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  • Captulo 1

    Nmeros omplejos

    1

  • 2 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS

    Departamento de Matemtia Apliada E.U.P. San Sebastin

  • 1.1. CONCEPTO DE NMEROS COMPLEJOS 3

    1.1. Conepto de nmeros omplejos

    Veamos unos ejemplos que nos ayudarn a intuir la neesidad de los nmeros omplejos.

    Ejemplo 1.1 Queremos obtener la interse

    in de la urva y1 = x2

    on la reta y2 = 3x2

    (ver la gura 1.1) Resolviendo el sistema

    Figura 1.1: Ejemplo 1.1

    {y = x2

    y = 3x 2 x2 = 3x 2

    {x1 = 1

    x2 = 2

    Obtenemos una respuesta on signiado fsio y on soluin en N R

    Ejemplo 1.2 Dada la gra Espaio/tiempo denida por E =

    {0 si t < 0

    t2 si t 0 (ver lagura 1.2), en qu instante t1 hemos reorrido 2 metros? Tambin la pregunta y la respuesta

    Figura 1.2: Ejemplo 1.2

    tienen signiado fsio, estando la soluin en R:

    t21 = 2 t1 =2 R

    y si E = 0. 25 metros?

    t22 = 0. 25 t2 = 0. 5 Q R

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  • 4 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS

    Ejemplo 1.3 Lanzamos una pelota haia arriba, on veloidad iniial v0. Si h(t) es la alturaalanzada en el instante t, podremos esribir (segn la gura 1.3)

    h = g t2

    2+ v0t = t

    (v0 g

    2t)

    Podemos plantear algunos problemas on signiado fsio:

    Figura 1.3: Ejemplo 1.3

    En qu instante se alanza la mxima altura H?

    En t1 =v0g, H = h(t1)

    En qu instantes alanza ierta altura h1 (0 h1 H)?.

    t =v0

    v20 2gh1g

    =

    {t2

    t3

    Adems:

    t2 = t3 H = v20

    2g

    Por ejemplo: Si h1 = 0. 2m, v0 = 3m/s

    t2 = 0. 072 , t3 = 0. 53

    t1 =v0g

    = 0. 31 , H =v202g

    = 0. 46

    Somos apaes de representar en R las soluiones de este problema (ver la gura 1.4):

    Veamos ahora estas otras situaiones, similares a las anteriores:{y = x2

    y = x 1 x2 = x 1 x = 1

    32

    (ver la gura 1.5):

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  • 1.1. CONCEPTO DE NMEROS COMPLEJOS 5

    Figura 1.4: Hay soluin

    Figura 1.5: No hay orte

    Figura 1.6: Cul es el orte?

    Figura 1.7: Si h2 es mayor que H

    3? Qu es?. Donde est en la reta real? (ver la gura 1.6):

    z =3 z2 = 3 z / R

    En el aso de la pelota:

    En qu instante alanza h2? (ver la gura 1.7):

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  • 6 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS

    t =v0

    v20 2ghg

    , H =v202g

    Si h2 > H h2 > v20

    2g 2gh2 > v0

    Es deir v20 2gh2 < 0 otra vez raz de un nmero negativo !!

    dnde est

    v20 2gh2?

    Por ejemplo: h2 = 5 v0 = 3 ,v20 2gh2 =

    84

    Cmo puedo representar ese nmero?.Para qu me sirve?

    En el ejemplo de la interse

    in:

    x =13

    2=

    1(1)(3)2

    =113

    2=

    1

    23

    2 1

    Donde vemos que slo da problemas

    1 ya que los dems nmeros son reales.

    Si denotamos

    1 = i (i2 = 1):Cmo represento, por ejemplo,

    1

    2+

    3

    2 1 ? (ver la gura 1.8)

    Figura 1.8: Representain vetorial de un omplejo

    z = a+ b i donde

    {a = Re(z) = parte real de z

    b = Im(z) = parte imaginaria de z

    Deniin 1.1 Deniremos el onjunto C de nmeros omplejos de la forma:

    C = {z = a+ b i | a, b R}siendo

    R = {z = a+ b i | a R , b = 0}As pues, los nmeros reales son los omplejos on la omponente imaginaria nula.

