Captulo 1
Nmeros omplejos
1
2 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS
Departamento de Matemtia Apliada E.U.P. San Sebastin
1.1. CONCEPTO DE NMEROS COMPLEJOS 3
1.1. Conepto de nmeros omplejos
Veamos unos ejemplos que nos ayudarn a intuir la neesidad de los nmeros omplejos.
Ejemplo 1.1 Queremos obtener la interse
in de la urva y1 = x2
on la reta y2 = 3x2
(ver la gura 1.1) Resolviendo el sistema
Figura 1.1: Ejemplo 1.1
{y = x2
y = 3x 2 x2 = 3x 2
{x1 = 1
x2 = 2
Obtenemos una respuesta on signiado fsio y on soluin en N R
Ejemplo 1.2 Dada la gra Espaio/tiempo denida por E =
{0 si t < 0
t2 si t 0 (ver lagura 1.2), en qu instante t1 hemos reorrido 2 metros? Tambin la pregunta y la respuesta
Figura 1.2: Ejemplo 1.2
tienen signiado fsio, estando la soluin en R:
t21 = 2 t1 =2 R
y si E = 0. 25 metros?
t22 = 0. 25 t2 = 0. 5 Q R
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4 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS
Ejemplo 1.3 Lanzamos una pelota haia arriba, on veloidad iniial v0. Si h(t) es la alturaalanzada en el instante t, podremos esribir (segn la gura 1.3)
h = g t2
2+ v0t = t
(v0 g
2t)
Podemos plantear algunos problemas on signiado fsio:
Figura 1.3: Ejemplo 1.3
En qu instante se alanza la mxima altura H?
En t1 =v0g, H = h(t1)
En qu instantes alanza ierta altura h1 (0 h1 H)?.
t =v0
v20 2gh1g
=
{t2
t3
Adems:
t2 = t3 H = v20
2g
Por ejemplo: Si h1 = 0. 2m, v0 = 3m/s
t2 = 0. 072 , t3 = 0. 53
t1 =v0g
= 0. 31 , H =v202g
= 0. 46
Somos apaes de representar en R las soluiones de este problema (ver la gura 1.4):
Veamos ahora estas otras situaiones, similares a las anteriores:{y = x2
y = x 1 x2 = x 1 x = 1
32
(ver la gura 1.5):
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1.1. CONCEPTO DE NMEROS COMPLEJOS 5
Figura 1.4: Hay soluin
Figura 1.5: No hay orte
Figura 1.6: Cul es el orte?
Figura 1.7: Si h2 es mayor que H
3? Qu es?. Donde est en la reta real? (ver la gura 1.6):
z =3 z2 = 3 z / R
En el aso de la pelota:
En qu instante alanza h2? (ver la gura 1.7):
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6 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS
t =v0
v20 2ghg
, H =v202g
Si h2 > H h2 > v20
2g 2gh2 > v0
Es deir v20 2gh2 < 0 otra vez raz de un nmero negativo !!
dnde est
v20 2gh2?
Por ejemplo: h2 = 5 v0 = 3 ,v20 2gh2 =
84
Cmo puedo representar ese nmero?.Para qu me sirve?
En el ejemplo de la interse
in:
x =13
2=
1(1)(3)2
=113
2=
1
23
2 1
Donde vemos que slo da problemas
1 ya que los dems nmeros son reales.
Si denotamos
1 = i (i2 = 1):Cmo represento, por ejemplo,
1
2+
3
2 1 ? (ver la gura 1.8)
Figura 1.8: Representain vetorial de un omplejo
z = a+ b i donde
{a = Re(z) = parte real de z
b = Im(z) = parte imaginaria de z
Deniin 1.1 Deniremos el onjunto C de nmeros omplejos de la forma:
C = {z = a+ b i | a, b R}siendo
R = {z = a+ b i | a R , b = 0}As pues, los nmeros reales son los omplejos on la omponente imaginaria nula.
