Professor Luiz Antonio Farani de Souza
1 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
Técnicas de continuação
Conteúdo 1. Introdução ................................................................................................................................. 2
2. Técnicas de continuação ........................................................................................................... 3
2.1 Técnica do controle de carga constante ............................................................................. 3
2.2 Técnica do controle de deslocamento constante ............................................................... 3
2.3 Técnica do controle trabalho externo constante ................................................................ 4
2.4 Técnica do controle Norma Mínima dos Deslocamentos Residuais ................................... 5
2.5 Técnica do controle Deslocamento Generalizado (GDCM) ................................................. 6
3. Problema numérico ................................................................................................................... 7
Solução do problema ................................................................................................................ 7
4. Programa computacional ........................................................................................................ 10
4.1 Programa principal ............................................................................................................ 10
4.2 Sub-rotinas (funções) ........................................................................................................ 12
Função tecnicas_cont .......................................................................................................... 12
5. Exercícios propostos ................................................................................................................ 12
5.1 Exercício proposto 1 .......................................................................................................... 12
5.2 Exercício proposto 2 .......................................................................................................... 12
Referências .................................................................................................................................. 13
Professor Luiz Antonio Farani de Souza
2 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
1. Introdução
Uma forma de representação gráfica da resposta não linear de uma estrutura consiste no
traçado de um diagrama carga-deslocamento, no qual a abscissa corresponde a uma componente
de deslocamento (ou rotação) de um nó selecionado, e a ordenada representa o parâmetro de
carga (LACERDA, 2014).
Uma curva suave apresentada num diagrama carga-deslocamento é chamada de
trajetória de equilíbrio. Cada ponto numa trajetória de equilíbrio representa uma configuração
de equilíbrio estático (LACERDA, 2014).
A solução de problemas não lineares é usualmente obtida por meio da utilização de
combinação de esquemas incrementais e iterativos. Técnicas de solução apropriadas devem ser
capazes de superar os problemas numéricos associados com o comportamento não linear
(RODRIGUES, 2000).
No contexto da implementação computacional, devem ter a capacidade de detectar
pontos críticos, tais como pontos limites e pontos de bifurcação, e seguir a trajetória de
equilíbrio além dos pontos críticos. Problemas com salto dinâmico sob controle de carga (snap-
through), mostrado na Figura 1a, e salto sob controle de deslocamento (snap-back), na Figura
1b, devem ser tratados por estas técnicas (RODRIGUES, 2000).
Figura 1: a) Salto dinâmico sob controle de carga; e b) Salto dinâmico sob controle de
deslocamento. Fonte: adaptada de Rodrigues (2000).
Muitos dos métodos de resolução (solvers) de sistemas não lineares são variações do
método de Newton-Raphson. Os mais empregados são o método de Newton-Raphson Padrão
(NRP) e o método de Newton-Raphson Modificado (NRM). A diferença básica entre eles é que,
no NRP, a matriz de rigidez tangente é atualizada a cada iteração, ao passo que no NRM, a
matriz de rigidez tangente é mantida constante durante um incremento ou um conjunto de
incrementos (RODRIGUES, 2000).
O método de Newton-Raphson só fornece a solução de um simples ponto no caminho
de equilíbrio. Para obter outros pontos, combina-se as iterações de Newton-Raphson com um
procedimento incremental.
O procedimento incremental-iterativo é importante para materiais que exibem
dependência do caminho seguido pela estrutura durante sua deformação. Diferentes tensões
podem ser obtidas dependendo da forma com que são aplicadas as cargas. Aplicar incrementos
de cargas pequenos permite seguir mais de perto o caminho de deformação e obter a solução
correta do problema (BORST et al., 2012).
Diversos procedimentos de solução têm sido propostos para se traçar as trajetórias de
equilíbrio até e além dos pontos críticos. Muitos são baseados em variantes do método de
Newton-Raphson e incorporam diferentes técnicas de continuação, tais como: técnicas de
controle de deslocamento; de controle de energia; técnicas do tipo comprimento do arco
constante (Arc-Length); e a técnica do controle de deslocamento generalizado (GDCM).