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  • 1.2. FORMA POLAR DE Z C 7

    1.2. Forma polar de z CSi z es un nmero omplejo, lo podemos expresar, ya que es un vetor, de la forma (ver

    la gura 1.9):

    Figura 1.9: Forma binomial

    Si a = 0 y b > 0 = pi2

    Por ejemplo :

    Figura 1.10: Ejemplo

    z = 0 + i = 1pi2

    z = 1 i =2 pi

    2=2 7pi

    2

    En general:

    = +2kpi k Z

    Figura 1.11: Expresin polar multiforme

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  • 8 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS

    Figura 1.12: Efeto fsio

    Representan el mismo punto sobre el plano. Sin embargo, el efeto fsio de apliar

    + 2kpi puede ser muy diferente. Ver la gura 1.12.

    Deniin 1.2 Si 0 < 2pi, llamaremos a argumento prinipal.

    Por ejemplo,

    z = 2 315pi = 2 65+1

    5pi = 26pi+pi5 = 2

    pi

    5 pi

    5= argumento prinipal de z

    1.3. Forma exponenial de z C

    Sea z = a+b i = siendo

    {a = cos b = sen z = cos + isen = ( cos + i sen )

    Ahora vamos a emplear un resultado que veremos en detalle en los temas 3 y 4:

    cos x = 1 x2

    2!+x4

    4! x

    6

    6!+x8

    8! x

    10

    10!+ x R

    senx = x x3

    3!+x5

    5! x

    7

    7!+x9

    9! x

    11

    11!+ x R

    ex = 1 +x

    1!+x2

    2!+x3

    3!+x4

    4!+x5

    5!+ x R

    La igualdad se da on la suma de innitos trminos, pero podemos onseguir aproximaiones

    ada vez mejores tomando ms y ms sumandos.

    Por ejemplo: ex 1, ex 1 + x, ex 1 + x+ x2

    2, ettera (ver la gura 1.13)

    Por otra parte, i =1, i2 = 1, i3 = i, i4 = 1, i5 = i y se repiten

    Vamos a emplear estos resultados:

    z = (cos + i sen ) =

    ((1

    2

    2!+4

    4!

    6

    6!+

    )+ i

    (

    3

    3!+5

    5!

    7

    7!+

    ))=

    =

    (1 +

    ( i)2

    2!+

    ( i)4

    4!+

    ( i)6

    6!+ + i + ( i)

    3

    3!+

    ( i)5

    5!+

    ( i)7

    7!+

    )ordenamos

    =

    =

    (1 + i +

    ( i)2

    2!+

    ( i)3

    3!+

    ( i)4

    4!+

    ( i)5

    5!+

    )= e i Forma exponenial de z

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  • 1.3. FORMA EXPONENCIAL DE Z C 9

    Figura 1.13: Aproximain mediante series

    Por ejemplo:

    z = 0 + i = 1pi2= e i

    pi

    2

    eipi = 1 (cospi + i senpi) = 1 < 0Esto no ourre jams en R, ex > 0 x R. Pero s es posible ez = 1 si z C.

    En partiular, si = 1, e i = cos + i sen que es la llamada Frmula de Euler

    Veremos enseguida las operaiones aritmtias entre omplejos, pero podemos adelantar

    que el produto se alula muy filmente empleando la forma exponenial de los omplejos:

    e i e i = ei+i = ei(+)

    por tanto = +

    Y en uanto al oiente:

    = e i

    e i=

    eii

    =

    ei(

    ) =

    (

    )

    Como aso partiular

    1 = +

    El produto por 1 representa un giro de ngulo y entro el origen de oordenadas. (ver

    la gura 1.14)

    Veamos un ejemplo. Apliar a la gura un giro =pi

    3y un esalado = 0.5 (ver las

    guras 1.15 y 1.16):

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  • 10 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS

    Figura 1.14: Giro de ngulo

    Figura 1.15: Giro + ambio de esala

    Figura 1.16: Ejemplo

    z1 = 1+i =2pi

    4; z2 = 3+i =

    10arc tg 1

    3 3. 160.32; z3 = 2+6 i =

    40arc tg 6

    2 6. 321.25

    z1 = z10. 5pi3 1. 410.780. 51.05 = 0. 71.83 0. 7(cos 1. 83+i sen 1. 83) 0. 7(0. 26+0. 97 i) = 0. 18+0. 68 iz2 = z20. 5pi3 3. 160.320. 51.05 = 1. 581.37 1. 58(cos 1. 37+i sen 1. 37) 1. 58(0. 2+0. 98 i) = 0. 31+1. 55 iz3 = z30. 5pi3 6. 321.250. 51.05 = 3. 172.3 3. 17(cos 2. 3+i sen 2. 3) 3. 17(0. 67+0. 74 i) = 2. 12+2. 35 i(ver la gura 1.17)