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1.2. FORMA POLAR DE Z C 7
1.2. Forma polar de z CSi z es un nmero omplejo, lo podemos expresar, ya que es un vetor, de la forma (ver
la gura 1.9):
Figura 1.9: Forma binomial
Si a = 0 y b > 0 = pi2
Por ejemplo :
Figura 1.10: Ejemplo
z = 0 + i = 1pi2
z = 1 i =2 pi
2=2 7pi
2
En general:
= +2kpi k Z
Figura 1.11: Expresin polar multiforme
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8 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS
Figura 1.12: Efeto fsio
Representan el mismo punto sobre el plano. Sin embargo, el efeto fsio de apliar
+ 2kpi puede ser muy diferente. Ver la gura 1.12.
Deniin 1.2 Si 0 < 2pi, llamaremos a argumento prinipal.
Por ejemplo,
z = 2 315pi = 2 65+1
5pi = 26pi+pi5 = 2
pi
5 pi
5= argumento prinipal de z
1.3. Forma exponenial de z C
Sea z = a+b i = siendo
{a = cos b = sen z = cos + isen = ( cos + i sen )
Ahora vamos a emplear un resultado que veremos en detalle en los temas 3 y 4:
cos x = 1 x2
2!+x4
4! x
6
6!+x8
8! x
10
10!+ x R
senx = x x3
3!+x5
5! x
7
7!+x9
9! x
11
11!+ x R
ex = 1 +x
1!+x2
2!+x3
3!+x4
4!+x5
5!+ x R
La igualdad se da on la suma de innitos trminos, pero podemos onseguir aproximaiones
ada vez mejores tomando ms y ms sumandos.
Por ejemplo: ex 1, ex 1 + x, ex 1 + x+ x2
2, ettera (ver la gura 1.13)
Por otra parte, i =1, i2 = 1, i3 = i, i4 = 1, i5 = i y se repiten
Vamos a emplear estos resultados:
z = (cos + i sen ) =
((1
2
2!+4
4!
6
6!+
)+ i
(
3
3!+5
5!
7
7!+
))=
=
(1 +
( i)2
2!+
( i)4
4!+
( i)6
6!+ + i + ( i)
3
3!+
( i)5
5!+
( i)7
7!+
)ordenamos
=
=
(1 + i +
( i)2
2!+
( i)3
3!+
( i)4
4!+
( i)5
5!+
)= e i Forma exponenial de z
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1.3. FORMA EXPONENCIAL DE Z C 9
Figura 1.13: Aproximain mediante series
Por ejemplo:
z = 0 + i = 1pi2= e i
pi
2
eipi = 1 (cospi + i senpi) = 1 < 0Esto no ourre jams en R, ex > 0 x R. Pero s es posible ez = 1 si z C.
En partiular, si = 1, e i = cos + i sen que es la llamada Frmula de Euler
Veremos enseguida las operaiones aritmtias entre omplejos, pero podemos adelantar
que el produto se alula muy filmente empleando la forma exponenial de los omplejos:
e i e i = ei+i = ei(+)
por tanto = +
Y en uanto al oiente:
= e i
e i=
eii
=
ei(
) =
(
)
Como aso partiular
1 = +
El produto por 1 representa un giro de ngulo y entro el origen de oordenadas. (ver
la gura 1.14)
Veamos un ejemplo. Apliar a la gura un giro =pi
3y un esalado = 0.5 (ver las
guras 1.15 y 1.16):
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10 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS
Figura 1.14: Giro de ngulo
Figura 1.15: Giro + ambio de esala
Figura 1.16: Ejemplo
z1 = 1+i =2pi
4; z2 = 3+i =
10arc tg 1
3 3. 160.32; z3 = 2+6 i =
40arc tg 6
2 6. 321.25
z1 = z10. 5pi3 1. 410.780. 51.05 = 0. 71.83 0. 7(cos 1. 83+i sen 1. 83) 0. 7(0. 26+0. 97 i) = 0. 18+0. 68 iz2 = z20. 5pi3 3. 160.320. 51.05 = 1. 581.37 1. 58(cos 1. 37+i sen 1. 37) 1. 58(0. 2+0. 98 i) = 0. 31+1. 55 iz3 = z30. 5pi3 6. 321.250. 51.05 = 3. 172.3 3. 17(cos 2. 3+i sen 2. 3) 3. 17(0. 67+0. 74 i) = 2. 12+2. 35 i(ver la gura 1.17)
Veamos otro ejemplo: Apliar un giro y esalado = 2pi2, a la gura: (ver la gura 1.18)
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1.3. FORMA EXPONENCIAL DE Z C 11
Figura 1.17: Resultado del ejemplo
Figura 1.18: Otro ejemplo
z1 = 1 + i =2pi
4, z2 = 2 + i =
5arc tg 1
2
z1 = z1 2pi2 = 22pi
4+pi
2= 2
2 5pi
4 2,83 5pi
4
z2 = z2 2pi2 =5arc tg 1
2 2pi
2= 2
5arc tg 1
2+pi
2 4. 482.03
Deniin 1.3 Siendo el omplejo z = , llamaremos onjugado de z = z al omplejo:z =
(ver la gura 1.19)
Propiedad: z z = 20 = 2 R
Ejeriio 1.1 Expresar las ondiiones que se deben umplir para que dos nmeros om-
plejos sean iguales.
