TAREFA E ACTIVIDADE1
B. Christiansen, Royal Danish School of Educational Studies, Dinamarca G. Walther, Pädagogisches Hochschule Kiel, República Democrática Alemã
Uma vinheta
(1) De livros de texto alemães de 1862 e 1978
Elementarisches Rechenbuch. U. Mentzel. Altona 1862
Multiplicar: 12*356; 25*956; 37*875; 59*976; 115*516;538*796; 758*969;
932*864;569*777; 753*867; 983*674; 673*368; 985*793.
Welt der Zahl, 1978
637*65 732*76 562*72 240*83 438*21 1103*84 2324*37 215*81 217*44 953*94 826*47 912*43 1017*68 1821*43 358*74 904*81 746*62 495*96 846*52 2109*24 3572*21
(2) Um conjunto de tarefas relacionado com a escrita da multiplicação:
Calcula: 37 037*3=
37 037*6=
37 037*9=
Estranho! Por que números devemos multiplicar 37 037 se queremos obter
555 555? 777 777? Verifica as tuas conjecturas.
Como poderias obter 666 666, 888 888, 999 999?
Usa os resultados prévios para predizer os resultados dos cálculos seguintes:
37 037*30; 37 037*36
Verifica as tuas conjecturas.
Calcula: 15873*7=
15873*14=
15873*21=
1 Christiansen, B., & Walther, G. (1986). Task and activity. In B. Christiansen, A. G. Howson, & M. Otte (Eds.), Perspectives on mathematics education (pp. 243-307). Dordrecht: D. Reidel.
1
Estes resultados ajudam a encontrar 15 873*28 e 15 873*35. Verifica as tuas
respostas.
37 037 e 15 873 são realmente números mágicos.
Tenta encontrar outros números mágicos. (Como obtiveste 111 111 de 37 037?
E de 15 873? Estas questões ajudaram-te?)
Calcula 271*41 e 271*82 e escreve outros produtos deste tipo. Prevê o resultado
e verifica fazendo o cálculo.
O leitor já comparou e avaliou os exemplos (1) e (2) acima. Contudo, neste
ponto usaremos meramente estes exemplos como primeira orientação para o que se irá
dizer neste capítulo.
As tarefas mencionadas em (1) e (2) podem em ambos os casos servir de apoio à prática da multiplicação escrita. Contudo, enquanto os exercícios dados em (1) são isolados uns dos outros, as tarefas em (2) estão claramente interrelacionadas e apelam para a exploração dos princípios organizativos e, além disso, para investigações subsequentes pelo aluno.
Em (1) o aluno sabe, através da prática e do treino prévios, o que é que tem de fazer e o seu objectivo é ‘completar’ o seu trabalho.
Em (2) a actividade pode ser guiada predominantemente pelo objectivo ‘descobrir alguma coisa acerca ou por detrás do padrão’, que observou nos primeiros passos. A exploração guiada fornece oportunidades para a prática, mas conduz, para além disso, a outras acções tais como: fazer conjecturas, fazer generalizações, interpretar e trabalhar um texto.
Em (1) a utilização pretendida dos exercícios é imediatamente vista pelo professor, e ele pode usar as séries sem qualquer outra preparação. As formulações dadas conduzem o desenvolvimento do processo de ensino de uma maneira bastante óbvia. As tarefas do tipo (1) correspondem possivelmente às ideias e expectativas actuais dos professores acerca do papel e da forma dos exercícios.
Pelo contrário, o professor tem que fazer uma preparação deliberada para usar (2). Isto exige um conhecimento apropriado, experiência e concepções acerca da exploração matemática de situações, e está fortemente relacionado com as concepções de ensino-aprendizagem da Matemática dos professores. Tarefas do tipo (2) não correspondem ao conhecimento, ideias e expectativas dos professores em geral, presentemente.
2
1. A área problemática em consideração
O trabalho com exercícios ocupa um lugar central em todos os níveis do ensino
da Matemática. A tarefa assinalada torna-se no objecto da actividade do aluno, e a
definição das tarefas, em conjunto com as acções relacionadas realizadas pelo professor,
constitui o principal método pelo qual se espera que a Matemática seja transmitida aos
estudantes.
Muitas das dificuldades relacionadas com as tarefas e as actividades são, na
nossa opinião, devidas às concepções predominantes, limitadas e isoladas, das
categorias didácticas básicas de tarefa e actividade. Por essa razão, nesta secção
introdutória procuramos expor o carácter relacional global das tarefas e chamar a
atenção para a necessidade de lidar com um amplo espectro de actividades relacionadas
com a maioria das tarefas. Esperamos que a vinheta precedente tenha servido para
estimular o leitor para reflexões pessoais sobre estes aspectos.
1.1. O papel predominante dos exercícios
O tema “Tarefa e actividade” tem desempenhado um papel importante no
desenvolvimento da educação matemática das últimas décadas e – com outras
designações – na história do ensino da Matemática. Consequentemente, experiências
profissionais e rotinas respeitantes ao trabalho dos alunos e respectivo desempenho
têm-se acumulado ao longo do tempo. As visões, os princípios e as atitudes
relacionadas com o papel e a forma do trabalho dos alunos tornaram-se profundamente
enraizadas nos professores e nos pais – e no público em geral. A sequência que se segue
é a nossa tentativa de descrever a tradição prevalecente. Contudo, achamos que é
altamente provável que esta sequência seja observada como a principal característica
numa aula de Matemática normal:
O professor especifica um ou mais exercícios para serem trabalhados pelos alunos, usualmente na continuação de explicações e demonstrações de procedimentos que estão ligados a um exemplo, que se pretende que sirva de modelo;
Os alunos aprendem através do seu trabalho (individualmente ou em grupos) com a tarefa, mas a sua actividade de aprendizagem matemática é predominantemente limitada ao treino e à pratica relacionada com os conceitos e procedimentos previamente descritos;
Os resultados são controlados e, talvez, discutidos com toda a classe;
3
Se o professor achar que o feedback, dos passos anteriores é negativo, ele normalmente volta atrás ao procedimento standartizado: mais explicações – mais treino; se ele avalia o feedback como positivo segue o padrão descrito em ‘novos’ exercícios.
A importância tradicional e central dos exercícios dentro do currículo e da sua
função metodológica, foi clarificado por Lenné na sua análise (1969) do ensino da
Matemática. Cada subdomínio matemático é, segundo Lenné, caracterizado por um tipo
especial de exercícios, que é tratado com passos sistemáticos partindo das formas mais
simples para as mais complexas. Lenné assinala criticamente que o uso organizado
deste princípio que ele chama de Aufgabendidaktik, leva os alunos a ver a Matemática
mais como uma colecção de diferentes tipos de exercícios e menos como um todo
integrado de ideias.
A reforma do ensino da Matemática durante as últimas décadas provocou apenas
um desvio limitado do uso deste princípio didáctico no nível superior do ensino
secundário. Além disso, a recessão tem tido nos últimos anos um impacto no debate
educacional geral. Como resultado, exigências crescentes têm sido feitas pelo uso de
testes e exames, como meios de controle e selecção, e isto levou novamente a pedidos
de pais e alunos para darem maior prioridade a exercícios tipificados em todos os
níveis.
Estas correntes no debate educacional geral podem servir para arrefecer o
desenvolvimento inicial emergente em que a ênfase do uso do Aufgabendidaktik estava
a decrescer no ensino da Matemática nos níveis primário e intermédio. Pode até haver o
perigo de uma nova confirmação do princípio de uma forma estreita e incrustada, que
exige um treino e prática excessivos como os meios principais para proporcionar
conhecimentos e capacidades matemáticas.
Neste contexto – e referindo-nos também à vinheta – sugerimos que o uso actual
de exercícios como meio proeminente no ensino da Matemática assenta numa
diferenciação insuficiente e inadequada da relação entre os conceitos tarefa e
actividade. Isto é também causa de uma sobrevalorização dos produtos em detrimento
dos processos na aprendizagem da Matemática e das formas rígidas actuais do
planeamento de actividades do professor.
4
1.2. A actividade dos alunos segundo novas perspectivas
A Matemática escolar pode basear-se muito mais na actividade pessoal dos
alunos do que é habitual hoje. Consideramos que a maior prioridade deve ser dada aos
estádios do processo educacional em que os alunos estão envolvidos – por si mesmos –
em actividades do tipo construir, explorar e resolver problemas. Além disso, em cada
estádio do processo de ensino-aprendizagem, os alunos podem trabalhar sozinhos, mas
certamente também em grupo.
Este desenvolvimento não pode possivelmente ser implementado no ensino
escolar somente pedindo aos alunos que sejam activos no seu próprio trabalho (por
exemplo, na forma de exercícios ou mesmo em problemas interessantes) dados no livro
de texto. Nem este desenvolvimento pode ser promovido inserindo algumas
componentes de ‘actividades matemáticas’ ligadas a tópicos seleccionados no processo
de ensino.
No entanto, defendemos que a Matemática escolar pode ser desenvolvida da sua
forma actual, na direcção indicada acima, providenciando ajudas para professores
(através da formação inicial e contínua de professores) no que diz respeito ao uso e
desenvolvimento de tarefas e actividades como uma ferramenta educacional.
A nossa ideia é que os professores – independentemente do uso que fazem de
outros meios tais como livros de texto, apresentações expositivas, tutoriais – liguem as
suas explicações aos processos de trabalho dos alunos em tarefas a eles ajustados.
Assim, as tarefas e as actividades estabelecem, por assim dizer, a articulação do ‘um
ponto de encontro’ entre o professor e o aluno. Mas a definição de tarefas para o aluno é
uma acção familiar do professor, do mesmo modo que o é um conjunto de passos
relacionados com os procedimentos dos estudantes na execução dessas tarefas. E este é
o nosso ponto de partida para acreditar que é possível utilizar a actividade matemática
como um conceito organizador no ensino da Matemática segundo os objectivos e
intenções actuais e no contexto educacional actual.
Há, contudo, factores, como as concepções prevalecentes no ensino da
Matemática e as rotinas profissionais correspondentes, que contrariam (e podem até
impedir) uma mudança em profundidade na atitude do professor na exploração da
actividade dos alunos. Assim, os problemas de implementação estão fortemente ligados
às dificuldades dos professores em corresponder às exigências e intenções de aumentar
o peso da autodirecção e autodeterminação na actividade de aprendizagem dos alunos.
5
Estas novas exigências que requerem mudanças no papel e acção do professor, estão
especialmente ligadas a: (1) mudanças na distribuição da ênfase nos diferentes tipos de
actividade; (2) mudanças nos tipos de acções dos professores e na sua sequenciação no
processo de ensino; e (3) mudanças nas formas pelas quais o professor serve de
mediador do sentido matemático.
Introduzimos a análise destes problemas ao longo de duas linhas. Primeiro (na
secção 1.3), pela análise das deficiências actuais inerentes às concepções actuais de
tarefa e actividade e da sua interacção. Depois (na secção 1.4), por uma breve
consideração do desenvolvimento deste tema nos anos 60 e 70.
1.3. O carácter relacional das tarefas e actividades
Temos afirmado repetidamente que as relações entre tarefa e actividade podem
ser tratadas de uma maneira significativa apenas se ambas as componentes são
investigadas também nas suas conexões com outros aspectos importantes da educação
matemática. Este é particularmente o caso do conceito tarefa, como está ilustrado na
figura 1.
Aluno 1 Aluno 2 ............
Professor
Tarefa
Matemática Objectificada
Conteúdo/ Currículo
Fig 1
O carácter relacional do conceito tarefa é explicitamente demonstrado por este
modelo enquanto o conceito actividade só está implicitamente ilustrado, dado que é
inerente nas relações entre as várias componentes indicadas pelas setas.
A complexidade da educação matemática torna-se evidente quando o ensino é
visto como um processo de interacção entre o professor e o aluno – e entre os próprios
6
alunos – no qual o professor procura proporcionar aos alunos o acesso ao conhecimento
e capacidades matemáticas, de acordo com dadas intenções. Este processo de ensino-
aprendizagem é (como todos os processos entre pessoas) influenciado por um grande
número de aspectos e factores sociais que só podem ser ‘controlados’ de forma parcial e
limitada. A interacção entre professor e aluno é assim não só condicionada pelas
decisões oficiais acerca de finalidades, conteúdos, métodos, avaliação e estrutura
escolar, mas também é fortemente dependente de muitos outros aspectos mais subtis
como as concepções dos professores sobre a Matemática, o ensino e a aprendizagem e
concepções emergentes dos alunos nestes domínios.
Este pequeno número de exemplos de factores que influenciam o processo de
ensino-aprendizagem mostra claramente que uma redução da complexidade é necessária
para obter uma situação cujos procedimentos podem ser planeados, os resultados
observados e os ajustamentos necessários realizados. Contudo, quando afirmamos isto,
é também necessário mencionar que tais reduções não eliminaram a complexidade do
campo de problemas.
A Figura 1 representa – devido ao pequeno número de componentes considerado
– uma redução da complexidade da interacção entre professor e aluno relacionadas com
uma tarefa dada. Há muitas razões a favor deste modelo e algumas delas são em parte
do tipo heurístico:
Descreve (reproduz, ilustra) as duas categorias tarefa e actividade e serve como meio para fornecer uma visão geral de aspectos importantes do ensino da Matemática ligados a estas categorias;
É aberto a extensões, simplificações e interpretações e está relativamente próximo dos modelos bem conhecidos de três passos: aluno – professor – currículo e finalidades – conteúdos – métodos.
Defendemos que a teoria didáctica e a prática pedagógica podem ser levadas a
interagir de maneira que os professores são iniciados a trabalhar sob a perspectiva das
múltiplas relações complexas indicadas pela Figura 1. Esta tese é claramente muito
mais modesta do que a requerer a consideração deliberada e conscienciosa dos
professores sobre a referida complexa rede de conexões. Contudo, também defendemos
que tal iniciação pode dar origem uma construção pessoal de princípios e rotinas por
parte de cada professor que o ajudará na exploração de tarefa e actividade. Trataremos
este campo de problemas e estas teses na secção 4.
As setas da Figura 1 chamam a atenção para as dez relações binárias entre as
componentes tomadas duas a duas. O potencial do diagrama como base para a análise
didáctica é exemplificada pelas nossas observações abaixo, acerca de quatro destas
7
relações, e nós convidamos o leitor a reflectir nas restantes seis. Mas também as
considerações sobre os ternos de relações, Professor–Tarefa–Aluno ou Aluno–Tarefa–
Matemática, darão um contributo para a consciencialização acerca de aspectos
fundamentais do ensino e aprendizagem da Matemática.
Conteúdo/Currículo e Matemática
O conhecimento e o saber-fazer acumulados no domínio da Matemática é um
objecto socialmente constituído. Um aspecto característico desta Matemática
(objectificada) é que respostas muito diferentes à questão ‘O que é a Matemática?’ são
aceitáveis no interior da comunidade científica de matemáticos, e também aceitáveis
pelos que usam a Matemática, e pelos didactas (para quem o maior interesse reside na
forma pela qual a Matemática é criada, constituída, ensinada e aprendida). De facto,
esta diversidade nas concepções tem sido uma das forças mais fortes no
desenvolvimento da Matemática ao longo da história e do tempo.
Portanto, têm de haver sempre discrepâncias em todas as sociedades entre
matemática objectificada (como concebida pelos matemáticos e professores de
Matemática com uma grande formação matemática) e a Matemática como
conteúdo/currículo (significando a descrição oficial dada pelas autoridades
educacionais da disciplina de Matemática a ser ensinada na escola). Ambos os domínios
– Matemática e Matemática escolar – são instituídos socialmente embora de maneiras
muito diferentes. As suas relações encontram expressão em manuais e livros de
exercícios e constituem tema fundamental no debate didáctico. Portanto, didactas e
autores de manuais devem ocupar-se conscienciosamente com estas ligações e
influências entre Matemática e os conteúdo/currículo dados.
Contudo, as formas pelas quais o professor individualmente considera e actua
nestas relações (e como ele luta com as diferenças entre ‘a sua própria Matemática’ e o
manual usado) depende de muitos factores. E eles incluem não só a experiência
matemática, mas também as suas concepções sobre Matemática, ensino e aprendizagem,
bem como a estrutura do ensino condicionada (e inerente à) pela sociedade.
8
Professor e Tarefa
A identificação e a preparação do professor para uma tarefa requer em princípio
– como já foi indicado – a sua atenção para muitas das relações ilustradas na Fig. 1.
Contudo, o uso generalizado de tarefas prontas a usar (tiradas de livros de texto ou de
outros recursos facilmente à mão) serve para reduzir a investigação pessoal do professor
a questões acerca da acessibilidade para os seus alunos e a sua preparação à
determinação pessoal das soluções dos exercícios e problemas a ser tratados na aula.
Nós trataremos nas secções 3 e 4 de formas e meios para um envolvimento mais
profundo do professor individual na selecção e construção de tarefas que sejam
apropriadas para os seus fins e condições específicas.
Tarefa e Aluno (Alunos)
O conhecimento acerca destas relações é uma ferramenta indispensável para ser
usada nas decisões dos professores acerca da actividade dos alunos (individualmente ou em grupos) numa tarefa. Mas as relações são para ser estudadas no contexto educativo, uma vez que são necessárias respostas para questões tais como: (1) quais são os papéis e as formas de actividade pessoal dos alunos na sua própria aprendizagem da Matemática na escola? (2) como pode a aprendizagem pessoal ser guiada (regulada) de modo a tomar forma de uma aprendizagem partilhada com outros na e para além da aula? A investigação destas questões requer uma discussão teórica do conceito de actividade que tentaremos realizar nas secções 2.1-2.2.
Professor e Aluno (Alunos)
Estas relações estão entre os factores mais importantes que influenciam as
relações entre tarefa e aluno mencionados acima. Uma breve consideração de alguns
dos papéis do professor em diferentes estádios do processo de ensino-aprendizagem
ilustram isto: instrutor; professor da disciplina (perito, árbitro); educador; observador
participante; observador neutro; participante apoiante; crítico construtivo; e — com
ênfase e domínios variados — juiz. A exploração de tais papéis do professor está
integrada na acção específica sobre o assunto e serve para estabelecer conhecimento e
contexto para as interacções entre professor e aluno ligadas com qualquer tarefa
específica. Discutimos este problema na secção 2.4.
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Os exemplos acima ilustram o carácter relacional e global das categorias tarefa
e actividade. Assim, as tarefas em si mesmas não contêm conceitos ou estruturas
matemáticas. E actividade às cegas numa tarefa não assegura a aprendizagem que se
pretende. A tarefa é interpretada sob a influência de muitos factores e a actividade é
condicionada pelas acções do professor, que são uma vez mais feitas e interpretadas sob
a influência de atitudes e concepções do professor e do aluno respectivamente.
Portanto, o uso de tarefas e actividades é um princípio organizador no ensino da
Matemática que apela para novos metaconceitos por parte do professor. Vamos ilustrar
isso melhor observando alguns desenvolvimentos desde 1960 que se relacionam com
este tema.
1.4. Desenvolvimentos nas últimas décadas
O movimento de reforma nos anos 60 deu origem a mudanças consideráveis nos
conteúdos matemáticos do ensino nas escolas. O uso da ‘linguagem dos conjuntos’ foi
visto como um meio privilegiado para a obtenção, pelos alunos, de uma compreensão
matemática aperfeiçoada: uma compreensão relacional apoiada por uma atitude mental
integral através da Matemática. Portanto, nestes anos foi dada uma grande prioridade ao
desenvolvimento de manuais e materiais de ensino. Contudo, foi enormemente
reconhecido durante os anos 60 e início dos 70 que aprender, apesar de todos os
esforços em contrário, permanecia predominantemente instrumental.
Mas outras ideias e tendências foram integradas no trabalho ou decorreram em
paralelo com o desenvolvimento mencionado acima. Por exemplo, o ponto de vista que
não é o material de ensino, mas o professor, que é o factor crucial na mediação da
Matemática na escola; um interesse didáctico crescente foi-se desenvolvendo em
relação ao processo de trabalho dos alunos durante a sua interacção com o professor.
Este desenvolvimento deveu-se a vários aspectos interrelacionados ligados ao forte
movimento sócio-político em oposição a um sistema elitista educacional rumo a uma
estrutura escolar na qual a Matemática era ensinada a todos os alunos desde o 1º ano da
escola. Este movimento que se dirige “à Matemática para todos” conduziu a uma
procura crescente de experiências realizadas pelos alunos através do seu trabalho
prático.
Durante os anos 70 ‘as actividades matemáticas’ transformaram-se num tópico
destacado nas publicações para professores de Matemática. Artigos de trabalho na sala
10
de aula com pavimentações, geoplanos, dominós, construção com cubos, etc. etc., foram
publicados, tendo sido realizadas análises sobre as finalidades matemáticas de cada uma
das actividades e das suas possibilidades no ensino e aprendizagem da Matemática
escolar. Normalmente o propósito mencionado para estas actividades é fornecer aos
alunos oportunidades para o trabalho exploratório e aberto – de preferência em grupos –
com os materiais e ideias em questão. Contudo, fazer actividades ‘matemáticas’ não
resulta necessariamente em aprendizagem partilhada da Matemática. Como
consequência de uma doutrina não crítica da ‘Matemática como actividade’ há agora o
perigo de ‘concretismo’ e de não enfatização do papel dos constructos teóricos no
ensino da Matemática.
Este desenvolvimento – e as dificuldades encontradas e realizadas – servem para
suportar um interesse na relação entre tarefa e actividade e a aprendizagem resultante
que vai para além do uso das ‘actividades matemáticas’ como componentes separadas
no processo de ensino. Este interesse foi influenciado e motivado pela mudança de
pontos de vista na aprendizagem, na Matemática, e no ensino; e isto conduziu a um
interesse crescente pelo papel da própria actividade individual no interior do processo
de ensino-aprendizagem. Três tendências dos anos 70 devem ser anotados aqui.
Primeiro, uma crescente aceitação da visão de que um pré-requisito para uma
aprendizagem ‘significativa’ de qualquer parte da Matemática escolar é o próprio
envolvimento pessoal e as reflexões individuais acerca dos aspectos e relações
essenciais em questão.
Segundo, uma crescente aceitação de que a ênfase deve ser colocada não só nos
resultados do processo de trabalho matemático na forma de teoremas e fórmulas e na
aplicabilidade destes resultados, mas também no próprio processo de trabalho em si.
Esta direcção pode ser expressa como se segue, em termos que são mais cuidados do
que os usados normalmente: a Matemática é também uma actividade.
