (m l h¬ng sè)
3 limx→a
f (x) g (x) = hk
4 limx→a
f (x)
g (x)=
h
k, k 6= 0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
C¡c t½nh ch§t cõa giîi h¤n
�ành lþ 1
N¸u f (x) ≥ 0 trong mët l¥n cªn cõa �iºm a v limx→a
f (x) = h th¼
h ≥ 0.
�ành lþ 2
Gi£ sû limx→a
f (x) = h; limx→a
g (x) = k . Khi �â ta câ:
1 limx→a
(f (x) + g (x)) = h + k
2 limx→a
mf (x) = mh (m l h¬ng sè)
3 limx→a
f (x) g (x) = hk
4 limx→a
f (x)
g (x)=
h
k, k 6= 0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
C¡c t½nh ch§t cõa giîi h¤n
�ành lþ 1
N¸u f (x) ≥ 0 trong mët l¥n cªn cõa �iºm a v limx→a
f (x) = h th¼
h ≥ 0.
�ành lþ 2
Gi£ sû limx→a
f (x) = h; limx→a
g (x) = k . Khi �â ta câ:
1 limx→a
(f (x) + g (x)) = h + k
2 limx→a
mf (x) = mh (m l h¬ng sè)
3 limx→a
f (x) g (x) = hk
4 limx→a
f (x)
g (x)=
h
k, k 6= 0
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
C¡c t½nh ch§t cõa giîi h¤n
M»nh �· limx→x0
u(x) = a > 0
limx→x0
v(x) = b⇒ lim
x→x0
(u(x))v(x) = ab
Chùng minh:
limx→x0
(u(x))v(x) = limx→x0
ev(x) ln(u(x)) =
= elim
x→x0
v(x) ln(u(x))= eb ln a = ab.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
C¡c t½nh ch§t cõa giîi h¤n
M»nh �· limx→x0
u(x) = a > 0
limx→x0
v(x) = b⇒ lim
x→x0
(u(x))v(x) = ab
Chùng minh:
limx→x0
(u(x))v(x) = limx→x0
ev(x) ln(u(x)) =
= elim
x→x0
v(x) ln(u(x))= eb ln a = ab.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
C¡c t½nh ch§t cõa giîi h¤n
M»nh �· limx→x0
u(x) = a > 0
limx→x0
v(x) = b⇒ lim
x→x0
(u(x))v(x) = ab
Chùng minh:
limx→x0
(u(x))v(x) = limx→x0
ev(x) ln(u(x)) =
= elim
x→x0
v(x) ln(u(x))= eb ln a = ab.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
C¡c giîi h¤n cì b£n th÷íng g°p khi x → 0
H¼nh: Giîi h¤n th÷íng g°p� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
C¡c giîi h¤n cì b£n th÷íng g°p khi x →∞
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
C¡c d¤ng væ �ành
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
L֖ng VCB
�ành ngh¾a
limx→a
f (x) = 0⇒ f (x) �÷ñc gåi l VCB ð l¥n cªn cõa a
V½ dö
limx→0
ln (1 + 3x) = 0 n¶n f (x) = ln (1 + 3x) l VCB ð l¥n cªn cõa 0.
limx→0
sin 5x = 0 n¶n f (x) = sin 5x l VCB ð l¥n cªn cõa 0.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
L֖ng VCB
�ành ngh¾a
limx→a
f (x) = 0⇒ f (x) �÷ñc gåi l VCB ð l¥n cªn cõa a
V½ dö
limx→0
ln (1 + 3x) = 0 n¶n f (x) = ln (1 + 3x) l VCB ð l¥n cªn cõa 0.
limx→0
sin 5x = 0 n¶n f (x) = sin 5x l VCB ð l¥n cªn cõa 0.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
L֖ng VCB
�ành ngh¾a
limx→a
f (x) = 0⇒ f (x) �÷ñc gåi l VCB ð l¥n cªn cõa a
V½ dö
limx→0
ln (1 + 3x) = 0 n¶n f (x) = ln (1 + 3x) l VCB ð l¥n cªn cõa 0.
