Download - Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Transcript
Page 1: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Teoria Sistemelor I

Cristian Oara si Radu Stefan

Facultatea de Automatica si CalculatoareUniversitatea “Politehnica” Bucurestie-mail: oara,[email protected]: http://www.riccati.pub.ro/

TEORIA SISTEMELOR I

Page 2: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Acesta este prima parte a cursului predat studentilor sectiei de Automatica a Facultatii deAutomatica si Calculatoare, Universitatea Politehnica din Bucuresti, in anii 2002–2003si 2003–2004. Textul reprezinta in fapt note de curs (folii) ce au fost videoproiectatestudentilor. Orice sugestii si corectii sunt binevenite !

Corespunzator impartirii in doua semestre, cursul cuprinde doua parti principale: TeoriaSistemelor I si II. Detaliem in continuare structura cursului TS I pe capitole si sectiuni:

1 INTRODUCERE

1 Conceptul de Sistem. Exemple2 Abordari Fundamentale3 Sisteme de Reglare Automata

2 SEMNALE SI SISTEME

1 SemnaleDefinitie. ExempleClase de SemnaleOperatii cu Semnale

TEORIA SISTEMELOR I Cuprins 1

Page 3: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Semnale cu Impulsuri (Semnale Singulare)2 Transformari Integrale3 Sisteme. Proprietati Fundamentale4 Sisteme de Convolutie5 Raspuns in Freceventa. Functie de Transfer6 Sisteme de Convolutie cu Functia de Transfer Rationala

3 SISTEME CONTINUE SISO

1 Raspunsul sistemelor SISO2 Stabilitate3 Regim Permanent si Tranzitoriu

Regimuri de Functionare FundamentaleRaspunsul Sistemelor la Semnale de Intrare StandardPerformante de Regim Permanent si TranzitoriuRaspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard

4 Reprezentarea in Frecventa a SistemelorDiagrame BodeDiagrama Nyquist (Hodograful)Criterii Frecventiale de Stabilitate

TEORIA SISTEMELOR I Cuprins 2

Page 4: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

4 CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE BUCLEI DE REACTIE (FEEDBACK)

1 Ce Dorim ?2 Bucla de Reactie3 Stabilitatea Interna a Buclei de Reactie4 Stabilizare5 Performante Asimptotice6 Solutia Problemei Reglarii7 Exemple

TEORIA SISTEMELOR I Cuprins 3

Page 5: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

CAPITOLUL 1: INTRODUCERE

Motivatie. Automatica ın cadrul stiintelor ingineresti.

Ingineria clasica (pana la al doilea razboi mondial):- dispozitive/instalatii de transformare a energiei (masina cu aburi, motorul electric);caracteristici principale: randament, debit.- comanda/actionarea unor astfel de instalatii: operator uman. Informatiile nece-sare actionarii parvin prin intermediul simturilor umane, ın urma observatiilor privindrezultatele actiunilor anterioare.

Ingineria moderna: dezvoltarile tehnologice au creat dispozitive a caror actionare directade catre om devine imposibila datorita limitarilor fiziologice;Exemplu: Construirea unui sistem automat de tragere antiaeriana.Motivatie: la sfarsitul celui de-al doilea razboi mondial, viteza tintelor a devenitcomparabila cu cea a proiectilelor, astfel ca tirul antiaerian nu mai putea fi comandat cusucces doar de catre operatorul uman.

Figura 1: Schema simplificata a ghidajului unei rachete antiaeriene

Capitolul 1 - Introducere. Teoria Sistemelor 4

Page 6: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Elemente necesare pentru functionarea unui astfel de sistem:

- informatia asupra situatiei momentane

- extragerea datelor utilizabile pentru comanda

- manipularea cestor date ın vederea elaborarii comenzii, avand un scop bine determinat:doborarea tintei

Problema se reduce la construirea anumitor dispozitive de comunicatii si comanda,pentru a caror proiectare sunt necesare elemente de

- teoria comunicatiilor

- tehnica de calcul

- teoria sistemelor automate

Norbert Wiener, 1948: “Cybernetics, or Control and Communication in the Man andthe Machine”

Capitolul 1 - Introducere. Teoria Sistemelor 5

Page 7: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Instalatiile din ingineria clasica: esential este randamentul - aspect de tip energetic.

Dispozitive de comunicatie si comanda: esentiala este acuratetea cu care este transmisasi prelucrata informatia.

In proiectarea dispozitivelor de comunicatie si comanda se face abstractie de natura(mecanica, electrica, chimica, etc.) procesului/instalatiei/ sistemului tehnologic.

Exemplu: un receptor radio primeste o cantitate foarte mica din energia emitatorului,dar important este ca semnalul receptionat sa fie “curat” (fara zgomot sau distorsiuni).

Teorie generala a SISTEMELOR.

Notiunea de SISTEM: conceptul fundamental.

Capitolul 1 - Introducere. Teoria Sistemelor 6

Page 8: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

1. Conceptul de Sistem. Exemple

DEX: “Ansamblu de elemente (principii, reguli) dependente ıntre ele si formand unıntreg organizat, care pune ordine ıntr-un domeniu de gandire teoretica∗, reglementeazaclasificarea materialului ıntr-un domeniu de stiinte ale naturii∗∗, sau face o activitatepractica sa functioneze conform scopului urmarit∗∗∗.”

∗ Sisteme social-politice; sisteme filozofice.

∗∗ Sisteme fizice; sisteme biologice.

∗∗∗ Sistem informatic; sistem energetic; instalatie tehnologica, proces.

Sistem (in inginerie): “Ansamblu bine organizat de parti interdependente, capabil saraspunda, sub actiunea a diversi stimuli, unui anumit scop, cu anumite performante”

Exemple: un automobil, un sistem de operare, un sistem informatic.

Capitolul 1 - Introducere. Conceptul de Sistem. Exemple

Page 9: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Teoria (matematica a) sistemelor (automate)

Notiunea de sistem: un concept matematic precis.

Definitia 1 (Kalman, 1969). Concepem un sistem ca o structura ın care ceva (materie,energie, informatie) poate fi introdus la un anumit moment dat si din care rezulta spreexterior ceva la un alt moment de timp.

u y

Figura 2: Model de tip “BLACK-BOX”

• u si y (“ceva”) sunt semnale.

• Problema: ce caracteristici are un astfel de model ?

• Sistem: “operator”.

Capitolul 1 - Introducere. Conceptul de Sistem. Exemple

Page 10: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exemple

1) Amplificatorul operational.

V

V

V

+

-O O

Figura 3: Amplificator operational

vo = A(v+ − v−)v+=0= −Av−.

Transforma un semnal ın alt semnal: v− → vo.

Q: largimea de banda, raspuns la intrare sinusoidala?

2) Ecuatia diferentiala x = f(x), x(0) = x0

Capitolul 1 - Introducere. Conceptul de Sistem. Exemple

Page 11: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Asociaza o solutie unei conditii initiale date: x0 → φ(t; x0).

Q: crestere exponentiala, periodicitate ?

Capitolul 1 - Introducere. Conceptul de Sistem. Exemple

Page 12: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exemple

3) Program de calculator: transforma un sir de caractere ın alt sir de caractere.

De exemplu, auto → otua.

Q: regula ?

4) ⎡⎢⎢⎣y1

y2...yp

⎤⎥⎥⎦ =

⎡⎣t11 . . . t1m... . . . ...

tp1 . . . tpm

⎤⎦⎡⎢⎢⎣

u1

u2...

um

⎤⎥⎥⎦ , y = Tu

Unui vector din Rm i se asociaza un alt vector din R

p.

5)

y(t) =∫ T

0

k(t, τ)u(τ) dτ

Unui semnal cu suport ın [0, T ] i se asociaza un alt semnal cu suport ın [0, T ].

Q: Ce au in comun sistemele definite la 4) si 5) ?

Capitolul 1 - Introducere. Conceptul de Sistem. Exemple

Page 13: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Divizorul de tensiune ın curent alternativ

Figura 4: Divizorul de tensiune ın curent alternativ

Vo(s) =R

sL + RVi(s)

didt = −R

Li + 1Lvi

vo = Ri

Comportament Intrare/Iesire (I/O) Comportament Intern

Proprietate importanta : Liniaritatea

R si L sunt elemente liniare de circuit.

Capitolul 1 - Introducere. Conceptul de Sistem. Exemple

Page 14: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

2. Abordari Fundamentale

SISTEM: “operator” care transforma intrarea ın iesire.

S-au impus doua puncte de vedere:

a) definirea notiunii prin caracterizarea comportamentului intrare-iesire ≡ manieraoperatoriala de abordare.

Analiza functionala

b) elementul primar ıl constituie comportamentul intern ≡ maniera newtoniana deabordare.

Ecuatii diferentiale

Capitolul 1 - Introducere. Abordari Fundamentale

Page 15: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Modelare matematica

Modelare matematica: procesul de scriere a unor ecuatii care stabilesc dependenta dintrediverse marimi care actioneaza ın sistem sau asupra sistemului.

a) pe baza datelor experimentale (intrare-iesire) din sistem: Identificarea Sistemelor.

b) pe baza ecuatiilor fizico-matematice: abordarea newtoniana.

Exemplu: dependenta tensiune-curent a unui rezistor.

a) i = 1.02 1.98 3.03 4.01 5.01 mAv = 1.01 2.00 2.99 4.00 5.02 V=⇒ v (aproximativ) proportional cu i: v = Ri; rezulta R = 1kΩ.

b) Legea lui Ohm

Capitolul 1 - Introducere. Abordari Fundamentale

Page 16: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

In elaborarea modelului este necesar un compromis ıntre complexitatea modelului sidescrierea adecvata a fenomenului/procesului respectiv.

Model satisfacator: diferentele ıntre rezultatele obtinute prin calcul si cele obtinuteexperimental trebuie sa fie mai mici decat anumite tolerante impuse.

SCOP: Proiectarea Sistemelor de Reglare Automata (SRA).

Capitolul 1 - Introducere. Abordari Fundamentale

Page 17: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

3. Sisteme de Reglare Automata

Reglare automata: procesul de a impune ca anumite variabile specificate ale unui sistemsa urmeze anumite evolutii impuse, ın prezenta diferitelor perturbatii (precum si aincertitudinilor de modelare).

Influentarea evolutiei unui sistem fara interventia umana.

Termostat Valva gaz Cazan Proces

Tref

+_

Q

Q

Q

in

out

p

T

Figura 5: Schema bloc de reglare a temperaturii ıntr-o casa

Capitolul 1 - Introducere. Sisteme de Reglare Automata

Page 18: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Diagrama unui Sistem de Reglare Automata

Regulator Elementde executie

Proces

Referinta+

_

Senzor

Iesire

Iesire masurata

Eroare

Perturbatie

Zgomot

Figura 6: Diagrama bloc functionala a unui SRA

Observatii:- ansamblu de sisteme interconectate

Capitolul 1 - Introducere. Sisteme de Reglare Automata

Page 19: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

- existenta reactiei inverse !

Reglarea cu reactie inversa foloseste masuratori ale variabilei reglate pentru a influentamarimile de intrare ale sistemului reglat, astfel ıncat variabila reglata sa urmareasca oanumita evolutie impusa .

Conexiunea inversa permite evaluarea permanenta a gradului de realizare a obiectuluipropus: metoda extrem de eficienta (vezi exemplul urmator).

Pe parcursul expunerii, vom utiliza frecvent schema bloc simplifcata din figura 7. Aceastaschema prezinta configuratia standard a unui sistem ın reactie inversa. (In practica, seutilizeaza diverse scheme de reglare automata, care pot fi compuse din mai multe buclede reglare/regulatoare, specifice fiecarei aplicatii ın parte).

Figura 7: Schema bloc simplificata a unui sistem ın reactie inversa

Capitolul 1 - Introducere. Sisteme de Reglare Automata

Page 20: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Obiectivul principal al cursului consta in descrierea unor metode generale de sinteza acompensatoarelor (regulatoarelor). Pentru a putea ıntelege si aplica aceste tehnici desinteza, este necesar mai ınta sa studiem anumite proprietati si caracteristici sistemice;ın consecinta, prima parte a cursului este dedicata metodelor de analiza a sistemelor.

Capitolul 1 - Introducere. Sisteme de Reglare Automata

Page 21: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Reglarea vitezei unui automobil

O prima analiza (calitativa) a avantajelor reglarii cu reactie inversa.

Se pune ın evidenta rolul fundamental al reactiei inverse ın sistemele de reglare automata.

vref = 55km/h - drum orizontal.

Factori de influenta:

- acceleratia: unghiul clapetei de acceleratie (masurat ın grade o)

- panta drumului: gradul de ınclinare (masurat in %)

Ipoteze:

a) avem regim stationar (nu exista dinamica) - notiunea va fi introdusa ın capitolul 3.

b) sistemul este liniar:

Capitolul 1 - Introducere. Sisteme de Reglare Automata

Page 22: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

- la un unghi u de 1o al clapetei de acceleratie, viteza creste cu 10km/h.- la o ınclinare a drumului w de 1%, viteza scade cu 5km/h.

v = 10u − 5w

c) masuratorile sunt precise (eroare de pana la ±1km/h)

Utilizam 2 scheme de reglare: ın bucla deschisa si, respectiv, ın bucla ınchisa.

I. Reglare ın bucla deschisa

0.1

0.5

10r -+

w

u v

Figura 8: Schema de reglare ın bucla deschisa a vitezei unui automobil

Capitolul 1 - Introducere. Sisteme de Reglare Automata

Page 23: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Notam viteza de referinta vref cu r. In acest caz, u = 0.1r si viteza automobilului estedata de

v = 10u − 5w = 10(u − 0.5w) = 10(110

r) − 5w = r − 5w.

Performante:Eroarea absoluta: ε := r − v = 5wEroarea relativa: εr = ε/r = 5w/r.

w = 0: v = 55km/h, ε = 0km/h, εr = 0%.w = 1: v = 50km/h, ε = 5km/h, εr ≈ 9.1%. Performanta destul de slaba.w = 10: Erori f. mari! (exercitiu)

Daca “amplificarea” sistemului se modifica sau am estimat-o de la ınceput imprecis (laun unghi u de 1o al clapetei de acceleratie, viteza creste cu 9km/h ın loc de 10km/h)cum se schimba performanta sistemului de reglare proiectat ?

v = 9u − 4.5w = 0.9r − 4.5w, ε = 0.1r + 4.5w, εr = 0.1 + 4.5w/r.

Chiar si ın absenta perturbatiei (w = 0) eroarea este semnificativa: ε = 5.5km/h,εr = 10%. Situatia se ınrautateste daca w = 0.

Capitolul 1 - Introducere. Sisteme de Reglare Automata

Page 24: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Concluzii:

- erori relative mari (chiar si la variatii mici ale perturbatiei)

- erorile ın modelarea sistemului (10%) se transmit integral ın eroarea relativa (10%)(nu se atenueaza deloc, nu avem robustete !)

- reglarea ın bucla deschisa nu este o solutie “buna”

Cum corectam neajunsurile observate ?

II. Reglare ın bucla ınchisa

Capitolul 1 - Introducere. Sisteme de Reglare Automata

Page 25: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

K=100

0.5

10

r -+

w

u v

Figura 9: Schema de reglare ın bucla deschisa a vitezei unui automobil

Analizand schema de mai sus (figura 9) rezulta ca viteza automobilului este

v = 10(u − 0.5w) = 10(100(r − v) − 0.5w) = 1000r − 1000v − 5w,

de unde

v =10001001

r − 51001

w

Capitolul 1 - Introducere. Sisteme de Reglare Automata

Page 26: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Performante:Eroarea absoluta: ε := r − v = 0.001r + 0.005w.Eroarea relativa: εr = ε/r = 0.001 + 0.005w/r.Ambele erori sunt “mici” ! Performanta buna.

w = 0: v = 54.945km/h, ε = 0.055km/h, εr = 0.1%.w = 1: v = 54.940km/h, ε = 0.060km/h, εr ≈ 0.11%. Crestere nesemnificativa ınraport cu situatia w = 0.w = 10: v = 54.895km/h, ε = 0.105km/h, εr ≈ 0.2%. La o crestere de 10 ori aperturbatiei, eroarea relativa s-a dublat.

Daca “amplificarea” sistemului este 9km/h (ın loc de 10km/h) ce se ıntampla cuperformantele sistemului de reglare ın bucla ınchisa ?

v =900901

r − 4.5901

= 0.9988r − 0.0049w, ε =1

901r +

4.5901

w = 0.0011r + 0.0049w,

εr = 0.0011 + 0.0049w/r.

Nu se schimba aproape nimic! Erorile absoluta si relativa sunt practic aceleasi, desi amavut o eroare relativa de 10% ın “amplificarea” sistemului.

Capitolul 1 - Introducere. Sisteme de Reglare Automata

Page 27: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exercitiu: Analizati modificarile aparute ın determinarea erorilor, ın cazurile w = 1 siw = 10.

Explicatie: Amplificare mare si reactie inversa!

Concluzii:

- ın cazul w = 0 nu avem reglare perfecta, adica v = r; eroarea (de regim stationar)nu este zero, dar este foarte mica.

- daca amplificarea ın bucla creste, atunci:

- creste precizia ın regim stationar (scade eroarea de regim stationar)- scade senzitivitatea (relativa) a marimii reglate ın raport cu perturbatia- scade senzitivitatea (relativa) a marimii reglate ın raport cu imperfectiunile mod-elului.

- reglarea ın bucla ınchisa este eficienta.Amplificare mare =⇒ performante mai bune.

Capitolul 1 - Introducere. Sisteme de Reglare Automata

Page 28: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Q: Cat de mult poate creste amplificarea ?

Nu poate creste oricat, apare fenomenul de instabilitate ın bucla. (Nu putem tineacceleratia “la blana”).

Stabilitatea: cerinta principala de proiectare

Capitolul 1 - Introducere. Sisteme de Reglare Automata

Page 29: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Proiectarea SRA

1. Stabilirea obiectivelor reglarii.

2. Identificarea marimilor ce trebuie reglate.

3. Scrierea specificatiilor pt. marimile reglate.

4. Stabilirea configuratiei de reglare.

5. Obtinerea unui model (pt. fiecare element al buclei: proces, senzor, element deactionare, etc.)

6. Alegerea unui regulator si a parametrilor acestuia.

7. Optimizarea parametrilor si analiza performantelor.

8. Daca performante = specificatii atunci proiectarea este ıncheiata. In caz contrar, sereia “algoritmul” de la pasul 4.

Capitolul 1 - Introducere. Sisteme de Reglare Automata

Page 30: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Obiectivele proiectarii

: specificatii (ce trebuie realizat).

Caracteristici:- complexitate- compromisuri- risc- nu iese ıntotdeauna ce si-a propus proiectantul

Analiza si sinteza ...

Capitolul 1 - Introducere. Sisteme de Reglare Automata

Page 31: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Compromisul de proiectare

1) STABILITATE: cerinta principala de proiectare

2) PERFORMANTA:

- eroare de reglare (ın regim stationar) mai mica decat o valoare specificata

- dinamica raspunsului =⇒ parametri specificati

3) ROBUSTETE: Stabilitatea si performantele trebuie mentinute ın conditii de modelcu incertitudini.

Capitolul 1 - Introducere. Sisteme de Reglare Automata

Page 32: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

CAPITOLUL 2: SEMNALE SI SISTEME

1. Semnale

1.1 Definitie. Exemple.

Un semnal este o functie de timp.

Marimi fizice variabile ın timp: forta F care actioneaza asupra unui punct material,tensiunea vo la iesirea unui AO, presiunea p a unui fluid.

Notatie.• F , vo, p sau F (·), vo(·), p(·) se refera la semnal sau functie;• F (t), vo(10.33), p(t − 1) desemneaza valoarea semnaleleor la momentele t, 10.33,t − 1.

Definitia 2. Se numeste semnal continual o functie f : T → A, unde A este o multimedata numita imaginea (sau multimea de valori a) semnalului iar T este axa (sau domeniulde definitie al) semnalului.Daca T ⊂ R (multime “continua”), atunci u este un semnal continual; ın cazul ın careT ⊂ Z (multime “discreta”) atunci u este un semnal discret.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Definitie. Exemple 31

Page 33: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Semnale esantionate

Semnale esantionate: fd(k) = f(t0 + kT ) (mai multe detalii la Sisteme Discrete).T se numeste perioada (sau pasul) de esantionare.

-1 0 1 2

3

4 5

h

f(t)f(k)d

f(k)= kf(0+ h)d

k

t

Figura 10: Semnal esantionat

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Definitie. Exemple 32

Page 34: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

1) Cursul leu-dolar. Axa semnalului: discreta; imaginea: R+.

2) O secventa semi-infinita de biti: 0111001 . . .. Axa semnalului: Z+; imaginea: 0, 1.

3) Tensiunea de iesire a unui AO. Axa semnalului: R+; imaginea: R.

4) Nivelul apelor Dunarii: semnal esantionat.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Definitie. Exemple 33

Page 35: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Notatie. Clasificari.

• Notam cu SA, SdA multimea semnalelor continuale, respectiv discrete care iau valori ın

multimea A.

• In mod uzual vom lucra cu semnale reale sau complexe: imaginea semnalelor va fiA = R sau A = C. Multimi de semnale ıntalnite frecvent: SR, SC, Sd

R, Sd

C.

• Semnalele pot avea

a) axa finita: T = (a, b) - interval finit; T = n, n + 1, . . . , n + l - multime finita;

b) axa semi-infinita: T = R+ (t ≥ 0), T = R− (t ≤ 0) sau T = Z+ (k ≥ 0),T = Z− (k ≤ 0);

c) axa infinita: T = R, T = Z.

• Semnale scalare (A = R sau A = C), semnale vectoriale (A = Rm sau A = C

m).

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Definitie. Exemple 34

Page 36: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Semnale standard

a) Treapta unitara: 1(t) =

1 t ≥ 00 t < 0

Semnal scalar real, continuu pe portiuni. De tip “curent continuu”.

b) Treapta unitara discreta: 1(k) =

1 k ≥ 00 k < 0

c) Rampa : ramp(t) =

t t ≥ 00 t < 0

Semnal scalar real, continuu pe portiuni. Observatie: ramp(t) = t1(t).Functie de tip “polinomial”.

In mod similar se defineste si semnalul rampa discret.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Definitie. Exemple 35

Page 37: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

1

t

ramp(t)

t

1(t)

Figura 11: Semnal treapta si rampa

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Definitie. Exemple 36

Page 38: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

d) Impuls discret: δ(k) =

1 k = 00 k = 0

(n)

1

-2 +1 +2-1n

Figura 12: Impuls discret

e) Impuls dreptunghiular: rect(t) =

1 a ≤ t ≤ b0 altfel

f) Impuls triunghiular: trian(t) =

1 − |t| −1 ≤ t ≤ 10 altfel

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Definitie. Exemple 37

Page 39: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

rect(t)rect(t)

trian(t)

t

t

-1/2 1/2

1

1

-1

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Definitie. Exemple 38

Page 40: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

g) Semnal de tip armonic:u(t) = A cos(ωt + φ)

A - amplitudineaω - pulsatie; ω = 2πf = 2π/T unde f ∈ R+ este frecventa semnalului iar T ∈ R+ esteperioada acestuia.φ - faza (sau defazajul)

Reprezentarea complexa a semnalelor armonice (a ∈ C):

u(t) = a ejωt = Aejφejωt = A cos(ωt + φ) + j A sin(ωt + φ)

Semnale “reale”.Radio (AM,FM)Satelit, cablu TVVideo (Pal/Secam, NTSC)Telefonie (mobila, fixa)

Aceste semnale nu sunt definite de formule matematice, ci de anumite caracteristici:frecventa amplitudine, factor de umplere, etc.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Definitie. Exemple 39

Page 41: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

1.2 Clase de semnale

Am mentionat deja ca vom lucra frecvent cu semnale din SR, SdR, SC, Sd

C. Aceste

multimi de semnale sunt foarte bogate; vom considera (din ratiuni tehnice dar siutilitare) submultimi ale acestora. In general, semnalele continuale sunt functii continuepe portiuni si/sau local integrabile.

