UNIVERZITET U NIŠU
FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU
TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA -
Dr Darko Mihajlov, doc.
- 9. PREDAVANJE -
OTPORNOST MATERIJALA
SADRŽAJ PREDAVANJA
Predmet izučavanja Otpornosti materijala – vrste čvrstih tela;
Sile koje dejstvuju na čvsto telo;
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
Određivanje unutrašnjih sila u čvrstom telu;
Naponi u poprečnom preseku čvrstog tela;
Zadatak Otpornosti materijala; Vrste zadataka;
Osnovne pretpostavke u Otpornosti materijala;
Deformacija čvrstog tela – pojam i vrste;
Mala deformacija čvrstog tela;
Osnovni oblici opterećenje čvrstog tela;
Otpornost materijala se
u opštem smislu bavi
naprezanjima,
deformacijama i
pomeranjima
koja su nastala zbog
različitih opterećenja.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Ako se ove veličine mogu odrediti za sve vrednosti opterećenja, od
početnog malog, pa sve do lomnog opterećenja, dobija se ukupna
slika mehaničkog ponašanja tela.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Puno razumevanje mehaničkog ponašanja je vrlo bitno za sigurno
dimenzionisanje svih konstrukcija, počev od:
kuća,
mostova,
mašina,
motora,
podmornica,
brodova,
antena, pa sve do
aviona.
Otpornost materijala je zbog toga osnovni
predmet u mnogim tehničkim disciplinama.
Otpornost materijala je posebna tehnička
disciplina i predstavlja deo Mehanike
čvrstog tela.
Izučava naponsko-deformaciona stanja,
odnosno naprezanja i deformacije
čvrstog (deformabilnog) tela pri različitim
dejstvima (opterećenjima), uvođenjem
izvesnih pretpostavki i pojednostavljenih
matematičkih izraza koji su pogodni za
inženjersku praksu.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Galileo Galilei (1564-1642),
utemeljitelj moderne
mehanike i fizike
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Predmet izučavanja Otpornosti materijala –
vrste čvrstih tela (1/2)
Štap Ploča
Masiv
Ljuska
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Predmet izučavanja Otpornosti materijala –
vrste čvrstih tela (2/2)
ŠTAP - telo čija je dužina znatno veća od dimenzija njegovog
poprečnog preseka.
Prema obliku:
Prav ili
Kriv;
Prema poprečnom preseku:
Pun (masivan);
Tankozidni sa otvorenim ili
zatvorenim profilom.
Stephen Timoshenko
(1878 -1972),
otac modernog
mašinskog inženjerstva i
Nauke o čvrstoći materijala
Osnovni zadatak Otpornosti materijala
predstavlja dimenzionisanje elemenata
konstrukcija, uzimajući pritom u obzir vrstu
materijala, kao i oblik i stepen spoljašnjeg
opterećenja samih elemenata.
Dimenzionisanje obuhvata:
Proračun čvrstoće elemenata konstrukcija;
Proračun krutosti elemenata konstrukcija i
Proračun stabilnosti elemenata konstrukcija.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
Zadatak Otpornosti materijala (1/3)
OTPORNOST MATERIJALA
Dimenzionisanje podrazumeva određivanje dimenzija sastavnih
elemenata konstrukcije po kriterijumu maksimalne uštede
materijala, pri čemu mora da se obezbedi bezbednost konstrukcije.
Dimenzionisanje se vrši tako što se na osnovu spoljašnjih dejstava
određuju najveće vrednosti sila u preseku, a zatim se na osnovu
njih nalaze izrazi za najveće napone u zavisnosti od relevantnih
dimenzija.
