Microondas ITT-ST Tema 5
1
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Índice
Método de las pérdidas de inserciónRespuestas y prototipos paso bajoTransformaciones en frecuenciaInversores de inmitanciaTransformación de Richards y Equivalencias de KurodaFiltros paso bajo con secciones de líneaFiltro paso alto con stubs en cortocircuitoFiltro paso banda con líneas acopladas
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2
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Método de las pérdidas de inserción
PDG
ZG= Z0
ZL= Z0
Red pasiva y sin pérdidas referida a Z0
ΓIN
( ) ( )2
21 2 2
1
1 1DG
i
DG IN IN
Pl SP
= = =− Γ − Γ
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3
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Funciones de transferencia
Respuesta de un filtro pasivo y sin pérdidas:
Epsilon es una constante de rizado, F() es una función característica y omega es la pulsación.
( ) ( )2
21 2 2
11 n
S jFε
Ω =+ Ω
2 22
21
1( ) 10 log 10 log 1 ( )( )
i ndBL F
S jε⎡ ⎤Ω = = + Ω⎣ ⎦Ω
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4
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Respuestas máximamente plana y elíptica
0 0.5 1 1.5−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
Ω (rad/s)
|S21|2
(d
B)
n=1 n=4
221 2
1( )1 nS jΩ =+Ω
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
Ω (rad/s)
|S21|2
(d
B) n=3 n=5
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5
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Respuesta Chebychev
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
Ω (rad/s)
|S21|2
(d
B)
n=3 n=6
221 2 2
1( )1 ( )n
S jTε
Ω =+ Ω
1010 1rL
ε = −
1
1
cos( cos ) 1( )
cosh( cosh ) 1n
nT
n
−
−
⎧ Ω Ω ≤⎪Ω = ⎨Ω Ω ≥⎪⎩
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Dis
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de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Prototipos paso bajo en escalera
42g g0g
1g 3g
4gg2
1gg0 3g
(n impar)(n par)
n+1gng
(n par)
n+1g
(n impar)
ng
ng
n+1g gng n+1
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Dis
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de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Prototipo Butterworth
( )
1
1.0
2 12sin 1...
21.0
o
i
n
g
ig para i n
ng
π
+
=
−⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠=
10log 10 1
2log
aL
a
n
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠≥Ω
1.00000.34731.00001.53211.87942.0001.87941.53211.00000.34739
1.00000.39021.11111.66291.96161.96161.66291.11110.39028
1.00000.44501.24701.80192.00001.80191.24700.44507
1.00000.51761.41421.93181.93181.41420.51766
1.00000.61801.61802.00001.61800.61805
1.00000.76541.84781.84780.76544
1.00001.00002.00001.00003
1.00001.41421.41422
1.00002.00001
g10g9g8g7g6g5g4g3g2g1n
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iltro
s de
Mic
roon
das
Prototipo Chebychev
1 2
1.0
coth4
n
para n imparg
para n parβ+
⎧⎪= ⎨ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
( ) ( )
( )
1
1 2 2
2 sin2
2 1 2 34sin sin
2 21 2,3,...1
sini
i
gn
i in n
g para i ng i
n
πγ
π π
πγ−
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =
−⎡ ⎤+ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
ln coth17.37
sinh2
rL
n
β
βγ
⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
101
10
1
10 1cosh10 1
cosh
s
r
L
L
a
n
−
−
−
−≥Ω
1.00001.75041.26902.66781.36732.72731.36732.66781.26901.75049
1.98410.87962.50931.33892.69641.35902.65641.26471.74518
1.00001.73721.25832.63811.34442.63811.25831.73727
1.98410.86962.47581.31372.60641.24791.72546
1.00001.70581.22962.54081.22961.70585
1.98410.84192.36611.19261.67034
1.00001.59631.09671.59633
1.98410.70711.40292
1.00000.69861
g11g10g9g8g7g6g5g4g3g2g1n
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Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Prototipo elíptico
3
g0
2g
2g'
g10g
1g g
2g
g'2
g
4g
4g' gn n+1
n-1g
n-1g' gn+1
ggn-1g3
(n par)
n-1g
4g
4g'
gn
g'n-1n+1 ng n+1g
(n impar)
ng
n-1g
(n par) (n impar)
(a)
(b)
Lr
La
La(d
B) →
Ωc Ω
a Ω →
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Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Prototipo elíptico (II)
