1
� Fenómeno aleatorio: es aquel cuyos resultados son impredecibles. � Ejemplos:
� Lanzamiento de una moneda: Resultados posibles: cara, cruz.� Selección al azar de un alumno entre los 30 de una clase: Resultados posibles uno
cualquiera de los 30.
� La imprecisión de los resultados nos lleva a plantearnos la medición de la incertidumbre ligada a estos resultados, evaluándola numéricamente.
� Esto nos lleva a la probabilidad.
� Conceptos básicos� Supongamos que se realiza un experimento aleatorio
� Se llama suceso elemental a cada uno de los resultados posibles.� Se llama Espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles� Se llama suceso al compuesto por uno o más sucesos elementales� Se llama suceso seguro , que notaremos con E, al formado por todos los resultados
posibles� Se llama suceso imposible , que notaremos con ,al que no contiene ninguno de
resultados posibles
TEMA 3: Probabilidad. Modelos
φ
Probabilidad
2
Probabilidad
BA ∩
Ejemplo:Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado
E ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Espaciomuestral 1
42
3 5
6
SucesoElemental: A={5}
Suceso: B={2, 4, 6}
•Operaciones con sucesos•Unión de dos sucesos A y B es un nuevo suceso, AUB, constituido por los sucesos elementales de A y los de B. Se realiza cuando tiene lugar cualquieralos sucesos elementales que lo forma.
•Intersección de dos sucesos A y B es un nuevo suceso, , constituidopor los sucesos elementales que están a la vez en A y en B. Se realiza, cuando se realiza A y B.
•Contrario de un suceso A : Está formado por todos los sucesos elementales de E que no están en A. Se nota con•Dos sucesos A y B se dicen incompatibles si su intersección es el suceso imposible
A
3
Probabilidad
ABBAABBA ∩=∩∪=∪ ;
Ejemplo:Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado
1
42
3 5
6
Suceso A={3,4,5,6}
Suceso B={2, 4, 6}
•Propiedades de las Operaciones con sucesos
AAAAAA =∩=∪ ;
)()();()( CBACBACBACBA ∩∩=∩∩∪∪=∪∪
EE == φφ;
φ=∩=∪ AAEAA ;
)()()();()()( CBCACBACBCACBA ∪∩∪=∪∩∩∪∩=∩∪
( ) BABABABA ∪=∩∩=∪ ;
Suceso intersección de A y B={4, 6}
Suceso uniónde A y B
={2,3,4,5,6}
4
� Algebra de sucesos� El conjunto de todos los sucesos está dotado de una estructura denominada
álgebra de sucesos.
� Un álgebra de sucesos es una clase, F, formada por subconjuntos de Edenominados sucesos del espacio muestral que verifica:
� Si un suceso pertenece a F, también pertenece su complementario o contrario.� Si una serie de sucesos A1, A2, … , An, … pertenece a F, también pertenece la unión.� El suceso imposible también pertenece a F
� Por tanto, las propiedades de unión, intersección y complementación de sucesos
de F da lugar a sucesos que pertenecen a F.
Probabilidad
5
� Concepto de probabilidad� Dado un experimento y su espacio muestral asociado, E, una aplicación que
asocia a cada suceso un número real
Probabilidad
P: F R
A P(A)
es una probabilidad si verifica los siguientes axiomas:� 1) Para cualquier suceso A, su probabilidad P(A) es mayor o igual a cero
� 2) La probabilidad del suceso seguro, E, es uno: P(E)=1
� 3) Dados dos sucesos incompatibles A y B se verifica que la probabilidad de la unión es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos:
P(AUB) = P(A) + P(B)
� Toda aplicación que cumpla esos axiomas es una probabilidad definida sobre el álgebra de sucesos F. Se denomina espacio de probabilidad a la terna (E, F, P).
6
Probabilidad� Concepto clásico o de Laplace de probabilidad
� Nos permite evaluar numéricamente las posibilidades de ocurrencia de los sucesos� Se asume que todos los resultados posibles ligados al experimento aleatorio tienen la
misma oportunidad de aparecer.� Dado un suceso A se determina su probabilidad como el cociente
posibles casos de nº
A suceso al favorables casos de nº)( =AP
� Concepto frecuencialista de probabilidad� Nos permite evaluar numéricamente las posibilidades de ocurrencia de los sucesos� Se asume que el experimento aleatorio puede realizarse un número grande de veces.� Dado un suceso A , se determina su probabilidad como la frecuencia relativa con que
aparece o tiene lugar.
