1
T E O R I A D A S E S T R U T U R A S 2
C E N T R O U N I V E R S I T R I O E S T C I O R A D I A L D E S O P A U L O
C U R S O D E G R A D U A O E M E N G E N H A R I A C I V I L
P R O F . A L E X A N D R E A U G U S T O M A R T I N S
6 P E R O D O
2 0 1 3 / 2 S
AU
LA 6
0
4.0
9.20
13
2
M T O D O D A S F O R A S
3
SISTEMTICA DO MTODO DAS FORAS:
DETERMINAO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO SISTEMA ESTRUTURAL;
ESCOLHA DE UM SISTEMA BSICO DE CLCULO;
TRAADO DOS DIAGRAMAS, NO SISTEMA BSICO, SEPARADAMENTE PARA O
CARREGAMENTO EXTERNO E PARA OS VALORES UNITRIOS DAS INCGNITAS;
OBTENO DE TODOS OS COEFICIENTES i,j (DESLOCAMENTOS);
RESOLUO DAS EQUAES CANNICAS COM A DETERMINAO DAS
VARIVEIS HIPERESTTICAS;
CLCULO DOS ESFOROS FINAIS E TRAADO DOS DIAGRAMAS FINAIS.
4
G R A U D E H I P E R E S T A T I C I D A D E CASO 1: PRTICOS PLANOS
5
CONSIDERAES GERAIS
DIZ-SE QUE OS ESFOROS EM EXCESSO, NO EQUILBRIO DE UMA ESTRUTURA EM
BARRAS, SO HIPERESTTICOS OU REDUNDANTES ESTTICOS E QUE O NMERO
DESSAS REDUNDNCIAS FORMA O GRAU DE INDETERMINAO ESTTICA OU GRAU
DE HIPERESTATICIDADE
O GRAU DE HIPERESTATICIDADE PODE SER DETERMINADO PELA FRMULA:
g = [NMERO DE INCGNITAS DO PROBLEMA ESTTICO]
[NMERO DE EQUAES DE EQUILBRIO]
6
CONSIDERAES GERAIS
AS INCGNITAS DO PROBLEMA DO EQUILBRIO ESTTICO DEPENDEM DOS VNCULOS
DE APOIO DA ESTRUTURA E DA EXISTNCIA DE CICLOS FECHADOS DE BARRAS (OU
ANIS);
CADA COMPONENTE DE REAO DE APOIO UMA INCGNITA, ISTO , AUMENTA EM
UMA UNIDADE O GRAU DE HIPERESTATICIDADE.
C L A S S I F I C A O D O S M O D E L O S E S T R U T U R A I S
GRAU DE HIPERESTATICIDADE CONSEQUNCIA
g < 0 CONDIO SUFICIENTE PARA O MODELO SER HIPOSTTICO E INSTVEL
g = 0 CONDIO NECESSRIA PARA O MODELO SER ISOSTTICO E ESTVEL
g > 0 CONDIO NECESSRIA PARA O MODELO SER HIPERESTTICO E ESTVEL
7
ATENO:
O GRAU DE HIPERESTATICIDADE DE MODELOS ISOSTTICOS E HIPERESTTICOS NO
SUFICIENTE PARA CARACTERIZAR A ESTABILIDADE DA ESTRUTURA, POIS APENAS
CONTABILIZA O NMERO DE INCGNITAS DO PROBLEMA DO EQUILBRIO ESTTICO E
O NMERO DE EQUAES DE EQUILBRIO;
NEM TODO PRTICO COM REAES EM NMERO IGUAL AO DO DE EQUAES DE
EQUILBRIO DA ESTTICA ISOSTTICO;
NEM TODO PRTICO COM REAES EM NMERO SUPERIOR A ESSAS EQUAES,
HIPERESTTICA.
8
EXEMPLO:
ESTE PRTICO TRAZ TRS COMPONENTES DE REAO DE APOIO QUE SO VERTICAIS,
NO EXISTINDO, PORM, NENHUM VNCULO QUE IMPEA O MOVIMENTO
HORIZONTAL. SE UMA FORA NESSE SENTIDO FOR APLICADA, A EQUAO GLOBAL DE
EQUILBRIO NA DIREO HORIZONTAL NO FICA SATISFEITA.
