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Grer le portefeuille de valeurs mobilires

Chapitre 13 Les mathmatiques financires

Grer ses finances personnelles ou jouer le rle de conseiller dans ce domaine demande que lon ait une bonne connaissance des produits financiers et des marchs sur lesquels ils se ngocient. On devra aussi tre en mesure de compa-rer diffrents choix qui soffrent pour latteinte des objectifs de scurit et de progression financire. Plusieurs dcisions impliqueront que lon ait calcul de faon prcise les avantages montaires qui en dcoulent. Pour ce faire, le plani-ficateur financier a recours un ensemble de techniques de calcul que lon ap-pelle mathmatiques financires ou mathmatiques de lintrt. Celles-l font lobjet du prsent texte. De faon particulire, aprs sa lecture, vous pourrez:

1. calculer la valeur capitalise ou future dun montant fixe ou dune srie de versements en utilisant le multiplicateur dune table conue cet effet ou une formule approprie;

2. calculer la valeur actualise ou prsente dun montant fixe ou dune srie de versements en utilisant le multiplicateur dune table conue cet effet ou une formule approprie;

3. expliquer comment rsoudre des problmes de mathmatiques financires en ayant recours des outils tels le calculateur financier et le chiffrier lectronique;

4. utiliser la technique de lapproximation dun taux laide de la mthode de linterpolation, partir des multiplicateurs tirs dune table dintrt;

5. rsoudre des problmes comprenant des annuits de dbut de priode laide dune table fournissant les facteurs dintrt pour des annuits de fin de priode;

6. appliquer les notions de mathmatiques financires la solution de divers problmes lis la gestion des finances personnelles.

Objectifs

250 Chapitre 13 Les mathmatiques financires


Une bonne familiarit avec les mathmatiques financires se rvle un prcieux atout pour qui veut grer ses finances personnelles ou conseiller dautres per-sonnes dans ce domaine. En effet, on peut mettre ces connaissances en pratique dans presque tous les aspects de la planification financire, quil sagisse de lanalyse de produits financiers visant latteinte de la scurit financire, tels les assurances et les rgimes dpargne-retraite, de lvaluation de placements en titres taux fixe, de lanalyse dactions ordinaires et de placements immobiliers ou, enfin, dun choix entre diffrentes options de stratgies fiscales.

1. La notion dintrtLe dictionnaire Larousse donne diffrentes significations pour le mot intrt, dont celle-ci, qui correspond son utilisation habituelle dans les domaines lis la gestion des finances personnelles:

Somme que le dbiteur paie au crancier pour de largent prt.

Les mathmatiques financires permettent de calculer diffrentes valeurs sap-pliquant une situation o un intrt est encaiss ou pay, par exemple:

le montant de lintrt payer sur un prt personnel; le montant dintrt gagn sur un placement taux fixe, au cours dune p-

riode donne; le montant pargner pour engendrer un montant recherch une chance

donne; le nombre de priodes pendant lesquelles un emprunt devra tre rembours,

si lon suppose un remboursement dune somme de X$ et un taux dintrt de Y%.

Non seulement les mathmatiques de lintrt sappliquent-elles toutes les si-tuations comprenant le paiement ou la rception dun intrt au sens strict, mais elles sont galement utilises pour calculer le taux de rendement dans des situations o on ne trouve pas dintrt, selon la dfinition que nous en avons donne. En effet, les techniques que nous verrons sous peu permettent aussi de calculer le rendement annuel moyen dun investissement en actions, dont les re-tombes pcuniaires se manifesteront sous forme de dividende et de gain en ca-pital. On pourra galement les utiliser pour calculer le rendement dun investissement dans limmobilier.

A. Intrt simple et intrt composDans notre systme conomique, le capital est considr comme un facteur deproduction primordial pour le bon fonctionnement des entreprises et des autresagents conomiques. Cette contribution est rmunre juste titre par le verse-ment rgulier et priodique dintrt ou dautres formes de paiements (dividen-des, loyers, etc.). Les revenus dintrts que touche un prteur la fin dunepriode peuvent tre prts ou placs leur tour, augmentant du fait mme lecapital-prt de linvestisseur, et, dune priode lautre, le montant dintrtglobal que touche un prteur ou un investisseur. Ce phnomne par lequel un

Chapitre 13 Les mathmatiques financires 251


capital initial est augment des revenus dintrts de chaque priode, ce quipermet de gagner au cours des priodes suivantes des intrts sur lintrt despriodes prcdentes en plus den retirer sur le capital initial, sappelle la com-position de lintrt ou, plus communment, lintrt compos. Il dcrit la con-ception que lon se fait aujourdhui de lintrt dans la presque totalit dessituations qui le concernent. Lexemple 1.1 illustre une application du conceptdintrt compos pour un placement taux fixe.

Exemple 1.1

M. Caron a investi 5 000$ dans un certificat de placement garanti intrt compos offert par une socit de fiducie exploitant une succursale dans la lo-calit o il rside. Ce placement comporte un taux dintrt de 8%, calcul an-nuellement. Lappellation intrt compos signifie que lintrt annuel ne sera pas vers M. Caron mais quil sajoutera plutt au capital pour rapporter un intrt suprieur au cours des priodes suivantes. lchance du place-ment, le fiduciaire remboursera le capital initial et paiera tous les intrts ga-gns. Le tableau ci-aprs illustre lvolution du revenu dintrt et du capital accumul de M. Caron au cours de la dure du placement.

