1 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 001
Fie matricele
1 2
3 1 1
4 2
a
A
a
= −
,
13 11 4
11 8 3
27 14 12
B
= −
şi 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
, a ∈ .
5p a) Pentru 1a = , să se determine matricea 233A A I+ − .
5p b) Pentru 1a = , să se calculeze determinantul matricei A . 5p c) Pentru a ∈ , să se calculeze determinantul matricei A .
5p d) Ştiind că mulţimea { } 1 3M a a= ∈ ≤ ≤ , să se determine valorile parametrului a M∈ pentru care
matricea A este inversabilă. 5p e) Pentru 1a = , să se calculeze matricea inversă
1A− , unde 1A− este inversa matricei A .
5p f) Pentru 1a = , să se rezolve ecuaţia matriceală
2A X B+ = .
2 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 002
Fie mulţimea de matrice ( ) ( ) ( ) 3
0
0 0 0 ,
0
a a
M A a A a a
a a
= ∈ = ∈
M .
5p a) Să se studieze dacă matricea nulă 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
=
aparţine mulţimii M .
5p b) Să se studieze dacă matricea ( )A a M∈ este inversabilă. 5p c) Să se arate că dacă ( ) ( ), A a A b M∈ , atunci ( )A a ⋅ ( )A b M∈ .
5p d) Să se arate că pentru oricare matrice ( ) ( ), A a A b M∈ are loc egalitatea ( ) ( ) ( ) ( )A a A b A b A a⋅ = ⋅ .
5p e) Să se arate ca există o matrice ( )A e M∈ , cu proprietatea că ( ) ( ) ( ) ( ), A a A e A a A a M⋅ = ∀ ∈ .
5p f) Să se demonstreze că ( ) ( ) ( )2 , ,A xy A x A y x y= ⋅ ∀ ∈ . 3 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 003
Se consideră matricele
1 2
1 1 0
2 3
a
A
a
= −
,
5 2 2
1 1 2
0 4 7
B
= −
,
1 0
0 1 0
0 1
a
C
a
=
şi 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
, a ∈ .
5p a) Pentru 2a = , să se determine matricea 233 5A A I− + .
5p b) Să se determine valorile parametrului real a , pentru care det( ) 3A = . 5p c) Să se determine valorile parametrului real a , pentru care matricea A este inversabilă. 5p d) Pentru 0a = , să se calculeze matricea inversă 1A− , unde 1A− este inversa matricei A . 5p e) Pentru 0a = , să se rezolve ecuaţia matriceală AX B= . 5p f) Să se determine valorile parametrului real a , pentru care are loc egalitatea AC CA= . 4 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 004
Se consideră matricele 2 1
4 2M
= − − şi 2
1 0
0 1I
=
, 2A M aI= + , a ∈ .
5p a) Să se determine matricea A . 5p b) Să se determine valorile parametrului real a , pentru care det( ) 16A = . 5p c) Pentru { }\ 0a ∈ , să se calculeze matricea inversă 1A− , unde 1A− este inversa matricei A .
5p d) Pentru 1a = , să se rezolve ecuaţia matriceală AX M= .
5p e) Pentru o matrice pătratică ( ) 2a b
Bc d
= ∈
M , numim „urma matricei” numărul real
( )Tr B a d= + . Să se arate că are loc relaţia ( )22det( )A Tr A A A I= ⋅ − ⋅ .
5p f) Să se determine ( )3 223A a M a I− ⋅ + ⋅ .
5 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 005
Fie matricele 2 1
3
aA
b
=
, 1
0 1
aB
=
, 3 2
1 4C
=
, cu ,a b ∈ .
5p a) Să se determine matricea M AB BA= + . 5p b) Pentru 2a = , să se determine valorile parametrului real b , pentru care det( ) 5A = .
5p c) Pentru 1b = , să se determine valorile parametrului real a , pentru care matricea A este inversabilă. 5p d) Ştiind că parametrii reali a
şi b verifică relaţia 6b a≠ , să se calculeze matricea inversă 1A− , unde 1A− este inversa matricei A .
5p e) Pentru 0a =
şi 1b = , să se rezolve ecuaţia matriceală
AXB C= .
5p f) Să se determine perechile de numere reale ( ),a b , pentru care relaţia AB BA= este adevărată.
6 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 006
Fie matricele 3 9
1 3M
− = − , 2
1 0
0 1I
=
şi 22A M a I= + ⋅ , a ∈ .
5p a) Să se determine matricea A . 5p b) Să se determine valorile parametrului real a , pentru care det( ) 16A = .
5p c) Pentru { }\ 0a ∈ , să se calculeze matricea inversă 1A− , unde 1A− este inversa matricei A .
5p d) Pentru 1
2a = , să se rezolve ecuaţia matriceală AX M= .
5p e) Pentru o matrice pătratică ( ) 2a b
Bc d
= ∈
M , numim „urma matricei” B , numărul real
( )Tr B a d= + . Să se arate că are loc relaţia ( )22det( )A Tr A A A I= ⋅ − ⋅ .
5p f) Să se calculeze ( )3 223A a M a I− ⋅ + ⋅ .
7 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 007
Fie mulţimea de matrice ( ) ( ) ( ) 3
0
0 1 0 ,
0
a a
M A a A a a
a a
= ∈ = ∈
M .
5p a) Să se studieze dacă matricea
0 0 0
0 1 0
0 0 0
B
=
aparţine mulţimii M .
5p b) Să se studieze dacă matricea ( )A a M∈ este inversabilă. 5p c) Să se arate că dacă ( ) ( ),A a A b M∈ , atunci ( )A a ⋅ ( )A b M∈ .
5p d) Să se arate că dacă ( ) ( ),A a A b M∈ , atunci are loc egalitatea ( ) ( ) ( ) ( )A a A b A b A a⋅ = ⋅ .
5p e) Să se arate ca există o matrice ( )A e M∈ , cu proprietatea că ( ) ( ) ( ) ( ), A a A e A a A a M⋅ = ∀ ∈ .
5p f) Să se arate că ( ) ( ) ( )2 , ,A xy A x A y x y= ⋅ ∀ ∈ .
8 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 008
În × × se dă sistemul de ecuaţii (S)
3 11
1
3 12
ax y z
y az
x y z
+ + = − = − + + =
şi matricea
1 3
0 1
1 3 1
a
A a
= −
, cu a ∈ .
5p a) Să se determine 2A .
5p b) Pentru 0a = să se determine matricea ( ) 3B ∈ M care verifică relaţia 2 3B A A= − .
5p c) Să se calculeze determinantul matricei A . 5p d) Să se determine valorile parametrului real a , pentru care tripletul ( )1,3,2 verifică prima ecuaţie a
sistemului (S). 5p e) Să se determine valorile parametrului real a , pentru care sistemul (S) admite soluţie unică. 5p f) Pentru 2a = , să se determine soluţia sistemului (S).
9 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 009
Fie matricea ( ) 3A ∈ M ,
1 2
3 1 1
1 0
a
A
b
=
, unde a şi b sunt parametri reali.
5p a) Să se calculeze determinantul matricei A . 5p b) Pentru 5b = , să se determine valorile parametrului real a pentru care det( ) 17A = . 5p c) Pentru 2a = , să se determine valorile parametrului real b pentru care matricea A este inversabilă. 5p d) Pentru 2a =
şi 1b = , să se calculeze matricea inversă
1A− , unde 1A− este inversa matricei
A .
5p e) Fie ecuaţia de gradul al doilea 2 5 0x x− − = ale cărei soluţii sunt 1x
şi 2x . Dacă
1a x=
şi 2b x= să se calculeze determinantul matricei A .
5p f) Să se rezolve în × × sistemul de ecuaţii 2 8
3 10
2
x y z
x y z
x
+ + = + + = =
.
10 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 010
Fie matricele 1 1
1 1M
= − − , 2
1 0
0 1I
=
, 23A M aI= − , cu a ∈ .
5p a) Să se determine matricea A . 5p b) Să se determine valorile parametrului real a , pentru care det( ) 36A = . 5p c) Pentru { }\ 0a ∈ , să se calculeze matricea inversă 1A− , unde 1A− este inversa matricei A .
5p d) Pentru 1
3a = , să se rezolve ecuaţia matriceală AX M= .
5p e) Pentru o matrice pătratică ( )2a b
Bc d
= ∈
M , numim „urma matricei” B , numărul real
( )Tr B a d= + . Să se arate că are loc relaţia ( )22det( )A Tr A A A I= ⋅ − ⋅ .
5p f) Să se calculeze ( )3 223A a M a I− + ⋅ .
11 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 011
Fie matricele
1 3
2 1 0
1 1
a
A
a
= −
,
1 3 9
6 1 6
3 1 2
B
=
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
, cu a ∈ .
5p a) Pentru 0a = , să se determine matricea 232 4A A I+ − .
5p b) Pentru 0a = , să se calculeze determinantul matricei A . 5p c) Pentru a ∈ , să se calculeze determinantul matricei A .
5p d) Dacă { }2 0M a a= ∈ − ≤ ≤ să se determine valorile reale ale parametrului a M∈ pentru care
matricea A este inversabilă. 5p e) Pentru 0a = , să se calculeze matricea inversă 1A− , unde 1A− este inversa matricei A .