PRTICO HIPOSTTICO!
D
B A
E F
C
l1 l2
VA
D
B A
E F
C
VB VC
9
GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM PRTICOS PLANOS:
DEVE-SE VISUALIZAR O PRTICO DE FORMA GLOBAL, NO SEPARANDO-O PELAS
RTULAS (QUANDO PRESENTES);
O NMERO DE INCGNITAS CALCULADO PELA SEGUINTE FRMULA:
NMERO DE INCGNITAS DO PROBLEMA ESTTICO =
[(NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO) + (NMERO DE ANIS) . 3]
UM ANEL INTRODUZ TRS VARIVEIS (OU INCGNITAS) PARA O PROBLEMA DO
EQUILBRIO ESTTICO;
OU SEJA, CADA ANEL DE UM PRTICO PLANO AUMENTA EM TRS UNIDADES O GRAU
DE HIPERESTATICIDADE.
10
GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM PRTICOS PLANOS:
PARA AS EQUAES DE EQUILBRIO ESTTICO, DEVE-SE CONSIDERAR AS TRS
EQUAES TRADICIONAIS QUE GARANTEM O EQUILBRIO GLOBAL DA ESTRUTURA
(FX = 0; FY = 0; E M = 0), ALM DAS EQUAES PROVENIENTES DE LIBERAES DE
CONTINUIDADE INTERNA DA ESTRUTURA;
TEM-SE ENTO:
NMERO DE EQUAES DE EQUILBRIO =
(3 EQUAES DO EQUILBRIO GLOBAL) + (NMERO DE EQUAES GERADAS PELAS
ARTICULAES INTERNAS)
11
RESUMINDO:
GRAU DE HIPERESTATICIADE =
[(NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO) + (NMERO DE ANIS . 3]
[3 + (NMERO DE EQUAES VINDAS DE ARTICULAES INTERNAS)]
12
EXEMPLO 1:
CLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PRTICO
PLANO E DEFINIO DA SUA SITUAO DE EQUILBRIO:
g =
[(NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO)+
(NMERO DE ANIS . 3]
[3 + (NMERO DE EQUAES VINDAS DE ARTICULAES
INTERNAS)]
g = [(2 + 2 + (0 . 3] [3 + (1)]
g = 4 4
g = 0
PORTANTO, ESTE PRTICO ISOSTTICO
C
A
D E
B
l1 l2
HA
VA
HB
VB
13
EXEMPLO 2:
CLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PRTICO
PLANO E DEFINIO DA SUA SITUAO DE EQUILBRIO:
g =
[(NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO)+
(NMERO DE ANIS . 3]
[3 + (NMERO DE EQUAES VINDAS DE ARTICULAES
INTERNAS)]
g = [(2 + 1 + (1 . 3] [3 + (1)]
g = 6 4
g = 2
PORTANTO, ESTE PRTICO HIPERESTTICO
C
A
D
B
l1
HA
VA
VB
14
EXEMPLO 3:
CLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PRTICO
PLANO E DEFINIO DA SUA SITUAO DE EQUILBRIO:
g =
[(NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO)+
(NMERO DE ANIS . 3]
[3 + (NMERO DE EQUAES VINDAS DE ARTICULAES
INTERNAS)]
g = [(2 + 2 + (1 . 3] [3 + (1)]
g = 7 4
g = 3
PORTANTO, ESTE PRTICO HIPERESTTICO
C A
D E
B
l1 l2
F
HA
VA
HB
VB
15
EXEMPLO 4:
CLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PRTICO
PLANO E DEFINIO DA SUA SITUAO DE EQUILBRIO:
