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O
y
x
u
v
d dl
.dl R d
Q
Corrigé Exercice 1 : DEMI-CIRCONFÉRENCE.
Question 1 : Déterminer en O le torseur des actions mécaniques exercées par la pesanteur sur la demi-circonférence.
1 . . . . . . . . pesR m g L g y R g y (car solide homogène ( )Q cste )
, 1 1( )O pes pesl
M OQ dF Q
, 1 . ( . . )O pesl
M R u g dl
, 1 . ( . . . )O pesl
M R u g y dl
, 1 . . . .O pesl
M R g u y dl
, 1 . . . sin( ). .2
O pes
l
M R g z dl
, 1 . . . . cos .O pesl
M R g z dl
, 1 . . . . cos . .O pesM R g z R d
2 2, 12
. . . . sinO pesM R g z
2, 1 2. . . .O pesM R g z
1 2. . . .
2. . . . pes
O
R g y
R g z
T
Question 2 : Déterminer la position du centre de gravité G.
. .
l
L OG OQ dl
. . . . .R OG R u R d
. . .OG R u d
. . (cos . sin . ).OG R x y d
2 2
2 2
. . sin . cos .OG R x y
. .2.OG R x
2..
R OG x
Toujo ur s vérif ier qu e l e résu ltat ob ten uest homogène à un e lo ng ueu r.
To uj ou rs vérif ier qu e le résu ltat ob tenu est ho mo gènepour la 1
ère exp res s ion à une résu lta nt e (N),
pou r la 2 ème
exp ress ion à un momen t (N.m).
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O
y
x
u
v
d ds
. .ds dr r d
Q
Corrigé Exercice 2 : DEMI-DISQUE.
Question 1 : Déterminer en O le torseur des actions mécaniques exercées par la pesanteur sur le demi-disque.
2
1.
. . . . . . .2
pesR
R m g S g y g y (car solide homogène ( )Q cste )
, 1 1( )O pes pess
M OQ dF Q
, 1 . ( . . )O pess
M r u g ds
, 1 . ( . . . )O pess
M r u g y ds
, 1 . . .sin( ). .
2
O pes
s
M g r z ds
, 1 . . . .cos .O pess
M g z r ds
, 1
,
. . . .cos . . .O pesr
M g z r dr r d
2, 1 . . . . . cos .O pes
r
M g z r dr d
car les 2 variables r et sont indépendantes
3
2, 1
0 2
. . . . sin3
R
O pesr
M g z
3
, 1 . . . .23
O pesR
M g z
2
1 3
.. . .
2
2.. . .
3
pes
O
R g y
R g z
T
Question 2 : Déterminer la position du centre de gravité G.
. .s
S OG OQ ds 2
,
.. . . . .
2r
R OG r u dr r d
22. . . . (cos . sin . ).
2r
R OG r dr x y d
car les 2 variables r et sont indépendantes
2 3
2 2
0 2 2
.. . sin . cos .
2 3
R R r
OG x y
2 3.
. .2.2 3
R R
OG x
4..
3.
R OG x
Toujo ur s vérif ier qu e le résu ltat ob ten u est ho mogènepou r la 1
ère exp res si on à une résu lt an te (N ),
pour la 2 ème
expr ess ion à un momen t (N.m).
To ujo ur s vérif ier qu e l e résu ltat ob tenuest homo gène à un e lo ng ueu r.
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Q
Or
d
d
Z
Y
X
u
Corrigé Exercice 3 : DEMI-SPHÈRE.
Question 1 : Déterminer en O le torseur des actions mécaniques exercées par la pesanteur sur la demi-sphère.
3
1 4. .. . . . . . .2.3
pes R R m g V g y g y (car solide homogène ( )Q cste )
, 1 1( )O pes pesv
M OQ dF Q
, 1 . ( . . )O pesv
M r u g dv
, 1 . ( . . . )O pesv
M r u g y dv
2, 1, ,
. . . cos . sin .(cos . sin . ) . .sin . . .O pes
r
M g r z x y y r d d dr
3, 1
, ,
. . ( cos . sin . cos . ). . sin . . .O pesr
M g x z r d d dr
3 2, 1
,
. . . . ( cos .sin . sin .cos . ). .O pesr
M g r dr x z d d
4
, 1
,0
sin2 1 cos 2. . . ( . .cos . ). .
4 2 2
R
O pesr
M g x z d d
4
, 1
0 0
cos2 sin2. . . . .cos . .
4 4 2 4O pes
R M g x z d
4
, 1 . . . .cos . .4 2
O pesR
M g z d
4
2, 1
2
.. . . sin .
8O pes
R M g z
4
, 1.
. . .4
O pesR
M g z
3
1 4
2. .. . .3
.. . .
4
pes
O
R g y
R g z
T
2 1 cos2cos2
aa
2 1 cos2sin2
aa
sin2cos .sin
2
aa a
Attention aux bornes d'intégration :r varie entre 0 et R varie entre 0 et
varie entre2
et
2
Toujo ur s vérif ier qu e le résu ltat ob ten u est ho mogènepou r la 1
ère expr essi on à une résu lt an te (N ),
pour la 2 ème
expr ess ion à un momen t (N.m).
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Question 2 : Déterminer la position du centre de gravité G.
. .
v
V OG OQ dv
32
, ,
2. .. . . .sin . . .
3 r
R OG r u r d d dr
3
3
,
2. .. . . cos . sin .(cos . sin . ) .sin . .
3r
R OG r dr z x y d d
3 4
2
,0
2. .. . cos .sin . sin .(cos . sin . ) . .
3 4
R R r
OG z x y d d
3 4
,
2. . sin2 1 cos2. . . .(cos . sin . ) . .
