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Diseo y anlisis de
experimentos
Estadstica para la Calidad y
Productividad
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Experimentos diseados
Un experimento diseado es unaprueba o serie de pruebas en las
cuales se inducen cambiosdeliberados en algunas variables deentrada del sistema mientras otras
se mantienen fjas, de manera deidentifcar las uentes de los cambiosen las variables de salida.
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Definiciones bsicas
Unidad experimental es el sujeto uobjeto sobre el cual se toma unamedicin de la variable de respuesta.
Un punto del diseo es unacombinacin de valores de las variablesexplicativas para las cuales se toma una
medicin de la variable de respuesta.En otras palabras, estamos hablando deuna condicin experimental
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Definiciones bsicas (cont)
Ejemplo: "e est# interesado enestudiar la inuencia de la presin yla temperatura de moldeo de unnuevo tipo de pl#stico sobre sudure$a, para lo cual se decide tomarmuestras de % m% &cada una de las
cuales representa una unidadexperimental' producidas a %((,)(( y *(( psi de presin y %(( y )((
+ de temperatura.
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Definiciones bsicas (cont)
En este caso la temperatura y lapresin representan los tratamientosdel experimento y los mismos son
factores
El diseo comprende seis puntos-(200psi,200F), (300psi,200F), (400psi,200F),
(200psi,300F), (300psi,300F) y (400psi,300F). o hemos identifcado ninguna
variable de ruidopara este problema.
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Ventajas de los
experimentos diseados
Elegir los puntos del diseo tienem/ltiples ventajas- "e pueden controlar variables de ruido-
Las variables de ruido 0ue se conocen puedenincluirse en el estudio en orma de blo0ues ycovariables, o manteniendo su valor durante alo largo de las distintas corridas.
1ara reducir la inuencia de las variables deruido cuya presencia se desconoce, laasignacin de los tratamientos a las unidadesexperimentales se debe hacer en ormaaleatoria.
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200 220 240 260 280
300
350
400
450
500
550
Temperatura
Dens
idad
Ventajas de los
experimentos diseados
!on datos histricos el rango de lostratamientos puede ser muy reducido,con lo 0ue el ruido puede enmascarar
los cambios en la respuesta.
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Ventajas de los
experimentos diseados
"e puede reducir el tamao muestral,simplifcar el an#lisis y obtener mejorinormacin- "e puede lograr 0ue los estimadores del modelo
tengan propiedades atractivas &como por ejemplola ortogonalidad'. Esto hace 0ue se logrenestimaciones m#s efcientes con menos datos.
"e pueden elegir 0ue actores o interacciones hande despreciarse, en caso 0ue esto sea necesario.
En los datos histricos es posible 0ue el eecto dealgunas variables sea indistinguible &conusin deeectos'.
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Etapas de un experimento
El diseo del experimento est# inuenciadopor el modelo para anali$ar los datos.
2dentifcacin del problema3 4bjetivo &5iptesis61regunta'.3 Escoger variables de respuesta.
3 2dentifcar variables explicativas.3 78nculo entre 7E y 79 &modelo'
:iseo delexperimento
&;dnde medir
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odelaje de sistemas
En los cursos b#sicos de estad8stica seestudiaron los modelos lineales &loscuales incluyen a los modelos de
regresin y de an#lisis de varian$a comocasos particulares' y se disearonherramientas para estimarlos y probar
hiptesis sobre ellos. 7amos ahora autili$ar este mismo tipo de modelos paraanali$ar los datos provenientes deexperimentos diseados.
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odelos asociados
1or ser un conjunto de datos contratamientos categricos, el modelolgico a utili$ar es un modelo dean#lisis de varian$a con k vias 0ueincluya todas las interacciones entreactores.
>ambi?n puede utili$arse un modelode regresin lineal con variablescodifcadas, el cual resulta
e0uivalente al modelo =47=.
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Definici!n de efecto
En el #mbito de los diseos %@ sedenomina efectode una variable &o
de una interaccin' a la dierenciaentre la respuesta esperada 0ue seobtiene en el nivel alto de la variable
y la respuesta esperada 0ue seobtiene en el nivel bajo de la misma.
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Diseos ""
Llamaremos = y A a lasvariables explicativas,as8 como a sus eectos.
La interaccin entreambos actores y eleecto correspondientela denotaremos =A.
Las condicionesexperimentales puedenubicarse en un cuadro.
A
B
-1 1
-1
1
(1)
b ab
a
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#omenclatura de diseos ""
1ara denotar los puntosexperimentales se utili$a una
palabra compuesta por las letrasmin/sculas correspondientes a losactores 0ue deban colocarse a nivel
alto. El punto 0ue corresponde atodas las variables en nivel bajo sedenota &B'.