1.3.1. Operaiones en C
Suma: (a+ bi) + (a + bi) = (a+ a) + (b+ b)i
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12 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS
Figura 1.19: Conjugado de z
Produto: = ei ei
= ei(+) = +
Si los nmeros omplejos estn expresados en forma binmia:
z1 = = a+ bi, z2 =
= a + bi
z1 z2 = A+Bi Cunto valen A y B para que sea ompatible on la deniin?
z1 z2 =+ (cos( + ) + i sen( + )
)=
=(cos cos sen sen + i(sen cos + cos sen )) =
= cos cos sen sen + i( sen cos + cos sen ) ==aa bb + i(ab + ba)
Por tanto (a+ bi) (a + bi) = (aa bb) + i(ab + ba)Se multiplian igual que los binomios reales, teniendo en uenta que i2 = 1
Divisin:
= r Busamos r que sea ompatible on la deniin.
=
r def.= r+ = r r =
+ 2kpi = + = + 2kpi
de otro modo, empleando la forma exponenial:
ei
ei= r ei ei = r ei(+)
= r r =
= + + 2kpi =
Ejeriio 1.2 Dividir dos omplejos expresados en forma binomial.
a+ bi
a + bi=
(a+ bi)(a bi)(a + bi)(a bi) =
aa + bb + i(ab + ab)a2 + b2
Ejeriio 1.3 Calular in n = 1, 2, 3,
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1.3. FORMA EXPONENCIAL DE Z C 13
Una primera forma de haerlo:
n = 1 i1 = in = 2 i2 = 1n = 3 i3 = in = 4 i4 = 1.
.
.
n > 4 n = 4k + r k N, r = 0, 1, 2, 3
in = i4k+r =(i4)k ir = ir (onoido)
Veamos una segunda forma:
in =(1pi
2
)n= 1npi
2 cosnpi2 + i sennpi2 =
=
{Si n es par: n = 2k cos kpi = (1)k, k = 0, 1, 2, 3, Si n es impar: n = 2k + 1 i sen(2k + 1)pi2 = (1)k i, k = 0, 1, 2, 3,
Potenias enteras de z:
()n = nn ( cos + i sen )n = n(cos n + i senn)
igualdad onoida omo Frmula de Moivre
Raes:
n =
= nn { = n
= n + 2kpi{ = n
= +2kpin
k Z innitas raes?
Por ejemplo:
i =
1pi
2
n=2
= 1 pi2 +2kpi
2
= 1pi4+kpi
k = 0 z0 = 1pi4
k = 1 z1 = 1pi4+pi = 1 5pi
4
k = 2 z2 = 1pi4+2pi = 1pi
4= z0 Se repite
k = 3 z3 = 1pi4+3pi = 1pi
4+pi = z1 Se repite
k = 4 z4 = 1pi4+4pi = 1pi
4+4pi = z0 Se repite
Es deir, para k 2, apareen los mismos valores z0, z1.y para k negativos:
k = 1 z1 = 1pi4pi = 1pi
4+pi = z1
k = 2 z2 = 1pi42pi = 1pi
4= z0
k = 3 z3 = 1pi43pi = 1 3pi
4= z1
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14 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS
k = 4 z4 = 1pi44pi = 1pi
4= z0
Es deir, de nuevo apareen las mismas raes z0, z1
As pues slo hay dos raes diferentes.