    Veamos otro ejemplo: Apliar un giro y esalado = 2pi2, a la gura: (ver la gura 1.18)

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  • 1.3. FORMA EXPONENCIAL DE Z C 11

    Figura 1.17: Resultado del ejemplo

    Figura 1.18: Otro ejemplo

    z1 = 1 + i =2pi

    4, z2 = 2 + i =

    5arc tg 1

    2

    z1 = z1 2pi2 = 22pi

    4+pi

    2= 2

    2 5pi

    4 2,83 5pi

    4

    z2 = z2 2pi2 =5arc tg 1

    2 2pi

    2= 2

    5arc tg 1

    2+pi

    2 4. 482.03

    Deniin 1.3 Siendo el omplejo z = , llamaremos onjugado de z = z al omplejo:z =

    (ver la gura 1.19)

    Propiedad: z z = 20 = 2 R

    Ejeriio 1.1 Expresar las ondiiones que se deben umplir para que dos nmeros om-

    plejos sean iguales.

    1.3.1. Operaiones en C

    Suma: (a+ bi) + (a + bi) = (a+ a) + (b+ b)i

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  • 12 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS

    Figura 1.19: Conjugado de z

    Produto: = ei ei

    = ei(+) = +

    Si los nmeros omplejos estn expresados en forma binmia:

    z1 = = a+ bi, z2 =

    = a + bi

    z1 z2 = A+Bi Cunto valen A y B para que sea ompatible on la deniin?

    z1 z2 =+ (cos( + ) + i sen( + )

    )=

    =(cos cos sen sen + i(sen cos + cos sen )) =

    = cos cos sen sen + i( sen cos + cos sen ) ==aa bb + i(ab + ba)

    Por tanto (a+ bi) (a + bi) = (aa bb) + i(ab + ba)Se multiplian igual que los binomios reales, teniendo en uenta que i2 = 1

    Divisin:

    = r Busamos r que sea ompatible on la deniin.

    =

    r def.= r+ = r r =

    + 2kpi = + = + 2kpi

    de otro modo, empleando la forma exponenial:

    ei

    ei= r ei ei = r ei(+)

    = r r =

    = + + 2kpi =

    Ejeriio 1.2 Dividir dos omplejos expresados en forma binomial.

    a+ bi

    a + bi=

    (a+ bi)(a bi)(a + bi)(a bi) =

    aa + bb + i(ab + ab)a2 + b2

    Ejeriio 1.3 Calular in n = 1, 2, 3,

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  • 1.3. FORMA EXPONENCIAL DE Z C 13

    Una primera forma de haerlo:

    n = 1 i1 = in = 2 i2 = 1n = 3 i3 = in = 4 i4 = 1.

    .

    .

    n > 4 n = 4k + r k N, r = 0, 1, 2, 3

    in = i4k+r =(i4)k ir = ir (onoido)

    Veamos una segunda forma:

    in =(1pi

    2

    )n= 1npi

    2 cosnpi2 + i sennpi2 =

    =

    {Si n es par: n = 2k cos kpi = (1)k, k = 0, 1, 2, 3, Si n es impar: n = 2k + 1 i sen(2k + 1)pi2 = (1)k i, k = 0, 1, 2, 3,

    Potenias enteras de z:

    ()n = nn ( cos + i sen )n = n(cos n + i senn)

    igualdad onoida omo Frmula de Moivre

    Raes:

    n =

    = nn { = n

    = n + 2kpi{ = n

    = +2kpin

    k Z innitas raes?

    Por ejemplo:

    i =

    1pi

    2

    n=2

    = 1 pi2 +2kpi

    2

    = 1pi4+kpi

    k = 0 z0 = 1pi4

    k = 1 z1 = 1pi4+pi = 1 5pi

    4

    k = 2 z2 = 1pi4+2pi = 1pi

    4= z0 Se repite

    k = 3 z3 = 1pi4+3pi = 1pi

    4+pi = z1 Se repite

    k = 4 z4 = 1pi4+4pi = 1pi

    4+4pi = z0 Se repite

    Es deir, para k 2, apareen los mismos valores z0, z1.y para k negativos:

    k = 1 z1 = 1pi4pi = 1pi

    4+pi = z1

    k = 2 z2 = 1pi42pi = 1pi

    4= z0

    k = 3 z3 = 1pi43pi = 1 3pi

    4= z1

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  • 14 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS

    k = 4 z4 = 1pi44pi = 1pi

    4= z0

    Es deir, de nuevo apareen las mismas raes z0, z1

    As pues slo hay dos raes diferentes.