limx→0
sin 5x = 0 n¶n f (x) = sin 5x l VCB ð l¥n cªn cõa 0.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
T½nh ch§t cõa VCB
T½nh ch§t cõa VCB
1 Têng húu h¤n c¡c VCB l mët VCB
2 T½ch cõa hai VCB l mët VCB3 T½ch cõa mët VCB v mët h m bà ch°n l mët VCB4 Th÷ìng cõa hai VCB câ thº khæng l VCB
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
T½nh ch§t cõa VCB
T½nh ch§t cõa VCB
1 Têng húu h¤n c¡c VCB l mët VCB2 T½ch cõa hai VCB l mët VCB
3 T½ch cõa mët VCB v mët h m bà ch°n l mët VCB4 Th÷ìng cõa hai VCB câ thº khæng l VCB
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
T½nh ch§t cõa VCB
T½nh ch§t cõa VCB
1 Têng húu h¤n c¡c VCB l mët VCB2 T½ch cõa hai VCB l mët VCB3 T½ch cõa mët VCB v mët h m bà ch°n l mët VCB
4 Th÷ìng cõa hai VCB câ thº khæng l VCB
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
T½nh ch§t cõa VCB
T½nh ch§t cõa VCB
1 Têng húu h¤n c¡c VCB l mët VCB2 T½ch cõa hai VCB l mët VCB3 T½ch cõa mët VCB v mët h m bà ch°n l mët VCB4 Th÷ìng cõa hai VCB câ thº khæng l VCB
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
So s¡nh c¡c VCB
So s¡nh c¡c VCB
f (x), g(x) l c¡c VCB khi x → a.
N¸u limx→a
f (x)
g (x)= 0 th¼ f l VCB c§p cao hìn g .
N¸u limx→a
f (x)
g (x)= k 6= 0 th¼ f v g l hai VCB còng c§p.
�°c bi»t, n¸u k = 1 th¼ f v g l hai VCB t÷ìng �÷ìng, kþ hi»uf ∼ g .
V½ dö
limx→0
1− cos 2xx
= limx→0
2sin2xx
= 0⇒ 1− cos 2x l VCB c§p cao
hìn x khi x → 0
limx→1
x3 − 1x − 1
= 3⇒ x3 − 1 l VCB còng bªc vîi x − 1 khi x → 1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
So s¡nh c¡c VCB
So s¡nh c¡c VCB
f (x), g(x) l c¡c VCB khi x → a.
N¸u limx→a
f (x)
g (x)= 0 th¼ f l VCB c§p cao hìn g .
N¸u limx→a
f (x)
g (x)= k 6= 0 th¼ f v g l hai VCB còng c§p.
�°c bi»t, n¸u k = 1 th¼ f v g l hai VCB t÷ìng �÷ìng, kþ hi»uf ∼ g .
V½ dö
limx→0
1− cos 2xx
= limx→0
2sin2xx
= 0⇒ 1− cos 2x l VCB c§p cao
hìn x khi x → 0
limx→1
x3 − 1x − 1
= 3⇒ x3 − 1 l VCB còng bªc vîi x − 1 khi x → 1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
So s¡nh c¡c VCB
So s¡nh c¡c VCB
f (x), g(x) l c¡c VCB khi x → a.
N¸u limx→a
f (x)
g (x)= 0 th¼ f l VCB c§p cao hìn g .
N¸u limx→a
f (x)
g (x)= k 6= 0 th¼ f v g l hai VCB còng c§p.
�°c bi»t, n¸u k = 1 th¼ f v g l hai VCB t÷ìng �÷ìng, kþ hi»uf ∼ g .
V½ dö
limx→0
1− cos 2xx
= limx→0
2sin2xx
= 0⇒ 1− cos 2x l VCB c§p cao
hìn x khi x → 0
limx→1
x3 − 1x − 1
= 3⇒ x3 − 1 l VCB còng bªc vîi x − 1 khi x → 1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
So s¡nh c¡c VCB
So s¡nh c¡c VCB
f (x), g(x) l c¡c VCB khi x → a.
N¸u limx→a
f (x)
g (x)= 0 th¼ f l VCB c§p cao hìn g .
N¸u limx→a
f (x)
g (x)= k 6= 0 th¼ f v g l hai VCB còng c§p.
�°c bi»t, n¸u k = 1 th¼ f v g l hai VCB t÷ìng �÷ìng, kþ hi»uf ∼ g .