Comme on le constate, le montant dintrt gagn par M. Caron augmente dan-ne en anne, puisque le fiduciaire calcule lintrt non pas sur le capital initial de 5 000$, mais sur le capital accumul au dbut de la priode. Ainsi, lintrt applicable la 3e priode sobtient en multipliant le taux dintrt, 8%, par le ca-pital accumul la fin de la 2e priode, 5 832,00$, ce qui donne , soit 466,56 $.

Lexemple qui prcde illustre une situation o lmetteur dun placement prend sa charge la composition de lintrt en ajoutant les montants dintrt gagns priodiquement au capital dj accumul et en versant, pour la priode

Moment/priode

Intrtgagn au cours de lapriode

Capitalaccumul la fin de la priode

Intrtcumulatif

dbut du placement (temps 0) 0,00$ 5 000,00$ 0,00$

1re anne (priode 1) 400,00$ 5 400,00$ 400,00$

2e anne (priode 2) 432,00$ 5 832,00$ 832,00$

3e anne (priode 3) 466,56$ 6 298,56$ 1 298,56$

4e anne (priode 4) 503,88$ 6 802,44$ 1 802,44$

5e anne (priode 5) 544,20$ 7 346,64$ 2 346,64$

8 % 5 832,00 $u



suivante, de lintrt sur le montant de capital rsultant de cette addition. Bien quun tel exemple illustre parfaitement ce quest lintrt compos, notons quil nest pas ncessaire que lmetteur dun placement assure le rinvestissement dun revenu pour que le concept dintrt compos sapplique. En effet, si M. Caron dtenait un certificat de placement intrt rgulier grce auquel il per-cevrait un montant annuel dintrt de 400$1 que lui verserait le fiduciaire, il aurait le loisir de placer de nouveau chaque paiement dintrt dans des pro-duits financiers distincts, bnficiant ainsi de la composition de lintrt sur les revenus dintrts produits par son capital initial.

Par opposition lintrt compos, on dcrit lintrt simple comme un intrt pay ou peru, lchance dun contrat de prt ou de placement, et calcul, pour chaque priode, sur le capital initial non augment des intrts des prio-des prcdentes. tant donn que lintrt nest ni vers la fin de chaque p-riode ni ajout au capital initial aux fins du calcul de lintrt applicable aux priodes suivantes, il ny a pas, dans un tel cas, composition de lintrt. Les dif-frentes lgislations rgissant le fonctionnement des institutions financires de mme que les lois protgeant le consommateur ont pratiquement fait dispara-tre lintrt simple du domaine des finances personnelles.

Les techniques de mathmatiques financires prsentes dans cette leon sap-pliquent strictement aux situations comprenant lintrt compos.

B. Intrt priodique, intrt nominal et intrt effectifBien que, comme nous venons de lexpliquer, les contrats de placement et les contrats de prt en vigueur au Canada prvoient le calcul et lattribution de lin-trt de faon priodique, ce qui permet la composition de lintrt ou lintrt compos, il existe diffrentes faons de se rfrer au taux dintrt dun mme contrat. On distingue, en effet, le taux dintrt priodique, le taux dintrt no-minal et le taux dintrt effectif dun placement. Dans le cas o lintrt est cal-cul et accord au propritaire du capital une fois par anne, ces trois taux seront identiques. Par contre, si la priode de rfrence pour le calcul de lint-rt est de moins de 1 an, par exemple mensuelle, trimestrielle ou semestrielle, ces trois taux seront de valeurs diffrentes.

i) Le taux priodique dun placement ou dun empruntLe taux priodique est le taux utilis chaque priode de calcul dintrt pour dterminer lintrt sur un emprunt ou sur un placement. Par exemple, si un certificat de placement de 1 000$ offre son dtenteur la possibilit de retirer un intrt semestriel de 40$, le taux priodique de ce placement est de 4%, soit

. Mentionnons quon dsigne la priode retenue pour le calcul de lintrt par la priode de capitalisation ou composition de lintrt.

1. Soit .8 % 5 000,00 $u

4 % 1 000 $u



ii) Le taux nominal dun prt ou dun placementLe taux nominal dun placement est simplement le taux obtenu en multipliant son taux priodique par le nombre de priodes de capitalisation dans une an-ne. Si nous poursuivons lexemple qui vient dtre voqu, le taux nominal dun certificat de placement rapportant un intrt semestriel de 4% est 8%, soit

.

Indpendamment de la priode de capitalisation utilise pour un placement ou un emprunt, les institutions financires tout comme les investisseurs se rfrent souvent au taux dun emprunt ou dun placement en utilisant un taux annuel, parce quun tel taux permet plus facilement la comparaison avec dautres ins-truments financiers un moment quelconque. Par exemple, si vous voulez faire un emprunt hypothcaire, vous vous informerez des taux dintrt annuels de-mands par les prteurs et non pas du taux priodique demand, qui corres-pondrait dans ce cas un taux semestriel.

iii) Le taux dintrt effectif dun prt ou dun placementPrfreriez-vous dtenir le placement A, qui vous rapporterait un intrt de 2% par trimestre, ou le placement B, qui vous permettrait de retirer un versement dintrt annuel de 8%? Vous pouvez facilement calculer que le taux nominal des deux placements est le mme:

Si vous avez parfaitement saisi le concept dintrt compos qui a t expos prcdemment, vous naurez aucune hsitation devant un tel choix. Vous savez quen percevant un versement dintrt chaque trimestre, vous pourrez rinves-tir plus rapidement vos revenus dintrts, ce qui se traduira par un revenu glo-bal dintrt suprieur. Le placement A est donc plus avantageux. On peut en consquence noncer comme principe financier qu taux nominal gal, on pr-frera le placement dont la priode de composition est la plus courte.