0.04990.29130.43020.52970.60400.66150.75780.86920.93670.9772
4.38122.13501.44501.09330.88270.74260.54360.35400.25500.2004
0.20140.37190.49910.60130.68290.74890.86381.00311.09031.1433
1.12761.22451.30971.38201.44151.49041.57711.68431.75221.7939
0.73570.49340.38450.31630.26940.23520.18160.12440.09190.0732
0.76630.92421.00841.06521.10601.13661.18621.24161.27411.2932
0.70810.81300.87260.91440.94480.96811.00581.04811.07301.0876
13.878520.029124.545128.303131.491134.248439.594747.569854.021558.9117
1.05001.10001.14941.20001.25001.29871.40851.61291.81822.0000
5
0.92440.92890.93220.93450.93520.93480.9352
1.11941.14451.17281.21381.24711.29431.3347
1.09290.89020.71550.52610.40730.27300.1796
0.56640.64370.72840.84670.94011.06881.1765
0.37140.42480.48770.56750.62820.70940.7755
12.085614.125916.534320.301223.737829.534336.0438
1.20001.24251.29771.39621.50001.70902.0000
4
0.74270.83330.89490.9471
0.54120.32520.20700.1205
0.70960.84390.93751.0173
0.74270.83330.89490.9471
13.569818.857124.001230.5161
1.44931.69492.00002.5000
3
g5g’4g4g3g’2g2g1La dBΩ an
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Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Transformaciones en frecuencia
Paso bajo Paso alto
' o ii
c
Z LLω
=
' ii
o c
CCZ ω
=
iL
iC
1'ic o i
CZ Lω
=
iC
iL
' oi
c i
ZLCω
=
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12
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Transformaciones en frecuencia (II)
Paso banda Banda eliminada
iL 'iL 'iC
iC 'iL 'iC
'
'
i oi
o
io i o
L ZL
CL Z
ω
ω
⎧ =⎪ ∆⎪⎨ ∆⎪ =⎪⎩
'
'
oi
o i
ii
o o
ZLCCC
Z
ω
ω
∆⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪ ∆⎩
'
1'
i oi
o
io i o
L ZL
CL Z
ω
ω
∆⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪ ∆⎩
'
'
oi
o i
ii
o o
ZLC
CCZ
ω
ω
⎧ =⎪ ∆⎪⎨ ∆⎪ =⎪⎩
iL'iL
'iC
iC 'iL
'iC
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13
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
K K C
C
L
J J
L
(a)
(b)
Inversores de inmitancia
Un inversor de inmitancia es una red de dos puertas en el que se cumple que:
ó
Es un cuadripolo pasivo, recíproco y sin pérdidas en el que S11 y S22 son reales.El desfase entre puertas ha de ser de ± 90º
2
12
KZZ
=2
12
JYY
=
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14
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
C
0Z K0,1
La1
J0Y 0,1
(a)
(b)
1,2K
La2
2,3K n,n+1K
Lan
n+1Z
J JCa1 1,2 a2 2,3 C Jn,n+1an n+1Y
( 1)1 10,1 , 1 , 1
0 1 1 11... 1
, ,ai a io a an ni i n n
i i n ni n
L LZ L L ZK K Kg g g g g g
+ ++ +
+ += −
= = =
( 1)1 10,1 , 1 , 1
0 1 1 11... 1
, ,ai a io a an ni i n n
i i n ni n
C CY C C YJ J Jg g g g g g
+ ++ +
+ += −
= = =
Inversores de inmitancia (II)
Prototipos paso bajo con inversores
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15
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Inversores de inmitancia (III)
C0Y J0,1 p1L
Z0
CL
K0,1
p3p2Jp1 1,2 Cp2L J2,3 L p3C Jn,n+1 n+1Y
CL
K1,2 2,3K
J2,3
CL
Kn,n+1 Zn+1
(a)
(b)
( 1)0 0 1 0 0 10,1 , 1 , 1
0 1 1 11... 1
, ,si s is sn ni i n n
c c i i c n ni n
L LZ L L ZK K Kg g g g g gω ω ω+ +
+ ++ += −
∆ ∆ ∆= = =Ω Ω Ω
0 0 1 ( 1) 0 100,1 , 1 , 1
0 1 1 11... 1
, ,p pi p i pn ni i n n
c c i i c n ni n
Y C C C C YJ J J
g g g g g gω ωω + +
+ ++ += −
∆ ∆∆= = =Ω Ω Ω
s1 s1 s2 s2 sn sn
Prototipos paso banda con inversores
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16
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Transformación de Richards
Fue realizada por Richards en 1948 para sintetizar una red LC mediante líneas de transmisión.
La respuesta en frecuencia de los filtros así diseñados es periódica de periodo 4ωC.
Todos los stubs del filtro tienen la misma longitud eléctrica (λ/8) por este motivo estos filtros se llaman equiproporcionados
( )p
dtg d tgvωβ⎛ ⎞
Ω = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Z = 1/C
CjB
l=λ/8
Z = L
l=λ/8
BC C
XL L
C
jXL
C
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17
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Equivalencias de Kuroda
Las equivalencias de Kuroda permiten construir físicamente los diseños realizados con stubs aplicando la transformación de Richards.