7
Probabilidad� Propiedades derivadas de los axiomas de la probabilidad
)(1)( APAP −=
� La probabilidad del suceso contrario es igual a 1 menos la probabilidad del suceso
� La probabilidad del suceso imposible es cero
0)( =φP
� La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades menos la probabilidad de la intersección
)()()()( BAPBPAPAUBP ∩−+=� Si el suceso A está incluido en el B, la probabilidad de A es menor o igual
a la de B)()( BPAPBA ≤⇒⊂
� La probabilidad del cualquier suceso es menor o igual a 1
1)( ≤AP
8
Probabilidad� Probabilidad condicionada
)(
)()/(
BP
BAPBAP
∩=
� Dado un suceso B con probabilidad no nula, la probabilidad de que ocurra A, supuesto que ha ocurrido B, se denomina probabilidad condicionada de A dado B. Se determina como el cociente entre la probabilidad de la intersección y la del suceso condicionado:
� De modo similar se define la probabilidad del suceso condicionado B dado A, supuesto que A no es el suceso imposible:
� Observa que estas igualdades nos permiten expresar la probabilidad del sucesointersección mediante:
)(
)()/(
AP
BAPABP
∩=
)()/()()/()( BPBAPAPABPBAP ==∩
� Sucesos independientes� Dos sucesos A y B se dice que son independientes si la realización de uno de
ellos no afecta a la realización del otro. Es decir:� P(A/B)=P(A), o de modo equivalente, P(B/A)=P(B)� O bien, también de modo equivalente, si la probabilidad de la intersección es
igual al producto de las probabilidades
)()()( BPAPBAP =∩
9
Probabilidad� Ejemplos
4,025,0
1,0
)(
)()/( ==∩=
MP
QMPMQP
En una Facultad el 25% de los alumnos suspendió matemáticas, el 15% química y el 10% las dos. Se selecciona un estudiante al azar.
a) Si suspendió química, ¿cuál es la probabilidad de que suspendiera matemáticas?b) Si suspendió matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que suspendiera química?c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya suspendido matemáticas o química?d) ¿Cuál es la probabilidad de que no suspenda química?e) ¿Cuál es la probabilidad de que no suspenda ninguna de las dos?f) ¿Son independientes los dos sucesos?
1,0)(;15,0)(;25,0)( =∩== QMPQPMPa)
667,015,0
1,0
)(
)()/( ==∩=
QP
QMPQMP
b)
10
Tema 4: Probabilidad� Ejemplos
85,015,01)(1)( =−=−= QPQP
0375,015,025,0)()()(1,0 =⋅=≠∩= QPMPQMP
1,0)(;15,0)(;25,0)( =∩== QMPQPMP
c)
7,03,01)(1)()( =−=∪−=∪=∩ QMPQMPQMP
d)
3,01,015,025,0)()()()( =−+=∩−+=∪ QMPQPMPQMP
e)
f)
No son independientes
11
Tema 4: Probabilidad� Ejemplo
� La tabla siguiente muestra la clasificación de un grupo de trabajadores de una empresa según sector de producción en que trabaja y número de bajas registradas durante un año.
sector producción
Dias de BAJA Sector A Sector B Sector C
0-10 100 120 50
10-20 150 100 60
más de 20 98 130 80
Seleccionado un trabajador al azar, determina:a) Probabilidad de que esté de baja más de 20 díasb) Probabilidad de que pertenezca al sector Bc) Probabilidad de que esté de baja más de 20 días y pertenezca al sector Bd) Probabilidad de que esté de baja más de 20 días o que pertenezca al sector Be) Dado que pertenece al sector B, ¿qué probabilidad hay de que esté de baja más de 20 días?f) Son independientes los sucesos estar de baja más de 20 días y perteneceral sector B?
