TEOREMA DE ARRASTRE DE REYNOLD 0
La Universidad Católica de Loja
ESCUELA
INGENIERIA CIVIL
TEMA
TEOREMA DE ARRASTRE DE REYNOLDS
ALUMNA
Lizette Morocho
DOCEN TE:
Ing. Sonia L. Gonzaga V.
ASIGNATURA
MECÁNICA DE FLUIDOS
LOJA- ECUADOR
2016.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR
TEOREMA DE ARRASTRE DE REYNOLD 2
Tabla de contenido
Introducción……………………………………………………………………………………3
1. Obejetivos……………………………………………………………………………...4
1.1 Objetivo General…………………………………………………………………...4
1.2 Objetivo Especifico………………………………………………………………...4
2. Fundamento Teórico…………………………………………………………………...5
2.1 Definición…………………………………………………………………………..5
2.2 Masa de control…………………………………………………………………….6
2.3 Volumen de control………………………………………………………………...6
2.4 Por qué usamos masas de control y volúmenes de control………………………...7
2.5 Ritmo de variación de las propiedades de una masa de control……………………8
2.6 Llega el teorema del transporte de
Reynolds………………………………………..8
2.7 Enfoque Diferencial………………………………………………………………
11
2.8 Demostración del Teorema de Arrastre de
Reynolds……………………………………………………..12
2.9 Aplicaciones…………………………………………………………………………………………………………………..15
3. Conclusiones………………………………………………………………………….17
4. Bibliografía…………………………………………………………………………...17
TEOREMA DE ARRASTRE DE REYNOLD 3
Introducción
En la dinámica de fluidos se pueden usar sistemas donde la posición y la forma pueden
cambiar a medida que transcurre el tiempo en un proceso, pero en la vida real se utilizan
mayormente volúmenes que son fijos e indeformables donde la masa puede entrar y salir
de sus fronteras lo cual se conoce como volumen de control que es mucho más conveniente
para trabajar por lo tanto resulta muy útil poder relacionar las variaciones del sistema con los
cambios en los volúmenes de control. Este informe contiene una deducción del teorema de
arrastre de Reynolds que tiene ese nombre en honor al ingeniero ingles Osborne Reynolds
(1842-1912), quien relaciona en este teorema el sistema con el volumen de control lo cual es
de gran utilidad para analizar estos sistemas abiertos los cuales son usados en la dinámica de
fluidos.
La Mecánica de los fluidos viene determinada por 3 leyes básicas:
El principio de conservación de la masa: La masa de un sistema fluido se mantiene
constante independientemente de su posición o forma.
La ley de conservación de la cantidad de movimiento: La variación de la cantidad de
movimiento de un sistema fluido es igual a la suma total de la fuerza externa que actúan sobre
él.
La ley de conservación de la energía: Es, básicamente, la Primera Ley de la
Termodinámica. La variación de la energía de un sistema fluido (energía interna + energía
cinética) es igual al trabajo realizado por todas las fuerzas externas más el calor recibido por
conducción y/o radiación.
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1. Objetivos
1.1 Objetivo General
Saber cómo el Teorema de Arrastre de Reynolds introduce las ecuaciones de
conservación de las magnitudes en un volumen de fluido, fundamental para todo el
análisis dinámico en los mismos
1.2 Objetivo Especifico
Conocer cómo el flujo va a través de la superficie de control, ya que estas son las
que determinan la variación dentro del volumen de control.
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2. Fundamento Teórico
2.1 Definición
Dado que las ecuaciones de mecánica y termodinámica se refieren a sistemas de
control, es necesario deducirlas para el caso en que las aplicamos sobre volúmenes de
control. Consideremos un volumen de control y un sistema de control que, en un
instante determinado t, coinciden en el espacio. El volumen de control V C está
estacionario, mientras que el sistema de control V se mueve con el flujo. En el instante
t + ∆t el sistema de control se encuentra en una posición ligeramente desplazada
respecto al volumen.
Incluso puede que haya cambiado su volumen, si el flujo es compresible.