Terceiro, uma tendência para ver o ensino da Matemática não só como
instrução, mas como um longo processo de interacções, no qual os professores
funcionam na maior parte dos casos como mediadores, que favorecem e encorajam o
conhecimento pessoal adquirido pelo desenvolvimento individual – completado pelo
conhecimento partilhado na sala de aula – no conhecimento da Matemática
objectificada.
Como evoluíram estas tendências no início dos anos 70? E quais foram os seus
méritos na mudança de perspectivas para a sociedade e para a escola nos anos 80 e
11
seguintes? Uma resposta à primeira questão é encontrada em Novas tendências no
ensino da Matemática, Vol. IV (UNESCO, 1979) no capítulo sobre os três níveis
escolares por, respectivamente, Colmez, Krygowska, e Quadling. Cada autor fornece
informação acerca do interesse educacional e didáctico crescente nas actividades dos
alunos de tipo não rotineiro, e acerca das tentativas para explorar trabalho em
‘situações’ de ensino da matemática.
Destes capítulos emerge uma imagem de aspectos do ensino da Matemática
relacionados com as três tendências mencionadas acima. É descrito pelos autores em
meados dos anos 70, e eles construíram as suas descrições no desenvolvimento do que
tinham observado na década anterior. Isto mostra que nos três níveis da Matemática
escolar é dada prioridade acrescida às actividades de exploração pelos estudantes.
Mas existem – de acordo com os autores e apesar das expectativas com a melhoria do
ensino – sérios constrangimentos que impedem uma disseminação muito difundida das
mudanças correspondentes nos métodos de ensino:
Falta de tempo adequado para os currículos sobrecarregados. A requerida organização do ensino-aprendizagem relacionada com a actividade dos alunos apela para uma atmosfera sem pressas quer no estádio preparatório quer na aula. Por essa razão, novos esboços de currículo – aberto e flexível para as intervenções próprias do professor – são necessários.
Incompatibilidade com as rotinas do dia a dia actuais. A forma necessária de interacção com os alunos (individualmente e em grupos) não combina com os procedimentos e rotinas usuais dos professores. Os novos métodos ainda têm para muitos professores o gosto das pesquisas didácticas e parecem consumir muito tempo e energia.
Necessidade de capacidades profissionais especiais. As novas abordagens tendem a sobrecarregar os professores habituados a depender dos manuais. Isso requer individualmente do professor não só experiência pessoal em exploração matemática, mas também mudanças fundamentais nas suas atitudes favoráveis à educação matemática. Para alguns professores, a segurança nas relações bem estabelecidas com estudantes e pais parecem estar ameaçadas pelas mudanças pretendidas nos métodos de ensino.
Esta observação dos desenvolvimentos nos anos 60 e 70, junto com as nossas
recentes observações acerca das mudanças nas estruturas sociais devido à recessão,
sublinham que não há um caminho simples ou imediato para uma ampla disseminação –
e uma mais apropriada exploração – do princípio da actividade no ensino da
Matemática. Tal desenvolvimento parece ser contrariado não só por factores de
12
constrangimentos externos, mas também por obstáculos internos que influenciam e
também determinam as relações dos professores com a actividade.
1.5. A necessidade de novos metaconceitos
Os constrangimentos internos que referimos são devidos aos metaconceitos dos
professores (também inerentes à sociedade em geral) acerca de aprendizagem, ensino,
actividade e Matemática, ou antes a um desenvolvimento insuficiente destas
metaconcepções.
O efeito perpetuado destas concepções inadequadas exerce uma influência
especial em todos os níveis do ensino da Matemática. Uma primeira barreira contra as
mudanças são os sinais visíveis do ‘trabalho diligente e submisso’ muito difundidos e
geralmente aclamados na escola e na sociedade, e a apreciação e avaliação de tal
trabalho pela medição directa do desempenho. Nesta perspectiva, o acordo no que diz
respeito à necessidade dos alunos escolherem a sua própria actividade significa, para a
maioria dos professores e pais, que o padrão existente no ensino deve ser continuado.
Isto significa que o tributo para as actividades próprias dos alunos é pago pela elevada
atenção aos exercícios e à prática; para a aprendizagem por um núcleo de regras e
procedimentos standard; e trabalhar em exercícios de rotina e outras tarefas dos
manuais. E verdadeiramente, em todos estes assuntos, os alunos devem ser activos e
desempenharem resultados mensuráveis.
Assim, o problema principal colocado à educação matemática não é apenas que
os estudantes se mostrem activos, mas que as formas presentes das tarefas e actividades
são insuficientes. Eles cuidam de alguns tipos de aprendizagem, mas ignoram outros, os
quais são vistos como importantes nas intenções educacionais actuais. Para mudar este
padrão, novas concepções são necessárias.
O ensino da Matemática aponta tanto para a construção de um repertório (store)
individual de informações (de factos, rotinas, procedimentos standard e formulações
standard em símbolos e linguagem) como para a construção de um potencial (store) de
‘consciência’ (de critérios da natureza do assunto tratado, do conhecimento acerca da
Matemática e da sua aplicabilidade, de formas de trabalho e procedimentos gerais no
processo matemático). Portanto, uma extensa variedade de tipos diferentes de
actividades pessoais deve interagir no interior do aluno para que o ensino da
13
Matemática produza estes resultados, e se se pretende que os dois tipos de
conhecimentos sejam acessíveis ao aluno em relações apropriadas.
Contudo, durante qualquer actividade matemática, a aprendizagem toma lugar
em níveis cognitivos diferentes. Se um estudante, por exemplo, é solicitado a
desenvolver uma certa prova, ele estará preocupado tanto com o conteúdo matemático,
como com processos gerais como provar e ler um texto matemático. O primeiro tipo de
aprendizagem está preocupado com o conteúdo matemático num sentido estreito,
enquanto o segundo tipo é um exemplo de contexto de aprendizagem (no sentido de
Bateson). Outros exemplos são: aprender a formular ideias; como investigar e explorar
situações ou conjecturas; como resolver problemas; como criar questões e problemas.
Ensinar Matemática deve ajudar tais níveis elevados de aprendizagem, e esta tese está
de acordo com os pontos de vista expressos por Pólya, Lakatos e outros, que
desenvolveram as suas filosofias acerca da criação dos produtos matemáticos na
perspectiva dos processos pelos quais o conhecimento é construído pelo indivíduo e
pela espécie humana.
Estas considerações mostram a grande amplitude da aprendizagem com que o
professor de Matemática tem de se ocupar. Nesta perspectiva, as contribuições básicas
da teoria da actividade – que investigaremos na secção 2 – é que um indivíduo que está
motivado para agir sobre um objecto, aprende através da sua actividade, acções e
reflexões relacionadas. Assim, há uma relação de controle mútuo entre o objecto e a
actividade.
A tese os estudantes – por meio do conjunto de tarefas dadas pelo professor –
podem ser iniciados num espectro apropriado de actividades matemáticas. Contudo, um
número de acções do professor são necessários em cada caso para assegurar que a
actividade educacional em questão resulta na aprendizagem que se pretende. Indicamos
sucintamente quatro grandes campos de problemas relacionados, para serem
investigados e analisados de seguida: (1) qualquer actividade procede directamente das
finalidades de acções dirigidas que lhe são ‘inerentes’, mas não ‘dadas pela’ tarefa; (2)
tarefas específicas são necessárias para motivar tipos específicos de actividades (do tipo
de exploração ou resolução de problemas); (3) qualquer actividade contribui para
aprender de maneiras diferentes e em níveis cognitivos diferentes; (4) as acções
específicas do professor são necessárias para assegurar que o conhecimento pessoal é
desenvolvido num grau apropriado dentro do conhecimento partilhado.
14
Já que a dependência mútua entre tarefa e actividade é de uma natureza
indirecta, e devido ao carácter relacional dos dois conceitos, aprender não pode ser
assegurado simplesmente pelas tarefas. A grande importância das acções dos
professores é enfatizada por (1)-(4). Por exemplo, o professor deve assegurar-se
regularmente que certas acções inerentes às actividades (cf. (1)) são realizadas. E deve
assegurar-se (cf. (3) e (4) através da sua interacção com os alunos durante o seu
desempenho destas acções, que o potencial de aprendizagem é explorado correctamente.
Contudo, a experiência das últimas décadas mostrou claramente que uma
concepção superficial das relações entre tarefa e actividade, facilmente conduz a um
ponto de vista reducionista que pode resultar em actividade cega. Por exemplo, em
casos em que o aluno não é levado a uma reflexão conscienciosa acerca do objecto da
sua aprendizagem, ou quando uma actividade consiste em treino e prática sem visar a
construção de mudanças na “zona de desenvolvimento próximo” (Vygotsky, ver secção
2.4. abaixo).
Assim, são necessários mais meios profundos de regulação para providenciar
aprendizagem apropriada e desenvolvimento do sujeito activo. Propomos que um
aumento de consciência e conhecimento acerca de estrutura e papel da actividade nos
dará uma base teórica aperfeiçoada para o estabelecimento de um processo de
regulação pelo educador da actividade do aluno.
2. O enquadramento teórico de actividade educacional
2.1. O conceito de actividade
A teoria da actividade é um campo de problemas no qual constructos de várias
áreas, como por exemplo, a Psicologia, a Sociologia, a Epistemologia, etc. são postos
em interacção. Uma descrição detalhada e exacta das relações mais profundas entre
actividade, representação e tomada de consciência podem ser encontradas em Leont’ev
(1975) e Galperin (1980). Estas descrições tratam também da relação entre actividade e
desenvolvimento da personalidade do sujeito em acção, tendo em atenção os
determinantes sociais da actividade observados ao longo da história.
As relações entre o “homem” e o mundo que o rodeia são mediadas através de
actividade-orientada-para-um-objecto no decorrer da qual o sujeito constrói uma
imagem do objecto em questão. Por outras palavras: o objecto adquire uma forma
15
subjectiva na mente do sujeito em acção. E esta imagem ou representação do objecto
pode servir como meio de orientação para o sujeito no seu ambiente. Pela sua natureza,
as relações sociais, comunicativas e cooperativas que estão embutidas na actividade,
estabelecem uma conexão mútua entre o indivíduo e o ambiente. A característica
interactiva da actividade humana tem um papel fundamental na acomodação do
“homem” às suas condições externas bem como à mestria das mesmas.
Actividade não é somente reacção comportamental e adaptação a condições
ambientais. Por isso, a actividade consciente e orientada para um certo objectivo (goal)
de uma pessoa em acção resulta em correspondentes mudanças nas suas necessidades e
intenções e nos motivos com elas relacionadas. Neste processo de adaptação – e como
consequência das regulações no seu processo de desenvolvimento – uma mudança toma
lugar na personalidade do indivíduo. Por outras palavras: a regulação que o homem faz
do ambiente resulta numa regulação do homem. Estes factos são de importância
primordial para a compreensão do papel central da actividade educacional.
Consideraremos agora – antes de tratarmos o problema da regulação – a
estrutura da actividade tal como é desenvolvida por Leont’ev. O aspecto essencial da
actividade é ser orientada para um objecto. Assim, qualquer actividade humana
corresponde a necessidades específicas do indivíduo activo e é orientada para o objecto
dessas necessidades. As actividades podem diferir em múltiplos aspectos, mas a
distinção mais importante entre as actividades é devida à diferença entre os respectivos
objectos. O motivo real de uma actividade é, na terminologia de Leont’ev, inerente ao
seu objecto, material ou mental. Assim, para ele, a actividade é um processo que é
sempre iniciado e interpretado na perspectiva de um motivo.
A actividade humana procede através de um sistema de acções que são
processos orientados para um objectivo, causados pelo motivo da actividade. A
actividade realiza-se através destas acções, que podem ser encaradas como suas
componentes. A actividade existe somente nas acções, mas actividade e acções são
entidades diferentes. Assim, uma acção específica pode servir para realizar diferentes
actividades e a mesma actividade pode ter origem em objectivos diferentes e, consoante
esses objectivos, dar início a diferentes acções.
As relações entre, por um lado, motivo e fins, e por outro lado, actividade e
acções poder ser brevemente descrita da seguinte forma: o fluxo de um dado processo,
interno ou externo, de actividade/acções desenvolve-se e procede relativamente a um
16
motivo (o objecto factual) como actividade, e relativamente ao sistema de fins como
acções.
Cada acção, servindo como componente de uma actividade , é dirigida – de
acordo com o seu objectivo – para um certo resultado final antecipado. A acção,
consequentemente, procede de um estado inicial para um estado final, e, normalmente,
através de várias etapas reconhecíveis. De acordo com isto, uma acção humana
consciente é – como o próprio objectivo – concebida como um plano. Mas isto
pressupõe a existência de várias possíveis discrepâncias relativamente ao progresso de
qualquer acção pertencente a uma actividade: (1) o resultado final é aceite embora se
desvie do resultado pretendido; (2) a acção é ajustada em comparação com o plano
previsto a priori.
No caso de uma actividade complexa com uma correspondente rede complexa
de fins e acções, sub-acções são concebidas, organizadas e executadas como meios para
atingir um ou mais desses fins. O indivíduo estabelece através de tais sub-acções
condições que lhe permitem alcançar os fins em questão e atingir o resultado final
pretendido da acção em questão. Consideremos exemplos de tais acções auxiliares:
acções preparatórias que servem para estabelecer condições que são necessárias (num sentido directo e imediato) para a realização em vista ou que facilitam o desempenho da acção intencionada;
acções de observação e reflexão que servem para desenvolver e construir informação necessária para o desempenho ou planeamento de acções;
acções de salvaguarda que servem para assegurar que os resultados intermediários importantes estão disponíveis para um possível uso futuro no processo de acções;
acções de controlo que servem para comparar fins/acções intencionadas com os resultados obtidos ou com as acções que foram de facto desempenhadas;
acções correctivas que servem para remover erros, e num sentido mais lato, também ara antecipar possíveis erros.
O processo pelo qual uma certa acção é executada é chamado, por Leont’ev,
uma operação. Assim, qualquer acção exibe dois aspectos: o aspecto intencional,
relacionado intimamente com a questão “O que deve ser obtido?”, e que expressa o seu
carácter de dirigido para um objectivo; e, o aspecto operacional, relacionado com a
questão “Como é que isto pode ser obtido?”, e que expressa a sua dependência com
condições inerentes no objecto ‘sobre o qual’ a acção opera.
Então, de acordo Leont’ev, uma tarefa é o objectivo de uma acção, objectivo este
enquadrado por condições distintas. A execução de uma acção corresponde assim à
17
tarefa (e é em certo sentido seu equivalente). E Leont’ev frisa: as acções são
determinadas pelos objectivos, as operações pelas condições.
As operações são em geral desenvolvidas socialmente e obtidas na forma de meios
ou instrumentos. Assim, a maioria das operações usadas na actividade humana são, de
acordo com Leont’ev, resultados de aprendizagem; representam uma aquisição de
procedimentos e métodos que foram socialmente mediados.
Muitas operações correspondem aos meios materiais pelos quais são executadas:
o desenhar de uma recta à régua; o desenhar de um círculo ao compasso; e as
operações aritméticas elementares ao ábaco. Nesta conexão, são de importância
específica os aspectos operativos dos conceitos quando usados como instrumentos
(Otte, 1980).
A estrutura de uma actividade é assim determinada: pelas condições inerentes ao
objecto; pelo sistema de motivos e objectivos; pelas condições internas do sujeito em
acção; e pelas condições externas (por exemplo, consistindo no apoio ou limitações com
origem em fontes externas). Na perspectiva da nossa necessidade de regulação da
actividade, deverá ser sublinhado que os aspectos acima não devem ser linearmente
ordenados, mas – pelo contrário – devem ser vistos como um sistema complexo de
conceitos e aspectos mutuamente relacionados.
2.2. Regulação da actividade
Trataremos agora de factores que influenciam a actividade humana e servem
assim para regular a aprendizagem do indivíduo através desta actividade nos
omnipresentes cenários sociais do homem. O conhecimento desta regulação da
actividade será importante para a tomada de decisões sobre o uso educacional e a
exploração da actividade.
De importância básica temos, primeiramente, o todo integral de: (1) os aspectos
produtivos/criativos/construtivos da actividade; (2) a acção dirigida para um objectivo
sobre um objecto e em interacção com ele; (3) o efeito retroactivo de (1) e (2) no sujeito
em acção, um efeito que influencia continuamente o fluxo da actividade e o qual conduz
à transformação/reconhecimento/desenvolvimento do sujeito.
O objecto da actividade nesta unificação integral é manifestado sob duas formas,
como o exprime Leont’ev: como o objecto em si mesmo – na sua existência
independente – em cuja capacidade é subordinado e transformado pela actividade do
18
sujeito; como imagem do objecto, como resultado de reflexão cognitiva do objecto, que
é estabelecida e realizada como produto da actividade do sujeito.
Esta representação cognitiva é, assim, não estabelecida como uma reflexão
imediata. É construída durante processos nos quais o sujeito estabelece contactos com o
seu ambiente. Em consequência, estes processos são necessariamente influenciados pela
necessidade e mais ou menos determinados pelas condições externas existentes, mas
também influenciados pela organização interna do indivíduo, que poderá, de acordo
com tal, estabelecer e manter uma certa autonomia nas suas atitudes relativamente ao
mundo que o rodeia.
Tal ponto de vista é ‘ecológico’ no sentido em que é baseado na teoria de que
existe uma profunda relação entre a vida do “homem”, o seu desenvolvimento genético
e o mundo físico e social que o rodeia; e é baseado na tese de que estas relações formam
a base para recursos que permitem ao “homem”, através de processo dirigidos para um
objectivo, lidar com a variabilidade do mundo que o rodeia. Esta posição ecológica é
fundamental nas diferentes escolas psicológicas do nosso tempo (Leont’ev; Piaget;
Miller, Galanter e Pribam; Neisser).
Enfatizemos agora os factores de maior relevo na regulação da actividade:
A organização interna de entre o indivíduo, os assim chamados modelos ou mapas internos do mundo na forma de conhecimento já adquirido, conceitos, autocompreensão, sistema de valores e normas, posições, pontos de vista, esquemas (schemata) antecipatórios, etc.;
As duas formas do objecto para a actividade: o objecto em si mesmo com as suas características factuais, concebido pelo indivíduo como sendo externo a ele; e a imagem cognitiva do objecto, o qual possui uma qualidade interna;
Os mecanismos de resposta (feedback-mechanisms) que permitem ao indivíduo comparar dados coleccionados no ambiente com respostas estabelecidas através dos seus mapas internos; discrepâncias ou incongruências entre os dados externos e os modelos cognitivas podem iniciar actividades que conduzem a mudanças mútuas no sujeito e objecto.
Uma descrição muito clara das diferentes possibilidades inerentes na regulação
da actividade é dada por Bromme e Seeger (1979).
Os fins dirigem, interrelacionam e conduzem a correcções – resumindo servem para regular a actividade; tal como a actividade serve como um factor regulador, dado que conduz a mudanças nos fins e nas suas imagens.
19
E o correspondente é também verdade para o objecto da actividade e a sua
imagem subjectiva. Assim, por um lado, a imagem do objecto serve para regular a
actividade porque dá origem a antecipações sobre o fluxo do processo – estas
antecipações são causadas pela influência ou pelo uso de propriedades específicas do
objecto como base para a actividade – e, por outro lado, a actividade serve para regular
a génese da imagem (e cada vez mais, à medida que o trabalho procede com e sobre o
objecto). Esta influência sobre o estabelecimento da imagem acontece através de um
processo de modificações, que são também causadas ‘pela experiência’; por exemplo,
através de um nível cada vez maior de diferenciação, articulação e coordenação.
Uma breve análise à teoria da percepção de Neisser servirá para apoiar a nossa
análise da regulação da actividade e, estabelecerá uma base (background) para
considerações que faremos mais tarde. Traz-nos-á de volta ao tema da actividade
exploratória a qual, na nossa opinião, deve ter um papel central no ensino da
Matemática.
Neisser investiga a percepção como um aspecto especial da cognição e
considera a percepção como um protótipo de actividade cognitiva. Ele escreve na
introdução do seu trabalho Cognição e Realidade (1976a):
Usualmente, percepção e cognição são não só operações mentais (in the head) mas transacções com o mundo. Estas transacções não só informam o agente da percepção, mas também o transformam. Cada um de nós é criado pelos actos cognitivos em que nos empenhamos.
Ele vê a percepção como um processo exploratório e construtivo e, durante todo
este seu importante livro, chama a atenção para a ideia de que a percepção toma lugar
ao longo do tempo e está intimamente relacionada com movimentos do agente da
percepção e do que é percebido.
O diagrama auto-explicativo abaixo (Neisser, 1976a) (ver a figura 2) ilustra as
principais características do seu importante conceito, o ciclo perceptual. A sua hipótese
é que toda a percepção utiliza esquemas antecipatórios, e que o indivíduo
continuamente desenvolve e modifica esses esquemas, os quais têm de ser
necessariamente desenvolvidos de forma a assegurar que o organismo possa existir na
realidade em movimento. De acordo com isto e num certo sentido, nós podemos
somente ver, cheirar e sentir, ... objectos que de certo modo cabem nos nossos esquemas
antecipatórios, tal como eles se encontram no momento da percepção.
20
Deverá ser notado que os esquemas antecipatórios perceptuais são vistos por
Neisser como embutidos em mapas cognitivos (no sentido de esquemas-orientadores do
mundo e de suas possibilidades). Correspondentemente, propõe (1976a, p. 112) que este
ciclo perceptual está embutido “num ciclo mais inclusivo de exploração e obtenção de
informação que cobre mais terreno e leva mais tempo”.
Esquema Exploração
Objecto (informação disponível)
Modifica
Dirige
Experimenta
Ciclo Perceptual de Neisser
As teorias psicológicas de Neisser têm um papel importante na forma tratamos
na Secção 4 o planeamento do professor para as tarefa e as actividade. Assim, o que
dissemos acima implica um aviso importante que o aluno – e o professor – até um certo
grau, só podem ‘ver’ aquilo que esperam ver. E as ideias de Neisser também
providenciam a base para um princípio de acordo com o qual a informação deve estar
embutida no contexto das nossas tarefas educacionais com o propósito de que quem
aprende seja capaz de se envolver em ciclos perceptuais e actividade mental
relativamente à essência do material matemático pretendido.