g =
[(NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO)+
(NMERO DE ANIS . 3]
[3 + (NMERO DE EQUAES VINDAS DE ARTICULAES
INTERNAS)]
g = [(2 + 2 + (2 . 3] [3 + (2)]
g = 10 5
g = 5
PORTANTO, ESTE PRTICO HIPERESTTICO
C
A
D E
B
l1 l2
F
HA
VA
HB
VB
16
EXEMPLO 5:
CLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PRTICO
PLANO E DEFINIO DA SUA SITUAO DE EQUILBRIO:
g =
[(NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO)+
(NMERO DE ANIS . 3]
[3 + (NMERO DE EQUAES VINDAS DE ARTICULAES
INTERNAS)]
g = [(2 + 1 + (1 . 3] [3 + (3)]
g = 6 6
g = 0
PORTANTO, ESTE PRTICO ISOSTTICO
C
A
D
B
l1 l2
HA
VA VB
17
EXEMPLO 6:
CLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PRTICO
PLANO E DEFINIO DA SUA SITUAO DE EQUILBRIO:
g =
[(NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO)+
(NMERO DE ANIS . 3]
[3 + (NMERO DE EQUAES VINDAS DE ARTICULAES
INTERNAS)]
g = [(2 + 2 + 2 + (0 . 3] [3 + (1)]
g = 6 4
g = 2
PORTANTO, ESTE PRTICO HIPERESTTICO
D
B A
E
F
C
l1 l2
G
HA
VA
HB
VB
HC
VC
18
1 . G R A U D E H I P E R E S T A T I C I D A D E CASO 2: SISTEMAS ABERTOS
19
ATENO:
O GRAU DE HIPERESTATICIDADE DE MODELOS ISOSTTICOS E HIPERESTTICOS NO
SUFICIENTE PARA CARACTERIZAR A ESTABILIDADE DA ESTRUTURA, POIS APENAS
CONTABILIZA O NMERO DE INCGNITAS DO PROBLEMA DO EQUILBRIO ESTTICO E
O NMERO DE EQUAES DE EQUILBRIO;
NEM TODA VIGA COM REAES EM NMERO IGUAL AO DO DE EQUAES DE
EQUILBRIO DA ESTTICA ISOSTTICA;
NEM TODA VIGA COM REAES EM NMERO SUPERIOR A ESSAS EQUAES,
HIPERESTTICA.
20
EXEMPLO 1:
VIGA HIPOSTTICA!
ISSO ACONTECE PORQUE H TRS REAES DE APOIO E QUATRO REAES DE
EQUILBRIO LINEARMENTE INDEPENDENTES ENTRE SI: TRS EQUAES DE EQUILBRIO
DA VIGA COMO UM TODO E UMA EQUAO DE MOMENTO NULO, DEVIDO RTULA
INTERNA, NO CENTRO DA BARRA.
P
A B
l1 l2
P
HA
VA VB
A B
21
EXEMPLO 2:
NESTE CASO, AINDA QUE EXISTAM TRS REAES DE APOIO E TRS DE EQUILBRIO, AS
REAES HA E HB INDICADAS SO COLINEARES, NO RESTRINGINDO, PORTANTO,
ROTAES INFINITESIMAIS DE CORPO RGIDO EM TORNO DA EXTREMIDADE ESQUERDA,
NA QUAL SE LOCALIZA O APOIO FIXO.
VIGA HIPOSTTICA!
P
A B
l1 l2
P
HA
VA
HB
A B
22
EXEMPLO 3:
ESTA SITUAO MOSTRA, EM UM PRIMEIRO MOMENTO, UMA SITUAO DE
HIPERASTICIDADE. CONTUDO, MESMO HAVENDO QUATRO REAES DE APOIO
VERTICAIS E TRS EQUAES DE EQUILBRIO ESTTICO, NO EXISTEM RESTRIES
QUANTO AOS DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS, O QUE TORNA A ESTRUTURA INSTVEL.
VIGA HIPOSTTICA!