5p f) Pentru 0a = , să se rezolve ecuaţia matriceală 2A X B+ = . 12 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 012
Fie matricea ( ) 3A ∈ M ,
1 2
0 1
2 3 2
a
A b
=
, unde a şi b sunt parametri reali.
5p a) Să se calculeze determinantul matricei A . 5p b) Pentru 3b = , să se determine valorile parametrului real a pentru care det( ) 12A = − . 5p c) Pentru 1a = , să se determine valorile parametrului real b pentru care matricea A este inversabilă. 5p d) Pentru 1a = şi 0b = , să se calculeze matricea inversă 1A− , unde 1A− este inversa matricei A .
5p e) Fie ecuaţia de gradul al doilea 2 2 3 0x x− − = ale cărei soluţii sunt 1x şi 2x . Dacă 1a x= şi 2b x= săse calculeze determinantul matricei A .
5p f) Să se rezolve în × × sistemul de ecuaţii 2 8
3
2 3 2 15
x y z
y
x y z
+ + = = + + =
.
13 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 013
Fie matricele ( )2A ∈ M , ( )2B ∈ M , ( )2C ∈ M
1 3
0 2
aA
b
=
, 0
0 1
aB
=
, 2 4
1 1C
− = − , cu
,a b ∈ .
5p a) Să se determine matricea M AB BA= − . 5p b) Pentru a ∈ , să se determine valorile parametrului real b , pentru care det( ) 6A = . 5p c) Pentru 1b = , să se determine valorile parametrului real a , pentru care matricea A este inversabilă. 5p d) Pentru 0b ≠ , să se calculeze matricea inversă 1A− , unde 1A− este inversa matricei A . 5p e) Pentru 1a =
şi 1b = , să se rezolve ecuaţia matriceală
AXB C= .
5p f) Să se determine perechile de numere reale ( ),a b pentru care relaţia AB BA= este adevărată.
14 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 014
Fie matricele 4 2
8 4M
− = − , 2
1 0
0 1I
=
, 23A M a I= + ⋅ , cu a ∈ .
5p a) Să se determine matricea A . 5p b) Să se determine valorile parametrului real a , pentru care det( ) 9A = .
5p c) Pentru { }\ 0a ∈ , să se calculeze matricea inversă 1A− , unde 1A− este inversa matricei A .
5p d) Pentru 1
3a = , să se rezolve ecuaţia matriceală AX M= .
5p e) Pentru o matrice pătratică ( )2a b
Bc d
= ∈
M , numim „urma matricei” numărul real
( )Tr B a d= + . Să se arate că are loc relaţia ( )22det( )A Tr A A A I= ⋅ − ⋅ .
5p f) Să se calculeze ( )3 223A a M a I− + ⋅ .
15 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 015
Fie mulţimea de matrice ( ) ( ) ( )21
,0 1
aM A a A a a
= ∈ = ∈
M .
5p a) Să se studieze dacă matricea 21 0
0 1I
=
aparţine mulţimii M .
5p b) Să se arate că pentru oricare a ∈ matricea ( )A a M∈ este inversabilă. 5p c) Să se arate că dacă ( ) , ( )A a A b M∈ , atunci ( )A a ⋅ ( )A b M∈ .
5p d) Să se arate că dacă ( ) , ( )A a A b M∈ , atunci ( ) ( ) ( ) ( )A a A b A b A a⋅ = ⋅ .
5p e) Să se arate ca există o matrice ( )A e M∈ , cu proprietatea că ( ) ( ) ( ) ( ), A a A e A a A a M⋅ = ∀ ∈ .
5p f) Să se arate că ( ) ( ) ( ) , ,A x y A x A y x y+ = ⋅ ∀ ∈ .
16 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 016
Fie matricea ( )3A ∈ M ,
1 2
3 2
1 1 3
b
A a
= −
, unde a şi b sunt parametri reali.
5p a) Să se calculeze determinantul matricei A . 5p b) Pentru 2b = , să se determine valorile parametrului real a pentru care det( ) 17A = . 5p c) Pentru 1a = , să se determine valorile parametrului real b pentru care matricea A este inversabilă. 5p d) Pentru 1a = şi 1b = , să se calculeze matricea inversă 1A− , unde 1A− este inversa matricei A .
5p e) Fie ecuaţia de gradul al doilea 2 5 8 0x x− − = ale cărei soluţii sunt 1x şi 2x . Dacă 1a x= şi 2b x= săse calculeze determinantul matricei A .
5p f) Să se rezolve în × × sistemul de ecuaţii 2 7
3 2 3
3 9
x y z
x y z
x y z
+ + =− + + = + + =
.
17 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 017
Fie matricele 1
4 2
aA
b
=
, 1 0
1B
a
=
, 2 4
3 1C
= − , cu ,a b ∈ .
5p a) Să se determine matricea M AB BA= − . 5p b) Pentru 2a = , să se determine valorile parametrului real b , pentru care det( ) 6A = − . 5p c) Pentru 2b = să se determine valorile parametrului real a , pentru care matricea A este inversabilă. 5p d) Dacă parametrii reali a
şi b verifică relaţia 2b a≠ , să se calculeze matricea inversă 1A− , unde 1A−
este inversa matricei A .
5p e) Pentru 0a =
şi 1
2b = , să se rezolve ecuaţia matriceală
AXB C= .
5p f) Să se determine perechile de numere reale ( ),a b pentru care relaţia AB BA= este adevărată.
18 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 018
În × × se dă sistemul (S)
2 6
2 7
2 3 13
x ay z
x y
ax y z
− + = + = + + =
şi matricea
1 2
2 1 0
2 1 3
a
A
a
− =
, cu a ∈ .
5p a) Să se determine matricea 2A .
5p b) Pentru 0a = , să se determine matricea ( ) 3B ∈ M care verifică relaţia 22B A A− = .
5p c) Să se calculeze determinantul matricei A . 5p d) Să se determine valorile parametrului real a pentru care tripletul ( )3,1,2 verifică prima ecuaţie a
sistemului (S). 5p e) Să se determine valorile parametrului real a pentru care sistemul (S) admite soluţie unică. 5p f) Pentru 1a = , să se determine soluţia sistemului (S).
19 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 019
Fie mulţimea de matrice ( ) ( ) ( )21 0
, 1
M A a A a aa
= ∈ = ∈
M .
5p a) Să se studieze dacă matricea 21 0
0 1I
=
aparţine mulţimii M .
5p b) Să se arate că pentru oricare a ∈ matricea ( )A a M∈ este inversabilă. 5p c) Să se arate că dacă ( ) , ( )A a A b M∈ , atunci ( )A a ⋅ ( )A b M∈ .
5p d) Să se arate că dacă ( ) , ( )A a A b M∈ , atunci ( ) ( ) ( ) ( )A a A b A b A a⋅ = ⋅ .
5p e) Să se arate ca există o matrice ( )A e M∈ , cu proprietatea că ( ) ( ) ( ) ( ), A a A e A a A a M⋅ = ∀ ∈ .
5p f) Să se arate că ( ) ( ) ( ) , ,A x y A x A y x y+ = ⋅ ∀ ∈ .
20 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 020
În × × se dă sistemul (S)
3 2 2
7
3 10
x y az
ax z
x y z
− + + = − + = + + =
şi matricea
3 2
0 1
1 1 3
a
A a
− =
, cu a ∈ .
5p a) Să se determine matricea 2A .
5p b) Pentru 0a = , să se determine matricea ( ) 3B ∈ M care verifică relaţia 25A B A+ = .
5p c) Să se calculeze determinantul matricei A . 5p d) Să se determine valorile parametrului real a , pentru care tripletul ( )2, 1,3− verifică prima ecuaţie a
sistemului (S). 5p e) Să se determine valorile parametrului real a pentru care sistemul (S) admite soluţie unică. 5p f) Pentru 2a = , să se determine soluţia sistemului (S).
21 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 021
Fie matricele
1 0
1 2 1
2 0 1
a
A
a
= −
,
3 1 1
1 4 1
0 2 2
B
− = − −
,
0 0
0 1 0
1 0 1
a
C
a
= −
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
, cu a ∈ .
5p a) Pentru 1a = , să se determine matricea 232 3A A I− + .
5p b) Să se determine valorile parametrului real a , pentru care det( ) 3A a= − . 5p c) Să se determine valorile parametrului real a , pentru care matricea A este inversabilă. 5p d) Pentru 0a = , să se calculeze matricea inversă
1A− , unde 1A− este inversa matricei A . 5p e) Pentru 0a = , să se rezolve ecuaţia matriceală
AX B= . 5p f) Să se determine valorile parametrului a pentru care are loc egalitatea AC CA= .
22 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 022
Fie sistemul (S)
2 4
2 3
2 2 5
ax y z
x y
x ay z
+ + = + = − + + =
şi matricele
2 1 1
2 1 0
2 2
a
A
a
=
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
, cu a ∈ .
5p a) Să se determine matricea 23( )A I− .