Observatia 3. Pe SR si SdR

(SC si SdC) se poate introduce o structura de spatiu vectorial

peste R (peste C).

Clase de semnale: cu actiune finita , de energie finita , marginite.

a) Semnale cu actiune finita.

L1(R) = u ∈ SR : u masurabila,

∫ +∞

−∞|u(τ)|dτ < ∞ - semnale absolut integrabile

pe R.

l1(Z) = x ∈ SdR :

+∞∑k=−∞

|x(k)| < ∞ - semnale absolut sumabile pe Z.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Clase de Semnale

Page 42: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Terminologia. Sa consideram un punct material de masa m asupra caruia actioneaza o

forta F , pe un interval dat de timp, finit sau infinit; avem

∫ t2

t1

F (τ)dτ = m(v(t2)−v(t1)),

unde v este viteza punctului material. Daca v(t1) = 0, rezulta v(t2) =1m

∫ t2

t1

F (τ)dτ .

“Actiunea” fortei are ca efect modificarea vitezei punctului material.

b) Semnale de energie finita.

L2(R) = u ∈ SR : u masurabila,

∫ +∞

−∞|u(τ)|2dτ < ∞ - semnale de patrat integrabil

pe R.

l2(Z) = x ∈ SdR :

+∞∑k=−∞

|x(k)|2 < ∞ - semnale de patrat sumabil pe Z.

Terminologia. Puterea unei rezistente R parcursa de un curent de intensitate i(t) esteP (t) = i2(t)R. Energia disipata pe un interval dat de timp, finit sau infinit, este∫ t2

t1

P (τ)dτ = R

∫ t2

t1

i2(τ)dτ .

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Clase de Semnale

Page 43: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

c) Semnale (esential) marginite.

L∞(R) = u ∈ SR : u masurabila, essup|u(t)| < ∞ - semnale esential marginite peR (marginite aproape peste tot).

Vom considera in mod uzual semnale marginite:

u ∈ SR este marginit daca exista M > 0 astfel incat |u(t)| < M (< ∞), pentru oricet ∈ R.

Orice semnal marginit este si esential marginit. Exista semnale esential marginite carenu sunt marginite ?

In cazul discret, l∞(Z) = x ∈ SdR :

+∞∑k=−∞

sup x(k)2 < ∞ - semnale marginite pe Z.

Observatia 4. Vom considera ın mod obisnuit semnale avand axa de timp semi-infinital∞(Z+), L1(R+). Axa de timp poate fi de asemenea un interval finit oarecare:L2([0, 2π]).

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Clase de Semnale

Page 44: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Putem “masura” un semnal ?

Norme de semnale. Fie u ∈ L1(R), x ∈ l1(Z). Atunci

‖u‖1 :=∫ +∞

−∞|u(τ)|dτ si ‖x‖1 :=

+∞∑k=−∞

|x(k)|

sunt norme bine definite pe L1(R), respectiv pe l1(Z). Aceste norme masoara “actiunea”semnalului u, respectiv x.

In mod similar, radacina patrata a energiei totale a unui semnal u ∈ L2(R), x ∈ l2(Z)defineste o norma pe L2(R), respectiv pe l2(Z):

‖u‖2 :=(∫ +∞

−∞|u(τ)|2dτ

)12

si ‖x‖2 :=

⎛⎝ +∞∑k=−∞

|x(k)|2⎞⎠

12

.

In fine, norma sup este definita la fel pentru semnalele marginite, indiferent daca sunt

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Clase de Semnale

Page 45: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

continuale sau discrete:

supt∈R

|u(t)|, supk∈Z

|x(k)| =: ‖x‖∞.

Se observa ca ın cazul discret norma sup coincide ıntotdeauna cu norma l∞. In cazulcontinual, este posibil ca norma L∞ sa fie bine definita ‖u‖∞ := essup|u(t)| < ∞,adica u sa fie un semnal esential marginit, dar care sa nu fie neaparat marginit, decinorma sup a lui u sa nu existe.

Exemplu: u(t) =

sin t daca t ∈ R − N

t daca t ∈ N

Avem ‖u‖∞ = 1, chiar daca u nu este marginit.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Clase de Semnale

Page 46: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Alte exemple

Exemplul 5. Fie semnalele continuale

u(t) = 1(t); v(t) =

t−12 0 ≤ t ≤ 1

0 ın rest.

Este evident ca u este un semnal marginit, cu supt∈R

|u(t)| = 1 (si deci cu ‖u‖∞ = 1), dar

care nu apartine nici lui L1(R), nici lui L2(R).

v nu este (esential) marginit (limt0

v(t) = +∞) si nici un semnal de energie finita, insa

v ∈ L1(R) si ‖v‖1 = 2.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Clase de Semnale

Page 47: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Alte masuriMedia valorii absolute1 a unui semnal (continual) este data de

AA(u) := limT→∞

12T

∫ T

−T

|u(τ)|dτ

Puterea medie a unui semnal (continual) este definita de

p(u) = limT→∞

12T

∫ T

−T

|u(τ)|2dτ.

In electronica, valoarea unui semnal de curent alternativ este exprimata de radacinamedie patratica (root mean square=RMS)

RMS(u) := [p(u)]12.

1AA=absolute average

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Clase de Semnale

Page 48: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

De exemplu, pentru semnalul treapta unitara, AA(1(t)) = 1/2 si RMS(1(t)) = 1/√

2.

Pentru un semnal sinusoidal, RMS este1√2× amplitudinea semnalului.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Clase de Semnale

Page 49: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Structura spatiilor de semnale

• Structura algebrica: spatii vectoriale.

• Structura topologica: spatii Banach (spatii vectoriale normate si complete).

• Structura geometrica: spatii Hilbert (spatii vectoriale normate, complete, cu normadefinita de un produs scalar).

Suntem interesati de

- proprietati calitative: semnal marginit/nemarginit, convergent catre 0 cand t → ∞,periodic, etc.- proprietati cantitative: ‖u‖∞, ‖u‖2, cat de repede converge la 0, etc.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Clase de Semnale

Page 50: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

1.3 Operatii cu semnale.

Structura de spatiu vectorial: adunare (f + g), ınmultire cu scalari (α · f , α ∈ R sau C).

Structura de algebra (Banach): se introduce o operatie de ınmultire.

Aceasta poate fi produsul uzual (f × g) sau un alt tip de “inmultire”: de exemplu,convolutia.

Definitia 6.

1. Fie u, v ∈ SR. Presupunem ca pentru t ∈ R, functia τ → u(t − τ)v(τ) esteintegrabila pe R. Atunci functia

w(t) =∫ +∞

−∞u(t − τ)v(τ)dτ =: (u ∗ v)(t) (1)

θ=t−τ=∫ +∞

−∞u(θ)v(t − θ)dθ = (v ∗ u)(t)

este bine definita ın t ∈ R si se numeste produsul de convolutie sau CONVOLUTIAsemnalelor continuale u si v.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Operatii cu Semnale

Page 51: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

2. Fie x, y ∈ SdR. Presupunem ca pentru n ∈ Z, functia k → x(n − k)y(k) este

sumabila pe Z. Atunci functia

z(n) =+∞∑

k=−∞x(n − k)y(k) =: (x ∗ y)(n) (2)

l=n−k=+∞∑

k=−∞x(l)y(n − l) = (y ∗ x)(t)

este bine definita ın n ∈ Z si se numeste produsul de convolutie sau CONVOLUTIAsemnalelor discrete x si y.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Operatii cu Semnale

Page 52: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Proprietati

1. Daca u, v ∈ L1(R), atunci u ∗ v este bine definita a.p.t. ın R si u ∗ v ∈ L1(R). Inplus, ‖u ∗ v‖1 ≤ ‖u‖1 ‖v‖1. Se poate arata ca (L1(R), +, ·, ∗) este o algebra Banach.

2. Daca h ∈ L1(R), u ∈ L2(R), atunci h ∗ u este bine definita a.p.t. ın R sih ∗ u ∈ L2(R). De asemenea, ‖h ∗ u‖2 ≤ ‖h‖1 ‖u‖2.

Q: Exista element neutru la convolutie, adica un semnal d astfel ıncat f ∗ d = d ∗ f = f ,pentru orice f ?

Raspunsul la aceasta ıntrebare diferita substantial ıntre convolutia semnalelor continualesi a celor discrete.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Operatii cu Semnale

Page 53: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Translatia ın timp

Operatie care joaca un rol important ın definirea proprietatii de invarianta ın timp

Definitia 7. Fie τ ∈ R (l ∈ Z). Se numeste operator de translatie (sau shift), operatorulστ : SR → SR (σl : Sd

R→ Sd

R), definit de

(στ u)(t) = u(t − τ), t ∈ R((σl x)(n) = x(n − l), n ∈ Z

)(3)

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Operatii cu Semnale

Page 54: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Figura 13: Translatie ın timp (τ = 1)

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Operatii cu Semnale

Page 55: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

1.4 Semnale cu Impulsuri (Semnale Singulare)

• Motivatie: exista situatii ın care anumite semnale (functii) actioneaza pe intervalefoarte scurte de timp, unde pot lua valori extrem de mari.

• Consecinta: este imposibil sa se masoare valorile instantanee ale unui astfel desemnal (exista o limita fizica a masurarii unui interval de timp!); se poate insaobserva/masura efectul actiunii acestui semnal.

Exemplul 8. Lovirea unei mingi (de tenis, de fotbal). Presupunem ca o forta Factioneaza asupra mingii (de masa m) ın intervalul t0 = 2.999sec si t1 = 2.001sec.Presupunem ca la momentul t0 mingea se afla ın repaus. Efectul acestei actiuni este datde∫ 3.001

2.999

F (τ)dτ = m v(3.001)−m v(2.999), v(3.001) = v(2.999) +1m

∫ 3.001

2.999

F (τ)dτ.

Cu alte cuvinte, putem observa efectul fortei F pe intervalul considerat, masurand vitezamingii dupa ıncetarea actiunii fortei F .

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Semnale Singulare

Page 56: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exemplul 9. Incarcarea rapida (instantanee) a unui condensator. Se considera circuituldin figura de mai jos (figura 14).

i(t)

t=0

1V v(t) C=1F+-

Figura 14: Incarcarea unui condensator

Presupunem ca v(0) = 0 si q(0) = 0. La ınchiderea circuitului tensiunea la bornelecondensatorului C, v(t), creste (aproape instantaneu) la valoarea V , iar curentul ın circuitva atinge o valoare foarte mare, dupa care va fi practic nul (vezi graficele din figura 16,cand R → 0). De asemenea, sarcina va fi transferata la bornele condensatorului aproapeinstantaneu,

Qtot =∫ ∞

0

i(τ)dτ = CV = 1, daca C = 1F, V = 1V.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Semnale Singulare

Page 57: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Se constata ca desi i este 0 a.p.t (i(t) = 0 pentru t = 0, i(t) ≈ ∞ pentru t = 0), avem∫ ∞

0

i(τ)dτ = 0!

Am neglijat cu totul rezistenta existenta ın circuit.

Concluzii. Astfel de semnale (F , dar mai ales i) au un comportament impulsiv. Elese mai numesc si semnale impulsive sau singulare. Studiul semnalelor singulare esteıncadrat de Teoria Distributiilor (L. Schwartz, 1950).

Ne vom limita la studiul (din punctul de vedere al ingineriei electrice, si nu al teorieidistributiilor) unui singur semnal singular, impulsul Dirac.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Semnale Singulare

Page 58: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Impuls Dirac

Definitia 10. Se numeste impuls Dirac, notat δ(t), (un “obiect” care este) o idealizarea unui semnal avand proprietatile:

a. este foarte mare intr-o vecinatate a lui t = 0: δ(t) este nedefinit ın 0; poate fi chiarinfinit.

b. este foarte mic ın afara acestei vecinatati: δ(t) = 0 pentru t = 0.

c.

∫ +∞

−∞δ(t)dt = 1.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Semnale Singulare

Page 59: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Circuitul RC

Notam cu R rezistenta ın circuitul din figura 14.

+

-

v

i

C

R

V+-

Figura 15: Circuit RC

Din i =dq

dt= C

dv

dtsi Ri = V − v rezulta

dv

dt= − 1

RCv +

1RC

V ;

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Semnale Singulare

Page 60: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

daca v(0) = 0, solutia acestei ecuatii se poate scrie

v(t) = V (1 − e−t

RC )C=1, V =1

= 1 − e−tR .

Deducem ca i(t) =V

Re−

tRC

C=1, V =1= 1

R e−tR .

Graficele lui v si i sunt date ın figura de mai jos:

1

v(t)

t t

i(t)

R R

1

R

Figura 16: Tensiunea si curentul condensatorului

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Semnale Singulare

Page 61: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Se constata ca limR→0

v(t) = 1(t), limR→0

i(t) =

0 t = 0∞ t = 0 .

Este δ(t) = limR→0

i(t) ? NU, deoarece

∫ +∞

−∞( limR→0

i(t))dt = 0 !

Pe de alta parte,

limR→0

(∫ +∞

−∞i(t)dt

)= lim

R→0(CV ) = CV,

adica iR(t) este o “aproximatie” a impulsului Dirac δ(t) pentru valori “mici” ale lui R(ın conditiile ın care C = 1, V = 1).

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Semnale Singulare

Page 62: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Aproximatii ale lui δ

In figura 17, avem pε(t) = 1(t) − 1(t − ε), de unde

δ(t) = limε0

1(t) − 1(t − ε)ε

=d1(t)

dt!

Se poate arata riguros ca, ın sens distributional, impulsul Dirac δ(t) este intr-adevarderivata treptei unitare 1(t).

Nu conteaza forma si valorile pe care le ia o aproximatie oarecare a lui δ, ci efectulactiunii acesteia, adica faptul ca

∫R

= 1.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Semnale Singulare

Page 63: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Figura 17: Aproximatii ale lui δ

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Semnale Singulare

Page 64: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Mai precis, distributia (impulsul) Dirac este o functionala (pe spatiul functiilor test)definita prin

δ(f) = f(0) FORMAL!=∫ +∞

−∞δ(τ)f(τ) dτ . (4)

Se poate defini ın mod similar distributia asociata semnalului treapta unitara,

1(f) :=∫ +∞

−∞1(τ)f(τ) dτ =

∫ ∞

0

f(τ) dτ .

Sa mai notam ca, ın conformitate cu (4), impulsul Dirac este element neutru la convolutiepentru semnalele continuale (se ia f(τ) := h(t − τ), t fixat).

Spre deosebire de δ (semnal singular), elementul neutru al operatiei de convolutie discretaeste impulsul discret, care este un semnal regulat.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Semnale: Semnale Singulare

Page 65: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

2. Transformari Integrale

Transformarea Fourier + Fourier discreta

Transformarea Laplace + Laplace discreta sau transformarea Z

Transformarea Fourier.

Definitia 11. Fie f ∈ L1(R), f contina. Atunci functia

F : jR → C, F (jω) :=∫ +∞

−∞f(t) e−jωt dt (5)

este bine definita, continua si marginita pe R, si se numeste transformata Fourier a luif ın punctul jω.Aplicatia f → F , F = F(f), se numeste transformarea Fourier; F este un operatorliniar, F : L1(R) → C0, unde C0 este multimea functiilor continue si marginite pe R,avand limitele la ±∞ egale cu 0.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Transformari Integrale

Page 66: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Interpretare fizicaNota. Am notat domeniul de definitie a lui F cu jR (ın loc de R), respectiv argumentulfunctiei F cu jω (ın loc de ω) pentru a sublinia diferenta ıntre axa reala a momentelorde timp si axa reala a frecventelor.

Spectrul ın frecventa al semnalului f(t)

F (jω) = |F (jω)|︸ ︷︷ ︸amplitudinea

e

j arg[F (jω)]︸ ︷︷ ︸faza (6)

Amplitudinea (ın frecventa) a lui f(t) se masoara ın decibeli (dB) iar faza (ın frecventa)a lui f(t) se masoara ın radiani.

Formula (5) poate fi interpretata ca o combinatie liniara de oscilatii armonice ejωt deamplitudine variabila |F (jω)|.

F este o rezolutie de frecventa a lui f , evidentiind amplitudinile (|F (jω)|) oscilatiilorarmonice (ejωt) din care este compusa f .

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Transformari Integrale

Page 67: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Proprietati

0. Formula de inversare. Daca F ∈ L1(jR), adica

∫ +∞

−∞|F (jω)| dω < ∞, atunci

transformata Fourier inversa a lui F , f = F−1(F ), este bine definita si data de

f : R → C, f(t) :=12π

∫ +∞

−∞F (jω) ejωt dω. (7)

1. Liniaritate. Fαf + βg = αF(f) + βF(g).

2. Scalarea axei de timp (asemanare). f(αt) F−→ 1α F (jω

α ), α > 0.

3. Translatie ın timp. f(t − τ) F−→ e−jωτ F (jω), τ ∈ R.

4. Translatie ın frecventa. ejλτf(t) F−→ F (j(ω − λ)), λ ∈ R.

5. Convolutie ın domeniul timp. (Produs ın domeniul frecventa).

f ∗ gF−→ F(f) F(g) = FG.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Transformari Integrale

Page 68: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

(f ∗ g)(t) = F−1(FG) =12π

∫ +∞

−∞F (jω)G(jω) ejωt dω.

6. Produs ın domeniul timp. (Convolutie ın domeniul frecventa).

f gF−→ = 1

∫ +∞−∞ F (j(w − λ))G(jα) dα.

7. Egalitatea lui Parseval. Fie u ∈ L1(R)∩L2(R) (care este o multime densa ın L2(R))si U = F(u). Atunci

‖u(t)‖2 =1√2π

‖U(jω‖2 =1√2π

(∫ +∞

−∞|U(jω)|2 dω

)12

iar transformarea u → 1√2πF(u) este un izomorfism de spatii Hilbert, de la L2(R) la

L2(jR).

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Transformari Integrale

Page 69: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Convolutie. Filtrare.

Ecuatiile y(t) = (h ∗ u)(t) Y (jω) = H(jω) U(jω) descriu un filtru de frecventa.

De exemplu, sistemul auditiv se comporta ca un filtru.

Convolutia “distruge” toate frecventele (oscilatiile armonice) care intra ın componentalui u, dar care nu apar ın h. Sunt frecventele la care H(jω) este 0 sau foarte apropiatde 0.

Filtrare & predictie: N. Wiener 1930.

Fie h ∈ L1(R), cu H(jω) = 0, ∀ ω ∈ R si fie de asemenea un semnal y ∈ R. Atunci,

pentru orice ε > 0, exista u cu proprietatea ca

∫ +∞

−∞|(h ∗ u)(t) − y(t)|dt < ε.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Transformari Integrale

Page 70: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Transformarea Fourier discreta

Consideram multimea de momente de timp finita T = 0, 1, 2, . . . , N − 1, N ≥ 2.Orice sir (xn)n∈T se numeste semnal finit cu N esantioane.

Definitia 12. Se numeste transformare Fourier discreta a semnalului (xn)n∈T un altsemnal finit (Xk)k∈T definit de

Xk =N−1∑n=0

xn e−j2πN kn =

N−1∑n=0

xn akn, a := e−j2πN . (8)

Xk se numeste esantionul spectrului lui x pe frecventa k.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Transformari Integrale

Page 71: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Daca notam xT =[x0 x1 · · · xN−1

]si XT :=

[X0 X1 · · · XN−1

]atunci

relatia (8) se poate rescrie ın forma matriceala

X = Wx, unde W :=

⎡⎢⎢⎢⎢⎣1 1 · · · 11 a · · · aN−1

1 a2 · · · a2(N−1)

... ... ...1 aN−1 · · · a(N−1)×(N−1)

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ .

Deoarece W W = W W = N IN , rezulta imediat formula de inversare a transformateiFourier discrete:

x =1N

W X.

Cu W s-a notat conjugata matricii W .

Transformata Fourier discreta este utilizata la calculul transformatei Fourier.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Transformari Integrale

Page 72: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Presupunem ca x(t) este nula ın afara unui interval I. Se aleg (in I) N esantioane(N = 2p) si se obtine (xn)n∈T . Se calculeaza esantioanele spectrului X(jω) ın punctele0, 2π/N , 4π/N , ..., 2π(N − 1)/N ,

X(j2π

Nk) =

∫I

x(t) e−j2πN kt dt.

Integrala se aproximeaza cu ajutorul unei sume ın care apar cele N esantioane ale lui x.

Transformata Fourier Rapida: Procedura de calcul eficient.

Detalii complete la cursul de Prelucrare Numerica a Semnalelor.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Transformari Integrale

Page 73: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Transformarea Laplace

Consieram transformarea Laplace unilaterala (la dreapta).

Definitia 13. Fie f ∈ SR. Se numeste transformata Laplace unilaterala la dreapta a luif ın punctul s

F (s) :=∫ ∞

0

f(t) e−std t. (9)

F este bine definita ın s (integrala improprie converge) daca s ∈ S+f ,

unde S+f = s ∈ C : (9) este absolut convergenta.

Aplicatia fL+→ F se numeste transformarea Laplace (unilaterala la dreapta).

Nota: Se pot defini ın mod similar transformatele Laplace unilaterala la stanga (L−) sibilaterala (L): orizontul de integrare se ia ın (9) (−∞, 0), respectiv (−∞,∞).

Notatie: Vom nota de aici ınainte pe L+ cu L; discutam numai despre transformareaLaplace unilaterala la dreapta.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Transformari Integrale

Page 74: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Functii original (Laplace)

Introducem clasa functiilor original. Spunem ca f : R → C este o functie original(Laplace), f ∈ O, daca f are urmatoarele proprietati:

(i) f(t) = 0, pentru t < 0.

(ii) f este continua pe portiuni ın [0,∞).

(iii) exista M > 0, s0 > 0 astfel ıncat |f(t)| < M es0t, pentru orice t ≥ 0. Numarulreal s0 se numeste indice de crestere (exponentiala).

Teorema 14. Fie f ∈ O o functie fixata de indice s0.Atunci S+

f = s ∈ C : Re s > s0 si F (s) este olomorfa ın S+f .

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Transformari Integrale

Page 75: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Notatie. Terminologie. Transformata Laplace a functiei f ın punctul s: F (s) =Lf(t)(s). Transformarea Laplace: F = L(f).Functia F se numeste functia imagine (Laplace) a functiei (original) f .

Exemplu. Functia treapta unitara1(t) este o functie original avand s0 = ε > 0.Atunci S+

f = s ∈ C : Re s > 0 si

L1(t)(s) =∫ ∞

0

e−stdt =1s.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Transformari Integrale

Page 76: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Proprietati

0. Transformata Laplace inversa. Fie f ∈ O cu indicele de crestere s0 si F = L(f).Atunci

f(t) :=1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞F (s) est ds, ∀ σ > s0, si t ≥ 0. (10)

1. Liniaritate. Lαf + βg(=)αF + βG.

2. Asemanare (scalarea axei de timp). Lf(αt)(s) =1α

F (s

α).

3. Translatie (ıntarziere) ın timp. Lf(t − τ)(s) = e−τs F (s), τ > 0.

4. Translatie ın frecventa. Le−at f(t)(s) = F (s + a).

5. Derivarea imaginii. Ltn f(t)(s) = (−1)n F (n)(s).

6. Derivarea functiei original. Daca f, f′, . . . , f (n) ∈ O, atunci

Lf (n)(t)(s) = snF (s) − sn−1 f(0+) − . . . − f (n−1)(0+),

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Transformari Integrale

Page 77: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

unde g(0+) = limt0

g(t) este limita la dreapta ın 0 a functiei g.

In particular, Lf ′(t)(s) = sF (s) − f(0+).

7. Teorema valorii finale. Daca f, f′ ∈ O si daca exista lim

t→∞f(t) not= f(∞)< ∞,

atunci lims→0

sF (s) = f(∞).

8. Teorema valorii initiale. Daca f, f′ ∈ O si daca exista lim

s→∞sF (s), atunci

lims→∞

sF (s) = f(0+).

9. Convolutia. Daca h, u ∈ O si h ∗ u este bine definita, atunci y = h ∗ u este functieoriginal si

Ly(t)(s) = H(s)U(s) (11)

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Transformari Integrale

Page 78: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exemple

1. Lt 1(t)(s) 5=1s2

. L tn−1

(n−1)! 1(t)(s) 5=1sn

.