Professor Luiz Antonio Farani de Souza
3 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
2. Técnicas de continuação
2.1 Técnica do controle de carga constante
A técnica do controle de carga consiste em manter o parâmetro de carga λ constante ao
longo de um ciclo iterativo de um incremento de carga, ou seja, Δλ(k+1)
= 0. Nesse caso, o
incremento de carga não proporciona o retorno à trajetória de equilíbrio, sendo, portanto, tal
estratégia útil apenas para a análise até o primeiro ponto limite de força para curvas
apresentadas nas Figura 1a e 1b (RODRIGUES, 2000).
Os passos principais envolvidos para a solução com a técnica do controle de carga
constante é (ROCHA, 2000):
__________________________________________________________________________
Incremento de carga NP = 1,2, ..., nmáx
Solução predita
λ λ
λ
Ciclo iterativo k = 1,2, ..., kmáx
λ
λ
Verificar o critério de convergência: __________________________________________________________________________
2.2 Técnica do controle de deslocamento constante
A técnica do controle de deslocamento foi desenvolvida por Batoz e Dhatt (1979). Esta
técnica consiste em controlar não o incremento do parâmetro de carga, λ, mas uma determinada
componente “j” do vetor de deslocamento (uj(k+1)
), que é escolhida como a variável
independente.
Uma equação de restrição deve ser introduzida para compensar a incógnita adicional λ.
Para a técnica do controle de deslocamento esta equação, escreve-se (RODRIGUES, 2000):
(1)
que pode ser escrita da forma:
(2)
Assim subincremento de carga λ
fica:
λ
(3)
A técnica de controle de deslocamento é muito útil quando se deseja passar por pontos
limites de trajetórias que apresentam saltos dinâmicos sob controle de carga (snap-through),
Professor Luiz Antonio Farani de Souza
4 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
porém não funciona com pontos limites de deslocamento em trajetórias que apresentam saltos
sob controle de deslocamento (snap-back).
Por outro lado, Powell e Simons (1981) estabeleceram uma estratégia incremental-
iterativa. O subincremento de carga λ
é dado por:
λ
(4)
Os passos principais envolvidos para a solução com a técnica do controle de
deslocamento constante é (ROCHA, 2000):
__________________________________________________________________________
Incremento de carga NP = 1,2, ..., nmáx
Solução predita
λ
λ
Ciclo iterativo k = 1,2, ..., kmáx
λ
λ
Verificar o critério de convergência: __________________________________________________________________________
2.3 Técnica do controle trabalho externo constante
Caso particular de um procedimento geral proposto por Powell e Simons (1981), tem-se
a condição de que o incremento de trabalho externo deve manter-se constante ao longo do
processo iterativo. Para o acréscimo de carga Fr a variação do trabalho externo é dada por
(ROCHA, 2000):
λ
(5)
Como W = 0, chega-se à correção procurada do parâmetro de carga:
λ
(6)
Os passos principais envolvidos para a solução com a técnica do controle de
deslocamento constante é (ROCHA, 2000):
Professor Luiz Antonio Farani de Souza
5 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
__________________________________________________________________________
Incremento de carga NP = 1,2, ..., nmáx
Solução predita
λ
λ
Ciclo iterativo k = 1,2, ..., kmáx
λ
λ
Verificar o critério de convergência: __________________________________________________________________________
2.4 Técnica do controle Norma Mínima dos Deslocamentos Residuais
Chan (1988) apresentou uma estratégia de iteração bastante eficiente, definida como o
método dos deslocamentos residuais. Nessa estratégia, ao invés de se usarem restrições
geométricas, procura-se eliminar diretamente os deslocamentos residuais (deslocamentos
iterativos) devido às forças desequilibradas. O procedimento desenvolvido fornece a norma
mínima dos deslocamentos residuais a cada iteração.
O subincremento de carga λ
é dado por:
λ
(7)
Os passos principais envolvidos para a solução com a técnica do controle Norma
Mínima dos Deslocamentos Residuais é (ROCHA, 2000):
__________________________________________________________________________
Incremento de carga NP = 1,2, ..., nmáx
Solução predita
λ
λ
λ
Professor Luiz Antonio Farani de Souza
6 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
Ciclo iterativo k = 1,2, ..., kmáx
λ
λ
Verificar o critério de convergência: __________________________________________________________________________
2.5 Técnica do controle Deslocamento Generalizado (GDCM)
A técnica do controle de deslocamento generalizado (generalized displacement control
method) foi apresentada por Yang e Shieh (1990) e é uma técnica alternativa à do comprimento
do arco constante, uma vez que a solução não passa pela solução de uma equação do segundo
grau, contornando os problemas de escolha da raiz apropriada e da presença de raízes
complexas que podem ocorrer na técnica do controle do arco constante (RODRIGUES, 2000).