Dimenzije se određuju korišćenjem uslova da stvarni maksimalni
napon ne sme da pređe dozvoljenu vrednost napona u zavisnosti
od vrste materijala. Na ovaj način je moguće odrediti najviše jednu
dimenziju tela.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Zadatak Otpornosti materijala (2/3)
Proračun čvrstoće konstrukcije podrazumeva određivanje
dimenzija elemenata zavisno od odabranog materijala, koje
isključuju mogućnost loma, odnosno garantuju bezbednost
konstrukcije.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Proračun krutosti (deformabilnosti) konstrukcije podrazumeva
određivanje dimenzija elemenata zavisno od odabranog
materijala, koje obezbeđuju deformacije u dozvoljenim granicama,
kao i određivanje deformacija dimenzionisanih elementa pod
spoljašnjim opterećenjem.
Zadatak Otpornosti materijala (3/3)
Proračun stabilnosti konstrukcije podrazumeva proveru
sposobnosti konstrukcije da pod spoljašnjim opterećenjem
sačuva svoj prvobitni oblik i ne izgubi stabilnu ravnotežu.
Zadati su:
oblik,
opterećenje i
materijal konstrukcije od kojeg će biti izrađena.
Treba odrediti poprečne dimenzije (dimenzije poprečnog
preseka) tako da budu zadovoljeni uslovi čvrstoće, krutosti i
stabilnosti.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Tri vrste zadataka u Otpornosti materijala (1/5)
- 1. vrsta zadataka -
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Tri vrste zadataka u Otpornosti materijala (2/5)
Zadati su:
dimenzije i
opterećenje konstrukcije.
Treba naći raspored naprezanja i deformaciju i na osnovu toga
odabrati materijal koji ima potrebnu čvrstoću i ostala
mehanička i elastična svojstva.
- 2. vrsta zadataka -
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Tri vrste zadataka u Otpornosti materijala (3/5)
Za jednu već izvedenu konstrukciju su poznate
dimenzije i
svojstva materijala.
Treba odrediti dopušteno opterećenje na osnovu izvršene
analize naprezanja i deformacija.
- 3. vrsta zadataka -
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Tri vrste zadataka u Otpornosti materijala (4/5)
U svim zadacima se pojavljuju tri parametra:
dimenzije konstrukcije,
opterećenje i
mehanička svojstva materijala.
Dva parametra su uvek poznata ili se slobodno biraju, dok se
treći određuje metodama Otpornosti materijala.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Tri vrste zadataka u Otpornosti materijala (5/5)
Na prvi pogled izgleda da se naprezanja mogu dovoljno smanjiti
jednostavno povećanjem dimenzija delova konstrukcije tako da
budu zadovoljena sva tri uslova: čvrstoća, krutost i stabilnost.
Međutim, to nije uvek moguće, jer glavni deo opterećenja u
mnogim konstrukcijama predstavljaju sopstvena težina, sile
inercije i sl., a ove sile rastu s porastom dimenzija konstrukcije.
Osim toga, porastom sopstvene težine raznih vozila, brodova,
aviona i dr., smanjuje se njihova nosivost, a povećava utrošak
pogonske energije.
Prema tome, rešenje problema ne leži u povećanju dimenzija
konstrukcije, nego u iznalaženju povoljnih oblika i dimenzija koji
uz zadato opterećenje zadovoljavaju uslove čvrstoće, krutosti i
stabilnosti uz što manji utrošak materijala.
U Otpornosti materijala se izučava čvrsto telo koje je idealizovano,
tako da ima sledeća svojstva:
Materijal je elastičan – Elastičnost je svojstvo materijala da se
vraća u prvobitno stanje nakon uklanjanja, odnosno prestanka
dejstva spoljašnjih opterećenja. Telo (element sistema – mašine
ili građevinske konstrukcije) se ponaša elastično samo do jedne
određene granice koja se naziva granica elastičnosti.
Između naprezanja i deformacija postoji linearna zavisnost do
određene granice koja se naziva granica proporcionalnosti.
Telo se posmatra kao neprekidna sredina, odnosno kontinuum;
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
Osnovne/opšte pretpostavke u Otpornosti materijala (1/2)
OTPORNOST MATERIJALA
1.