2. Leat 1(t)(s) 4=1

s − a.

3.

Lcos ωt(s) = L12(ejωt + e−jωt)(s) 1=

12Lejωt(s) +

12Le−jωt(s)

4=12

1s − jω

+12

1s + jω

=s

s2 + ω2

In mod similar se obtine Lsin ωt(s) =ω

s2 + ω2.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Transformari Integrale

Page 79: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Transformata Z (Laplace discreta)

Definitia 15. Fie x : Z → R (C) un semnal discret. Se numeste transformata Zunilaterala la dreapta a lui x ın punctul z, functia

X(z) =∞∑

k=−∞x(k) z−k, (12)

definita pe S+,dx - domeniul de convergenta al seriei (12).

Vom nota in mod obisnuit X(z) = Zx(k)(z), sau, mai simplu, X = Z(x).

Aplicatia x → X se numeste transformarea Z.

Domeniul de convergenta S+,dx este in mod uzual o coroana circulara.

Detalii complete: TSII - capitolul Sisteme discrete.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Transformari Integrale

Page 80: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

3. Sisteme. Proprietati Fundamentale.

Definitia 16. Intelegem prin sistem ın acceptiunea intrare-iesire o aplicatie T : U → Y,y = T (u), unde U , Y sunt spatiul semnalelor de intrare, respectiv spatiul semnalelor deiesire.

Sistemul se numeste (cu timp) continuu daca U si Y sunt spatii de semnale continuale,(cu timp) discret daca U si Y sunt spatii de semnale discrete, respectiv hibrid daca U siY sunt unul spatiu de semnale continuale iar celalalt spatiu de semnale discrete.

In mod uzual U ,Y ∈ SR,SC,SdR,Sd

C.

Caz remarcabil: U = L2(R)(l2(Z)

), Y = L2(R)

(l2(Z)

).

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme. Proprietati Fundamentale

Page 81: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Sisteme liniare

Definitia 17. Fie sistemul T : U → Y, y = Tu, unde U si Y sunt spatii liniare. Daca Tsatisface principiul superpozitiei,

T (α1u1 + α2u2) = α1T (u1) + α2T (u2), ∀ u1, u2 ∈ U , ∀ al1, α2 ∈ R(C),

atunci T este un sistem liniar.

Exercitiu: aratati ca circuitul RC defineste un sistem liniar.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme. Proprietati Fundamentale

Page 82: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Invarianta ın timp

Definitia 18. Un sistem T : U → Y, y = T (u), este invariant ın timp daca

στT = Tστ ,∀ τ ∈ R, (13)

unde στ este operatorul de translatie (shift) introdus ın (3).

Aceasta proprietate este ilustrata ın figura 18 care poate fi interpretata astfel: dacala intrarea u (arbitrar alesa dar fixata) raspunsul sistemului este y = Tu, atunci secunoaste raspunsul sistemului la orice intrare de tipul u(t − τ), τ ∈ R: acesta estey(t − τ).

Intr-adevar, din (13) rezulta ca σθTu = Tστu, sau echivalent, στy = y(t − τ) =T (u(t − τ)).

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme. Proprietati Fundamentale

Page 83: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Figura 18: Invarianta ın timp

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme. Proprietati Fundamentale

Page 84: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exemple

1. Fie sistemul y = T (u), y(t) = u2(t).Este sistemul liniar ? Nu. De exemplu, T (3 u) = 32u2 = 3 T (u) = 3u2.Este sistemul invariant ın timp ? Da. Fie u un semnal de intrare oarecare si fiey(t) = u2(t) semnalul de iesire corespunzator. Fie τ ∈ R; notam uτ(t) := u(t − τ),yτ(t) := y(t − τ). Atunci T (uτ) = u2(t − τ) = y(t − τ) = yτ , asadar sistemul esteinvariant ın timp.

2. Fie sistemul y = T (u), y(t) = t2 u(t).Este sistemul liniar ? Da. [T (αu+βv)](t) = t2(αu(t)+βv(t)) = α[T (u)](t)+β[T (v)](t).Este sistemul invariant ın timp ? Nu. Consideram u(t) = 1(t). Atunci y(t) = t21(t) siyτ(t) = (t − τ)21(t − τ); insa y(t) = [T (uτ)](t) = t21(t − τ) = yτ(t).

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme. Proprietati Fundamentale

Page 85: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Cauzalitate

Definitia 19. Un sistem T : U → Y, y = T (u), este cauzal daca:

1. iesirea la momentul τ , y(τ), nu depinde de intrarea sistemului u(θ) evaluata lamomente de timp ulterioare lui τ , θ > τ .

sau, echivalent

2. u1(t) = u2(t) pentru orice t ≤ τ , implica y1(t) = y2(t) pentru orice t ≤ τ .

sau, echivalent

3. Pτ,−TPτ,− = Pτ,−T ⇔ Pτ,−TPτ,+ = 0, pentru orice τ ∈ R.

Operatorii de la punctul 3. sunt familiile de proiectori Pτ,±, τ ∈ R,

(Pτ,−u)(t) =

u(t) t ≤ τ0 t > τ

; Pτ,+ = 1 − Pτ,−.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme. Proprietati Fundamentale

Page 86: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Figura 19: Cauzalitate

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme. Proprietati Fundamentale

Page 87: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Observatia 20. Daca ın definitiile 18 si 19 ınlocuim pe t cu k, pe τ cu n si respectiv peR cu Z, obtinem definitiile invariantei ın timp si cauzalitatii pentru sistemele discrete.

Exercitiu. Este sistemul discret y(n) = u(n − 1) + u(n − 1) cauzal ? Dar liniar siinvariant ın timp ?Scrieti definitiile 18 si 19 pentru sisteme discrete.

Se poate “descrie” un sistem care este liniar, invariant ın timp si cauzal ?

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme. Proprietati Fundamentale

Page 88: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

4. Sisteme de Convolutie

In anumite situatii (care depind de proprietati ale spatiilor de semnale U si Y) se poatearata ca un sistem liniar si invariant ın timp este un sistem de convolutie.

Un sistem y = Tu este un sistem de convolutie daca exista un semnal h astfel ıncaty = h ∗ u. Functia h se numeste functia pondere a sistemului de convolutie.

Sistem de convolutie cu timp continuu:

y(t) =∫ +∞

−∞h(t − τ)u(τ)dτ =

∫ +∞

−∞h(θ)u(t − θ)dθ.

Sistem de convolutie cu timp discret:

y(n) =+∞∑

k=−∞h(n − k)u(k) =

+∞∑l=−∞

h(l)u(n − l).

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme de Convolutie

Page 89: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Propozitia 21. Un sistem de convolutie este liniar si invariant ın timp.

Demonstratie. Liniaritate. Daca y1(t) = (h ∗ u1)(t) si y2(t) = (h ∗ u2)(t), atunci

y(t) =∫ +∞

−∞h(t − τ)(u1(τ) + u2(τ))dτ

=∫ +∞

−∞h(t − τ)u1(τ)dτ +

∫ +∞

−∞h(t − τ)u2(τ)dτ

= (h ∗ u1)(t) + (h ∗ u2)(t) = y1(t) + y2(t).

Invarianta ın timp. Fie u(k) o intrare oarecare a sistemului de convolutie discrety(n) = (h∗u)(n) si fie y(n) iesirea sistemului la intrarea u(k) = u(k− l), l ∈ Z arbitrar,fixat.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme de Convolutie

Page 90: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Avem

y(n) =+∞∑

k=−∞h(n − k)u(k) =

+∞∑k=−∞

h(n − k)u(k − l)

k−l=m=+∞∑

m=−∞h(n − l − m)u(m) = y(n − l).

Asa cum am mentionat mai ınainte, reciproca acestei propozitii nu este, ın general,adevarata.

Caınd este un sistem de convolutie si cauzal ?Propozitia 22. Un sistem de convolutie y = h ∗ u este cauzal daca si numai dacah(t) = 0 pentru orice t < 0 (h(n) = 0 pentru orice n < 0).

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme de Convolutie

Page 91: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Raspuns ın timp al sistemelor de convolutie

A. Raspunsul la impuls.

1. Cazul discret. Fie y(n) = (h ∗ u)(n) un sistem de convolutie discret. Dacau(k) = δ(k) (impulsul discret a fost introdus ın sectiunea 2.1.1) atunci raspunsulsistemului la impuls este

y⊥(n) =+∞∑

k=−∞h(n − k)δ(k) = h(n). (14)

2. Cazul continuu. Fie y(t) = (h ∗ u)(t) un sistem de convolutie cu timp continuu.Daca u(τ) = δ(τ) (impulsul Dirac a fost introdus ın sectiunea 2.1.4) atunci raspunsulsistemului la impuls este

y⊥(t) =∫ +∞

−∞h(t − τ)δ(τ) dτ = h(t). (15)

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme de Convolutie

Page 92: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Semnificatia functiei pondere

Nota. Justificarea celei de-a doua egalitati din (15) se face ın cadrul teoriei distributiilor.Se ia f(τ) = h(t − τ) ın egalitatea (4) si se obtine (15) (vezi si sectiunea 2.1.4).

Functia pondere a unui sistem de convolutie este raspunsul la impuls alsistemului respectiv.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme de Convolutie

Page 93: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

B. Raspunsul la treapta unitara.

1. Cazul discret. Fie y(n) = (h ∗ u)(n) un sistem de convolutie discret, undeu(k) = 1(k). Atunci raspunsul sistemului este

y1(n) =∞∑

k=−∞h(n − k)1(k) =

n∑l=−∞

h(l). (16)

2. Cazul continuu. Fie y(t) = (h ∗ u)(t) un sistem de convolutie cu timp continuu,unde u(τ) = 1(τ). Atunci raspunsul sistemului este

y1(t) =∫ +∞

−∞h(t − τ)1(τ) dτ =

∫ t

−∞h(θ) dθ. (17)

Se observa ca h(t) = y⊥(t) =dy1(t)

dt: functia pondere este derivata a raspunsului la

treapta unitara.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme de Convolutie

Page 94: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

5. Raspuns in Frecventa. Functie de Transfer2.

C. Raspunsul la intrare de tip armonic. Fie u(t) = ejωt, unde ω = 2πf este pulsatia iarf este frecventa semnalului armonic.

y∼(t) =∫ +∞

−∞h(θ)ejω(t−θ) dθ =

∫ +∞

−∞h(θ)e−jωθ dθ ejωt

= h(jω) u(t). (18)

Functia

h(jω) =∫ +∞

−∞h(θ)e−jωθ dθ

este raspunsul ın frecventa al sistemului de convolutie y = h ∗ u.

2Incepand cu sectiunea 2.5 ne vom concentra atentia ın exclusivitate asupra sistemelor cu timp continuu. Cazul discretva fi reluat ın capitolul dedicat sistemelor discrete.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Raspuns in Frecventa. Functie de Transfer

Page 95: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

ProprietatiObservatia 23.

1. h(jω) = H(jω), unde H(jω) este transformata Fourier a functiei pondere h. Aceastaeste bine definita daca h ∈ L1(R).

2. y∼(t) este un semnal armonic de acceasi frecventa ω cu intrarea u(t), dar deamplitudine si faza modificate.

3. Mai precis, fie u(t) = A cos ωt si h(jω) = |h(jω)| ejarg[h(jω)].Atunci se poate arata ca (exercitiu)

y∼(t) = A|h(jω)| cos(ωt + arg[h(jω)]). (19)

4. Daca h(t) ia valori reale, atunci se poate demonstra ca (exercitiu)

h(jω) = h(−jω),

de unde |h(jω)| = |h(−jω)|, arg[h(−jω)] = −arg[h(jω)].

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Raspuns in Frecventa. Functie de Transfer

Page 96: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Divizorul de tensiune: reluat

Figura 20: Divizorul de tensiune ın curent alternativ

Exemplul 24. Ecuatiile (cu u = vi, y = vo)

di

dt= −R

Li +

1L

u, i(0) = 0

y = Ri

Rezulta i(t) =∫ t

0

e−RL(t−τ) 1

Lu(τ)dτ , de unde

y(t) = R

∫ t

0

e−RL(t−τ) 1

Lu(τ)dτ =

(R

Le−

RL(·) ∗ u

)(t), y = T (u);

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Raspuns in Frecventa. Functie de Transfer

Page 97: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Egalitatea de mai sus arata ca circuitul defineste un sistem de convolutie (cauzal).

Functia pondere este h(t) =R

Le−

RL(t) pentru t ≥ 0 si h(t) = 0 pentru t < 0.

Functia de raspuns ın frecventa este

h(jω) =∫ ∞

0

R

Le−

RL(θ)e−jωθ dθ =

R

jωL + R,

ceea ce arata ca circuitul LR are un comportament de tip filtru trece-jos. Intr-adevar,relatia (19) arata ca amplitudinea iesirii vo(t) la o intrare de tip armonic de pulsatie“mare” (de exemplu, vi(t) = A cos ωt cu ω > 103R/L) este practic 0. Filtrul “distruge”

amplitudinile oscilatiilor armonice de frecventa mare, pentru care h(jω) ≈ 0.

Pe de altaparte, relatia Vo(s) =R

sL + RVi(s) caracterizeaza comportamentul I/O ın

domeniul operational.

H(s) :=R

sL + Reste asa-numita functie de transfer a circuitului.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Raspuns in Frecventa. Functie de Transfer

Page 98: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Functie de transfer

Fie sistemul de convolutie y = h ∗ u. Fie s ∈ C si u(t) = est. Raspunsul sistemului este

y(t) =∫ +∞

−∞h(θ)es(t−θ) dθ =

∫ +∞

−∞h(θ)e−sθ dθ est

= H(s) u(t). (20)

Functia

H(s) =∫ +∞

−∞h(t)e−st dt (21)

este functia de transfer a sistemului de convolutie y = h ∗ u.Aceasta este bine definita ın punctele s ∈ C pentu care integrala din (21) convergeabsolut, adica ın Sh.

Daca sistemul de convolutie este cauzal (h(t) = 0 pentru t < 0), atunci

H(s) =∫ ∞

0

h(t)e−st dt (22)

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Raspuns in Frecventa. Functie de Transfer

Page 99: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

este transformata Laplace (unilaterala, la dreapta) a functiei pondere h(t);domeniul de definitie: S+

h .

Daca S+y ⊂

(S+

h ∩ S+u

)si U(s) = Lu(t)(s), Y (s) = Ly(t)(s), atunci

Domeniul frecventa : Y (s) = H(s) U(s)

(23)

Domeniul timp : y(t) = (h ∗ u)(t)

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Raspuns in Frecventa. Functie de Transfer

Page 100: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Observatii

1. In mod uzual, vom considera sisteme de convolutie cauzale ale caror functii pon-dere sunt functii original (Laplace). De pilda, ecuatiile diferentiale liniare cu coeficienticonstanti definesc astfel de sisteme (vezi exemplul ). Cum semnalele (de intrare) standardsunt de asemenea functii original, u ∈ O, rezulta ca y = h ∗u ∈ O si Y (s) = H(s)U(s).

2. De altfel, egalitatile (23) sunt valabile ıntr-un context mai larg, impus de situatia ıncare sistemul este definit de o ecuatie diferentiala. Vom considera ın cele ce urmeazasisteme de convolutie avand functii de transfer rationale, definite de ecuatii diferentialeliniare avand coeficienti constanti.

3. Formulele (23) sugereaza o metoda de calcul (analitic) a raspunsului unui sistempentru o intrare data. Cum H(s) si U(s) se cunosc, Y (s) rezulta ın mod banal si y(t)se obtine ca transformata Laplace inversa a lui Y (s).

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Raspuns in Frecventa. Functie de Transfer

Page 101: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

6. Sisteme de Convolutie cu Functii de Transfer Rationale

• Ecuatiile fizico-matematice ale unui sistem: exprimarea matematica a relatiilor dintrevariabilele care intervin ın sistemul fizic.

• Relatiile dintre variabile ecuatii diferentiale: exprima ın mod obisnuit o ecuatiede echilibru, determinata de principiile (legile) fizicii care descriu fenomenele care au locın sistem.

• Sisteme fizice cu parametri constanti. Elemente liniare, intervale de liniaritate,liniarizare. Sisteme fizice cu parametri concentrati.

Modele matematice:

Ecuatii diferentiale ordinare, liniare si cu coeficienti constanti.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme de Convolutie cu Functii de Transfer Rationale

Page 102: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exemplu: circuitul RLC serie

- intervin elemente liniare de circuit: R, L, C (de exemplu, R este un element liniarnumai ın intervalul de functionare pentru care a fost prevazut: legea lui Ohm).

- coeficientii sunt constanti (ipoteza de lucru: capacitatea condensatorului variaza foartelent cu timpul, fiind practic constanta).

Relatia dintre variabile (scrisa ın baza legilor lui Kirchoff si a caracteristicilor curent-tensiune la bornele elementelor R, L, C): ecuatie diferentiala ordinara, liniara si cucoeficienti constanti.

LCd2vo

dt2+ RC

dvo

dt+ vo = vi(t).

In acceptiunea I/O:

vi (tensiunea la bornele circuitului) - intrarea sistemuluivo (tensiunea la bornele condensatorului) - iesirea sistemului.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme de Convolutie cu Functii de Transfer Rationale

Page 103: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Ecuatia (fortata sau comandata) defineste (ın mod riguros) un sistem.

In ce maniera ?

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme de Convolutie cu Functii de Transfer Rationale

Page 104: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Ecuatii diferentiale (fortate)

Se considera ecuatia diferentiala ın y:

andny

dtn+ an−1

dn−1y

dtn−1+ . . . + a1

dy

dt+ a0y

= bmdmu(t)

dtm+ bm−1

dm−1u(t)dtm−1

+ . . . + b1du(t)

dt+ b0u(t), an = 0. (24)

Numarul n ∈ N se numeste ordinul ecuatiei diferentiale.

Rescriere compacta (D este operatorul diferential):

A(D) y(t) = B(D) u(t), (Dx)(t) =dx(t)

dt, (Dkx)(t) =

dkx(t)dtk

;

Aici A(s) = ansn + . . .+ a0, B(s) = bmsm + . . .+ b0 sunt polinoame cu coeficienti reali(sau complecsi - foarte rar!).

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme de Convolutie cu Functii de Transfer Rationale

Page 105: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

“Reteta” clasica de rezolvare

1. Se determina solutia ecuatiei omogene A(D) y(t) = 0 avand ecuatia caracteristuicaA(s) = 0. Fie λ1, ... , λr radacinile acesteia de multiplicitati m1, ... , mr.

Solutia ecuatiei omogene are forma generala

yo(t) =r∑

i=1

πi(t) eλit,

unde πi(t) sunt polinoame de grad cel mult mi − 1 ın t, ai caror coeficienti se determinadin conditiile initiale.

2. Se determina (pentru u(t) specificat) o solutie particulara yp(t) a ecuatiei completeA(D) y(t) = B(D) u(t).

3. Solutia generala estey(t) = yo(t) + yp(t)

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme de Convolutie cu Functii de Transfer Rationale

Page 106: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Rezolvarea ecuatiei diferentiale cu ajutorul transformarii Laplace

Se aplica transformarea Laplace ın ambii membri ai ecuatiei (24). Cu notatiile obisnuiteLu(t)(s) = U(s), Ly(t)(s) = Y (s), se obtine (utilizand proprietatea 6. a trans-formarii Laplace)

an[snY (s) − sn−1y(0+) − . . . y(n−1)(0+)] + . . . + a1[sY (s) − y(0+)] + a0Y (s)

= bm[smU(s) − sm−1u(0+) − . . . u(m−1)(0+)] + . . . + b1[sU(s) − u(0+)] + b0U(s)

sau, ın forma compacta,

A(s)Y (s) − Ai(s) = B(s)U(s) − Bi(s)

unde Ai(s) = any(0+)sn−1 +[any′(0+)+an−1y(0+)]sn−2 + . . .+[any(n−1)(0+)+ . . .+a1y(0+)], Bi(s) = bmu(0+)sm−1+[bmu′(0+)+am−1u(0+)]sm−2+. . .+[bmu(m−1)(0+)+. . . + b1u(0+)] sunt polinoame de grad cel mult egal cu n − 1, respectiv m − 1.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme de Convolutie cu Functii de Transfer Rationale

Page 107: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Rezulta

Y (s) =B(s)A(s)

U(s)︸ ︷︷ ︸Componenta fortata

+Ai(s)A(s)︸ ︷︷ ︸

Componenta libera

− Bi(s)A(s)︸ ︷︷ ︸

Conditii initiale u

(25)

In conditii initiale nule, y(0+) = y′(0+) = . . . = y(n−1)(0+) = 0 si u(0+) = u′(0+) =. . . = u(m−1)(0+) = 0, ecuatia (25) devine

Y (s) = H(s)U(s), unde H(s) :=B(s)A(s)

este functia de transfer definita de ecuatia (24).

De cele mai multe ori, ın mebrul drept al ecuatiei diferentiale (24) nu apar derivatele luiu (m = 0), situatie ın care (B(s) = b0, Bi(s) = 0)

Y (s) = H(s)U(s) +Ai(s)A(s)

.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme de Convolutie cu Functii de Transfer Rationale

Page 108: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Consideratii finale

“Morala”: Ecuatia diferentiala (24) defineste un sistem de convolutie, y = h ∗ u, avand

functie de transfer rationala, H(s) =B(s)A(s)

, a carui functie pondere este data de

h(t) = L−1(H(s))(t).

Acest sistem u → y realizeaza tranzitia ıntre semnalul de intrare (comanda) u sicomponenta fortata a raspunsului sistemului (solutiei ecuatiei diferentiale).

Celelalte componente ale raspunsului (solutiei) sunt nule ın conditii initiale nule.

Componenta libera corespunde unei solutii a ecuatiei omogene, ın conditii initiale date.

Capitolul 2 - Semnale si Sisteme. Sisteme de Convolutie cu Functii de Transfer Rationale

Page 109: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

CAPITOLUL 3: SISTEME CONTINUE SISO

PREAMBUL: Functii rationale O functie rationala

H(s) =bmsm + . . . + b1s + b0

ansn + . . . + a1s + a0=

B(s)A(s)

se numeste:

- (strict) proprie, daca (m < n) m ≤ n.- biproprie, daca m = n.- improprie, daca m > n.

Presupunem ca H(s) este o rationala ireductibila.Radacinile polinomului B(s) sunt zerourile finite ale lui H(s).Radacinile polinomului A(s) sunt polii finiti ai lui H(s).

Zerourile/polii la infinit ale rationalei H(s) sunt zerourile/polii ın 0 ale rationalei H

(1s

).

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Preambul 108

Page 110: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Se considera ca o astfel de rationala are un numar egal de poli si zerouri (numarandmultiplicitatile si zerourile/polii de la infinit).

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Preambul 109

Page 111: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

De exemplu, o rationala strict proprie, H(s) =2s − 1s3 + 1

are 3 poli finiti, un zero finit si

doua zerouri infinite.

Se vede imediat ca H

(1s

)=

(2 − s)s2

1 + s3are doua zerouri ın 0.

O rationala strict proprie are n poli finiti, m zerouri finite si n − m zerouri la infinit.

Rationalele biproprii au toti polii si toate zerourile finite, ın timp ce rationalele impropriiau n poli finiti, m − n poli la infinit si m zerouri finite.

Consideram ın cele ce urmeaza sisteme de convolutie cauzale care admit functii detransfer rationale, proprii, avand coeficienti reali.

Acestea sunt sisteme cu o intrare si o iesire: sisteme SISO (Single Input/Single Output).

Acest capitol este dedicat ANALIZEI sistemelor continue cu o intrare si o iesire.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Preambul 110

Page 112: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

1. Raspunsul sistemelor SISO

SISTEM ≡ H(s) - rationala proprie cu coeficienti reali

y = h ∗ u Y (s) = H(s)U(s)

Se dau h si u - H(s) si U(s). Se cere y(t) = L−1(Y (s))(t).Y (s) este o functie rationala strict proprie cu coeficienti reali. Cum se calculeazatransformata Laplace inversa a unei astfel de functii ?