g) Probabilidad de no estar de baja más de 20 díash) Probabilidad de no estar de baja más de 20 días y no pertenecer al sector B
12
Tema 4: Probabilidad
� Ejemplo (Continuación)
3714,03941,0
1464,0
)(
)20()/20( ==∩=
BP
BMPBMP
g) Probabilidad de no estar de baja más de 20 días
a) Probabilidad de que esté de baja más de 20 días
sector producción
Dias de BAJA Sector A Sector B Sector C total
0-10 100 120 50 270
10-20 150 100 60 310
más de 20 98 130 80 308
Total 348 350 190 888
3468,0888
308)20( ==MP
b) Probabilidad de que esté en el sector B
3941,0888
350)( ==BP
c) Probabilidad de que esté de baja más de 20 días y pertenezca al sector B
1464,0888
130)20( ==∩ BMP
d) Probabilidad de que esté de baja más de 20 días o pertenezca al sector B5945,01464,03941,03468,0)20()()20()20( =−+=∩−+=∪ BMPBPMPBMP
e) Dado que pertenece al sector B, ¿qué probabilidad hay de que esté de baja más de 20 días?
f) Son independientes los sucesos estar de baja más de 20 días y pertenecer al sector B?
No, porque no se verifica la igualdad )()20()20( BPMPBMP ⋅=∩
h) Probabilidad de no estar de baja más de 20 días y no pertenecer al sector B
6532,03468,01)20(1)20( =−=−= MPMP
5945,01)20(1)20()20( −=∪−=∪=∩ BMPBMPBMP
13
Probabilidad� Teorema de la Probabilidad Total
EAnAA =∪∪ ...21U
� Dado un conjunto de sucesos A1, A2, …, An que verifica
� Su unión es el suceso seguro
� Para cualesquiera sucesos Ai, Aj, su intersección es el suceso imposible
jiAjAi ,∀=∩ φ
� En estas condiciones, dado un suceso cualquiera, S, se verifica
)/()()(1
AiSPAiPSPn
i∑
=
=
A1
A3
A2
AjAiAn
…
…
S
14
Probabilidad� Teorema de Bayes
EAnAA =∪∪ ...21U
� Dado un conjunto de sucesos A1, A2, …, An que verifica
� Su unión es el suceso seguro
� Para cualesquiera sucesos Ai, Aj, su intersección es el suceso imposible
jiAjAi ,∀=∩ φ
� En estas condiciones, dado un suceso cualquiera, S, se verifica
)/()(
)/()()/(
1
AjSPAjP
AiSPAiPSAiP
n
j∑
=
=
Ejemplo 1:3 oficinas O1, O2 y O3 de una Compañía Aseguradora tienen respectivamente un total de asegurados igual a 1200, 2300 y 750. Los porcentajes de reclamaciones porparte de sus clientes son respectivamente del 2%, 1,8% y 3%.-Si se selecciona al azar un asegurado, ¿cuál es la probabilidad de que reclame?-Dada una reclamación ¿qué probabilidad hay de que proceda de la oficina O2?
15
Probabilidad
0207,003,0176,0018,0541,002,0282,0)/()()(3
1
=⋅+⋅+⋅==∑=
OiRPOiPRPi
282,075023001200
1200)1( =
++=OP 541,0
75023001200
2300)2( =
++=OP
4686,00207,0
018,0541,0
)(
)2/()2(
)/()(
)2/()2()/2( 3
1
=⋅===∑
=
RP
ORPOP
OjRPOjP
ORPOPROP
j
1._ Estamos en las condiciones del teorema total. Cada asegurado procede de una oficina.
176,075023001200
750)3( =
++=OP
Las probabilidades de reclamaciones, dadas las oficinas son
03,0)3/(;018,0)2/(;02,0)1/( === ORPORPORP
Por el teorema de la probabilidad total
2._ Estamos en las condiciones del teorema Bayes.
16
Probabilidad� Ejemplo 2
3,0)2(;7,0)1( == MPMP
391,0115,0
045,0
15,03,01,07,0
15,03,0
)/()(
)2/()2()/2( 2
1
==⋅+⋅
⋅==∑
=
MjDPMjP
MDPMPDMP
j
Dos máquinas M1 y M2 producen el 70% y 30%, respectivamente del totalde artículos de la producción. El 10% de los artículos producidos por M1 y 15% delos producidos por M2 son defectuosos.