3 4 2 2
R R OG z x y d d
0 0
3. cos2 sin2
. . .(cos . sin . ) .8. 4 2 4
R
OG z x y d
3.. .(cos . sin . ) .
8. 2
R OG x y d
2
2
3.. sin . cos .
16
R OG x y
3..2.
16
R OG x
donc3.
.
8
R OG x Toujo ur s vérif ier qu e l e résu ltat ob ten u
est homo gène à un e long ueur .
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Corrigé Exercice 4 : BARRAGE POIDS.
Question 1 : Donner la surface S d ’ une section du barrage. Retrouver ce résultat en intégrant un petitélément de surface :
s
S ds .
Surface du triangle2
a hS
On peut retrouver ce résultat par :
,
0 0
.
.
s
x z
x z
a h
S ds
S dx dz
S dx dz
S x z S a h ce qui est complètement faux
Attention, ici x et z ne sont pas indépendants. Voyons 2 méthodes pour calculer cette intégrale.
Pour un x fixé z varie de 0 à .h
x ha
Pour un z fixé x varie de 0 à .
aa z
h
équation de la droite enveloppe
.h
z x ha
ou .( ) .
a a x z h a z
h h
h
z
a
x Obarrage
Q
eau
dx
dz
Donc :
,
.
x z
S dx dz
.
0 0
.
h x h
a aS dz dx
.
00
.
ha x haS z dx
0
. .a
hS x h dx
a
2
02
ah x
S h x a
2
2 2
h a h aS h a S
a
,
.
x z
S dx dz
.
0 0
.
aa z
h hS dx dz
.
00
.
ah a z hS x dz
0
. .h
aS a z dz
h
2
0
.2
ha z
S a z h
2
.2 2
a h a hS a h S
h
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Comme O milieu du barrage, par symétrie, il
n’existera pas de moment suivant x (donccela ne sert à rien de calculer le moment
suivant x qui sera nul).
Question 2 : Déterminer en O le torseur des actions mécaniques exercées par la pesanteur sur le barrage.
.. . . . . . .
2 pes barrage
a hR m g m g z l g z
, ( )O pes barrage pes barrage
v
M OQ dF Q
, ( . . . ) ( . . . )O pes barragev
M x x y y z z g z dv
, . . ( . . . ).O pes barragev
M g x y y x dv
, . . . .O pes barragev
M g y x dv
,
, ,
. . . . . .O pes barrage x y z
M g y x dx dy dz
,
,
. . . . . .O pes barrage
y x z
M g y dy x dx dz
car y indépendant des 2 autres variables.
2,,2
. . . . . .
l
O pes barrage l x z
M g y y x dx dz
,
,
. . . . . .O pes barrage x z
M g l y x dx dz
Attention, ici x et z ne sont pas indépendants. Voyons 2 méthodes pour calculer cette intégrale.
Pour un x fixé z varie de 0 à .h
x ha
Pour un z fixé x varie de 0 à .
aa z
h
équation de la droite enveloppe
.h
z x ha
ou .( ) .a a x z h a z h h
h
z
a
x Obarrage
Q
eau
dx
dz
Donc :
,
,
. . . . . .O pes barrage x z
M g l y x dx dz
.
,
0 0
. . . . . .
h x h
a a
O pes barrageM g l y x dz dx
.
, 00
. . . . . .
ha x ha
O pes barrageM g l y x z dx
,
0
. . . . .( . ).
a
O pes barrage hM g l y x x h dx a
,
,
. . . . . .O pes barrage x z
M g l y x dx dz
.
,
0 0
. . . . . .
aa z
h h
O pes barrageM g l y x dx dz
.2
,
0 0
. . . . .2
aa z h h
O pes barrage x
M g l y dz
2,
0
1. . . . .( . ) .
2
h
O pes barrage
aM g l y a z dz
h
h
z
a
x Obarrage
Q
eau
dx
dz
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3 2
,
0
. . . . . .3 2
a
O pes barrageh x x
M g l y ha
3 2
, . . . .( . . )3 2
O pes barrageh a a
M g l y ha
2
, . . . . .6O pes barragea
M g l h y
3,
0
1. . . . . ( . )
2 3.
h
O pes barrageh a
M g l y a z a h
3 3, . . . . ( . ) ( )
6.O pes barrage
h aM g l y a h a
a h
2
, . . . . .
6
O pes barragea
M g l h y
Donc 2.
. . . .2
. . . . .6
pes barrage
O
a hg l z
ag l h y
T
Question 3 : Déterminer la position du centre de gravité G.
. .
v
V OG OQ dv
, ,
.. . ( . . . ). . .
2 x y z
a hl OG x x y y z z dx dy dz
2 2
,2
.. . . . . . . .
2 2
l
l x z
y a hl OG x y x y z y z dx dz
,.
. . . . . . . .2 x z
a hl OG x l x z l z dx dz
.2
0
.. . . .
2 2
h x h
a
x
a h z OG x z x z dx
2( . ).
. .( . ). . .2 2
x
h x h
a h h aOG x x h x z dx a
33 2
0
( . ).
. ( . . ). . .2 3 2 3. 2
ah
x ha h h x x a
aOG h x z a h
33 2 ( ).. ( . . ). . .
2 3 2 3. 2
ha h h a a aOG h x z
a h
. .3 3
a hOG x z
Toujo ur s vérif ier qu e le résu ltat ob ten u est ho mogènepou r la 1
ère expr essi on à une résu lt an te (N ),
pour la 2 ème
expr ess ion à un momen t (N.m).
To ujo ur s vérif ier q ue l erésu ltat ob tenu est
ho mo gène à un e lo ng ueu r.
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