5p b) Pentru 1a = − să se determine matricea ( ) 3B ∈ M care verifică relaţia 23B A A I− = + .
5p c) Să se calculeze determinantul matricei A . 5p d) Să se determine valorile parametrului real a pentru care tripletul ( )1, 1,3− − verifică prima ecuaţie a
sistemului (S). 5p e) Să se determine valorile parametrului real a pentru care sistemul (S) admite soluţie unică. 5p f) Pentru 1a = − , să se determine soluţia sistemului (S). 23 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 023
Fie matricele 3 2
4 1
b aA
=
, 0
0 1
aB
=
, 2 4
1 3C
− =
,cu ,a b ∈ .
5p a) Să se determine matricea M AB BA= − . 5p b) Pentru 3a = − , să se determine valorile parametrului real b pentru care det( ) 6A = . 5p c) Pentru 8b = să se determine valorile parametrului real a pentru care matricea A este inversabilă. 5p d) Ştiind că parametrii reali a şi b verifică relaţia 3 8b a≠ , să se calculeze matricea inversă 1A− , unde
1A− este inversa matricei A . 5p e) Pentru 1a = şi 3b = , să se rezolve ecuaţia matriceală AXB C= .
5p f) Să se determine perechile de numere reale ( ),a b pentru care are loc egalitatea AB BA= .
24 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 024
Fie matricele 2 1
4 2M
− − =
, 21 0
0 1I
=
, 22A M a I= + ⋅ , cu a ∈ .
5p a) Să se determine matricea A . 5p b) Să se determine valorile parametrului real a , pentru care det( ) 36A = .
5p c) Pentru { }\ 0a ∈ , să se calculeze matricea inversă 1A− , unde 1A− este inversa matricei A .
5p d) Pentru 1
2a = , să se rezolve ecuaţia matriceală AX M= .
5p e) Pentru o matrice pătratică ( )2a b
Bc d
= ∈
M , numim „urma matricei” B , numărul real
( )Tr B a d= + . Să se arate că are loc relaţia ( )22det( )A Tr A A A I= ⋅ − ⋅ .
5p f) Să se calculeze ( )3 223A a M aI− + .
25 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 025
Fie matricea ( )3A ∈ M ,
0 1
0 1
1 1 1
a
A b
=
, unde a şi b sunt parametri reali.
5p a) Să se calculeze determinantul matricei A . 5p b) Pentru 4b = , să se determine valorile parametrului real a pentru care det( ) 5A = . 5p c) Pentru 2a = , să se determine valorile parametrului real b pentru care matricea A este inversabilă. 5p d) Pentru 2a = şi 0b = , să se calculeze matricea inversă 1A− , unde 1A− este inversa matricei A .
5p e) Fie ecuaţia de gradul al doilea 2 4 7 0x x− − = ale cărei soluţii sunt 1x şi 2x . Dacă 1a x= şi 2b x= săse calculeze determinantul matricei A .
5p f) Să se rezolve în × × sistemul de ecuaţii 2 5
1
4
x z
z
x y z
+ = = − + + =
.
26 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 026
Fie sistemul de ecuaţii ( )S ( )2
2 3
1 6 9
x y
a x y
+ = − + =
şi matricea 2
1 2
1 6A
a
= −
, a ∈ .
5p a) Să se calculeze ( )det ,A pentru 2.a =
5p b) Pentru 2a = , să se verifice egalitatea 2 7A A= .
5p c) Să se determine a ∈ pentru care ( )det 0A = .
5p d) Să se determine a ∈ , ştiind că perechea 3 6
,5 5
este soluţie a sistemului ( )S .
5p e) Să se rezolve sistemul ( )S pentru \ { 2, 2}a ∈ − .
5p f) Fie :f → , 2( ) 5 12 9f t t t= − + . Să se afle valoarea minimă a funcţiei f.27 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 027
Fie sistemul de ecuaţii (S)
( )( )
( )
2
2
2
2 1
2 1
2 1
x y a z
x a y z
a x y z
+ + + = + + + = + + + =
şi matricea
2
2
2
1 1 2
1 2 1 , .
2 1 1
a
A a a
a
+ = + ∈ +
5p a) Pentru 0a = , să se calculeze ( )det A .
5p b) Să se rezolve sistemul ( )S , pentru 0a = .
5p c) Să se determine a ∈ , astfel încât 1 1 1
, ,5 5 5
să fie soluţie a sistemului ( )S .
5p d) Să se arate că ( )det 0A < , pentru oricare a ∈ .
5p e) Ştiind că ( ), ,t u v este soluţie a sistemului ( )S să se calculeze ,t u v+ + pentru .a ∈
5p f) Să se arate că dacă ( ), ,t t t este soluţie a sistemului ( )S , atunci 1
0 , .4
t ∈
28 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 028
Fie matricele
0 1 0
0 0 1
1 0 0
A
= − −
şi 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
.
5p a) Să se calculeze ( )3det .A I+5p b) Să se calculeze tA A+ , unde t A este transpusa matricei A. 5p c) Să se calculeze 3A . 5p d) Să se determine 1A− , unde 1A− este inversa matricei A .
5p e) Să se verifice egalitatea ( ) ( )23 3 32 .A I A A I I+ − + =
5p f) Să se determine p ∈ pentru care matricea 3A pI+ nu este inversabilă.
29 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 029
Fie matricile 1
5
aA
a
=
şi 21 0
0 1I
=
, a ∈ .
5p
a) Să se calculeze ( )det t A , unde t A este transpusa matricei A.
5p
b) Să se calculeze suma elementelor matricei 2 .A aI−
5p
c) Să se verifice egalitatea ( )22 25A aI I− = .
5p
d) Să se arate că pentru orice a ∈ , matricea A este inversabilă. 5p
e) Să se determine 1A− , pentru a ∈ . 1A− este inversa matricei A .
5p
f) Să se determine a ∈ , astfel încât ( )1 2A− ∈ M .
30 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 030
Fie matricele 1
1
aA
a
− =
şi 2 ,B A aI a= − ∈ .
5p a) Să se calculeze produsul elementelor matricei B. 5p b) Să se arate că A este matrice inversabilă, pentru oricare a ∈ . 5p c) Să se verifice egalitatea 2
2 2B I O+ = . 5p d) Să se calculeze 1B B−+ , unde 1B− este inversa matricei B . 5p e) Să se calculeze 2 3 4B B B B+ + + . 5p f) Să se arate că nu există a ∈ pentru care ( )det 2008A = .
31 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 031
Fie matricele
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A
=
şi 1 1 1
2 2 2
1 1 1
B
= − − −
.
5p a) Să se calculeze 2 3B B− . 5p b) Să se verifice egalitatea 3BA B= . 5p c) Să se arate că AB BA≠ .
5p d) Să se arate că toate elementele matricei ( ) ( )2 2AB BA− sunt egale.
5p e) Să se determine p ∈ astfel încât ( ) ( )2A B p A B+ = + .
5p f) Să se calculeze ( ) ( )( )2008 2008det AB BA+ .
32 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 032
Fie sistemul de ecuaţii (S) ( )2
1
2 1 2
x y
ax a y
+ = + + =
şi matricele 2
1 1
2 1A
a a
= +
20 0
,0 0
O
=
, a ∈ .
5p a) Pentru 1a = , să se verifice egalitatea ( )2 23A A I O− = .
5p b) Să se arate că ( )det 0A ≥ , a∀ ∈ .
5p c) Să se determine a ∈ pentru care 1, 2x y= − = este soluţie a sistemului (S). 5p d) Să se determine a ∈ pentru care matricea sistemului (S) este inversabilă. 5p e) Să se determine a ∈ pentru care sistemul (S) admite soluţii numere naturale. 5p f) Să se rezolve sistemul ( )S pentru { }\ 1a ∈33 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 033
Fie matricele ( ) ( )1 2, , 1 ,
1 2A X x y B a a
= = = ∈
.
5p a) Să se calculeze ( )det aA .
5p b) Pentru 2a = să se verifice egalitatea ( )XA x y B= + .
5p c) Să se arate că 2 3A A= .
5p d) Să se determine , ,a x y ∈ pentru care are loc egalitatea 2tBX A= , unde tB este matricea transpusă a matricei B .
5p e) Să se arate că matricea 2I xA+ este inversabilă pentru orice 1
3x ≠ − .
5p f) Să se determine b ∈ astfel încât ( ) 12 2I bA I A
−+ = + , unde ( ) 12I A
−+ este inversa matricei 2I A+ .
34 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 034
Se consideră matricele ( )2
1 1 1
1 2
1 4
A a a
a
=
, 2
1
X a
a
=
,
1
0
0
B
=
, şi 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
=
, a ∈ .
5p a) Să se calculeze ( )( )det 0A .
5p b) Să se verifice egalitatea ( )A a B X= .
5p c) Să se determine a ∈ pentru care are loc egalitatea ( ) ( ) 3A a A a O− − = .
5p d) Să se calculeze tX B A⋅ − , unde tB este transpusa matricei B .
5p e) Să se arate că
( )( )det A a este număr par pentru orice a ∈ .
5p f) Să se determine a ∈ pentru care are loc egalitatea ( )A a X B= .