2.
3.
Telo je homogeno i izotropno, što podrazumeva da ima ista
mehanička svojstva u svim tačkama i za sve pravce kroz te tačke;
Deformacije tela su male u odnosu na konačne dimenzije tela, što
omogućuje primenu principa superpozicije, po kome
redosled dejstava sila nije bitan, pa njihovi uticaji mogu da se
razmatraju pojedinačno, a zatim da se superponiraju. Jednačine
ravnoteže se postavljaju na nedeformisanom telu.
Pretpostavka ravnih poprečnih preseka – ravni poprečni preseci
koji su pri deformaciji nosača normalni na osu nosača, ostaju
ravni i normalni i u odnosu na deformisanu osu nosača
(Bernulijeva hipoteza).
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
6.
5.
Osnovne/opšte pretpostavke u Otpornosti materijala (2/2)
4.
Čvrsto telo pod dejstvom spoljašnjih sila donekle menja svoj oblik
i zapreminu, odnosno, deformiše se.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Promena oblika i dimenzije tela, izazvana dejstvom spoljašnjih
sila, predstavlja deformaciju.
Deformacije mogu biti elastične i plastične.
Deformacija – pojam i vrste (1/3)
Elastične deformacije su privremene i one nestaju po uklanjanju
spoljašnjih sila, tj. telo se vraća u prvobitni oblik i na prvobitne
dimenzije po prestanku dejstva spoljašnjih sila.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Plastične deformacije su trajne, tj. po prestanku dejstva sila telo
zadržava novi deformisani oblik i dimenzije.
Razaranje tela nastaje kada deformacije pređu granicu kidanja ili
gnječenja materijala, tj. kada međumolekularne sile popuste pod
dejstvom spoljašnjih sila tako da nastaju prsline, pukotine ili
lomovi.
Deformacija – pojam i vrste (2/3)
Tehničke konstrukcije moraju biti izvedene na način da ne dođe
do većih deformacija elemenata, pogotovo ne do loma.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Konstruktor mora pogodnim
materijalom, oblikom i
dimenzijama elemenata da
osigura dovoljnu čvrstoću
konstrukcije.
Deformacija – pojam i vrste (3/3)
Na telo dejstvuju spoljašnje i unutrašnje sile.
Spoljašnje sile mogu biti aktivne i reaktivne.
Prema rasporedu (mestu) dejstva, spoljašnje sile mogu biti
zapreminske, površinske, linijske i koncentrisane.
Prema karakteru dejstva, spoljašnje sile mogu biti
statičke, dinamičke i udarne.
U telu se pod dejstvom spoljašnjih sila javljaju dopunske
unutrašnje sile između atoma, a koje nestaju po prestanku dejstva
spoljašnjih sila u uslovima elastičnih deformacija.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
Sile koje dejstvuju na telo (1/2)
OTPORNOST MATERIJALA
Telo je u ravnoteži kada na njega
dejstvuju dve kolinearne sile
jednakih veličina i suprotnih
smerova.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Prema Zakonu akcije i reakcije:
Usled dejstva tereta, spoljašnjih
sila, pojaviće se sile koje se
odupiru dejstvu spoljašnjih sila -
unutrašnje sile.
y
y
0: 0.UY F G
Sile koje dejstvuju na telo (2/2)
Za analizu naprezanja, odnosno određivanje unutrašnjih sila koje
se javljaju kao posledica različitih spoljašnjih opterećenja tela,
najčešće se primjenjuje Metoda preseka.
