R. Capone Analisi Matematica Il Calcolo Integrale
1
TAVOLA DEGLI INTEGRALI INDEFINITI
Integrazione di funzioni elementari Integrazione di funzioni composte
dx x c
1
1
xx dx c
1
( )( ) '( )
1
f xf x f x dx C
1lndx x c
x
'( )ln ( )
( )
f xdx f x c
f x
2
1tan
1dx arc x c
x
2
'( )arctan( ( ))
1 ( )
f xdx f x c
f x
2 2
1 1tan
xdx arc c
a x a a
x xe dx e c ( ) ( )'( )f x f xe f x dx e c
ln
xx a
a dx ca
∫ ( ) ( ) ( )
2
1arcsin
1dx x c
x
∫
( )
√ [ ( )] ( )
2
1arccos
1dx x c
x
∫
( )
√ [ ( )] ( )
cos sinxdx x c '( ) cos ( ) sin ( )f x f x dx f x c
sin cosxdx x c '( )sin ( ) cos ( )f x f x dx f x c
tan ln cosxdx x c
∫ ∫ ( ) ( ) ( )
∫ ∫ ( ) ( ) ( )
∫
∫
( )
( ) ( )
∫
∫
( )
( ) ( )
∫
∫
( )
( ) ( )
GLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI
Calcola i seguenti integrali. 1 3 22 2x x x dx 18
22
3 4
11dx
xx
2 3 22 3 3x x x dx 19 2 3 1x x dx
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2
3
2
1 1 1dx
x xx
20 3 4 2x x dx
4 dx
xxx
3
111
21 4 3
5
6
7 2
7 10 2
2 4 2 4
x xdx
x x
x
x
5 3 2
2
3 2x x xdx
x
22 2 4
3 2 3
6 12 6
3 7
x x xdx
x x x
6 3 2
2
2 2 4x x xdx
x
23 sen cosx dxe x
7
2
3
1
xdx
x
24 cos senx xe xd
8
22 1
xdx
x
25 x x
x x
e edx
e e
9
2
23 1
xdx
x
26 2
2
2 x x
x x
e edx
e e
10
3
24 1
xdx
x
27 1 3
2 1 5dx
x x
11 32 cosxe x x dx 28 4 1
3 2 1dx
x x
12 33 senxe x x dx 29 2
2 1
4 1
xdx
x
13 34sen cos sen 3
sen
x x xdx
x
30 2
3
3 9
27
x xdx
x
14 34cos 2sen cos 3
cos
x x xdx
x
31 3
81
xdx
x
15
2 2
2 5
1 1dx
x x
32 4
101
xdx
x
16 1
2
5
1 5
x
xdx
33
2
1
ln
x
x x
edx
x e x e
17 2
2
3
1 3
x
xdx
34
2
2 cos
1 2 sen ln 1 2 sen
xdx
x x x x
L’INTEGRAZIONE PER PARTI
Teorema di integrazione per parti
Se f e g sono due funzioni reali di classe nell’intervallo [a,b], si ha:
∫ ( ) ( ) [ ( ) ( )] ∫ ( ) ( )
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3
Dimostrazione:
pressoché ovvia. Essendo per la regola di derivazione del prodotto di due funzioni:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
si ha
∫ ( ) ( ) [ ( ) ( )]
∫ ( ) ( )
∫ ( ) ( )
da cui l’asserto.
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4
Es.1 Si calcoli il seguente integrale
∫
La funzione integranda si presenta come il prodotto di due funzioni. L’integrale si risolve seguendo la formula dell’integrazione per parti
∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
Avendo indicato con ( ) una primitiva di ( ) e avendo scelto ( ) come fattore finito e ( ) come fattore differenziale. Nel nostro caso:
∫ ∫
Es.2 Si calcoli il seguente integrale
∫√
In questo esercizio, la scelta di come fattore finito è obbligata perché non se ne conosce una primitiva. Pertanto, si ha:
∫√
√
√
Es.3 Si calcoli il seguente integrale
∫
Anche in questo caso, la scelta di come fattore finito è obbligata. Si ha:
∫
∫
∫
(∫ ∫
)
( )
NB: la scelta del fattore differenziale dipende sostanzialmente da due condizioni; deve essere una funzione di cui si conosce con semplicità la primitiva; inoltre deve essere tale che il nuovo integrale che compare
dall’applicazione della formula di integrazione per parti sia di difficoltà pari o minore a quello di partenza. Alcuni artifici ed esempi Es.4 Si calcolino i seguenti integrali
∫ ∫
∫ ∫
| |
∫ ∫
| |
Es.5 Si calcolino i seguenti integrali
∫
∫
∫
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5
∫
∫
| |
∫
∫
∫
|
|
| |
∫
∫
( )
| (
)|
| |
Es.6 Si calcolino i seguenti integrali
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( )
| |
∫
∫
∫
∫
( )
Calcola i seguenti integrali.