Pour tablir une comparaison rapide entre les taux dintrt applicables diff-rents contrats de placement ou de prt, il est donc ncessaire de disposer dun taux dintrt qui nous renseigne sur le taux annuel vritable de tels contrats en tenant compte de la composition dintrt qui intervient dans les cas o il y a plus dune priode de composition par anne. Ce taux dintrt est appel le taux effectif ou encore le taux rel dun placement. Les mthodes de calcul pr-sentes dans les prochaines sections vous permettront dapprendre calculer le taux effectif dun placement ou dun prt. Considrons pour le moment le ta-bleau 13.1, qui donne les taux effectifs pour des taux nominaux de 7% 10% se-

Placement Taux priodique

Nombre de versements dintrt par anne

Taux nominala

a. Taux priodique multipli par le nombre de versements par anne.

A 2% 4 8%

B 8% 1 8%

4 % 2u



lon diffrentes priodes de capitalisation. On peut y constater, par exemple,

quun placement offrant un taux nominal de 8% avec versements dintrt tri-mestriels rapporte un taux effectif denviron 1/4 de 1% de plus que le placement offrant le mme taux nominal, mais avec un seul versement dintrt par anne. Une telle diffrence peut sembler minime, mais, si lon considre des contrats de prts et des placements substantiels comme un emprunt hypoth-caire et un rgime dpargne-retraite, elle se traduit par une augmentation de revenus ou des dpenses accrues qui se calcule en milliers de dollars!

2. La capitalisation et lactualisation des flux financiers

Dans un environnement financier o la composition de lintrt est la rgle, il y a essentiellement deux types de calculs que dsirera faire le gestionnaire de portefeuille:

1. le calcul de la valeur une date future de montants pargns (ou emprunts) un taux dintrt donn;

2. le calcul du montant requis au moment prsent pour engendrer un montant dsir une date future, si lon suppose un taux dintrt prcis.

On appelle ces calculs la capitalisation et lactualisation des flux financiers.

i) La capitalisation des flux financiersSi vous dposez aujourdhui 1 000$ dans un certificat de placement intrt compos rapportant un intrt annuel de 8%, calcul une fois lan, quel sera le montant accumul lchance du certificat dans cinq ans? Puisque ce certificat est intrt compos, les intrts seront ajouts au capital lorsquils seront dus, mais le dtenteur ne rcuprera capital et intrt qu lchance du certificat aprs cinq ans. Le schma 13.1 illustre la situation qui vient dtre dcrite. Les

TABLEAU 13.1 TAUX EFFECTIFS CORRESPONDANT DES TAUX NOMINAUX DE 7% 10% POUR DIFFRENTES PRIODES DE CAPITALISATION

Priode de capitalisation

Nombre de priodes par anne

Taux nominaux

7% 8% 9% 10%

Anne 1 7,00% 8,00% 9,00% 10,00%

Semestre 2 7,12% 8,16% 9,20% 10,25%

Trimestre 4 7,19% 8,24% 9,31% 10,38%

Deux mois 6 7,21% 8,27% 9,34% 10,43%

Mois 12 7,23% 8,30% 9,38% 10,47%



techniques de mathmatiques financires nous permettront de calculer que la somme recherche est 1 469,33$2.

ii) Lactualisation des flux financiersPlutt que de se demander ce que vaudront des pargnes une date future compte tenu des intrts produits, il arrive frquemment que lon pose le pro-blme linverse. Par exemple, je pourrais me demander quel montant je dois pargner maintenant pour disposer dans trois ans dune somme de 5 000$ qui moffrira la possibilit de raliser un projet qui me tient cur, si lon suppose de nouveau que le taux dintrt en vigueur actuellement (et celui auquel on pourra rinvestir le revenus dintrts gagns sur lpargne) est de 8%. On ap-pelle cette faon de poser le problme lactualisation des flux financiers. Le schma 13.2 illustre le problme dactualisation qui vient dtre dcrit. laide de diffrentes mthodes qui seront prsentes dans la suite de cette leon, vous apprendrez comment il est possible de calculer que le dpt dune somme de 3969,16$3 vous permettra datteindre lobjectif vis.

3. Calculs financiers comprenant un montant uniquePlusieurs problmes de mathmatiques financires comprennent un montant unique quil sagit de capitaliser ou dactualiser. Les deux exemples qui ont t

SCHMA 13.1 ILLUSTRATION DE LA CAPITALISATION DUN FLUX FINANCIER

2. Ce calcul est expliqu la section 3 du prsent chapitre.3. Ce calcul est expliqu la section 3 du prsent chapitre.

Priodes

0 1 2 3 4 5

-1 000.00 $

?

Entresde fonds

Sortiesde fonds

+

Vous placez 1 000$ dans un certificat de placement in-trt compos de 5 ans au taux de 8% (intrt annuel). Quel montant aurez-vous accumul dans 5 ans?

Rponse: 1 469,33$1 000,00$



donns la section prcdente dcrivent ce genre de situation (voir schmas 13.1 et 13.2). Voici dautres exemples:

un investissement en actions qui augmente ou perd de la valeur au fil des ans (si lon ne considre pas les dividendes);

la dtermination du taux de croissance requis dans la valeur dun immeuble pour quil soit possible de le revendre un prix donn aprs un certain nom-bre dannes.