Metodom preseka se na mestu preseka određuju rezultanta
unutrašnjih sila i rezultujući moment unutrašnjih sila pomoću :
Uslova ravnoteže,
Raspodele naprezanja po preseku
(pomoću pretpostavke o deformisanju);
Veze između naprezanja i deformacija.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Određivanje unutrašnjih sila u čvrstom telu (1/8)
Sen-Venanov princip (1/2)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Po Sen-Venanovom principu se dejstvo površinskih sila koje su
raspoređene po relativno maloj površini može zameniti statički
ekvivalentnim opterećenjem koje se redukuje na glavni vektor i
glavni moment za težište površine kao redukcionu tačku.
U okviru Metode preseka se za analizu naprezanja tela usled
dejstva spoljašnjih sila često koriste
Sen-Venanov princip i
Princip superpozicije uticaja.
Određivanje unutrašnjih sila u čvrstom telu (2/8)
Sen-Venanov princip (2/2)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Prema Sen-Venanovom principu, raspored spoljašnjih sila je bitan
samo u neposrednoj, veoma maloj okolini njihovog dejstva, te se
kao takav može zanemariti.
Sen-Venanov princip se može primeniti u slučaju kada je oblast
dejstva opterećenja mala u odnosu na dimenzije tela.
Princip superpozicije uticaja
Princip superpozicije uticaja (princip nezavisnosti dejstva sila)
dozvoljava da se pojedinačno dejstvo sila posmatra bilo kojim
redosledom i zatim izvrši sabiranje dobijenih rezultata.
Određivanje unutrašnjih sila u čvrstom telu (3/8)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Na čvrsto (deformabilno) telo dejstvuje
uravnotežen sistem spoljašnjih sila.
Telo je štap proizvoljnog preseka sa
zakrivljenom osom.
Telo se preseče nekom ravni i uticaj
uklonjenog dela I tela na deo II zameni
unutrašnjim silama koje se redukuju na
težište C površine preseka , pri čemu se
dobija redukciona rezultanta unutrašnjih sila
koja je jednaka glavnom vektoru
unutrašnjih sila i rezultujući redukcioni
spreg unutrašnjih sila čiji je moment
jednak glavnom momentu unutrašnjih sila. Redukcija unutrašnjih sila
na težište preseka
0....., 21 nFFF
-
Određivanje unutrašnjih sila u čvrstom telu (4/8)
-
iR
i
CMi
CM
Glavni vektor i glavni moment unutrašnjih
sila mogu da se razlože na komponente u
odnosu na Dekartov koordinatni sistem u
prostoru 0xyz:
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Komponente unutrašnjih sila u
preseku
Određivanje unutrašnjih sila u čvrstom telu (5/8)
i
y z y z
T
R N T N T T N i T j T k
x y z x y zM M M M M i M j M k
Moment
uvijanja
Komponente
momenta savijanja
Normalna
sila
Komponente
tranverzalne sile
x
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Komponente unutrašnjih sila koje dejstvuju
na odsečeni deo tela (II) moraju da budu u
ravnoteži sa spoljašnjim silama koje
dejstvuju na isti deo tela.
Prema tome, jednačine ravnoteže za
unutrašnje i spoljašnje sile koje dejstvuju na
posmatrani odsečeni deo tela (II), a
raspoređene su proizvoljno u prostoru,
mogu se napisati u sledećem obliku,
uzimajući u obzir sve sile (spoljašnje i
unutrašnje) za odsečeni deo tela:
Komponente unutrašnjih sila u
preseku
Određivanje unutrašnjih sila u čvrstom telu (6/8)
(1) Σ 0 ; (2) Σ 0 ; (3) Σ 0 ;
(4) Σ 0 ; (5) Σ 0 ; (6) Σ 0 .x y z
X Y Z
M M M
x
; ; ;
;
;
.