V½ dö
limx→0
1− cos 2xx
= limx→0
2sin2xx
= 0⇒ 1− cos 2x l VCB c§p cao
hìn x khi x → 0
limx→1
x3 − 1x − 1
= 3⇒ x3 − 1 l VCB còng bªc vîi x − 1 khi x → 1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
So s¡nh c¡c VCB
So s¡nh c¡c VCB
f (x), g(x) l c¡c VCB khi x → a.
N¸u limx→a
f (x)
g (x)= 0 th¼ f l VCB c§p cao hìn g .
N¸u limx→a
f (x)
g (x)= k 6= 0 th¼ f v g l hai VCB còng c§p.
�°c bi»t, n¸u k = 1 th¼ f v g l hai VCB t÷ìng �÷ìng, kþ hi»uf ∼ g .
V½ dö
limx→0
1− cos 2xx
= limx→0
2sin2xx
= 0⇒ 1− cos 2x l VCB c§p cao
hìn x khi x → 0
limx→1
x3 − 1x − 1
= 3⇒ x3 − 1 l VCB còng bªc vîi x − 1 khi x → 1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
So s¡nh c¡c VCB
So s¡nh c¡c VCB
f (x), g(x) l c¡c VCB khi x → a.
N¸u limx→a
f (x)
g (x)= 0 th¼ f l VCB c§p cao hìn g .
N¸u limx→a
f (x)
g (x)= k 6= 0 th¼ f v g l hai VCB còng c§p.
�°c bi»t, n¸u k = 1 th¼ f v g l hai VCB t÷ìng �÷ìng, kþ hi»uf ∼ g .
V½ dö
limx→0
1− cos 2xx
= limx→0
2sin2xx
= 0⇒ 1− cos 2x l VCB c§p cao
hìn x khi x → 0
limx→1
x3 − 1x − 1
= 3⇒ x3 − 1 l VCB còng bªc vîi x − 1 khi x → 1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
C¡c væ còng b² t÷ìng �÷ìng th÷íng g°p
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
Ùng döng t½nh giîi h¤n
Quy tc 1
Gi£ sû f1 (x) , f2 (x) , g1 (x) , g2 (x) l c¡c VCB khi x → a(∞), Khi�â n¸u f1 (x) ∼ f2 (x) ; g1 (x) ∼ g2 (x) th¼
limx→a
f1 (x)
g1 (x)= lim
x→a
f2 (x)
g2 (x)
Quy tc 2
limx→a
TonghuuhancacVCBcuatu
TonghuuhancacVCBcuamau= lim
x→a
VCBbacthapnhatcuatu
VCBbacthapnhatcuamau
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
Ùng döng t½nh giîi h¤n
Quy tc 1
Gi£ sû f1 (x) , f2 (x) , g1 (x) , g2 (x) l c¡c VCB khi x → a(∞), Khi�â n¸u f1 (x) ∼ f2 (x) ; g1 (x) ∼ g2 (x) th¼
limx→a
f1 (x)
g1 (x)= lim
x→a
f2 (x)
g2 (x)
Quy tc 2
limx→a
TonghuuhancacVCBcuatu
TonghuuhancacVCBcuamau= lim
x→a
VCBbacthapnhatcuatu
VCBbacthapnhatcuamau
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
Ùng döng t½nh giîi h¤n
V½ dö
T½nh giîi h¤n I = limx→0
ln(1 + x tan x)x2 + sin3x
J = limx→0
ln(cos x)ln(1 + x2)
ln(1 + x tan x) ∼ x tan x ∼ x2; x2 + sin3x ∼ x2
⇒ I = limx→0
ln(1 + x tan x)x2 + sin3x
= limx→0
x2
x2= 1
J = limx→0
ln(1 + cos x − 1)ln(1 + x2)
= limx→0
cos x − 1x2
= limx→0
−x2/2x2
= −12
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
Ùng döng t½nh giîi h¤n
V½ dö
T½nh giîi h¤n I = limx→0
ln(1 + x tan x)x2 + sin3x
J = limx→0
ln(cos x)ln(1 + x2)
ln(1 + x tan x) ∼ x tan x ∼ x2; x2 + sin3x ∼ x2
⇒ I = limx→0
ln(1 + x tan x)x2 + sin3x
= limx→0
x2
x2= 1
J = limx→0
ln(1 + cos x − 1)ln(1 + x2)
= limx→0
cos x − 1x2
