Teoria della relatività-4 16 gennaio 2013
Nuova definizione della quantità di moto
Teorema dell’energia cinetica
Espressione dell’energia cinetica
Energia relativistica, energia a riposo
Relazione tra energia e QM
Conservazione dell’energia relativistica
Relazione tra forza e accelerazione
Forza parallela alla velocità
Forza perpendicolare alla velocità
Quantità di moto
• Si puo` dimostrare che in relatività bisogna introdurre una nuove definizione di quantità di moto, affinche’ il principio di conservazione di questa grandezza continui a valere
• La definizione classica viene ora sostituita da
2
ump
uump
33
Energia cinetica
• Vogliamo trovare l’espressione dell’energia cinetica per una particella che viene accelerata da una forza F da velocità iniziale uA fino ad una velocità uB
3
F
u
44
Energia cinetica
• Partiamo dal lavoro elementare
• Esplicitiamo il differenziale della QM
• Il lavoro finito è
upddt
sdpdsd
dt
pdsdFdW
udmumduumdpd
W dWA
B
mdu md
u
A
B
u m
u u d
A
B
mu d
u
A
B
mu2dA
B
muduA
B
4
55
Energia cinetica
• Esprimiamo u in funzione di
• Otteniamo
• Il lavoro della forza esterna si ritrova come variazione di energia cinetica del corpo (th. dell’energia cinetica)
du c 2
u3d
u2 c 2 1 1
2
AB
B
A
B
A
B
A
mcdmcdc
mdmcW
22
2
2
2
2 11
AB KKW
5
66
Energia cinetica• E quindi l’energia cinetica si puo` scrivere come
• Per determinare la costante poniamo uA=0, in tal caso =1 e K=0, ne segue
• L’energia cinetica è dunque• Si introduce anche l’energia relativistica
• Il termine è la cosiddetta energia a riposo, cioè quella posseduta dal corpo fermo
• Tale relazione stabilisce l’equivalenza tra massa ed energia
.2 constmcK
2. mcconst 12 mcK
22 mcmcKE 2mc
6
77
Relazione tra K e p in meccanica classica
• Possiamo esprimere K in funzione di p eliminando v dalle eqq. classiche
• Troviamo le relazioni
K 1
2mv 2 mvp
K p2
2m
p 2mK
7
88
Relazione tra E e p in relatività
• Similmente in relatività eliminiamo v dalle eqq.
• Dividendo membro a membro otteniamo
• Reintroducendo u in
• e sostituendo in E abbiamo
8
2cmE ump
u pc 2
E
222 cpE
E
42222 cmcpE
99
Casi limite di E e p in relatività
• Caso u<<c , diventa• QM ed energia diventano, all’ordine piu` basso in u
• L’energia cinetica diventa
• Cioè ritroviamo le espressioni newtoniane per p e K• Caso ultrarelativistico u~c , QM ed energia
diventano
9
22
2
22
2
1
2
11 mumc
c
umcE
mup
2
2
22 2
11
1
1
c
u
cu
m
pmumcEK
22
1 222
cmp pcE
Conservazione di E
• Si puo` dimostrare che l’energia relativistica E di un sistema isolato si conserva
• Poiche’ E è somma di energia cinetica K e energia a riposo, ne segue che, in generale, ne’ K ne’ l’energia a riposo (la ‘massa’) si conservano separatamente
• Vediamo un esempio semplice
10
2mcKE
Conservazione di E
• Supponiamo di avere due particelle di massa m che si urtano centralmente con velocità uguali e contrarie
• Inizialmente abbiamo una massa, un’energia cinetica e un’energia relativistica pari a
11
222
222
2
1211
2
cmcmcmE
mcmcmcK
mmmM
i
i
i
Conservazione di E
• Supponiamo che l’urto sia totalmente anelastico, nello stato finale avremo un unico oggetto fermo di massa M
• Dopo l’urto abbiamo una massa, un’energia cinetica e un’energia relativistica pari a
12
2
0
McE
K
MM
f
f
f
Conservazione di E
• Applichiamo ora la conservazione di E:• Ne segue che cioè la massa
finale è maggiore della massa iniziale
• Poiche’ l’urto è totalmente anelastico, c’è perdita di energia cinetica
13
22 2mcMc if EE
120 2 mcKK if
1222 mmmMM if
Conservazione di E
• Per il primo principio della termodinamica ci dev’essere una produzione di calore Q (<0) pari alla perdita di energia cinetica
• Dal punto di vista relativistico, a questo calore corrisponde l’aumento di massa del sistema
• Questo è un’esempio di equivalenza tra massa ed energia
14
12 2 mcKKQ if
02
c
QMM if
Conservazione di E
• In realtà il concetto di massa va pensato non come somma delle sole masse dei singoli costituenti il sistema, ma anche dell’energia interna del sistema
• In tal modo la ‘massa relativistica’ si conserva, è infatti un’altro modo di scrivere la conservazione dell’energia relativistica
15
fi Mm
c
mcm
c
KKmmM
212
22
2
2
21
fi EMccmE 222
161616
Relazione tra accelerazione e forza
• Partiamo dall’eq.