    En general:

    n +2kpi

    n

    =

    k = 0 n n

    = z0

    k = 1 n +2pin

    = z1.

    .

    .

    k = n 1 n +2(n1)pin

    = zn1

    pero si k = n n +2npin

    = n+2pi

    = z0

    Luego:

    n = n

    +2kpi

    n

    k = 0, 1, 2, , n 1Slo hay n raes distintas. (Ver la gura 1.20)

    Figura 1.20: Raes n-simas de z

    Podemos, adems, interpretar gramente estas n raes del nmero omplejo z: Lasn raes dividen a la irunferenia de radio n

    en n partes iguales.

    La diferenia de argumentos entre dos raes onseutivas es onstante:

    + 2kpi

    n + 2(k 1)pi

    n=

    2kpi 2kpi + 2pin

    =2pi

    n

    Como ejeriio, vamos a onstruir un pentgono regular arbitrario (ver la gura 1.21):

    Empezamos por alular un pentgono (ver la gura 1.22) alulando las raes quintas

    del omplejo z = 1 (nmero real positivo)

    51 = 5

    10 = 1 0+2kpi

    5k = 0, 1, 2, 3, 4

    z0 = 10, z1 = 1 2pi5, z2 = 1 4pi

    5, z3 = 1 6pi

    5, z4 = 1 8pi

    5

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  • 1.3. FORMA EXPONENCIAL DE Z C 15

    Figura 1.21: Pentgono

    Figura 1.22: Pentgono entrado en el origen

    Ahora podemos onseguir ualquier pentgono regular mediante las transformaiones:

    giro, esala y traslain:

    Si el entro no es el origen, haremos una traslain:

    zk = zk + ( a+ b i)

    Cunto mide ada lado?

    |z0z1| = |101 2pi5| = |1cos 2pi

    5i sen 2pi

    5| =

    (1 cos 2pi

    5

    )2+ sen2

    2pi

    5=

    2 2 cos 2pi

    5 1,17

    Para variar el lado, haremos un ambio de esala. Cunto vale el lado si |z| = r5?.En general

    zk = zk + a+ b i

    Ahora vamos a generalizar esta soluin. Calulemos el lado de un polgono de n ladosinsrito en una irunferenia de radio R

    |z0z1| = |R0R 2pin

    | =RR cos 2pin R sen 2pin

    = R(

    1 cos 2pin

    )2+ sen2

    2pi

    n= R

    2 2 cos 2pi

    n

    Qu rees qu ourre si n aumenta?. Haia qu valor se aera?. Se esperaba esteresultado?.

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  • 16 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS

    Calulemos el permetro:

    L = Rn

    2 2 cos 2pi

    n= Rn

    2

    (1 cos 2pi

    n

    )= Rn

    2 2 sen2 pi

    n= Rn 2 sen pi

    n

    Haia donde tender esa suesin?

    Si tomamos n omo variable real, n y apliamos la regla de L'Hpital:

    lmn

    2Rn senpi

    n= lm

    n2R

    sen pin

    1n

    L'Hpital

    = lmn

    2Rcos pi

    n pin2

    1n2

    = lmn

    2piR cospi

    n= 2piR

    Esperbamos ste resultado?

    Calulemos el apotema a:

    Figura 1.23: Apotema

    z0 z12 = . . . = R2

    2 + 2 cos

    2pi

    n=

    R

    2

    2

    (1 + cos

    2pi

    n

    )=

    R

    2

    2 2 cos2 pi

    n= R cos

    pi

    n

    Si n, a R Esperbamos ste resultado?.Calular el rea:

    A =Permetro x Apotema

    2=

    1

    2Rn2 sen pi

    nR cos pi

    n 1

    22piR R = piR2 Esperbamos ste resultado?