Problema. Se da o rationala strict proprie cu coeficienti reali

F (s) =βmsm + . . . + β1s + β0

αnsn + . . . + α1s + α0=

r(s)p(s)

.

Se cere

L−1(Y (s))(t) =1

2πj

∫ c+j∞

c−j∞F (s) estds.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor SISO

Page 113: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Descompunere ın fractii simple: Teorema dezvoltarii.

Fie pi polii lui F (s) (radacinile lui p(s)). Distingem mai multe cazuri:

I. Poli reali simpli.

F (s) =r(s)

αn(s − p1)(s − p2) . . . (s − pn)=

A1

s − p1+

A2

s − p2+ . . . +

An

s − pn(26)

unde

Ai = (s − pi)F (s)|s=pi=

r(pi)p′(pi)

(27)

Rezultaf(t) := L−1(F (s))(t) = A1 ep1t + A2 ep2t + . . . + An epnt.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor SISO

Page 114: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

II. Poli simpli, reali sau complecsi. Polii complecsi apar ın perechi complex conjugate.Fie o astfel de pereche p1,2 = σ ± jω, p2 = p1.

Deoarece toti polii sunt simpli, descompunerea (26) este ın continuare valabila,

F (s) =A1

s − p1+

A2

s − p2+

A3

s − p3+ . . . +

An

s − pn.

Conform relatiei (27), A2 =r(p2)p′(p2)

=r(p1)p′(p1)

= A1.

Rezulta

L−1

(A1

s − p1+

A2

s − p2

)(t) = A1 ep1t + A1 ep1t = eσt(A1e

jωt + A1e−jωt)

= 2eσt|A1| cos(ωt + φ1), φ1 = arg[A1].

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor SISO

Page 115: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Daca F (s) are 2m poli complecsi simpli (adica m perechi complex conjugate,p2i−1,2i = σi ± jωi, i = 1 : m) si n − 2m poli reali simpli, atunci

F (s) =m∑

i=1

Ai

s − pi+

Ai

s − pi+

n∑i=2m+1

Ai

s − pi.

Asadar

f(t) =m∑

i=1

2eσit|Ai| cos(ωit + arg[Ai]) +n∑

i=2m+1

Ai epit.

II. Poli multipli.Fie p1, p2, . . . pk polii lui F (s), reali sau complecsi, avan d multiplicitatile m1, m2, . . . mk,m1 + m2 + . . . + mk = n.

Descompunerea lui F se face astfel

F (s) =r(s)

αn(s − p1)m1(s − p2)m2 . . . (s − pk)mk=

k∑i=1

(mi∑l=1

Ail

(s − pi)l

)

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor SISO

Page 116: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

unde

Ail =1

(mi − l)!dmi−l

dsmi−l[(s − pi)miF (s)] |s=pi

.

Se obtine

f(t) =k∑

i=1

(mi∑l=1

Ailtl−1

(l − 1)!

)epit =

k∑i=1

πi(t) epit, cu grad[πi] < mi.

Nota. Am coniderat subınteles faptul ca f(t) = 0 pentru t < 0. Altfel spus,

L−1(A

s − p) = Aept 1(t), L−1(

ω

s2 + ω2) = sin ωt 1(t), etc. Pentru a nu ıncarca ex-

punerea excesiv, am suprimat termenul 1(t) ın toate expresiile de mai sus.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor SISO

Page 117: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Analiza calitativa

Fiecare pol al lui F (s) contribuie cu unul sau mai multi termeni la f(t).

- un pol ın s = a. Termen de tipul eat.

Daca a > 0, eat t→∞→ ∞ iar daca a < 0, eat t→∞→ 0.

- o pereche de poli complex conjugati ın s = σ ± jω. Termen de tipul eσt cos(ωt + φ).Oscilatie amortizata (σ < 0), cu amplitudine crescatoare (σ > 0) sau cu amplitudineconstanta (σ = 0).

- un pol de ordin m ın origine sm = 0. Termen de tipul tm−1.

- un pol de ordin m ın s = a. Termen de tipul tm−1eat.

Daca a > 0, tm−1eat t→∞→ ∞ iar daca a < 0, tm−1eat t→∞→ 0.

- o pereche de poli complex conjugati ın de ordin m ın s = σ ± jω . Termen de tipuleσttm−1ejωt. Oscilatie cu amplitudine descrescatoare (σ < 0) sau crescatoare (σ ≥ 0).Pentru σ = 0 nu apar oscilatii de amplitudine constanta, ci de amplitudine crescatoare.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor SISO

Page 118: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Ce se ıntampla cand F (s) nu este strict proprie ?

Trebuie extrasa mai ınta partea polinomiala, prin ımpartirea lui r(s) la p(s): r = pq + r.

Avem

F (s) = q(s) + F (s) = q(s) +r(s)p(s)

, cu F (s) strict proprie.

Deoarece F (s) este (ın situatiile care ne intereseaza) o rationala proprie, rezulta

q(s) = βm/αn = F (∞) = const.

In concluzie, ın cazul m = n, avem

L−1(F (s))(t) = F (∞)δ(t) + L−1F (s)(t).

Daca F (s) este improprie (m > n), partea polinomiala nu mai este o simpla constanta(a carei transformata Laplace inversa este proportionala cu δ), ci un polinom a caruitransformata Laplace inversa este o suma de semnale singulare (impulsive). Aceastasituatie este ın cadrata de Teoria Distributiilor si nu face obiectul acestui curs.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor SISO

Page 119: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exemplu. Sa se calculeze functia pondere a sistemului cu functia de transfer

H(s) =s2 + 3s + 32s2 + 6s + 4

.

Trebuie sa determinam L−1(H(s)). Se observa ca

H(s) = 0.5 +1

2s2 + 6s + 4= 0.5 +

0.5s + 1

− 0.5s + 2

,

de undeh(t) = 0.5δ(t) + 0.5e−t − 0.5e−2t.

Exercitiu. Demonstrati ca Lδ(t)(s) = 1.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor SISO

Page 120: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

2. Stabilitate

Ideea: un sistem este stabil daca raspunde ın mod adecvat unui stimul extern.

STABILITATE: cerinta fundamentala ın proiectarea sistemelor de reglare automata(SRA).

- SRA: iesirea y “reproduce” referinta r; forma de variatie a lui y ≈ forma de variatie alui r.

- trebuie mentinut controlul variatiei marimilor de iesire; ın plus, marimile fizice careintervin nu pot fi oricat de mari, pentru ca s-ar putea distruge instalatia.

- cerintele de proiectare impun realizarea unui regim stationar (permanent). Acest regimeste realizat de catre sistemele stabile.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Stabilitate

Page 121: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Definitia stabilitatii

Reamintim ca un semnal f : R → R este marginit daca exista M > 0 astfel ıncat

|f(t)| < M, ∀ t ∈ R.

Un semnal mariginit are atat norma sup cat si norma ∞ finite.

Definitia 25. Un sistem y = T (u) este stabil ın sens intrare marginita– iesire marginitasau stabil BIBO3, daca pentru orice intrare u marginita iesirea rezultata, y=T(u), estede asemenea marginita.

Cand este stabil un sistem de convolutie ?

Conditii asupra functiei pondere si/sau asupra functiei de transfer.

3Bounded Input/Bounded Output

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Stabilitate

Page 122: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Stabilitatea sistemelor de convolutie

Teorema 26. Fie Σ un sistem de convolutie y = h ∗ u. Sunt adevarate urmatoareleafirmatii:

(i) Sistemul Σ este stabil daca si numai daca functia pondere este absolut integrabilape R, h ∈ L1(R), adica

‖h‖1 =∫ +∞

−∞|h(t)|dt < ∞.

(ii) Daca Σ este stabil atunci

supt∈R

|y(t)| ≤ ‖h‖1 supt∈R

|u(t)|.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Stabilitate

Page 123: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Stabilitate ın sens nestrict

Observatia 27. Stabilitatea BIBO a sistemelor de convolutie, caracterizata de conditiah ∈ L1(R), se mai numeste si stabilitate externa ın sens strict.

Definitia 28. Un sistem de convolutie y = h ∗ u este stabil extern (sau BIBO) ın sensnestrict daca h(t) este marginita.

Daca y = h ∗u este un sistem de convolutie care admite functie de transfer rationala, sepune problema caracterizarii stabilitatii (ın sens strict sau nestrict) ın termenii functieide transfer a sistemului.

Fie H(s) o rationala proprie, cu coeficienti reali si ireductibila, avand polii pi, i = 1, k.In ce conditii

h(t) = L−1H(s)(t)=k∑

i=1

πi(t) epit + H(∞)δ(t)

este absolut integrabila sau marginita pe R ?

Raspunsul: teorema urmatoare.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Stabilitate

Page 124: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Stabilitatea sistemelor cu functii de transfer rationale

Teorema 29. Fie Σ un sistem avand functia de transfer H(s). Presupunem ca H(s)este ireductibila. Sunt adevarate urmatoarele afirmatii:

(i) Sistemul Σ este stabil BIBO ın sens strict daca si numai daca toti polii functieide transfer H(s) au partea reala strict negativa, adica

Re pi < 0, ∀ i = 1, k.

(ii) Sistemul Σ este stabil BIBO ın sens nestrict daca si numai daca toti poliifunctiei de transfer H(s) au partea reala negativa, adica

Re pi ≤ 0, ∀ i = 1, k

iar acei poli cu Re pi = 0 sunt poli simpli.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Stabilitate

Page 125: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exemple

1. Fie H(s) =s + 1

s2 + s + 1. Polii sistemului sunt p1,2 = −1

2 ± j√

32 . Cum Re p1,2 < 0,

rezulta ca sistemul este stabil (ın sens strict).

2. Fie H(s) =2s − 1

(s2 + 1)(s + 1). Polii sistemului sunt p1,2 = ±j si p3 = −1. Deoarece

Re pi ≤ 0, si −j, j sunt poli simpli, rezulta ca sistemul este stabil (ın sens nestrict).

Nota. In analiza si mai ales ın sinteza sistemelor automate, suntem interesati destabilitatea ın sens strict.

Terminologie: prin stabil ıntelegem stabil ın sens strict !

Cum testam stabilitatea unui sistem oarecare ? In exemplele de mai sus am calculatusor polii sistemului, iar ın cazul general acest lucru nu mai este posibil.

Conditii asupra coeficientilor.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Stabilitate

Page 126: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Criteriul de stabilitate Hurwitz

Problema. Fiind dat un polinom oarecare p(s) cu coeficienti reali, ın ce conditii(exprimate cu ajutorul coeficientilor) are polinomul toate radacinile ın

C− = s ∈ C : Re s < 0?

Teorema 30. Fie polinomul p(s) = ansn+an−1sn−1+. . .+a1s+a0, cu an > 0. Atunci

p(s) are toate radacinile ın C− daca si numai daca toti minorii matricii Hurwitz (28)

sunt strict pozitivi, adica

H[i] > 0 ∀i = 1 : n, unde H :=

⎡⎢⎢⎢⎢⎣an−1 an−3 an−5 . . . 0an an−2 an−4 . . . 00 an−1 an−3 . . .0 an an−2 . . .... ... ... ... ...

⎤⎥⎥⎥⎥⎦∈ Rn×n (28)

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Stabilitate

Page 127: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Observatii

Observatia 31.

1. Un polinom care are toate radacinile ın C− se mai numeste si Hurwitzian (sau

polinom Hurwitz).

2. Ipoteza an > 0 nu restrange ın nici un fel generalitatea; daca an < 0 se utilizeazacriteriul pentru −p(s) (care are aceleasi radacini ca si p).

3. Daca exista un coeficient nul ak = 0 sau 2 coeficienti de semne contrare, aiaj < 0,atunci p(s) nu este Hurwitzian.

4. Criteriul Hurwitz nu furnizeaza nici o informatie cu privire la plasarea polilor - gradulrelativ de stabilitate.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Stabilitate

Page 128: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exemplu: un polinom de gradul 3

Fie p(s) = a3s3 + a2s

2 + a1s + a0, a3 > 0. Avem n = 3 si

H :=

⎡⎣a2 a0 0a3 a1 00 a2 a0

⎤⎦ .

(1) H[1] = a2 > 0.

(2) H[2] = a1a2 − a3a0 > 0. Cu (1) si (3) rezulta a1 > 0.

(3) H[3] = a0(a1a2 − a3a0) > 0. Cu (2) rezulta a0 > 0. Asadar ai > 0, i = 0, 3 sia1a2 − a3a0 > 0 sunt conditii necesare si suficiente pentru ca p(s) sa fie Hurwitzian.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Stabilitate

Page 129: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

3. Regim Permanent si Tranzitoriu

3.1 Regimuri de Functionare Fundamentale.

Figura 21: Sistem de reglare automata

Obiectivul reglarii: procesul de a impune ca anumite variabile specificate (y) ale unuisistem sa urmeze anumite evolutii impuse (r), ın prezenta diferitelor perturbatii (d).Altfel spus, iesirea y trebuie sa urmareasca referinta r. Trebuie “controlate” variatiilemarimii de iesire.

Forma de variatie a marimii de iesire y permite aprecierea regimului de functionare alSRA, aceasta fiind direct influentata dea) cauze externe (referinta, perturbatii)b) cauze interne (transformarea unor energii acumulate ın sistem - tine de elementeleconstructive ale acestuia)

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Regimuri de Functionare Fundamentale

Page 130: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Regim fortat: forma de variatie a lui y reproduce forma de variatie a lui r (sau a lui d).Regimul fortat poate avea un caracter permanent sau stationar daca marimile exogeneısi pastreaza forma de variatie suficient de mult timp, caz ın care el se va numi regimpermanent sau stationar.

Semnale cu caracter permanent sunt, de exemplu, semnalul de tip treapta sau semnalularmonic.

Atunci cand o marime exogena (referinta sau perturbatie) ısi modifica forma de variatieın timp (de exemplu, un semnal de tip treapta este ınlocuit cu un semnal armonic),atunci sistemul poate trece din regimul stationar de tip treapta (I) ıntr-un regim stationarde tip armonic (II).

Regim tranzitoriu: regimul de functionare al unui SRA aflat ın trecerea de la un regimpermanent la alt regim permanent.

“Exemplu”: TRANZITIA (de acum celebra) a societatii romanesti de la un regimpermanent (regimul Ceausescu) la un alt regim permanent (?)

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Regimuri de Functionare Fundamentale

Page 131: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Sistemul nu poate urmari imediat schimbarea formei de variatie ın timp a marimilorexogene: inertie datorata energiei acumulate ın interiorul sistemului.

Regimul liber: cauze interne (detalii complete - Teoria Sistemelor II).

Pentru atingerea obiectivelor reglarii trebuie realizat un regim permanent.

Sistemele ın care se poate realiza un astfel de regim sunt cele stabile.

In aceasta situatie, componentele libera respectiv tranzitorie (datorate unor cauzeinterne) se “sting” dupa suficient de mult timp.

Instabilitatea face ca o parte din marimile fizice care intervin ın sistem sa “o ia razna”sau sa scape de sub control.

O durata prea mare a regimului instabil poate conduce chiar la distrugereainstalatiei/procesului.

Morala: Stabilitatea - cerinta fundamentala ın proiectarea SRA.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Regimuri de Functionare Fundamentale

Page 132: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Semnale cu caracter permanent

Spunem ca un semnal u(t) are caracter permanent daca limt→∞

u(t) = 0sau daca lim

t→∞u(t) nu exista.

Semnale (standard) cu caracter permanent (sau persistente):

u(t) = 1(t), u(t) =t(n−1)

(n − 1)!, u(t) = A ejωt.

Observatia 32. Polii transformatelor Laplace ale unor astfel de semnale sunt ıns ∈ C : Re s ≥ 0.

De exemplu, u(t) = t1(t) este un semnal persistent ( limt→∞

u(t) = +∞), cu Lu(t)(s) =1s2

, pe cand v(t) = e−t 1(t) satisface limt→∞

v(t) = 0, cu Lv(t)(s) =1

s + 1, si nu are

caracter permanent (se “stinge” dupa suficient de mult timp).

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Regimuri de Functionare Fundamentale

Page 133: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Raspuns permanent si raspuns tranzitoriu

Fie sistemul STABIL

H(s) =r(s)p(s)

avand polii pi cu Re pi < 0, i = 1 : k.

Consideram semnalul exogen (intrare, referinta, perturbatie) e(t) a carui transformata

Laplace este He(s) =re(s)pe(s)

. Presupunem ca e(t) are caracter permanent, deci polii lui

He(s), pej, verifica Re pej ≥ 0, j = 1 : n.

Rezulta

Y (s) = H(s) Le(t)(s) = H(s) He(s) =r(s) re(s)p(s) pe(s)

.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Regimuri de Functionare Fundamentale

Page 134: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Cum p si pe nu au radacini comune, Y (s) se descompune ın fractii simple astfel4:

Y (s) =k∑

i=1

Ai

s − pi+

n∑j=1

Aej

s − pej

Deducem ca

y(t) =k∑

i=1

Ai epit︸ ︷︷ ︸yt(t)

+n∑

j=1

Aej epejt

︸ ︷︷ ︸yp(t)

(29)

Componenta yt a raspunsului se numeste raspuns (regim) tranzitoriu iar componenta yp

a raspunsului se numeste raspuns (regim) permanent.

Se observa imediat ca limt→∞

yt(t) = 0 si ca yp(t) reproduce forma de variatie a semnalului

exogen e(t), avand un caracter permanent (explicati de ce).

4Pt. a fixa ideile, am presupus ca atat H(s) cat si He(s) au numai poli simpli. Asa cum se stie, daca apar multiplicitati,ın locul coeficientilor Ai, Aej apar ın expresia (29) polinoamele πi(t), πej(t).

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Regimuri de Functionare Fundamentale

Page 135: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

3.2 Raspunsul Sistemelor la Semnale de Intrare Standard

1. Intrare de tip treapta: u(t) = 1(t); He(s) =1s.

Y (s) = H(s)1s

=k∑

i=1

Ai

s − pi+

A0

s, A0 = sY (s)|s=0= H(0).

Rezulta

y(t) =k∑

i=1

Ai epit︸ ︷︷ ︸yt(t)

+ H(0) 1(t)︸ ︷︷ ︸yp(t)

. (30)

Raspunsul la un semnal de intrare de tip treapta se mai numeste si raspuns indicial.

Observam ca (H(s) stabila si strict proprie)

y(∞) TV F= lims→0

sY (s) = H(0), y(0) TV I= lims→∞

sY (s) = H(∞) = 0.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor la Semnale de Intrare Standard

Page 136: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

2. Intrare de tip polinomial: u(t) = tn−1

(n−1)! 1(t); He(s) =1sn

.

Y (s) = H(s)1sn

=k∑

i=1

Ai

s − pi+

A0n

sn+

A0n−1

sn−1+ · · · + A01

s,

unde

A0l =1

(n − l)!dn−l

dsn−l[snY (s)]|s=0=

H(n−l)(0)(n − l)!

.

Rezulta

y(t) =k∑

i=1

Ai epit︸ ︷︷ ︸yt(t)

+n∑

l=1

H(n−l)(0)(n − l)!

tl−1

(l − 1)!︸ ︷︷ ︸yp(t)

. (31)

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor la Semnale de Intrare Standard

Page 137: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

3. Intrare de tip armonic: u(t) = ejωt 1(t); He(s) =1

s − jω.

Y (s) = H(s)1

s − jω=

k∑i=1

Ai

s − pi+

A0

s − jω, A0 = sY (s)|s=jω= H(jω) ∈ C.

Rezulta

y(t) =k∑

i=1

Ai epit︸ ︷︷ ︸yt(t)

+ H(jω) ejωt︸ ︷︷ ︸yp(t)

. (32)

Asadar, raspunsul permanent sau stationar al unui sistem stabil la o intrare de tiparmonic este un semnal armonic de aceeasi frecventa cu semnalul de intrare, avand ınsaamplitudinea si faza modificate.

Reamintim ca H(jω) = |H(jω)| ej arg[H(jω)] este raspunsul ın frecventa al sistemului.

Mai multe detalii: raspunsul sistemelor elementare la intrari standard.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor la Semnale de Intrare Standard

Page 138: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

3.3 Performante de Regim Permanent si TranzitoriuRevenim la schema standard de reglare din figura 21.

1. Cerinte relative la regimul permanent sau stationar.

• Regim permanent la semnal de tip treapta unitara.

IDEAL: eroare stationara ZERO, ε(∞) = 0. In acest caz, y(∞) = r(∞) = 1.In practica, se va impune o eroare stationara foarte mica. In acest caz, y(∞) ≈ r(∞) = 1.

• Regim permanent la semnal de tip rampa.

Eroare stationara ε(∞) = r(∞) − y(∞) suficient de mica.

• Regim permanent la semnal de tip armonic.

Amplificarea/atenuarea |H(jω)| si defazajul arg[H(jω)] nu trebuie sa depaseasca anu-mite valori impuse, ın intervale de frecventa specificate [ω− , ω+].

Performantele de regim stationar sunt specificate pt. cele 3 tipuri (uzuale) de semnalestandard. Performantele de regim tranzitoriu vor fi specificate doar pt. raspunsul laintrare de tip treapta unitara.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO 3.3 Performante de Regim Permanent si Tranzitoriu

Page 139: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

2. Cerinte relative la regimul tranzitoriu. In figura de mai jos este reprezentat graficraspunsul la treapta y1(t) al unui sistem stabil H(s). Reamintim ca y1 = yt + yp, undeyp(t) = H(0) 1(t).

Figura 22: Regim tranzitoriu la intrare treapta unitara

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO 3.3 Performante de Regim Permanent si Tranzitoriu

Page 140: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

• timp de raspuns suficient de scurt

- timp de crestere tc: timpul ın care y1(t) creste de la 0.1 H(0) la 0.9 H(0) (timpulnecesar ajungerii ın vecinatatea unui nou regim stationar).- timp de varf tv: timpul necesar pt. ca y1(t) sa atinga valoarea maxima.

• calitatea urmaririi treptei

- timp tranzitoriu tt: timpul necesar ıncadrarii raspunsului y1(t) ın intervalul[0.98 H(0) , 1.02 H(0)] (timpul necesar componentei tranzitorii sa devina aproapezero) - marcheaza terminarea regimului tranzitoriu.

Asadar |yt(t)| ≤ 0.02 H(0), pentru t ≥ tt.

- suprareglajul σ: σ =y1,max − yp(t)

yp(t)=

y1,max − H(0)H(0)

%.

- valoarea de varf: y1,max.

Studiu si calcul detaliat: sisteme de ordinul II.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO 3.3 Performante de Regim Permanent si Tranzitoriu

Page 141: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

3.4 Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Consideram sisteme de ordinul I, respectiv de ordinul II.

a) Raspunsurile sistemului de ordinul I la intrare de tip treapta, rampa si de tip armonic.Fie

H(s) =K

Ts + 1,

unde K, T > 0 sunt factorul de amplificare respectiv constanta de timp a sistemului.

- Raspuns la intrare treapta: Y (s) =K

s(Ts + 1)=

K

s− K

s + 1T

. Rezulta

y1(t) = (K − Ke−tT ) 1(t).

Regim stationar: identic cu intrarea (pt. K = 1).Suprareglaj: σ = 0.Timp tranzitoriu: tt ≈ 4T (|−Ke−

tT | < 0.02K, ∀t ≥ 4T ).

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 142: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Figura 23: Raspunsul la treapta al sistemului de ordin ICapitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 143: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

- Raspuns la intrare rampa: Y (s) =K

s2(Ts + 1)=

KT

s + 1T

+H(0)s2

+H ′(0)

s.

yramp(t) = KT e−tT 1(t) + K(t − T ) 1(t).

Regim stationar: NU este identic cu intrarea (pt. K = 1); are doar aceeasi forma devariatie.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 144: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Figura 24: Raspunsul la rampa al sistemului de ordin ICapitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 145: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

- Raspuns la intrare de tip armonic u(t) = ejωt: Y (s) =K

(Ts + 1)(s − jω)=

H(jω)1

s − jω− H(jω)

1s + 1

T

.

y∼(t) = − K

1 + jωTe−

tT +

K

1 + jωTejωt, t ≥ 0.