Voyons dabord comment se calcule la valeur future dun montant unique.

A. Calcul de la valeur future dun montant unique

Vous placez 1 000$ dans un certificat de placement intrt compos de 5 ans au taux de 8% (intrt annuel). Quel montant aurez-vous accumul dans 5 ans? Pour rsoudre ce problme et ceux que nous verrons par la suite, voyons la no-tation particulire qui sera utilise pour se rfrer certains termes:

P0 = principal ou valeur actuelle au temps 0

i = taux dintrt ou rendement (en %)

n = nombre de priodes

I = montant des intrts gagns (en $)

Pn = valeur future ou accumule au bout de n priodes

SCHMA 13.2 ILLUSTRATION DE LACTUALISATION DUN FLUX FINANCIER

Priodes

0 1 2 3

?

5 000 $

Entresde fonds

Sortiesde fonds

+

Vous dsirez dposer aujourdhui le montant qui vous permettra de raliser, dans 3 ans, un projet qui vous tient cur. Quel montant devez-vous pargner aujourdhui ?

Rponse: 3 969,16$



Sil sagissait de calculer la valeur finale dun certificat de 1 000$ dont la dure ne serait que de 1 an et qui offrirait aussi un taux dintrt de 8%, nous pour-rions calculer P1 laide de la formule suivante:

(EQ 1)

Ce qui nous donnerait 1 080$, soit .

De lquation 1, nous pouvons dduire que la formule qui permettra de calculer la valeur dun certificat intrt compos dont la dure serait de 2 ans est:

(EQ 2)

Ce qui permet de gnraliser ainsi pour une dure gale n priodes:

(EQ 3)

Il nous est donc possible de calculer facilement la valeur future dun certificat de placement de 1 000$ 8% aprs 5ans. Cette valeur est de 1 469,33$, soit:

Bien quil soit relativement facile de calculer des valeurs futures laide dune calculatrice, plusieurs habitus des calculs financiers prfrent recourir des ta-bles qui fournissent les multiplicateurs ou facteurs dintrt permettant de cal-culer directement les montants recherchs. On trouve lannexe 13.1 une table des facteurs dintrt pour le calcul de la valeur future de 1$. Lorsquon a re-cours une telle table, on applique la formule suivante:

(EQ 4)

o:

FI VF 1$ (n, i) = le facteur dintrt de la table de la valeur future de 1$ pour npriodes au taux i.

Puisque le facteur dintrt de la valeur future de 1$ pour 5 priodes 8% est de 1,4693, il nous est possible de calculer le montant que remboursera lmet-teur du certificat de placement, lequel sera de 1 469,30$, soit .

P1 P0 I+=

P0 P0 iu +=

P0 1 i+ u=

1 000 $ 1 0,08+ u

P2 P1 I+=

P1 P1 iu += P1 1 i+ =

P0 1 i+ 1 i+ = P0 1 i+ 2

=

Pn P0 1 i+ n

=

1 000 $ 1 0,08+ 5u

Pn FIVF 1 $ (n, i) P0u=

1,4693 1 000 $u



B. Calcul de la valeur actuelle dun montant unique

Vous dsirez dposer aujourdhui le montant qui vous offrira la possibilit de raliser, dans trois ans, un projet qui vous tient cur. Quel montant devez-vous pargner aujourdhui? Contrairement au problme prcdent, celui-ci ne nous demande pas ce que vaudra plus tard un montant que lon pargne (ou emprunte) aujourdhui. Cest plutt le contraire qui nous est demand: com-bien dois-je mettre en banque aujourdhui pour disposer dune somme X dans un certain nombre dannes? En transformant lquation 3, nous pouvons obte-nir la formule de base qui permet le calcul de la valeur actuelle dun montant unique:

(EQ 5)

Nous pouvons donc aisment calculer le montant que nous devons dposer aujourdhui pour disposer de 5 000$ dans 3 ans si le taux obtenu sur lpargne est de 8%. Cette somme est 3 969,16$, soit:

.

Tout comme le calcul de la valeur future dun montant unique, la valeur actuel-le dun montant unique peut se calculer en ayant recours un facteur dintrt prlev dans une table. On trouve une telle table lannexe 13.2. La formule que lon utilise est alors:

(EQ 6)

o:

FI VA 1$ (n, i) = le facteur dintrt de la table de la valeur actuelle de 1$ pour npriodes au taux i.

La consultation de lannexe 13.2 nous apprend que le facteur dintrt appro-pri est 0,7938. Nous pouvons donc calculer la valeur actuelle dune somme de 5 000$ que lon souhaite disposer dans 3 ans et qui est de 3 969$, soit

.

4. Calculs financiers comprenant une srie de versements, ou annuit

Dans un grand nombre de situations o lon souhaite valuer des flux finan-ciers, on est aux prises avec, non pas un montant unique intervenant au dbut ou la fin dun contrat financier, mais avec une srie de versements faire ou recevoir. titre dexemple de telles situations, mentionnons:

le remboursement dun prt hypothcaire;

P0Pn1 i+ n

------------------=

5 000 $1 0,08+ 3

---------------------------

P0 FIVA 1 $ (n, i) Pnu=

0,7938 5 000 $u



des prestations reues en vertu dun contrat de rente; le dpt priodique dun montant fixe assur lintrieur dun plan dpar-

gne systmatique.