35 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 035
Se consideră matricele
1 2 2
2 1 2
2 2 1
A
=
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
,
x
X y
z
=
, şi a
B a
a
=
, cu , , ,a x y z ∈ .
5p a) Să se calculeze ( )3det A I+ .
5p b) Să se calculeze 34 5A I+ .
5p c) Să se arate că 234 5A A I= + .
5p d) Să se rezolve în mulţimea ecuaţia ( )det 40zA = .
5p e) Să se arate că dacăt
u
v
este soluţie a ecuaţiei matriceale AX B= , atunci t u v= = .
5p f) Să se determine a ∈ , pentru care ecuaţia AX B= are soluţii în ( ) 3,1M .
36 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 036
Fie sistemul de ecuaţii (S)
x y z a
x y z a
x y z a
− + + = − + = + − =
şi matricele 3
1 1 1 1 0 0
1 1 1 , 0 1 0
1 1 1 0 0 1
A I
− = − = −
, cu a ∈ .
5p a) Să se calculeze ( )3det A I+ .
5p b) Să se determine a ∈ , pentru care ( )2, 2, 2− − − este soluţie a sistemului (S).
5p c) Să se rezolve sistemul (S) pentru 0a = .
5p d) Să se verifice egalitatea 232A A I+ = .
5p e) Să se determine 1A− , unde 1A− este inversa matricei A . 5p f) Să se determine soluţia ( ), ,t u v a sistemului (S) care verifică relaţia 2 3 6t u v+ + = − .
37 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 037
Se consideră matricele 3 3
2 1 1 1 0 0 0 0 0
1 2 1 , 0 1 0 , 0 0 0
1 1 2 0 0 1 0 0 0
A I O
= = =
.
5p a) Să se calculeze ( )3det A I− .
5p b) Să se calculeze 235 4A A I− + .
5p c) Să se arate că 13
1 5
4 4A A I− = − + , unde 1A− este inversa matricei A .
5p d) Să se verifice egalitatea ( ) ( )1 1
detdet
AA
− = .
5p e) Să se determine ,y z ∈ , pentru care 23 3A yA zI O+ + = .
5p f) Să se calculeze ( )det taA A+ , unde t A reprezintă transpusa matricei A şi a ∈ .
38 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 038
Fie matricele 2 21 3 1 0 0 0
, ,1 2 0 1 0 0
A I O−
= = = − .
5p a) Să se calculeze 2A .
5p b) Să se arate că
( ) ( )2det detA A= .
5p c) Să se determine ,x y ∈ pentru care are loc egalitatea 22 2A xA yI O+ + = .
5p d) Să se verifice egalitatea 2 32A A A O+ + = .
5p e) Calculaţi 2 28...A A A+ + + . 5p f) Să se arate că pentru orice a ∈ matricea 2aI A+ este inversabilă.
39 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 039
Fie matricele 21 1 2 1 1 0 0
, , , ,1 0 1 0 2 0 0 0
aA B C O a
− = = = = ∈ −
.
5p a) Să se calculeze 2B C− .5p b) Să se demonstreze că a∀ ∈ are loc egalitatea ( )det 0A B C+ + = .
5p c) Să se determine a ∈ pentru care 2A B C O+ + ≠ . 5p d) Să se scrie sistemul de ecuaţii cu necunoscutele , , x y z obţinut din egalitatea 2xA yB zC O+ + = . 5p e) Pentru 0a = să se determine , ,x y z ∈ care verifică egalitatea 2xA yB zC O+ + = . 5p f) Să se arate că dacă , ,x y z ∈ verifică egalitatea 2xA yB zC O+ + = , atunci ,x y z a= = ∀ ∈ .
40 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 040
Fie matricele 2 21 1 1 0 0 0
, ,1 1 0 1 0 0
A I O−
= = = − .
5p a) Să se calculeze 3A .
5p b) Să se verifice egalitatea ( ) ( )32 2 2I A I A I A+ = + − .
5p c) Să se arate că ( )2det 0aI aA+ ≥ pentru oricare a ∈ .
5p d) Să se arate că, pentru oricare a ∈ , matricea 2I aA+ este inversabilă. 5p e) Să se arate că, pentru oricare a ∈ , există b ∈ , astfel încât ( ) ( )2 2 2I aA I bA I+ + = .
5p f) Să se determine matricele ( ) 2x y
Xx y
= ∈ − −
M cu proprietatea că 2XA O= .
41 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 041
Fie matricea 0 1 2
1 2 0A
+= −
şi mulţimea { }, 2 ,a bG G aI bA a b= = + ∈
5p a) Să se determine suma elementelor matricei 1,1G .
5p b) Să se verifice egalitatea 22 2A I O+ = .
5p c) Să se calculeze ( ),det a bG .
5p d) Să se determine matricele neinversabile din mulţimea G.
5p e) Ştiind că ,a bG este matrice inversabilă, să se arate că2 2 2 2
1,
,a b a b
a b a b
G G−−
+ +
= , unde 1,a bG− este inversa
matricei ,a bG .
5p f) Să se determine a ∈ , pentru care ,1aG G∈ şi 1,1aG G− ∈ .
43 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 043
Fie matricele 3 3
0 1 0 0 0 0 0
0 , 0 1 0 , 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0
a b
A b a I O
= − = =
, ,a b ∈ .
5p a) Pentru 1, 0,a b= = să se arate că
( ) ( )3det det 0A I+ = .
5p b) Pentru ,a b ∈ , să se calculeze 2A . 5p c) Să se determine ,a b ∈ , pentru care are loc egalitatea 3 3aA bI O+ = . 5p d) Să se arate că matricea A este neinversabilă dacă
şi numai dacă
0a b= = .
5p e) Să se determine ,a b ∈ , pentru care 1A A− = , unde 1A− este inversa matricei A .
5p f) Pentru 1
2a = , să se determine valorile lui b ∈ pentru care 2
3A I= .
42 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 042
Fie matricele ( ) 2 2cos 2 sin 0 0 1 0
, ,0 0 0 12 sin cos
x xA x O I
x x
− + = = = + −
, 0 180x< < .
5p a) Să se calculeze suma elementelor matricei ( )60A .
5p b) Să se calculeze ( ) 21
det 602
A I +
.
5p c) Să se arate că ( )( ) ( )( )det det 60A x A= pentru oricare 0 180x< < .
5p d) Să se calculeze ( )2A x .
5p e) Să se verifice egalitatea ( ) ( )12A x A x O− + = , 0 180x< < , unde 1A− este inversa matricei A .
5p f) Să se determine valorile lui x pentru care ( ) ( )180A x A x= − .
44 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 044
Se consideră matricele 3 6
1 2A
= − −
, 20 0
0 0O
=
, 21 0
0 1I
=
şi , , , ,a b
X a b c dc d
= ∈
.
5p a) Să se calculeze ( )2det 2A I+ .
5p b) Să se calculeze 2X .
5p c) Să se verifice egalitatea ( ) ( )( )22det detX X= .
5p d) Să se verifice egalitatea ( ) ( )22 2detX a d X X I O− + + = .
5p e) Să se arate că dacă ( )det 0X = , atunci ( )2X a d X= + .
5p f) Să se rezolve, în mulţimea ( )2M , ecuaţia 2X A= .
45 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 045
Fie matricele 3
1 1 1 0 01
1 1 , 0 1 0 , , , ,1
1 1 0 0 1
aa
A b I B a b cb
c
= = = ∈
.
5p a) Pentru 1a b c= = = , să se calculeze 32A I− .
5p b) Pentru 1a b c= = = , să se verifice egalitatea 2 3A A= . 5p c) Să se determine ,a b ∈ , pentru care ( )det 0B =5p d) Să se arate că există o infinitate de triplete ( , , )a b c pentru care matricea A nu este inversabilă.
5p e) Să se arate că ( ) ( ) ( ) ( ) ( )det 1 det 1 1A c B a b= − + − − .
5p f) Să se arate că există numere , ,a b c ∈ pentru care ( )det 2008A = .
46 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 046
Fie sistemul de ecuaţii (S)
( )( )
2
2
2 1
2 1
1
a x y z
x b y z
x y z
+ + + = + + + =
+ + =
şi matricea
2
2
2 1 1
1 2 1
1 1 1
a
A b
+ = +
, ,a b ∈ .
5p a) Pentru 0a b= = , să se calculeze ( )det A .
5p b) Pentru 0a b= = , să se calculeze 2A .
5p c) Să se arate că
1 1 1, ,
3 3 3
, nu este soluţie a sistemului (S), oricare ar fi ,a b ∈ .
5p d) Să se arate că
( )det 1, ,A a b≥ ∀ ∈ .
5p e) Folosind, eventual, relaţia
1det( )det( ) 1A A− = , să se determine matricea ( )
A ∈ 3M , pentru care
( )1
A− ∈ 3M , unde 1A− este inversa matricei A .
5p f) Să se rezolve sistemul (S) pentru 0, 0a b= = .
47 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 047
Fie matricele 2 21 1 1 0 0 0
, ,0 1 0 1 0 0
A I O
= = =
.
5p a) Să se calculeze ( )2det I A+ .