Regim stationar: Semnal de aceeasi frecventa, cu amplitudine si faza modificate.

Re y∼(t) - raspunsul la intrare cos ωt1(t)

Im y∼(t) - raspunsul la intrare sinωt1(t).

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 146: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

b) Raspunsul sistemului de ordinul II la intrare de tip treapta. Fie

H(s) =ωn

s2 + 2ζωns + ω2n

,

unde ωn > 0 si 0 ≤ ζ ≤ 1 sunt pulsatia naturala, respectiv factorul de amortizare.

Polii sistemului H(s) sunt complex conjugati:

p1,2 = −ζωn ± j ωn

√1 − ζ2 not= σd ± j ωd.

- Raspuns la intrare treapta u(t) = 1(t) :

Y (s) =ωn

s(s2 + 2ζωns + ω2n)

=H(0)

s− s − σd

(s − σd)2 + ω2d

− ωd

(s − σd)2 + ω2d

ζ√1 − ζ2

Deducem ca

y1(t) = 1 − e−ζωnt√1 − ζ2

sin(ωn

√1 − ζ2 t + ϕ), t ≥ 0; cos ϕ = ζ

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 147: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Figura 25: Raspunsul sistemului de ordinul II la intrare treapta unitara

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 148: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

ζ = 0: y1(t) = 1 − cos ωnt - regim oscilant.

ζ = 1: y1(t) = 1 − ωnte−ωnt − e−ωnt - regim critic.

ζ > 1: regim supracritic - sistemul are 2 poli reali simpli.

ζ < 1: regim subcritic - cazul care ne intereseaza; apar oscilatiile amortizate.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 149: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Performante de regim stationar

Determinam punctele critice ale functiei y1(t):

dy1(t)dt

=ωn√1 − ζ2

sin(ωn

√1 − ζ2 t) e−ζωnt = 0.

Rezulta tk =kπ

ωn

√1 − ζ2

, de unde

y(tk) = 1 − (−1)ke−ζωntk =

1 − e−ζωntk k = par minime locale1 + e−ζωntk k = impar maxime locale

Se observa ca ymax = y(t1) = 1 + e− ζπ√

1−ζ2, deci suprareglajul este dat de

σ = e− ζπ√

1−ζ2. (33)

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 150: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Nota: Suprareglajul depinde doar de factorul de amortizare5.

Figura 26: Dependenta suprareglajului de factorul de amortizare

5Erata pe grafic: pt. ζ = 0.4 suprareglajul este cca. 25%-26%

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 151: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Tabel cu valori estimativeζ 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7σ 50% 25% 16% 10% 5%

Estimarea timpului tranzitoriu tt.Daca pt. un extrem local |yt(tk)| < 0.02, atunci |yt(t)| < 0.02 pentru orice t ≥ tk.Se verifica (la fel ca la estimarea tt la sistemele de ordin I) inegalitatea |yt(tk)| < 0.02

pentru orice tk ≥ 4ζωn

. Rezulta

|yt(t)| < 0.02, ∀t ≥ 4ζωn

≈ tt.

Pentru 0.3 < ζ < 0.8, timpul de crestere poate fi apreciat cu ajutorul formulei

tc ≈1.8ωn

.

Timpul de varf, tv, este chiar t1 =π

ωn

√1 − ζ2

.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 152: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Plasarea polilor ın raport cu cerintele de performanta ale regimuluitranzitoriu

Figura 27: Plasarea polilor sistemului de ordin II

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 153: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Problema: Se cere determinarea zonei din planul complex ın care trebuie plasati poliiunui sistem de ordin II, p1,2 = −ζωn ± j ωn

√1 − ζ2, astfel ıncat regimul tranzitoriu sa

ın deplinesca anumite cerinte de performanta impuse: σ ≤ σ0, tt ≤ tt0, tc ≤ tc0.

• Suprareglaj. σ ≤ σ0 implica ζ ≥ ζ0 (vezi figura 26); cum ζ = cos ϕ (0 ≤ φ ≤ π/2),rezulta ϕ < ϕ0, ϕ0 = arccosζ0.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 154: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

• Timp tranzitoriu. Avem tt =4

ζωn≤ tt0, de unde ζωn ≥ 4

tt0.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 155: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

• Timp de crestere. La fel ca mai sus, se deduce ca ωn ≥ 1.8tc0

.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 156: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Toate constrangerile

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 157: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Reglarea pozitiei unghiulare a unei antene de satelitExemplul 33. Ecuatia miscarii ın plan vertical a unei antene de satelit este data de

Jθ + bθ = M

unde θ este unghiul de ınaltare a antenei, J = 6 · 105 kg · m2 momentul de inertie alacesteia, b = 2 · 104 N · m · sec coeficientul de frecare iar M cuplul motor.Se doreste aducerea antenei intr-o pozitie (unghiulara) specificata, θr, utilizand o schemade reglare ın reactie inversa cu un compensator de tip proportional (K), astfel ıncatsuprareglajul SRA sa nu depaseasca 10% iar timpul de crestere sa nu fie mai mare de80sec.

Figura 28: Sistem de reglare automata a pozitiei unghiulare a unei antene

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 158: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Notatie: u = M (comanda), y = θ (iesirea), r = θr (referinta).Verificati ca functiile de transfer ale sistemului, respectiv ale sistemului ın bucla ınchisa,sunt date de

H(s) =1

Js2 + bs, G(s) =

K

Js2 + bs + K=

K/J

s2 + b/J s + K/J.

Sistemul ın bucla ınchisa = sistem de ordinul II, cu ωn =

√K

Jsi ζ =

b

2√

JK.

Din graficul 26 si tabelul aferent se deduce ca σ ≤ 10% implica ζ ≥ 0.6, deci√K ≤ b/(1.2

√J). Rezulta K ≤ 700.

Deoarece tc ≤ 80sec, se obtine imediat inegalitatea ωn ≥ 1.8/80 si rezulta√K ≥

√J1.8/80, de unde K ≥ 300.

Concluzie: Pentru 300 ≤ K ≤ 700, sistemul de reglare este stabil, are eroare stationarazero, suprareglajul mai mic de 10% si un timp de crestere care nu depaseste 80sec.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Raspunsul Sistemelor Elementare la Intrari Standard.

Page 159: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

4. Reprezentarea in frecventa a sistemelor

Electronica: curba de raspuns ın frecventa a unui amplificator arata modul cum seschimba castigul unui amplificator atunci cand frecventa semnalului de intrare variaza.

Banda amplificatorului: plaja de frecvente unde amplificarea este practic constanta, laun nivel apropiat de valoarea sa maxima.

Raspunsul ın frecventa al unui sistem care admite functie de transfer H(s) este

H(jω) = H(s)|s=jω

Pe de alta parte, H(jω)ejωt este raspunsul permanent al unui sistem stabil la o intrare detip armonic, u(t) = ejωt. Mai precis, daca la intrarea sistemului avem u(t) = A sin ωt,raspunsul permanent (sau stationar) al acestuia va fi

yp(t) = A|H(jω)| sin(ωt + φ(ω)),

unde φ(ω) = arg[H(jω)].

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 160: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Reprezentari ın frecventa

Se numeste reprezentare ın frecventa a functiei de transfer H(s), o reprezentare graficaa dependentei numarului complex H(jω) de ω, pentru ω ∈ R.

Numarul complex H(jω) poate fi reprezentat fie ın forma

H(jω) = Re(H(jω)) + jIm(H(jω)) not= U(ω) + jV (ω) (34)

fie ın forma exponentiala (sau polara)

H(jω) = |H(jω)| ejarg[H(jω)] not= H(ω) ejφ(ω) (35)

Vom introduce 2 tipuri de reprezentari:

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 161: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

1. Caracteristicile amplitudine-pulsatie si faza-pulsatie sau caracteristicile(semi)logaritmice sunt graficele amplitudinii H(w) si respectiv ale fazei φ(ω). Acestecaracteristici se mai numesc si diagrame (de tip) Bode.

2. Locul de transfer sau locul Nyquist este hodograful lui Γ(ω) = (U(ω), V (ω))pentru ω ∈ R, adica submultimea lui R

2 ≡ C definita de (U(ω), V (ω)) | ω ∈ R.

Exista si alte reprezentari, cum ar fi caracteristica amplitudine-faza sau locul de transferinvers. Aceste caracteristici se definesc ın mod similar si pentru sistemele discrete (detaliiın semestrul II...)

Observatie. Aceste reprezentari pot fi obtinute pe cale experimentala, fara ca functiade transfer a sistemului sa fie cunoscuta!Exista instrumente care masoara variatiile de amplitudine si faza ın ın raport cumodificarile frecventei semnalului sinusoidal de intrare.

Se poate deduce chiar modelul unui sistem utilizand astfel de dispozitive.Hewlett-Packard 3562A Dynamic Signal Analyzer.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 162: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Deoarece H(s) este o rationala cu coeficienti reali, rezulta ca

H(jω) = U(ω) − jV (ω) = H(jω) = H(−jω) = U(−ω) + jV (−ω)

de unde U(ω) = U(−ω), −V (ω) = V (−ω) pentru orice ω ∈ R. Cu alte cuvinte, U esteo functie para iar V o functie impara de ω. Cum

H(ω) =√

U2(ω) + V 2(ω) si φ(ω) = arctgV (ω)U(ω)

rezulta ca H este o functie para iar φ o functie impara de ω.

Asadar este suficienta trasarea caracteristicilor pentru valori pozitive ale pulsatiei ω.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 163: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Diagrame de tip Bode: H(ω), φ(ω)

Aceste caracteristici se mai numesc si (semi)logaritmice deoarece pe abscisa se alegeo scara logaritmica pentru ω, x = log ω, iar pe ordonata y = H(ω) si y = φ(ω) semasoara ın decibeli

[H]dB := 20 log H, H > 0,

respectiv ın radiani (sau grade).

logx

[y]dB

0 110

210

decadã

Figura 29: Abscisa logaritmica: o decada

log 2 ≈ 0.3, log 5 ≈ 0.7, log 3 ≈ 0.48 (se poate considera chiar 0.5)

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 164: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Reprezentarea sistemelor elementare

1. Elementul (multi)integrator: H(s) =K

sq, K > 0, q ∈ Z.

H(jω) =K

jωq, H(ω) =

K

ωq, φ(ω) = −q

π

2.

Asadar [H(ω)]dB = [K]dB − 20q log ω.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 165: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−180

−90

0

90

180

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

q=−2 q=−1

q=1 q=2

[K]dB

Figura 30: Multiintegrator: q = −2,−1, 1, 2

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 166: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

2. Element de ordinul 1: H(s) =1

Ts + 1, T > 0.

H(jω) =1

jωT + 1, H(ω) =

1√1 + ω2T 2

, φ(ω) = arctg(−ωT ).

Rezulta ca

[H(ω)]dB = 20 log (1 + ω2T 2)−12 = −10 log (1 + ω2T 2).

a) joasa frecventa: ω <<1T

, 1 + ω2T 2 ≈ 1.

In acest caz, avem [H(ω)]dB ≈ 0, φ(0) = arctg(0−) = 0.

b) ınalta frecventa: ω >>1T

, 1 + ω2T 2 ≈ ω2T 2.

In acest caz, avem [H(ω)]dB ≈ 20 log 1/T − 20 log ω, φ(+∞) = arctg(−∞) = −π2 .

c) medie frecventa: ω =1T

.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 167: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

In acest caz, avem [H(ω)]dB = −10 log 2 = −3dB, φ(1/T ) = arctg(−1) = −π4 .

ωT =1T

se numeste pulsatia de frangere.

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

T > 0

Figura 31: Element de ordinul 1

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 168: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

2. Element de ordinul 2: H(s) =ω2

n

s2 + 2ζωns + ω2n

= 1( sωn

)2+2ζ sωn

+1, 0 ≤ ζ ≤ 1.

H(jω) =ω2

n

−ω2 + 2ζωnω + ω2n

=1

1 − x2 + j 2ζx= H(jx)

unde x = ωωn

not= Ω - pulsatie normata. Avem

H(ω) = |H(jx)| =[(1 − x2)2 + 4ζ2x2

]−12 , φ(ω) = arctg

−2ζx

1 − x2

Rezulta ca

[H(ω)]dB = −10 log (1 − x2)2 + 4ζ2x2

a) joasa frecventa: ω << ωn, x << 1. (1 − x2)2 + 4ζ2x2 ≈ 1.

In acest caz, avem [H(ω)]dB ≈ −10 log 1 = 0, φ(0) = arctg(0−) = 0.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 169: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

b) ınalta frecventa: ω >> ωn, x >> 1. 1 − x2)2 + 4ζ2x2 ≈ x4.

In acest caz, avem [H(ω)]dB ≈ −40 log x = 40 log ωn − 40 log ω, φ(+∞) =arctg(0+) = −π.

c) medie frecventa: ω = ωn, x = 1.

In acest caz, avem [H(ωn)]dB = −10 log 4ζ2 = 20 log 12ζ = [ 1

2ζ ]dB, φ(ωn) =arctg(−∞) = −π

2 .

Puncte de extrem. Determinam punctele critice ale functiei [H(ω)]dB(x):

d[H(ω)]dB(x)dx

= 0 ⇔ x = 0 sau 1 − 2ζ2 − x2 = 0.

Rezulta x = 0 si, daca ζ < 1/√

2 = 0.707, x =√

1 − 2ζ2. Se poate arata ca acesteasunt puncte de maxim, valoarea amplitudinii (exprimata ın dB) fiind 0 ın primul caz sirespectiv

[Hmax(ω)]dB = −10 log 4ζ2(1 − ζ2)ın cel de-al doilea.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 170: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

−30

−20

−10

0

10

20

Mag

nitu

de (

dB)

100

101

−180

−135

−90

−45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figura 32: Elemente de ordinul 2 cu ωn = 3; parametrizare dupa ζ.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 171: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Concluzii procedurale

Se traseaza mai ıntai caracteristicile asimptotice:

Sistem de ordinul 1: [HA(ω)]dB =

0, 0 < ω < 1T

−20 log ωT , 1T < ω

Sistem de ordinul 2: [HA(ω)]dB =

0, 0 < ω < ωn

−40 log ωωn

, ωn < ω

Se deduc valorile caracteristicii exacte la pulsatiile de frangere 1/T , respectiv ωn, si setraseaza caracteristica exacta (tinand cont de valorile lui ζ pentru sistemele de ordin 2).

De exemplu, daca ζ = 0.5 < 0.707, caracteristica amplitudine-pulsatie admite un maxim,iar [H(ωn)]dB = −10 log 4ζ2 = 20 log 1

2ζ = [ 12∗0.5]dB = 0.

Variatia totala a fazei este de −π

2pentru elementul de ordinul 1, respectiv de −π pentru

cel de ordinul 2.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 172: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Trasarea calitativa a caracteristicilor de tip Bode

Fie functia de transfer (strict) proprie

H(s) =r(s)p(s)

=K

sq

r(s)p(s)

, q ∈ Z, K ∈ R, r(0) = p(0) = 1. (36)

q se numeste tipul functiei de transfer iar K = H(0) este factorul de amplificare/atenuaresau castigul (DC gain).

Punem ın evidenta factorii specifici care apar ın expresiile lui r(s) si p(s):

H(s) =K

sq

Πn′r

i=1(1 + Tris) Πn′′r

i=1(1 + 2ζiTris + T 2ris

2)

Πn′

p

j=1(1 + Tpjs) Πn′′

p

j=1(1 + 2ζjTpjs + T 2pjs

2)

Presupunem (deocamdata) ca toate constantele de timp sunt pozitive (Tk > 0), ca0 ≤ ζ < 1 si K > 0.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 173: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

In expresia lui H(s) apar 4 tipuri de factori:

Factorul constant K. Caracteristica amplitudine-pulsatie este o constantaiar faza este egala cu 0.

Poli/zerouri ın origine (jω).

Poli/zerouri reale (jωT + 1).

Poli/zerouri complex conjugate (1 − ω2T 2 + j2ζTω).

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 174: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Nota: Daca H(s) = H1(s)H2(s), atunci

[H(ω)]dB = [H1(ω)]dB + [H2(ω)]dB

si

arg[H(jω)] = arg[H1(jω)] + arg[H2(jω)].

In consecinta,

[H(ω)]dB =[K

ωq

]dB

+n′

r∑i=1

|1 + jωTri|dB +n′′

r∑i=1

|1 − ω2T 2ri + j2ζiTriω|dB +

−n′

p∑j=1

|1 + jωTpj|dB −n′′

p∑j=1

|1 − ω2T 2pj + j2ζjTpjω|dB

si caracteristica amplitudine-pulsatie se obtine adunand caracteristicile fiecarui factor ınparte.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 175: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Similar, deoarece

φ(ω) = −qπ

2+

n′r∑

i=1

arg(1 + jωTri) +n′′

r∑i=1

arg(1 − ω2T 2ri + j2ζiTriω) +

−n′

p∑j=1

arg(1 + jωTpj) −n′′

p∑j=1

arg(1 − ω2T 2pj + j2ζjTpjω),

obtinem caracteristica faza-pulsatie ınsumand caracteristicile fiecarui factor elementar ınparte.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 176: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Procedura de trasare

1. Se pune sistemul ın forma (36).

2. Se determina valoarea lui K in dB, [K]dB = 20 log K si se marcheaza punctul(1, [K]dB).

3. Se aseaza ın ordine crescatoare, pe axa log ω, toate pulsatiile de frangere ωk =1Tk

.

Se traseaza cate o verticala ın fiecare pulsatie de frangere.

4. Se traseaza asimptota de joasa frecventa trecand prin punctul (1, [K]dB) si avandpanta de −20q dB/decada.

5. La intersectia caracteristicii asimptotice cu fiecare verticala, se modifica panta acesteiacu ±20 sau ±40 dB/decada, dupa cum respectiva pulsatie de frangere corespunde unuifactor de ordinul 1 sau de ordinul 2, plasat la numitor sau numarator.

6. Caracteristica faza-pulsatie se traseaza prin ınsumarea caracteristicilor fiecarui factorelementar.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 177: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exemple

H(s) =5s

1 + 0.1s

(1 + 0.5s) (1 + 0.6s/50 + (s/50)2)

K = 5, q = 1; [K]dB = 20 log 5 ≈ 14dB.

T1 = 0.5, ω1 = 2; T2 = 0.1, ω2 = 10; T3 = 0.02, ω3 = 50.

Se traseaza caracteristica asimptotica ın conformitate cu regulile expuse la 4 si 5.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 178: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

10−1

100

101

102

103

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

14 dB

w1 w2 w3

Figura 33: Caracteristica asimptotica

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 179: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Caracteristicile “reale”

−150

−100

−50

0

50

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

102

103

−270

−225

−180

−135

−90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figura 34: Caracteristicile amplitudine-pulsatie si faza-pulsatie

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 180: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Alte situatii

1. K < 0.

- H(ω) nu se modifica- la expresia lui φ(ω) se aduna arg[K] = −π (vom conveni ca arg[−1] = −π).

2. T < 0 (element de ordinul I).

11 + jωT

=1

1 − jω|T | =1 + jω|T |1 + ω2T 2

;

- H(ω) nu se modifica (explicati de ce)- φ(ω) = arctg(ω|T |) = −arctg(−ω|T |)

Concluzie:arg[(1 + jωT )±1] = ±sgn T arg[(1 + jω|T |)]

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 181: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

3. T < 0, 0 < ζ < 1 (element de ordinul II).

x := ωT < 0, H(jx) =1

1 − x2 + 2jζx=

1 − x2 + 2jζ|x|(1 − x2)2 + 4x2ζ2

- H(ω) nu se modifica (explicati de ce)

- φ(ω) = arctg2jζ|x|1 − x2

= −arctg(−2jζ|x|

1 − x2

)Concluzie:

arg[(1 − ω2T 2 + j2ζωT )±1] = ±sgn T arg[(1 − ω2T 2 + j2ζω|T |)]

Nota: situatia T > 0, −1 < ζ < 0 se trateaza ın aceeasi maniera.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 182: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Sisteme de faza minima

Fie

H(s) =10s

1 − T1s

1 + T2s, G(s) =

10s

1 + T1s

1 + T2s;

unde T1 > T2 > 0.

Ne intereseaza caracteristica faza-pulsatie a celor 2 sisteme (vezi figura 35).

Defazaj total H(s): −3π/2.Defazaj total G(s): −π/2.

Concluzie: Sistemele cu zerouri nestabile (care se afla ın semiplanul drept, Re z ≥ 0) auun defazaj total mai mare decat sistemele cu zerouri stabile (Re z < 0).

Sistemele (stabile) cu zerouri stabile = sisteme de faza minima.

Sistemele de faza neminima sunt greu de “controlat” (comandat).

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 183: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

−150

−100

−50

0

50

100

Mag

nitu

de (

dB)

10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

−270

−180

−90

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Faza lui G(s)

Faza lui H(s)

Figura 35: Sistem de faza minima

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 184: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Locul de transfer (locul Nyquist) sau hodograful

Reamintim ca locul de transfer sau locul Nyquist al sistemului H(s) este hodografullui Γ(ω) = (U(ω), V (ω)) pentru ω ∈ R, adica submultimea lui R

2 ≡ C definita de(U(ω), V (ω)) | ω ∈ R, unde

U(ω) := Re(H(jω)); V (ω) := Im(H(jω)).

De asemenea, am aratat ca U(ω) este o functie para de ω iar V (ω) este o functie imparade ω. Este deci suficient sa trasam locul de transfer pt. ω ∈ [0,∞).

Observatia 34. (importanta !)Hodograful este reprezentarea conforma a axei imaginare s = jω din planul complexal variabilei s, definita de functia analitica H(s). Axa imaginara se reprezinta ca uncontur ınchis (conturul Nyquist), capetele de la infinit fiind legate printr-un semicerc deraza R → ∞. Asadar, hodograful va fi la randu-i un contur ınchis ın planul complexH(s).

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 185: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Locul de transfer al sistemelor elementare

Integratorul : H(s) =K

s, K > 0.

H(s)|s=jω= H(jω) =K

jω= 0 + j

(−1

ω

); U(ω) = 0, V (ω) = −1

ω.

Tabelul de variatie:ω 0 1 +∞U 0 0 0V −∞ −1 0−

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 186: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

w=0 +

w=+Inf

w=−Inf

w=0 −

Figura 36: Integrator - loc Nyquist

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 187: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Elementul de ordin I : H(s) =1

Ts + 1, T > 0.

H(s)|s=jω= H(jω) =1

jωT + 1=

1 − jωT

1 + ω2T 2; U(ω) =

11 + ω2T 2

, V (ω) = − ωT

1 + ω2T 2.

Tabelul de variatie:ω 0 1/T +∞U 1 1/2 0+

V 0− −1/2 0−

Se poate elimina ω din expresiile lui U si V : ω2T 2 = V 2

U2 . Rezulta

(U − 12)2 + V 2 =

(12

)2

,

care este ecuatia unui cerc de centru (1/2, 0) si raza 1/2. Se observa ca hodografulsistemului de ordin 1 nu depinde de T .

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 188: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Elementul de ordin II : H(s) =ω2

n

s2 + 2ζωns + ω2n

ωn > 0, ζ ∈ [0, 1).

H(s)|s=jω= H(jω) =ω2

n

−ω2 + 2ζωnω + ω2n

=x=ω/ωn=

11 − x2 + j 2ζx

= H(jx) = U(x) + jV (x);

unde

U(x) =1 − x2

(1 − x2)2 + 4ζ2x2, V (x) = − 2ζx

(1 − x2)2 + 4ζ2x2.

Tabelul de variatie:

ω 0 ωn +∞x 0 1 +∞U 1 0 0−V 0− −1/2ζ 0−

Atunci cand ζ creste (catre 1), intersectia cu axa imaginara se apropie de valoarea −1/2.Cand ζ scade (catre 0), intersectia cu axa imaginara se apropie de −∞.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 189: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Reamintim faptul ca pentru 0 < ζ < 1√2, modulul lui H(jω) prezinta un maxim la

frecventa ω = ωn

√1 − 2ζ2. Daca 1√

2≤ ζ ≤ 1, atunci |H(jω)| scade monoton cu ω.