Consideremos una cierta magnitud extensiva F, y f la misma por unidad de masa, de forma
que:
F=∫v
❑
pfd v
(Castilla, 2011)
2.2 Masa de control
Es una cierta cantidad de material a la que hacemos un seguimiento. Por lo tanto, una
masa de control es un objeto físico igual que lo es una pelota, pero puede ser difícil
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distinguir una masa de control de su vecina (por ejemplo, es difícil distinguir una masa
de agua de otra en medio del océano).
2.3 Volumen de control
Es un volumen al que hacemos un seguimiento. Las masas de control pueden atravesar
un volumen de control. Los volúmenes de control son entidades geométricas que
definimos aparte de los objetos físicos: por ejemplo, el interior de una caja es un
volumen de control cuyo contenido, las masas de control que tiene dentro, puede
variar con el tiempo.
Fig. 2.3.1 Masa de control. Es un volumen de material en movimiento.
Fig. 2.3.2 Volumen de control. Es virtual y el material lo atraviesa.
En general, el teorema del transporte de Reynolds relaciona el ritmo de variación en
un dominio móvil (el de la masa de control) y un dominio fijo (el del volumen de
control) o incluso entre varios volúmenes móviles. Es una generalización a
dimensiones múltiples de la regla de Leibniz. En lo que sigue, usaremos volúmenes y
superficies, pero en realidad el teorema es válido para dimensiones superiores e
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inferiores. La exposición estará centrada, sobre todo, en el concepto de la masa de
control por su cómoda interpretación física.
2.4 Por qué usamos masas de control y volúmenes de control
A menudo, conocemos las leyes físicas que afectan a los objetos como las masas de
control, pero poner en práctica este conocimiento puede ser muy engorroso. Por
ejemplo, las ecuaciones del movimiento de una masa de control de aire (las leyes de
Newton y de conservación de la energía), aunque son conceptualmente muy sencillas,
se vuelven muy difíciles de integrar porque la masa de control puede desplazarse
mucho y acabar en cualquier parte. Como las ecuaciones del movimiento dependen de
las masas de aire del entorno (lo hacen a través de la presión y los esfuerzos viscosos,
por ejemplo) y estas masas de aire pueden cambiar mucho a cada momento, no es de
extrañar que la tarea de calcular el comportamiento del aire (o el medio que sea) pueda
volverse algo formidable con esta formulación.
Fig. 2.4.1 Las partículas vecinas de una masa de control pueden venir de
cualquier lugar y son muy difíciles de seguir.
Ahora imaginemos un volumen cualquiera, fijo o con un movimiento cómodo de
manejar. Este volumen es un volumen de control y las masas de control pueden, en
general, atravesarlo. Si pudiéramos referir las ecuaciones del movimiento no a las
masas de control, sino al volumen de control, nuestros problemas quizá se volverían
más fáciles de tratar. El teorema del transporte de Reynolds hace esto.
Propiedades extensivas y propiedades intensivas
Cojamos una masa de control cualquiera. En un instante de tiempo t, la masa de
control tiene unas propiedades (cantidad de movimiento, masa, energía interna…).
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Diremos que estas propiedades son Cm(t). Ahora bien, la masa de control ocupa un
cierto volumen Vm(t). Podemos suponer que la propiedad C(t), que
llamaremos extensiva, es la suma de una propiedad intensiva c(t,x) distribuida por los
puntos x del espacio ocupado por la masa de control:
Cm(t) = ∫∫∫Vm(t) c(t,x) dV.
En la anterior integral, el símbolo dV indica el elemento diferencial de volumen.
2.5 Ritmo de variación de las propiedades de una masa de control
Las masas de control son objetos físicos normales y corrientes como pelotas,
bolígrafos y gotas de agua. Sus propiedades Cm(t) tienen un ritmo de variación con el
tiempo t que es igual a un término forzante o fuente (la fuerza para la cantidad de
movimiento, por ejemplo) F:
dCm ⁄ dt = F.
Aunque no hemos escrito explícitamente las dependencias funcionales, el término
forzante F variará, en general, con el tiempo, la región del espacio ocupada por la
masa de control y la distribución de las variables físicas en el espacio y el tiempo. Esta
distribución de las variables físicas estará determinada por cómo se hayan movido las
masas de control (¡partícula por partícula!), así que el seguimiento se vuelve muy poco
práctico.