Percepção e actividade são em muitos aspectos processos similares e a razão é
claramente o facto da percepção (como uma parte da cognição) estar profundamente
envolvida em toda a actividade. No seu capítulo sobre esquemas, Neisser (1976a)
21
descreve como é que “a cada momento a actividade competente (skilled activity)
depende do estado das coisas existente, no que aconteceu antes e dos planos e
expectativas do sujeito em acção”. Ele afirma que este processo cíclico de actividade
encaixa no paradigma da sua representação gráfica dada acima. Na opinião de Neisser,
o sujeito activo competente age no mundo do qual faz parte e age também sobre ele
próprio. E, embora “percepcionar não altere o mundo, altera o agente da percepção”. E,
do mesmo modo, a “acção” altera obviamente o seu agente. Esta conclusão pode ser
colocada como a hipótese básica sobre a qual repousa o nosso uso de actividade
educacional como conceito organizador do ensino da Matemática.
2.3. Actividade educacional e actividade de aprendizagem
Nas Secções 2.1. e 2.2. foram feitas considerações teóricas relativamente a
actividade humana e como esta é verdadeiramente motivada pelo objecto em questão.
Em ocasião propícia, chamaremos a este tipo de actividade ‘genuína’ para a distinguir
da actividade mais ou menos ‘artificial’, aquela em que o sujeito se encontra activo com
tarefas colocadas por outros e logo não necessariamente orientada para um objecto
escolhido pelo sujeito.
Viramo-nos - nesta perspectiva - para o contexto educacional institucionalizado.
Neste contexto, a tarefa (o trabalho marcado pelo professor) torna-se o objecto para a
actividade do aluno, tendo em conta a sua aprendizagem e desenvolvimento. Falaremos
de actividade educacional quando os alunos trabalham como resultado de planeamento
educacional, e da actividade de aprendizagem quando a actividade educacional resulta
na aprendizagem intencionada.
Para criar um enquadramento apropriado de referências, começaremos a nossa
análise com um exemplo do ensino da Matemática do nível elementar: Quanto custa
sustentar um cão? (Tammadge, 1971).
Embora esta questão se relacione com os pensamentos e interesses dos alunos
mais jovens de forma directa e natural, será normalmente, no cenário da escola,
encarada como uma simulação de um problema da vida real.
Se a questão tivesse sido levantada por alguém no seu próprio contexto, a sua
motivação pessoal poderia ser a sua necessidade de decidir se quer comprar um cão ou
encontrar argumentos para não o fazer. Numa tal situação real, o sujeito em acção
certamente que não consideraria o papel da sua presente actividade na forma como irá
22
tratar outras situações no futuro. O resultado em si mesmo, por exemplo, o custo médio
anual para manter um cão, constitui o motivo da sua actividade. Contrariamente, a
resposta em si mesma é, no contexto educacional, de pouca importância, tanto
considerada como um item de informação, como como um item de consciencialização
(awareness).
O próprio motivo do professor (que planeou o uso destas tarefas na sala de aula)
diz respeito somente à aprendizagem intencionada. As suas intenções gerais podem ser
que a actividade deve providenciar aprendizagem sobre a matematização de uma
situação; mais detalhadamente o professor pode esperar que os alunos fiquem
motivados para processos como os seguintes:
construção de um plano de acções (antecipar as necessidades, o que pode ser importante, que procedimentos fornecer, etc.);
organização do trabalho a ser executado (incluindo, talvez, decisões sobre a divisão de trabalho ou sobre pesquisas a ser feitas);
coleccionar dados, directamente ou através de ‘especialistas’; sistematização, avaliação transformação e reorganização de dados; avaliação do modelo usado em termos do quanto é adequado para a
resolução do problema inicial. Assim, a aprendizagem pretendida no nosso exemplo é o desenvolvimento no
indivíduo de processos de acções de um tipo bastante geral, que são orientadas para o
problema factual dado e organizadas de acordo com ele, ou seja: Quanto custa sustentar
um cão? Processos de acções deste tipo são obviamente componentes indispensáveis
em numerosas actividades e, mais ainda, têm um papel central como instrumentos no
pensamento e na aprendizagem. Vejamos como são desenvolvidos pelo aluno na
perspectiva do nosso exemplo.
Primeiramente, estes processos de acções são integrados na actividade total
iniciada pela questão. O motivo do aluno é, ou pretende-se que seja, estabelecer uma
resposta apropriada a esta questão, mas um observador poderia, presumivelmente, ver
que estas acções-esquemas estariam a ser desenvolvidas espontaneamente por alguns
alunos enquanto que outros ser manteriam passivos. Estas diferenças de comportamento
são bem conhecidas e as respectivas causas facilmente identificáveis. No entanto, a
questão importante aqui é que o desenvolvimento de acções-esquemas e de acções
(ambas relativamente aos seus aspectos intencionais e operacionais) têm que ser
apoiadas directamente pelo professor. Além disso, tal apoio é necessário não só para os
alunos neste último grupo ‘inactivo’ como para todos os outros. Através de diversos
meios, acções são concebidas, discutidas, e desenvolvidas numa cooperação entre
23
professor e alunos. Um das principais objectivos do professor, nesta situação, é
diferenciar, de acordo com as diferentes necessidades o apoio, mas assegurar que todos
os alunos reconhecem que esses processos de acções são criados deliberadamente e com
propósitos específicos.
Linguagem e comunicação têm um papel indispensável e central nesta conexão.
Assim, a interacção entre professor e alunos compreende propostas/interpretações/
/discussões/negociações/decisões que dizem respeito à actividade e aos componentes
das acções em construção. Linguagem e acções estão ‘entrelaçadas’ em todo este
desenvolvimento durante o qual imitação (dos alunos mutuamente e do aluno
‘copiando’ professor) bem como o teste (de ideias, conjecturas e linguagem e
terminologia) têm papéis dominantes.
É agora de importância decisiva para o desenvolvimento intelectual do aluno
que as acções dos tipos mencionados se tornem generalizados em estratégias cognitivas
que apoiem o indivíduo na sua solução de problemas específicos. Mais ainda, que estas
estratégias – ao longo do tempo – assumam o carácter de esquemas para aprendizagem,
que devem ser reconhecidos pelo indivíduo pelo seu poder geral. Neste último caso, o
indivíduo adquiriu meios poderosos para aprendizagem auto-suficiente e independente.
Sumariamente, o exemplo serviu para ilustrar que actividade iniciada por tarefas
em questões dá origem a aprendizagem a duas ‘dimensões’:
aprendizagem na dimensão 1 é determinada pelo objecto para a actividade, pela essência matemática da tarefa dada;
aprendizagem na dimensão 2 consiste no estabelecimento de esquemas para aprendizagem e na consolidação e desenvolvimento desses esquemas.
Na perspectiva do princípio da actividade, a aprendizagem da Matemática, sobre
conceitos e procedimentos matemáticos toma lugar através de acções ‘na’ dimensão 2.
Esta aprendizagem diz respeito (cf. o exemplo) aos aspectos gerais da resolução de
problemas, exploração, generalização, descrição, raciocínio, aplicação, armazenamento
relacional de conhecimento, etc. No entanto, as acções ‘na’ dimensão 1, as quais são
dirigidas para o objecto dado e específico, constituem o campo dos pré-requisitos para o
desenvolvimento ‘na’ dimensão 2. Em alguns sentidos, temos aqui um desenvolvimento
mais profundo das considerações que fizemos na Secção 1.5. sobre informação e
consciencialização, e sobre a aprendizagem de conteúdos e o contexto da aprendizagem.
O conhecimento e a aprendizagem que pertencem às dimensões 1 e 2 constituem
domínios complementares para cada indivíduo. As suas relações e a forma como se
24
inter-relacionam uma com a outra em cada indivíduo dependem das exigências dados;
e, o desenvolvimento interno de (ou de entre) ambos os domínios está intimamente
conectado e é inseparável do ambiente externo através dos aspectos socio-
comunicativos do conhecimento, conceitos e actividade Assim, o desenvolvimento
intrínseco pode ser apoiado, guiado, e regulado pelo professor através de materiais
textuais e outros meios e enquadramentos externos.
Do dito acima segue que a complementaridade pretendida entre a aprendizagem
nas dimensões 1 e 2 requer um ‘equilíbrio’ no apoio educacional proporcionado para a
actividade mental ‘em’ cada dimensão. De modo semelhante, uma complementaridade
apropriada entre processo e produto, e entre conhecimento de informação e
conhecimento do tipo consciencialização (awareness), pode somente ser promovida
através de um equilíbrio no apoio educacional das componentes.
No entanto, a experiência mostra que mesmo quando os alunos trabalham em
tarefas dadas, apoiadas por contextos educacionais cuidadosamente estabelecidos e por
correspondentes acções do professor, a aprendizagem tal como pretendida não decorre
automaticamente da actividade dos alunos sobre as tarefas dadas. Dois factores de
importância específica e básica podem aqui ser apontados: (1) as atitudes e atenção do
aluno relativamente à tarefa dada; (2) o carácter da actividade do aluno.
No que diz respeito a (1), os factores importantes são o interesse individual na
tarefa, a sua motivação para agir, as suas atitudes relativamente ao professor e escola, as
suas concepções sobre a aprendizagem e sobre a Matemática. Relativamente a (2), a
questão é se o indivíduo reflecte nas suas acções e na sua própria aprendizagem.
Os factores (1) e (2) são também tratados por Davydov e Markova. Eles
escrevem (1981):
Numa investigação é necessário levar em conta o facto de que uma pessoa precisa de não ficar submergida em actividade. Relativamente à aprendizagem tal significa que o desenvolvimento mental não pode ser derivado directamente da lógica do desenvolvimento da actividade educacional.
De acordo com isto, Davidov e Markova acham necessário criar condições no
contexto educacional que permitam que a actividade adquira um significado pessoal
para o aluno, tornando-se “a fonte de auto-desenvolvimento da pessoa e do
desenvolvimento global (comprehensive) da sua personalidade bem como constituir
uma condição para a sua entrada na prática social”.
25
Claramente, que esta visão indica, ao mesmo tempo, grandes dificuldades mas
também importantes possibilidades para o professor. No entanto, quando são atingidas
as condições necessárias, Davidov e Markova encaram a actividade como um dos
principais meios para o professor entrar em contacto com o aluno. Eles propõem que
existe “no ambiente de uma actividade definida” possibilidades de fazer, ao mesmo
tempo, uma avaliação e uma transformação da natureza do desenvolvimento mental da
criança. E afirma na continuação que o aluno torna-se sujeito do seu próprio
comportamento através do processo de actividade, e que assim “assume uma orientação
activa”, simultaneamente, relativamente aos objectos do mundo que o rodeia e às outras
pessoas. Em resumo, apoiam fortemente a ideia que tarefa e actividade estabelecem um
‘ponto de encontro’ de valor para professor e aluno (Secção 1.2.).
A tarefa educacional é uma unidade de análise através da qual os autores
reconheceram que “aprendizagem não é somente a aquisição e mestria de
conhecimento”, mas que “é primariamente um processo de mudança, reorganização e
enriquecimento para a própria criança”. A sua investigação da “estrutura da actividade
educacional”, que tem ocorrido ao longo de vários anos, levou os autores a distinguir
entre os seguintes componentes da actividade educacional: (a) a concepção que o aluno
tem das tarefas educacionais; (b) o desempenho do aluno dos actos educacionais; (c) os
actos pessoais do aluno de controle e avaliação.
O importante ponto sobre (a) é que o aluno aceite as tarefas educacionais como
parte do seu próprio processo de aprendizagem e que a actividade educacional seja
desempenhada de uma forma consciente. Relativamente a (b), as acções do aluno,
quando levadas a cabo como concebidas numa educação “correctamente organizada”,
dar-lhe-ão “acesso a relações universais, princípios dominantes e ideias chave numa
certa área de conhecimento ...”. A substância de (c) é auto-evidente.
Estes três aspectos, que dizem respeito à concepção do aluno sobre tarefas e os
seus contextos de aprendizagem, são todos desenvolvidos inicialmente “em actividade
conjunta com o professor ou com um colega”. Davydov e Markova reconhecem que
cada uma das componentes (a), (b) e (c), foram investigadas por psicólogos anteriores,
mas que a sua “interacção” – apesar da sua óbvia importância – não foi ainda estudada
especificamente. A sua própria proposta é que a actividade educacional deve ser sempre
investigada como actividade educacional integral no sentido de uma unidade de (a), (b)
e (c).
26
Consideraremos estas ideias na perspectiva da nossa investigação anterior.
Obviamente, (a) e (b) correspondem directamente às nossas dimensões 2 e 1, enquanto
que (c) se constrói sobre acções de tipos auxiliares (cf. Secção 2.1.). Mais ainda, a ideia
de Davydov e Markova de actividade educacional integral é completamente compatível
com a nossa concepção de duas dimensões de aprendizagem através da actividade.
Visto no nosso contexto, as exigências a fazer ao professor incluem: que opere
conscientemente com essas dimensões; que identifique tarefas nas quais estão inerentes
potenciais para acções de entre ambas dimensões; e que analise tais tarefas com o
propósito de descobrir actos de ensino através pelos quais o aluno pode ser apoiado na
sua aprendizagem em ambas as dimensões.
Nestas considerações, uma vez mais, a responsabilidade para a exploração da
actividade de uma dada tarefa cabe ao professor individual (à sua interacção criativa e
construtiva com os alunos), obviamente não é negada a importância da informação
sobre as tarefas e o seu potencial. Mas a descrição de uma tarefa, uma análise do seu
potencial e dos conselhos ao professor sobre uma possível orientação em relação à
dimensão 2, que ele possa exercer na sua turma, são passos externos à tarefa, ao
professor e aluno, e à sua actividade e interacção no processo de ensino/aprendizagem.
De facto, tarefas à ‘prova-de-professor’ existem tão raramente quanto manuais escolares
à ‘prova-de-professor’.
Os professores que estão conscientes das diferentes dimensões da aprendizagem
e da complementaridade da informação e consciencialização têm tendência a
transformar e ajustar uma dada tarefa – através de uma construção pessoal – de tal
forma a que ela corresponda às suas próprias necessidades e condições e às dos seus
alunos. Esses professores reflectem e seleccionam a parte da informação que lhes está
disponível, ou que constróem sobre a tarefa em questão. Os professores com uma
concepção da aprendizagem mecanicista e reducionista têm tendência a encarar o
professor como dador de conhecimento, que transmite itens de conhecimento para o
aluno como se se tratassem de coisas que pudessem ser passadas para o aluno
materialmente.
Com base nas partes anteriores desta secção, podemos resumir a nossa
concepção dialéctica da aprendizagem através da actividade, no contexto escolar, da
seguinte forma.
Os alunos são motivados para a actividade e iniciam-na através de passos
deliberadamente tomados pelos professores. Estes passos educacionais são planeados na
27
perspectiva de propósitos educacionais e intenções que se preocupam, mais ou menos
explicitamente, com a aquisição por parte do aluno de conhecimento específico e saber-
fazer partilhado com outros; em resumo, conhecimento social e saber-fazer. Esta
aprendizagem intencional não está limitada à aquisição de produtos finais fechados mas
deve compreender processo e produto como aspectos que se complementam. Deve
conter diferentes tipos de aprendizagem e diferentes níveis cognitivos, e deve beneficiar
da atribuição de alta prioridade a acções dirigidas pelo fim específico aprender.
Na perspectiva das exigências a fazer ao professor, inerentes à posição acima
descrita, torna-se obviamente importante identificar formas de apoiar os professores de
matemática na sua exploração e regulação de actividade. Expresso na terminologia de
Davidov e Markova, o problema consiste em identificar meios através dos quais o
professor pode promover uma concepção unificada – de entre o aluno – do papel da
tarefa-e-actividade, da aprendizagem, da Matemática, e do seu controlo, pessoal e
consciente, do seu próprio processo de aprendizagem.
Em todo este contexto, será óbvio que a aprendizagem no sistema da escola não
pode ser baseada primariamente na actividade que brota dos interesses e necessidades
pessoais do indivíduo. A aprendizagem do aprender na escola consiste também em
aceitar tarefas propostas pelo professor e em aceitar a necessidade de prestar atenção a
tais trabalhos propostos. Num certo sentido, tais concepções personalizarão a forças
condutoras da actividade do aluno.
Assim, voltamos às questões dos metaconceitos, que são formados (e podem ser
mudados) pela ‘aprendizagem do contexto’ no sentido defendido por Bateson, como
recentemente discutido em Mellin-Olsen (1981). Os ‘marcadores de contexto’ através
dos quais o indivíduo pode adquirir as suas normas relativamente à aprendizagem e ao
conhecimento (i.e., metaconceitos de aprendizagem e conhecimento os quais
correspondem num grau apropriado às condições do sistema educacional) devem,
presumivelmente, ser estabelecidos através da actividade educacional integral sobre
tarefas necessárias para propósitos educacionais, mas apoiadas por tarefas ‘em
quantidade suficiente’ e nas quais o interesse pessoal do aluno serve como uma
motivação forte para a actividade. (Ver também as Secções 4.3., 4.4. 4.7. e 4.8. do
Capítulo 1).
28
2.4. Dimensões pessoais e sociais da aprendizagem
Para nós, o ensino através de actividade significa planear para a actividade do
aluno e utilizá-la como veículo principal para a aprendizagem intencionada. A nossa
justificação deste princípio da actividade tem consistido em considerações pedagógicas
bastante gerais relacionadas com a nossa análise do conceito de actividade e da sua
regulação.
Consideraremos agora – com base na teoria de S. L. Rubinstein (1963, 1968,
1973) – a fundamentação psicológica deste princípio, e nesta conexão estudaremos mais
profundamente as questões da regulação da actividade. Estas considerações lidam com
formas nas quais o indivíduo desenvolve uma relação teórica com o mundo que o
rodeia, e que têm, como tal, implicações pedagógicas directas.
Uma tese fundamental está contida no trabalho Sein und Bewusstsein (1973, p.
240) de Rubinstein. Neste trabalho o autor afirma que existe uma unidade entre tomada
de consciência e actividade que é devida às conexões recíprocas entre ambas e
dependência mútua.
Esta unificação tem consequências de longo alcance. A actividade prática e
teórica do “homem” condiciona o desenvolvimento da sua consciência – e da sua
personalidade. E, por outro lado, os ‘estados internos’ do indivíduo, as suas estruturas
mentais, constituem, através da sua função na regulação da actividade, os pré-requisitos
para um desempenho adequado da actividade em questão. As características mentais do
homem são demonstradas externamente através da sua actividade – no trabalho e na
aprendizagem. Assim, a actividade do homem é influenciada e, até certo grau,
determinada por essas condições internas e por esses recursos: pelo seu conhecimento e
saber-fazer, e pelas suas capacidades, atitudes, e motivações. E, este potencial interno
está, por outro lado, em contínuo desenvolvimento através da sua actividade.
Rubinstein é levado por este princípio da unidade entre tomada de consciência e
actividade a fazer a seguinte afirmação sobre o desenvolvimento do intelecto, das
capacidades mentais e espirituais do homem (1973, pp. 185-86; traduzido pelos
autores):
Os resultados acumulados dos processos da actividade humana ao longo da história são realizados ou objectificados na forma de produtos finais ou resultados. É de importância essencial para o desenvolvimento das capacidades (habilities) do indivíduo que ele adquira tais resultados. Esta dependência da actividade humana dos produtos estabelecidos ao longo
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da história pela humanidade é uma característica específica do desenvolvimento humano. As capacidades do indivíduo são desenvolvidas através de um processo no qual o indivíduo adquire os produtos já estabelecidos pela actividade humana e os torna seus. Mas, o ‘desenvolvimento capacidades’ não é uma aquisição de produtos acabados. Assim, as capacidades não são projectadas no homem por esses produtos como se estes fossem objectos, mas desenvolvidos através da interacção entre homem e os produtos do desenvolvimento histórico.
O poder explicativo destas afirmações usadas como fundamento para o princípio
da actividade é óbvio e, de acordo com Rubinstein, uma unificação similar entre
desenvolvimento pessoal e desenvolvimento educacional (Bildung) fica disponível.
Assim, ele escreve algures que as capacidades espirituais do aluno são desenvolvidas
através da vida mental activa na qual ele toma parte. Os passos educacionais tomados
pelo professor durante o processo de ensino servem para desenvolver a personalidade
do aluno no sentido de que o iniciam e guiam a sua actividade pessoal. Como veremos,
é aparente a contradição entre desenvolvimento pretendido da independência e o uso da
orientação educacional indicada.
O desenvolvimento das capacidades mentais pode ser ilustrada por uma espiral:
o aluno pode somente adquirir conhecimento e saber-fazer se o seu desenvolvimento
mental (o desenvolvimento do seu conhecimento, saber-fazer, e capacidades – incluindo
os seus esquemas de aprendizagem) atingiram um nível correspondente. E,
conversamente, as novas condições internas estabelecidas através do processo
constituem o fundamento para a aquisição de conhecimento e saber-fazer a um nível
mais elevado.
Esta dependência mútua é analisada por Vygotsky (1997, Capítulo 6 e 1978, pp.
84-91). A sua tese principal é que cada estado específico do desenvolvimento do aluno
é caracterizada pelos “nível de desenvolvimento real” e “nível de desenvolvimento
potencial”, e que é característica essencial da aprendizagem na escola que cria “a zona
de desenvolvimento próximo”.
Assim, embora o aluno não possa explicitar as possibilidades no nível potencial
por si próprio, pode conseguir realizações ao nível da zona de desenvolvimento
próximo através de orientação e apoio educacional, incluindo por exemplo,
oportunidades para imitação e reflexão relacionadas com as propostas do professor e
demonstrações que digam respeito a tarefas e procedimentos aquele nível.
De acordo com esta hipótese, não existe dicotomia entre a independência do
aluno e a orientação providenciada pelo professor e pelos meios educacionais de apoio
30
(por exemplo, materiais textuais). Os dois aspectos - a autonomia do aluno e o apoio
educacional - são interdependentes, e faz parte desta posição didáctica que as formas de
conhecimento e saber-fazer – que são estabelecidos socialmente (conhecimento
objectificado) – não podem ser desenvolvidas espontaneamente pelo aluno, mas têm de
ser mediadas por passos educacionais.
As exigências e desafios educacionais devem estar relacionados com o nível
seguinte de aprendizagem pretendido não devendo ficar restritas à questões de rotina e
prática ou a problemas ligados ao nível real de realização. Nas palavras de Vygotsky:
“Aprender tem valor enquanto contribuir para o desenvolvimento”. Os passos
educacionais devem, de acordo com o dito, ter como objectivo a aprendizagem real, os
quais através de cooperação orientada para objectos, reflexão e comunicação servem
como um impulso para novas áreas de actividade e conhecimento.