Separar físicamente stubs con líneas de transmisión.Transformando stubs serie en stubs paralelo o viceversa.Cambiando impedancias características irrealizables en otras más apropiadas.
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18
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Equivalencias de Kuroda (II)
1Z2
Z1
Z2
1Z
1n Z1
2
1n Z2
2n
Z1
1Z2n
2 2
1
1 ZnZ
= +
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19
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Equivalencias de Kuroda (III)
2ZZ1 n
Z12n
Z12
1:n2
1Z
Z1
2 n :12
n Z21
1n Z21
2 2
1
1 ZnZ
= +
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20
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das Equivalente de una sección de
línea:
Filtros con secciones cortas de línea
Para secciones de alta impedancia y longitud menor de 45º, la línea equivale a una bobina. Para secciones de baja impedancia equivale a un condensador.
Ecuaciones de diseño:
Z11 – Z12 Z11 – Z12
Z12
( )( )
11 22
12 21
cot
cosC
C
Z Z jZ g d
Z Z jZ ec d
ββ
= = −
= = −
11 12 2CdZ Z jZ tg β⎛ ⎞− = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
0
0
HG HGHG
LWLW LW
LZdZZ Cd
Z
β
β
=
=
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21
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Filtros con líneas acopladas
Se ajustan los valores de las admitancias características de los inversores J para que las terminaciones sean unitarias y los circuitos resonantes sean todos idénticos
RG = 1
L0 L0C0 C0 RL = 1J01 J12 JN, N+1
0 001
1
CJg
ω ∆= 0 0, 1
1 1i i
i
CJg g
ω+
+
∆= 0 0, 1
1N N
N N
CJg gω
++
∆=
0 1 2
2 1
0
ω ω ωω ωω
=−∆ =
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22
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Filtros con líneas acopladas (II)
Línea microstrip acoplada
S
1
2Φ = βd = π/2
Z0 Z0J
Φ Φ
Microondas ITT-ST Tema 5
23
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Filtros con líneas acopladas (III)
S1
1
2
Φ = βd = π/2 Φ = βd = π/2
S2
Z0 Z0J
Φ Φ
Z0 Z0J
Φ Φ
Microondas ITT-ST Tema 5
24
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Filtros con líneas acopladas (IV)
Resonador microstrip en lambda/2
λ/2
Z0 C0 L0
00
0
00
0
2
2
ZL
YC
πωπω
=
=
Microondas ITT-ST Tema 5
25
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Filtros con líneas acopladas (V)
Acoplamiento de las líneas
20
0
20
0
1
1
e
o
Z J JZZ J JZ
= + +
= + −0 0
0 0
e o
e o
Z ZCZ Z
−=+
0 2 4 6 80
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Distancia entre tA
copl
amie
nto
(uni
dade
s na
tura
les)
010 12
Jg gπ∆= , 1
1 12i ii
Jg gπ
++
∆=
, 112N N
N N
Jg gπ
++
∆=
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26
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Filtros paso alto con stubs en corto
Se consigue un filtro de orden 2n-1 empleando únicamente n stubs.
=1yo
Stubs en corto circuito de longitud eléctrica θc
y1,2
1
θc
y2 n-1
y y
2θc
n-1,ny =1y
o
ny
2θc
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27
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Filtros paso alto con stubs en corto (II)
Respuesta de periodo PI θc π/2 π−θ
c π 3π/2 θ →
fc (π/θ
c−1)f
c f →
|S2
1|
cc
ff
θ θ=
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28
Dis
eño
de F
iltro
s de
Mic
roon
das
Filtros paso alto con stubs en corto (III)
Elementos para filtros paso alto óptimamente distribuidos de 0.1 dB de rizado
1.083021.037940.98381
0.330310.526150.77546
1.087251.043950.99126
0.290730.463830.68833
1.101991.067201.02354
0.250380.353460.48096
25º30º35º
6
0.296590.482840.72424
1.093171.050950.99884
0.271100.439850.66089
1.105401.071191.02790
0.240680.342520.46895
25º30º35º
5
1.103611.064881.01536
0.237320.394430.60527
0.111131.078421.03622
0.224410.323000.44670
25º30º35º
4
0.181760.307260.48294
1.120751.092201.05378
0.196900.286200.40104
25º30º35º
3
1.134821.115971.08967
0.154360.220700.30755
25º30º35º
2
y3,4y3
yn-2
y2,3yn-2,n-1
y2yn-1
y1,2yn-1,n
y1yn
θcn11
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