2.6 Llega el teorema del transporte de Reynolds
Ahora, supongamos que tenemos un volumen de control fijo V que en el preciso
instante t coincide con el volumen Vm(t) ocupado por la masa de control:
V = Vm(t).
La frontera del volumen de control es la superficie S.
Podemos integrar las variables intensivas c(t,x) en este volumen para obtener las
variables extensivas Cv(t) correspondientes:
Cv(t) = ∫∫∫V c(t,x) dV.
Un cortísimo instante más tarde, en el tiempo t+dt, los dos volúmenes no tienen por
qué coincidir. Por lo tanto, el ritmo de variación de las variables extensivas en el
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volumen de control no tiene por qué coincidir con el ritmo de variación de las
variables extensivas en la masa de control. Ahora bien, podemos relacionarlos.
Cada punto x de la frontera de la masa de control se desplaza a una velocidad v(t,x).
La dirección normal (hacia el exterior) a la frontera del volumen de control es el
vector unitario n(x). Por lo tanto, la velocidad normal vn(x) a la que se separa la
frontera de la masa de control de la del volumen de control es
vn(t,x) = v(t,x) ⋅ n(x).
La frontera de la masa de control entra dentro del volumen de control cuando la
anterior expresión es negativa y sale cuando es positiva.
Fig. 2.6.1 Velocidad normal a la frontera.
Cierta parte de la masa de control sale del volumen de control, mientras que otra parte
entra. Fijémonos en un punto x de la frontera del volumen de control. Definamos un
elemento diferencial de superficie de frontera dS alrededor de este punto. Como el
incremento de tiempo dt es extremadamente pequeño, podemos despreciar cualquier
variación de la velocidad v(t,x) a la que se desplaza la frontera de la masa de control
entre el instante t y el instante t+dt. En este tiempo, habrá entrado dentro del volumen
de control una pequeña cantidad de material de volumen−vn(x) dt dS.
El signo negativo se debe a que, si la velocidad relativa es negativa, el material entra,
mientras que, si la velocidad relativa es positiva, el material sale. Esta pequeña
cantidad de material que entra o sale lleva consigo cierta cantidad extensiva de
propiedades físicas:
−vn(x) dt dS c(t,x).
La suma (la integral) de esta contribución por toda la superficie de la frontera del
volumen de control será igual a la cantidad de las variables extensivas que habrá
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entrado menos la que habrá entrado en el volumen de control en el intervalo de tiempo
entre t y t+dt:
−dt ∫∫S c(t,x) vn(x) dS.
Fig.2.6.2 Elemento de una masa de control que atraviesa un volumen de control.
Equivale a la región barrida por un elemento de área en su desplazamiento
normal a la frontera en un corto intervalo de tiempo.
Con todo lo que sabemos, ya podemos relacionar el ritmo de variación en la masa de
control y el ritmo de variación en el volumen de control. En concreto, el incremento en
la variable extensiva Cv en el volumen de control Cm en la masa de control (que
coincide en el espacio con el volumen de control en el instante de interés) más lo que
entra y menos lo que sale:
dCv(t) = dCm(t) − dt ∫∫S c(t,x) vn(t) dS.
Por otra parte, el ritmo de variación en el volumen de control ha de ser igual a la suma
(la integral) de los ritmos de variación en su interior:
dCv(t) ⁄ dt = ∫∫∫V ∂(c ⁄ ∂t)(t,x) dV.
Juntémoslo todo y operemos mínimamente para mejorar el aspecto estético del
resultado. Nos queda la ecuación del transporte de Reynolds:
(d⁄dt) ∫∫∫Vm(t) c(t,x) dV = ∫∫∫V (∂c⁄∂t)(t,x) dV + ∫∫S c(t,x) vn(x) dS.
El término de la izquierda de la igualdad es el ritmo de variación dCm ⁄ dt de las
propiedades de la masa de control, igual al término forzante F que vimos antes, pero
ahora todo es potencialmente más fácil porque usamos variables referidas no a
partículas materiales móviles, sino a puntos fijos del espacio.