A
l1 l2 l3 l5 l6
B C D
P
l4
A B C D
P
VA VB VC VD
23
PARA SISTEMAS ABERTOS, A DETERMINAO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE, E
CONSEQUENTE OBTENO DE SISTEMAS BSICOS, RELATIVAMENTE SIMPLES, OU
SEJA:
O GRAU DE HIPERESTATICIDADE PODE SER DETERMINADO PELA FRMULA:
g = [NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO]
[NMERO DE EQUAES DE EQUILBRIO]
24
EXEMPLO 4:
CLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PRTICO
PLANO E DEFINIO DA SUA SITUAO DE EQUILBRIO:
g =
[(NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO)
(NMERO DE EQUAES DE EQUILBRIO)]
g = [(2 + 2) 3]
g = 4 3
g = 1
PORTANTO, ESTE ESTRUTURA HIPERESTTICA
P
A
B
l1
l2
VB
VA
HA
HB
25
EXEMPLO 5:
CLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PRTICO PLANO E DEFINIO DA SUA SITUAO DE EQUILBRIO:
g = [(2 + 3) 3]
g = 5 3
g = 2
PORTANTO, ESTE ESTRUTURA HIPERESTTICA
P l1
l4
l2
l5 l6 l3
A
C
D
E
B
VA
HA
VB
HB
MB
g =
[(NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO)
(NMERO DE EQUAES DE EQUILBRIO)]
26
EM HAVENDO ARTICULAES (RTULAS) INTERNAS AO SISTEMA ABERTO, TEM-SE
QUE, EM UM N ONDE CONCORREM b BARRAS, O GRAU DE INDETERMINAO
REDUZIDO (b 1) VEZES, EM FUNO DA INTRODUO DE UMA ARTICULAO.
PORTANTO, O GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM SISTEMAS ABERTOS
DETERMINADO POR MEIO DA FRMULA:
g = [NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO] [NMERO DE EQUAES DE
EQUILBRIO] [GRAU DE INDETERMINAO J REDUZIDO]
27
EXEMPLO 6:
A B
C
CLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PRTICO
PLANO E DEFINIO DA SUA SITUAO DE EQUILBRIO:
g =
[NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO]
[NMERO DE EQUAES DE EQUILBRIO]
[GRAU DE INDETERMINAO J REDUZIDO]
g = [(3 + 2 + 2) 3 (3 1)]
g = 7 3 2
g = 2
PORTANTO, ESTE ESTRUTURA HIPERESTTICA
MA
VA
HA
VC
HC
VB
HB
28
P l1
l4
l2
l5 l6 l3
A
C
D
E
B
VA
HA
VB
HB
MB
EXEMPLO 5:
CLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PRTICO PLANO E DEFINIO DA SUA SITUAO DE EQUILBRIO:
g = [(2 + 3) 3 (2 1)]
g = 5 3 1
g = 1
PORTANTO, ESTE ESTRUTURA HIPERESTTICA
g =
[NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO]
[NMERO DE EQUAES DE EQUILBRIO]
[GRAU DE INDETERMINAO J REDUZIDO]
29
S I S T E M A B S I C O
30
NESTE MTODO, OS CLCULOS SO EFETUADOS A PARTIR DE UM SISTEMA BSICO
(OU PRINCIPAL), DERIVADO DO SISTEMA EM ESTUDO;
O SISTEMA BSICO UMA SITUAO ESTATICAMENTE DETERMINADA, ISTO ,
ISOSTTICA, OBTIDA POR MEIO DA SUPRESSO DE VNCULOS INTERNOS OU
EXTERNOS, SEMPRE SUPERABUNDANTES, DE FORMA A QUE NO HAJA PREJUZO DA
ESTABILIDADE GEOMTRICA DA ESTRUTURA;
POSSVEL TER DIVERSOS SISTEMAS BSICOS PARA UM MESMO SISTEMA REAL, O
QUE NO DEIXA DE SER UM INCONVENIENTE!;
DEVE-SE ESCOLHER, PORTANTO, O SISTEMA BSICO QUE CONDUZA A CLCULOS OS
MAIS SIMPLES POSSVEL. ISTO FEITO ANALISANDO-SE OS SISTEMAS BSICOS,
ESPECIALMENTE APS A OBTENO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE.
31
A B
L
SISTEMA HIPERESTTICO
EXEMPLO 1:
32
SISTEMA ISOSTTICO (BSICO)
X1 = ?
A B
L
33
X2 = ?
SISTEMA ISOSTTICO (BSICO)
A B
L
34
EXEMPLO 2:
A B
L / 2
C
L / 2
SISTEMA HIPERESTTICO
35
EXEMPLO 2:
X1 = ?
A B
L / 2
C
L / 2
SISTEMA ISOSTTICO (BSICO)
36
EXEMPLO 2:
X2 = ?
A B
L / 2
C
L / 2
SISTEMA ISOSTTICO (BSICO)
37
EXEMPLO 3:
L1 L2
C
A
E
B
F G
D
SISTEMA HIPERESTTICO
38
EXEMPLO 3:
L1 L2
C
A
E
B
F G
D
SISTEMA HIPERESTTICO
X1 = ?