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagram

Real AxisIm

agin

ary

Axi

s

(a) (b)

Figura 37: (a) Elementul de ordin I; (b) elementul de ordin 2

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 190: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Trasarea calitativa

Comportarea hodografului la joasa frecventa: ω → 0.

Scriem sistemul ın forma standard

H(s) =r(s)p(s)

=K

sq

r(s)p(s)

, unde r(0) = p(0) = 1, q ∈ Z.

H(0) = 0 daca q ≤ 1, H(0) = K daca q = 0.

Fie q ≥ 1. Dezvoltam ın serie ın jurul lui 0:

H(s) ≈ K[a0

sq+

a1

sq−1+ . . . + aq

]; a0 = 1. (37)

Pt. q = 1 egalitatea (37) se scrie (s = jω)

H(jω) ≈ K[a0

jω+a1] = Ka1−j

Ka0

ω; U(ω) = Ka1 = const., V (ω) = −Ka0

ω= −K

ω.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 191: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Pt. q = 2 egalitatea (37) se scrie (s = jω)

H(jω) ≈ K[− a0

w2+

a1

jω+ a2] = −Ka0

ω2+ Ka2︸ ︷︷ ︸

U(ω)

+j

(−Ka1

ω

)︸ ︷︷ ︸

V (ω)

=

Se poate deduce ca

U = − a0

a21K

V 2 + Ka2

care reprezinta ecuatia unei parabole ın planul (U, V ).

Acest tip de analiza se poate efectua si pentru q = 3.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 192: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

V

V

V

U

U

U

Kv

vv

Figura 38: Comportarea locului de transfer la joasa frecventa

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 193: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Comportarea hodografului la ınalta frecventa: ω → +∞.

Fie

H(s) =r(s)p(s)

=bmsm + . . . + b1s + b0

ansn + . . . + a1s + a0

si e := ∂[p(s)] − ∂[r(s)] excesul poli-zerouri al lui H(s).

Pentru s → ∞ avem H(s) ≈ bman

1se, de unde

H(jω) ≈ bm

an

1jωe

, ω → ∞.

Rezulta

φ(∞) =

−eπ

2 , bman

> 0−eπ

2 − π, bman

< 0

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 194: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Tabelul de variatie.

Pentru o trasare cat mai precisa a locului Nyquist se realizeaza un tabel de variatie afunctiilor U(ω) si V (ω), evidentiindu-se

- intersectiile cu axele (V (ω) = 0, U(ω) = 0);

- posibile discontinuitati, eventual asimptote oblice;

- domeniile de valori ale functiilor U(ω) = 0, V (ω) = 0 precum si proprietati demonotonie ale acestora.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 195: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Criteriul Nyquist

Se considera un sistem H(s) =r(s)p(s)

conectat ın reactie inversa:

Figura 39: Sistem ın bucla ınchisa

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 196: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Functia de transfer ın bucla ınchisa: T (s) =H(s)

1 + H(s).

Problema: Se cer conditii (necesare si suficiente) astfel ıncat sistemul ın bucla ınchisasa fie stabil.

Solutie: Locul de transfer al lui H(s).

Ideile:

- polii sistemului ın bucla ınchisa ≡ zerourile lui 1 + H(s).

- bucla ınchisa stabila ⇐⇒ 1 + H(s) poate avea doar poli ın Re s ≥ 0.

- teorema variatiei argumentului (contur Nyquist & loc Nyquist).

- polii lui 1 + H(s) ≡ polii lui H(s).

Rezultatul:

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 197: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Teorema 35 (Criteriul Nyquist).

In ipoteza ca H(s) este ireductibila (nu au loc simplificari poli-zerouri), sistemul ınbucla ınchisa este stabil daca si numai daca hodograful lui H(s) nu trece prin punctulcritic −1 + j 0 iar variatia argumentului vectorului cu originea ın punctul critic sivarful pe ramurile continue ale locului de transfer (acest vector este chiar 1+H(s)!),atunci cand ω variaza de la 0 la +∞ (exceptand punctele de discontinuitate), esteegala cu (2Np + q0)

π

2,

∆ arg[1 + H(s)]ω∈(0,∞)\ωi | p(jωi)=0 = (2Np + q0)π2 .

Aici Np este numarul polilor lui H(s) din semiplanul drept (Re s > 0) iar q0 estenumarul polilor lui H(s) de pe axa imaginara (Re s = 0), incluzand si ordinele demultiplicitate.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 198: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exemplu

Fie sistemul P (s) =1

(s + 1)(s + 2).

Sa se analizeze stabilitatea sistemului de reglare de mai jos ın functie de parametrul K.

Figura 40: Sistem ın reactie inversa

In figura 41, C(s) =K

s.

Functia de transfer ın bucla deschisa (sau pe calea directa) este ireductibila,

H(s) = P (s)C(s) =K

s(s + 1)(s + 2).

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 199: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Trasam hodograful lui H(s).

Tabel de variatie. Intersectii le cu axele.

Distingem 2 situatii: cand intersectia cu axa U este

- la stanga punctului critic: −K

6< −1 ⇐⇒ 0 < K < 6

- la dreapta punctului critic: −K

6> −1 ⇐⇒ 6 < K.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 200: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0

−2

−1

0

1

2

3

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagram

Real AxisIm

agin

ary

Axi

s

K<6: sistem stabil K>6:sistem instabil

−K/6 −K/6

Figura 41: Sistem ın reactie inversa

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 201: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

In figura 41 (a) variatia argumentului vectorului 1 + H(jω), cand ω parcurge intervalul(0,∞), este

∆ = arg[1 + H(jω)]ω=+∞ − arg[1 + H(jω)]ω=0+ = 0 − (−π

2) =

π

2.

In cea de-a doua situatie (vezi hodograful (b) din figura 41) avem

∆ = arg[1 + H(jω)]ω=+∞ − arg[1 + H(jω)]ω=0+ = (−2π) − (−π

2) = −3π

2.

Sistemul are Np = 0 (nici un pol ın Re s > 0) si q0 = 1 (un pol pe axa imaginara, chiarın 0). Rezulta

(2Np + q0)π

2=

π

2,

deci sistemul este stabil ın bucla ınchisa pentru

0 < K < 6.

Capitolul 3 - Sisteme continue SISO Reprezentarea in Frecventa a Sistemelor

Page 202: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Capitolul 4: CONCEPTE FUNDAMENTALE ALE BUCLEI DEREACTIE (FEEDBACK)

Ce Dorim ?

Bucla de Reactie

Stabilitatea Interna a Buclei de Reactie

Stabilizare

Performante Asimptotice

Solutia Problemei Reglarii

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 201

Page 203: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

1. Ce Dorim ?

Acest capitol este cel mai important pentru intelegerea scopului si mijloacelor auto-maticii ! (pica sigur la examen !!!)

Introducem notiuni de baza cum ar fi conexiunea in bucla de reactie (feedback) sicaracterizam principalele ei proprietati ce o transforma in instrumentul fundamentalal automaticii (asigura stabilizarea + reglarea)!

Punctul de plecare: Avem un sistem care nu face ceea ce dorim ! Cum procedam?

Doua variante posibile:• Il schimbam cu altul care face ceea ce dorim (dar oricum trebuie sa stim CUM sacerem/construim sistemul nou...)• Il modificam (CUM ?) pe cel pe care il avem deja.

Analiza sistemelor din primele 10 Cursuri a incercat sa va familiarizeze cu diverse clasede modele sistemice si cerinte naturale asupra lor.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 202 Ce Dorim ?

Page 204: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Clasa sistemelor considerate:• LINIARE• INVARIANTE IN TIMP• FINIT DIMENSIONALE• CAUZALE• O INTRARE – O IESIRE (SISO)Punctul de vedere:Intrare–Iesire (I/O) (modelele sunt fctii rationale proprii) –Teoria matematica de baza:Functii de o variabila complexa

Ce Dorim de la un astfel de Sistem ?

Multe ...De exemplu: Sa fie stabil (semnalele externe de energie finita sa rezulte in semnaleinterne tot de energie finita), sa urmareasca clase de semnale prescrise in conditiile incare apar semnale perturbatoare cunoscute ori necunoscute si zgomote, sa faca totulcu comenzi mici (pentru a nu satura elementul de actionare), si totul in prezentaincertitudinilor de model...

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 203 Ce Dorim ?

Page 205: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Multe intr–adevar !!!! Este posibil sa facem toate aceste lucruri ? Daca DA, cum ?Incercam sa raspundem treptat acestor intrebari dezvoltand Teoria Sintezei.

ATENTIE INSA: Modelele cu care lucram sunt black–box si nu putem umbla in interiorullor (si oricum este nevoie de specialisti din domenii din cele mai diverse pentru a stiicum)!

Cum procedam? Tratam modelul sistemului nominal ca atare (black–box) si anexamun alt sistem (numit uzual regulator si apartinand aceleiasi clase de modele) pecare il proiectam noi astfel incat sistemul rezultant format din sistemul nominalsi regulator sa faca ceea ce dorim.

Cum il “anexam” ? In serie, in paralel, in bucla de reactie pozitiva/negativa?

Depinde ce dorim dar minimal dorim ca indiferent de sistemul original (stabil saunu) sistemul rezultant sa fie stabil.

Conexiunea Serie

Fie P (s) = 1s−1 pe care il inseriem cu un sistem proiectat de noi C astfel incat sistemul

rezultant sa fie stabil. Cum procedam ? Trebuie ca C sa fie de forma (s − 1)C(s) unde

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 204 Ce Dorim ?

Page 206: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

C(s) sa fie strict stabila. Este sistemul rezultant strict stabil ? Da, dpdv intrare–iesiredar daca injectam un semnal intre cele doua sisteme NU va fi ! Mai mult, nu putemasigura un zerou EXACT in s = 1 si nici nu stim EXACT ca sistemul original are un polin s=1 ! La cea mai mica abatere rezulta un sistem INSTABIL ! Deci nici un regulatornu-mi asigura in mod satisfacator cerinta de stabilitate (interna) !

Conexiunea Paralel

Similar pentru conexiunea paralel ! Exemplificati voi cum ar trebui sa arate un regulatorsi de ce nici un regulator nu ne satisface !

Cum mai putem lega doua sisteme in mod elementar ?

Bucla de reactie (Feedback)

Asa cum vom vedea printr-o analiza detaliata, conexiunea in bucla de reactie esteCEA CARE REZOLVA CHESTIUNEA STABILITATII (interne) si, asa cum vomvedea, inca multe alte cerinte !

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 205 Ce Dorim ?

Page 207: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

2. Bucla de Reactie (Feedback)

Cel mai simplu sistem REAL cu bucla de reactie are trei componente (vezi Fig. 1):

• Un sistem nominal ce este controlat (automatizat);

• Un senzor ce masoara iesirea sistemului nominal;

• Un sistem numit regulator (controller) ce genereaza intrarea sistemului nominal;(elementele de actionare sunt uzual incluse in sistemul nominal);

Fiecare dintre cele trei componente ale buclei de reactie are douasemnale de intrare (unul din interiorul sistemului si unul exogen)si un semnal de iesire. Semnalele au urmatoarele semnificatii:r : referinta (semnal de intrare) v : iesirea senzoruluiu : comanda (semnal de actionare) d : perturbatia externay : iesirea sistemului (semnal masurat) n : zgomot de masura

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 206 Bucla de Reactie (Feedback)

Page 208: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Cele trei semnale externe r, d si n se numesc intrari exogene.

r u

d

y

n

v

RegulatorSistem

nominal

Senzor

Fig. 1: Sistem de control automat (elementar)

Ce dorim ? y trebuie sa aproximeze o functie de r prespecificata si trebuie sa faca acestlucru in prezenta perturbatiei externe d, a zgomotului n si a incertitudinilor diverse demodelare (a sistemului nominal)! Mai mult, uzual nu acceptam nici comenzi u prea mariiar y este disponibil doar prin intermediul masuratorii v !

Ipoteze matematice fundamentale (specifice TS I): Semnalele din Fig. 1 suntscalare, descrise de functii regulate sau singulare (generalizate) ce au transformateLaplace, cele trei componente ale buclei de reactie (sistemul nominal, regulatorul si

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 207 Bucla de Reactie (Feedback)

Page 209: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

senzorul) sunt sisteme liniare invariante in timp avand functie de transfer rationalaproprie (Totul este “civilizat”)! Deci “avem” frecventa si analiza urmatoare se face lanivelul transformatelor Laplace.

Fiecare componenta din Figura 1 are doua intrari si o iesire putand fi exprimata subforma (de exemplu in cazul sistemului nominal)

y = P

[du

]=

[P1 P2

] [ du

]= P1d + P2u.

Ipoteza aditionala: Iesirile celor trei componente sunt functii liniare de suma (saudiferenta) intrarilor, i.e., ecuatiile sistemului nominal, senzorului si regulatorului sunt deforma

y = P (d + u),v = F (y + n),u = C(r − v).

Semnul “ − ” din ultima ecuatie este o chestiune de traditie (reactie negativa inelectronica) putand fi inlocuit alternativ cu “ + ”. Diagrama bloc a acestor ecuatii estedata in Figura 2 in care s-au omis semnele “ + ” in jonctiuni.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 208 Bucla de Reactie (Feedback)

Page 210: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

C P

F

r u y

n

v

d

-

x1 x2

x3

Fig. 2: Bucla de reactie (standard)

Cand este (bine) definit asa ceva ? Toate functiile de transfer in bucla inchisatrebuie sa existe, i.e., functiile de transfer de la cele trei semnale exogene r, d si n latoate semnalele interne u, y, v si x1, x2 si x3 !

Prima concluzie: Este suficient sa analizam functiile de transfer de la r, d si n la x1,x2 si x3 (celelalte rezulta din acestea). Scriind ecuatiile jonctiunilor obtinem

x1 = r − Fx3,x2 = d + Cx1,x3 = n + Px2,

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 209 Bucla de Reactie (Feedback)

Page 211: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

sau in forma matriciala ⎡⎣ 1 0 F−C 1 00 −P 1

⎤⎦⎡⎣ x1

x2

x3

⎤⎦ =

⎡⎣ rdn

⎤⎦ .

Sistemul in bucla inchisa este deci bine definit daca matricea de dimensiune 3 × 3de mai sus este nesingulara, i.e., determinantul ei 1 + PCF nu este identic nul, i.e.,1 + PCF ≡ 0 ! In acest caz, functiile de transfer in bucla inchisa se obtin din

⎡⎣ x1

x2

x3

⎤⎦ =

⎡⎣ 1 0 F−C 1 00 −P 1

⎤⎦−1⎡⎣ rdn

⎤⎦care este echivalenta cu⎡⎣ x1

x2

x3

⎤⎦ =1

1 + PCF

⎡⎣ 1 −PF −FC 1 −CF

PC P 1

⎤⎦⎡⎣ rdn

⎤⎦ . (38)

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 210 Bucla de Reactie (Feedback)

Page 212: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Problema: Am presupus intitial ca P , C, F sunt proprii (avand motivatie matematicaserioasa). Rezulta si ca functiile de transfer in bucla inchisa (38) sunt proprii atunci candsistemul in bucla inchisa este bine definit ? Din pacate NU fara ipoteze suplimentare ...!!! Introducem:

Sistemul in bucla inchisa este bine definit in sens strict daca toate functiile de transferin bucla inchisa sunt proprii (⇔ 1+PCF nu este strict propriu ⇔ 1 + PCF(∞) = 0 ).

Nota: Buna definire in sens strict implica automat si buna definire ! Este realist sacerem unui sistem de reglare buna definire in sens strict ? DA !!!

Argumente pro (si contra !): Functiile de transfer ale oricarui sistem sunt de faptstrict proprii (o sinusoida de amplitudine constanta si frecventa din ce in ce mai mareaplicata unui sistem conduce la o iesire ce tinde la zero). Da, dar la frecvente marisistemele sunt in general foarte complexe si inceteaza in fapt sa fie liniare pe masura cefrecventa creste ! De fapt avem nevoie ca unul singur dintre P , C sau F sa fie strictpropriu si daca acest lucru nu se intampla automat la modelele cu care lucram oricumcerem |PCF (∞)| < 1 (motive profunde legate de stabilitate interna si “small–gain”)ceea ce asigura automat buna definire in sens strict.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 211 Bucla de Reactie (Feedback)

Page 213: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

3. Stabilitatea Interna a Buclei de Reactie

Problema (fundamentala): Ce notiune de stabilitate este adecvata sistemului dinFigura 2 (stabilitate externa stricta, BIBO, asimptotica, Lyapunov etc.)?

Raspuns: Niciuna nu este adecvata sistemului in bucla inchisa...

Ce functii de transfer ne intereseaza de fapt ? In primul rand transferul I/O al sistemuluiin bucla r → y ! Dar chiar daca acest transfer este strict stabil este posibil ca alt transferde la un exogen la un semnal intern al buclei sa nu fie stabil rezultand in distrugereaunei parti sau a intregului sistem !!! Deci avem nevoie ca toate functiile de transfer

r, d, n → x1, x2, x3, v, y, u,

sa fie SIMULTAN stabile pentru a fi siguri ca totul este OK !Exemplul 1. In Figura 2 fie C(s) = s

s+1, P (s) = 1s2−1

, F (s) = 1. Functia de transfer

r → y este strict stabila (in sens BIBO) dar functia de transfer de la d la y nu este.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 212 Stabilitatea Interna a Buclei de Reactie

Page 214: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exemplul 2. In Figura 2 fie C(s) = ss+1, P (s) = 1

s2+1, F (s) = 1. Toate functiile de

transfer exogen → semnal intern al buclei sunt strict stabile (in sens BIBO).Definitia 3. Sistemul in bucla de reactie din Figura 2 se numeste intern stabil daca toatetransferurile in bucla inchisa sunt strict stabile (i.e., au polii in C−).

Aparent trebuie sa verificam 18 functii de transfer dar de fapt sunt suficiente doar 9.Aratati de exemplu ca urmatoarele functii de transfer sunt suficiente pentru verificareastabilitatii interne

r, d, n → x1, x2, x3.

Este relativ complicat sa examinam chiar si 9 numitori si sa le calculam zerourile. Scriemfctiile de transfer rationale sub forma unor caturi de polinoame coprime

P =NP

MP, C =

NC

MC, F =

NF

MF(39)

si definim polinomul caracteristic al sistemului in bucla inchisa (din Figura 2) caprodusul numaratorilor + produsul numitorilor celor trei functii de transfer,

χ = NPNCNF + MPMCMF .

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 213 Stabilitatea Interna a Buclei de Reactie

Page 215: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Polii sistemului in bucla inchisa sunt zerourile polinomului caracteristic χ.Teorema 4. Sistemul in bucla de reactie este intern stabil daca si numai daca poliisistemului in bucla inchisa sunt in C−.

Demonstratie. Pentru simplitate presupunem F = 1 (argumentatia in cazul general estesimilara dar este mai greu de urmarit). Din (38) avem⎡⎣ x1

x2

x3

⎤⎦ =1

1 + PC

⎡⎣ 1 −P −1C 1 −C

PC P 1

⎤⎦⎡⎣ rdn

⎤⎦si inlocuind (39) obtinem⎡⎣ x1

x2

x3

⎤⎦ =1

NPNC + MPMC

⎡⎣ MPMC −NPMC −MPMC

MPNC MPMC −MPNC

NPNC NPMC MPMC

⎤⎦⎡⎣ rdn

⎤⎦ (40)

in care polinomul de la numitor este exact polinomul caracteristic χ.Suficienta: Sistemul in bucla inchisa este intern stabil daca polinomul caracteristic are

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 214 Stabilitatea Interna a Buclei de Reactie

Page 216: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

toate zerourile in C−.Necesitatea: Implica un argument mai subtil. Presupunem ca sistemul in bucla inchisaeste intern stabil. Atunci toate cele noua functii de transfer in (40) sunt strict stabile (insens BIBO), i.e., au poli numai in C−. Aceasta nu implica automat ca NPNC +MPMC

are zerourile in C− intrucat este posibil sa aibe un zerou in afara care sa fie zerou si altuturor numaratorilor din (40) si deci sa se simplifice.

In orice caz, polinomul χ nu are un zerou comun cu toti numaratorii din (40) asa cumdemonstram prin reducere la absurd. Fie s0 a.i. (NPNC + MPMC)(s0) = 0. P.p. caeste zerou si al tutoror numaratorilor, in particular MPMC(s0) = 0. Apar doua situatiiposibile: i)MP (s0) = 0; ii)MC(s0) = 0.Cazul i) MP (s0) = 0; Automat NP (s0) = 0 (MP este coprim cu NP ) si rezulta dinelementul (1,2) al matricii ca MC(s0) = 0 si din elementul (3,1) ca NC(s0) = 0 ceea cenu este posibil din nou din coprimitatea lui NC si MC.Cazul ii) MC(s0) = 0. Automat atunci NC(s0) = 0 si rationamentul se repeta camai sus folosind elementele (2,3) si (3,1) ale matricii rezultand ca MP (s0) = 0 siNP (s0) = 0, ceea ce contrazice coprimitatea lui MP si NP .

Teorema de mai sus ne da o modalitate sintetica de verificat stabilitatea interna a unei

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 215 Stabilitatea Interna a Buclei de Reactie

Page 217: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

bucle de reactie: se verifica locatia in C− a zerourilor unui polinom χ (de exemplucalculand efectiv zerourile prin calculul valorilor proprii ale matricii companion asociatesau, mai simplu, folosind criteriul lui Hurwitz).Teorema 5 (Test de Stabilitate Interna). Sistemul in bucla inchisa este intern stabildaca si numai daca urmatoarele doua conditii sunt simultan indeplinite:

a) Functia de transfer 1 + PCF are zerourile in C−;

b) Nu au loc simplificari in C+ ∪ C0 cand formam produsul PCF.

Demonstratie. Sistemul in bucla inchisa este intern stabil daca si numai daca toate cele9 functii de transfer

11 + PCF

⎡⎣ 1 −PF −FC 1 −CF

PC P 1

⎤⎦sunt stabile.Necesitatea: Presupunem ca sistemul in bucla inchisa este intern stabil. Rezultain particular ca 1

1+PCF este stabila, deci 1 + PCF are zerourile in C− ceea ce

demonstreaza necesitatea lui a). Fie P = NPMP

, C = NCMC

, F = NFMF

. Din Teorema 4

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 216 Stabilitatea Interna a Buclei de Reactie

Page 218: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

rezulta ca polinomul caracteristic χ = NPNCNF +MPMCMF are zerourile in C−. Prinurmare perechea (NP , MC) nu are zerouri comune in Re s ≥ 0 si similar pentru toatecelelalte perechi corespunzand lui PCF = NP NCNF

MP MCMF. Deci si b) este adevarata ceea ce

incheie necesitatea.Suficienta: Presupunem adevarate a) si b). Factorizam P, C, F ca mai sus si fie s0 unzerou al polinomului caracteristic, i.e.,

(NPNCNF + MPMCMF )(s0) = 0. (41)

Aratam prin reducere la absurd ca Re s < 0. Presupunem contrariul, Re s ≥ 0.Daca MPMCMF (s0) = 0 rezulta MPMCMF (s0) = 0 ceea ce violeaza b). DeciMPMCMF (s0) = 0 si impartind cu el in (41) obtinem 1 + NP NCNF

MP MCMF(s0) = 0 de unde

(1 + PCF )(s0) = 0 ceea ce violeaza a).