Varios volúmenes móviles
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En ninguna parte de las ecuaciones anteriores aparece el requisito de que el volumen
móvil sea el ocupado por un objeto material. El volumen móvil puede ser un volumen
de control cualquiera.
Si aplicamos el teorema del transporte de Reynolds a dos volúmenes de control
móviles V1(t) y V2(t) tales que ambos coinciden en el preciso instante t con el volumen
de control fijo V, obtenemos la siguiente relación:
(d⁄dt) ∫∫∫V1(t) c(t,x) dV = (d⁄dt) ∫∫∫V2(t) c(t,x) dV) + ∫∫S c(t,x) [v1(t,x) − v2(t,x)] ⋅ n(x) dS.
Esta expresión es útil, por ejemplo, a la hora de tratar problemas con frontera móvil
tales como el comportamiento del fluido en el interior de un motor alternativo.
(García, 2011)
2.7 Enfoque Diferencial
Apliquemos el teorema del transporte de Reynolds para estudiar la variación de la
densidad ρ en un volumen de control infinitesimal, dV = dx dy dz; es decir,
consideremos η = 1 y R = 0.
Fig.2.7.1 Definición de volumen de control dV y notación utilizada.
En este caso el teorema del transporte de Reynolds se escribe como:
(1)
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sin embargo, dado que el volumen de control considerado es infinitesimal, el lado izquierdo
de la ecu. (1) anterior se reduce a:
Por otro lado, el segundo termino de (1) se puede descomponer en 6 integrales que dan
cuenta del flujo másico a través de cada una de las caras del volumen de control, de manera
que:
Es fácil ver que:
y
Donde ue y uw son las componentes según x de la velocidad, evaluadas en las caras e y w,
respectivamente. El signo negativo en uw viene dado por el signo de ˆnw = −ˆi. Por otro lado,
si repetimos el mismo análisis para las otras 4 caras de dV , sabiendo que los elementos dSx =
dy dz, dSy = dx dz, y dSz = dx dy, y considerando que ~v y ρ son uniformes en las respectivas
caras, dadas sus dimensiones infinitesimales, obtenemos que la integral del lado derecho:
(Civil, s.f)
2.8 Demostración del Teorema de Arrastre de Reynolds
Para deducir el teorema de manera más sencilla se hará uso del Teorema de Leibnitz,
en la versión unidimensional de este teorema se permite derivar una integral cuyos
límites de integración son funciones que depende de la variable con la cual se va a
derivar.
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Fig.2.8.1 Teorema unidimensional de Leibnitz.
El ya mencionado teorema toma en cuenta el cambio de los limites respecto del tiempo, así
como los cambios no estacionarios del integrando con el tiempo y este teorema en tres
dimensiones seria:
Donde v(t) es un volumen en movimiento o deformación (función del tiempo), A(t) es su
superficie(frontera) y es la velocidad absoluta de esta superficie(en movimiento) (fig. 2.8.2).
La ecuación 2 es válida para cualquier volumen, que se mueve o se deforma arbitrariamente
en el espacio y tiempo. Para que sea más orientado hacia mecánica de fluidos se integra Gsea
pb para su aplicación al flujo de fluidos:
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Fig.2.8.2. Volumen de cambios
Si se aplica el teorema de Leibnitz a un caso especial de un volumen de sustancia (un sistema
de masa fija que se mueve con el flujo de fluido), entonces v⃗A= v⃗ en todas partes sobre la
superficie de este volumen de sustancia, porque se mueve con el fluido. En este caso, v⃗ es la
velocidad local del fluido y la Ecu. 3 queda como:
La ecuación 4 es válida en cualquier instante t. Se define el volumen de control de manera tal
que, en este instante t, el volumen y el sistema ocupen el mismo espacio; en otras palabras,
que sean coincidentes. En algún instante posterior t + ∆t, el sistema se movió y deformó con
el flujo, pero el volumen de control puede haberse movido y deformado de manera diferente
como lo muestra en la Fig. 3. Sin embargo, la clave es que en el instante t, el sistema
(volumen de sustancia) y el volumen de control son uno y el mismo. Así, se puede evaluar la
integral de volumen de la parte derecha de la Ec. (4) sobre el volumen de control en el
instante t, y la integral de superficie se puede evaluar sobre la superficie de control en el
instante t; donde el RTT general para un volumen de control fijo es:
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Figura 2.8.3. Volumen de sustancia y volumen de control en el mismo espacio con
diferentes deformaciones y movimientos.