x y zy z yz
A A A
x zy yz
A
y x
A
z x
A
N dA T dA T dA
M z y dA
M z dA
M y dA
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Određivanje unutrašnjih sila u čvrstom telu (7/8)
1F
2F
3F
z
zM
N xxM
y
yT
yM
C
xx dA
yz yz dA zy
zy dA
dA
zy
zT
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Određivanje unutrašnjih sila u čvrstom telu (8/8)
Komponente
momenta savijanja
Komponente tranverzalne sile
Moment uvijanja
Normalna sila
I
Komponente unutrašnjih sila u preseku za I deo tela
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
U preseku , u okolini
tačke 0, uoči se elementarna
površina . Unutrašnje sile,
koje dejstvuju na elementa-
rnu površinu , redukuju se
na tačku 0 tako da je
redukciona rezultanta jedna-
ka rezultanti unutrašnjih sila
, jer je vrednost momenta
redukcionog sprega unutra-
šnjih sila jednaka nuli zbog
beskonačno male elementa-
rne površine :
Naponi u poprečnom preseku (1/9)
Srednji ukupan napon i ukupan napon
-
A
R
A
A0
lim 0A
M
A
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Količnik rezultante unutra-
šnjih sila koje dejstvuju na
elementarnu površinu i
elementarne površine pre-
dstavlja srednji (prosečni)
ukupan napon u tački 0
za ravan sa normalom .
Pravac i smer srednjeg
ukupnog napona se poklapa
sa smerom i pravcem
rezultante unutrašnjih sila.
Naponi u poprečnom preseku (2/9)
Srednji ukupan napon i ukupan napon
,n sr
n
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Srednji ukupan napon u tački 0 za deo tela (I) sa
normalom :
Naponi u poprečnom preseku (3/9)
Srednji ukupan napon
i ukupan napon
n
Srednji ukupan napon u tački 0 za deo tela (II) sa
normalom :
n
A
Rsrn
,
srnsrnA
R,,
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Granična vrednost srednjeg
ukupnog napona kada
elementarna površina teži
nuli zove se totalan (ukupan)
napon u tački 0 za ravan
sa normalom .
Ukupan napon je vektor čiji
se pravac ne poklapa ni sa
pravcem rezultante unutra-
šnjih sila, ni sa pravcem
normale na ravan preseka
.
Naponi u poprečnom preseku (4/9)
Srednji ukupan napon i ukupan napon
,n sr
n
n
A
n
-
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi u poprečnom preseku (5/9)
Srednji ukupan napon
i ukupan napon
Ukupan napon u tački 0 za deo tela (I) sa normalom :
n
,0 0
lim limn n srA A
R dR
A dA
Ukupan napon u tački 0 za deo tela (II) sa normalom :
n
-0
limn nA
R dR
A dA
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Ukupan napon u tački 0 preseka sa
normalom se može razložiti na komponentne
napone - jedan u pravcu normale na presek, koji
se zove normalni napon , i jedan tangencijalni
(smičući) napon u ravni preseka :
Naponi u poprečnom preseku (6/9)
Razlaganje ukupnog napona
na komponentne napone
n
n
n n n
n
-
n
-
Tangencijalni (smičući) napon može da se
razloži na dva tangencijalna (smičuća) napona
i u istoj ravni preseka : nm
nl
n n nm nl
n
pravac normale na ravan preseka
pravac napona u ravni preseka
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Za uvedene jedinične vektore , pri čemu je
, izraz za ukupan napon se
može napisati u obliku:
ili
Naponi u poprečnom preseku (7/9)
Razlaganje ukupnog napona
na komponentne napone
lmn
,,
1n m l
n n nm nln m l
, ,n n nm nl
Dakle, napon je vezan za određenu tačku i ravan kojoj pripada ta tačka.
Broj ravni preseka koje sadrže tu tačku (0) je neograničen, pa će prema tome
za tu tačku postojati beskonačan broj ukupnih napona.