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#omenclatura de diseos ""
(cont)
=s8, los puntos en orden estndarson-
En algunos casos se usa la misma
nomenclatura para el valor de lavariable de respuesta obtenida en esepunto, pero esto puede inducir aerrores.
A B
&B' CB CB
a DB CB
b CB DB
ab DB DB
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Estimaci!n en diseos ""
La orma m#s sencilla de estimar loseectos en este diseo es usar un
modelo de regresin con laestructura-
donde
iiiiii xxxxy ++++= 2121 )(
+=
+=
altoensi1
bajoensi1
altoensi1
bajoensi121
B
Bx
A
Ax ii
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Estimaci!n en diseos ""
(cont)
=s8 se obtienen como estimadores
donde el punto indica la suma sobre todaslas r?plicas obtenidas en el mismo punto.
R
yyyy
R
yyyy
R
yyyy
baab
aabb
baba
2
...).1(
2
.).1(..
2
.).1(..
2
2
2
+=
+=
+=
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Estimaci!n en diseos ""
(cont)
Este modelo de regresin ese0uivalente a ajustar un modelo dean#lisis de varian$a de % v8as-
donde se utili$an las restricciones
cumpli?ndose as8 las relaciones
,Rkjiy ijkijjiijk 12,1,)(*** ==++++=
=== *11*
1
*
1
==== jij
iij
jj
ii 0000
****
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Estimaci!n en diseos ""
(cont)
9ecordemos 0ue en este modelo representa la media general detodas las observaciones y los dem#scoefcientes la dierencia respecto deesta media general 0ue se produceen la respuesta para cada nivel de la
variable correspondiente. =s8-
)(2)()()(
2)()()(
2)()()(
=+==+==+=
ABEfecto
BEfecto
AEfecto
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Estimaci!n en diseos ""
(cont)
El estimador del eecto de = 0ueobtuvimos anteriormente puedeescribirse
Es decir, el promedio de todas lasobservaciones a nivel alto de = menosel promedio de todas las observacionesa nivel bajo de =. Esto est# en l8nea con
nuestra defnicin de eecto.
+ += R
yyR
yyAEfecto baba22
)( .).1(..
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Estimaci!n en diseos ""
(cont)
El mismo eecto tambi?n puedeescribirse
El primer par?ntesis representa el cambio
de respuesta 0ue produce la variable =cuando A est# en nivel bajo y la segundael mismo cambio cuando A esta en alto.
2)(
..).1(.
+
= R
yy
R
yy
AEfecto
baba
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Diseos factoriales "$
El m#s importante de los casos especialesde los diseos actoriales es el 0ue tiene kactores cada uno a dos niveles. Estos
niveles pueden ser cuantitativos, valores detemperatura o presin, o pueden sercualitativos, tales como % m#0uinas o dosoperadores, o tal ve$ pueda ser la presencia
o ausencia de un actor. Una r?plica completa de tal diseo re0uiere
% % % F F F % G %k observaciones y seconoce como un diseo factorial 2k.
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Diseos "$
El espacio de condiciones experimentalespuede representarse mediante un cubo¶ k= 3' o pares de cubos ¶ k> 3'.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
Dk= 3 k= 4
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#omenclatura de diseos "$
La orma de denotar los puntos es lamisma 0ue el diseo %%. En cuanto
al orden est#ndar de un diseo %@
,este puede hallarse duplicando elorden est#ndar de un %@CB, uno para
el nivel bajo de la nueva variableseguido del otro para el nivel alto dela nueva variable.
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#omenclatura de diseos "$
1or ejemplo, para k= 3y k= 4.A B C
&B' CB CB CB
a DB CB CB
b CB DB CBab DB DB CB
c CB CB DB
ac DB CB DB
bc CB DB DB
abc DB DB DB
A B C D
&B' CB CB CB CB
a DB CB CB CB
b CB DB CB CBab DB DB CB CB
c CB CB DB CB
ac DB CB DB CB
bc CB DB DB CB
abc DB DB DB CB
d CB CB CB DB
ad DB CB CB DB
bd CB DB CB DB
abd DB DB CB DB
cd CB CB DB DB
acd DB CB DB DB
bcd CB DB DB DB
abcd DB DB DB DB
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Estimaci!n en diseos "$
Un modelo de regresin con kvariables de la orma
puede utili$arse para estimacin eneste problema.
+
=altoenfactoresimosi1
bajoenfactoresimosi1
j
jxj
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%l&oritmo de los si&nos
1odemos usar la ortogonalidad deldiseo para simplifcar la rmula de
los estimadores m8nimo cuadr#ticos.:e hecho es #cil probar 0ue estosse pueden escribir como un m/ltiplo
del producto escalar de dos vectores-
12
=
k
nesobservaciodevectorfactordelcolumnaEfecto
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%l&oritmo de los si&nos
(cont)
1or ejemplo, en un diseo %), elestimador del eecto de la interaccin
=A! viene dado por-
La columna =A! se obtienemultiplicando las columnas de =, A y
!.