A técnica consiste na utilização de um parâmetro geral de rigidez (GSP), definido a
seguir:
(8)
O parâmetro do incremento de carga inicial é calculado por:
λ λ (9)
Ainda, a mudança de sinal do parâmetro GSP serve como um bom indicador para a
mudança do sentido de crescimento da carga, pois o mesmo é negativo somente nos
incrementos da carga imediatamente após a passagem por pontos limites.
Assim, verifica-se o sinal de GSP. Se GSP < 0, multiplicar λ
por -1 para mudar o
sentido de crescimento do parâmetro de carga.
O subincremento de carga λ
é dado por:
λ
(10)
Os passos principais envolvidos para a solução com a técnica do controle de
deslocamento generalizado é (ROCHA, 2000):
__________________________________________________________________________
Incremento de carga NP = 1,2, ..., nmáx
Solução predita
λ λ
λ λ
λ
Professor Luiz Antonio Farani de Souza
7 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
Ciclo iterativo k = 1,2, ..., kmáx
λ
λ
Verificar o critério de convergência: __________________________________________________________________________
3. Problema numérico
Considere a estrutura correspondente a uma cobertura articulada plana, abatida e não
simétrica, conforme ilustrada na Figura 2. Essa estrutura foi estudada por Powell e Simons
(1981) e Menin (2006), apresentando 18 nós e 33 elementos de barra, com rigidez axial
adimensional EA = 9,0 106 e está submetida ao efeito de três forças P de igual magnitude. A
trajetória de equilíbrio não linear para o deslocamento vertical do nó cinco versus força P é
obtida. Nas simulações foram considerados 0 l = 1,0, kmáx = 150, Nd = 5, tol = 1,0 10
-7 e P =
100.
Figura 2: Modelo estrutural da treliça abatida não simétrica
Fonte: Adaptada de Menin (2006)
Solução do problema Foi considerada formulação Corrotacional do Método dos Elementos Finitos para a
discretização do problema e a deformação de Green-Lagrange.
Os sistema de equações não lineares que descreve o problema estrutural foi solucionado
com o método de Newton-Raphson padrão. Foi considerada a mesma solução predita para todas
as técnicas de continuação baseada no método de comprimentos de arco linear:
λ
λ
Professor Luiz Antonio Farani de Souza
8 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
Dados de entrada do método de solução
Definição da técnica de continuação
Barra de progresso
Trajetória de equilíbrio (deslocamento vertical versus força) obtida com a técnica Norma
Mínima dos Deslocamentos Residuais
Professor Luiz Antonio Farani de Souza
9 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
Resultados numéricos (ktotal, NP, kmédio e t)
Técnica de continuação NP ktotal kmédio t (s) Comprimento de Arco Linear Fixo 45 133 2,66 3,5650577 Comprimento de Arco Linear Atualizado 44 129 2,58 3,3386126 Norma mínima dos Deslocamentos Residuais 45 132 2,64 3,5912192 Trabalho Externo Constante Não convergiu para a trajetória de equilíbrio Deslocamento Generalizado 45 133 2,66 3,4365265 Deslocamento Constante Não convergiu para a trajetória de equilíbrio
Trajetória de equilíbrio (deslocamento vertical versus força) obtida com a técnica Trabalho
Externo Constante
Trajetória de equilíbrio (deslocamento vertical versus força) obtida com a técnica Deslocamento
Constante
Professor Luiz Antonio Farani de Souza
10 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
4. Programa computacional
4.1 Programa principal //Programa principal - treliça 2D
//Formulação Posicional do Método dos Elementos Finitos //Análise não linear geométrica
//Deformação de Green-Lagrange
//Método de solução: Newton-Raphson padrão //Técnica de continuação: comprimento de arco linear
clear clc
exec('DKG.sci',-1);
exec('DFG.sci',-1); exec('dkelem.sci',0);
exec('ensamkg.sci',-1);