Se selecciona al azar un artículo y resulta ser defectuoso. ¿Qué probabilidad hay de que proceda de M2?
15,0)2/(;1,0)1/( == MDPMDP
17
Variable aleatoria
� Variable aleatoria unidimensional� Dado un espacio de Probabilidad (E, F, P), una variable
aleatoria X es una aplicación del espacio muestral E al conjunto de los números reales R, tal que la imagen inversa de cada intervalo de R es un suceso.
X : E R
s X(s)
FxsXEsS ∈≤∈= })(;{
Por tanto, para cualquier número real x, el conjunto S de sucesos elementalestales que X(s)<x constituye un suceso.
• Tipos de variable aleatorias •Discretas : Si los números asignados a los sucesos elementales de E constituyen puntos aislados. •Continuas : Los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos
18
Variable aleatoria
� Distribución de probabilidad de una Variable aleatoria� Variable aleatoria discreta
Sea una variable aleatoria X que toma un conjunto de valores x1,x2, …, xk.
Se define la función de probabilidad de X como el conjunto de pares (xi, pi) i=1, …, k, donde pi=P(X=xi) y la suma de las probabilidades es 1
∑=
=k
i
pi1
1
•Podemos expresarla en una tabla, de modo similar a las distribuciones de frecuencias de las variables estadísticas discretas.
•La probabilidad pi=P(X=xi) es la probabilidad del suceso S formado por los sucesos elementales a los que asignamos mediante X el número real xi
19
Variable aleatoria
� Variable aleatoria continuaSea una variable aleatoria X continua. La función de densidad de X , que
notaremos con f(x), cumple la siguientes propiedades:1) f(x) es siempre mayor o igual a cero2) Dado un intervalo (a, b), la probabilidad de que la variable tome valores
en dicho intervalo es igual al área que encierra la curva en dicho intervalo.
3) El área total que encierra la curva vale 1
f(x)
Xa b
P(a<X<b
f(x)
X
Área=1
Dado un intervalo infinitesimal (x-dx/2, x+dx/2) de amplitud dx, f(x) es el límite del cociente entrela probabilidad de que la variable tome valores en dicho intervalo y la amplitud del mismo
dx
dxx
dxxP
xfdx
)2
,2
()( lim
0
+−=
→
20
Variable aleatoria
� Función de distribución de una variable aleatoria � Dada una variable aleatoria X, ligada al espacio de probabilidad (E, F,
P), la función de distribución F es una aplicación del conjunto de los números reales al conjunto de los números reales:
F : R R
x F(x)=P(X<x)
�A partir del conocimiento de la función de distribución, F(x), podemos obtener la probabilidad de que la variable estécomprendida en cualquier intervalo.
�Propiedades de la Función de distribución:
F(a)-F(b)b)XP(a3.
)F(x'F(x) x' xque tal,x'x, decir, Es e.decrecient no es F.2
1)(;0)(.1
=≤<≤⇒<∀
=+∞=−∞ FF
21
Variable aleatoria
� Función de distribución de una variable aleatoria d iscreta y continua� Dada una variable aleatoria discreta
∑∑≤≤
===≤=xxixxi
pixiXPxXPxF )()()(
�Dada una variable aleatoria continua X
∫ ∞−=≤=
xdttfxXPxF )()()(
Es el área que encierra la función de densidad en el intervalo desde menosinfinito a x.