• Ricordando che• Abbiamo
• Sostituendo nell’espressione della forza e ricordando che
• otteniamo
F
dp
dt
d
dtmu m
ddt
u m
du
dt
K E mc 2 mc 2 mc 2
dK
dt
dE
dtm
ddt
c 2
a
du
dtuFu
dt
pd
dt
upd
dt
dW
dt
dK
amuFc
u
dt
udmu
dt
dmF
2
171717
Relazione tra accelerazione e forza
• Risolvendo per l’accelerazione
• Questa eq. ci dice che in generale l’accelerazione non è parallela alla forza
• Ci sono due casi in cui accelerazione e forza sono parallele– Quando la forza è parallela alla velocità– Quando è perpendicolare alla velocità
uFcm
u
m
Fa
2
181818
F parallela a u
• In questo caso particolare
• E l’accelerazione diviene
• Accelerazione e forza sono proporzionali tramite il fattore detto “massa longitudinale”
a
F
mF
mu2
c 2F
m1
u2
c 2
F
m3
2uFFuuuFu
m3
191919
F parallela a u (esempio)
• Consideriamo una particella di massa m e carica q, inizialmente ferma, soggetta ad un campo elettrico E diretto lungo x
• Passando alla proiezione lungo x
• E separando le variabili
• La soluzione è
a
F
m3
qE
m3
a dv
dt
qE
m3
v 3
v 3dv dt
v 3dv0
v
dt0
t
t
F
202020
F parallela a u (esempio)
• Per risolvere l’integrale cambiamo variabile
• Quindi
• Risolvendo per v
v
cv
v
wc
w
dwc
cv
dvdvv
w
w
vv
2
2230
23
2
20
3
1
1
21
w c
v
2
1
t
cv
vv
2
2
1
v t t
1 2t 2
c 2
qE
mt
1qEt
mc
2
212121
F parallela a u (esempio)
• Per la posizione moltiplichiamo per v l’eq. del moto
• Ricordando che vale la relazione
• otteniamo• e integrando
• Sostituendo il valore trovato per la velocità otteniamo
v v 3dv vdt dx
ddv
v
c 23
dxdcdvvv 23
c 2d1
dx0
x
c 2 1 x
x t c 2
t
v 1
mc 2
qE1
qE
mct
2
1
222222
F parallela a u (esempio)
• Il limite per dà i risultati classici• Il limite per dà il limite relativistico
t 0t
232323
F perpendicolare a u
• In questo caso particolare
• E l’accelerazione diviene
• Accelerazione e forza sono proporzionali tramite il fattore detto “massa trasversale”
a
F
m
F u 0
m
242424
F perp. a u (esempio)
• Consideriamo una particella di massa m e carica q(<0), soggetta ad un campo magnetico B uniforme diretto lungo z e con velocità iniziale contenuta nel piano perpendicolare a z
• La forza agente sulla particella è
• ed è contenuta nel piano perpendicolare a z• Da cio` segue che la velocità è sempre contenuta in
tale piano
BuqF
B
u
F
252525
F perp. a u (esempio)
• Dette t e n le direzioni tangente e normale alla traiettoria, l’accelerazione diviene
• e l’eq. del moto
• Poiche’ la forza di Lorentz è sempre perpendicolare alla velocità quest’ultima dev’essere costante in modulo e quindi du/dt=0, esattamente come in meccanica classica
B
u
F
nR
ut
dt
duaaa nt
ˆˆ2
n
R
ut
dt
dumamnuBqF ˆˆˆ
2
262626
F perp. a u (esempio)
• L’eq. del moto diviene allora
• Da cui ricaviamo il raggio (locale) della traiettoria
• Siccome u è costante, ne segue che, se B è uniforme, anche R è costante, cioè la traiettoria è una circonferenza B
u
F
R
umuBq
2
uBq
mR
272727
F perp. a u (esempio)
• Noto R possiamo esprimere la velocità, la QM e la velocità angolare come segue
Rm
Bqu
BRqp
m
Bq
R
u
282828
a caso generale
• L’accelerazione può essere espressa come
3
||
|| m
F
m
Faaa
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