X2 = ?
X4 = ?
X3 = ?
39
EXEMPLO 3:
L1 L2
C
A
E
B
F G
D
SISTEMA HIPERESTTICO
X2 = ?
X4 = ?
X6 = ?
X5 = ?
40
EXEMPLO 4:
CLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PRTICO
PLANO E DEFINIO DA SUA SITUAO DE EQUILBRIO:
g =
[(NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO)+
(NMERO DE ANIS . 3]
[3 + (NMERO DE EQUAES VINDAS DE ARTICULAES
INTERNAS)]
g = [(2 + 3 + 3 + (0 . 3] [3 + (0)]
g = 8 3
g = 5
PORTANTO, ESTE PRTICO HIPERESTTICO
C
A
D E
B
L1 L2
F
HA
VA
HB
VB
HC
VC
MB
MC
41
L1 L2
C
A
D E
B
F
42
L1 L2
C
A
D E
B
F
X8 = ?
X7 = ?
X6 = ?
X4 = ? X3 = ?
43
L1 L2
C
A
D E
B
F
X2 = ?
X1 = ? X5 = ?
X4 = ? X3 = ?
44
P R I N C P I O D A S U P E R P O S I O
45
NO MTODO DAS FORAS UTILIZADO COM MUITA FREQUNCIA O PRINCPIO DA
SUPERPOSIO;
ESSE PRINCPIO PODE SER ADOTADO SEMPRE QUE HAJA RELAES LINEARES ENTRE
AS AES E OS DESLOCAMENTOS. ISSO ACONTECE PARA AS SEGUINTES HIPTESES:
VALIDADE DA LEI DE HOOKE: O MATERIAL DE QUE FEITA A ESTRUTURA
ELSTICO, E EXISTE UMA PROPORO ENTRE O ESFORO E O DESLOCAMENTO;
PEQUENOS DESLOCAMENTOS DA ESTRUTURA, OS CLCULOS PODEM SER
BASEADOS NAS DIMENSES ORIGINAIS DAS PEAS;
NO EXISTE INTERAO ENTRE OS EFEITOS AXIAL E FLETOR NOS MEMBROS, OU
SEJA, O EFEITO DAS FORAS AXIAIS DESPREZVEL NA FLEXO DAS BARRAS;
SATISFEITAS AS HIPTESES ACIMA, ASSUME-SE QUE A ESTRUTURA LINEARMENTE
ELSTICA (E ISSO CONSIDERADO NO MTODO DAS FORAS).
46
A B
L
P
M
f
B
47
COM MUITA FREQUNCIA USADA A CORRESPONDNCIA ENTRE AO E
DESLOCAMENTO;
NO CASO ANTERIOR, TEM-SE:
f CORRESPONDE AO GERADA PELA FORA P; E
REFERE-SE AO EFEITO OCASIONADO PELA PARTICIPAO DO MOMENTO
M.
ATENO:
f E NO FORAM CAUSADOS UNICAMENTE EM FUNO DE P E DE M
(RESPECTIVAMENTE), MAS, SIM, PELA AO CONJUNTA DE AMBOS OS
ESFOROS EXTERNOS!
48
E Q U A E S C A N N I C A S
49
AS EQUAES NOS MTODOS DAS FORAS (OU EQUAES CANNICAS) SO
EQUAES QUE LEVAM EM CONTA A COMPATIBILIDADE GEOMTRICA DA PEA EM
ESTUDO;
ELAS EXPRIMEM RELAES LINEARES ENTRE AO E DESLOCAMENTO;
DE UM MODO GERAL, PODE-SE ESCREVER:
= K . A
ONDE:
= DESLOCAMENTO;
A = AO; E
K = FLEXIBILIDADE, OU SEJA, DESLOCAMENTO PRODUZIDO POR UMA AO
ORDINRIA.
50
C
A
D
B
51
X2
X1
X3
C
A
D
B
52
10
20
30
C
A
D
B
53
21
11
31
X1
B
C
A
D
B
54
22
12
32
X2
C
A
D
B
55
23
13
33
X3
C
A
D
B
56
C O N T I N U A . . .
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