= limx→0
−x2/2x2
= −12
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
Ùng döng t½nh giîi h¤n
V½ dö
T½nh giîi h¤n I = limx→0
ln(1 + x tan x)x2 + sin3x
J = limx→0
ln(cos x)ln(1 + x2)
ln(1 + x tan x) ∼ x tan x ∼ x2; x2 + sin3x ∼ x2
⇒ I = limx→0
ln(1 + x tan x)x2 + sin3x
= limx→0
x2
x2= 1
J = limx→0
ln(1 + cos x − 1)ln(1 + x2)
= limx→0
cos x − 1x2
= limx→0
−x2/2x2
= −12
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
Ùng döng t½nh giîi h¤n
V½ dö
T½nh c¡c giîi h¤n K = limx→0
ex2 − cos xsin2x
L = limx→0
esin 5x − esin x
ln(1 + 2x); M = lim
x→1
sin(ex−1 − 1
)ln x
N = limx→0
esinh 3x − esinh x
tan x; P = lim
x→0
(ex − 1) (cos x − 1)sin3x + 2x4
Q = limx→+∞
x2 · e1/x2 − cos(1/x)
arctan x
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
Chó þ
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
Chó þ
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
Væ còng lîn
�ành ngh¾a
H m sè y=f(x) �÷ñc gåi l mët Væ còng lîn (VCL) khi x → x0n¸u lim
x→x0
|f (x)| = +∞.
V½ dö:f (x) = 2x2 + 3 cos x l mët VCL khi x →∞ v¼limx→∞
∣∣2x2 + 3 cos x∣∣ = +∞.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
Væ còng lîn
�ành ngh¾a
H m sè y=f(x) �÷ñc gåi l mët Væ còng lîn (VCL) khi x → x0n¸u lim
x→x0
|f (x)| = +∞.
V½ dö:f (x) = 2x2 + 3 cos x l mët VCL khi x →∞ v¼limx→∞
∣∣2x2 + 3 cos x∣∣ = +∞.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
So s¡nh hai Væ còng lîn
Cho f(x) v g(x) l hai VCL khi x → x0. Gi£ sû limx→x0
f (x)
g(x)= k
1 N¸u k =∞ th¼ f(x) gåi l VCL bªc cao hìn g(x).
f (x) = O(g(x))
2 N¸u k húu h¤n, kh¡c khæng th¼ ta nâi f(x) v g(x) l hai VCLcòng c§p.
3 N¸u k = 1 th¼ f(x) v g(x) l hai VCL t÷ìng �÷ìng.f (x) ≈ g(x)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
So s¡nh hai Væ còng lîn
Cho f(x) v g(x) l hai VCL khi x → x0. Gi£ sû limx→x0
f (x)
g(x)= k
1 N¸u k =∞ th¼ f(x) gåi l VCL bªc cao hìn g(x).
f (x) = O(g(x))
2 N¸u k húu h¤n, kh¡c khæng th¼ ta nâi f(x) v g(x) l hai VCLcòng c§p.
3 N¸u k = 1 th¼ f(x) v g(x) l hai VCL t÷ìng �÷ìng.f (x) ≈ g(x)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
So s¡nh hai Væ còng lîn
Cho f(x) v g(x) l hai VCL khi x → x0. Gi£ sû limx→x0
f (x)
g(x)= k
1 N¸u k =∞ th¼ f(x) gåi l VCL bªc cao hìn g(x).
f (x) = O(g(x))
2 N¸u k húu h¤n, kh¡c khæng th¼ ta nâi f(x) v g(x) l hai VCLcòng c§p.
3 N¸u k = 1 th¼ f(x) v g(x) l hai VCL t÷ìng �÷ìng.f (x) ≈ g(x)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
So s¡nh hai Væ còng lîn
Cho f(x) v g(x) l hai VCL khi x → x0. Gi£ sû limx→x0
f (x)
g(x)= k
1 N¸u k =∞ th¼ f(x) gåi l VCL bªc cao hìn g(x).
f (x) = O(g(x))