Concluziile “la zi”

• Un sistem se comporta “civilizat” doar daca avem stabilitate interna, adicaindiferent unde se injecteaza un semnal exogen de energie finita toate semnalele dinsistem vor fi de energie finita;

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 217 Stabilitatea Interna a Buclei de Reactie

Page 219: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

• Stabilitatea interna nu se poate asigura cu conexiunile serie sau paralel ci doarcu bucla de reactie;• Stabilitatea interna se verifica pe baza faptului ca cele 18 functii de transfer dinbucla de reactie sunt simultan strict stabile dar exista teste mult mai simple (veziTeoremele 4 si 5);• Ramane sa investigam problema de sinteza: Dandu-se un sistem nominal oarecare Pexista intotdeauna un regulator C care asigura stabilitatea interna ? Daca DA se cereconstructia clasei regulatoarelor C ce asigura stabilitatea interna.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 218 Stabilitatea Interna a Buclei de Reactie

Page 220: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

4. Stabilizarea

Consideram sistemul (mai simplu) cu bucla de reactie unitara din Figura 3. Aceastadiagrama arata situatia teoretica tipica in controlul automat (F = 1) in care se daP si se cere C ce satisface anumite cerinte: stabilizeaza intern, asigura performante,tolereaza incertitudini de modelare, limiteza comenzi, etc. Cu toate ca in general F = 1,dezvoltarile teoretice sunt destul de complexe chiar in acest caz mai simplu pentru a-lanaliza separat.Ipoteza: P este strict propriu (bucla este automat bine definita in sens strict).

C P

r u y

d

-

e

Fig. 3: Sistem cu bucla de reactie unitara

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 219 Stabilizarea

Page 221: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Problema fundamentala: Dandu-se P exista intotdeauna un C care stabilizeaza internsistemul in bucla de reactie? Daca DA, cati exista ? Cum ii putem caracteriza?Raspuns: DA, exista o infinitate de C care stabilizeaza intern si ei se pot daexplicit prin intermediul parametrizarii lui Youla !

Parametrizarea lui Youla: Cazul P Stabil

Deoarece cazul general este relativ complicat, incepem sa dezvoltam mecanismul necesarintr-un caz mai simplu: P stabil (P ∈ S, unde S este inelul comutativ al functiior detransfer rationale proprii si stabile in sens strict).Teorema 6. Presupunem ca P ∈ S. Clasa tuturor C pentru care sistemul in bucla dereactie din Fig. 3 este intern stabil este data de

Q

1 − PQ: Q ∈ S

. (42)

Teorema afirma doua lucruri: oricare ar fi C dat de (42) (cu un Q ∈ S arbitrar) elstabilizeaza intern si, pe de-alta parte, pentru oricare C care stabilizeaza intern se gasesteun Q a.i. C = Q

1−PQ, cu Q ∈ S.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 220 Stabilizarea

Page 222: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Demonstratie. Presupunem ca C stabilizeaza intern. Fie Q functia de transfer de la rla u

Q :=C

1 + PC.

Evident Q ∈ S si C = Q1−PQ.

Reciproc, fie Q ∈ S. Definim

C :=Q

1 − PQ. (43)

Sistemul in bucla inchisa este intern stabil daca si numai daca cele 9 functii de transfer

11 + PC

⎡⎣ 1 −P −1C 1 −C

PC P 1

⎤⎦sunt proprii si stabile. Substituind expresia (43) pentru C aceasta matrice devine⎡⎣ 1 − PQ −P (1 − PQ) −(1 − PQ)

Q 1 − PQ −QPQ P (1 − PQ) 1 − PQ

⎤⎦ . (44)

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 221 Stabilizarea

Page 223: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Cum Q ∈ S si P ∈ S este clar ca toate elementele acestei matrici sunt proprii si strictstabile.

Observatia 7. Toate functiile de transfer in bucla inchisa sunt afine in parametrul liberQ, i.e., sunt de forma T1 + T2Q pentru anumiti T1 ∈ S, T2 ∈ S. Acest fapt simplificamajor orice calcule necesare pentru alegerea parametrului Q a.i. sistemul in bucla inchisasa satisfaca cerinte suplimentare (se poate interpreta ca o liniarizare).

Trecem in continuare la analiza cazului general (P nu este neaparat stabil). In acestscop introducem factorizarile coprime peste S.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 222 Stabilizarea

Page 224: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Factorizari Coprime

Presupunem ca P nu este stabil si vrem sa gasim in continuare un C care stabilizeazaintern. Cum procedam ?

Ideea de baza: Factorizam P peste S !

De ce nu peste polinoame ? Sa presupunem ca scriem P = NM , unde (N, M) sunt

polinoame coprime. Atunci exista doua alte polinoame X si Y (ce se pot construi deexemplu pe baza algoritmului lui Euclid) ce satisfac identitatea lui Bezout

NX + MY = 1

(ideea calauzitoare este sa folosim Teorema 1 care afirma ca sistemul in bucla inchisaeste intern stabil daca si numai daca polinomul caracteristic nu are zerouri in Re s ≥ 0).Daca am seta pe baza identitiatii Bezout C = X

Y atunci polinomul caracteristic verificaNX +MY = 1 si deci nu are zerouri in Re s ≥ 0. De aici “concluzia” ca C stabilizeazaintern.

Ce este gresit ? Y ar putea fi nul (deci C nu se poate construi astfel) sau ∂Y < ∂X(rezulta un regulator impropriu )!

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 223 Stabilizarea

Page 225: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exemplul 8. Fie P (s) = 1s pentru care avem N(s) = 1, M(s) = s. O solutie a ecuatiei

Bezout NX + MY = 1 este X(s) = 1 si Y (s) = 0 pentru care C := XY nu este definit.

Alta solutie este X(s) = −s + 1, Y (s) = 1, pentru care C := XY = −s + 1 nu este

propriu.

Pentru a remedia aceasta situatie cerem ca M, N, X, Y sa fie elemente ale lui S si deciprocedam la factorizari coprime peste S !

Doua functii in S se numesc coprime daca exista alte doua functii X, Y ambele in Sa.i. sa aibe loc identitatea lui Bezout

NX + MY = 1.

In particular, identitatea de mai sus implica ca N si M nu au zerouri comune in Re s ≥ 0sau la ∞. Daca ar exista un astfel de s0 atunci am avea

0 = N(s0)X(s0) + M(s0)Y (s0) = 1.

Conditia este si suficienta pentru coprimitate: daca N si M nu au zerouri comune inRe s ≥ 0 sau la ∞ atunci sunt coprime (Demonstratia: Exercitiu ! )

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 224 Stabilizarea

Page 226: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Factorizare coprima: Fie G matrice real rationala. O reprezentare de forma

G =N

M, N, M ∈ S,

se numeste factorizare coprima a lui G peste S. Prezentam in continuare un mecanism(algoritm) de constructie a celor 4 functii din S ce satisfac cele 2 ecuatii:

G =N

M, NX + MY = 1.

Constructia lui M si N : Fie G rationala proprie cu coeficienti reali si fie G = nm o

factorizare coprima peste polinoame (se obtine direct prin simplificarea oricaror factoripolinomiali comuni). Evident ∂n ≤ ∂m =: k. Atunci G = N

M cu

N =n

(s + 1)k, M =

m

(s + 1)k

este o factorizare coprima peste S a lui G.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 225 Stabilizarea

Page 227: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exemplul 9. Fie G = 1(s−1)2

. Atunci k := 2, n(s) = 1, m(s) = (s − 1)2 si obtinem

factorizarea coprima

N(s) =n(s)

(s + 1)2=

1(s + 1)2

, M(s) =m(s)

(s + 1)2=

(s − 1)2

(s + 1)2.

Observatia 10. Asa cum se observa si in exemplul de mai sus, k este fixat de cerintelede coprimitate ale celor doi factori. Intr-adevar, un k mai mic creaza un M impropriupe cand un k mai mare creaza doi factori M si N avand zerouri comune la infinit.

Deci N si M se obtin facil. Obtinerea in continuare a lui X si Y este considerabil maidificila necesitand algoritmul lui Euclid.

Algoritmul Euclid calculeaza cel mai mare divizior comun a doua polinoame date n(λ)si m(λ). Cand n(λ) si m(λ) sunt coprime, algoritmul lui Euclid se poate folosi pentrucalculul polinoamelor x(λ) si y(λ) ce satisfac identitatea lui Bezout

n(λ)x(λ) + m(λ)y(λ) = 1.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 226 Stabilizarea

Page 228: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Algoritmul lui Euclid

Intrari: Polinoamele n(λ) si m(λ). Daca ∂m > ∂n se interschimba rolurile lui m si n.Pasul 1: Imparte n la m pentru a obtine

n = mq1 + r1, ∂r1 < ∂m

(gradul restului mai mic strict decat gradul catului).Pasul 2: Imparte m la r1 pentru a obtine

m = r1q2 + r2, ∂r2 < ∂r1.

· · · · · · · · ·Pasul k: Imparte rk−2 la rk−1 pentru a obtine

rk−2 = rk−1qk + rk, ∂rk < ∂rk−1.

Opreste–te la Pasul k pentru care rk este o constanta nenula.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 227 Stabilizarea

Page 229: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Ce am obtinut ? Scriind ecuatiile obtinute in forma compacta obtinem⎡⎢⎢⎢⎢⎣1 0 0q2 1 0−1 q3 1

. . . . . . . . .−1 qk 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣

r1

r2

r3...rk

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣1 −q1

0 10 0... ...0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦[

nm

].

Prima matrice din membrul stang este inversabila si are inversa tot o matrice polinomiala(determinantul ei este o constanta) obtinandu-se resturile sub forma⎡⎢⎢⎢⎢⎣

r1

r2

r3...rk

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣1 0 0q2 1 0−1 q3 1

. . . . . . . . .−1 qk 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦−1⎡⎢⎢⎢⎢⎣

1 −q1

0 10 0... ...0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦[

nm

].

Deci rk(λ) := q(λ)n(λ)+ q(λ)m(λ) in care q si q sunt polinoame functie de qi(λ). Cum

rk = cst. = 0, fie x(λ) := q(λ)rk

, y(λ) := q(λ)rk

care sunt polinoamele cerute.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 228 Stabilizarea

Page 230: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Obtinerea Factorizarii Coprime peste S

Am vazut algoritmul Euclid si ca rezultat identitatea Bezout pentru polinoame. Aveminsa nevoie de identitatea Bezout peste functii din S (nu peste polinoame).Cum procedam ? Facem o transformare de variabila a.i. polinoamele in λ sa generezefunctii in S.Intrari: GPasul 1: Daca G este stabila, setam N = G, M = 1, X = 0, Y = 1 si STOP. Altfelcontinua;Pasul 2: Transforma G(s) in G(λ) luand s := 1−λ

λ . Scrie G ca un cat de douapolinoame coprime

G(λ) =n(λ)m(λ)

.

Pasul 3: Foloseste algoritmul Euclid (peste polinoame) si gaseste x(λ) si y(λ) a.i.

nx + my = 1.

Treci de la n(λ), m(λ), x(λ), y(λ) la N(s), M(s), X(s), Y (s) facand tranformarea inversade variabila λ = 1

s+1.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 229 Stabilizarea

Page 231: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Parametrizarea lui Youla: Cazul General (P oarecare)

Cu aceste preliminarii asigurate putem trece la constructia parametrizarii Youla pentrucazul in care P este arbitrar (dar propriu).

Fie P = NM o factorizare coprima peste S si fie X si Y doua functii in S satisfacand

identitatea lui BezoutNX + MY = 1 (45)

(toate acestea sunt furnizate de procedura elaborata anterior).Teorema 11 (Parametrizarea lui Youla). Multimea tuturor C pentru care sistemul inbucla de reactie din Figura 3 este intern stabil este data de

X + MQ

Y − NQ: Q ∈ S

. (46)

Exercitiu: Aratati ca Teorema 6 se obtine prin particularizarea Teoremei 11 atunci candP ∈ S !

Demonstratia Teoremei 2 se face pe baza unei leme preliminare.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 230 Stabilizarea

Page 232: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Lema 12. Fie P = NM si C = NC

MCfactorizari coprime peste S. Sistemul cu bucla de

reactie este intern stabil daca si numai daca

(NNc + MMC)−1 ∈ S.

Demonstratie. Demonstratia lemei fiind aproape identica cu cea a Teoremei 5 estelasata drept exercitiu !

Demonstratia Teoremei 11. Fie Q ∈ S si definim

C :=X + MQ

Y − NQ.

Pentru a arata ca sistemul in bucla inchisa este intern stabil definim

NC := X + MQ, MC := Y − NQ

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 231 Stabilizarea

Page 233: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

si incercam sa aplicam Lema precedenta. Pentru aceasta trebuie sa aratam succesiv caC = Nc

Mceste o factorizare coprima si ca (NNc + MMc)−1 ∈ S. Intr-adevar, avem ca

NX + MY = 1 de unde rezulta automat ca NNC + MMc = 1 ceea ce demonstreazaprima parte a Teoremei.

Reciproc, fie C un regulator ce stabilizeaza intern bucla de reactie. Trebuie sa aratamca exista Q ∈ S a.i.

C =X + MQ

Y − NQ. (47)

Fie C = NCMC

o factorizare coprima peste S si definim V := (NNC + MMC)−1. DinLema 1 rezulta ca V ∈ S. Avem ca

C =NCV

MCV(48)

si incercam sa alegem Q a.i. (47) sa coincida cu (48) in sensul ca NCV = X + MQsi MCV = Y − NQ. Il definim pe Q din prima ecuatie rezultand ca Q = NCV −X

M sicalculand

Y − NQ = Y − N(NCV − X)M

=MY + NX − NNCV

M

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 232 Stabilizarea

Page 234: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

=1 − NNCV

M=

MMCV

M= MCV

arata ca o verifica de fapt si pe a doua. A ramas sa aratam ca Q astfel definit apartinelui S. Am vazut ca Q verifica

MCV = Y − NQ, NCV = X + MQ.

Scazand a doua ecuatie multiplicata cu Y din prima multiplicata cu X obtinem

MCV X − NCV Y = XY − XY − (NX + MY )Q ⇔ Q = NCV Y − MCV X

si ultimul membru drept apartine lui S intrucat toate elementele apartin lui S. DeciQ ∈ S.Observatia 13. Analog ca in cazul in care P era stabila, toate functiile de transfer inbucla inchisa sunt functii afine de Q daca parametrizam C ca in enuntul teoremei infunctie de Q. De exemplu functia de transfer de la r si d la ε devine

ε =1

1 + PCr − P

1 + PCd = M(Y − NQ)r − N(Y − NQ)d.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 233 Stabilizarea

Page 235: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Acest fapt va fi esential in sectiunile urmatoare in care parametrul Q se va determinaa.i. sa satisfaca cerinte suplimentare de reglare (urmarirea asimptotica a unui semnalreferinta si rejectia unui semnal de tip perturbator).

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 234 Stabilizarea

Page 236: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

5. Performante Asimptotice

Ce am obtinut pana in prezent ? Pentru o bucla de reactie standard (F = 1)am reusit caracterizarea clasei tuturor compensatoarelor care asigura stabilitatea interna(cea mai larga clasa ce ne intreseaza in aplicatii practice !)

Ce mai dorim de la un sistem de reglare automat ? Minimal dorim sa-i asiguramo comportare dorita la anumite clase de semnale date si in conditiile in care pot apareasemnale perturbatoare si/sau zgomote.

Ideal: Dorim ca la semnale precizate de intrare u ∈ U iesirii sistemului sa-i corespundaun semnal dorit de iesire y ∈ Y. Mai precis, dorim ca fiecarui u ∈ U sa-i asociem uny ∈ Y deci dorim ca sistemul sa reprezinte o aplicatie din U in Y precizata.

Este realist sa cerem asa ceva ? In general NU !!! De ce ? Sunt mai multe motive:• u si y sunt functii de timp (sau rationale in domeniul transformatelor Laplace) iarsistemul este liniar, invariant in timp, descris de o transformata Laplace rationala propriesi stabila (cel putin in bucla inchisa). Deci pentru o pereche (u0, y0) fixata exista cel

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 235 Performante Asimptotice

Page 237: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

mult un sistem T (rezulta din y0 = Tu0). Daca dorim ca la alta intrare u1 sa corespundao alta iesire y1 rezulta in general alt sistem T ! Concluzie: se poate cere asa ceva celmult pentru o pereche de semnale !• Este posibil asa ceva macar si pentru O SINGURA pereche de semnale? Nicimacar ! Raportul y0

u0poate rezulta intr-un sistem instabil si deci neinteresant pentru

aplicatii (semnalele de intrare interesante u sunt in general de tip persistent ca deexemplu treapta, sinusoide, rampe, etc.)• Mai mult, din raportul y0

u0pot rezulta sisteme improprii !

Ce este de facut? Relaxam cerintele pastrand esenta exigentelor! In general nune intereseaza ca un semnal de iesire sa aibe exact forma dorita de noi ci mai curand neintereseaza ca dupa trecerea regimului tranzitoriu semnalul sa aibe o comportare doritarezultand deci anumite cerinte de performanta asimptotica !

Clasa de semnale de intrare: semnale persistente (pentru noi ≡ semnale cu transfor-

mata Laplace rationala strict proprie us(s)uj(s)

in care polinomul uj(s) are toate radacinile

antistabile, i.e., in afara lui C−).

De ce facem astfel de ipoteze asupra semnalului?

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 236 Performante Asimptotice

Page 238: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

• Transformata Laplace rationala: Lucram cu sisteme dinamice descrise de fctii detransfer rationale si deci este normal ca semnalele sa fie tot rationale (solutii ale unorecuatii diferentiale ordinare in conditii initiale arbitrare).

• Strict proprii: Semnalul in domeniul timp dorim sa fie functie in sens regulat (nusemnal generalizat).

• Radacini antistabile: Putem considera semnale generale dar cele interesante din punctde vedere al proprietatilor asimptotice sunt doar cele antistabile. De ce ? Raspunsulunui sistem liniar y = Tu la o intrare u = u+ + u− (u+ partea antistabila si u− parteastabila) este

y = y+ + y−, y+ = Tu+, y− = Tu−.

Deoarece sistemul este neaparat stabil (in bucla inchisa), rezulta ca y− are toate radacinilein C− si deci limt→∞ y−(t) = 0 si dpdv asimptotic conteaza numai componentaantistabila.

Ipoteze: Presupunem configuratia clasica de reglare din Figura 4

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 237 Performante Asimptotice

Page 239: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

C P

r u y

d

-

e

Fig. 4: Sistem cu bucla de reactie unitara (F = 1)

in care semnalele externe r si d sunt presupuse de tip persistent. Semnalul r numitreferinta reprezinta semnalul pe care dorim sa-l urmareasca iesirea sistemului y iarsemnalul d este semnalul perturbator pe care il dorim rejectat la iesirea sistemului(omitem momentan o discutie separata asupra lui n deorece F = 1 si deci presupunemca este disponibila iesirea y (prim masurare exacta); mai mult, n fiind in general zgomotalb rejectia sa se poate trata doar cu instrumente specifice statisticii matematice) !

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 238 Performante Asimptotice

Page 240: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Problema fundamentala a reglarii: Pentru configuratia de reactie din Figura 4 sase gaseasca un sistem (numit compensator regulator) a.i. sistemul in bucla inchisa saindeplineasca simultan cerintele:

Stabilizare (S): Sa fie intern stabil, adica C sa fie un compensator stabilizator;

Reglare (R): Sa indeplineasca cerintele de reglare asimptotica adica

limt→∞

ε(t) = 0 ∀r ∈ R,

limt→∞

ε(t) = 0 ∀d ∈ D,

adica C sa fie un compensator regulator pentru clasa referintelor R si clasa pertubatiilorD.Observatia 14. • Cerinta de reglare (performanta asimptotica) nu are sens faraasigurarea simultana a conditiei de stabilizare ! Nu are deci sens sa abordam separatproblema reglarii de cea a stabilizarii de exemplu prin parametrizarea clasei tuturorregulatoarelor si ulterior intersectarea cu clasa celor care stabilizeaza. Problema seabordeaza prin deducerea subclasei compensatoarelor stabilizatoare ce asigura inplus si reglarea !

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 239 Performante Asimptotice

Page 241: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

• Cerinta de reglare expliciteaza de fapt doua cerinte individuale de comportare la douaclase de semnale de intrare: clasa de referinte si clasa de perturbatii sub forma:Urmarirea referintei (Rr):

limt→∞

ε(t) = 0, ∀r ∈ R , d = 0

Rejectia perturbatiei (Rd):

limt→∞

ε(t) = 0, ∀d ∈ D , r = 0.

• Ambele clase de semnale R,D sunt presupuse cunoscute (date prin cerinta deproiectare). Cele doua cerinte se considera separat rezultand in final si compunereaefetcelor limt→∞ ε(t) = 0,∀r ∈ R,∀d ∈ D (acest fapt este o consecinta a principiuluisuperpozitiei aplicabil sistemelor liniare).• Cerinta de urmarire a referintei se poate scrie echivalent

limt→∞

y(t) = limt→∞

r(t) ∀r ∈ R , d = 0.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 240 Performante Asimptotice

Page 242: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Reformularea problemei reglarii

Fie P = NM si C = Nc

Mcfactorizari coprime ale lui P si respectiv ale lui C peste S si fie

r = rnrm

, d = dndm

factorizari coprime peste polinoame. Deorece r si d sunt presupusesemnale persistente avem automat ca

∂rn < ∂rm, ∂dn < ∂dm

si radacinile lui rm si dm sunt in C+ ∪ C0.

Expresia lui ε ca functie de semnalele de intrare d si r este

ε =1

1 + PCr − P

1 + PCd =

MMc

NNc + MMc

rn

rm− NMc

NNc + MMc

dn

dm. (49)

Teorema valorii finale: Daca ε(s) este o transformata Laplace rationala fara poli inRe s ≥ 0 cu posibila exceptie a unui pol simplu in s = 0 atunci limt→∞ ε(t) exista si sepoate calcula cu alternativ prin

limt→∞

ε(t) = lims→0

sε(s).

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 241 Performante Asimptotice

Page 243: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Problema reglarii capata atunci urmatoarea formulare echivalenta:

Problema reglarii: Sa se gaseasca doua elemente in S notate Nc si Mc, cu NcMc

proprie,care satisfac simultan cerintele:

Stabilizare (S’): 1NNc+MMc

∈ S

Reglare (R’): Polii lui sε(s) ⊂ C− si

lims→0

sε(s) = 0|∀r∈R,d=0, lims→0

sε(s) = 0|∀d∈D,r=0.

Observatia 15. Chiar in aceasta formulare problema este relativ complicata intrucat celedoua conditii (S’) si (R’) trebuie asigurate simultan ! Asa cum vom vedea putin maitarziu, problema se simplifica considerabil daca folosim pentru Nc si Mc expresiile dedusela stabilizare, adica daca scriem formula parametrizata a compensatoarelor stabilizatoaresi impunem sa satisfaca exclusiv conditia (R’), (S’) fiind automat satisfacuta in acestcaz. In aceasta idee este formulata si teorema reglarii din sectiunea urmatoare.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 242 Performante Asimptotice

Page 244: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

6. Solutia Problemei Reglarii

Teorema 16. Presupunand conditia (S) (sau echivalent (S’)) din problema reglariiindeplinita, conditia (R) (sau echivalent (R’)) este indeplinita daca si numai dacaurmatoarele doua conditii sunt simultan indeplinite:

(i)1

1 + PC× 1

rm∈ S ⇔ Z(rm) ⊂ Z(

11 + PC

) ⇔ Z(rm) ⊂ P(P ) ∪ P(C)

(ii)P

1 + PC× 1

dm∈ S ⇔ Z(dm) ⊂ Z(

P

1 + PC) ⇔ Z(dm) ⊂ Z(P ) ∪ P(C)

Demonstratie. Sa observam intai ca sirurile de echivalente din enunt rezulta automatdin conditia ca rm si dm au toate zerourile in C+ ∪ C0 si sistemul in bucla inchisa esteintern stabil.

Conditiile sunt suficiente: Intr–adevar, conditiile fiind indeplinite rezulta din (49) caε(s) are toti polii in C−. Mai mult, deoarece r si d sunt descrise de rationale strictproprii rezulta si ca toti polii lui sε(s) sunt in C−.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 243 Solutia Problemei Reglarii

Page 245: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Deoarece S × 1rm

∈ S si PS × 1dm

∈ S avem ca s nu este pol al acestor rationale si din(49) rezulta

lims→0

sε(s) = 0.

Deci conditia (R’) este in totalitate indeplinita.