4
2
)()11111111()(
)1(
2
)1(
abcbcaccabba
abcbcaccabba
yyyyyyyy
,y,y,y,y,y,y,yy,,,,,,,ABCEfecto
++++=
++++=
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%nlisis de diseos "$(cont)
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[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1(1)
4
1(1)
41
(1)4
1(1)
4
A A
B B
C C
A y y
B y y
C y y
AB ab abc c b a bc acn
AC ac abc b a c ab bc
nBC bc abc a b c ab ac
n
ABC abc bc a c ab b a
n
+
+
+
=
=
=
= + + +
= + + +
= + + +
= + + +
%nlisis de diseos "$(cont)
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%nlisis de diseos "$
"i se toma m#s de una r?plicaentonces se utili$a una tabla de
an#lisis de varian$a de k v8as paradeterminar cuales eectos sonsignifcativos. La suma de cuadradosde cada variable tiene B grado de
libertad y puede obtenerse a partirdel eecto mediante la rmula-2( )
2KEfecto
SSn
=
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%nlisis de diseos "$(cont)
Ejemplo diseo factorial 23
Una empresa embotelladora de refrescos est
interesada en obtener alturas de llenado msuniformes en las botellas ue se fabrican ensu proceso de manufactura! "e#ricamente$ lamuina de llenado llena cada botella a la
altura objetivo correcta$ pero en la prctica$existe variaci#n en torno a este objetivo$ % ala embotelladora le &ustar'a entender mejorlas fuentes de variabilidad %$ en (ltimainstancia$ reducirla!
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%nlisis de diseos "$(cont)
El in&eniero del proceso puede controlar tresvariables durante el proceso de llenado: elporcentaje de carbonataci#n )A*$ la presi#n deoperaci#n en el llenador )B* % las botellasproducidas por minuto o rapide+ de l'nea )C*!,ara los -nes del experimento$ el in&enieropuede controlar la carbonataci#n en dosniveles: ./ %.2 por ciento! Eli&e dos niveles
para la presi#n )20 % 3/ psi* % dos niveles parala rapide+ de l'nea )2// % 20/ bpm*! Elin&eniero decide correr dos r1plicas de undiseo factorial con 23$ aciendo 2 corridas demanera aleatoria!
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%nlisis de diseos "$(cont)
4a variable de respuesta observada es la desviaci#npromedio de la altura del llenado objetivo ue seobserva en una corrida de producci#n de botellas concada conjunto de condiciones
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5actor B
20 psi )6* 3/ psi )7*
5actor A 5actor C 5actor C
%(( &C' %H( &D' %(( &C' %H( &D' yi..
B( &C' C)
CB C *
CB
( CB
CB
( CB
BB % C*
B% &D' (
B B
%
B )
%
) H
IH BB %(
Totales C) % * B)y.j.. CB BJ
yK C) D % D * D B) G BI
%nlisis de diseos "$(cont)
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%nlisis de diseos "$(cont)
El estimador y la suma decuadrados para cada eectopueden calcularse con elalgoritmo de signos.
El eecto de la interaccin noparece tener un impacto tangrande sobre la desviacin dela altura de llenado como loseectos principales.
Los eectos principalesdominan en realidad esteproceso explicando m#s delJM de la variabilidad total,mientras 0ue la interaccin =Aexplica menos de )M
5actor Efecto 88 9
= ) )I *I,BH
A %,%H %(,%H %H,NI
! B,JH B%,%H BH,J(
=A (,JH %,%H %,
=! (,%H (,%H (,)%
A! (,H( B B,%
=A! (,H( B B,%Error H I,*B
Total J
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%nlisis de diseos "$(cont)
!nal"sis of #ariance $able
%esponse& 'esiacion
f +m -ean F al+e r(>F)
! 1 3/.000 3/.000 ./ /.3/e0 ***
1 20.20 20.20 32.4 0.0004 ***
1 12.20 12.20 15./ 0.002203 **
!& 1 2.20 2.20 3./ 0.054345 .
!& 1 0.20 0.20 0.4 0.4433
& 1 1.000 1.000 1./ 0.241040
!&& 1 1.000 1.000 1./ 0.241040
%esi'+als .000 0./2
i6nif. co'es& 0 7***7 0.001 7**7 0.01 7*7 0.0 7.7 0.1 7 7 1
e p+e'e confirmar la
ma6nit+' 'e los
efectos principales,
son altamente
si6nificatios (to'oscon alores p m+"
pe+e8os).