En general:
n +2kpi
n
=
k = 0 n n
= z0
k = 1 n +2pin
= z1.
.
.
k = n 1 n +2(n1)pin
= zn1
pero si k = n n +2npin
= n+2pi
= z0
Luego:
n = n
+2kpi
n
k = 0, 1, 2, , n 1Slo hay n raes distintas. (Ver la gura 1.20)
Figura 1.20: Raes n-simas de z
Podemos, adems, interpretar gramente estas n raes del nmero omplejo z: Lasn raes dividen a la irunferenia de radio n
en n partes iguales.
La diferenia de argumentos entre dos raes onseutivas es onstante:
+ 2kpi
n + 2(k 1)pi
n=
2kpi 2kpi + 2pin
=2pi
n
Como ejeriio, vamos a onstruir un pentgono regular arbitrario (ver la gura 1.21):
Empezamos por alular un pentgono (ver la gura 1.22) alulando las raes quintas
del omplejo z = 1 (nmero real positivo)
51 = 5
10 = 1 0+2kpi
5k = 0, 1, 2, 3, 4
z0 = 10, z1 = 1 2pi5, z2 = 1 4pi
5, z3 = 1 6pi
5, z4 = 1 8pi
5
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1.3. FORMA EXPONENCIAL DE Z C 15
Figura 1.21: Pentgono
Figura 1.22: Pentgono entrado en el origen
Ahora podemos onseguir ualquier pentgono regular mediante las transformaiones:
giro, esala y traslain:
Si el entro no es el origen, haremos una traslain:
zk = zk + ( a+ b i)
Cunto mide ada lado?
|z0z1| = |101 2pi5| = |1cos 2pi
5i sen 2pi
5| =
(1 cos 2pi
5
)2+ sen2
2pi
5=
2 2 cos 2pi
5 1,17
Para variar el lado, haremos un ambio de esala. Cunto vale el lado si |z| = r5?.En general
zk = zk + a+ b i
Ahora vamos a generalizar esta soluin. Calulemos el lado de un polgono de n ladosinsrito en una irunferenia de radio R
|z0z1| = |R0R 2pin
| =RR cos 2pin R sen 2pin
= R(
1 cos 2pin
)2+ sen2
2pi
n= R
2 2 cos 2pi
n
Qu rees qu ourre si n aumenta?. Haia qu valor se aera?. Se esperaba esteresultado?.
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16 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS
Calulemos el permetro:
L = Rn
2 2 cos 2pi
n= Rn
2
(1 cos 2pi
n
)= Rn
2 2 sen2 pi
n= Rn 2 sen pi
n
Haia donde tender esa suesin?
Si tomamos n omo variable real, n y apliamos la regla de L'Hpital:
lmn
2Rn senpi
n= lm
n2R
sen pin
1n
L'Hpital
= lmn
2Rcos pi
n pin2
1n2
= lmn
2piR cospi
n= 2piR
Esperbamos ste resultado?
Calulemos el apotema a:
Figura 1.23: Apotema
z0 z12 = . . . = R2
2 + 2 cos
2pi
n=
R
2
2
(1 + cos
2pi
n
)=
R
2
2 2 cos2 pi
n= R cos
pi
n
Si n, a R Esperbamos ste resultado?.Calular el rea:
A =Permetro x Apotema
2=
1
2Rn2 sen pi
nR cos pi
n 1
22piR R = piR2 Esperbamos ste resultado?