1 xdxx sin2 16 ∫
2 3 cosx xdx 17 ∫ ( )
3 ogxdxx l3
18 ∫
4 ogxdxx l4
19 ∫
5 2 arctgx xe e dx
20 ∫
6 1arctg
2x dx
x
21 ∫
7 dxxx 2sin3 2
22 ∫
8 dxxx 3cos2 2
23 ∫ ( )
9 ∫ 24 ∫
10 ∫ 25 ∫√
11 ∫ 26 ∫ ( )
12 ∫ 27 ∫ √
13 ∫ 28 ∫
14 ∫ 29 ∫ √
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6
15 ∫ 30 ∫
( )
L’INTEGRAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
Per calcolare l’integrale ( )
( )
N xdx
D x di una funzione in cui il grado del denominatore sia maggiore del
numeratore si scompone D(x) nel prodotto di fattori irriducibili;
si riscrive la funzione integranda come somma di frazioni semplici aventi come denominatore i
fattori di D(x);
si applicano le regole di integrazione immediata
ax b A
ax b
1
1 2x x x
1 2
A B C
x x x
n
ax b
2 3...
n
A B C N
ax b ax b ax b ax b
2
3
1
1
x
x
2 3
1 1 1
A B C
x x x
2 ; 0ax bx c
2
Ax B
ax bx c
2
2 1
1 2
x
x x
21 2
A Bx C
x x
∫
√
√
∫
∫
( ) ∫
∫
∫
( ) ∫
( )
∫
| |
∫
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7
Se il grado del Denominatore è minore o uguale al grado del Numeratore si procede alla divisione dei due
polinomi
( ) ( )( )
( ) ( )
N x R xdx Q x dx dx
D x D x
dove R(x) e Q(x) sono rispettivamente il resto e il quoziente della divisione.
1 ∫
( )
31 ∫
2 ∫
( )
32 ∫
3 ∫
( )
33 ∫
4 ∫
( )
34 ∫
5 ∫
( )
35 ∫
6 ∫
( )
36 ∫
7 ∫
37 ∫
8 ∫
38 ∫
9 ∫
39 ∫
10 ∫
40 ∫
11 ∫
41 ∫
12 ∫
42 ∫
13 ∫
43 ∫
14 ∫
44 ∫
15 ∫
45 ∫
16 ∫
( )
46 ∫
17 ∫
( )
47 ∫
18 ∫
( )
48 ∫
19 ∫
( )
49 ∫
( )
20 ∫
( )
50 ∫
( )
21 ∫
( )
51 ∫
( )
22 ∫
( )
52 ∫
( )
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8
23 ∫
( )
53 ∫
( )
24 ∫
( )
54 ∫
( )
25 ∫
( )
55 ∫
( )
( )
26 ∫
( )
56 ∫
( )( )
27 ∫
( )
57 ∫
( )( )
28 ∫
( )
58 ∫
( )( )
29 ∫
59 ∫
( )( )
30 ∫
60 ∫
( )( )
L’INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
∫ ( )
(
)
∫ ( )
∫ ( )
∫ (√ ) √
Integrali del tipo
∫ ( )
1 ∫
( )
( )
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9
2 ∫
| |
( )
3 ∫
√
√
4 ∫
( ) ( )
5 ∫
| |
6 ∫
( )
√
√
7 ∫
( )( )
| | ( )
8 ∫
( )
√
√
9
Integrali del tipo
∫ ( )
1 ∫
2 ∫
3 ∫
4 ∫
5 ∫
6 ∫
|
|
7 ∫
|
|
8 ∫
|
|
9 ∫
( ) |
|
|
|
10 ∫
( )
|
|
11 ∫
( ) |
|
|
|
12 ∫
( ) |
|
Integrali del tipo
∫ ∫
∫
Per n=1 ricorriamo ad una sostituzione con formule parametriche. Per n=2 si ricorre ad artifici.