9a interacci:n ! es
si6nificatia con +n
niel 'el 10;, e
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%nlisis de diseos "$(cont)
Los responsables del procesodecidieron correrlo con presin baja
y velocidad de l8nea alta, y reducir lavariabilidad de la carbonatacincontrolando con mayor precisin latemperatura. "e consigui as8 una
reduccin sustancial en la desviacinde la altura de llenado del valorobjetivo.
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%nlisis de diseos "$(cont)
"i se dispone de solo una r?plica delexperimento entonces la suma de
cuadrados del error es nula y no esposible utili$ar una tabla de an#lisisde varian$a para determinar cualeseectos son signifcativos.
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%nlisis de diseos "$(cont)
"i se supone 0ue no hay nin&(neecto signifcativo y 0ue los errores
cometidos en cada medicin siguenuna distribucin normal con media (y varian$a %, entonces para todoslos eectos-
2
2
2,0=
kNEfecto
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%nlisis de diseos "$(cont)
Esto sugiere dos posibilidades parareali$ar el an#lisis- Utili$ar un gr#fco cuantil O cuantil de eectos
contra la districin normal y considerarsignifcativos los 0ue no esten sobre la l8nea.
Utili$ar un estimador de %&o bien externo, obien obtenido a partir de los datos en orma
robusta' para calcular intervalos deconfan$a.
=mbas t?cnicas suponen pocos eectossignifcativos.
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odelo de re&resi!n
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odelo de re&resi!n
P Q Q Q Q Q0 1 2 3 41 2 3 1 2
1 2 3 1 2
3 2.2 1. 0.1.0
2 2 2 2
y x x x x x
x x x x x
= + + + +
= + + + +
:onde las variables codifcadas xB, x% y x)representan a =, A y !, respectivamente. Elt?rmino x
Bx
%es la interaccin =A.
Los residuos pueden obtenerse como ladierencia entre las desviaciones de la alturade llenado observada y predicha.
'ntroducci!n a la metodolo&a
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'ntroducci!n a la metodolo&a
de superficie de respuesta
!ada contorno corresponde a unaaltura particular de la superfcie derespuesta. Es /til para estudiar los
niveles xB, x% 0ue producen cambiosen la orma de la altura de lasuperfcie de respuesta. El objetivo en
este caso es llevar al experimentadorde manera r#pida y efciente a lavecindad general del ptimo.
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uperficie de respuesta y
rfica de contorno
Superficie de respuesta
Carbonataion
!resi"n
-1#0 -0#5 0#0 0#5 1#0
-1#0
-0#5
0#0
0
#5
1#0
Grfica de contorno
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"e muestran la superfcie derespuesta y la gr#fca de contornopara la desviacin de la altura de
llenado obtenida en el modelo deregresin, suponiendo 0ue lavelocidad de l8nea est# en el nivel alto
&x)G B'. 4bserve 0ue como el modelocontiene la interaccin, las l8neas decontorno de la desviacin de las
alturas constantes son curvas &o laR S
uperficie de respuesta y
rfica de contorno
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uperficie de respuesta y
rfica de contorno
En la superfcie de respuesta segrafca el valor predicho de ladesviacin del llenado en t?rminos de
las dos variables del proceso &
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La gr#fca de contorno indica 0ue si lavelocidad de l8nea est# en el nivel alto,entonces hay varias combinaciones de
los niveles de carbonatacin y la presin0ue satisar#n 0ue la desviacin delllenado est? tan cerca de cero como sea
posible. 1or ejemplo si se 0uiere minimi$ar la
desviacin del llenado, se necesita correrxB y x% en sus niveles bajos &o cerca de
ellos
uperficie de respuesta y
rfica de contorno
f "
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'ntervalos de confian*a y +"
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Proyecci!n de diseos "$
Tracias a su ortogonalidad, undiseo %@en el cu#l nactores &n k'
son no signifcativos corresponde a 2nr?plicas de un diseo en el cu#l
participan solo k nactores.
=A
!
=A
! no signifcativo
a
b
&B'
ab
abc
acc
bc
&B'c
aac
ababc
bbc
P i! d di "$
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Proyecci!n de diseos "$
(cont)
Ejemplo 3 )continuaci#n *- usandoel gr#fco cuantil O cuantil vimos 0uela concentracin &A' parece no tener
eecto sobre el rendimiento.1odr8amos pensar entonces 0uenuestros resultados provienen de un
diseo %)con dos r?plicas en losactores =, ! y :, tal y como semuestra en la siguiente tabla.
P i! d di "$
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Proyecci!n de diseos "$
(cont)
,unto rden
;eal
;endimient
o
&B' H B%
a N B
b B)
ab B% BI
c ) BJ
ac J BH
bc B* %(
abc B BH
d I B(
ad BB %Hbd % B)
abd BH %*
cd * BN
acd BI %B
bcd B( BJ
abcd B% %)
;endimiento
,unto ;eplica
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