    Exponeniain de z C

    z C, ez = ex+iy = ex eiy = ex(cos y+i sen y) = exy (mdulo ex, argumento y)

    Ejemplo: e2+ipi

    2 = e2pi2= ie2 = e2

    (cos pi2 + i sen

    pi2

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  • 1.3. FORMA EXPONENCIAL DE Z C 17

    Ejeriio 1.4 Obtener los omplejos z tales que: Im(ez) = 0 Re(ez) = 0

    ex+iy R sen y = 0 y = kpi, k ZRe(ez) = 0 cos y = 0 y = (2k + 1)pi

    2, k Z

    Figura 1.24: Ejeriio 1.4

    Logaritmo neperiano de z:

    Dado z C, se trata de despejar z de la expresin ez = z, ompatible on la expo-nenial:

    Dados:

    {z = (onoido)

    z = x+ iy (desonoido)

    ez

    = z exeiy = {ex = x = ln y = + 2kpi

    por lo tanto

    ln () = ln + i( + 2kpi) k Z

    Existen innitos valores. Al nmero omplejo que se obtiene tomando k = 0, se lellama valor prinipal.

    Ejemplo: ln(3) = ln (3pi) = ln 3 + i(pi + 2kpi)(En R no existe ln(3) por eso ningn valor de estos es real).ln(3) = ln (30) = ln 3 + i(2kpi). Si k = 0, la soluin es real, es el logaritmo neperianoreal.

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  • 18 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS

    Figura 1.25: Logaritmo de z: innitos valores

    Ejeriio 1.5 Cunto vale ln z si z R?

    Sea z = x

    ln(x+0i) = ln |x|+i(arg z+2kpi) =

    Si x > 0 arg z = 0 ln z = lnx+ i(2kpi)Si k = 0 neperiano real usual

    Si x < 0 arg z = pi ln z = ln(x) + i(pi + 2kpi)nuna real

    Ejeriio 1.6 Para qu valores de z C, ln z R?

    Exponeniain general: Si a, b R, a > 0, ab = eb ln a.Del mismo modo, en C:

    zz21 = ez2 ln z1

    Ejeriio 1.7 Para z1 = , z2 =

    , obtener las partes real e imaginaria de zz21 .

    Cundo es real?

    Ejemplo: i2i = e2i ln i = e2i(ln 1+i(pi

    2+2kpi)) = e2(

    pi

    2+2kpi) R k Z

    Funiones trigonomtrias omplejas:

    Sea la funin h(z) =eiz eiz

    2iqu ourre si z R, es deir, si z = x+ 0i?:

    h(x+ 0i) =eix eix

    2i=

    cos x+ i sen x cos x+ i senx2i

    = senx

    Por eso deniremos:

    sen z =eiz eiz

    2iz C

    Departamento de Matemtia Apliada E.U.P. San Sebastin

  • 1.3. FORMA EXPONENCIAL DE Z C 19

    Ejemplo: sen(pi2 + i) =ei(

    pi

    2+i) ei(pi2 +i)

    2i=

    eipi

    2 e1 eipi2 e2i

    =ie1 + ie

    2i=

    e + e1

    2

    cos z =

    1 sen2 z =

    1 +e2iz 2 + e2iz

    4=

    e2iz + e2iz + 2

    2=

    (eiz + eiz)2

    2=

    eiz + eiz

    2

    y por tanto:

    cos z =eiz + eiz

    2z C

    Ejeriio 1.8 Demostrar que z C,z2 = z

    z = z2 =

    22 = 2 + 2kpi

    2

    =

    {(k = 0) = z

    (k = 1) +pi = z

    Ejeriio 1.9 Averiguar ules de las siguientes propiedades de senx, cos x x R,se umplen tambin para z C:1. sen(x) = senx2. cos(x) = cosx3. sen(a+ b) = sen a cos b+ cos a sen b

    4. cos(a+ b) = cos a cos b sen a sen b5. sen 2x = 2 senx cos x

    6. cos 2x = cos2 x sen2 x7. sen2 x =

    1 cos 2x2

    8. cos2 x =1 + cos 2x

    29. | sen x| 1

    10. | cos x| 111. sen(x+ 2pi) = senx

    12. cos(x+ 2pi) = cosx

    13. sen(x+ pi2 ) = cos x

    14. cos(x+ pi2 ) = senx

    Funiones hiperblias omplejas:

    senh z =ez ez

    2, cosh z =

    ez + ez

    2

    Ejeriio 1.10 Calular: senh(z), cosh(z), cosh2(z) senh2(z)

    E.U.P. San Sebastin Departamento de Matemtia Apliada