Conditiile sunt necesare: Deorece (R’) este indeplinita, rezulta din (49) ca simultan

ε =1

1 + PC

rn

rm|d=0, ε =

P

1 + PC

dn

dm|r=0. (50)

Cum sistemul este intern stabil si deci 11+PC ∈ S iar Z(rm) ⊂ C+ ∪C0 rezulta automat

din conditia (R’) folosita in prima relatie (50) ca rm trebuie sa dispara complet prinsimplificare. Rationamentul pentru a doua conditie din (50) este similar rezultand infinal necesitatea conditiilor (i) si (ii) din enunt.

Observatia 17. • Sa observam ca 11+PC are un zerou instabil in s0 (care sa simplifice

corespunzator “modelul” semnalului referinta continut in rm ) daca si numai daca functiade transfer in bucla deschisa L = PC are un pol acolo.• Teorema de mai sus se mai numeste si principiul modelului intern: pentru a avea

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 244 Solutia Problemei Reglarii

Page 246: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

urmarire asimptotica a semnalului referinta trebuie ca polii semnalului referinta sa aparaca poli in modelul intern al buclei deschise L.• O analiza asemanatoare se poate face si in privinta semnalului perturbator d.

Exemple de aplicare:

Sa presupunem ca avem un sistem P si dorim sa construim un regulator care sa urmarescaun semnal de tip treapta sau de tip rampa

r(t) =

c, daca t ≥ 0,0, daca t < 0,

, r(t) =

ct, daca t ≥ 0,0, daca t < 0,

unde c ∈ R∗. Alternativ, dorim sa rejectam de exemplu o perturbatie de tip sinusoidal,

i.e.d(t) = sin(ωt)1(t).

Exemple tipice pentru referinta treapta il constituie reglarea automata a vitezei unuiautomobil (cruise control) sau reglarea temperaturii dintr-o camera cu ajutorul unuitermostat ce comanda centrala termica. Un exemplu tipic pentru reglarea la rampa ilconstituie o farfurie de radar sau de TV prin satelit ce trebuie sa urmareasca orbita

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 245 Solutia Problemei Reglarii

Page 247: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

circulara a unui satelit (negeostationar). Un satelit ce se misca pe o orbita circulara cuo viteza unghiulara constanta acopera un unghi ce este functie liniara de timp (adicao rampa). Perturbatii sinusoidale apar in medii magnetice sau bune conducatoare deelectricitate acolo unde este folosita de exemplu tensiunea alternativa. Aplicand teoremareglarii in aceste cazuri obtinem urmatoarea lema.Lema 18. Prespunem ca sistemul in bucla inchisa este intern stabil si d = 0.(a) Daca r este o treapta atunci are loc reglarea (i.e. limt→∞ ε(t) → 0) daca si numaidaca S := 1

1+PC are cel putin un zerou in origine (s = 0).(b) Daca r este o rampa atunci are loc reglarea (i.e. limt→∞ ε(t) → 0) daca si numaidaca S := 1

1+PC are cel putin doua zerouri in origine (s = 0).Prespunem ca sistemul in bucla inchisa este intern stabil si r = 0.(c) Daca d este o sinusoida d(t) = sin(ωt)1(t) atunci are loc rejectia perturbatiei (i.e.limt→∞ ε(t) → 0) daca si numai daca P are un zerou in s = jω sau C are un pol s = jω(automat va avea si s = −jω deoarece sistemele au coeficienti reali).

Demonstratie. Rezulta direct din aplicarea transformatei Laplace asupra lui r(t) si d(t)si Teorema reglarii.

Exemplul 19. Sa luam un exemplu banal. Fie P (s) = 1s, C(s) = 1. Functia de transfer

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 246 Solutia Problemei Reglarii

Page 248: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

de la r la ε este

Tεr =1

1 + s−1=

s

s + 1Prin urmare polul din bucla deschisa din s = 0 devine zerou al functiei de transfer dela referinta la eroare si acest zerou anuleaza polul lui r(s) = 1

s rezultand un ε(s) farapoli instabili. Deci acest sistem asigura in bucla inchisa urmarirea unei referinte de tiptreapta unitara.

Cu toate ca teorema reglarii ne da un instrument teoretic extrem de util in abordareaanalitica a solutiei problemei reglarii, mai sunt inca de facut cativa mici pasi in explicitareaclasei compensatoarelor stabilizante si gasirea parametrului Q care satisface conditiileenuntate.

Clasa compensatoarelor care asigura cerinta primordiala de stabilitate interna este datade C = X+MQ

Y −NQ in care Q este arbitrar in S si P = NM si NX + MY = 1, cu toate

N, M, X, Y ∈ S.

Functiile de transfer ce intervin in Teorema reglarii sunt date de

Tεr = S =1

1 + PC=

MMc

NNc + MMc, si Tεd = −PS = − NMc

NNc + MMc

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 247 Solutia Problemei Reglarii

Page 249: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

care devin dupa inlocuirea formulelor pentru Mc := Y − NQ si Nc := X + MQ,

Tεr = M(Y − NQ), Tεd = N(Y − NQ).

Scriind acum rm si dm in forma

rm = kr(s − sr1)(s − sr2) . . . (s − srk)

dm(s) = kd(s − sd1)(s − sd2) . . . (s − sd)unde kr, kd ∈ R si radacinile sri, sdj ∈ C+ ∪C0, i = 1, . . . k, j = 1, . . . , apar in perechicomplex conjugate.

Cu aceste notatii, conditiile de interpolare enuntate in Teorema reglarii devin pentruurmarirea referintei

M(sr1)(Y (sr1) − N(sr1)Q(sr1)) = 0,M(sr2)(Y (sr2) − N(sr2)Q(sr2)) = 0,...M(srk)(Y (srk) − N(srk)Q(srk)) = 0,

(51)

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 248 Solutia Problemei Reglarii

Page 250: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

iar cele pentru rejectia perturbatiei devin

N(sd1)(Y (sd1) − N(sd1)Q(sd1)) = 0,N(sd2)(Y (sd2) − N(sd2)Q(sd2)) = 0,...N(sd)(Y (sd) − N(sd)Q(sd)) = 0.

(52)

• In ecuatiile de mai sus N, M, X, Y sunt elemente cunoscute (determinate anterior) inS si deci valorile lor in punctele sri si srj sunt numere reale (sau complexe) ce se potcalcula direct. Necunoscuta o constituie parametrul liber Q ∈ S care se determina a.i.conditiile de interpolare de mai sus sa fie indeplinite.• Daca sri sau sdj sunt reali, ecuatia corespunzatoare va avea toti coeficientii realisi evident si valoarea rezultata pentru Q(sri) sau Q(sdj) va fi reala. Daca radacinacorespunzatoare este complexa atunci automat valoarea pentru Q(sri) sau Q(sdj) va ficomplexa rezultand doua ecuatii corespunzatoare partii reale si celei imaginare avand casolutii Re Q(·) si Im Q(·). Ecuatiile care rezulta pentru radacina complex conjugata sri

sau srj vor fi identice cu cele obtinute pentru sri sau srj si nu mai este necesar sa lerezolvam/scriem.• Parametrul Q este complet arbitrar in S insa conditiile de interpolare impun esential-

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 249 Solutia Problemei Reglarii

Page 251: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

mente conditii asupra zerourilor sale. In consecinta pentru simplificarea cat mai multposibil a calculelor necesare se ia un Q ∈ S de o forma cat mai simpla de tipul

Q(s) =a0 + a1s + . . . + ak+−1s

k+−1

(s + 1)k+−1

sau

Q(s) = a0 + a11

s + 1+ . . . + ak+−1

1(s + 1)k+−1

.

Numarul minim de parametri cu care se incearca gasirea lui Q este dat de numarul deconditii de interpolare ce trebuie satisfacute, i.e., k + si fixeaza gradul (minim) alnumaratorului si numitorului lui Q la k + − 1 (Q trebuie sa fie propriu). Se observa capentru orice valori ale parametrilor a0, a1, . . . , ak+−1 avem Q ∈ S.• Daca modelul intern este asigurat de sistemul original P atunci ecuatiile (51)si (52) sunt satisfacute indiferent de valoarea lui Q. Intr–adevar, daca in cazulurmaririi referintei avem ca sri este pol al lui P , atunci automat M(sri) = 0 si ecuatiarespectiva

M(sri)(Y (sri) − N(sri)Q(sri)) = 0,

nu conduce la nici o restrictie asupra lui Q(sri). Similar pentru cazul rejectiei perturbatiei

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 250 Solutia Problemei Reglarii

Page 252: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

daca sdj este in modelul original P (s) sub forma unui zerou atunci ecuatia

N(sdj)(Y (sdj) − N(sdj)Q(sdj)) = 0,

este automat satisfacuta pentru ca N(sdj) = 0 si deci nu apare nici o restrictie asupra luiQ(sdj). Aceste fapte ne permit reducerea complexitatii parametrului Q (si implicita complexitatii regulatorului rezultant) in cazurile mentionate.• Daca apare necesitatea asigurarii unui model intern cu radacini multiple ecuatiile(51) si (52) trebuie completate cu variantele lor derivate de k − 1 ori, unde k estemultiplicitatea radacinii lui r(s) sau d(s).• Ecuatiile (51) sunt satisfacute sau daca M(sri) = 0 caz in care ecuatia se elimina sise scade cu 1 sau cu 2 gradul lui Q (caz real sau complex) sau daca

Q(sri) =Y (sri

)N(sri

).

Dupa eliminarea tuturor ecuatiilor triviale (generate de prezenta chiar si partiala a

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 251 Solutia Problemei Reglarii

Page 253: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

radacinilor in modelul intern) rezulta deci ca Q se alege a.i. sa satisfaca ecuatiile

Q(sri) =Y (sri)N(sri)

, Q(sdj) =Y (sdj)N(srj)

ceea ce revine la gasirea parametrilor a0, a1, . . . ak+−1 ce satisfac sistemul de ecuatii

⎧⎨⎩Y (sri)N(sri)

= a0 + a11

sri+1 + . . . + ak+−11

(sri+1)k+−1, ∀i = 1, . . . , k,Y (sdj)

N(sdj)= a0 + a1

1sdj+1 + . . . + ak+−1

1(sdj+1)k+−1, ∀i = 1, . . . , .

Acest sistem este un sistem liniar de k+ ecuatii si k+ necunoscute a0, a1, . . . , ak+−1,avand matricea sistem de tip Vandermonde. Notam in continuare unitar cu si punctelede interpolare atat corespunzatoare referintei cat si perturbatiei (mai exact si := sri ptr.i = 1, . . . , k si si := sdi−k ptr i = k + 1, . . . , k + . Sistemul Vandermonde se rescrie

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 252 Solutia Problemei Reglarii

Page 254: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Aax = b unde

A :=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 1

s1+11

(s1+1)2. . . 1

(s1+1)k+−1

1 s21

(s2+1)2. . . 1

(s2+1)k+−1

... ... ... ...

... ... ... ...1 1

sk++11

(sk++1)2. . . 1

(sk++1)k+−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , ax :=

⎡⎢⎢⎣a0

a1...

ak+−1

⎤⎥⎥⎦ , b :=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

Y (s1)N(s1)Y (s2)N(s2)...

...Y (sk+)

N(sk+)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ .

Sistemul are solutie unica daca si numai daca matricea A este inversabila sau det A = 0.Se stie ca pentru o matrice Vandermonde are loc formula

det A = Π1≤i<j≤k+(si − sj)

si deci problema are solutie unica daca si numai daca punctele de interpolare suntdistincte.• Daca punctele de interpolare nu sunt distincte (apar radacini si cu ordinul demultiplicitate m > 1 atunci se scrie ecuatia de baza si inca m − 1 derivate ale sale.Matricea A devine de tip Vandermonde extinsa avand cele m linii corespunzatoare lui si

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 253 Solutia Problemei Reglarii

Page 255: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

de tipul ⎡⎢⎢⎢⎣1 1

si+11

(si+1)2. . . 1

(si+1)k+−1

0 1 2 1si+1 . . . (k + − 1) 1

(si+1)k+−2

0 0 2 . . . (k + − 1)(k + − 2) 1(si+1)k+−3

... ... ... ... ...

⎤⎥⎥⎥⎦si se actualizeaza corespunzator coeficientul termenului liber Y (si)

N(si)ce corespunde com-

ponentelor derivate.

• Din cele de mai sus aparent reiese ca problema reglarii are intotdeauna solutie. Acestlucru nu este adevarat, si rezulta din faptul ca este posibil ca N(si) = 0 caz in careautomat M(si) = 0 iar ecuatia de interpolare M(si)(Y (si) − N(si)Q(si)) = 0 poatefi satisfacuta daca si numai daca Y (si) = 0. Aceasta egalitate nu poate insa avea locintrucat rezulta ca

(NX + MY )(sri) = 0 = 1.

Teorema urmatoare sintetizeaza conditiile necesare si suficiente de existenta a unei solutiia problemei reglarii.Teorema 20. Fie P = N

M o factorizare coprima peste S si X, Y ∈ S a.i. NX +MY = 1.

Fie r = rnrm

si d = dndm

semnale persistente de tip referinta si respectiv de tip perturbator

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 254 Solutia Problemei Reglarii

Page 256: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

factorizate coprim peste polinoame. Fie r1 si d1 c.m.m.d.c. (cel mai mare divizor comun– peste polinoame – ) al perechii (rm, M) si respectiv al perechii (dm, N) si fie

rm =rm

r1, dm =

dm

d1, rd := rm × dm.

Problema reglarii are o solutie daca si numai daca N nu are nici un zerou comun cu rd.

Demonstratie. Conditia este necesara: P.p. prin absurd ca si este un zerou comunatat al lui N(s) cat si rd(s). Dupa simplificarea c.m.m.d.c. r1 si d1 in ecuatiile deinterpolare rezulta ca si trebuie sa satisfaca ecuatia

Y (si) − N(si)Q(si) = 0

care asa cum am vazut deja este posibila daca si numai daca N(si) = 0. De undecontradictia.Conditia este suficienta: Intr–adevar, daca rd nu are zerouri comune cu N rezulta caN(si) = 0 pentru fiecare zerou al lui rd(s) si deci putem scrie un sistem Vandermondecorespunzator care are intotdeauna o solutie unica.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 255 Solutia Problemei Reglarii

Page 257: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Procedura pentru rezolvarea problemei reglarii

Pasul 1: Se rezolva problema stabilizarii folosind parametrizarea lui Youla pentru clasatuturor compensatoarelor stabilizante;Pasul 2: Se analizeaza specificatiile de performanta asimptotice si se reduc la conditiide interpolare asupra parametrului Q; se trateaza distinct cazul cu radacini multiple sise analizeaza existenta solutiilor;Pasul 3: Daca problema are solutie se rezolva sistemul Vandermonde corespunzator sise determina parametrul Q care satisface deci conditiile de interpolare;Pasul 4: Se inlocuieste parametrul Q in expresia parametrizata a compensatorului si seobtine compensatorul regulator.Observatia 21. Toate dezvoltarile de mai sus se pot face folosind modele polinomialeinsa natura intima a problemelor de reglare (cu asigurarea prealabila a stabilizarii) indicaca mult mai potrivita abordarea de mai sus ce foloseste factorizari coprime peste S !Observatia 22. Se poate formula o problema conexa problemei de reglare deja formulate,numita problema de reglare structural stabila. Aceasta cere ca pentru o vecinatatateintreaga (cat de mica) a modelului nominal compensatorul sa stabilizeze si sa continuesa regleze. Se poate arata relativ usor ca acesta problema are solutie daca si numai daca

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 256 Solutia Problemei Reglarii

Page 258: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

cel mai mic multiplu comun al lui rm si dm notat rd divide Y −NQ adica daca si numaidaca

N(si) = 0, ∀si a.i. rd(si) = 0

⇔ rd(s) nu are zerouri comune cu N(s).Acest fapt implica ca modelul semnalelor externe (exogene) r si d trebuie sa fie integralinclus in modelul regulatorului si nu poate fi folosita (in caz ca exista) partea comunacu modelul nominal P (s).

Din punct de vedere al aplicatiilor concrete ale reglarii, avand in vedere ca modelulnominal este aproape intotdeauna imprecis se impune deci includerea INTEGRALA amodelului exogenului in regulator (chiar daca este deja total/partial continut in P ).

In general aceasta masura de precautie nu este suficienta pentru multe aplicatii intrucatnu garanteaza rezolvarea problemei decat pentru o vecinatate arbitrar de mica a modeluluinominal. Formularea corecta si rezolvarea completa a problemei se face in cadrul teorieirobustetii in care se gasesc acei Q care maximizeaza vecintatea in care are loc stabilizareasi/sau performanta asimptotica.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 257 Solutia Problemei Reglarii

Page 259: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Alte cerinte de performanta realizabile cu Q

Parametrul Q poate fi folosit pentru realizarea altor cerinte de performanta:

• Obtinerea anumitei comportari dinamice dorite a sistemului in bucla inchisa prinasigurarea anumitor locatii a polilor in bucla inchisa) – (exercitiu: propuneti o metodapentru aceasta !);

• Asigurarea stabilizarii robuste ce permite cele mai mari incertitudini (intr-o anumitanorma) asupra modelului nominal P cu pastrarea stabilitatii interne;

• Performanta robusta ce permite asigurarea proprietatilor de tip asimptotic pentru oincertitudine cat mai mare in modelul nominal P ;

• Asigurarea reglarii cu o clasa de regulatoare ce permit limitarea comenzii la o anumitavaloare prescrisa;

• Sa se stabilizeze un sistem stabil cu un compensator stabil;

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 258 Solutia Problemei Reglarii

Page 260: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

• Problema stabilizarii simultane a doua sau mai multe sisteme nominale date folosindacelasi regulator

• Combinatii ale tuturor sau doar unora dintre cerintele de mai sus.

Desigur, combinand toate sau chiar o parte dintre aceste cerinte problemele se complicamajor si exista desigur situatii in care nu se pot asigura simultan toate cerintele. Un studiumai detaliat al conditiilor in care anumite cerinte din cele de mai sus pot fi satisfacute seva face in semestrul al II–lea (implica introducerea unui formalism matematic adecvat).Desigur exista si numeroase probleme deschise (a caror solutie nu a fost inca data) pecare sunteti invitati sa le incercati !

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 259 Solutia Problemei Reglarii

Page 261: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exemple de Probleme (tipice de examen)

Exemplul 23. Fie un sistem nominal stabil P . Sa se gasesca toate regulatoarele careurmaresc o referinta treapta. Mai mult, sa se precizeze subclasa solutiilor structuralstabile.Rezolvare: Orice reglare se face cu stabilizare prealabila. P fiind stabil, rezulta caC = Q

1−PQ da clasa tuturor compensatoarelor stabilizatoare cand Q parcurge S. Incazul in care P este stabil, avem trivial N = P , M = 1, Y = 1, X = 0. Pentruun semnal de tip treapta r(t) = 1(t) avem r(s) = 1

s si deci rm(s) = s cu singurulzerou in s = 0. Cum M(0) = 1 = 0 rezulta ca singura varianta de a satisface ecuatiaM(0)(Y (0) − N(0)Q(0)) = 0 este sa avem P (0) = N(0) = 0. In concluzie problemaare solutie daca si numai daca s = 0 nu este zerou al lui P caz in care orice Q ∈ S cuQ(0) = 1

P (0) satisface cerinta de reglare, i.e.,

C =

Q

1 − PQ: Q ∈ S, Q(0) =

1P (0)

.

Aceasta expresie da si clasa solutiilor structural stabile (explicati de ce !!!).

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 260 Solutia Problemei Reglarii

Page 262: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Exemplul 24 (Exemplu detaliat la seminar). Fie P (s) = 1(s−1)(s−2). Sa se gaseasca

un regulator ce asigura urmarirea unei referinta treapta r(t) = 1(t) si rejectia uneiperturbatii sinusoidale d(t) = sin10t. Rezolva orice regulator gasit problema structuralstabila ?Schita de rezolvare: Trebuie gasita intai clasa compensatoarelor stabilizante. P fiindinstabila aceasta are forma C = X+MQ

Y −NQ cu Q arbitrar in S. Deci trebuie intai gasitiN, M, X, Y folosind procedura de la pagina 29. Mai intai calculam

P (λ) := P (1 − λ

λ) =

λ2

6λ2 − 5λ + 1, cu n(λ) = λ2, m(λ) = 6λ2 − 5λ + 1.

Aplicam algoritmul lui Euclid pentru n(λ) si m(λ) obtinand succesiv

q1(λ) =16, r1(λ) =

56λ − 1

6,

q2(λ) =365

λ − 16, r2(λ) =

625

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 261 Solutia Problemei Reglarii

Page 263: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

si ne oprim intrucat am obtinut un rest constant nenul. Ecuatiile verificate sunt

n = mq1 + r1

m = r1q2 + r2

de unde

r2 = (1 + q1q2)m − q2n.

Deci luam

x = −q2

r2= −30λ + 19, y =

1 + q1q2

r2= 5λ + 1.

Revenind in variabila s prin transformarea inversa λ = 1s+1 obtinem

N(s) =1

(s + 1)2, M(s) =

(s − 1)(s − 2)(s + 1)2

X(s) = x(1

s + 1) =

19s − 1s + 1

, Y (s) = y(1

s + 1) =

s + 6s + 1

.

Deci am deteminat toti C care asigura stabilitatea interna.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 262 Solutia Problemei Reglarii

Page 264: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Avem r(s) = 1s si d(s) = 100

s2+100de unde rm(s) = s si dm(s) = s2 + 100. Observam ca

nici o radacina a acestor doua polinoame nu apare ca pol respectiv ca zerou al sistemuluiinitial P si deci problema de reglare structural stabila va avea aceeasi solutie cu ceaobisnuita data de cele doua conditii de interpolare ce trebuie satisfacute:

M(0)(Y (0) − N(0)Q(0)) = 0,N(10j)(Y (10j) − N(10j)Q(10j)) = 0.

Inlocuind valorile corespunzatoare ale lui N, M, Y obtinem echivalent

Q(0) = Y (0)N(0) = 6

Q(10j) = Y (10j)N(10j) = −94 + 10j ⇔ Re Q(10j) = −94, Im Q(10j) = 70.

Avem de satisfacut trei conditii de interpolare si deci vom lua un polinom Q (in variabila1

s+1) cu trei coeficienti deci de gradul 2:

Q(s) = a0 + a11

s + 1+ a2

1(s + 1)2

.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 263 Solutia Problemei Reglarii

Page 265: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

Ramane sa determinam coeficientii a0, a1, a2 pe baza conditiilor de interpolare. Re-zolvand sistemul liniar de tip Aax = b ce se obtine rezulta coeficientii a0 = −79,a1 = −723, a2 = 808. De aici rezulta expresiile

Q(s) =−79s2 − 881s + 6

(s + 1)2, C(s) =

−60s4 − 598s3 + 2515s2 − 1794s + 1s(s2 + 100)(s + 9)

care reprezinta solutia cautata.Exemplul 25. Sa presupunem ca in exercitiul precedent se cere realizarea unei urmariria unei referinte de tip rampa, in contextul in care perturbatiile nu apar (sunt nule).Semnalul rampa are transformata Laplace

r(s) =1s2

si deci rm(s) = s2. Conditia de interpolare se pune astfel incat M(s)(Y (s)−N(s)Q(s))sa aibe un zerou dublu in s = 0. Cum M(0) = 0 rezulta echivalent ca Y (s)−N(s)Q(s)trebuie sa aibe un zerou dublu in s = 0 si deci Q(s) trebuie sa fie de gradul 1 pentru a

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 264 Solutia Problemei Reglarii

Page 266: Teoria Sistemelor I - Oara / Stefan

avea doi parametri liberi a0 si a1, i.e.,

Q(s) = a0 + a11

s + 1.

Conditiile de interpolare sunt deci

Q(0) =Y (0)N(0)

= 6

si respectiv conditia asupra derivatei

Q′(0) =

Y′(0)N(0) − N

′(0)Y (0)

N(0)2

din care rezulta sistemul corespunzator cu solutia a0 = 13, a1 = −7. Similar se scrieacum Q si respectiv C.

CAPITOLUL 4: Concepte Fundamentale ale Buclei de Reactie 265 Solutia Problemei Reglarii