exec('contkg.sci',-1); exec('dfelem.sci',-1);
exec('ensamfg.sci',-1);
exec('contfg.sci',-1); exec('apontador.sci',-1);
exec('result.sci',-1);
exec('krenk.sci',-1); exec('dofs.sci',-1);
exec('tecnicas_cont.sci',-1);
//_____________________________________
//entrada de dados (pré-processamento)
//tol - tolerância //deltal - comprimento de arco inicial
//Nd - número desejável de iterações
//kmax - número máximo de iterações por passo //nmax - número máximo de passos de carga
//P - incremento de carga
txt = ['tolerância:';'número máximo de iterações:';'número de passos de carga:';'comprimento de arco inicial:';'número de iterações
desejadas por passo de carga:';'incremento de carga:'];
sig = x_mdialog('Parâmetros método de solução',txt,['10^-7';'150';'50';'1';'5';'-100']) tol = evstr(sig(1));
kmax = evstr(sig(2));
nmax = evstr(sig(3)); deltal = evstr(sig(4));
Nd=evstr(sig(5)); P=evstr(sig(6));
l1 = list('Escolha:',1,['Arco Linear Fixo','Arco Linear Atualizado','Deslocamentos Residuais','Trabalho Externo','Deslocamento Generalizado','Deslocamento Constante']);
rep = x_choices('Técnicas de continuação',list(l1));
[Fr,E0,A,coord, dofno,itipo,inci,NTNOS,NTEL,NTGL,NOCC,NNOSCC]=krenk(P)
d=dofs(coord);
d0=d;
//_____________________________________
//processamento //inicialização
lambda=0;
E=E0; deltal0=deltal;
u=zeros(NTGL,1);
du=zeros(NTGL,1); dg=zeros(NTGL,1);
DU=zeros(NTGL,1);
FG=zeros(NTGL,1); //vetor de força interna vu(1,1)=0;
vf(1,1)=0;
ktotal=0; ierro=0;
Professor Luiz Antonio Farani de Souza
11 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
aux2=norm(Fr);
tic //inicia um cronômetro
winH=waitbar('Processamento ...'); //inicia barra de progresso realtimeinit(0);
//for np=1:nmax //passos de carga
np=0; while abs(u(10,1))<16
np=np+1;
[KG]=DKG(d,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,d0,E0,A,itipo); //matriz de rigidez dr=KG\Fr;
if np==1
drt=dr; end
Dlambda=deltal/norm(dr); if DU'*dr<0 then
Dlambda=-Dlambda;
end D0=Dlambda*dr;
DU=D0;
[FG,vdef]=DFG(d+DU,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,d0,E0,A,itipo); //vetor de força interna g=(lambda+Dlambda)*Fr-FG; //vetor de forças desiquilibradas
k=0;
realtime(np); while k<kmax //ciclo iterativo
k=k+1; //contador
[KG]=DKG(d+DU,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,d0,E0,A,itipo); //matriz de rigidez dgi1=dg;
dg=KG\g;
dr=KG\Fr; [dlambda]=tecnicas_cont(D0,dg,dr,DU,Fr,drt,rep); //subincremento do parâmetro carga
du=dg+dlambda*dr; //vetor subincremento de coordenadas nodais
DU=DU+du; //vetor incremento de coordenadas nodais Dlambda=Dlambda+dlambda; //incremento do parâmetro carga
[FG,vdef]=DFG(d+DU,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,d0,E0,A,itipo); //vetor de força interna
g=(lambda+Dlambda)*Fr-FG; //vetor de forças desiquilibradas if norm(g)<=aux2*tol //critério de convergência
break
end end
if k==kmax
messagebox('não convergiu!') ierro=1;
break
end drt=dr;
d=d+DU; //vetor de coordenadas nodais
lambda=lambda+Dlambda; //parâmetro de carga total deltal = deltal0*(Nd/k)^0.5;
u=d-d0; //vetor de deslocamentos nodais
vu(1+np,1)=-u(10,1); vf(1+np,1)=-lambda*Fr(14*2,1);
ktotal=ktotal+k; //contador iterações acumuladas
waitbar(np,winH); //barra de progresso end
close(winH); //fecha a barra de progresso
kmedio=ktotal/nmax; //número médio de iterações por passo t=toc() //lê o cronômetro
//_____________________________________ //saída de dados (pós-processamento)
if ierro==0
//trajetória de equilíbrio [v1,vf1]=result(); //resultados Menin(2006)
plot(vu,vf,'b-','marker','s','markerFaceColor','b','markerEdgeColor','k','markersize',4); set(gca(),"auto_clear","off")
gca().grid=[1 1 1]; //linhas de grade
plot(v1,vf1,'blackx','markersize',11); xlabel('Deslocamento vertical','fontsize',4); //eixo y