Quoiquil soit possible de rsoudre de tels problmes laide des formules et des tables dj prsentes dans cette leon, cela savre rapidement fastidieux; imaginez ce que reprsente alors le calcul de la valeur actuelle dune srie de 30 remboursements annuels. Heureusement, nous disposons doutils adapts aux situations mettant en cause une srie de versements faire ou recevoir. Avant de regarder de plus prs ces outils, notons quune telle srie est appele une annuit, terme que nous utiliserons frquemment dans le reste de ce chapi-tre.

A. Calcul de la valeur future dune annuitAyant rcemment fait lachat dun micro-ordinateur, vous anticipez dj le fait quil faudra le remplacer dans quelques annes. Vous prenez donc la dcision de dposer dans un compte dpargne rserv ce projet la somme de 1 000$ la fin de chacune des 5 prochaines annes (lanne prsente comprise). Combien aurez-vous accumul dans ce compte si le taux dintrt que vous tes en mesu-re dobtenir est 10%? Le schma 13.2 illustre ce problme.

Avant de rsoudre ce problme particulier, arrtons-nous au cas gnral. La va-leur future dune annuit de fin de priode4 peut tre calcule en appliquant la formule suivante, qui nest quune variante de la formule utilise pour calculer la valeur future dun montant unique:

(EQ 7)

SCHMA 13.3 ILLUSTRATION DE LA CAPITALISATION DUNE ANNUIT

Priodes1 2 3 4 5

(1 000 $) (1 000 $) (1 000 $) (1 000 $) (1 000 $)

Vous dcidez dinvestir 1 000$ par anne dans un compte dpargne. Combien aurez-vous accumul dans 5 ans si le taux dintrt obtenu est de 10%?

Entresde fonds

Sortiesde fonds

+

?

Sn A 1 i+ n 1 A 1 i+ n 2 A 1 i+ 1 A 1 i+ 0+ + + +=



o

Sn = la somme des valeurs capitalises de tous les versements de lannuit

A = le montant priodique du versement de lannuit

n, i = respectivement la dure de lannuit et le taux dintrt auquel sont capita-liss les versements.

Puisque cette quation correspond une srie gomtrique5, il est possible de rduire lensemble de lexpression ainsi:

(EQ 8)

En appliquant la formule une annuit de 1 000$ pour une dure de 5 ans 10%, nous obtenons:

Tout comme pour les calculs comprenant des montants uniques, il est gale-ment possible de faire des calculs sur les annuits en ayant recours des fac-teurs dintrt trouvs dans des tables plutt que dutiliser la formule que nous venons de voir. La valeur finale de lannuit est alors obtenue en utilisant le fac-teur dintrt de lannexe 13.3 et en appliquant la formule suivante:

(EQ 9)

o:

FI VF annuit (n, i) = le facteur dintrt dune table de valeur finale dune annuit pour une dure de n priodes au taux i.

On peut constater lannexe 13.3 que le facteur dintrt de la valeur future dune annuit de 5 priodes 10% est de 6,1051, ce qui nous permet de calculer une valeur finale de 6 105,10$ pour une srie de 5 dpts de 1 000$, soit

.

4. Ce type dannuit implique que les versements ont lieu la fin de chaque priode. Un autre type dannuit prvoit des versements de dbut de priode. Le traitement des an-nuits de dbut de priode sera prsent la section 5.5. Une srie gomtrique est une squence du type a, ar, ar2, etc. On dsigne a comme le premier terme de la srie et r comme sa raison. Dans le cas qui nous intresse, on recon-nat une srie gomtrique (dans lordre inverse) dont A est le premier terme et (1 + i) la raison. Pour plus de renseignements sur les sries gomtriques, on peut consulter Ma-thmatiques pour les techniques de la gestion de Paul Lavoie et Michle Collin, publi chez Gatan Morin diteur (4e dition).

Sn A1 i+ n 1

i---------------------------=

S5 1 000 $1 0,1+ 5 1

0,1--------------------------------- 1 000 $ 1,61 10,1

-------------------

= 6 105,10 $= =

Sn FIVF annuit (n, i) Au=

6,1051 1 000 $u



B. Calcul de la valeur actuelle dune annuitUn contrat de rente temporaire vous permettrait de recevoir un revenu annuelde 12 000$ pendant les trois annes dun retour aux tudes projet. Si vous re-cherchez un rendement de 8% sur le capital investi dans un tel contrat, quel estle montant maximal que vous pouvez payer pour acqurir cette rente? Le sch-ma 13.4 illustre cette dcision de placement.

Lquation 5 peut tre adapte de faon permettre le calcul de la valeur actuel-le dune annuit:

(EQ 10)

Cette srie gomtrique6 peut tre rduite lexpression suivante:

(EQ 11)

En appliquant cette formule, nous pouvons calculer la valeur actuelle dune rente de 12 000$ pendant 3 ans, escompte 8%:

SCHMA 13.4 ILLUSTRATION DE LACTUALISATION DUNE ANNUIT

6. Il sagit dune srie gomtrique de premier terme et de raison .

Quel est le montant maximal que vous pou-vez payer pour une rente de 12 000$ pen-dant 3 ans, si vous recherchez un rendement de 8% sur votre capital ?

Entresde fonds

Sortiesde fonds

+

1 2 30?