Temos agora como objectivo analisar com mais profundidade os passos
educacionais nos quais os aspectos comunicativos e sociais são de importância
fundamental, bem como o papel desses factores no planeamento educacional para a
aprendizagem através da actividade.
Os poderes característicos do homem realizam-se e objectificam-se nos produtos
materiais (criações, resultados) do trabalho e da actividade humana, e tal é verdade
tanto quando os produtos são criados por um indivíduo como quando são resultado de
processos de produção mais complexos. Similarmente, estas características do homem
são inerentes em produtos da actividade humana como a linguagem, a ciência e a arte.
O que o aluno deve tornar seu (incluindo os seus próprios esquemas de aprendizagem)
está assim disponível como conhecimento social e saber-fazer inerente aos dias de hoje,
ao estádio histórico de desenvolvimento humano, e parcialmente ligado ao estádio de
desenvolvimento dominante de entre grupos profissionais específicos.
Disto resulta que tal aprendizagem não pode acontecer através de actividade
realizada por um indivíduo isoladamente, mas deverá processar-se em relação a
actividade mediada por outras pessoas – o professor, os pais, os companheiros, etc. – e
frequentemente através de actividade realizada por um grupo que inclui o indivíduo em
questão.
Deste modo, podemos falar sobre mediação educacional mútua entre aspectos
orientados para o objecto e relações sociais, podendo descrever esta ideia da forma que
se segue. Na regulação educacional da aprendizagem através da actividade, a mediação
31
de aspectos orientados para o objecto é promovida por relações sociais, e a mediação de
aspectos sociais é promovida por relações orientadas para o objecto.
A linguagem tem um papel central nesta mediação de relações devido aos seus
poderes inerentes, generativos e generalizadores, os quais permitem ao indivíduo:
quebrar a sua esfera pessoal de experiência; identificar o essencial dos objectos sob
consideração; construir relações teóricas com a realidade; ter um lugar no conhecimento
socializado; e, no total, estabelecer-se e compreender-se a si próprio como ser humano
no contexto social e da humanidade.
Nestas perspectivas respeitantes à regulação da actividade através da linguagem,
o propósito educacional consiste em transformar a atenção e reflexão do aluno para
aspectos centrais do objecto ou tarefa em questão, e deixar, então, que a sua actividade
se desenrole. A estratégia do professor aqui será a de usar a linguagem – em todas as
fases do processo de ensino/aprendizagem – para iniciação, motivação e mediação em
relação ao fluxo dos processos de acções que são inerentes à actividade educacional (ou
tarefa) em questão; esta é uma estratégia poderosa porque a linguagem pode ser usada
conforme indicado, por ter acções desenvolvidas em proximidade com ela e relações
com a comunicação, assegurando, assim, que essas acções se tornem conscientes para o
aluno e acessíveis para debate aberto na sala de aula. Uma das directivas, a longo prazo,
da exploração daquelas possibilidades no decorrer do processo de ensino/aprendizagem
é permitir ao indivíduo o controlo das suas acções e que o faça cada vez em maior grau.
No entanto, dois factores de forte importância no efeito educacional da
linguagem como forma de regulação da actividade têm de ser indicados aqui, embora
sejam discutidos mais profundamente na Secção 4.
Primeiramente, o grau de apoio (orientação e controlo), dado pelo professor ao
indivíduo em actividade, através da linguagem é uma variável de importância
fundamental. Mais ainda, o grau de apoio que pode ser apropriado para alunos
diferentes não pode ser pré-definido, mas tem de ser estimado durante a interacção do
professor com os alunos na sala de aula. Sendo assim, uma das funções profissionais
importantes do professor é avaliar as necessidades individuais de cada aluno e fazer
variar os seus próprios comentários, sugestões e questões de acordo com o aluno em
questão – desde as indicações mais fracas até à assistência forte e directa.
Em segundo lugar, diversos outros factores, para além das palavras faladas ou
escritas, influenciam a comunicação entre o professor e os alunos e no interior do grupo
de alunos. Assim, acções não verbais de vários tipos são meios importantes de
32
comunicação e estabelecem um contexto ‘local’ adicional para interacção oral. E, além
disso, qualquer afirmação é usada e interpretada no contexto multifacetado social da
sala de aula.
Até agora, a nossa investigação mostrou que ensinar e aprender estão ambas
ligadas a um domínio de vida e acção pessoal e social, e que existe uma relação
complementar entre os aspectos pessoais e sociais da aprendizagem. Sob esta
perspectiva, olhemos para dois casos gerais de actividade sobre tarefas na sala de aula:
(1) o sujeito a agir sobre uma tarefa; e (2) sujeitos a agirem sobre uma tarefa. Em cada
um dos casos temos razões para considerar a aprendizagem pessoal e social de cada
indivíduo, no entanto (1) e (2) providenciam potenciais educacionais diferentes e
requerem planeamentos diferentes. Os dois casos estão incluídos no nosso diagrama na
Secção 1.3. (Figura. 1).
Em ambos os casos, actividade e aprendizagem tomam lugar em conexão com
passos educacionais realizados pelo professor. Assim, em (1) o aluno tem a sua relação
pessoal com o professor e com a tarefa. No entanto, em (2) relações mútuas existem
entre os membros do grupo; tal conduz a diferenças características nas condições de
aprendizagem, o que significa que o professor tem de planear as suas intervenções de
forma diferente em cada um dos casos. Presumivelmente, algumas tarefas são mais
apropriadas para actividade na forma (1) e outras para actividade na forma (2). O que é
dito de seguida está muito simplificado com o objectivo de ilustrar as diferenças nas
condições para a aprendizagem nos dois casos.
No caso (1), o aluno está, por assim dizer, forçado a contar somente com os seus
próprios recursos: decisões a tomar não podem (de forma imediata) ser deixadas ou
conscientemente transferidas para outros alunos; as acções têm de ser planeadas e
realizadas pelo aluno; neste caso o aluno pode experimentar os resultados da sua
actividade como ‘pertencendo-lhe’ – e sentir que está a aprender por si mesmo.
No caso (2), o aluno individualmente experimentará tarefa, actividade, e o
professor em pelo menos duas maneiras diferentes. Primeiramente, quando ele (embora,
por vezes de forma limitada) reflecte e age ‘por si mesmo’ e se separa conscientemente
do grupo. E, em segundo lugar, quando (presumivelmente com frequência e
extensivamente) reflecte, age e concebe na sua capacidade como membro do grupo.
Especialmente, qualquer questão ou proposta dirigida pelo professor ao grupo
influenciará o membro individual do grupo sob as perspectivas das relações internas de
entre o grupo. Aqui, o membro do grupo pode querer tornar-se invisível no grupo, ou
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pode querer dominá-lo, para mencionar as duas situações extremas. Claramente, um
número de factores sociais diferentes estão em acção aqui. Deverá ser apontado que um
dos resultados de aprendizagem no caso (2) pode ser levar o membro do grupo a
entender como o seu desempenho está relacionado com o desempenho daqueles com
quem ele está a cooperar. Os seus esquemas de aprendizagem podem ser mudados de
acordo com tal, de tal forma que ele entenda de que formas pode construir sobre
(respectivamente assistir) a actividade de outras pessoas e vice-versa.
Deverá ser enfatizado que a aquisição, feita pelo aluno, de conceito e estruturas
pertencentes à Matemática socializada (ou objectificada) deve ser cuidada através de
passos educacionais deliberados tanto quando a actividade toma lugar na forma (1) ou
na forma (2). Assim, os aspectos sociais inerentes a (2) não podem por si só
providenciar o acesso ao domínio do conhecimento socializado. A razão para tal reside
na natureza deste domínio, como descrita acima nesta secção.
O significado em situações interactivas é frequentemente mediado pela
negociação em relação à tarefa em questão. O professor tem propósitos bem definidos e
pré-formulados, sendo a correspondente comunicação e diálogo com eles relacionado
intencional da sua parte. No entanto, as respostas e acções dos alunos influenciam os
usos que o professor faz da linguagem e dos argumentos bem como, por exemplo, a sua
escolha de exemplos adicionais. Nesta perspectiva, o tradicional diálogo orientador
pode ser transformado conscientemente pelo professor num processo de negociação.
Embora o uso de situações interactivas seja da maior importância, todas as
actividades orientadas vistas retrospectivamente no momento da conclusão de uma dada
actividade têm significado decisivo na construção individual, feita pelo aluno, da
Matemática como domínio socializado de conhecimento e saber-fazer.
Uma questão importante relacionada com a unidade dos aspectos sociais e
pessoais da aprendizagem é como é que o desenvolvimento do conhecimento e do
saber-fazer, através de actividade, podem contribuir para o desenvolvimento da
capacidade de comunicar e cooperar. Esta questão está ligada ao problema de como
pode a actividade educacional ser planeada, iniciada e orientada de tal forma que o
aluno desenvolva estratégias de aprendizagem específicas que aumentem a sua
capacidade para beneficiar da comunicação e cooperação e contribuir para ela.
É necessária uma análise deste campo de problemas dado que é bem conhecido,
da experiência da prática escolar, que cooperação e comunicação, em relação ao objecto
a ser aprendido, só tomam lugar de forma apropriada e com valor quando os alunos – e
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na nossa opinião também o professor – adquiriram experiência em comunicação e
cooperação praticando esses processos ao longo de um tempo considerável.
As seguintes indicações ilustrarão como é que o professor pode apoiar o
desenvolvimento de estratégias de aprendizagem relevantes em relação a comunicação e
cooperação orientada para objectos e também como é que um formador pode iniciar os
futuros professores a explorar princípios didácticos sobre esses aspectos.
O professor deve preparar (cf. Walther, 1982) tarefas bem adaptadas para
actividade cooperativa, e preparar e realizar passos educacionais que sirvam para
assegurar:
que o indivíduo relacione as suas acções nas dimensões (1) e (2) (Ver a Secção 2.3.) com as dos seus companheiros. Expresso em mais pormenor, este ‘relacionamento’ pode ser realizado quando o aluno se apodera de acções feitas por outros; através dos seus passos para fazer com que as suas próprias acções, objectivos e ideias fiquem acessíveis aos seus companheiros e, vice-versa, as suas tentativas de compreender os seus objectivos, planos e actos; e, através dos elementos de comparação e avaliação inerentes a esses processos;
que o indivíduo se envolva em comparações conscientes das acções desempenhadas por ele e pelos seus companheiros, e dos resultados obtidos, e que entre num debate sobre essas características. Estes processos podem levar ao estabelecimento de argumentos e cadeias de raciocínio;
que a actividade individual seja iniciada e dirigida por um motivo comum, um propósito partilhado por todos ou quase todos os participantes no trabalho. As acções dirigidas-para-um-objectivo que pertencem à actividade do indivíduo dependem fortemente desse motivo, o qual providencia portanto um fundamento e pontos de partida para re-orientação dessas acções no decorrer de todo o processo.
3. Análise e exploração de tarefas matemáticas
3.1. São necessários novos meios para a análise
Como mostraremos nestas notas introdutórias, novos meios são necessários para
a análise de tarefas; não para benefício do psicólogo, mas para o uso dos professores
quando decidem que tarefas devem ser trabalhadas pelos alunos e seleccionadas dentro
de um amplo espectro, desde exercícios de rotina aos problemas.
As nossas considerações teóricas na Secção 2 até agora apenas mostraram que a
natureza das relações entre tarefa e actividade permite controlar cada uma destas
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componentes pela outra. Consideraremos agora os meios para uso do professor na sua
selecção e identificação de tarefas e na decisão dos potenciais de aprendizagem que lhe
são inerentes.
Embora tal investigação pré-activa de tarefas matemáticas seja uma parte
indispensável do plano do professor para tarefa-e-actividade na sala de aula, devemos
novamente enfatizar que a tarefa não “inclui” ou “transmite” a actividade pretendida
(acções, aprendizagem) aos alunos de qualquer modo canónico ou a priori. O maior
problema é exactamente que o controlo educacional deve ser mediado pelo professor
através do contexto da tarefa e através das suas acções e funções com ela relacionadas
durante a actividade dos alunos. As nossas considerações têm lugar nesta perspectiva,
que na Secção 4 se tornam o foco da nossa investigação.
Dois conjuntos de questões relativamente à aprendizagem na dimensão 1 e 2 (cf.
secção 2.3.) são de uma importância imediata neste contexto:
(i) Que acções estão potencialmente presentes numa tarefa ou sistema de tarefas dadas e quais são os potenciais aprendizagens correspondentes na dimensão 1 e 2?
(ii) Quais as tarefas que podem ser apropriadas para o desenvolvimento das acções seleccionadas como meios para a intencionada. e talvez exigida aprendizagem na dimensão 1 ou 2?
As acções mencionadas em (i) e (ii) são para ser feitas (planeadas e executadas)
pela acção do aluno, mas apoiadas e mais ou menos iniciadas pelo professor através do
seu plano pré-activo para a tarefa e seus passos interactivos durante a actividade na
aula. Contudo, tal uso competente e pedagógico das tarefas (incluindo uma grande
quantidade de exercícios “habituais”) é somente possível se o professor estiver na posse
das concepções, atitudes, ideias, princípios e experiência profissional no que diz
respeito às áreas problemáticas (i) e (ii).
As ferramentas necessárias são meios teóricos de suporte para funções tais
como:
identificar, descrever e caracterizar e distinguir de acordo com o tipo as acções que estão potencialmente presentes na actividade sobre a tarefa matemática dada;
caracterizar e exemplificar tarefas matemáticas educacionais de acordo com as acções que estão potencialmente presentes na actividade educacional correspondente.
Visamos criar um fundamento para a teoria e a prática relacionada com estes
dois conjuntos de funções duais. Isto pode apoiar o desenvolvimento de novas
ferramentas incluindo conhecimento e saber fazer acerca da tarefa-e-actividade. A
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necessidade de tais novas ferramentas é claramente sublinhada pelo facto de que os
meios do dia-a-dia para a caracterização e análise das tarefas e trabalhos a realizar é
geralmente limitado a: (1) o grau de dificuldade; (2) o conteúdo temático; e (3) a função
pedagógica. Vamos, nesta perspectiva, voltar às questões: O que é um exercício e o que
é um problema?
3.2. O que é um problema?
A investigação sobre o conceito de problema tem uma longa tradição filosófica.
Enquanto Leibniz não considerou o aspecto da dificuldade (Grego Aporie: dúvida,
indecisão, indeterminação) como um dos aspectos característicos do problema,
exactamente este aspecto (aporietic) é sublinhado na linha do desenvolvimento baseada
na tradição de Kant e N. Hartmann.
De acordo com esta posição, Hartkopf (1958) vê um problema como uma
questão ou uma tarefa mental com aspectos e dificuldades inerentes. Contudo,
perspectivas importantes de modelação ligadas às relações entre ‘problema como uma
situação’ e ‘problema como um texto’ não são evidentes nesta definição.
Parthey (1978) trata com um contexto rico no qual a distinção é feita entre
problema, situação-problema e consciência-problema. Um problema ganha existência
somente quando algum objectivo é para ser atingido sob dadas condições (incluindo o
conhecimento objectivo existente) e quando não está disponível nenhum procedimento
conduzindo à obtenção do objectivo. Em tal caso, Parthey fala sobre uma situação-
problema, a qual ele considera como sendo duma natureza objectiva. Todo o problema
é precedido por uma tal situação-problema.
Um indivíduo adquire consciência-problema relativamente a uma dada situação-
problema, quando ele conscientemente considera todos os aspectos dos objectivos
dados e as condições tanto como as conexões e discrepâncias entre estas. Neste
processo, o conhecimento individual, atitudes e emoções são muito influentes na forma
pela qual ele concebe a situação-problema, experiencia os objectivos e as condições, e
avalia o seu próprio processo de reflexão nestas componentes. Além disso, a
consciência-problema subjectiva inclui algumas ‘construções racionais’ que podem ser
representadas linguisticamente e desta forma fornecer as bases objectivas pelas quais o
problema como tal é concebido.
Assim, um problema é para Parthey um objecto mental que representa as
relações características entre objectivo e as condições dadas de tal forma que esta
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representação cognitiva seja objectivamente reproduzível de forma textual. No
prosseguimento, um sistema de questões e afirmações em que as afirmações servem
como um modelo de situação-problema, enquanto as questões e pedidos referentes ao
conhecimento a ser obtido, define um problema quando nenhum algoritmo é conhecido,
pela qual a descrita falta de conhecimento pode ser removida num número finito de
passos. Quando, por outro lado, tal algoritmo é conhecido, o sistema define uma tarefa.
Consequentemente, qualquer problema no sentido de Parthey é um tarefa no sentido de
Leontev (cf. Secção 2.1). Mas claramente, o inverso não é verdade.
No ambiente educacional, uma distinção nítida parecida é frequentemente
tentada entre problemas e exercícios. Tendo em vista as necessidades educacionais,
parece ser mais produtivo conceber o campo das tarefas como um espectro que se
estende entre dois pólos: tarefas para as quais um procedimento completo conduzindo à
solução é conhecida (frequentemente chamadas ‘exercícios’) e tarefas (com Aporie)
para a qual tal procedimento é desconhecido (frequentemente chamadas ‘problemas’).
A metáfora ‘o espectro de tarefas’ é proveitosa. Mas vê-se imediatamente que o
lugar – num sentido absoluto – de uma tarefa matemática educacional dada dentro deste
espectro é impossível e de nenhum interesse. Pelo contrário, no ensino da Matemática,
qualquer tarefa dada – ou observada – deve ser considerada e avaliada dentro do
espectro em relação próxima com o contexto educacional específico em que é para ser
usada. Factores importantes de enquadramento serão, por exemplo, o nível de
escolaridade em questão; os estádios anteriores, presentes e futuros do processo de
ensino/aprendizagem; o conhecimento e o saber-fazer já adquiridos, tal como estão
presentes na sala de aula como um todo e como estão disponíveis ao aluno individual.
As notas acima sublinham o carácter subjectivo e relativo dos problemas no
contexto de sala de aula: o que é um problema para um aluno pode não ser um problema
para o seu par; e o que é um problema num nível de desenvolvimento pode ser uma
tarefa de rotina num estádio posterior.
A distinção entre situação-problema, e a concepção de problema de um
indivíduo e um problema como um objecto textual, que encontrámos na nossa
referência a Parthey, é obviamente de grande interesse didáctico. Assim, situações-
problema encontram-se na realidade. São entendidas e concebidas pelos indivíduos, e
são modeladas em sistemas de afirmações e questões por estes indivíduos. Contudo,
agimos frequentemente no ensino da Matemática (devido à tradição e a determinações
pertencentes ao sistema escolar) em direcção oposta.
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As nossas considerações nesta secção têm sido decididas até aqui pelo
desenvolvimento histórico em investigações e debates do conceito de problema. Uma
análise completamente análoga pode ser feita em relação à tarefa, substituindo na
descrição acima a ‘tarefa’ de Parthey por ‘problema’ e ao mesmo tempo
desconsiderando a exigência requerida de aporie.
Desta nota resulta imediatamente que uma tarefa pode ter um carácter mais ou
menos rotineiro, ou um carácter mais ou menos de problema, dependendo do grau de
dificuldade subjectivo com que atinge o indivíduo, que aceita a tarefa quando concebe
as condições e o objectivo inerentes. Além disso, o fundamento estabelecido
permite-nos demonstrar mais claramente a relação complementar entre tarefas rotineiras
(exercícios) e tarefas-problema (problemas) no contexto do ensino da Matemática. Isto
é devido à possibilidade agora aberta para comparar exercícios e problemas nos três
níveis: o nível de situação, o nível da concepção/percepção do indivíduo e o nível da
representação textual.
3.3. Tarefas rotineiras e não rotineiras
A classificação de tarefas mais usada na literatura didáctica é semelhante à
distinção de Pólya (e.g., 1966) entre tarefas rotineiras e tarefas não rotineiras, na qual
lutar com as ‘dificuldades’ requer um certo grau de originalidade e construtividade.
Todavia, as armadilhas inerentes à tentativa de fazer uma avaliação absoluta do
grau de rotina ou de dificuldade, não deve somente ser evitada mas deliberadamente
contrariada por uma exploração pedagógica activa do facto de que estes aspectos são
subjectivos e relativos (cf. a secção precedente). De acordo com isto, o papel
pedagógico de uma tarefa deve ser estimado no contexto dos processos reais de
ensino/aprendizagem em são para ser usados isto é, na perspectiva dos alunos (as suas
necessidades, interesses e desempenho) e na perspectiva da interacção pretendida ‘à
volta da tarefa’ entre os professores e os alunos.
Mas, quando isto é sublinhado, uma outra classificação de acordo com a
experiência profissional geral e ligada ao uso dos manuais é claramente de interesse
para o professor para usar na sua planificação. Tal classificação foi dada por Le Blanc
et al., Butts, e Suydam em Krulik e Reys (Eds., 1980).
As contribuições destes autores produziram um amplo sistema de classificação
estruturado na tabela abaixo. Ela pode fornecer alguma ajuda geral ao professor que
procura analisar uma dada tarefa na perspectiva do processo de ensino/aprendizagem
39
nas suas próprias aulas. Assim, a deliberação acerca do lugar de qualquer tarefa
pretendida dentro deste sistema de duas colunas representa um importante grau de
consciência acerca da questão: “Porque é que eu devo usar esta tarefa como fundamento
para a aprendizagem e actividade dos meus alunos?”
Tarefas rotineiras (exercícios) Tarefas não rotineiras (problemas) Exercícios de reconhecimento Problemas de processo Exercícios algorítmicos Problemas de pesquisa abertos Exercícios de aplicação (problemas de palavras) Situações problemáticas
As palavras entre parêntesis no cimo das colunas são termos ‘populares’
frequentemente usados para distinguir entre tarefas rotineiras e não rotineiras, e que
também apontam para a principal função pedagógica do trabalho a realizar.
A tarefa em questão – quer seja um exercício ou um problema – pode ser
apresentada numa forma textual escrita (não necessariamente retirada no manual
usado), ou pode ser apresentada como uma situação (por meio de materiais específicos;
relacionada com o ambiente; ou criada como uma história contada pelo professor).
Consequentemente, ambas as colunas podem ser consideradas como cobrindo tanto
‘tarefas habituais (standard) dos manuais’ como ‘tarefas ad hoc’, e ambas as formas em
vários modos de apresentação.