5p b) Să se calculeze ( ) ( )2 2A I A I− + .
5p c) Să se verifice egalitatea ( )22 2A I O− = .
5p d) Să se determine ,x y ∈ , pentru care are loc egalitatea 22 2A xA yI O+ + = .
5p e) Să se determine matricele ( )X ∈ 2M care verifică egalitatea AX XA= .
5p f) Să se determine matricele ( )0
x yY
x
= ∈
2M care verifică relaţia 2Y A= .
48 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 048
Se consideră matricele
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
= −
,
0 1 0
1 0 0
0 0 1
B
=
,
0 0 0
0 0 0
0 0 1
C
=
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
,
( )1D aA bB a b C= + + − − , ,a b ∈ .
5p a) Să se calculeze ( )det AB .
5p b) Să se calculeze AB BA− .
5p c) Să se verifice egalitatea 2 232A B I+ = .
5p d) Să se determine suma elementelor matricei D .
5p e) Să se calculeze ( )2det D .
5p f) Să se determine numerele ,a b ∈ pentru care ( ) ( )det dett tD D DD+ = , unde tD reprezintă
transpusa matricei D . 49 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 049
Se consideră matricele 3
0 1 0 0 0 0 1 0 0
1 0 1 , 0 0 0 , 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1
A B I
− = = =
, 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
=
,
3C xA mB tI= + + , cu , ,x m t ∈ .5p a) Să se calculeze suma elementelor matricei AB . 5p b) Să se arate că ( ) ( )3 3 3I B I B I+ − = .
5p c) Să se arate că ( )3det AI < ( )3det A I+ .
5p d) Să se determine , ,x m t ∈ , pentru care 3C O= . 5p e) Pentru 1t = şi 2m = , să se determine x ∈ pentru care ( )det 0C = .
5p f) Pentru 1t = , să se determine m ∈ , astfel încât matricea C este inversabilă pentru oricare x ∈ .
50 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 050
Fie matricele 3 3
0 1 1 1 0 0
0 0 1 , 0 1 0 ,
0 0 0 0 0 1
A I C I A
= = = +
.
5p a) Să se calculeze ( )det C .
5p b) Să se calculeze 3A .
5p c) Să se verifice egalitatea ( ) ( )23 3 3I A I A A I+ − + = .
5p d) Să se determine a ∈ , pentru care ( ) ( )23 3 3I aA I A A I+ + + = .
5p e) Să se determine 1C− , inversa matricei C .
5p f) Să se determine numerele , ,x y z ∈ care verifică egalitatea 23xC yA zI A+ + = .
51 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 051
Se consideră matricele 1 1
0 0A
− =
, 21 0
0 1I
=
şi 20 0
0 0O
=
.
5p a) Să se calculeze suma elementelor matricei 23M A I= + .
5p b) Să se arate că 22A A O+ = .
5p c) Să se calculeze ( )22det I A− .
5p d) Să se determine numărul real a , astfel încât 3A a A= ⋅ .
5p e) Să se calculeze 2 3 2008...A A A A+ + + + .
5p f) Să se arate că ( )20082 2I A I+ ≠ .
52 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 052
Se consideră matricele 0 1
0 0A
=
, 0 0
1 0B
=
şi C AB BA= − .
5p a) Să se determine 2 2A B+ .
5p b) Să se arate că1 0
0 1C
= −
.
5p c) Să se calculeze 2det( )C .
5p d) Să se arate că are loc egalitatea 3 22C C C I+ = + .
5p e) Să se calculeze suma elementelor matricei 2 3 2008...C C C C+ + + + .
5p f) Să se determine matricea 3( )a b
Xc d
= ∈
M , astfel încât CX B= .
53 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 053
Se consideră matricele 4 3
1 1A
− = −
şi 1 3
1 4B
=
.
5p a) Să se calculeze det(2 )A . 5p b) Să se calculeze AB BA− . 5p c) Să se determine inversa matricei A .
5p d) Să se rezolve sistemul 4 3 5
1
x y
x y
− =− + = −
.
5p e) Să se arate că det( ) det( ) 2(det det )A B A B A B+ + − = + .
5p f) Să se determine matricea X astfel încât 2A X B I⋅ ⋅ = .
54 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 054
În mulţimea ( )2M se consideră matricele 1 0
1 1A
= −
, 1 1
2 3
xB
x
− = −
şi 21 0
0 1I
=
.
5p a) Să se calculeze C B A= − . 5p b) Să se calculeze 2A . 5p c) Să se calculeze det C . 5p d) Să se arate că 2 2 2( )( )A I A I O− + = .
5p e) Să se arate că 2 (2 4)C x C= − dacă şi numai dacă {1,3}x ∈ .
5p f) Să se calculeze 2 3 2008...A A A A+ + + + .
55 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 055
Fie submulţimea ( ) , 0, ,0
a bG a c b
c
= ∈ +∞ ∈
în mulţimea ( ) 2M şi matricea 21 0
0 1I
=
.
5p a) Să se arate că 2I G∈ .
5p b) Să se calculeze determinantul matricei 20
a bI
c
+
.
5p c) Să se arate că, dacă ,A B G∈ , atunci A B G⋅ ∈ . 5p d) Să se arate că dacă C G∈ , atunci există D G∈ astfel încât 2CD DC I= = . 5p e) Să se găsească două matrice ,U V G∈ , astfel încât UV VU≠ . 5p f) Să se determine o matrice M G∈ cu det( ) 2008M = .56 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 056
În mulţimea M2 ( ) se consideră submulţimea G = ( ) 1
0 1
xA x x
= ∈
şi matricea 21 0
0 1I
=
.
5p a) Să se arate că 2I G∈ .
5p b) Să se calculeze det (3)A . 5p c) Să se arate că ( ) ( ) ( )A x A y A x y= + , ,x y∀ ∈ . 5p d) Să se arate că 2( ) ( )A x A x I− = , x∀ ∈ . 5p e) Să se calculeze (1) (2) (3) (4) (5)A A A A A⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . 5p f) Să se determine t ∈ , astfel încât (1) (2) (3) ... (2008) ( )A A A A A t⋅ ⋅ = .
57 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 057
Fie matricele 1 10
0 1B
= −
, 1 0
3 1C
= −
, 21 0
0 1I
=
şi mulţimea G = ( ){ }2 2 2 A A I∈ =M .
5p a) Să se calculeze produsul elementelor matricei B C+ . 5p b) Să se arate că B C G+ ∉ . 5p c) Să se calculeze det( )B C+ .
5p d) Să se determine ( )2X ∈ M , astfel încât BX C= .
5p e) Să se arate că1 0
,1
Gn
∈ −
pentru oricare n ∈ .
5p f) Să se determine toate matricele 0
x yX
x
=
cu proprietatea că X G∈ .
58 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 058
Se consideră matricele
0 3 6
0 0 4
0 0 0
A
=
,
1 3 6
0 1 4
0 0 1
B
− = −
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
şi 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
=
.
5p a) Să se calculeze 3det( )A I+ .
5p b) Să se arate că 33A O= .
5p c) Să se arate că 3AB BA I B= = − . 5p d) Să se calculeze 3( )A I B+ .
5p e) Să se arate că 2 23 3det(( )( )) 1I A I A+ − = .
5p f) Să se calculeze 2 3 20082 3 ... 2008A A A A+ + + + .
59 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 059
Se consideră matricele 2 2
2 2A
= − −
şi 21 0
0 1I
=
.
5p a) Să se calculeze 2det( 3 )A I+ .
5p b) Să se calculeze 2A . 5p c) Să se afle a ∈ , astfel încât 2 2 2( )( )I A I aA I+ + = .
5p d) Să se rezolve sistemul 2 2 0
2 3 2008
x y
x y
+ =− − =
.
5p e) Să se arate că
62det( ) 1I A+ = .
5p f) Să se calculeze 2 20072 2 3 ... 2008I A A A+ + + + .
60 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 060
În mulţimea ( )2M se consideră submulţimea *1
0 1
a aG a
− = ∈
.
5p a) Să se arate că 2I G∈ .
5p b) Ştiind că1
0 1
a aA
− =
şi 1
0 1
b bB
− =
sunt două elemente din G , să se calculeze AB BA− .
5p c) Să se arate că, dacă ,A B G∈ , atunci A B G⋅ ∈ .
5p d) Ştiind că1
,0 1
a aA G
− = ∈
să se afle *a ∈ , astfel încât ( )3det 8A = .
5p e) Să se arate că orice matrice din G este inversabilă.
5p f) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale sistemul
2 3 3
2 4
2 5
x y z
x y z
x y z
+ + = + + = + + =
.
61 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 061
Se consideră matricele
0 1 1
0 0 2
0 0 0
A
=
,
1 1 1
0 1 2
0 0 1
B
− = −
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
şi 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
=
.
5p a) Să se calculeze det( )B .
5p b) Să se arate că 33A O= .
5p c) Să se arate că 3 3 3( ) ( )A I B B A I I+ = + = . 5p d) Să se determine inversa matricei B . 5p e) Să se determine x ∈ pentru care 3det( ) 0B xI− = .