Priodes

12 000$ 12 000$ 12 000$

S0A

1 i+ 1------------------

A1 i+ 2

------------------ A1 i+ n 1

------------------------

A1 i+ n

------------------+ + + +=

R 1 i+ e 1 1 i+ e

S0 A1 1 i+ n

i-----------------------------=

S0 12 000 $1 1 0,08+ 3

0,08-------------------------------------- 12 000 $ 1 0,79383 0,08

---------------------------- 30 925,50 $= = =



En ayant recours une table de la valeur actuelle dune annuit, nous utilisons la formule gnrale suivante:

(EQ 12)

o:

FI VA annuit (n, i) = le facteur dintrt de la valeur actuelle dune annuit de npriodes au taux i.

On peut constater dans la table de lannexe 13.4 que le facteur dintrt recher-ch est de 2,5771, ce qui signifie quune annuit de 12 000$ pendant 3 ans, es-compte 8%, vaut aujourdhui 30 925,20$, soit .

C. Calculs comprenant des annuits de dbut de priodeOn appelle une annuit de dbut de priode une srie de versements faire ou recevoir au dbut de la priode plutt qu la fin, comme cela a t le cas dans les exemples prsents jusquici.

tant donn que les mathmatiques de lintrt prennent en considration lemoment prcis o intervient une entre ou une sortie de fonds, un problme decapitalisation ou dactualisation dune annuit donnera des rsultats diffrentsselon que cette annuit sera constitue de versements de dbut ou de fin de p-riode. De plus, les tables quon trouve aux annexes 13.3 et 13.4 sappliquantpour des annuits de fin de priode, on ne peut les utiliser directement avec desannuits de dbut de priode. Cependant, il existe une faon de rsoudre un telproblme avec ces tables et nous y reviendrons la section 5.

5. Autres habilets en mathmatiques financiresAux deux sections prcdentes, nous avons vu les quatre habilets de base con-cernant les mathmatiques de lintrt, soit la capitalisation et lactualisation respectivement des montants uniques et des annuits. Fort de cet acquis, vous pourrez maintenant vous familiariser avec des applications particulires de ces nouvelles connaissances, qui utilisent tantt des outils diffrents des tables et des formules auxquelles nous avons eu recours ou qui proposent une combinai-son de diffrents outils ou connaissances.

A. Rsolution des problmes de mathmatiques financires laide dune calculatrice financire

Une calculatrice financire possde des touches qui correspondent directement aux variables que lon trouve dans un problme de mathmatiques financires. Voici, titre dexemple, les touches que lon trouve sur la premire range dune calculatrice Hewlett Packard 14 B:

S0 FIVA annuit n, i Au=

2,5771 12 000 $u

N PV PMT FVI / Y



La signification de ces touches est:

N: le nombre de priodes; I/Y: le rendement annuel ou par priodes; PV: la valeur actuelle; PMT: le montant du versement ou du revenu; FV: la valeur finale de linvestissement.Avec une calculatrice de ce type, il suffit dentrer les valeurs pour 4 des 5 varia-bles et de demander le calcul de la 5 e variable. Si un problme nutilise que 4 des 5 variables, tel le calcul de la valeur capitalise dun montant unique pour lequel il ny a pas de versement (PMT), on met la variable superflue gale 0. Notons que ce choix ne demande pas une saisie particulire de la valeur 0, si lon prend soin de mettre les registres financiers 0 avant de commencer un cal-cul financier. Mentionnons, de plus, quune calculatrice financire peut gnra-lement tre rgle pour des calculs dannuits de dbut de priode ou de fin de priode. Enfin, la solution de problmes financiers laide dune calculatrice re-quiert que lon prenne soin de saisir les flux financiers en tenant compte de leur polarisation, cest--dire de leur caractre positif ou ngatif.

Pour illustrer lemploi dune calculatrice financire, refaisons le dernier probl-me que nous avons rsolu la question prcdente, cette fois laide dune telle calculatrice. Aprs avoir opt pour le mode correspondant aux annuits de fin de priode et mis 0 les registres financiers, on saisit les valeurs des trois varia-bles qui constituent les donnes de ce problme:

N: 3 I/Y: 8% PMT: 12 000$ (montant positif, puisquil sagit dune entre de fonds)Il ne reste alors qu demander le calcul de la variable PV, pour laquelle la cal-culatrice nous donne le rsultat -30 925,16$7.

Parmi les avantages que prsente lemploi dune calculatrice financire, mentionnons:

1. la rapidit de calcul;2. la possibilit de rsoudre des problmes pour une varit quasi infinie de

taux dintrt et de nombres de priodes; par comparaison, une table noffre habituellement que quelques taux standard et un ventail restreint de nom-bres de priodes;

3. la possibilit de rsoudre des problmes plus complexes, tels ltablissement de tableaux damortissement de prt, les calculs comprenant des hypoth-ques canadiennes, etc.

7. On obtient ici une rponse ngative parce quil sagit du montant requis pour lachat dune rente, soit une sortie de fonds.



B. Rsolution de problmes de mathmatiques financires laide du chiffrier lectronique

Tous les programmes de type chiffrier lectronique, soit Lotus 1-2-3, Excel, Quatro et SuperCalc, disposent de fonctions financires qui permettent de rsoudre des problmes financiers. titre dexemple, on trouve au tableau 13.2 les fonctions financires du logiciel Excel qui peuvent tre utilises pour rsou-dre les exemples et problmes que lon trouve dans cette leon.

Lemploi dun chiffrier lectronique pour faire des calculs financiers prsente les mmes avantages que ceux de la calculatrice financire en ce qui a trait la rapidit et la possibilit deffectuer des calculs complexes avec un nombre quasi illimit de valeurs possibles pour les variables i et n. Le chiffrier offre, de plus, quelques avantages supplmentaires qui sont propres lemploi de lordi-nateur, soit la possibilit de conserver les rsultats pour usage futur, ce qui in-clut la possibilit de les transfrer dans des rapports produits laide dautres logiciels, tel le traitement de texte.