Por isso, o sistema oferecido aqui como um meio para uma análise preliminar de
uma tarefa dada ou pretendida tem realmente um grande alcance. E isto é ainda
ampliado pela explicação e informação adicional que é normalmente dada durante o
desempenho da tarefa, e que é usado – mais ou menos conscientemente – pelo professor
para fornecer sugestões e orientações de graus variados acerca das suas intenções e
expectativas em relação à tarefa e relativamente às formas de a iniciar. Estas ricas
possibilidades permitem ajustamentos apropriados dos tradicionais processos de ensino
baseados nos manuais por meio de tarefas ad hoc inseridas deliberadamente.
Voltaremos a este tema na Secção 4.
Em resumo, a tentativa de classificação dada acima torna-se numa importante
ferramenta nas tomadas de decisão do professor. Neste processo, as seguintes teses
podem ser úteis.
1) O desempenho das tarefas de rotina é principalmente um meio para a aprendizagem de tipos subsumidos. Deste modo, a actividade em tais tarefas contribui antes de mais para uma consolidação cognitiva do conhecimento e competências já adquiridas pelo aluno. Contudo, a
40
prática e o treino de rotinas já adquiridas não contribuem para um desenvolvimento genuíno do conhecimento e o treino e a prática isoladas são meios especialmente não apropriados para o desenvol-vimento/explicação/ensino de novo conhecimento.
2) O desempenho de tarefas não rotineiras dá – devido à interacção inerente entre aspectos heurísticos e acções rotineiras (e.g., o uso de algoritmos já adquiridos) – condições óptimas para o desenvolvimento cognitivo em que: o novo conhecimento subjectivo é construído pelo indivíduo; o itens de conhecimento prévio adquirido (informação consciente)
são reconhecidos e avaliados pelo indivíduo – em novas perspectivas, com novos potenciais, em novas relações mútuas – e são reorganizados e restruturados num corpo de conhecimento consolidado e alargado.
Vamos dar uma maior ênfase a estas afirmações recordando que normalmente o
desenvolvimento individual está ligado à actividade individual – através de motivos
pessoais – sobre um objecto no seu contexto social. Deste modo, a nossa segunda tese
não é justificada a priori por qualquer conjunto de tarefas não rotineiras em forma
textual mas no background total dos potenciais educacionais inerente à tarefa-e-
actividade (cf. Secções 1.3. e 2.4.).
Deve ser sublinhado em termos gerais que qualquer análise da tarefa deve ter
lugar na perspectiva do processo de ensino/aprendizagem no qual é para ser usado, e
que, consequentemente, uma análise pré-activa dependerá das intenções educacionais. E
que, além disso, o carácter relativo e subjectivo de aspectos como rotineiro, não
rotineiro, dificuldade, grau de abertura, não podem ser correctamente cuidados apenas
pela análise pré-activa e selecção das tarefas.
3.4. Outros meios didácticos para análise da tarefa
A análise e exploração das tarefas feita na Secção 3.3. é defeituosa no sentido
em que se concentra em aspectos e características da própria tarefa e não nas suas
potencialidades como um objecto para a actividade do aluno, a qual como entidade se
torna num objecto para as funções do professor na sala de aula. E a mesma deficiência
está presente nesta subsecção.
Contudo, a complexidade da tarefa e actividade justifica que os meios para uma
análise parcialmente ‘isolada’ da tarefa sejam identificados e discutidos. Estes meios
podem ser concebidos como questões específicas que podem ser formuladas em relação
a qualquer tarefa, e para as quais um conjunto de respostas tentativas estabelecem uma
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indicação do potencial educacional e do alcance da tarefa – para ser melhor analisado
no contexto da planificação do professor para a usar no seu próprio ensino.
Nesta luz, formulamos as seguintes questões gerais. Elas podem ser levantadas
em ligação com uma tarefa, mas têm presumivelmente um interesse especial quando é
feita uma tentativa para analisar o carácter e potencialidades de tarefas não rotineira. As
cinco questões (ver abaixo) estão estreitamente interrelacionadas. Estão todas
relacionadas com aspectos da natureza relativa e subjectiva e as respostas não
dependem somente da tarefa em questão mas das intenções pedagógicas da pessoa que
responde. Enumeramos cinco questões, oferecendo breves comentários, e apelamos ao
leitor para tomar estas questões como ponto de partida para a sua própria reflexão.
O contexto da tarefa?
A complexidade da tarefa?
O grau de abertura da tarefa (ou de determinação)?
A forma e apresentação da tarefa?
A origem da tarefa?
O contexto da tarefa?
A tarefa tem a ver com relações internas à Matemática? Ou é uma tarefa de
aplicação do tipo pro forma, tal como os ‘problemas de palavras’ tradicionais? Estará a
tarefa correctamente adaptada ao processo de ensino/aprendizagem que está a decorrer
na sala de aula? E terá um interesse apropriado e será relevante para estes alunos?
A complexidade da tarefa?
Poderá a solução da tarefa ser estabelecida por meio de alguns passos óbvios?
Ou poderá o desempenho apelar para várias séries de acções? E devem estas séries ser
desempenhadas pelos alunos por uma ordem definida (a ser identificada, talvez, por ela
mesma no decorrer da actividade na tarefa)? Existe uma exigência para a análise lógica
da tarefa?
42
O grau de abertura?
A tarefa é descrita de uma forma aberta como em Quanto custa manter um cão?,
ou tem um alto grau de ajuda inerente na formulação textual como no exemplo (2) da
vinheta? Os objectos a ser trabalhados são dados clara e explicitamente? Algumas das
possibilidades a investigar são mencionadas no texto? São dados exemplos de abertura?
Existe um contexto apropriado para ulteriores decisões independentes e actividade?
A forma e a apresentação da actividade?
Esta questão é sobre a forma e o efeito da apresentação textual da tarefa. Assim,
o nosso interesse liga-se neste estádio à análise das formas pelas quais ‘a tarefa como
texto’ é apresentada aos alunos (cf. os conceitos Texto I e Texto II em Keitel at al.
1980).
Outro aspecto importante é a extensões em que o texto contém incentivos e
pontos de partida para a reflexão – ou mesmo para o diálogo entre o leitor e o texto ou
‘dentro’ do próprio leitor. E um terceiro aspecto para análise é se o texto é desafiante
em grau apropriado. Considere as últimas questões mencionadas relacionadas com a
forma e a apresentação textual do exemplo (2) na vinheta.
A origem da tarefa?
Uma tarefa educacional existente (e.g., dada em forma textual) foi
concebida/construída/formulada num certo contexto e influenciada por certas intenções
didácticas. O conhecimento e a reflexão acerca da origem da tarefa (e.g. do seu papel e
contexto histórico) pode ser uma importante ferramenta na análise da tarefa e das suas
potencialidades num contexto modificado.
Relacionado com este aspecto está o facto bem conhecido que uma tarefa que
tenha sido criada por professor com objectivos e usos específicos (ou que tenha sido
ajustada ou desenvolvida de uma tarefa existente nessas perspectivas) adquire um papel
e um interesse especial para o professor.
Há também um potencial rico para a aprendizagem dos alunos quando estes
constróem a tarefa (e.g., a ser resolvida por outros alunos ou a ser ‘publicada’ no
placard da turma). A necessidade inerente – genuinamente motivada – para a descrição
43
das condições e a formulação de questões fornece ao ‘autor’ ricas possibilidades de
aprendizagem e o mesmo conta para o seu desenvolvimento das respostas e para a
defesa destas em debates com os seus pares. Tal actividade pode influenciar
grandemente as concepções dos alunos da Matemática, da aprendizagem e do ensino
porque aqui a criação, exploração e construção têm a sua origem nos alunos mais do
que no professor e no manual.
Temos repetidamente sublinhado que os resultados de uma análise, uma
classificação, ou uma avaliação da tarefa dependem fortemente das intenções
pedagógicas sob a quais se vê a tarefa para ser usada na aula pelo professor ou para ser
analisada pelo didacta. E de modo semelhante, que a actividade e a aprendizagem dos
alunos – quando e se a tarefa é usada na prática – depende fortemente das formas pelas
quais é apresentada pelo professor e das suas interacções com os alunos na aula.
Pontos de vista muito diferentes (sobre as relações entre tarefa e actividade,
ensino e aprendizagem) situam-se por detrás da crença que certas tarefas por si só
servem para finalidades pedagógicas específicas adicionais. Com tal concepção
sobresimplificada da relação entre tarefa e aprendizagem, o professor, quando quer
motivar, procura uma ‘tarefa motivadora’ e quando quer ensinar aplicações, procura
para uma ‘tarefa de aplicação’, etc. O perigo de erradamente tentar ‘rotular’ uma tarefa
como uma espécie de garantia do seu efeito pedagógico tem sido inerente ao nosso
tratamento da classificação das tarefas nesta secção, e esta é a razão para as nossas
várias advertências.
3.5. Desenvolvimento de estratégias cognitivas
Lidamos nesta subsecção com esquemas ou estratégias de aprendizagem que os
alunos podem adquirir – ao longo do tempo – através da sua actividade em diferentes
tipos de tarefas. Introduziremos o tema com alguns exemplos de problemas
exploratórios, um tipo de tarefa descrita por muitos autores, e.g. (1978) por Avital e
Parness.
(1) De quantas maneira o número 60 pode ser representado como uma soma de números naturais consecutivos?
(2) Determine – no contexto do exemplo (2) da vinheta – seis números mágicos diferentes.
(3) É possível haver sempre vencedor neste jogo? O número inicial é 0 e o objectivo é chegar a 100. Dois jogadores escolhem alternadamente um dos números 1, 2, ...., 9, e adicionam o número escolhido à soma
44
previamente formada (i.e., somando ao 0 no primeiro passo). O primeiro jogador a chegar a 100 é o vencedor.
(4) Investigar polígonos do tipo ilustrado. Qual é a relação entre o número i de ângulos internos rectos e de ângulos externos rectos?
Fig.3
O leitor poderá presumivelmente – depois de uma análise destas tarefas e
através da sua experiência – concordar com as seguintes conclusões:
As tarefas admitem procedimentos exploratórios que são desenvolvidos através da investigação de casos individuais (i.e., uma abordagem indutiva).
O trabalho em casos individuais e a recolha de dados relacionados poderão ser reconhecidos pelos alunos como promissores e poderão ajudá-los na formulação de conjecturas ou na resolução do problema.
A recolha de dados e a actividade na tarefa é possível em diferentes níveis (e.g., no que respeita à profundidade e à dificuldade).
A actividade na tarefa está – especialmente no estádio de recolha de dados e informação – ligada à prática de competências matemáticas fundamentais.
É muito fácil formular sub-finalidades e sub-tarefas relativamente a estes problemas.
Cada uma destas tarefas pode constituir a semente de um sistema fácil de criar de tarefas relacionadas ou análogas (i.e., elas não representam puzzles isolados).
As tarefas poderão ser desafiantes devido ao seu carácter estrutural interno e poderão estimular e encorajar o aluno a desenvolver esforços pessoais e tentativas para estabelecer uma solução.
A lista identifica diversos aspectos que servem para caracterizar tarefas de
exploração. Inferimos através destas características que a actividade dos alunos neste
tipo específico de problemas subjectivos poderá contribuir para a aprendizagem
desejada pelo menos nestes três aspectos. Assim, tarefas de exploração têm:
Um efeito activante no sentido que motivam para, e iniciam uma actividade possibilitando aprendizagem em níveis cognitivos de nível superior (na nossa dimensão 2), e.g. aprender como explorar uma situação;
45
Um efeito reactualizante no sentido que o conhecimento e os procedimentos adquiridos integram-se como ferramentas e meios necessários e proveitosos no desempenho de acções orientadas por finalidades;
Um efeito produtivo no sentido que o conhecimento e o saber fazer adquirido previamente não é apenas recordado para uso imediato, mas que estes elementos, frequentemente, têm de ser adaptados, modificados e desenvolvidos para se adaptar às necessidades actuais.
Os exemplos acima mostraram que a aprendizagem em níveis cognitivos
superiores, ou seja, aquisição e desenvolvimento de estratégias cognitivas, é fomentado
quando o indivíduo interage com problemas como objectos do seu ‘ambiente’.
Chamaremos a atenção aqui para a descrição proposta por Wittmann (1973) de duas
direcções principais nesta interacção: (I) do ambiente para o indivíduo (II) do indivíduo
para o ambiente.
(I) A tarefa T é dada. O indivíduo está à procura da solução S. O equivalente mental duma solução objectiva é um plano ou esquema cognitivo, e podemos agora – dependendo da tarefa dada – distinguir entre três procedimentos cognitivos:
(a) selecção do esquema (através de tarefas de rotina) (b) adaptação do esquema (através de tarefas não familiares) (c) desenvolvimento do esquema
(através de tarefas requerendo esforços criativos)
(II) Um indivíduo está na posse de um sistema cognitivo S. Está à procura da tarefa T a qual pode ser resolvida por meio de S. Como no caso (I) podemos distinguir três procedimentos:
(a) selecção da tarefa (para esquemas de rotina) (b) adaptação da tarefa (para esquemas complicados) (c) desenvolvimento da tarefa
Oferecemos dois exemplos e recomendamos que o leitor os explore – tal como
exemplos da sua própria escolha – nas perspectivas de (I) e (II).
Primeiro, considere a tarefa (1) dada no início desta subsecção. Poderá ser vista
como uma ilustração do caso (b) (e parcialmente (c)) de (I). De seguida, considere esta
clara ilustração de um caso (c) de (I): construir o ponto médio de um segmento de recta
dado usando somente uma régua não graduada com lados paralelos (régua paralela). O
aluno ao resolver esta tarefa desenvolverá uma certa estratégia básica, e ele desejará
muitas vezes -– como a experiência mostra – ‘andar à volta’ e tentará responder à sua
própria questão emergente: “que construções posso fazer com uma régua paralela?”.
46
Isto ilustra os casos (b) e (c) de (II), mas – como o leitor envolvido na actividade sentirá
– isso também demonstrará muito claramente a interacção entre as duas direcções: da
tarefa ao esquema e do esquema à tarefa.
Em geral, tarefas de um tipo mais complexo, conduzem a um processo cognitivo
(claramente influenciado pelo ambiente educacional e social) em que ambas as
direcções são efectivas de uma forma integrada e numa relação claramente
complementar. Esta complementaridade entre as duas ‘direcções de pensamento’ (I) e
(II) pode proveitosamente ser considerada na perspectiva da complementaridade entre
processos e produtos.
Deste modo, vemos no exemplo (1) da vinheta um domínio total do produto
sobre o processo, e a selecção do esquema inicial toma lugar nas sugestões dadas
presumivelmente sem qualquer necessidade de uma deliberação conscienciosa. No
exemplo (2) a actividade poderá também incluir o uso extensivo de esquemas de
multiplicação, mas o trabalho será aqui fortemente orientado para o processo. A
exploração relativamente aos números mágicos motivará então – e tornará necessárias –
um número de acções do tipo geral, como por exemplo, exploração de uma situação,
procura e observação de regularidades, formulação de conjecturas, etc. E neste rico
processo de aprendizagem encontraremos agora todos os aspectos (a), (b) e (c) da
interacção entre a tarefa e os esquemas cognitivos do indivíduo agindo a trabalhar em
estreita integração. Deste ponto de vista, podemos estar de acordo com o dito chinês, “o
objectivo é o caminho”.
O interesse para uma investigação de aspectos de processo – e os potenciais
científicos e pedagógicos da ‘Matemática em construção’ – é salientado na concepção
de Pólya da Matemática e da educação matemática (1945, p. VII):
Sim, a Matemática tem duas faces; é a ciência rigorosa de Euclides mas é também algo mais. A Matemática apresentada no modo euclidiano aparece como uma ciência dedutiva e sistemática; mas a Matemática em construção aparece como uma ciência experimental e indutiva. Ambos os aspectos são tão velhos como a própria ciência Matemática.
Assim, há boas razões para distinguir entre tarefas no sentido da ‘distribuição da
prioridade’ num espectro que vai da forte valorização dos produtos à forte valorização
dos processos. Estas perspectivas produto/processo foram também discutidas em
pormenor por Avital e Finegold (1976).
47
Na literatura didáctica têm sido feitas várias tentativas para classificar a
interacção entre o indivíduo e as tarefas matemáticas não rotineiras por meio de tipos de
acções (ou tipos de actividade). Por exemplo, as categorias:
- reconhecer e iniciar a construção do conhecimento - (Erkenntnisfindung) - adquirir e estabilizar conhecimento - (Erkenntnissicherung) - organizar, apresentar e descrever conhecimento; - (Erkenntnisdarstellung)
podem ser usados para uma análise e avaliação de tal tarefa.
Um ponto de vista semelhante – pondo ênfase em aspectos que iniciam a
actividade construtivista, cognitiva e a substanciação reflexiva e organização do
conhecimento – é representada por Choquet na sua proposta que qualquer actividade
matemática é estabelecida por ciclos em que as seguintes funções interagem:
observação; matematização; dedução; aplicação.
Além disso, Choquet descreve estes ciclos (os quais podem ser menores ou
maiores em extensão) como se segue (1962):
Cada um dos grandes ciclos corresponde à conquista de uma nova noção; os seus quatro estádios são os estádios necessários para permitir ao cérebro a sua própria restruturação e mudar de um nível de pensamento para outro.
Embora estes pontos de vista possam não encontrar aceitação em todos os
pormenores, eles têm importantes consequências.
Actividade – no sentido de ‘fazer Matemática’ – é um elemento intrínseco da Matemática, e não deve ser simplesmente visto como uma consequência de uma estratégia pedagógica.
O espectro de acções matemáticas ‘aceitáveis’ é alargado para além dos tipos bem estabelecidos (e.g. sistematizar, definir e deduzir) e passa a incluir o domínio experimental da identificação e construção do conhecimento (cf. Pólya, 1954).
Para o ensino da Matemática, Christiansen (1969) descreve a sua concepção de
abordagens indutivas em quatro passos, os quais ele resume sob os seguintes títulos:
experimentação; observação; formulação de hipóteses e teste de hipóteses por ulterior
experimentação. Ele sublinha que a actividade indutiva é uma preparação importante e
necessária para uma subsequente organização dedutiva dos domínios matemáticos, mas
menciona também a sua importância geral como “um método de trabalho especial
48
aplicável por qualquer ser humano tentando obter cognição relativamente a qualquer
campo do conhecimento”.
A actividade do tipo, normalmente chamada, ‘experimentação’ está ligada a
esquemas cognitivos tais como planificação, organização, classificação – mas todos
usados de uma forma deliberadamente tentativa: experimentando diferentes abordagens,
fazendo inferências a partir de exemplos, fazendo e refazendo ilustrações, investigando
conjecturas, planeando e replaneando, organizando e reorganizando, etc.
Enquanto a característica básica da actividade humana genuína é a sua
orientação para objectos, a actividade educacional pode ser mais ou menos ‘distorcida’
porque o aluno será guiado em graus diversos por motivos externos ao objecto dado
(tarefa). A experimentação como parte do ensino da Matemática pode ser limitada e
controlada por um dado contexto matemático; mas ela ocorrerá, por causa de uma
planificação pedagógica deliberada, em domínios muito complexos, e.g. num contexto
circundante ou ligada a materiais concretos ‘estruturados’. Embora as contribuições
para o desenvolvimento de estratégias individuais de aprendizagem (aqui o seu esquema
para a experimentação e exploração) sejam nestes casos indubitáveis, pode ser difícil
avaliar (e.g. através de observação) a medida e o carácter da sua aprendizagem
matemática e se tal aprendizagem tem lugar tal como era pretendido.
É óbvio, através destas considerações, que as tarefas educacionais que exigem
um elevado grau de experimentação, exploração, reflexão e comunicação (com outros
alunos e com o professor) constituem uma ferramenta educacional que – no ensino de
cada disciplina escolar – serve fortemente para aumentar a aprendizagem e o
desenvolvimento para além dos limites das disciplinas Actividade em tais tarefas é,
portanto, um importante meio educacional de ajudar os processos gerais de socialização
que é um dos papéis básicos da escola como um instrumento criado pela sociedade.
Estas ideias estão claramente expostas num contexto sociocultural no trabalho
de Winter (1975). A ideia essencial é que a aprendizagem no contexto do ensino da
Matemática faz a mediação entre o homem como uma criatura activa e a Matemática.
Para aprofundar esta mediação, o processo de ensino/aprendizagem da
Matemática deverá incluir tarefas que apoiem o desenvolvimento e uso de estratégias
cognitivas relativamente às seguintes funções:
investigação, inquirição, exploração, construção; argumentação racional; matematização, modelando situações externas ou internas à
Matemática.
49
Estas estratégias cognitivas – a primeira das quais já considerámos
repetidamente – são de carácter e graus diferentes de generalidade. São adquiridas e
reconhecidas ao longo do tempo durante a actividade do indivíduo em tarefas com
diferentes conteúdos. Portanto, poderemos presumivelmente considerar as estratégias
cognitivas no sistema acima (o qual contém subsistemas de técnicas e conhecimentos
básicos servindo para o processamento e aquisição de informação matemática) na sua
inter-relação e interacção como uma parte complexa da estrutura cognitiva do
indivíduo, cf. e.g., Aebli (1981). Todavia, descrições como as acima mencionadas –
onde as estratégias de aprendizagem geral são mencionadas separadamente – têm os
seus méritos, porque elas podem servir como perspectivas importantes em cada um dos
três estádios principais de processos de ensino: estádio de planificação, o estádio de
execução e o estádio de reflexão construtiva.
Contudo, os modos pelas quais tais orientações e perspectivas gerais são trazidas
para o terreno da prática é um campo de problemas importante a ser atacado na Secção
4. Inclui, por exemplo, a questão de como as estratégias heurísticas de Pólya se podem
tornar ferramentas para o professor, e como ele as pode mediar para os seus alunos. Mas
voltemos por agora às três estratégias cognitivas acima mencionadas.
Acções que podem contribuir para a aquisição de esquemas cognitivos ajudando
a argumentação racional são ilustradas abaixo. Os papéis do professor como iniciador e
mediador estão claramente implicadas nas formulações (cf. Secção 2.4.).
Discussão, comparação, avaliação de processos de solução e seus resultados durante os quais a linguagem diária e a ‘linguagem matemática’ interagem. A exploração de um dado espaço de problemas, na forma de tentativas de produzir sub-tarefas e suportar estas tentativas pelo desenvolvimento de exemplos e contra exemplos pelos quais o potencial inerente é investigado.