F(x)
x
22
Variable aleatoria
� Ejemplos de Variable aleatoria unidimensional� 1) Sea el experimento lanzar un dado. Se define la variable X=1 si
el número es impar y X=0 si es par
X P(X=x)
0 1/2
1 1/2
X : E R
1 1
�2) Sea el experimento seleccionar un trabajador al azar de una empresa determinada, donde el 20% no tienen hijos, el 30% tienen 1, 30% tienen 2 y el resto tiene 3. Se define la variable Y=número de hijos del trabajador
2 03 1… …
6 0
Función de probabilidad X
6/3})6,4,2({)( == PparSucesoP
6/3})5,3,1({)( == PimparSucesoP
23
Variable aleatoria
Y P(Y=y)
0 0,2
1 0,3
2 0,3
3 0,2
100/20)1( =ASucesoP
100/20)4( =ASucesoP
Y : E R
1 023 1… 26 3
Función de probabilidad de Y
Trab. sin hijos
Trab. 1 hijo
Trab. 2 hijos
Trab. 3 hijos
100/30)3( =ASucesoP
100/30)2( =ASucesoP
A1
A2A3
A4
1)Función de distribución de X 2)Función de distribución de Y
X F(x)
0 1/2
1 1
Y F(y)
0 0,2
1 0,5
2 0,8
3 1
24
Variable aleatoria
∫+∞
∞−
⋅= dxxfxXE )()(
∑=
⋅=k
i
pixiXE1
)(
∑=
⋅=k
i
pixiXE1
)(X P(X=x)
0 1/2
1 1/2
Esperanza de una variable aleatoria X:
Variable discreta
Variable continua
Varianza de una variable aleatoria X:
∫+∞
∞−
−= dxxfXExXV )())(()( 2
Variable discreta 222
1
2
1
2 )()()())(()( XEXEXEpixipiXExiXVk
i
k
i
−=−=⋅−= ∑∑==
Variable continua
Ejemplos:
2/12/112/10)( =⋅+⋅=XE
25,05,0)2/112/10()()()( 22222 =−⋅+⋅=−= XEXEXV
25
Modelos de distribuciones de Probabilidad
∑=
⋅=k
i
pixiXE1
)(Y P(Y=y)
0 0,2
1 0,3
2 0,3
3 0,2
Ejemplos:
5,12,033,023,012,00)( =⋅+⋅+⋅+⋅=XE
2222222 5,1)2,033,023,012,00()()()( −⋅+⋅+⋅+⋅=−= XEXEXV
pXE =)(X P(X=x)
0 q
1 p
Modelos de probabilidad de variables aleatorias dis cretas
Se aplica este modelo a una situación derivada de un experimento aleatorio con sólo dos resultados posibles que llamamos éxito y fracaso. Sea p la probabilidad de éxito y q, la defracaso. Se define la variable aleatoria X =1 si tiene lugar un éxito y X=0, si es un fracaso.
qpXV ⋅=)(
Función de probabilidad
MODELO BERNOULLI
26
Modelos de distribuciones de Probabilidad
∑=
⋅=k
i
pixiXE1
)(
Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas
ppqXE =⋅+⋅= 10)(
pqppppppqXEXEXV =−=−=−⋅+⋅=−= )1()10()()()( 222222
MODELO BERNOULLI (continúa)
Ejemplo
La proporción de parados en una población es de 0,2. Se selecciona un individuo al azar de dicha población. Se define la variable aleatoria Y =1 si está en paro, e Y=0, si no lo está.Determina le media y varianza de Y.
E(Y)=0,2; V(Y)=0,16
27
Modelos de distribuciones de Probabilidad
n ..., 2, 1, 0,kcon )!(!
!)( =
−== −knk qp
knk
nkXP
npXE =)(
Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas
Se aplica este modelo a una situación derivada de repetir n veces una prueba o experimento aleatorio con sólo dos resultados posibles que llamamos éxito y fracaso. Sea p la probabilidad de éxito y q, la de fracaso.
La probabilidad de éxito permanece constante en las n repeticiones o realizacionesLas pruebas son independientes. El resultado de cualquiera de ellas no afecta a los resultadosde las otras.Se define la variable aleatoria X =número de éxitos entre las n repeticiones del ex perimento aleatorio.La variable X puede tomar los valores 0, 1, 2, …, n. La función de probabilidad viene dada por
qpnXV ⋅⋅=)(
Función de probabilidad
MODELO BINOMIAL
Indicaremos que una variable aletaoria sigue un modelo binomial de parámetros n y p
),( pnBX →
28
Modelos de distribuciones de Probabilidad
n ..., 2, 1, 0,kcon )2,01(2,0)!(!