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10
Es.7
Si risolva il seguente integrale
∫
∫
∫
∫
∫
1 ∫
2 ∫
3 ∫
4 ∫
5 ∫
6 ∫
7 ∫
8 ∫
9 ∫
10 ∫
11 ∫
12 ∫
13 ∫
Alcuni integrali di espressioni trigonometriche si risolvono con formule di ricorrenza
Es. 8
Si calcolino i seguenti integrali
∫ ∫ ∫
Vale la seguente formula di ricorrenza di cui si omette la dimostrazione
∫
∫
Analogamente per il secondo e il terzo:
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11
∫
∫
∫
∫
Integrali del tipo
∫ ( √
)
La sostituzione da effettuare è:
√
che fornisce:
( )
( )
Un caso particolare è dato quando la funzione integranda presenta due o più radici con indice diverso. Il
questo caso basta porre uguale a t la radice n-sima di un certo radicando, dove n rappresenta il m.c.m. degli
indici.
Es. 9
Si calcoli il seguente integrale
∫
√ √
Si adopera la sostituzione:
√
che fornisce:
∫
√ √ ∫
( )
E quindi:
∫
√ √ √ √
√
( √
)
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12
1
∫
( )
√
√
2 ∫
√
√ ( √ )
3 ∫
√
√ ( √ )
4 ∫
√
√
√
5 ∫
√
( )√
√( )
6 ∫
√
√ ( √ )
7 ∫
√
( )√ ( )
8 ∫
√
√ ( √
)
9 ∫
√
√ ( √
)
10 ∫
√ √
11 ∫
√ √
12 ∫
√
√
√
13 ∫
√
√ ( √ )
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13
14
∫√
√(
)
( √
)
( )
15 ∫
√
√ ( √ )
Integrali del tipo
∫ ( √ )
Caso
Un integrale del genere si risolve per sostituzione. La sostituzione fa effettuare è
√ √ ( )
( )
( )
In questo modo l’integranda si riduce a una funzione della variabile t:
√ √ (
) √ (
)
A titolo di esempio:
∫
√
ammette come soluzione, facilmente verificabile tramite la sostituzione appena vista:
∫
√
√ |
√
|
16 ∫
√
17 ∫
√
18 ∫
√
19 ∫
√
20 ∫√
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14
21 ∫
√
22 ∫
√
23 ∫
√
24 ∫
√
25 ∫
√
26 ∫
√
27 ∫
√
28 ∫
√
29 ∫
√
30 ∫
√
Caso
La sostituzione da effettuare in questo caso è la seguente:
√
dove sono le soluzioni del polinomio sotto radice, che avrà un .
Dalla sostituzione si ricava:
( )
( )
√ (√| |
) √| |( )
A titolo di esempio:
∫
√
√| | √
Come si può facilmente verificare ammettendo la sostituzione appena vista.
31 ∫
√
32 ∫
√
33 ∫
√
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15
34 ∫
√
35 ∫
√
36 ∫
√
37 ∫
√
38 ∫
( )
√
39 ∫√
40 ∫√
41 ∫√
Altri esempi
Es. 10
Si calcoli il seguente integrale
∫
Possiamo procedere per sostituzione di variabile, ponendo
Si ottiene così:
∫
∫
∫ ( )
∫( )
NB. La sostituzione è possibile ogni volta che l’elemento ( ) è invariante rispetto a
Es. 11
Si calcoli il seguente integrale
∫
Tale integrale può essere considerato un particolare caso di integrali del tipo:
∫
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16
∫ ∫
∫( ) ( )
∫( ) ( )
Es. 12
Si calcoli il seguente integrale
∫
∫ ∫
Integrando per parti, si ottiene:
∫
∫ ∫( )
∫ ∫
Portando il valore dell’ultimo integrale a primo membro e sfruttando la proprietà di additività si ha:
∫
∫
Essendo poi:
∫
∫( )
(
)
segue che
∫
Formula di Newton-Leibnitz o secondo teorema fondamentale del calcolo integrale
Sia :[ , ]f a b R una funzione che ammette una primitiva F su [a,b]. Se f è integrabile si ha:
( ) ( ) ( ) ( )
bb
a a
f x dx G x G b G a
Tale relazione è detta formula fondamentale del calcolo integrale.