Exploração com materiais (e.g. consistindo em afirmações) onde a comparação entre itens apela para o uso de estratégias tais como argumentos hipotéticos (“se isto foi verdade, então...”) e provas indirectas.
De forma semelhante, a aquisição pelos alunos de esquemas cognitivos que
suportem a matematização podem ser promovidos, através da sua actividade, em tarefas
não rotineiras seleccionadas, quando esta actividade é influenciada por passos
educacionais que asseguram que tipos apropriados de acção são realizados.
Identificação e recolha de dados (através da medição, comparação, estimação, cálculo, recolha de informação de peritos, etc.).
50
Interpretação de dados e de resultados (que, por exemplo, foram fornecidos por meio de um modelo estabelecido, e que estão disponíveis, e.g. de forma numérica ou gráfica).
Ulterior desenvolvimento e exploração dos (ou a partir dos) dados fornecidos pela descrição ou modelo estabelecidos.
Descrição de situações por meio da linguagem matemática (conceitos, símbolos, tabelas, ilustração gráfica) comparação de resultados obtidos através de modelos diferentes da mesma situação.
Mais informação sobre aspectos didácticos de matematização podem ser
encontrados em Steiner (1976).
4. Planificação de tarefas e actividades
Um sistema de contribuições teóricas sobre tarefa e actividade como
ferramentas no ensino e aprendizagem da Matemática foram estabelecidas nas Secções
2 e 3. Mas como, de que forma e com que extensão deve o conhecimento teórico deste
tipo ajudar o professor de Matemática na sua prática? As respostas a estas questões são
usualmente desanimadoras, e há um acordo geral, como foi discutido na Secção 1, que
melhores meios para a implementação de novos conceitos e rotinas de sala de aula são
necessários. O objectivo específico desta última secção é contribuir para responder às
seguintes questões básicas: como pode a teoria ser trazida mais produtivamente para a
prática no domínio da tarefa-e-actividade?
4.1. Sobre os princípios e métodos pessoais do professor
Vários princípios didácticos acerca de tarefa e actividade foram considerados
neste capítulo e muitos deles foram expressos na forma de conclusões normativas,
afirmando que certos procedimentos de ensino terão um certo efeito.
Quando um professor está de acordo com um ponto de vista expresso nalguma
tese (“Deve ser dada uma grande prioridade às actividades de exploração pelos
alunos!”) ou com alguma intenção educativa (“A comunicação e cooperação devem ser
promovidas no ensino da Matemática!”), e quando ele tem consciência desta
concordância ou aceitação e reflecte sobre isso, podemos dizer que o professor tem esta
concepção normativa como um princípio pessoal. Se ele decide trabalhar de acordo com
este princípio, deve aplicar e talvez desenvolver algum método e estratégia
correspondente para que estas ideias se possam relacionar com a prática.
51
O seu método pode consistir em acções específicas a ser realizadas no processo
de ensino, e.g. numa série de passos a ser seguidos ao explicar um algoritmo ou
introduz um novo tópico. Ou o método pode estar relacionado com certos
procedimentos a ser seguidos no seu plano de aula diário ou na sua observação e
avaliação da actividade do aluno.
Em todos os casos o seu princípio (como uma concepção, como um ponto de
vista), tem um estatuto cognitivo diferente do seu método, o qual pode existir para ele
primeiro como um sistema mental de acções pretendidas (como intenção), mas mais
tarde – quando tiverem sido usadas na aula – também como um procedimento (como
operação).
O professor estará frequentemente motivado para descrever o seu método. Por
exemplo, em resposta ao interesse ou desafios expressos pelos seus colegas, ou pelos
alunos e pais. A sua descrição do método – oral ou escrita – é um modelo do seu
princípio.
Se o professor usa o seu método na aula, e se reflecte sobre os resultados obtidos
comparando-os com as suas intenções ele estará normalmente motivado para procurar
ajustamentos. Estes podem estar relacionados com a sua concepção do princípio (o seu
conteúdo mental) ou com os passos usados no método, isto é, o modelo do princípio (a
sua forma externa). Tais ajustamentos são frequentemente realizados numa série de
passos que estão relacionados apenas com uma de duas dimensões: o princípio e o
método pelo qual é praticado.
No exemplo acima considerámos um professor que reflecte conscientemente
sobre um princípio e sobre o seu efeito na sua própria prática. Contudo, os princípios
estão também presentes na mente dos professores – e influenciam a sua prática – numa
forma menos consciente, e o mesmo acontece com outros factores mentais de tipos
diversos e efeitos como desejos, expectativas, atitudes e ambições. Durante o trabalho
na aula, as suas concepções mais ou menos reconhecidas estão representadas nas suas
acções na forma de aspectos correlativos exteriorizados. Consequentemente, também
neste casos a concepção em questão está numa interacção estreita com o procedimento
de ensino através do qual ele actuou. Segue-se que os princípios pedagógicos e métodos
de ensino são desenvolvidos e mudam numa mútua dependência, e que isto é verdade
independentemente da explicitação e consciencialização dos princípios bem como dos
métodos.
52
Ao longo do tempo, os princípios e métodos pessoais do professor actuam um
sobre o outro – influenciados pelas experiências ligadas aos ajustamentos mencionados
– até que algum equilíbrio é atingido tornando-se o professor capaz de lidar com a
complexidade do processo de ensino/aprendizagem como um todo. Este equilíbrio
global pode alterar-se claramente com o tempo à medida que processos de modificação
ocorrem devido a novas necessidades ou exigências. Estamos aqui no núcleo dos
mecanismos pelos quais o professor adquire, ajusta e desenvolve princípios pessoais e
estabelece métodos e rotinas correspondentes (cf. Secção 2.2.).
Nós vimos acima que há uma relação complementar do tipo conteúdo/forma
entre um princípio e o método correspondente. E, além disso, que qualquer princípio (e
qualquer método) é instituído e efectivado apenas em interacção com outros princípios
e procedimentos, nunca isoladamente. Neste contexto, as questões que se seguem estão
claramente indicadas:
Como podem os professores ficar motivados para reflectir acerca de princípios (expectativas, atitudes) que estão a influenciar e determinar o carácter e a forma das suas funções pedagógicas?
Como podem os professores ser introduzidos ao uso de princípios didácticos que são promovidos por fontes externas (e.g. relatórios de investigação ou decretos oficiais), de modo a que se tornem úteis no processo de ensino/aprendizagem da Matemática?
Devem tais princípios de origem externa ser propostos em conjunto com os métodos e estratégias correspondentes pelos quais se espera (ou se requer) que os princípios sejam postos em prática?
Estas e outras questões semelhantes, por assim dizer, colocam-se por si mesmas
no contexto acima estabelecido. Elas estão relacionadas a preocupação com o
desenvolvimento e construção de novo conhecimento pelo professor individual acerca
do seu próprio ensino e da aprendizagem dos seus alunos. E elas lidam com a regulação
da actividade do professor, e portanto quando o controlo externo é considerado com
problemas de tipo ético.
Mas, consequentemente, a parte central da resposta a estas questões acerca do
desenvolvimento pessoal e implementação social do planeamento educativo são para ser
estabelecidas no próprio quadro deste capítulo: o conceito de actividade orientada por
objectos e o controlo mútuo entre tarefa e actividade. Aqui, no entanto, com o professor
como a indivíduo em acção.
53
4.2. Princípios pessoais e conhecimento teórico
A relação entre princípios pessoais e métodos pessoais foi considerada acima.
Mas quais são as relações entre estes dois aspectos complementares e o conhecimento
teórico de base já adquirido (construído/desenvolvido) pelo professor?
O primeiro passo na nossa resposta é baseado na hipótese de que a actividade
humana procede de acordo com o motivo (Secção 2.1.) e que a actividade de ensino do
professor individual, interna e externa, é portanto ‘conduzida’ pelo seu motivo global.
E, como a história nos tem demonstrado, um indivíduo agindo na perspectiva de
princípios pessoais firmemente estabelecidos (convicções, expectativas, desejos,
atitudes, emoções) é na verdade uma força poderosa.
No entanto, de facto, o professor deve trabalhar na maior parte das situações de
ensino – devido às suas concepções de ensino e aprendizagem e de acordo com a sua
própria auto-compreensão profissional – com um espectro de motivos globais.
Habitualmente, alguns destes motivos ou perspectivas gerais dizem respeito ao
conteúdo da disciplina, enquanto outros motivos estão relacionados com o processo de
trabalho e os resultados pretendidos; com aspectos educacionais normativos; com as
necessidades dos estudantes com um estatuto especial na turma (e.g. com alunos com
‘lentidão’ e ‘grande capacidade’). Ainda outros motivos podem dizer respeito às
ambições pessoais, expectativas e emoções bem como a aspectos pessoais semelhantes
dos estudantes.
A capacidade de ser activo com um tal espectro de motivos é – como foi
apontado por Neisser (1976b) – uma característica do homem. E, tal como o professor
realiza a sua actividade de ensino de acordo com certas forças condutoras pessoais, a
actividade do estudante individual procede de acordo com o espectro dos seus motivos
pessoais. E em ambos estes processos de actividade, aprendizagem e desenvolvimento
ocorrem a partir da exploração dos recursos internos do indivíduo.
Mas regressemos ao nosso interesse principal aqui, a relação entre o
conhecimento teórico do professor e os princípios pessoais. Se nós simplificarmos, o
objecto para a actividade do professor numa situação de ensino pode ser vista como a
actividade do aluno numa tarefa designada. A sua actividade de ensino procede de
acordo com os seus motivos globais. E as finalidades das suas acções de ensino podem
emergir conscientemente como intenções ou existir nas suas operações. Quando
motivos e finalidades novos (ou aceites de novo) estão envolvidas, um processo de
54
modificação (cf. Secções 2.2. e 4.1.) tem início – conduzindo talvez a um novo
equilíbrio entre princípios e métodos.
Em tal processo de modificação, o repertório (store) de conhecimento, saber-
fazer, e experiência já adquirida pelo professor entram em uso. Descrevemos estes
recursos pessoais por termos tais como: esquemas cognitivos; memória de longo prazo
de dados factuais de vários tipos; conhecimento e consciência de temas, domínios e
ciências; rotinas standard; rotinas profissionais; estratégias heurísticas. Estes
repertórios são construídos durante a formação do professor individual e na sua vida
profissional, e variam em profundidade, grau e extensão de professor para professor. E
podem – até mesmo quando estão em construção no futuro professor – entrar em acção
no seu processo de modificação, e se for dada oportunidade, como parte da sua
educação, para actividade pessoalmente motivada com alunos envolvidos em tarefas
matemáticas.
No decorrer destes processos, o professor trabalha sob a influência de
expectativas ou antecipações. As suas interacções com os alunos leva-o a modificar as
suas intenções e operações e a iniciar observações sob outros esquemas antecipatórios.
Neste processo contínuo, durante o qual a personalização de princípios e métodos, e o
seu equilíbrio, estão em desenvolvimento, os esquemas antecipatórios existentes serão
muitas vezes ineficazes, e aprender sobre ensino toma lugar no sentido que novos
esquemas são construídos habilitando o professor a ver, ouvir, e fazer outras ‘coisas’
que não fazia anteriormente. Nas palavras de Neisser (1976a, p.23): “O próprio acto de
procurar” enforma o que é observado “em certo grau do conteúdo” a ser usado na
construção de novos padrões das acções internas ou externas do professor.
Neste processo total, os recursos pessoais presentes de cada professor individual
são incorporados na sua acção de ensino, tornam-se parte deles, e podem ser
conscientemente reconhecidos com um grau progressivo de compreensão: “Isto pode
ser, o que é pretendido pelo princípio operativo!”. E, como com a aprendizagem em
grupos de estudantes, os debates entre professores em cooperação podem servir para
realizar semelhantes exemplos de uma nova consciência.
É necessário acentuar que o repertório de conhecimento e saber-fazer do
professor serão integrados na sua prática pelas formas descritas, quando novos
princípios/acções/rotinas são tentadas com uma motivação genuína. Consequentemente,
os modelos que apresentaremos mais adiante como meios para iniciar desenvolvimentos
construtivos nos professores, podem em princípio, ser independentes do nível do
55
conhecimento teórico dos professores e da sua formação inicial. Estas observações
conduzem-nos a questões cerca da actividade como um princípio organizativo na
formação do professor que trataremos na próxima subsecção.
Contudo, procuremos mostrar primeiro que as considerações anteriores
fornecem uma base para as respostas a duas ou três das questões principais da Secção
4.1. No que respeita à primeira, as reflexões acerca de princípios e consciência das
expectativas e atitudes são aprofundadas se o professor se empenha em actividade
pessoal, construtiva, respeitante à sua interacção com os alunos durante a sua actividade
orientada para objectos na sala de aula. No que se refere à terceira questão, é agora
claramente indicado que os princípios (no sentido das intenções globais) têm um
potencial de originar mais elevado do que os métodos; e que estes devem ser
desenvolvidos pelo professor, não lhe dados directamente. Por outras palavras, cada
professor individual deve, ele próprio, operacionalizar os seus princípios.
A respeito da segunda questão, a sociedade deve tomar decisões acerca dos
objectivos e intenções gerais para a educação escolar. Contudo, tais intenções e
princípios devem ser interpretados e mediados pelos professores, como um grupo e
individualmente. Este processo dual é uma ligação indispensável entre o planeamento
educativo e prática educativa. Os meios sociais para assegurar uma interpretação e
mediação apropriada é providenciar condições apropriadas para a investigação
didáctica, para a formação inicial do professor, para o trabalho profissional do
professor, e para a sua formação contínua. Voltaremos aos aspectos éticos da
implementação por decretos e instrumentos externos da sociedade na Secção 4.7.
4.3. Algumas observações acerca da formação do professor
A base de conhecimento teórico do professor de Matemática respeita
principalmente à Matemática e Didáctica da Matemática, com alguma Psicologia e
Pedagogia. A importância dos recursos teóricos foi acima salientada, mas as nossas
considerações também implicaram que as formas pelas quais o conhecimento teórico é
adquirido têm um alto significado pelo seu valor na vida profissional do professor.
Assim, as razões e as concepções que estão por detrás da formação de
professores e por detrás das disciplinas básicas mencionadas assumem grande
importância, e.g. no que diz respeito à distribuição da prioridade sobre o produto e o
processo. Além disso, na perspectiva da mútua dependência e controlo entre tarefa e
56
actividade, a constituição de objectos reais deveria ser do maior interesse para os
formadores de professores em todos as disciplinas.
A constituição da Didáctica da Matemática como uma componente da formação
de professores adquire aqui uma importância específica, porque a actividade orientada
por objectos do futuro professor dentro desta disciplina acerca do ensino da Matemática
terá uma grande influência nas suas concepções sobre os factores chave por detrás da
sua vida profissional. Não só as suas concepções sobre a Matemática, ensino e a
aprendizagem, mas também na forma pela qual ele concebe as disciplinas de suporte e
os seus próprios papéis e funções.
Otte (1974) ocupa-se da constituição da Didáctica da Matemática como
disciplina científica. Como ponto de partida, toma a complexidade do ensino da
Matemática na escola. Pela sua natureza, isto requer uma abordagem interdisciplinar, e
apenas pode ser tratado com base em conhecimento teórico e processamento científico
da experiência prática. A teoria pode desenvolver meios que podem servir para orientar
a prática. Mas o profissional precisa de desenvolver capacidades para avaliar – e lidar
construtivamente com – as diferenças e as relações entre o modelo teórico e a situação
real.
Otte também investiga a natureza da cooperação entre as disciplinas cientificas,
que servem na constituição do domínio teórico, e que todas pretendem optimizar as suas
contribuições para este domínio na perspectiva da prática relacionada. Tal cooperação é
necessária na educação matemática e a sua proposta é identificar o objecto da actividade
didáctica numa forma que prepare uma concepção unificada dos aspectos sociais,
psicológicos e matemáticos envolvidos. O ensino da Matemática é realizado através de
um conjunto de parceiros em cooperação e de funções coordenadas, e as relações entre
eles são estabelecidas e organizadas de acordo com o conteúdo do ensino. O sistema
destas relações constitui, segundo Otte, o objectivo científico central da Didáctica da
Matemática quando a optimização do sistema é tomada como uma premissa para o seu
estabelecimento.
Nós propomos que o estudo da Matemática e da Didáctica da Matemática –
como disciplinas científicas – deve ser baseado na actividade dos futuros professores
em tarefas colocadas em contextos relacionais suficientemente ricos. Tal abordagem
orientada para a actividade (onde a amplitude do conteúdo da tarefa-e-actividade pode
ser muito amplo) fornece na nossa opinião – e de acordo com a nossa hipótese básica
57
acerca da aprendizagem humana – os melhores meios conhecidos para suporte das
seguintes intenções.
O que os futuros professores obtenham:
complementaridade apropriada entre conhecimento do tipo informação e do tipo de consciência;
complementaridade apropriada entre a aprendizagem do conteúdo e das estratégias heurísticas (i.e., entre conhecimento nas nossas dimensões 1 e 2);
complementaridade apropriada entre processo e produto dentro dos vários domínios do conhecimento e do saber fazer;
potencial para o desenvolvimento da consciência acerca da sua aprendizagem pessoal e aquisição de conhecimento e rotinas práticas;
conhecimento acerca do conhecimento – e.g., dos seus aspectos pessoais e sociais – e acerca do desenvolvimento do conhecimento através da actividade individual e em grupo.
Claramente incluímos nesta posição que a actividade dos futuros professores em
tarefas toma lugar em interacções apropriadas com o formador, que a este nível é o
mediador responsável pelo desenvolvimento do conhecimento partilhado no que diz
respeito ao seu domínio. E a nossa proposta não exclui o uso (ou nega o papel
importante) do ensino expositivo. Em resumo, a formação do professor baseada na
actividade como o conceito organizativo principal promoverá a mudança nas
concepções e perspectivas que a longo termo poderão assegurar um uso apropriado da
tarefa-e-actividade no ensino escolar.
O nosso interesse imediato é o objecto real para a actividade através do qual o
futuro professor explorando o seu conhecimento teórico – pode aprender acerca de
tarefa-e-actividade como uma ferramenta no ensino da Matemática. Este objecto não
são as tarefas matemáticas em si mesmas; não é o sistema de classificação de tarefas
discutido na Secção 3; não é a teoria acerca da actividade considerada na Secção 2; e
não são princípios didácticos acerca do trabalho dos alunos nas tarefas.
O aluno da escola envolve-se em actividade em tarefas matemáticas, adquire conhecimento matemático e aprende a praticar a sua Matemática. O professor de Matemática (que vai interagir com o aluno e guiar a sua aprendizagem) deve adquirir conhecimento acerca exactamente desse objecto e aprender a praticar o seu conhecimento adquirido. O formador de professores de Matemática é activo num objecto mais complexo e desenvolve talvez (dependendo do seu tipo de envolvimento com os professores em serviço) prática didáctica. A linha abaixo ilustra a complexidade crescente do objecto para a actividade dos indivíduos mencionados:
58
Professor Educador [ Professor (Alunos Tarefas Matemáticas)]
Assim, um importante propósito na formação do professor deve ser iniciar os professores em actividade no objecto: alunos em actividade em tarefas matemáticas num contexto escolar. Mas nas tarefas que para isso projectamos, devemos atrair a atenção para uma ampla e apropriada selecção dos factores que constituem este objecto. A linha acima não ilustra a complexidade do objecto. Este é também, até certo ponto, o caso do diagrama na Secção 3.1. (ver a Figura 1). Contudo, a relação implicada pelo diagrama está enquadrada por um número de factores altamente influentes. Isto está ilustrado abaixo, onde o modelo precedente é visto no contexto da selecção de tais perspectivas. Perspectivas emotivas Perspectivas sociais e
pessoais Perspectivas e expectativas da sociedade
Perspectivas cognitivas Alunos Professor Tarefa Perspectivas pedagógicas e epistemológicas
Matemática Conteúdo/Objectificada Currículo
Perspectivas de educação futura
Perspectivas linguísticas e mediadoras
Perspectivas didácticas
Perspectivas matemáticas
4.4. Condições para a aprendizagem na escola
Chamamos mais uma vez a atenção para as diferenças entre a actividade humana
genuína e a actividade educacional (cf. Secção 2.3.). A estrutura da actividade humana
é determinada por um sistema complexo de factores mutuamente relacionados: (1) o
objecto para a actividade e as condições inerentes; (2) o motivo da actividade e os
objectivos das acções pelas quais ela prossegue; (3) as condições internas e os recursos
do sujeito que age; e (4) o enquadramento externo da actividade (cf. Secção 2.1.).
Vamos considerar estes factores no contexto educacional institucionalizado onde as
tarefas colocadas pelo professor servem como objecto da actividade dos alunos.
Em relação a (1), o objecto (a tarefa) só até certo ponto está directamente
disponível ao aluno. Deve ser criado para ele ou mediado para ele e isto cria uma
situação de partida que difere da actividade humana ‘natural’.
59
Em relação a (2), necessidades, motivo e objecto estão estreitamente ligados na actividade humana genuína. Em contrapartida, no caso das tarefas educacionais, surgem questões acerca da medida em que o motivo para a actividade visada é inerente à tarefa.
Finalmente, em relação a (3) e (4), a tarefa como apresentada serve para iniciar estudantes diferentes, em vários graus e medidas, no desenvolvimento de acções que são potencialmente inerentes à actividade visada.
Estas observações conduzem imediatamente a duas linhas de investigação. Uma diz respeito ao papel das normas e concepções para o fluxo da actividade no contexto educativo. A outra diz respeito às formas pelas quais o professor pode mais apropriadamente apoiar as actividades dos alunos na perspectiva das dificuldades causadas pela condições ‘artificiais’ da actividade educativa. Consideramos estes dois campos de problemas no contexto da preparação do professor para tarefa-e-actividade na sala de aula; e construímos as nossas observações a partir das contribuições teóricas das secções 2.3., 2.4. e 3.
Quando tarefa-e-actividade é tomada como veículo base para a aprendizagem, os três factores seguintes assumem uma grande importância: (i) a concepção dos alunos sobre as tarefas na escola como ferramentas para a sua própria aprendizagem; (ii) o desempenho dos alunos nas acções ‘inerentes à tarefa’ como necessidade para a aprendizagem pretendida; e (iii) o controlo e avaliação pessoal dos alunos da sua aprendizagem.