TABLEAU 13.2 ILLUSTRATION DE QUELQUES FONCTIONS FINANCIRES DU LOGICIEL EXCEL

Nom de lafonction

Syntaxe et argumentsa Description

VC VC(taux;npm;vpm;va;type) sert calculer la valeur

future ou capitalise dun montant unique, dune annuit ou dune combinaison des deux.

VA VA(taux;npm;vpm;vc;type) sert calculer la valeur

actuelle dun montant unique, dune annuit ou dune combinaison des deux.

NPM NPM(taux;vpm;va;vc;type)

sert calculer le nombre de paiements requis pour faire correspondre la valeur des flux nga-tifs et des flux positifs au taux dintrt spcifi.

TAUX TAUX(npm;vpm;va;vc;type;estima-tion)

sert dterminer le taux dintrt qui tablit une correspondance entre la valeur des flux financiers positifs et celle des flux financiers ngatifs compte tenu du moment o ceux-ci se produi-sent.



C. Rsolution de problmes comprenant la fois un montant unique et une annuit laide de tables ou de formules

Vous avez peut-tre remarqu que les touches financires dune calculatrice ou les fonctions financires du chiffrier permettent de traiter la fois un montant unique dpos ou reu au temps 0 ou lchance de la dernire priode et une srie de versements priodiques reus ou faits entre-temps.

titre dexemple dun tel problme, considrons la situation suivante: quel prix devez-vous payer pour une obligation de 1 000$, venant chance dans 5 ans, dont le versement annuel dintrt est de 100$, si vous exigez sur ce pla-cement un taux de rendement de 8%? Le schma 13.5 illustre ce problme.

tant donn quun tel problme consiste tout simplement en une combinaison comprenant un montant unique et une annuit, nous pourrons le rsoudre laide des facteurs dintrt des tables en question. Ainsi V0, la valeur de lobli-gation au temps 0, peut tre calcule de la faon suivante:

(EQ 13)

Ce qui, pour le problme que nous venons dvoquer, nous permet dobtenir:

a. La signification des arguments est: taux, le taux dintrt; npm, le nombre de paiements; va, la valeur dun montant unique au temps 0; vpm, le montant du versement; vc, la valeur dun montant unique la dernire priode; type, la valeur distinguant les annuits de dbut et de fin de priode; estimation, le taux suggr par lutilisateur pour la recherche du taux exact.

SCHMA 13.5 ILLUSTRATION DE LACTUALISATION DUNE COMBINAISON COMPORTANT UN MONTANT UNIQUE ET UNE ANNUIT

Priodes

0 1 2 3 4 5

1,100 $

100 $100 $100 $100 $

-1,080 $

Entresde fonds

Sortiesde fonds

+

Quel prix devez-vous payer pour une obliga-tion de 1 000$, venant chance dans 5 ans, dont le versement annuel dintrts est de 100$, si vous exigez sur ce placement un taux de rendement de 8%?

V0 FIVA annuit n, i Au FIVA 1 $ (n, i) Pnu +=



D. Lapproximation dun taux laide de la mthode de linterpolationLorsquon rsout des problmes de mathmatiques financires laide dune calculatrice ou dun chiffrier lectronique, il est possible dutiliser nimporte quel taux dintrt. Les tables, aussi dtailles soient-elles, prsenteront tou-jours des limitations ce sujet. On peut cependant contourner cette difficult en ayant recours une technique dapproximation que lon appelle linterpolation dun taux dintrt.

Pour dmontrer cette approche, considrons le problme suivant, qui reprsen-te une variante dun problme que nous avons rsolu prcdemment. Suppo-sons que Mme St-Pierre ait la possibilit de se procurer pour 30 500$ une rente temporaire qui lui assurerait un revenu annuel de 12 000$ au cours des trois prochaines annes, quel taux de rendement obtient-elle sur son pargne? Puis-que nous savons quun prix de 30 926$ correspondrait un taux de 8%, calcu-lons la valeur de la rente avec un taux dactualisation de 9%.

Puisquun taux de 8% correspond un prix de 30 926$ et un taux de 9% un prix de 30 376$, nous pouvons conclure que le taux recherch se trouve entre ces deux taux. Pour obtenir une approximation du taux recherch, calculons dabord la diffrence entre les deux prix que nous avons tablis:

puis la diffrence entre le prix auquel Mme St-Pierre peut obtenir la rente et le prix correspondant au taux le plus bas que nous avons utilis:

Calculons maintenant le rapport entre la seconde diffrence et la premire:

Enfin, nous calculerons le taux approximatif en additionnant au taux le plus bas que nous avons utilis, soit 8%, le produit obtenu en multipliant le rapport des diffrences que nous venons de calculer par la diffrence entre les deux taux qui ont t employs, soit 1%8. Ce dernier calcul nous permet dobtenir:

Bien que cette mthode soit dite approximative, ce qui signifie quelle peut don-ner un taux qui scarte de quelques centimes du vritable taux, dans ce cas-ci une vrification laide dune calculatrice financire ou dun chiffrier lectroni-

8.