5p f) Să se calculeze 2 20072 3 ... 2008A A A+ + + .
62 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 062
În mulţimea ( ) 2M se consideră matricele 2 3
4 3A
=
şi 21 0
0 1I
=
.
5p a) Să se calculeze 2det( )A I− .
5p b) Să se calculeze 2A .
5p c) Să se arate că 225 6A A I= + .
5p d) Să se determine x ∈ astfel încât 2det( ) 0A xI− = .
5p e) Să se determine ,a b ∈ , astfel încât 42A aA bI= + .
5p f) Să se determine o matrice ( )2B ∈ M , astfel încât AB BA≠ .
63 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 063
În mulţimea ( ) 2M se consideră matricele 21 1 1 0
,2 1 0 1
A I
= = − −
şi submulţimea
( ){ }2 G X A X X A= ∈ ⋅ = ⋅M .
5p a) Să se verifice că
2A I G+ ∈ .
5p b) Să se calculeze 2det( 3 )A I+ . 5p c) Să se verifice că
22A I= − .
5p d) Să se determine x ∈ pentru care 2det( ) 10A xI− = . 5p e) Să se arate că dacă
,a b ∈
şi 2B aI bA= + , atunci B G∈ . 5p f) Să se găsească o matrice C G∈ cu det( ) 13C = .
64 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 064
În mulţimea ( )3M se consideră matricele
1 1 1
3 3 3
5 5 5
A
=
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
, 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
=
şi
mulţimea M a tuturor matricelor pătratice de ordin 3 care au toate elementele numere naturale impare.
5p a) Să se arate că 3A I+ ∉ M .
5p b) Să se arate că A2∈ M.
5p c) Să se determine x ∈ , astfel încât 3det( ) 0A xI− = .
5p d) Să se arate că dacă B ∈ M , atunci det( )B se divide prin 4.
5p e) Să se calculeze inversa matricei 3A I+ .
5p f) Să se determine ( )3X ∈ M , astfel încât 3 3( )I A X O+ = .
65 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 065
Se consideră numerele reale , , a b c şi determinantul
a b c
D b c a
c a b
= .
5p a) Să se calculeze D pentru 1a = , 2b = , 3c = . 5p b) Să se arate că dacă a b c= = , atunci 0D = . 5p c) Să se arate că dacă 0a b c+ + = , atunci 0D = . 5p d) Să se determine a ∈ , astfel încât pentru 0b c= = să avem 8D = . 5p e) Să se arate că dacă , ,a b c ∈ şi 0a b c+ + ≠ , atunci D se divide prin ( )a b c+ + .
5p f) Să se rezolve sistemul
2 3 14
2 3 11
3 2 11
x y z
x y z
x y z
+ + = + + = + + =
.
66 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 066
Se consideră matricele 1 1
2 2A
= − −
, 21 0
0 1I
=
şi 20 0
0 0O
=
.
5p a) Să se calculeze suma elementelor matricei 2A . 5p b) Să se calculeze 2det( )I A− .
5p c) Să se arate că 22A A O+ = .
5p d) Să se determine a ∈ , astfel încât 4A aA= .
5p e) Să se calculeze 2 3 20082 3 ... 2008A A A A+ + + + .
5p f) Să se arate că 20082( )I A A− ≠ .
68 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 068
Se consideră matricele 1 1
4 2A
=
, 21 0
0 1I
=
şi 20 0
0 0O
=
.
5p a) Să se calculeze produsul elementelor matricei 2A I+ .
5p b) Să se calculeze 2det( )A .
5p c) Să se verifice că
22 23 2A A I O− − = .
5p d) Să se determine x ∈ , astfel încât 2det( ) 4A xI− = − .
5p e) Să se determine ,a b ∈ , astfel încât 22A aA bI= + .
5p f) Să se determine matricea ( )2X ∈ M care verifică relaţia 2 2( )A X I I− = .
67 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 067
Fie submulţimea ( ) ( )0
0 1 0 0,
0
x x
A x x
x x
= = ∈ ∞
M în mulţimea ( ) 3M şi matricea 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
.
5p a) Să se calculeze suma elementelor matricei (2)A .
5p b) Să se arate că 3I ∉ M . 5p c) Să se demonstreze că ( ) ( ) (2 )A x A y A xy⋅ = , ,x y∀ ∈ .
5p d) Să se calculeze 1 2 3
2 3 4A A A ⋅ ⋅
.
5p e) Să se arate că, dacă ( )A x ∈ M şi ( )A y ∈ M , atunci ( ) ( )A x A y⋅ ∈ M .
5p f) Să se determine matricea ( )A x ∈ M care verifică egalitatea ( )2( ) ( ) (4)A x A x A= ⋅ .
69 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 069
Se consideră numărul real a şi matricele
1 1 1
1 1 1
1 1 1
a
A a
+ = +
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
şi 2 0 1
0 2 1
1 1 2
B
=
.
5p a) Pentru 2a = , să se calculeze produsul elementelor matricei A . 5p b) Pentru 2a = , să se calculeze 3det( )A I+ . 5p c) Să se determine a ∈ , astfel încât 3det( ) 0A I+ = . 5p d) Să se determine a ∈ pentru care matricea A este inversabilă. 5p e) Pentru 2a = , să se determine inversa matricei A .
5p f) Să se determine a ∈ pentru care 2A A B− = .
70 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 070
În mulţimea ( ) 2M se consideră matricele 4 3
2 1A
=
, 21 0
0 1I
=
şi submulţimea M a tuturor
matricelor de ordin 2 care au toate elementele diferite două câte două din mulţimea { }1,2,3,4 .
5p a) Să se calculeze 2det(2 )A I+ .
5p b) Să se calculeze suma elementelor matricei 2A . 5p c) Să se determine inversa matricei A . 5p d) Să se arate că A ∈ M . 5p e) Să se determine o matrice B ∈ M cu proprietatea că det( ) 10B = .
5p f) Să se arate că orice matrice din mulţimea M este matrice inversabilă.
72 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 072
Fie numerele reale ,a b , c
şi determinantul
2
2
2
1
1
1
a a
D b b
c c
= .
5p a) Să se calculeze D pentru 1, 2a b= =
şi 3c = . 5p b) Să se arate că dacă
a b= , atunci 0D = . 5p c) Pentru 2b = şi 3c = , să se determine a ∈ , astfel încât 2D = . 5p d) Să se demonstreze că
( ) ( ) ( )D b a c a c b= − ⋅ − ⋅ − .
5p e) Să se arate că dacă
0D = , atunci cel puţin două dintre numerele ,a b
şi c sunt egale. 5p f) Să se arate că dacă
, ,a b c ∈ Z , atunci D este număr întreg par.
71 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 071
Fie numărul a ∈ , matricea
2 1 1
1 1
1 1
A a
a
=
şi sistemul (S)
2 4
4
4
x y z
x ay z
x y az
+ + = + + = + + =
.
5p a) Să se calculeze 2 3A A− . 5p b) Să se determine a ∈ pentru care det( ) 0A = .
5p c) Să se determine a ∈ pentru care (1, 1, 1) este soluţie a sistemului (S). 5p d) Să se demonstreze că pentru 0a = sistemul (S) nu are soluţie. 5p e) Pentru 1a = , să se rezolve sistemul (S).
5p f) Pentru 1a = , să se determine soluţia ( , , )x y z a sistemului (S) care verifică relaţia 2 2 2 8x y z+ + = .
73 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 073
În mulţimea ( )2M se consideră submulţimea ( ) 1
1
aG A a a
a a
= = ∈ + şi matricea 2
1 0
0 1I
=
.
5p a) Să se arate că 23 I G⋅ ∉ . 5p b) Să se calculeze suma elementelor matricei ( )2A .
5p c) Să se determine a ∈ pentru care det ( )( ) 1A a = .
5p d) Să se determine 0a > pentru care matricea ( )A a nu este inversabilă. 5p e) Să se determine inversa matricei ( )2A .
5p f) Să se determine matricea ( )X ∈ 2M care verifică egalitatea ( ) ( )2 4A X A⋅ = .
74 SUBIECTUL III(30p) – Varianta 074
Se consideră numărul real a , matricea
1 2 2
2 2
2 2
A a
a
=
şi sistemul ( )S
2 2 5
2 2 5
2 2 5
x y z
x ay z
x y az
+ + = + + = + + =
.
5p a) Să se calculeze 2 4A A+ . 5p b) Să se afle a ∈ pentru care det( ) 0A = . 5p c) Să se afle a ∈ pentru care ( )1, 1, 1 este soluţie a sistemului ( )S .
5p d) Să se arate că pentru 6a = sistemul ( )S nu are soluţie.
5p e) Pentru 2a = , să se rezolve sistemul ( )S .
5p f) Pentru 2a = , să se afle soluţia ( ), ,x y z a sistemului ( )S cu proprietatea că 3 2 4 3x y z+ + = − .
75 SUBIECTUL III(30p) – Varianta 075
Se consideră matricele 2 22 1 1 0 0 0
, ,4 2 0 1 0 0
A I O
= = =
şi a b
Xc d
=
cu , , ,a b c d ∈ .