As descrições acima são versões ajustadas das dadas por Davidov e Markova (cf. (a)-(c) na Secção 2.3. acima), e nós propomos em consequência que só uma unificação pessoal integral de (i), (ii) e (iii) pode fornecer uma base adequada para a aprendizagem. Mas, pode obter-se tal unificação? Esta questão é razoável à luz do carácter artificial das tarefas educativas e do contexto para a actividade na escola. A resposta é afirmativa, e os mecanismos pelos quais a unificação se torna possível são as regras de conduta mútua para as relações entre – e os papéis de – professor e aluno no sistema escolar.
Então, de facto, os alunos aceitam as tarefas estabelecidas pelo professor; executam estas tarefas; e adquirem normas pelas quais avaliam o seu próprio desempenho. E estas normas de conduta são consequências gerais dos aspectos sociais da escola como instrumento criado pela sociedade com funções educativas específicas.
Concepções e normas – na sociedade em geral e em sistemas fechados como a escola em particular – são aspectos mutuamente relacionados. O aluno aceita trabalhos que correspondem ao seu conceito adquirido de tarefas, e ele adquire o seu conceito de ‘tarefas aceitáveis’ aceitando-as no decurso do processo de ensino/aprendizagem. Consequentemente as suas normas para ‘o que é uma tarefa’ dependem das suas experiências e do seu desenvolvimento no sistema social. E de forma semelhante, o que
60
os professores em geral fazem na escola determina com o tempo o que o professor deve fazer, e vice-versa.
A escola como instrumento social é baseada na existência de tais concepções e
normas acerca da sua função. Elas são naturais no público, nos pais, professores, e
alunos como aspectos preponderantes constituídos por e representados numa
multiplicidade de processos e produtos. E concepções e normas são constantemente
desenvolvidos (apoiados/ajustados) aos alunos na escola, e.g. acerca:
As formas e propostas de interacção entre professor e aluno;
As regras e os deveres do professor e do aluno;
Ensino e aprendizagem;
Assuntos escolares (e.g. Matemática).
Este processo contínuo de socialização no contexto escolar está relacionado e é
condicionado pelo sistema predominante de concepções e normas comportamentais
pertencentes a vários grupos na sociedade, e entre estes o grupo familiar do aluno e os
grupos de pares têm uma influência específica. Contudo, o sistema normativo na escola
e na sociedade está em contínua mudança, e o desenvolvimento no contexto escolar
pode por vezes prosseguir em harmonia com, e por vezes em conflito com tendências
externas.
Os professores, que tentam seguir novos sinais, devem usar novos tipos de
tarefas e promover novos métodos de trabalho nos estudantes. Os alunos tentarão
(devido às normas prevalecentes acerca dos papéis dos professores) trabalhar nestas
tarefas, mas quer o professor quer os pelo menos por algum tempo sentirão dificuldade
(lack background) para avaliar os seus próprios esforços. E se as mudanças pretendidas
são extensas, os professores em geral serão incapazes de desenvolver novas rotinas de
sala de aula apropriadas conduzindo a um equilíbrio entre princípios e métodos. Os
alunos poderão em tal situação não encontrar incentivos para uma mudança nas suas
concepções e normas.
Mas também no caso em que o trabalho matemático dos professores está de
acordo com o sistema normativo e objectivos predominantes para o ensino, a falta de
equilíbrio pode aparecer no interior da classe devido a diferentes normas e concepções
dos alunos com origens sociais (social backgrounds) diferentes e diferentes tipos de
grupos de pares. Muitos alunos não se conformam com o sistema de normas para o
ensino e aprendizagem na escola. Estes problemas foram discutidos no Capítulo 1,
Secções 4.2-4.8, onde foi sugerido que perspectiva (rationale) destes alunos (as suas
61
concepções da Matemática e aprendizagem) podem ser especialmente influenciada pelo
uso de trabalho de projecto (cf. também (d) na Secção 4.5. abaixo).
Todas estas considerações têm importância no nosso contexto, uma vez que nós
tratamos de questões acerca da implementação de mudanças significativas nos
propósitos e formas de interacção entre professor e alunos no processo de ensino e
aprendizagem da Matemática.
Então, as concepções de aprendizagem e das relações mútuas entre professor e
aluno são na tradição prevalecente próximas do padrão dos exemplos/explicações/prá-
tica/controlo descrito na Secção 1.1. e no uso do manual pelo professor na tradição de
Aufgabendidaktik. Neste padrão, o estabelecimento de tarefas pelo professor consiste no
uso de exemplos do manual como base (background) para a explicação dos
procedimentos a ser seguidos na prática dos alunos em exercícios semelhantes aos do
manual. O que é a Matemática, o que é a aprendizagem, o que deve ser um bom
estudante – todas estas concepções básicas são formadas no e por este padrão. Como
exemplo: ser ‘um bom professor’ significa nesta tradição providenciar uma boa base
para o estádio de treino e prática independente, i. e. explicação acerca da forma e papel
das várias sugestões, que são usados na formulação do tipo de problemas padrão em
causa.
Qualquer desvio maior deste padrão resulta – como a experiência dos anos da
reforma e especialmente agora durante a recessão – em protestos dos pais, alunos e
público em geral. E a mudança proposta para o uso de actividade motivante em tarefas
como o principal princípio organizativo no processo de ensino/aprendizagem significa
de facto levar um padrão totalmente diferente a tornar-se dominante na aula de
Matemática.
Então, se o professor toma a responsabilidade de identificar, seleccionar, e
talvez mesmo construir tarefas para usar no seu próprio ensino, o processo de
apresentação de tais tarefas torna-se uma nova actividade-do-professor almejando a
constituição mental da tarefa em cada aluno. A razão é que as tarefas não habituais
(non-standard) normalmente devem ser transmitidas aos alunos por outros meios que
não uma formulação textual (cf., e.g. Secção 3.2.).
A seguir, se o professor quer que a actividade do aluno seja motivada pela tarefa
(o objecto da investigação) o uso tradicional dos exemplos introdutórios e explicações
anteriormente (prior) ao próprio trabalho do aluno deve ser evitado em parte ou no
todo. Assim, depois de um estádio de apresentação com um principal objectivo (a
62
constituição da tarefa) segue-se um estádio de actividade ‘independente’ do aluno
durante o qual o professor tenta manter um fluxo apropriado de actividade e assegurar a
aprendizagem individual como se pretende (cf. Secção 2.4.).
E, finalmente, um terceiro estádio é necessário. Um estádio de resumo e de
reflexão na classe inteira, que é um meio indispensável para assegurar um grau
apropriado de aprendizagem partilhada, do uso comum de linguagem e símbolos, de
negociação acerca dos papéis e potenciais do trabalho completado e acerca das suas
relações com as tarefas anteriores (cf. novamente a Secção 2.4.).
4.5. Um conjunto de ferramentas do professor
Um novo padrão de trabalho na sala de aula foi indicado acima. Ele difere
totalmente do padrão de procedimentos de ensino baseado no manual. Ele aponta para
três estádios de interacção entre professor e alunos relativamente às tarefas
seleccionadas ou construídas pelo professor: (1) um estádio de apresentação; (2) um
estádio de actividade independente individual ou em grupos; e (3) um estádio de
reflexão conclusiva. A actividade dos alunos nas tarefas procede (de formas diferentes)
através destes três estádios. E o professor realiza em cada uma destes muitas funções
diferentes, embora certos papéis e funções tenham prioridade em cada um dos estádios
como já foi indicado.
O uso deste padrão de trabalho na sala de aula requer novas preparações da parte
do professor e o seu uso de novas ferramentas profissionais. O principal propósito por
detrás desta mudança no padrão e ferramentas é fornecer condições melhoradas para a
actividade motivada no contexto da escola. Olhamos a seguir para as ferramentas do
professor nesta perspectiva e investigamos os esforços preparatórios do professor na
subsecção seguinte. Deste modo, seguimos em ambos os casos a segunda linha de
investigação mencionada no início da Secção 4.4.
Primeiro, notamos que a indicação das tarefas no ambiente tradicional era
estreitamente baseada no manual. Deste modo, tanto os exemplos padrão como os
exercícios correspondentes eram usualmente tirados do manual. Segundo, quando
explicações eram necessárias, o professor frequentemente as liga a exemplos
semelhantes no livro, ou simplesmente requer mais prática numa série de exercícios
mais simples aí dados. Para fazer tentativas de ter actividade motivada pela tarefa, o
63
professor precisa de utilizar outros contextos para formular as tarefas para além do
manual.
Quatro contextos importantes, nos quais as tarefas (no sentido de objectos para a
actividade dos alunos) podem ser constituídas, são indicados abaixo. Daremos então
comentários acerca de cada uma destas ferramentas do professor, as quais são utilizadas
tanto na formulação das tarefas como durante a interacção com os alunos na sua
actividade sobre estas.
a) Manual c) Tarefas ad hoc
b) O ambiente d) Projectos
Tratamos na secção seguinte com o trabalho do professor com tarefa-e-
actividade na perspectiva do padrão dos três estádios; que se repete de tarefa para
tarefa. Primeiro, um estádio de planificação. Segundo, um estádio de sala de aula. E
terceiro, um estádio de reflexão retrospectivo. Argumentamos assim que estes três
estádios são para ser concebidos como uma unidade integral de preparação, execução e
reflexão. Contudo, será útil para as nossas presentes considerações (a)–(d) oferecer aqui
algumas observações acerca de duas funções básicas pertencentes ao primeiro estádio,
nomeadamente a identificação pelo professor e a sua apresentação das tarefas aos
alunos.
Identificar, seleccionar, ou talvez mesmo construir uma tarefa para ser o objecto
para a aprendizagem nesta aula, neste estádio do processo total de ensino, é uma
actividade do professor altamente exigente. O professor em questão está motivado e
condicionado pela especificidade da situação. As decisões são acerca da sua aula, dos
seus alunos, e do seu processo; e ele está a construir sobre o seu conhecimento do
estádio presente do processo de ensino/aprendizagem e sobre as suas expectativas
acerca dos estádios futuros.
O envolvimento pessoal do professor na selecção da tarefa é um primeiro passo
importante na planificação para a sua apresentação na aula. Assim, na nossa opinião, a
função crucial do professor não é motivar os alunos para a actividade numa tarefa
seleccionada, mas seleccionar tarefas que motivem os seus alunos para a actividade – e
que, tanto quanto possível, façam isto em e por elas próprias.
Baseado nestas observações preliminares, consideraremos (a)–(d) acima como
meios para o professor estabelecer e formular tarefas. O manual terá o seu papel e
64
importância especiais e isto reflecte-se na forma e na extensão dos nossos comentários.
Mas deve ser notado que quando uma tarefa é apresentada por meio de um dos
contexto, o professor presumivelmente utilizará todos os outros na sua interacção
subsequente com os alunos.
a) O manual
Dois tipos de trabalhos (assignments) são tradicionalmente constituídos na
relação directa com o manual utilizado na aula: (1) trabalhos dados por escrito (textual
form), que vão de exercícios a problemas; e (2) – em níveis apropriados – trabalhos de
páginas ou parágrafos no livro para a serem estudados como preparação para a aula
seguinte. A função do professor foi anteriormente limitada a anular algumas das tarefas
dadas no livro e a adicionar tarefas habituais de outros livros. Mudanças esta tradição
têm estado em curso desde há muitos anos.
Assim, de modo crescente, os professores fazem ajustamentos ao seu ‘próprio’
manual que tomam a forma de acções direccionadas para os objectivos conduzindo a
processos de modificação. Deste modo, as tarefas inseridas podem resultar realmente
bem, mas o professor verifica que uma explicação adicional é necessária. Isto pode
conduzir ao seu desenvolvimento de materiais escritos fornecendo tal ajuda aos seus
alunos.
Mas os professores também progressivamente constróem e planeiam tarefas (no
espectro dos exercícios aos problemas) que se adaptam no contexto do manual utilizado
e que satisfazem as suas necessidades e motivos pessoais relativamente ao processo de
ensino/aprendizagem.
O manual proporciona a muitos professores o enquadramento indispensável para
a organização do processo de ensino, tanto relativamente à sequenciação do conteúdo
matemático como ao tempo gasto nos diferentes sub-temas principais. Além disso,
tarefas são necessárias para múltiplas exigências nos processos de ensino em todas as
aulas. Por isso, uma grande quantidade de tarefas prontas (ready-made) é indispensável,
e isto é fornecido pelo manual.
Mas é crescentemente admitido que o manual não pode corresponder às
necessidades e condições específicas de cada professor individual. Os dois tipos de
ajustamentos mencionados acima parecem ser os primeiros passos importantes para
lidar com este problema.
65
Finalmente, deve ser dada atenção para a importância do manual como um meio
de motivar os alunos para actividades específicas com materiais escritos (cf. Capítulo
5).
(i) Aprender a ler e usar – num sentido imediato – material escrito acerca de
procedimentos matemáticos desconhecidos, de ordinário, deve ser um objectivo
principal do ensino da Matemática em níveis intermédios. (ii) Aprender a estudar um
texto mais difícil (explorar e utilizar o texto em profundidade) deve ser um objectivo do
ensino da Matemática no ensino secundário. (iii) A concepção da Matemática do aluno
deve incluir a Matemática como conhecimento socialmente construído e acumulado
pelo homem ao longo da história.
Com efeito, trabalhos – consistindo numa actividade sobre materiais escritos –
podem em todos os níveis do ensino da Matemática ser concebidos de modo a fornecer
apoio por muito tempo para um ou mais destes objectivos.
Deve ser assinalado que as nossas observações acerca (a) acima e (b), (c) e (d)
abaixo dizem respeito aos níveis 1-12. A actividade do professor sobre a selecção,
identificação ou construção de tarefas deverá, de acordo com o nível escolar em
questão, requerer uma extensão diferente de actividade matemática inerente. Contudo,
em conexão com todos os níveis, a actividade construtiva do professor na concepção
das tarefas pode ser apoiada pelo conhecimento teórico de base acerca das tarefas
matemáticas discutido na Secção 3 e pelo conhecimento didáctico de base discutido na
Secção 2. A construção pessoal das tarefas fornece aos professores em serviço
excelentes condições para aprender acerca do objecto da tarefa-e-actividade no
ambiente complexo ilustrado no fim da Secção 4.3. As razões são o feedback imediato
do trabalho dos alunos sobre a tarefa designada e a atenção específica com a qual o
professor observa como a actividade na tarefa corresponde às suas expectativas.
b) O ambiente
(1) Construir várias casas diferentes-5. Conta o número de paredes exteriores quadradas em cada casa. Construir todas as possíveis; 5 casas diferentes com 14 paredes exteriores quadradas.
66
Fig.4 (2) Quanto custa sustentar um cão? (3) Quanta tinta é necessária para pintar todos os armários da escola? (4) Qual é o tráfego que circula perto da escola? (5) Como são as condições das casas relacionadas com o salário nesta
comunidade?
O ambiente dos alunos (num sentido lato) muda em ‘proximidade’, em natureza
e em extensão durante os anos da escola. É um meio indispensável para as explicações
do professor e a mediação do significado nos vários estádios do processo de
ensino/aprendizagem. Os exemplos acima ilustram claramente que o ambiente imediato
é um contexto importante para a constituição das tarefas, e que isto tem um potencial
especial para promover a complementaridade entre informação/consciência (awareness)
e entre aprendizagem em diferentes dimensões (cf. a elaboração do exemplo (2) na
Secção 2.3).
Além disso, visto que cada disciplinada escolar pode ser vista como um meio de
descrição de aspectos específicos do ambiente humano, o contexto (b) fornece em todos
os níveis escolares um rico potencial para a cooperação entre ensino da Matemática e o
ensino de outras disciplinas (e para a cooperação entre professores da turma em
questão). Tais tarefas, conduzindo ao uso do conhecimento adquirido no trabalho com
diferentes disciplinas e ensinado por diferentes professores, é de grande importância
para as concepções dos alunos sobre o conhecimento e aprendizagem.
c) Tarefas ad hoc
Como o título indica, estamos aqui interessados nas tarefas construídas pelo
professor com uma motivação específica em mente. Além disso, estamos a pensar em
tarefas (ou conjuntos de tarefas) que conduzam a actividade durante um período de
várias aulas. Um professor pode, por exemplo, querer dar passos educacionais
concentrados no desenvolvimento da resolução de problemas por grupos de alunos, e
espera que a actividade dos alunos melhorará as condições gerais de comunicação e
cooperação na aula. Ou o professor pode (com alguma intenção especial explícita)
querer trabalhar com um tópico que não está incluído no currículo oficial. Isto pode
conduzir à preparação de um conjunto de tarefas de geometria do motorista de taxi,
adequado para a sua turma do 5º ano, ou a uma série de tarefas sobre teoria dos grafos
(e.g., para o 10º ano).
67
A planificação do professor para tarefa-e-actividade de uma natureza de tal
modo substancial toma a forma de um projecto educacional.
d) Projectos
Uma das finalidades educacionais atrás do trabalho de projecto é que os alunos
devem experimentar como a actividade procede quando um tema de uma natureza
integral e de grande e imediato interesse para os alunos é o objecto da actividade.
O tema pode ser ligado a situações da vida diária bem conhecidas de todos e
pode ser mais ou menos directamente apropriado para uma descrição matemática. A
filosofia geral é que em tal actividade o aluno (os alunos) trabalha em grande medida
com base nos seus próprios (cooperam por si próprios) recursos e motivações. O
trabalho temático (o projecto) deve consequentemente prosseguir durante um período
de tempo substancial. A cooperação entre professores de diferentes disciplinas pode
fornecer o tempo necessário e ajudar a quebrar a rigidez do horário habitual.
Vários dos exemplo dados em (b) podem, numa formulação diferente, servir
para ilustrar temas que podem ser usados para projectos. Deste modo, as condições das
casas nas últimas décadas pode fornecer uma base suficientemente ampla e aberta para
um projecto. E o tráfego pode ser um tema proveitoso de natureza de algum modo não
pessoal. Pelo contrário, determinar o custo de um campo de verão para a turma pode
proporcionar debates conduzidos por interesse pessoal envolvendo muitas disciplinas da
escola, e também dar origem a muitas acções matemáticas dirigidas para os objectivos.
Nos níveis secundários, o trabalho de projecto pode construir-se sobre todo o currículo
de Matemática.
As descrições acima mostraram que cada uma das alíneas (a)–(d) pode ser
considerada como uma ferramenta do professor. Elas são usadas – juntamente com
outras ferramentas – como meios para a sua mediação do significado e regulação da
actividade. Os factores motivantes por trás do trabalho do professor são, devido ao seu
efeito controlador, de importância específica. Por isso, os princípios pessoais são
ferramentas, e também o são os princípios didácticos pertencentes ao repertório de
conhecimento teórico do professor. E contudo uma ferramenta do professor tem de ser
mencionada, nomeadamente o feedback que ele obtém da interacção com os alunos e da
observação da sua actividade. Por isso, no nosso tratamento do modelo de planificação
68
em três estádios na Secção 4.6., podemos referir-nos a este conjunto de ferramentas do
professor:
(a) O manual (d) Projectos (b) O ambiente (e) Princípios pessoais e conhecimento teórico de base (c) Tarefas ad hoc (f) Feedback da interacção com os alunos
4.6. O padrão dos três estádios de trabalho
Os três estádios neste padrão de trabalho para os professores são, como já
mencionado:
um estádio preparatório;
um estádio de sala de aula;
um estádio de reflexão retrospectivo;
e o objecto da actividade do professor durante este processo integral de trabalho é
assumido ser a actividade dos seus alunos em alguma tarefa escolhida por ele.
O nosso interesse nesta estratégia de trabalho para os professores reside no seu
grande potencial como um meio para a implementação de novas concepções – da parte
de professores e alunos – relativamente à actividade na escola em tarefas matemáticas, e
relativamente aos papéis do professor e do aluno em novas formas de interacção na sala
de aula. Tem aqui um importância específica que o padrão de trabalho proposto –
quando usado em tarefas que são novas para o professor com respeito ao conteúdo
matemático ou intenções educacionais – serve para iniciar e ajudar: (i) o uso deliberado
pelo professor do conjunto de ferramentas considerado na Secção 4.5.; e (ii) o processo
de modificação investigado na Secção 4.2., através do qual os princípios didácticos se
tornam pessoais e operacionais para o professor.
Os três estádios mencionados estão claramente relacionados com os temas
Planificação pré-activa, Tomada de decisão interactiva e Reflexão pós-activa, que
foram tratadas nas Secções 4-6 do Capítulo 3. Contudo, as nossas propostas aqui são
diferentes das dessas investigações anteriores. Assim, o nosso objectivo é agora mostrar
como o professor individual pode ser iniciado e motivado para reflexões conscientes
sobre a sua própria actuação nos três estádios, quando a sua actividade durante um
período de tempo está relacionado com uma tarefa substancial para os seus alunos. E
visamos, além disso, ilustrar como a formação pode promover o uso do modelo dos três
estádios como uma ferramenta geral do professor no seu trabalho profissional.
69
O objecto da actividade do professor nos três estádios é constituído por
acontecimentos no estádio da sala de aula, tal como estes são pensados,
experimentados e reflectidos pelo professor. Deste modo, a sala de aula é o cenário de
muitos processos de interacção que ele espera iniciar e planeia apoiar e utilizar na sua
orientação dos alunos ou na sua mediação da Matemática. É nesta conexão de grande
importância que o professor reflecte e faz preparações deliberadas para os três estádios
dentro do estádio de sala de aula que foram identificados no início da Secção 4.5.
O padrão de trabalho aqui proposto não é definitivamente para ser visto como
um meio tecnológico para ajudar os professores nos seus esforços de planificação. Os
comentários seguintes podem servir para ilustrar isto.
Presentemente, a formação de professores proporciona aos futuros professores
uma (frequentemente extensa) base teórica para a planificação de lições que é para ser
utilizada por eles na preparação da sua prática na escola. Ao três estádios acima
mencionados poderão estar presentes em tal prática de planificação, e isso pode levar a
pensar que não há muita novidade no padrão de trabalho proposto. A resposta reside na
ideia que está por detrás do uso do modelo dos três estádios. A nossa sugestão pode ser
sumariamente formulada planeamento tentativo (para proporcionar interacção potencial
com os alunos) para ser usado e ajustado de acordo com os acontecimentos na sala de
aula. Nesta perspectiva, advertimos contra a “planificação tradicional” que
frequentemente se baseia na ideia que decisões definitivas e detalhadas podem ser
apropriadamente tomadas antecipadamente acerca do fluir do processo de
ensino/aprendizagem na aula.