V0 3,9927 100 $u 0,6806 1 000 $u + 399,27 $ 680,60 $+ 1 079,87 $= = =

S0 FIVA annuit n, i Au 2,5313 12 000 $u 30 375,60 $= = =

30 926 $ 30 376 $ 550 $=

30 926 $ 30 500 $ 426 $=

426 $ 550 $e 0,77=

9 % 8 %

8 % 0,77 1 %u + 8,77 %=



que vous offrira la possibilit de constater que le taux de rendement exact de Mme St-Pierre est bel et bien 8,77%.

E. Rsolution de problmes comprenant une annuit de dbut de priode avec une table dannuits de fin de priode

La plupart des manuels qui fournissent des tables de mathmatiques financi-res ne contiennent gnralement que des tables sappliquant des annuits de fin de priode. Il est nanmoins possible de rsoudre un problme de capitalisa-tion ou dactualisation dune annuit de dbut de priode avec une telle table. Voyons comment il faudra procder dans chaque cas.

i) Capitalisation dune annuit de dbut de priodeAvant dindiquer la marche suivre pour une annuit de dbut de priode, analysons ce quest la capitalisation dune annuit de fin de priode. Lannuit de fin de priode implique quil ny a aucune capitalisation qui intervient au cours de la premire priode et que le dernier versement ne produit aucun int-rt, puisquil est fait le jour mme o le contrat financier vient chance. Par comparaison, lannuit de dbut de priode prvoit que chaque versement fait bnficie dune priode de capitalisation supplmentaire. On pourra donc r-soudre une annuit de dbut de priode en utilisant le facteur dintrt applica-ble une annuit dont la dure est suprieure de un an la vritable dure et en retranchant la valeur 1 du facteur dintrt correspondant.

ii) Actualisation dune annuit de dbut de priode nouveau, analysons lannuit de fin de priode pour voir de quelle faon son facteur dintrt peut tre adapt pour le cas des annuits de dbut de priode. Lorsquon actualise une annuit de fin de priode, chaque versement doit tre actualis pour un nombre de priodes correspondant son rang dans la srie de versements: le premier versement pour une priode, le deuxime pour deux , le nime pour n. Par comparaison, avec une annuit de dbut de priode, le pre-mier versement nest pas actualis, puisquil intervient au temps 09. En fait, une telle annuit peut tre traite laide du facteur dintrt correspondant une annuit de fin de priode dune dure infrieure dune priode auquel on ajou-tera la valeur 1 pour tenir compte du premier versement.

Le tableau 13.3 tablit une comparaison entre les annuits de dbut de priode et celles de fin de priode.

9. Il est galement possible de considrer quil est actualis avec un facteur dintrt de 1.



TABLEAU 13.3 ACTUALISATION ET CAPITALISATION DES ANNUITS DE DBUT ET DE FIN DE PRIODE

Actualisation dune annuit de 3 versements de 1 000$ 8%

Capitalisation dune annuit de 3 versements de 1 000$ 8%

fin de priode dbut de priode fin de priode dbut de priode

facteur valeur facteur valeur facteur valeur facteur valeur

2,5771 2 577,10$ 2,7833 2 783,30$ 3,2464 3 246,60$ 3,5061 3 506,10$

Calcul dun facteur dintrt pour lactualisation dune annuit de dbut de priode

Calcul dun facteur dintrt pour la capitalisation dune annuit de dbut de

priode

FI VA (2, 8%) fin de priode 1,7833 FI VF (4, 8%) fin de priode 4,5061Plus: facteur de correction pour P1 1,0000 Moins: facteur de correction pour P4 1,0000gale: FI VA (3, 8%) dbut de priode 2,7833 gale: FI VF (3, 8%) dbut de priode 3,5061



AN

NEX

E 13

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%

11,

0100

1,02

001,

0300

1,04

001,

0500

1,06

001,

0700

1,08

001,

0900

1,10

00 1,

1200

1,

1400

1,

1600

1,

1800

1,

2000

1,

2500

1,

3000

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0201

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1025

1,12

361,

1449

1,16

641,

1881

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00 1,

2544

1,

2996

1,

3456

1,

3924

1,

4400

1,

5625

1,

6900

31,

0303

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121,

0927

1,12

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1576

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101,

2250

1,25

971,

2950

1,33

10 1,

4049

1,

4815

1,

5609

1,

6430

1,

7280

1,

9531

2,

1970

41,

0406

1,08

241,

1255

1,16

991,

2155

1,26

251,

3108

1,36

051,

4116

1,46

41 1,

5735

1,

6890

1,

8106

1,

9388

2,

0736

2,

4414

2,

8561

51,

0510

1,10

411,

1593

1,21

671,

2763

1,33

821,

4026

1,46

931,

5386

1,61

05 1,

7623

1,

9254

2,

1003

2,

2878

2,

4883

3,

0518

3,

7129

61,

0615

1,12

621,

1941

1,26

531,

3401

1,41

851,

5007

1,58

691,

6771

1,77

16 1,

9738

2,

1950

2,

4364

2,

6996

2,

9860

3,

8147

4,

8268

71,

0721

1,14

871,

2299

1,31

591,

4071

1,50

361,

6058

1,71

381,

8280

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2107

2,

5023

2,

8262

3,

1855

3,

5832

4,

7684

6,

2749

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0829

1,17

171,

2668

1,36

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1,59

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7182

1,85

091,

9926

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4760

2,

8526

3,

2784

3,

7589

4,

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5,

9605

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1573

91,

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1,19

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3048

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4,

4355

5,

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4506

10

,60

45

101,

1046

1,21

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1,48

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6289

1,79

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9672

2,15

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3674

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6,

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1157

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2522

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8127

3,13

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8960

4,

8179

5,

9360

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9799

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