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17
1 2
3
12x x dx 17
4
2 2
3
11x x dx 17
4
3 24
1
2 3xdx
x
15 3ln 4
4 33
1
3 2xdx
x
26 2ln3
5 4
0sen cosx x dx
1 2
6 2
4
( s n )cos ex x dx
1 2
7 dxxex22
0 4 1
2
e
8 312
0
xx e dx 1
3
e
9 3 21
1
2 3 10 9
2
x x xdx
x
28
ln 33
10 3 26
3
2 2 2
1
x x xdx
x
213 5
3ln2 2
11 1
2
0
2
1
xdx
x 8 5 2
3
12 1
2
0
2
1
xdx
x 8 3 6
3
13 3
42
2
sen
1 2cos
xdx
x
2
8
14 4
20
cos
1 2sen
xdx
x
2
8
15 4
0sen 1x x dx
21
8
16 4
01 cosx xdx
22 1
8
IL CALCOLO DELLE AREE DI SUPERFICI PIANE
Disegna le superfici delimitate dall’asse x e dal grafico delle funzioni seguenti, definite negli intervalli indicati, poi calcolane l’area.
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18
1 1xy e , 0;2 . 2 1e
2 2xy e , 0;1 . 1e
3 2 2y x x , 1;2 . 8
3
4 2 2y x x , 2;1 . 8
3
5 3 26 11 6y x x x , 1;3 1
2
6 3 23 2y x x x , 0;2 . 1
2
7 Determina l’area della regione finita di piano delimitata dalla retta di equazione 2 2 9 0x y e
dall’iperbole di equazione 2
yx
. 63
3ln 48
8 Determina l’area della regione finita di piano delimitata dalla retta di equazione 2 2 9 0x y e
dall’iperbole di equazione 2
yx
. 63
3ln 48
Esercizi di riepilogo sugli integrali
1 2
3 2
9 6 1
xdx
x x
2 2
2
8 18dx
x x
3 2
1
4 4 3dx
x x
4
2
4
2 3
xdx
x x
5
2
2
2 5
xdx
x x
6
2
2
2 5
xdx
x x
7
3
2 1
1
xdx
x
8
3
3
1
xdx
x
9 4 2
5 3 2
5 2 4
3 2 6 3
x x xdx
x x x
10 3
4 2
2
4 1
x xdx
x x
11 3 1
2
xdx
x
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19
12 2 1
2 1
xdx
x
13
2
2 1
2 24
xdx
x x
14
2
7
2 8
x
xxd
x
15
2
1
8 16
xdx
x x
16 ∫
17 ∫
√
18 ∫
19 ∫ √
( )
20 ∫
√
√
21 ∫
22 ∫
23 ∫
24 ∫
|
|
25 ∫
26 ∫
|
|
27 ∫
28 ∫
√
√
29 ∫
30 ∫
| |
31 ∫
( )
( )
32 ∫
33 ∫
√ √
34 ∫
R. Capone Analisi Matematica Il Calcolo Integrale
20
35 ∫
√
√ ( )
36 ∫ √
√
( )
37 ∫
38 ∫
√
(
√
)
39 ∫√
√
( √ )
40 ∫
41 ∫
42 ∫
( )
43 ∫
√
|
√
|
44 ∫
√
|
√
|
45 ∫
( )
|
|
46 ∫ √
47 ∫
48 ∫
( )
49 ∫
50 ∫
( )
51 ∫
52 ∫
53 ∫
( )
54 ∫
( )
55 ∫
( )
56 ∫
( ) ( )
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