Skup svih ukupnih napona u toj tački (0) se naziva stanje napona.
dx
dy
dz
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
To su tri vektora napona: , i ,
sa po tri komponentna napona, koji se
mogu napisati u obliku matrice tenzora
napona, i oni u potpunosti određuju
naponsko stanje u tački 0:
Naponi u poprečnom preseku (8/9)
Komponentni naponi u
Dekartovom koordinatnom sistemu
Međutim, ovaj problem može da se uprosti, jer te vrednosti podležu vezama,
tj. nisu potpuno nezavisne, tako da je dovoljno da se za usvojeni Dekartov
koordinatni sistem u prostoru, u okolini tačke 0 u odnosu na elementarnu
zapreminu dV, posmatraju ukupni naponi čije su normale zapravo ose
koordinatnog sistema.
x y z
;
;
;
x x xy xz x xy xz
y y yx yz yx y yz
z z zx zy zx zy z
i j k
i j k
i j k
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Naponi u poprečnom preseku (9/9)
Komponentni naponi u
Dekartovom koordinatnom sistemu
Dakle, stanje napona u tački 0 je
određeno sa devet komponentnih
napona, tri normalna i šest
tangencijalnih, koji se predstavljaju u
obliku kvadratne šeme koja se zove
matrica tenzora napona ili tenzor
napona:
x xy xz
yx y yz
zx zy z
dx
dy
dz
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Mala deformacija čvrstog tela (1/6)
Deformacije: dilatacija i klizanje
Pod malom deformacijom čvrstog tela se podrazumevaju male promene
oblika i zapremine tela pod dejstvom spoljašnjih sila.
Relativni položaji čestica tela se pri maloj deformaciji tela menjaju, a samim
tim i položaji posmatranih čestica tela.
Ako se uoče dve tačke čvrstog tela
na malom, beskonačno bliskom
rastojanju pre dejstva spo-
ljašnjih sila, po opterećenju se ovo
rastojanje menja, jer tačke A i B
prelaze u nove položaje A’ i B’ bli-
ske prethodnim: ,
pri čemu se rastojanje menja za
dužinu koja se zove apsolutna
(ukupna) promena dužine.
l
dl
AB dl
A B dl dl
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Mala deformacija čvrstog tela (2/6)
Deformacije: dilatacija i klizanje
Apsolutna (ukupna) promena dužine nastaje kao posledica pojave normalnog
napona u čvrstom telu.
Odnos apsolutne (ukupne) promene dužine i prethodne dužine predstavlja
srednju dilataciju (srednju relativnu promenu dužine u okolini tačke A i
pravcu AB):
Granična vrednost ove srednje
vrednosti kada teži nuli zove se
dilatacija (specifična promena
dužine u tački A za pravac AB):
dl
dlsr
dl
0
limdl
dl
dl
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Mala deformacija čvrstog tela (3/6)
Deformacije: dilatacija i klizanje
U opštem slučaju, dilatacija bi za neku drugu duž kroz tačku A imala neku
drugu vrednost, tj. dilatacija je veličina koja se odnosi na tačku i pravac kroz
tu tačku. Ona može da bude pozitivna i tada predstavlja relativno izduženje, ili
negativna, kada predstavlja relativno skraćenje.
Dilatacija je neimenovani broj.
Duž AB pod dejstvom spoljašnjeg
opterećenja ne menja samo dužinu,
već i pravac, tako da je za potpuno
poznavanje deformacije u okolini
posmatrane tačke potrebno da se
odredi promena ugla između
pravaca.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Mala deformacija čvrstog tela (4/6)
Deformacije: dilatacija i klizanje
Ako se posmatra prav ugao sa temenom u tački K čvrstog tela pre
deformacije, čiji kraci prolaze kroz tačke M i N, taj ugao se posle deformacije
promenio za ugao koji se zove ugao klizanja.
Granična vrednost promene pravog ugla, kada duži KM i KC teže nuli,
predstavlja klizanje u tački
K za ravan MKN.
Klizanje je mera promene oblika
tela kao posledica dejstva
tangencijalnog napona i zove se
deformacija smicanja.