2 N¸u k húu h¤n, kh¡c khæng th¼ ta nâi f(x) v g(x) l hai VCLcòng c§p.
3 N¸u k = 1 th¼ f(x) v g(x) l hai VCL t÷ìng �÷ìng.f (x) ≈ g(x)
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
Ùng döng t½nh giîi h¤n
Quy tc ngt bä VCL
limx→x0
TonghuuhancacVCL
TonghuuhancacVCL= lim
x→x0
VCLbaccaonhatcuatu
VCLbaccaonhatcuamau
V½ dö
I = limx→+∞
√x2 + 4 + 2x + 3
√x√
x2 − 4 + x
Tû l têng cõa ba VCL:√x2 + 4 + 2x + 3
√xx→+∞∼ 3x
M¨u l têng cõa hai VCL:√x2 − 4 + x
x→+∞∼ 2x
I = limx→+∞
3x2x
=32
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
Ùng döng t½nh giîi h¤n
Quy tc ngt bä VCL
limx→x0
TonghuuhancacVCL
TonghuuhancacVCL= lim
x→x0
VCLbaccaonhatcuatu
VCLbaccaonhatcuamau
V½ dö
I = limx→+∞
√x2 + 4 + 2x + 3
√x√
x2 − 4 + x
Tû l têng cõa ba VCL:√x2 + 4 + 2x + 3
√xx→+∞∼ 3x
M¨u l têng cõa hai VCL:√x2 − 4 + x
x→+∞∼ 2x
I = limx→+∞
3x2x
=32
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
�ành ngh¾a
H m li¶n töc t¤i mët �iºm
H m y = f (x) �÷ñc gåi l li¶n töc t¤i x0 n¸u x¡c �ành t¤i �iºm n yv lim
x→x0
f (x) = f (x0).
H m gi¡n �o¤n t¤i mët �iºm
N¸u h m y = f (x) khæng li¶n töc t¤i �iºm x0 ta nâi h m gi¡n�o¤n t¤i �iºm x0
H m li¶n töc tr¶n �o¤n k½n
Ta nâi y = f (x) li¶n töc tr¶n [a; b] n¸u f (x) li¶n töc t¤i måi �iºmx ∈ (a; b) v li¶n töc ph£i t¤i a ( lim
x→a+f (x) = f (a)), li¶n töc tr¡i
t¤i b ( limx→b−
f (x) = f (b))
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
�ành ngh¾a
H m li¶n töc t¤i mët �iºm
H m y = f (x) �÷ñc gåi l li¶n töc t¤i x0 n¸u x¡c �ành t¤i �iºm n yv lim
x→x0
f (x) = f (x0).
H m gi¡n �o¤n t¤i mët �iºm
N¸u h m y = f (x) khæng li¶n töc t¤i �iºm x0 ta nâi h m gi¡n�o¤n t¤i �iºm x0
H m li¶n töc tr¶n �o¤n k½n
Ta nâi y = f (x) li¶n töc tr¶n [a; b] n¸u f (x) li¶n töc t¤i måi �iºmx ∈ (a; b) v li¶n töc ph£i t¤i a ( lim
x→a+f (x) = f (a)), li¶n töc tr¡i
t¤i b ( limx→b−
f (x) = f (b))
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
�ành ngh¾a
H m li¶n töc t¤i mët �iºm
H m y = f (x) �÷ñc gåi l li¶n töc t¤i x0 n¸u x¡c �ành t¤i �iºm n yv lim
x→x0
f (x) = f (x0).
H m gi¡n �o¤n t¤i mët �iºm
N¸u h m y = f (x) khæng li¶n töc t¤i �iºm x0 ta nâi h m gi¡n�o¤n t¤i �iºm x0
H m li¶n töc tr¶n �o¤n k½n
Ta nâi y = f (x) li¶n töc tr¶n [a; b] n¸u f (x) li¶n töc t¤i måi �iºmx ∈ (a; b) v li¶n töc ph£i t¤i a ( lim
x→a+f (x) = f (a)), li¶n töc tr¡i
t¤i b ( limx→b−
f (x) = f (b))
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
H¼nh minh håa
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
Ph¥n lo¤i �iºm gi¡n �o¤n
Cho x0 l �iºm gi¡n �o¤n cõa h m sè y = f (x).