5p a) Să se calculeze 2A A− . 5p b) Să se calculeze ( ) ( )det det 3A A+ .
5p c) Să se verifice că ( ) ( )22 2X a d X ad bc I O− + ⋅ + − ⋅ = .
5p d) Să se arate că dacă det( ) 0,X = atunci ( )2X a d X= + ⋅ .
5p e) Să se arate că dacă B este o matrice cu det( ) 0B = şi 2X B= , atunci det( ) 0X = .
5p f) Să se rezolve ecuaţia 2X A= .
76 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 076
Se consideră matricele 3 3, ( )A I ∈ M ,
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A
=
şi 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
.
5p a) Să se calculeze 32A I− .
5p b) Să se calculeze ( )det 2A .
5p c) Să se determine numărul real x pentru care 23A A xI= + .
5p d) Să se arate că matricea 31 1
2 2A I− este inversa matricei A .
5p e) Să se determine matricea 3,1( )X ∈ M din ecuaţia matriceală
5
4
3
AX
=
.
5p f) Să se determine x ∈ pentru care ( ) 33det A xI x+ = .
77 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 077
Se consideră matricele 1 1
1 1A
= − −
, 21 0
0 1I
=
şi 2B A mI= + , .m ∈
5p a) Să se determine matricea ( )2X ∈ M din ecuaţia 22X A I+ = .
5p b) Să se calculeze 2A . 5p c) Pentru 2m = − să se arate că matricea B este inversabilă.5p d) Să se verifice că AB BA= , oricare ar fi m ∈ . 5p e) Să se determine m ∈ pentru care ( )det 1B ≥ .
5p f) Să se determine , , ,a b c d ∈ cu proprietatea că1 1 3 2 0 1
1 1 1 2 0 2
a b a b
c d c d
+ + − = − − + −
, ştiind că
numerele , , , a b c d sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 78 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 078
Se consideră matricele
0
( ) 0 0
0
a a
X a a
a a
=
şi 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
, a ∈ .
5p a) Să se determine a ∈ astfel încât ( )3 0 3 4 0 4
3 0 3 0 0 4 0
3 0 3 4 0 4
X a
= −
.
5p b) Să se arate că ( ) ( )X a X a− = − , oricare ar fi a ∈ . 5p c) Să se calculeze ( 2) ( 1) (0) (1) (2) (3)X X X X X X− + − + + + + . 5p d) Să se verifice că (1) (10) (2) (5)X X X X⋅ = ⋅ . 5p e) Să se determine a ∈ cu proprietatea că matricea 3( )X a I+ este inversabilă. 5p f) Să se determine matricele ( )Y ∈ 3M cu proprietatea că ( ) ( )Y X a X a Y⋅ = ⋅ , oricare ar fi a ∈ .
79 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 079
Se consideră matricele 1 1
2 1B
− − =
, 21 0
0 1I
=
şi mulţimea de matrice
( )2( , ) ( , ) , , .x y
M A x y A x y x yy x
= ∈ = ∈ − M
5p a) Să se calculeze (1,3)A B+ .
5p b) Să se determine ,p q ∈ astfel încât 3 2 2 5
5 2 5 2
p q q− − = − −
.
5p c) Să se arate că 42B I= .
5p d) Să se calculeze 2 3 8...B B B B+ + + + .
5p e) Să se rezolve în ( )2M ecuaţia matriceală (2,1)A X B⋅ = .
5p f) Să se determine matricele ( , )A x y M∈ , ştiind că ,x y ∈ şi ( )det ( , ) 1A x y = .
80 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 080
Se consideră matricele 1 1
1 1A
= − −
, 21 0
0 1I
=
, 2B A bI= +
şi 1 1
1 3C
− =
, b ∈ .
5p a) Să se calculeze 23A I+ .
5p b) Să se calculeze 2 32 2 3 4I A A A+ + + .
5p c) Să se arate că matricea B este inversabilă oricare ar fi \ {0}b ∈ .
5p d) Să se
determine a ∈ , astfel încât matricea aC să fie inversa matricei 22A I+ .
5p e) Să se demonstreze că matricea B verifică egalitatea 3 2 323B b A b I= + .
5p f) Să se determine b ∈ , astfel încât matricea B să verifice egalitatea 8AB BA A+ = .
81 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 081
Se consideră mulţimea de matrice ( ) 3
0 1
( , , ) ( , , ) 1 0 , , ,
0 1
a
M X a b c X a b c b a b c
c
= ∈ = ∈
M .
5p a) Sǎ se calculeze 2 (3, 2, 1) (1,2,3)X X− − − . 5p b) Să se determine x ∈ astfel încât 2(2 3,3,4) ( ,3,4)X x X x+ = . 5p c) Să se arate că matricea (1, 1,1)X M− ∈ nu este inversabilă.
5p d) Să se arate că dacă1 0 0 1 0 1
1 0 1 1 0 1
1 1 1 0 1 1
A
= − − −
, atunci A M∈ .
5p e) Ştiind că0 1
1 0
0 1
x
X y
z
=
şi 0 1
1 0
0 1
z
Y z
z
=
, sǎ se determine , ,x y z ∈ , astfel încât XY YX= şi
( )det 9X = .
5p f) Să se calculeze1
2
2 1
0 2
2 0
0
x
x
x x
, unde 1 2,x x sunt rădăcinile ecuaţiei 22 3 1 0x x− − = .
82 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 082
Se consideră matricele 1 1
3 3A
− = −
, 3 1
3 1B
− = −
, 21 0
0 1I
=
şi mulţimea de matrice
( ){ } , ,M P P aA bB a b= ∈ = + ∈2M .
5p a) Să se calculeze 2A B+ . 5p b) Să se calculeze 2 2A A− . 5p c) Să se determine ,x y ∈ astfel încât 2xA yB I+ = . 5p d) Să se arate că matricea AB BA− nu este inversabilă. 5p e) Dacă ( ) ( ) ( )1 2 3det , det 2 , det 4m A B m A B m A B= + = + = + să se calculeze
2 1 2 2 2 3log log logm m m+ + . 5p f) Fie X ,Y M∈ , X A B= − , Y A B= + . Să se demonstreze că XY M∈ .
83 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 083
Se consideră matricele
0 1 0
0 0 1
1 0 0
A
=
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
, 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
=
şi mulţimea de matrice
( ) 3
0 0
0 0 , , ,
0 0
a
M X X b a b c
c
= ∈ = ∈
M .
5p a) Să se arate că dacă
2 1 2 2 0 2
2 2 2 2 2 1
1 2 2 2 2 2
B
− − = + − − − − −
, atunci B M∈ .
5p b) Să se arate că matricea
3 0 1 3 3 1
0 6 2 3 0 0
0 1 0 9 0 3
C
− = − ⋅
aparţine mulţimii M .
5p c) Să se calculeze ( )3det 2A I+ .
5p d) Să se arate că
2A este inversa matricei A.
5p e) Să se determine ( ) 3,1Y ∈ M din ecuaţia matriceală
( )3
1
3
6
A I Y
− + ⋅ = −
.
5p f) Fie ,X Y M∈ ,
0 0
0 0 ,
0 0
a
X b
c
=
0 0
0 0
0 0
x
Y y
z
=
, cu , , , , ,a b c x y z ∗∈
şi cu proprietatea că
XY YX= .
Să se demonstreze că dacă numerele , , a b c sunt în progresie geometrică de raţie q ∈ , atunci şi numerele , , x y z sunt în progresie geometrică de aceeaşi raţie q .
84 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 084
Se consideră matricele 1 2
3 1A
− = −
, 21 0
0 1I
=
şi 20 0
0 0O
=
.
5p a) Ştiind că3 1
1 2
xB
x y
− = −
şi 1
2 4
xC
= −
, să se determine ,x y ∈ , astfel încât A B C= + .
5p b) Să se verifice că 22 22 5A A I O+ − = .
5p c) Să se determine x ∈ pentru care are loc egalitatea ( )2det 2 4A xI+ = .
5p d) Sǎ se determine ,m n ∈ , astfel încât 32A mA nI= + .
5p e) Sǎ se calculeze inversa matricei A .
5p f) Să se rezolve în 2 ( )M ecuaţia matriceală 1 3 4
1 7AXA− −
=
, unde 1A− este inversa matricei A .
85 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 085
Se consideră mulţimea de matrice ( ) ( ) ( ) 21
, .2 1
aM X a X a a
a a
= ∈ = ∈ + M
5p a) Să se determine a ∈ , astfel încât ( ) 2X a I= .
5p b) Sǎ se calculeze ( ) ( )1 2X X− .
5p c) Să se determine a ∈ , astfel încât ( ) 2,11
3A
= ∈
M să fie soluţie a ecuaţiei ( ) 10
18X a A
⋅ =
.
5p d) Să se determine a ∈ pentru care ( )det( ) 0X a ≥ .
5p e) Să se arate că ( ) ( ) ( ) ( )X a X b X b X a⋅ = ⋅ , oricare ar fi ( ) ( ),X a X b M∈ .
5p f) Ştiind că numărul a ∈ este o soluţie a ecuaţiei 2 2 5 0x x+ − = , să se arate că
( )( )2 11 4 5
10 16 4
aX a
a
− = −
.