Klizanje može da bude pozitivno
ako prav ugao postaje oštar i
obrnuto, negativno ako prav ugao
postaje tup.
21 MKN
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Mala deformacija čvrstog tela (5/6)
Deformacije: dilatacija i klizanje
Analogno određivanju stanja napona, može da se govori o određivanju stanja
deformacije. Kroz bilo koju tačku čvrstog tela može da se postavi bezbroj
duži i ravni, i da se za svaku od njih odrede dilatacija i klizanje. Skup tih
vrednosti određuje stanje deformacije u datoj tački.
Stanje deformacije u posmatranoj
tački je u potpunosti određeno sa
devet veličina i to tri dilatacije i šest
klizanja, koje takođe mogu da se
predstave u obliku kvadratne
matrice u odnosu na Dekartov
koordinatni sistem i za elementarnu
zapreminu u okolini posmatrane
tačke.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Mala deformacija čvrstog tela (6/6)
Deformacije: dilatacija i klizanje
Kvadratna matrica u odnosu na
Dekartov koordinatni sistem, za
elementarnu zapreminu u okolini
posmatrane tačke, zove se matrica
tenzora deformacije ili tenzor
deformacije:
x xy xz
yx y yz
zx zy z
Dejstvo spoljašnjih sila na neko telo zove se opterećenje.
Kada na čvrsto telo dejstvuju spoljašnje sile, kaže se da je ono
podvrgnuto određenom obliku opterećenja i usled toga
napregnuto, odnosno da je u određenom stanju naprezanja.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Osnovni oblici opterećenja tela (1/4)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Osnovni oblici opterećenja tela (2/4)
U Statici je dokazano da postoje tri statička elementa:
sila, moment sile i spreg sila, koji izazivaju različita kretanja:
sila - translatorno, spreg - obrtno, dok moment sile ima dvojako
dejstvo - kao sila i spreg, tj. može izazvati translaciju i rotaciju.
Pod dejstvom spoljašnjih sila na čvrsto telo navedenim statičkim
elementima, nastaje naponsko-deformaciono stanje u čvrstom
telu proizvoljnog oblika, čija je analiza veoma složen zadatak koji
izučava Teorija elastičnosti.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Osnovni oblici opterećenja tela (3/4)
Međutim, većina sastavnih elemenata konstrukcije ima oblik tzv.
prizmatičnih nosača (štapova), pa se problem određivanja
naponsko-deformacionog stanja pojednostavljuje tako što se
uvode prethodno pobrojane hipoteze i principi prema kojima
osnovne vrste naprezanja mogu da se analiziraju posebno, a
zatim da se izvrši superpozicija uticaja.
Ravan prizmatični nosač
konstantnog poprečnog
preseka
Ravan prizmatični nosač
promenljivog poprečnog
preseka
Zakrivljen prizmatični nosač
konstantnog poprečnog
preseka
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Osnovni oblici opterećenja tela (4/4)
U zavisnosti od načina dejstva spoljašnjeg opterećenja na telo,
razlikuje se pet osnovnih oblika opterećenja:
Aksijano opterećenje - zatezanje ili sabijanje (pritisak),
Smicanje,
Uvijanje,
Savijanje i
Izvijanje.
1. Šta je zadatak Otpornosti materijala?
2. Koje su vrste zadataka u Otpornosti materijala?
3. Koje su osnovne pretpostavke u Otpornosti materijala?
4. Šta se podrazumeva pod deformacijom čvtstog tela i koje su
vrste deformacija?
5. Definisati sile koje dejstvuju na čvrsto telo;
6. Objasniti način određivanja unutrašnjih sila u čvrstom telu;
7. Definisati napone u poprečnom preseku čvrstog tela;
8. Objasniti male deformacije čvrstog tela pod dejstvom
spoljašnjih sila;
9. Koji su osnovni oblici opterećenja čvrstog tela?
Kontrolna pitanja 9
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
Top Related