!)( =−
−== −knk
knk
nkYP
8,02,04)( =⋅== npXE
Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas
64,08,02,04)( =⋅⋅=⋅⋅= qpnXV
Función de probabilidad
EJEMPLO MODELO BINOMIAL
La proporción de parados en una población es de 0,2. Se seleccionan 4 individuos al azar de dicha población. Se define la variable aleatoria Y=número de parados entre los 4 seleccionados
a) Determina la media y varianza de Y.b) P(ninguno esté en paro)c) P(al menos 2 parados)
)2,0,4(BY →
4096,08,08,02,0)!04(!0
!4)0( 440 ==
−==YP
[ ])1()0(1)2(1)2( =+=−=<−=≥ YPYPYPYP
a)
b)
c)
4096,08,02,0!3!1
!48,02,0
)!14(!1
!4)1( 3131 ==
−==YP
[ ] 1808,04096,04096,01)1()0(1)2( =−−==+=−=≥ YPYPYP
29
Modelos de distribuciones de Probabilidad
... n, ..., 2, 1, 0,con x!
)( ===−
x
exXP
xλλ
continuo espacio de unidadpor éxitos de medio ºn)( == λXE
Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas
Se aplica este modelo a una situación derivada de observar sobre un espacio continuo (tiempo, longitud, área, etc.) el número de veces que ocurre un suceso determinado (éxito). Por ejemplo, número de accidentes laborales ocurridos en un año en una empresa.
La probabilidad del suceso éxito permanece constante en todo el espacio continuo.Dadas dos partes disjuntas del espacio continuo, el número de éxitos ocurridos en una de ellas es independiente del número ocurrido en la otra.
Se define la variable aleatoria X =número de éxitos ocurridos por unidad de espacio continuo.
La variable X puede tomar los valores 0, 1, 2, …, n,…La función de probabilidad viene dada por
λ=)(XV
Función de probabilidad
MODELO POISSON
Indicaremos que una variable aletaoria sigue un modelo Poisson de parámetro lambda:
)(λPX →
Donde
30
Modelos de distribuciones de Probabilidad
... n, ..., 2, 1, 0,con x!
3,1)(
3,1
===−
x
exXP
x
2725,0!0
3,1e0)P(X 3,1
0-1,3
==== −e
Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas
El número de clientes nuevos diario que llega a una asesoría laboral sigue en modelo de Poisson. Se sabe que el número medio de clientes nuevos diario es de 1,3Determinaa) Probabilidad de que en un día dado no llegue ningunob) Probabilidad de que lleguen al menos 2.
[ ])1()0(1)1(1)2(1)2( =+=−=≤−=<−=≥ XPXPXPXPXP
Función de probabilidad
EJEMPLO MODELO POISSON
)3,1(PX →Donde e=2,718281828a)
b)
3543,03,1!1
3,1e1)P(X 3,1
1-1,3
==== −e
3543,02725,01)2( −−=≥XP
31
Modelos de distribuciones de Probabilidad
2
2
1
2
1)(
−−= σ
µ
σπ
x
exf
Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas
Este modelo es uno de los más utilizados en la estadística clásica. Presenta una función dedensidad simétrica, con forma de campara (campana de Gauss). En el centro de la
distribución coinciden la media, mediana y moda. Notaremos con las letras mu y sigma la media y desviación típica, respectivamente. Estos dos parámetros caracterizan a la distribución.
Función de densidad
MODELO NORMAL
),( σµNX →
µ
32
Modelos de distribuciones de Probabilidad
)()()()( ba zZzPb
Za
PbXa
PbXaP <<=−<<−=−<−<−=<<σ
µσ
µσ
µσ
µσ
µ
Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas
Existen tablas de la función de distribución de la variable normal estadarizada, Z, que permiten determinar las probabilidades en un modelo normal cualquiera X, sin más quetener en cuenta la siguiente propiedad:
La probabilidad de que la variable X tome valores en un intervalo cualquiera (a, b) es igual a la probabilidad de que la variable estandarizada tome valores en el intervalo estandarizado.