ylabel('Carga P','fontsize',4); //eixo x
legend('programa 2D','Menin (2006): Green-Lagrange',4); //legenda end
//resultados numéricos
disp('Número total de iterações (ktotal):') disp(ktotal)
disp('Número de passos de força (NP):')
Professor Luiz Antonio Farani de Souza
12 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
disp(np) disp('Número médio de iterações (kmédio):')
disp(kmedio)
disp('Tempo de processamento em segundos (t):') disp(t)
4.2 Sub-rotinas (funções)
Função tecnicas_cont function [dlambda]=tecnicas_cont(D0, dg, dr, DU, Fr, drt, rep)
//Calcula o subincremento do parâmetro carga de acordo com a técnica de continuação adotada if rep==1 //Comprimento de Arco Linear Fixo
dlambda=-(D0'*dg)/(D0'*dr);
elseif rep==2 //Comprimento de Arco Linear Atualizado dlambda=-(DU'*dg)/(DU'*dr);
elseif rep==3 //Norma mínima dos Deslocamentos Residuais
dlambda=-(dr'*dg)/(dr'*dr);
elseif rep==4 //Trabalho Externo Constante
dlambda=-(Fr'*dg)/(Fr'*dr);
elseif rep==5 //Deslocamento Generalizado dlambda=-(drt'*dg)/(drt'*dr);
else //Deslocamento Constante
dlambda=-dg(10,1)/dr(10,1); end
endfunction
5. Exercícios propostos
5.1 Exercício proposto 1
Resolver o exemplo da Seção 3 com o método de Newton-Raphson Modificado
considerando as técnicas de continuação:
- Comprimento de Arco Linear Fixo;
- Comprimento de Arco Linear Atualizado;
- Norma mínima dos Deslocamentos Residuais;
- Trabalho Externo Constante;
- Deslocamento Generalizado;
- Deslocamento Constante.
Adaptar o algoritmo apresentado na Seção 4.1.
Comparar as soluções numéricas obtidas numa tabela considerando os parâmetros ktotal,
NP, kmédio e t.
5.2 Exercício proposto 2
Resolver o exemplo da Seção 3 com o método de Newton-Raphson padrão associado à
técnica de continuação Deslocamento Generalizado, cujo sinal do incremento de carga inicial é
obtido pelo parâmetro GSP dado pela Equação (8).
Se GSP < 0, multiplicar λ
por -1 para mudar o sentido de crescimento do parâmetro
de carga.
Obter a trajetória de equilíbrio.
Professor Luiz Antonio Farani de Souza
13 Notas de Aula: Análise não linear de estruturas Técnicas de Continuação
Referências
BATOZ, J. L.; DHATT, G. Incremental Displacement Algorithms for Nonlinear Problems.
International Journal for Numerical Methods in Engineering, v. 14, p. 1262-1267, 1979.
CHAN, S. L. Geometric and Material Non-Linear Analysis of Beam-Columns and Frames
Using the Minimum Residual Displacement Method. International Journal for Numerical
Methods in Engineering, v. 26, p. 2657-2669, 1988.
LACERDA, E. G. M. Análise não linear de treliças pelo Método dos Elementos Finitos
Posicional. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) - Programa de Pós-graduação em
Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2014.
MENIN, R. C. G. M. Aplicação da Descrição Cinemática Co-Rotacional na Análise Não-
Linear Geométrica de Estruturas Discretizadas por Elementos Finitos de Treliças, Vigas e
Cascas. Tese (Doutorado em Estruturas e Construção Civil) - Departamento de Engenharia
Civil e Ambiental, Faculdade de Tecnologia, Universidade de Brasília, Brasília, 2006.
POWELL, G.; SIMONS, J. Improved iteration strategy for nonlinear structures. International
Journal for Numerical Methods in. Enginnering, v. 17, n. 10, p. 1455-1467, 1981.
ROCHA, G. Estratégias de incremento de carga e de iteração para análise não linear de
estruturas. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto, Escola de Minas,
Departamento de Engenharia Civil, 2000.
RODRIGUES, P. F. N. Ferramentas Numéricas para a Análise Não-Linear Física e
Geométrica de Estruturas Reticuladas na Exploração de Petróleo Offshore. Tese
(Doutorado) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, 2000.
Top Related