Esta expresión es la misma que se obtendría por otros medios de deducción y es válida para
un volumen de control con forma arbitraria, en movimiento o deformación, en el instante t
sabiendo que v⃗ de la Ec.(5)es la velocidad absoluta del fluido.
2.9 Aplicación
Descarga de agua de un tanque, un tanque cilíndrico de agua con 4 pies de alto y 3 pies de
diámetro cuya parte superior está abierta a la atmósfera esta al principio lleno con agua.
Ahora, se quita el tapón de descarga que está cerca del fondo del tanque cuyo diámetro es de
0,5m y un chorro de agua se vierte hacia fuera como se observa en la Fig, la velocidad
promedio del chorro se da por V= √ : , en donde h es la altura del agua en el tanque medida
desde el centro del agujero (una variable) y g es la aceleración gravitacional. Determine
cuanto tiempo transcurrirá para que el nivel del agua en el tanque descienda hasta 2 pies,
medido desde el fondo.
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Fig.2.9.1 Esquema de ejemplo
Suponiendo la distancia entre el fondo del tanque y el centro del agujero es despreciable en
comparación con la total del agua y que la aceleración gravitacional es32.2 pies/ .La relación
de conservación de la masa para un volumen de control que pasa por cualquier proceso seda
en la forma de razón como:
En el transcurso de este proceso nada de masa entra al volumen de control por lo que (ment ) y
el gasto de masa del agua descargada se puede expresar como:
Donde Achorro =( πD2 tanque ¿ el área de la sección trasversal del chorro, la cual es
constante.Nótese que la densidad del agua es constante, la masa del agua en el tanque en
cualquier instante es:
Donde es el área de la base del tanque cilíndrico. Si se sustituyen las ecuaciones en la relación
de balance de masa da:
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Simplificando las densidades y otros términos comunes, y se separa las variables, da:
Si se integra desde t = 0, en el cual =, hasta t =t, en el cual = , da:
Al sustituir, se determina que el tiempo de descarga es:
Se vaciará la mitad del tanque en 12.6 minutos después de quitar el tapón del agujero de
descarga. (Medina, 2011)
3. Conclusiones
Se llegó a determinar que en el caso más general se presenta cuando el
volumen de control se mueve y se deforma arbitrariamente.
Se determinó que el flujo de volumen a través de la superficie de control es
proporcional a la velocidad relativa normal, sin embargo, la superficie de
control se deforma, con la velocidad y la velocidad relativa.
Finalmente, se concluye que se debe tener en cuenta que los elementos de
volumen de la integral de volumen se distorsionan con el tiempo; por ello, la
derivada temporal debe ser tomada después de la integración.
4. Bibliografía
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BibliografíaCastilla, R. y. (s.f de s.f de 2011). El Teorema de Arrastre de Reynolds. Obtenido de Ecuaciones
Fundamentales de la Mecánica de Fluidos: http://147.83.3.60/Enginyeria_Aeroespacial/2B/Mecanica%20de%20Fluids/Teoria/Apuntes%20para%20imprimir/6.%20Ecuaciones%20fundamentales%20de%20la%20Mec%C3%A1nica%20de%20Fluidos.pdf
Civil, D. d. (s.f de s.f de s.f). Mecánica de Fluidos . Obtenido de Enfoque Difeencial : file:///D:/Respaldo/User/Downloads/ApuntesCI3101_v1_c%20(1).pdf
García, S. (30 de 09 de 2011). Física, Matemáticas. Obtenido de Teorema de Transporte de Reynolds: http://sgcg.es/articulos/2011/09/30/teorema-del-transporte-de-reynolds/
Medina, W. (04 de 04 de 2011). Teorema de Transporte de Reynolds. Obtenido de Demostración del Teorema de Transporte de Reynolds: https://es.scribd.com/doc/52244552/teorema-de-transporte-de-reynolds
WHITE, F. (2008). Mecanica de Fluidos . En M. G. Hill. Editorial Mc Graw Hill .
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