�iºm gi¡n �o¤n lo¤i 1 x0 l �iºm gi¡n �o¤n lo¤i 1 n¸u giîi h¤n tr¡i(f (x0
−)) v giîi h¤n ph£i (f (x0+)) tçn t¤i húu h¤n.
x0 l �iºm khû �÷ñc n¸u f (x0−) = f (x0
+)x0 l �iºm nh£y n¸u f (x0
−) 6= f (x0+)
�iºm gi¡n �o¤n lo¤i 2 N¸u mët trong hai giîi h¤n mët ph½a khængtçn t¤i ho°c b¬ng væ còng
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
Ph¥n lo¤i �iºm gi¡n �o¤n
Cho x0 l �iºm gi¡n �o¤n cõa h m sè y = f (x).
�iºm gi¡n �o¤n lo¤i 1 x0 l �iºm gi¡n �o¤n lo¤i 1 n¸u giîi h¤n tr¡i(f (x0
−)) v giîi h¤n ph£i (f (x0+)) tçn t¤i húu h¤n.
x0 l �iºm khû �÷ñc n¸u f (x0−) = f (x0
+)
x0 l �iºm nh£y n¸u f (x0−) 6= f (x0
+)
�iºm gi¡n �o¤n lo¤i 2 N¸u mët trong hai giîi h¤n mët ph½a khængtçn t¤i ho°c b¬ng væ còng
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
Ph¥n lo¤i �iºm gi¡n �o¤n
Cho x0 l �iºm gi¡n �o¤n cõa h m sè y = f (x).
�iºm gi¡n �o¤n lo¤i 1 x0 l �iºm gi¡n �o¤n lo¤i 1 n¸u giîi h¤n tr¡i(f (x0
−)) v giîi h¤n ph£i (f (x0+)) tçn t¤i húu h¤n.
x0 l �iºm khû �÷ñc n¸u f (x0−) = f (x0
+)x0 l �iºm nh£y n¸u f (x0
−) 6= f (x0+)
�iºm gi¡n �o¤n lo¤i 2 N¸u mët trong hai giîi h¤n mët ph½a khængtçn t¤i ho°c b¬ng væ còng
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
Ph¥n lo¤i �iºm gi¡n �o¤n
Cho x0 l �iºm gi¡n �o¤n cõa h m sè y = f (x).
�iºm gi¡n �o¤n lo¤i 1 x0 l �iºm gi¡n �o¤n lo¤i 1 n¸u giîi h¤n tr¡i(f (x0
−)) v giîi h¤n ph£i (f (x0+)) tçn t¤i húu h¤n.
x0 l �iºm khû �÷ñc n¸u f (x0−) = f (x0
+)x0 l �iºm nh£y n¸u f (x0
−) 6= f (x0+)
�iºm gi¡n �o¤n lo¤i 2 N¸u mët trong hai giîi h¤n mët ph½a khængtçn t¤i ho°c b¬ng væ còng
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
H¼nh minh håa
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
H¼nh minh håa
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
H¼nh minh håa
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
T½nh ch§t cõa h m li¶n töc
cho f (x) , g (x) l hai h m li¶n töc t¤i x0. Khi �â:1 αf (x); f (x) + g(x); f (x) · g(x) li¶n töc t¤i x0
2 N¸u g(x) 6= 0 th¼f (x)
g (x)li¶n töc t¤i x0
�ành lþ
N¸u h m f (x) li¶n töc t¤i x0 v f (x0) > 0 th¼ tçn t¤i mët l¥n cªncõa x0, sao cho f (x) > 0 vîi måi x thuëc l¥n cªn n y
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
T½nh ch§t cõa h m li¶n töc
cho f (x) , g (x) l hai h m li¶n töc t¤i x0. Khi �â:1 αf (x); f (x) + g(x); f (x) · g(x) li¶n töc t¤i x0
2 N¸u g(x) 6= 0 th¼f (x)
g (x)li¶n töc t¤i x0
�ành lþ
N¸u h m f (x) li¶n töc t¤i x0 v f (x0) > 0 th¼ tçn t¤i mët l¥n cªncõa x0, sao cho f (x) > 0 vîi måi x thuëc l¥n cªn n y
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
T½nh ch§t cõa h m li¶n töc
�ành lþ Bozano - cosi
N¸u f (x) li¶n töc tr¶n [a; b] v f (x) = A; f (b) = B th¼ ∀C ∈ [a; b]tçn t¤i x0 ∈ [a; b] sao cho f (x0) = C
H» qu£
N¸u f (x) li¶n töc tr¶n [a; b] v f (a).f (b) < 0 th¼ tçn t¤i x0 ∈ [a; b]sao cho f (x0) = 0
H m sì c§p li¶n töc tr¶n tªp x¡c �ành cõa nâ