MODELO NORMAL (continúa)
),( σµNX →
µ
)1,0(NX
Z →−=σ
µ
X
Z
a
za 0
b
zb
Estandarización o tipificación
33
Modelos de distribuciones de Probabilidad
0228,09772,01)2(1)2()400
12002000
400
1200()2000( =−=<−=>=−>−=> ZPZP
XPXP
Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas
El consumo energético anual por hogar en una ciudad sigue un modelo normal de media 1200y desviación típica 400 €.
a) Probabilidad de que seleccionado al azar un hogar, tenga un consumo superior a 2000.b) ¿Qué proporción de hogares tiene consumo inferior a 800€?c) ¿A partir de qué valor está el 10% de los que más consumen?
EJEMPLO DE MODELO NORMAL
)400,1200(NX → )1,0(400
1200N
XZ →−=
X
Z0
2000
2
Estandarización o tipificación
a)
0,0228
0,0228
1200
34
Modelos de distribuciones de Probabilidad
1587,0)1()400
1200800()800( =−<=−<=< ZPZPXP
Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas
b) ¿Qué proporción de hogares tiene consumo inferior a 800€?
EJEMPLO DE MODELO NORMAL (continúa)
)400,1200(NX →
1200
)1,0(400
1200N
XZ →−=
X
Z0
800
-1
Estandarización o tipificación
b)
c) ¿A partir de qué valor está el 10% de los que más consumen?
0,1587
0,1587
35
Modelos de distribuciones de Probabilidad
28,190)90()400
120090()90(9,0 =⇒<=−<=<= ZZ
XX PPZP
PZPPXP
Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas
EJEMPLO DE MODELO NORMAL (continúa)
)400,1200(NX →
1200
)1,0(400
1200N
XZ →−=
X
Z0
P90
P90
c)
c) ¿A partir de qué valor está el 10% de los que más consumen?
0,1
0,1
0,9
0,912004009090
400
12009090 +⋅=⇒
−= ZXX
Z PPP
P
1712120040028,190 =+⋅=XP
36
Modelos de distribuciones de Probabilidad
Aproximación de Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas a continuas
Aproximación del modelo Binomial al modelo Normal. Corrección por continuidad
( )npqnpN
p
n
pnBX
== →
<<>→
σµ ,
9,01,0
30
),(
aproxima se
Si el parámetro n de una distribución binomial es grande y p no presenta valoresmuy extremos (fuera del intervalo de extremos 0,1 y 0,9) la distribución delmodelo de Binomial se puede aproximar a la de un modelo normal:
),( npqnpNX →
),( pnBX →
Aproximación
Esta estrategia de aproximación es útil para simplificar los cálculos en aquelloscasos que no se dispone de tablas de distribución binomial para valores altos de n
37
Modelos de distribuciones de Probabilidad
Aproximación de Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas a continuas
Aproximación del modelo Binomial al modelo Normal. Corrección por continuidad
Observa que para aproximar la variable discreta a la continua hemos de asignaral suceso constituido por un punto (X=k), todos aquellos valores que están máspróximos a k, es decir, el suceso formado por el intervalo (k-0,5; k+0,5)
)7,03,050,3,050( ⋅⋅⋅→ NX
),( pnBX →k k+1k-1
0,50,5
Ejemplo: En una variable X que sigue un modelo B(50,0,3) la P(X=7) se aproxima a
P(6,5 < X < 7,5)
en una normal
38
Modelos de distribuciones de Probabilidad
)5,7,75(NX →
Aproximación de Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas a continuas
Ejemplo: Aproximación del modelo Binomial al modelo Normal
Se ha seleccionado una muestra de 300 trabajadores de una población grande.La probabilidad de pertenecer a un sindicato A es 0,25.a)Determina la probabilidad de que en la muestra seleccionada, haya más 100 afiliados al sindicato.b)P(más de 70 y menos de 77)
0)4,3(1)5,7
755,100(1)5,100(1)100(1)100( =<−=−≤−=≤−≈≤−=> ZPZPXPXPXP
NormalBinomialBinomial
)25,0,300(BX → Aproximación
a)
b)
)2,06,0()5,7
755,76
5,7
755,70()5,765,70()7671()7770( <≤−=−≤≤−=≤≤≈≤≤=<< ZPZPXPXPXP
NormalBinomialBinomial
305,02743,05793,0)6,0()2,0()2,06,0( =−=−≤−≤=≤≤−= ZPZPZP