Mas também advertimos contra o uso do padrão dos três estádios na perspectiva
de uma ideia que exige que o professor conscientemente investigue múltiplos princípios
didácticos tratados num manual moderno de Didáctica da Matemática. Já admitimos a
grande importância do conhecimento teórico como recurso nos processos de
modificação dos princípios/métodos. Mas também propusemos que a actividade de
interno ou externo de ensino do professor individual é mais conduzia pelos seus
motivos gerais do que pelo seu conhecimento de princípios didácticos detalhados. De
acordo com isso, se a formação do professor é para apoiar a implementação de novas
concepções sobre tarefa-e-actividade, isto pode presumivelmente ocorrer por meio dos
padrões de trabalho que o professor sente que mais o ajudam no seu planeamento
imediato do – e pensamento sobre – processo de ensino.
70
A propósito dos comentários foi ilustrar aspectos importantes do padrão de
trabalho dos três estádios. Mas, deixem-nos, para evitar incompreensões, dizer
claramente: os professores estão preocupados com uma cobertura apropriada dos
conteúdos disciplinares dados para o seu ensino; eles devem ser conscienciosos tanto
relativamente ao tempo gasto sobre as suas próprias acções como ao tempo gasto pelos
alunos nas tarefas; e o conhecimento teórico e didáctico de base do professor é de
grande importância.
Propomos que os professores podem ser iniciados ao uso do padrão de trabalho
dos três estádios por meio de cursos incluídos na formação do professor (inicial e em
serviço), e, para além disso, que é muito proveitoso se os participantes em tais cursos
cooperarem no seu uso do modelo. Vamos falar em pormenor destas propostas na
Secção 4.7. Contudo, deixem-nos ilustrar o nosso campo de problemas com um breve
esboço de um projecto educacional em que um grupo de quatro professores utiliza o
padrão dos três estádios na preparação de uma sequência de tarefas para serem
utilizadas nas suas aulas. Christiansen e Werner (1984) contam-nos acerca do trabalho
acerca das linhas indicadas em vários cursos recentemente oferecidos no sistema de
educação dinamarquês de formação contínua do professor de Matemática. Os papéis do
formador são apenas vagamente indicados nos cinco pontos do esboço. As nossas
propostas relativamente a isto são dadas na Secção 4.7, mas o leitor pode já aqui
ponderar sobre as suas próprias preferências.
(1) O ambiente geral
As equipas de cooperação são formadas por quatro membros, todos ensinando
Matemática nos 4º-6º anos na mesma escola. Eles seguem um curso visando colocar os
princípios didácticos em relação directa com a prática da sala de aula. O formato do
curso é que o formador indique projectos educacionais como tarefas para serem
resolvidas pelos participantes através da cooperação em grupos (semelhantes ao
descrito acima) trabalhando no padrão dos três estádios, que é para ser introduzido e
investigado ao longo do curso.
71
(2) As intenções pedagógicas dos professores
Tem sido geralmente acordado pelos participantes que a experiência deve ser
obtida acerca do trabalho de grupo em que os alunos cooperam na solução de problemas
exploratórios (cf. Secção 3.5). Além disso, que os problemas podem ser expostos no
contexto de ‘geometria do motorista de taxi’, e que as equipas de professores devem
tentar desenvolver tarefas nas quais a exploração possa conduzir a situações nas quais
os alunos cheguem a diferentes respostas e por sua vez são conduzidos a usar o
raciocínio para resolver discordâncias dentro do seu grupo ou entre grupos. Os
objectivos gerais de cada equipa têm em consequência sido expostos formalmente como
se segue: (1) desenvolver tarefas pertencentes à geometria do motorista de taxi que
podem motivar os alunos para uma actividade de exploração e resolução de problemas;
(2) utilizar estas tarefas como base para o trabalho com grupos de alunos e para
promover comunicação e cooperação dentro dos grupos; (3) iniciar a comparação de
soluções estabelecidas por alunos individuais num grupo ou por diferentes grupos e
promover o uso do raciocínio nestas conexões.
(3) Estádio preparatório
O uso do modelo dos três estádios durante o curso induziu a um padrão comum
no trabalho das equipas. Deste modo, as preparações para o trabalhar na sala de aula
exigem que cada equipa estabeleça respostas a três conjuntos de questões
interrelacionadas (e que as acções preparatórias sejam realizadas em consequência pelos
seus membros). (i) Como obter a actividade iniciada nas aulas? (ii) Como sustentar,
guiar e apoiar a actividade dos alunos? (iii) O que discutir, descrever, sistematizar e
sublinhar em vários pontos dos processos na aula?
Mas, além disso, devem ser tomadas decisões na preparação para o terceiro
estádio do projecto educacional. O que observar? O que relatar? E como? A riqueza e a
complexidade didáctica proporciona uma multiplicidade de situações em que a
discordância dentro da equipa aponta para aspectos para observação no estádio de sala
de aula e para um subsequente debate esclarecedor no estádio de reflexão retrospectivo.
A equipa em questão concorda num plano global tentativo do no qual alguns
pontos principais que são mencionados aqui. O tema da geometria do motorista de taxi
é para ser apresentado a cada turma por meio de uma história contada pelo professor,
72
seguida por interacção com os alunos durante o seu trabalho em grupos em tarefas
introdutórias apresentadas em cartões com explicações gráficos e textuais preparadas
pelos professores. Sete séries de cartões foram desenvolvidos (durante três semanas de
preparação) para serem usados durante uma sequência de cinco aulas durante 1-2
semanas. As primeiras três aulas visam dar oportunidades ricas para explorar e
desenvolver rotinas relacionadas com ‘círculos’ e conjuntos de pontos a igual distância-
de-taxi de dois pontos dados. O quarto é para ser usado em problemas mais difíceis (e.g.
“Encontra todos os ‘triângulos’ possíveis com lados de comprimento 3, 4 e 5”). Neste
caso, o discurso e a forma de cooperação são para ser registados cuidadosamente por
dois professores cooperantes. A quinta aula é para ser utilizada para a partilha de
resultados e para sistematização e raciocínio conduzido pelo professor. A equipa estava
satisfeita com os bons resultados do seu trabalho.
(4) O estádio de sala de aula
Cada membro da equipa faz ajustamentos no plano geral de acordo com o nível
de turma e com as condições dos alunos e do professor. Mas o plano continua a ser
tentativo depois destes ajustamentos. O trabalho prossegue de diferentes maneiras na
aula, e alguns dos relatórios mostram desalento acerca dos fracos resultados durante as
primeiras aulas – “apesar de todas essas preparações”. Mas outros professores falam de
“experiências maravilhosas”.
Os relatórios dos professores individualmente acerca do trabalho na sala de aula
são de crucial importância, não somente para o terceiro estádio do trabalho da equipa e
para os debates plenários, mas para a própria reflexão consciente de cada professor
sobre o contínuo ‘processo de modificação’ dos princípios pessoais e métodos durante o
curso. Discordâncias entre dois observadores acerca “o que aconteceu na aula” provam
ser de valor especial como meio para identificar princípios que estão “escondidos” para
as partes envolvidas.
(5) O estádio de reflexão retrospectiva
Este estádio parece tornar-se de valor crescente de projecto para projecto à
medida que a equipa e os seus membros obtêm compreensão profunda (insight) do
potencial do padrão de trabalho. O formador pode mostrar nos debates plenários como
73
experiências das salas de aula podem deitar luz em questões que foram tratadas
rapidamente no estádio preparatório, e.g. em questões acerca das acções potenciais – e
potenciais para a aprendizagem – inerentes na actividade numa tarefa dada. Isto pode
conduzir a melhorar a identificação durante o estádio preparatório das equipas para ser
observado na sala de aula e discutido pela equipa no terceiro estádio.
4.7. Os papéis do formador de professores
Na descrição acima do padrão de trabalho do terceiro estádio, nenhuma ideia
aprofundada foi fornecida para a nossa recomendação do porquê deste modelo.
Mostraremos agora que tal ideia pode ser baseada na teoria da actividade. Deste modo,
é uma consequência das teses fundamentais acerca da natureza da actividade orientada
para objecto da actividade humana genuína, acerca da regulação da actividade e acerca
da actividade educacional integral que o padrão dos três estádios é uma estratégia
apropriada para os professores na preparação da actividade dos seus alunos nas tarefas.
Demonstraremos isto em relação à nossa representação simbólica (cf. Secção 4.3.),
onde a seta dupla deve ser lida como ‘em actividade com’.
Formador [Professor (Alunos Tarefas Matemáticas)]
O diagrama ilustra o objecto real para a actividade do professor: os seus alunos
em actividade com tarefas matemáticas. E também ilustra o objecto real para a
actividade do formador: os seus futuros professores em actividade com o complexo
objecto acima mencionado. Deste modo, o diagrama é uma ajuda para a nossa
consideração de estratégias apropriadas para as preparações dos professores para a sua
actividade, mas também para o nosso segundo objectivo de encontrar maneiras nas
quais o formador pode apoiar o professor (i.e., ajudar relativamente às decisões do
formador acerca da sua estratégia preparatória).
Contudo, nós estamos aqui preocupados com a actividade em contextos
educacionais e com aprendizagem como pretendida poderá em tais contextos não
resultar automaticamente da actividade dos alunos numa tarefa educacional dada. Deste
modo, a regulação da actividade é necessária, e aqui as duas linhas mutuamente
discutidas nas Secções 4.4. e 4.5. podem ser seguidas: regulação por meio de normas
educacionais; e regulação por meio de passos interactivos dados pelo professor. No caso
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das tarefas que são ‘’novas’ para o professor, ambas as linhas de regulação devem ser
usadas, e isto requer sem dúvida actividade substancial na preparação para o estádio de
sala de aula.
Assim, um estádio preparatório deve no caso de tais tarefas novas preceder o
estádio de ‘sala de aula’. Deve notar-se que isto conta para qualquer professor em
qualquer contexto educacional, e que outras considerações mostrarão que o estádio
preparatório necessariamente deve incluir decisões acerca da necessidade para, e
extensão de diferentes estádios dentro da sala de aula (cf., e.g., a Secção 4.5. acima).
Relativamente ao terceiro estádio, ele pode ser visto como um estádio necessário
para ‘controlar e avaliar’ as acções da parte do professor durante a sua aprendizagem a
partir da actividade integral (cf. Secções 2.1 e 2.3.).
Vamos agora – construindo a partir da introdução acima e do “estudo de caso”
da Secção 4.6. – indicar maneiras em que futuros professores e professores em serviço
podem ser iniciados através da formação para o uso e desenvolvimento pessoal da
estratégia em questão. Comecemos pela seguinte conjunção de cinco recomendações:
que a introdução e a iniciação ao modelo tenha lugar dentro do enquadramento educacional de um curso regular pensado pelo formador, que aceita responsabilidade por explorar as normas educacionais inerentes neste contexto;
que o formato deste curso proporcione condições óptimas para o trabalho de equipa, e que o potencial para a cooperação dentro das equipas e dentro do grupo plenário sejam utilizados;
que todas as equipas de professores cooperantes repetidamente trabalhem durante um longo período sobre a mesma tarefa substancial (e.g., um projecto educacional do tipo descrito no estudo de caso);
que os procedimentos no estádio de sala de aula sejam efectivamente realizados pelos participantes e não apenas considerados como acções possíveis ou processos;
que o formador interaja com as equipas e com o grupo plenário usando os seus papéis como uma força iniciadora, apoiante e mediadora durante um longo período de tempo em que visa a aquisição pelos professores de conhecimento e experiência relativamente ao trabalho no padrão dos três estádios e o seu potencial para apoiar a prática no domínio da tarefa-e-actividade.
Já proporcionámos bastante fundamentação para muitas destas recomendações.
Contudo, comentários adicionais são necessários em vários casos.
As recomendações relativamente ao trabalho de equipa e cooperação são
suportados por um número de factos. Primeiro, a Secção 2.4. proporciona uma base
teórica acerca dos mecanismos de natureza pessoal e social que são operativos também
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neste nível quando o trabalho de equipa é considerado ambiente educacional no dado.
Segundo, a experiência mostra que a comunicação e a cooperação têm lugar em grande
extensão dentro das equipas e mais tarde entre estas e dentro do grupo plenário. E a
razão é claramente que os professores são pessoalmente motivados – e altamente
motivados – para a actividade em projectos educacionais que são apropriadamente
identificados no contexto do curso. Por outro lado, as reflexões individuais dos
participantes em questões centrais de natureza teórica e prática são fortemente
favorecidos pela sua confrontação com diferenças nas concepções, atitudes, normas,
princípios e rotinas que estão presentes e em mudança durante todo o processo de
trabalho.
Outro ponto importante é que a tarefa específica é própria difícil e que as
diferenças mencionadas servem para aumentar a complexidade. O desafio e a frustração
causada pelas muitas propostas diferentes acerca dos procedimentos tornam-se uma
motivação importante para ‘encontrar uma maneira aceitável de fazer’. E neste
processo, os membros da equipa conseguem compreender que a união de recursos
dentro da equipa – tanto os que dizem respeito ao conhecimento matemático/didáctico
como à experiência prática – constituem meios poderosos para estabelecer soluções
comuns tentativas para as questões relacionadas com o estádio preparatório de uma
tarefa indicada.
O padrão de trabalho dos três estádios apoia-se desde o início numa observação
naive dos alunos em actividade nas tarefas. Mas à medida que a experiência dos
professores aumenta, novas questões emergem e podem ser usadas pelo formador como
pontos de partida para um tratamento mais sistemático da observação (cf. Capítulo 6).
Há no contexto descrito de cooperação e comunicação oportunidades ricas para
o formador inserir questões específicas ou princípios como possibilidades para serem
investigadas. Por outras palavras, possibilidades para a iniciação de processos pessoais
de modificação, os quais poderão fornecer materiais importantes para um debate
continuado – e para a aprendizagem.
A quarta recomendação deve ser vista à luz das considerações anteriores.
Implica que os membros de cada equipa estejam presentemente a ensinar Matemática
mais ou menos no mesmo ano de escolaridade (ou ter acesso a tal ensino durante um
período apropriado). O estádio preparatório e tentativo de planeamento depende
intimamente desta premissa: que cada membro tenha conhecimento e experiência da sua
turma, dos alunos e do processo de ensino/aprendizagem em progresso. Deste modo, o
76
estádio preparatório inclui certamente uma comparação de ‘experiências de
pensamento’ (no sentido de Freudenthal) em que cada participante considera os seus
alunos em actividade na tarefa em questão tal como as suas próprias possibilidades para
dar passos interactivos apropriados no apoio à aprendizagem pretendida. A seguir, cada
membro deve fazer ajustamentos adequados aos planos tentativos para o seu próprio
estádio de sala de aula. E, em terceiro lugar, é de importância crucial que cada membro
experimente o papel de planeamento tentativo para o seu próprio ensino. A deliberação
de alternativas deve ser confrontada com a realidade de sala de aula.
Além disso, o estádio de reflexão retrospectiva é baseado na produção conjunta
de experiências relativas às relações entre as intenções e o planeamento global por um
lado, e os acontecimentos na sala de aula por outro lado. Aqui, as observações (se
possível realizadas por vários membros em cooperação) são importantes pontos de
partida para a aprendizagem acerca de potenciais dos passos interactivos do professor,
para debates acerca de decisões tomadas na altura, ou acerca de possibilidades para
utilizar ‘momentos ensináveis. E todos estes pontos são núcleos importantes para os
esforços da parte do formador dentro do contexto total do curso.
Mas quais são as possibilidades reais para estabelecer tais cursos? Tais modelos
são mais facilmente integrados em programas de formação contínua. Mas na formação
inicial, pode ser necessário identificar novas formas de componente prática de modo a
criar uma base suficiente de trabalho baseado na escola para o formador e para os
futuros professores. A abordagem sistémica para a constituição da Didáctica da
Matemática (cf. Secção 4.3. acima) é importante aqui, visto que os formadores de
diferentes disciplinas (e.g. Matemática, Didáctica da Matemática, Psicologia e
Pedagogia) são parceiros interessados na exploração de componentes práticas. E o
mesmo é verdade para vários órgãos administrativos.
Temos neste comentários acerca das nossas cinco recomendações apontado
muitos papéis e funções do formador. Mais alguns devem ser mencionados.
Primeiro, há um perigo que os professores – devido às concepções prevalecentes
– possam aceitar simplesmente os três estádios simplesmente como três passos
separados numa sequência cronológica das tarefas dos professores. Tal concepção
tenderá a minimizar o papel pretendido de planeamento tentativo como uma base para
as decisões finais na sala de aula e como um meio para envolver um amplo espectro de
esquemas antecipatórios. Por isso, isto torna-se num importante objectivo para o
formador em que a actividade dos seus futuros professores em cada um dos três estádios
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se torne estreitamente relacionado com os outros, que eles experienciam como uma
unidade integral.
Poderá ser aqui uma ajuda o facto que os estádios de preparação, desempenho
real e posterior reflexão crítica sejam experienciados nas suas mútuas relações numa
variedade de actividades do dia a dia. Deste modo, enquanto pensamos acerca de um
acontecimento que ocorre, actuamos sobre ele nas nossas mentes, e queremos saber o
que resultou. No meio do acontecimento, experienciamos como os nossos planos estão a
influenciar as nossas acções e compreendemos o que devemos reconsiderar ou remediar
em estádios posteriores. E depois do acontecimento, reflectimos sobre os estádios
anteriores e comparamos as nossas expectativas iniciais com o processo real e seus
resultados.
O formador pode promover a reflexão acerca das maneiras nas quais cada
estádio do padrão de trabalho beneficia dos outros. Isto pode também servir para
identificar o seu diferente estatuto epistemológico. O primeiro e o terceiro estádio são
dominados pelo pensamento e discussão acerca do segundo. O segundo estádio é
dominado pelas acções influenciadas pelas reflexões feitas no primeiro, mas também
pelas ideias e ajustamentos que acontecem durante a prática no segundo estádio, e que
são registados para investigação posterior durante o terceiro estádio.
Chamámos a tenção na Secção 4.4. para os três estádios diferentes de interacção
entre os professor e os alunos em relação a uma tarefa iniciada pelo professor: estádios
de apresentação, de actividade independente do aluno (individual ou em grupo), e
reflexão conclusiva. Em cada estádio, o professor actua com prioridade em certos dos
seus papéis e a ideia de uma tal divisão em estádios (interrelacionados e sobrepostos)
era para promover mais a actividade construtiva por parte dos alunos.
Claramente – e de maneira intrigante – o formador poderá explorar agora dentro
do seu ‘estádio de sala de aula’ esta mudança marcante entre os três principais papéis de
modo a desenvolver as potencialidades dos seus alunos para utilizar exactamente esta
estratégia na sua própria sala de aula.
Por isso, o formador visará proporcionar: (1) uma constituição própria de tarefas
que ele escolheu; (2) apoio apropriado e orientação num período subsequente de
actividade independente do professor; e (3) mediação conclusiva do significado
partilhado e conhecimento socializado. Ou – ilustrado pelos principais papéis
correspondentes – ele deve actuar: primeiro num papel iniciador; segundo como uma
força de apoio, orientadora e mediadora; e terceiro como o didacta emprestando a sua
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autoridade profissional para a avaliação dos vários processos e produtos e a
identificação da aprendizagem comum acerca dos objectos da actividade do professos.
O nosso principal objectivo nesta parte de conclusão do capítulo tem sido
ilustrar como o modelo dos três estádios pode ser usado como um meio para mediar as
intenções educacionais e princípios didácticos de origem externa aos professores. E,
além disso, indicar como esta mediação pode ser baseada na própria actividade
construtiva do professor.
Não fizemos uma tentativa de fazer esta ilustração completa. Qualquer descrição
detalhada estaria em conflito com a nossa própria resposta à segunda questão na Secção
4.2. acerca da implementação dos princípios de origem eterna. Assim, na nossa opinião,
um equilíbrio deve existir necessariamente entre objectivos e intenções e educacionais
de tipo oficial e a integridade do professor. Este equilíbrio é obtido e mantido por
virtude da mediação e interpretação de funções do professor durante as quais os
objectivos dados se tornam personalizados e os métodos de ensino são influenciados em
consequência. Por isso, a comunicação de estratégias e métodos em grandes detalhes
seria contra-indicada, tendo em conta a nossa filosofia de educação.
A principal tese neste capítulo tem sido que a promoção de uma maior relação
produtiva entre conhecimento teórico e prática de sala de aula deve apoiar-se em larga
medida na actividade do professor com o objecto real do seu trabalho profissional: os
alunos em actividade nas atarefas matemáticas. E nós acrescentamos a esta tese que a
promoção de tal actividade do professor deve em larga medida apoiar-se na formação
do professor e dos formadores que estão verdadeiramente motivados pelo seu objecto
real.
Outros modelos, para além dos sublinhados nas Secções 4.6. e 4.7. estão
claramente em uso. As intenções a longo prazo de todos estes esforços devem ser que o
professor se torne pessoalmente envolvido em muitos mais aspectos de planeamento
consciente para a sua interacção com os alunos do que é habitual hoje.
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Tarefa e actividade - Índice
UMA VINHETA 1 1. REFLEXÃO SOBRE O ÂMBITO DO PROBLEMA 3 1.1. O papel predominante dos exercícios 3 1.2. A actividade dos alunos segundo novas perspectivas 5 1.3. O carácter relacional das tarefas e actividades. 6 1.4. Desenvolvimentos nas últimas décadas 10 1.5. A necessidade de novos metaconceitos 13 2. O ENQUADRAMENTO TEÓRICO DA ACTIVIDADE EDUCACIONAL 15 2.1. O conceito de actividade 15 2.2. Regulação da actividade. 18 2.3. Actividade educacional e actividade de aprendizagem 22 2.4. Dimensões da aprendizagem pessoais e sociais 29 3. ANÁLISE E EXPLORAÇÃO DE TAREFAS MATEMÁTICAS 35 3.1. São necessários novos meios para a análise. 35 3.2. O que é um problema 37 3.3. Tarefas rotineiras e não rotineiras 39 3.4. Outros meios didácticos para a análise da tarefa 41 3.5. Desenvolvimento de estratégias cognitivas 44
4. PLANIFICAÇÃO DE ACTIVIDADES E TAREFAS 51 4.1. Sobre os princípios e métodos pessoais do professor 51 4.2. Princípios pessoais e conhecimento teórico 54 4.3. Algumas observações acerca da formação do professor 56 4.4. Condições para a aprendizagem na escola. 59 4.5. Um conjunto de ferramentas do professor 63 4.6. Os três estádios padrão de trabalho. 68 4.7. Os papéis do formador de professores 73
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