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
T½nh ch§t cõa h m li¶n töc
�ành lþ Bozano - cosi
N¸u f (x) li¶n töc tr¶n [a; b] v f (x) = A; f (b) = B th¼ ∀C ∈ [a; b]tçn t¤i x0 ∈ [a; b] sao cho f (x0) = C
H» qu£
N¸u f (x) li¶n töc tr¶n [a; b] v f (a).f (b) < 0 th¼ tçn t¤i x0 ∈ [a; b]sao cho f (x0) = 0
H m sì c§p li¶n töc tr¶n tªp x¡c �ành cõa nâ
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
T½nh ch§t cõa h m li¶n töc
�ành lþ Bozano - cosi
N¸u f (x) li¶n töc tr¶n [a; b] v f (x) = A; f (b) = B th¼ ∀C ∈ [a; b]tçn t¤i x0 ∈ [a; b] sao cho f (x0) = C
H» qu£
N¸u f (x) li¶n töc tr¶n [a; b] v f (a).f (b) < 0 th¼ tçn t¤i x0 ∈ [a; b]sao cho f (x0) = 0
H m sì c§p li¶n töc tr¶n tªp x¡c �ành cõa nâ
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
V½ dö
Kh£o s¡t t½nh li¶n töc
f (x) =
{ sin xx
, x 6= 0
1, x = 0
∀x 6= 0, f (x) =sin xx
l h m sì c§p n¶n li¶n töc tr¶n MXD.
T¤i x = 0 : limx→0+
sin xx
= 1 = limx→0−
sin xx
= f (0)
H m li¶n töc t¤i x = 0. Vªy h m li¶n töc tr¶n R
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
V½ dö
Kh£o s¡t t½nh li¶n töc
f (x) =
{ sin xx
, x 6= 0
1, x = 0
∀x 6= 0, f (x) =sin xx
l h m sì c§p n¶n li¶n töc tr¶n MXD.
T¤i x = 0 : limx→0+
sin xx
= 1 = limx→0−
sin xx
= f (0)
H m li¶n töc t¤i x = 0. Vªy h m li¶n töc tr¶n R
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
V½ dö
Kh£o s¡t t½nh li¶n töc
f (x) =
sin x|x |
, x 6= 0
1, x = 0
∀x 6= 0, f (x) =sin x|x |
l h m sì c§p n¶n li¶n töc tr¶n MXD.
T¤i x = 0 : limx→0+
sin xx
= 1; limx→0−
sin x|x |
= −1
x = 0 l �iºm nh£y.B÷îc nh£y: h = f (0+)− f (0−) = 1− (−1) = 2.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
V½ dö
Kh£o s¡t t½nh li¶n töc
f (x) =
sin x|x |
, x 6= 0
1, x = 0
∀x 6= 0, f (x) =sin x|x |
l h m sì c§p n¶n li¶n töc tr¶n MXD.
T¤i x = 0 : limx→0+
sin xx
= 1; limx→0−
sin x|x |
= −1
x = 0 l �iºm nh£y.B÷îc nh£y: h = f (0+)− f (0−) = 1− (−1) = 2.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
V½ dö
Kh£o s¡t �iºm gi¡n �o¤n
f (x) = arctan1x
Tªp x¡c �ành: Df = R\ {0}.T¤i x = 0 : lim
x→0+arctan
1x
=π
2, limx→0−
arctan1x
= −π2
x = 0 l �iºm nh£y.B÷îc nh£y: h = f (0+)− f (0−) = π
2− (−π
2) = π.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
V½ dö
Kh£o s¡t �iºm gi¡n �o¤n
f (x) = arctan1x
Tªp x¡c �ành: Df = R\ {0}.T¤i x = 0 : lim
x→0+arctan
1x
=π
2, limx→0−
arctan1x
= −π2
x = 0 l �iºm nh£y.B÷îc nh£y: h = f (0+)− f (0−) = π
2− (−π
2) = π.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
V½ dö
Kh£o s¡t �iºm gi¡n �o¤n
f (x) = x arctan1x
Tªp x¡c �ành: Df = R\ {0}.T¤i x = 0 : lim
x→0+x arctan
1x
= 0; limx→0−
x arctan1x
= 0
x = 0 l �iºm gi¡n �o¤n khû �÷ñc.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
V½ dö
Kh£o s¡t �iºm gi¡n �o¤n
f (x) = x arctan1x
Tªp x¡c �ành: Df = R\ {0}.T¤i x = 0 : lim
x→0+x arctan
1x
= 0; limx→0−
x arctan1x
= 0
x = 0 l �iºm gi¡n �o¤n khû �÷ñc.