Exponeniain de z C
z C, ez = ex+iy = ex eiy = ex(cos y+i sen y) = exy (mdulo ex, argumento y)
Ejemplo: e2+ipi
2 = e2pi2= ie2 = e2
(cos pi2 + i sen
pi2
)Departamento de Matemtia Apliada E.U.P. San Sebastin
1.3. FORMA EXPONENCIAL DE Z C 17
Ejeriio 1.4 Obtener los omplejos z tales que: Im(ez) = 0 Re(ez) = 0
ex+iy R sen y = 0 y = kpi, k ZRe(ez) = 0 cos y = 0 y = (2k + 1)pi
2, k Z
Figura 1.24: Ejeriio 1.4
Logaritmo neperiano de z:
Dado z C, se trata de despejar z de la expresin ez = z, ompatible on la expo-nenial:
Dados:
{z = (onoido)
z = x+ iy (desonoido)
ez
= z exeiy = {ex = x = ln y = + 2kpi
por lo tanto
ln () = ln + i( + 2kpi) k Z
Existen innitos valores. Al nmero omplejo que se obtiene tomando k = 0, se lellama valor prinipal.
Ejemplo: ln(3) = ln (3pi) = ln 3 + i(pi + 2kpi)(En R no existe ln(3) por eso ningn valor de estos es real).ln(3) = ln (30) = ln 3 + i(2kpi). Si k = 0, la soluin es real, es el logaritmo neperianoreal.
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18 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS
Figura 1.25: Logaritmo de z: innitos valores
Ejeriio 1.5 Cunto vale ln z si z R?
Sea z = x
ln(x+0i) = ln |x|+i(arg z+2kpi) =
Si x > 0 arg z = 0 ln z = lnx+ i(2kpi)Si k = 0 neperiano real usual
Si x < 0 arg z = pi ln z = ln(x) + i(pi + 2kpi)nuna real
Ejeriio 1.6 Para qu valores de z C, ln z R?
Exponeniain general: Si a, b R, a > 0, ab = eb ln a.Del mismo modo, en C:
zz21 = ez2 ln z1
Ejeriio 1.7 Para z1 = , z2 =
, obtener las partes real e imaginaria de zz21 .
Cundo es real?
Ejemplo: i2i = e2i ln i = e2i(ln 1+i(pi
2+2kpi)) = e2(
pi
2+2kpi) R k Z
Funiones trigonomtrias omplejas:
Sea la funin h(z) =eiz eiz
2iqu ourre si z R, es deir, si z = x+ 0i?:
h(x+ 0i) =eix eix
2i=
cos x+ i sen x cos x+ i senx2i
= senx
Por eso deniremos:
sen z =eiz eiz
2iz C
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1.3. FORMA EXPONENCIAL DE Z C 19
Ejemplo: sen(pi2 + i) =ei(
pi
2+i) ei(pi2 +i)
2i=
eipi
2 e1 eipi2 e2i
=ie1 + ie
2i=
e + e1
2
cos z =
1 sen2 z =
1 +e2iz 2 + e2iz
4=
e2iz + e2iz + 2
2=
(eiz + eiz)2
2=
eiz + eiz
2
y por tanto:
cos z =eiz + eiz
2z C
Ejeriio 1.8 Demostrar que z C,z2 = z
z = z2 =
22 = 2 + 2kpi
2
=
{(k = 0) = z
(k = 1) +pi = z
Ejeriio 1.9 Averiguar ules de las siguientes propiedades de senx, cos x x R,se umplen tambin para z C:1. sen(x) = senx2. cos(x) = cosx3. sen(a+ b) = sen a cos b+ cos a sen b
4. cos(a+ b) = cos a cos b sen a sen b5. sen 2x = 2 senx cos x
6. cos 2x = cos2 x sen2 x7. sen2 x =
1 cos 2x2
8. cos2 x =1 + cos 2x
29. | sen x| 1
10. | cos x| 111. sen(x+ 2pi) = senx
12. cos(x+ 2pi) = cosx
13. sen(x+ pi2 ) = cos x
14. cos(x+ pi2 ) = senx
Funiones hiperblias omplejas:
senh z =ez ez
2, cosh z =
ez + ez
2
Ejeriio 1.10 Calular: senh(z), cosh(z), cosh2(z) senh2(z)
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