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
V½ dö
T¼m a, b �º h m sè li¶n töc tr¶n [−π/2; 3π/2]
f (x) =
x cos(x/2)
sin x, x ∈ [−π/2, 3π/2] , x 6= 0, x 6= π
a, x = 0b, x = π
limx→0
f (x) = limx→0
x cos(x/2)sin x
= 1⇒ a = 1
limx→π
f (x) = limx→π
x cos(x/2)sin x
=π
2⇒ b =
π
2
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
V½ dö
T¼m a, b �º h m sè li¶n töc tr¶n [−π/2; 3π/2]
f (x) =
x cos(x/2)
sin x, x ∈ [−π/2, 3π/2] , x 6= 0, x 6= π
a, x = 0b, x = π
limx→0
f (x) = limx→0
x cos(x/2)sin x
= 1⇒ a = 1
limx→π
f (x) = limx→π
x cos(x/2)sin x
=π
2⇒ b =
π
2
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
V½ dö
T¼m a, b �º h m sè li¶n töc tr¶n to n mi·n XD
f (x) =
{x , |x | ≤ 1
x2 + ax + b, |x | > 1
limx→1+
f (x) = limx→1+
(x2 + ax + b
)= a + b + 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
x = 1 = f (1)⇒ a + b + 1 = 1
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
x = −1 = f (−1)
limx→1−
f (x) = limx→1−
(x2 + ax + b
)= 1− a+ b ⇒ −a+ b + 1 = −1
Vªy a = 1, b = −1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
V½ dö
T¼m a, b �º h m sè li¶n töc tr¶n to n mi·n XD
f (x) =
{x , |x | ≤ 1
x2 + ax + b, |x | > 1
limx→1+
f (x) = limx→1+
(x2 + ax + b
)= a + b + 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
x = 1 = f (1)⇒ a + b + 1 = 1
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
x = −1 = f (−1)
limx→1−
f (x) = limx→1−
(x2 + ax + b
)= 1− a+ b ⇒ −a+ b + 1 = −1
Vªy a = 1, b = −1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
V½ dö
T¼m a, b �º h m sè li¶n töc tr¶n to n mi·n XD
f (x) =
{x , |x | ≤ 1
x2 + ax + b, |x | > 1
limx→1+
f (x) = limx→1+
(x2 + ax + b
)= a + b + 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
x = 1 = f (1)⇒ a + b + 1 = 1
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
x = −1 = f (−1)
limx→1−
f (x) = limx→1−
(x2 + ax + b
)= 1− a+ b ⇒ −a+ b + 1 = −1
Vªy a = 1, b = −1
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
B i tªp ch÷ìng 6
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
B i tªp ch÷ìng 6
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
B i tªp ch÷ìng 6
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
B i tªp ch÷ìng 6
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
B i tªp ch÷ìng 6
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
B i tªp ch÷ìng 6
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
B i tªp ch÷ìng 6
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
B i tªp ch÷ìng 6
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
B i tªp ch÷ìng 6
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
B i tªp ch÷ìng 6
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N
Ham so mot bien soGioi han cua day soGioi han cua ham so
Dinh nghiaCac tinh chat cua gioi hanLuong Vo cung be, luong vo cung lonHam so lien tuc
B i tªp ch÷ìng 6
� m Thanh Ph÷ìng, Ngæ M¤nh T÷ðng Ch÷ìng 6: H�M SÈ V� GIÎI H�N