86 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 086
Fie mulţimea ( ) 3{ det( ) este număr întreg par}M P P= ∈ M şi matricele
1 2 0
0 3 1
3 0 2
A
= −
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
.
5p a) Să se arate că
A M∈ . 5p b) Să se calculeze 32A I− .
5p c) Ştiind că
1 0 1
1 2
2 1 3 1
a
X a
a
− = − +
să se arate că
X M∈ oricare ar fi a ∈ .
5p d) Să se verifice că
3 7A A= .
5p e) Să se determine ( ) 3,1Y ∈ M pentru care are loc egalitatea ( )3
4
11
6
A I Y
− − ⋅ =
.
5p f) Fie
2007 1 4
2008 2 5
2009 3 6
B
=
. Sǎ se arate că
B M∈ .
87 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 087
Se consideră mulţimea de matrice ( ) ( ) ( )2
24 1
, 2 2 1
aM A a A a a
a a
− − = ∈ = ∈ − − M şi matricele
3 1
7 1B
− − =
, 21 0
0 1I
=
.
5p a) Să se determine a ∈ pentru care5 1
( )1 5
A a−
=
.
5p b) Să se calculeze 3 1 5 1
27 1 1 5
C− − −
= +
.
5p c) Să se verifice că 222 4B B I= − − .
5p d) Să se calculeze ( )det 3A .
5p e) Să se arate că dacă matricea ( ) 2X ∈ M îndeplineşte condiţia 22 22 4X X I O+ + = , atunci 3
28X I= .
5p f) Să se determine a ∈ cu proprietatea că ( )( )det 0A a = .
88 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 088
Se consideră matricele 1 4
1 5A
− − =
, 1 4
1 7B
− =
şi 21 0
0 1I
=
.
5p a) Să se determine x ∈ , astfel încât 2B A xI= + .
5p b) Să se arate că 228 5B A I= + .
5p c) Să se arate că matricea A aparţine mulţimii ( ){ } C X X B B X= ∈ ⋅ = ⋅2M .
5p d) Să se rezolve în ( )2M ecuaţia matriceală A X B⋅ = .
5p e) Să se determine a ∈ astfel încât det( )A2 3 3 2 2
2 2 3 3 2 2a
− −= ⋅
− − −.
5p f) Să se determine valoarea minimă a expresiei ( )( ) detE x A xB= + pentru x ∈ .
90 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 090
Se consideră matricele 1 2
0 1A
=
, 0 2
0 2B
− = −
şi 21 0
0 1I
=
.
5p a) Să se calculeze 2A B I− + .
5p b) Să se determine a ∈ pentru care are loc egalitatea ( ) ( )det 2 detA a A= .
5p c) Să se arate că
3 4B B= .
5p d) Să se determine ,x y ∈
ştiind că matricea 1
1
x
y
este inversa matricei A .
5p e) Să se rezolve în ( )
2M ecuaţia matriceală
A X B⋅ = .
5p f) Să se calculeze ( ) ( ) ( )2 3 4A B A B A B A B+ + + + + + + .
89 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 089
Se consideră matricele 1 0
2 1A
=
, 1 1
1 2B
− =
, 21 0
0 1I
=
şi 20 0
0 0O
=
.
5p a) Să se calculeze 2A B− .
5p b) Să se determine ,x y ∈ pentru care 6 3
3 3xA yB
− + = −
.
5p c) Să se verifice că ( )22 2A I O− = .
5p d) Să se calculeze inversa matricei A .
5p e) Să se determine x ∈ , astfel încât să aibă loc egalitatea ( ) ( )2det detB xB I= + .
5p f) Să se determine matricea ( ) 2X ∈ M cu proprietatea că1 1
1 3A X X B
⋅ + ⋅ = −
.
91 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 091
Se consideră matricele
0 0 1
1 0 0
0 1 0
A
=
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
şi mulţimea M a matricelor ( ) 3X ∈ M cu
proprietatea că determinantul matricei X este un număr impar.5p a) Să se arate că A M∈ . 5p b) Să se calculeze 32A I− . 5p c) Să se arate că 3
3A I= . 5p d) Să se arate că 1A M− ∈ , unde 1A− este inversa matricei A .
5p e) Fie
2 1 2
1 1 0
2 1 1
a a
B a
− = − +
. Să se arate că B M∈ oricare ar fi a ∈ .
5p f) Să se determine matricele ( ) 3Y ∈ M cu proprietatea că A Y Y A⋅ = ⋅ .
92 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 092
Se consideră matricele
2 2 2
2 2 2
2 2 2
A
=
,
2 1 1
1 2 1
1 1 2
B
− = − −
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
şi mulţimea de matrice
( ){ } 3 M X X A A X= ∈ ⋅ = ⋅M .
5p a) Să se determine ,x y ∈ , astfel încât 3A xB yI= + .
5p b) Să se calculeze ( )3det 3A I− .
5p c) Să se arate că B M∈ .5p d) Să se arate că matricea a A⋅ aparţine mulţimii M oricare ar fi a ∈ .
5p e) Să se determine , ,x y z ∈ pentru care
0 0 0 1 1
( ) 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
x
B A y
z
+ ⋅ =
.
5p f) Să se arate că dacă ,X Y M∈ , atunci X Y M+ ∈ .
93 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 093
Se consideră matricele
1 2 3
0 1 4
0 0 1
A
=
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
, 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
=
şi mulţimea de matrice
( ) 3
0 3
0 0
0 0 0
a
M B B b
= ∈ =
M .
5p a)
Ştiind că
B M∈ , să se calculeze ( ) ( )det detA B+ .
5p b) Să se arate că
3A I M− ∈ .
5p c) Să se verifice că
33B O= , oricare ar fi B M∈ .
5p d) Fie
2 4 10
0 2 8
0 0 2
C
− = −
. Să se determine a ∈ astfel încât matricea aC să fie inversa matricei A .
5p e) Să se determine matricea ( ) 3,1X ∈ M pentru care
11
10
2
A X
⋅ =
.
5p f) Să se determine matricele B M∈ , cu { }, 0,1,2a b ∈
ştiind că verifică egalitatea 23B O= .
94 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 094
Fie mulţimea de matrice ( ) 3( , , ) ( , , )
a b c
M A a b c A a b c c a b
b c a
= ∈ =
M şi matricea 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
.
5p a) Să se arate că matricea 3 (1,2,3)I A+ aparţine mulţimii M .
5p b) Să se determine , ,x y z ∈ astfel încât matricea
2 3 2
5 2 2
4 5 8
x y
B y
z y
− = − − −
să aparţină mulţimii M .
5p c) Să se calculeze
1 2 4
4 1 2
2 4 1
.
5p d) Să se arate că matricea
0 1 0 1 2 3
0 0 1 3 1 2
1 0 0 2 3 1
C
= ⋅
aparţine mulţimii M .
5p e) Să se determine x ∈ astfel încât ( )3det (1,2,0) 0A xI+ = .
5p f) Să se arate că dacăx y z
X z x y M
y z x
= ∈
, atunci 2X M∈ .
95 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 095
Se consideră matricele 1 3
2 1A
− = −
, 1 3
2 1B
− = −
şi 21 0
0 1I
=
.
5p a) Să se calculeze 22A B I− − .
5p b) Să se calculeze ( ) ( )det detA B+ .
5p c) Să se verifice că AB BA= .5p d) Să se calculeze inversa matricei A .
5p e) Să se rezolve în ecuaţia ( )det 20A xB+ = .
5p f) Să se calculeze 7 7A B+ .
96 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 096
Se consideră matricele 2 2
2 2A
− = −
, 2 2
2 2B
=
şi 21 0
0 1I
=
.
5p a) Să se calculeze 2A B− .
5p b) Să se determine ,p q ∈
ştiind că
28pA qB I+ = − .
5p c) Să se arate că
2 222 16A AB B I+ + = .
5p d) Să se calculeze ( )2det 2 2A I− .
5p e) Să se determine m ∈ astfel încât matricea 2 2
2 2
x mC
x
− + + = − +
să fie inversabilă pentru orice x ∈ .
5p f) Să se calculeze 2008 2008A B⋅ .
97 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 097
Fie matricele
0 1 1
0 1 1
0 0 0
A
=
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
şi mulţimea ( ) 3{ det( ) este număr par}M X X= ∈ M .
5p a) Să se arate că 3A I M+ ∈ .
5p b) Să se verifice că ( )23 33A I A I+ = + .
5p c) Să se calculeze 2 3 12...A A A A+ + + + .5p d) Să se rezolve în ecuaţia ( )3det 0A xI+ = .
5p e) Să se arate că AX M∈ , oricare ar fi ( ) 3X ∈ M .
5p f) Fie 2 2 2
1 1 1
B a b c
a b c
=
. Să se arate că B M∈ oricare ar fi , ,a b c ∈ .
98 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 098
Fie mulţimea de matrice ( ) 2 x a
M A Ab x
= ∈ =
M şi matricele 21 0
0 1I
=
, 20 0
0 0O
=
.
5p a) Pentru 2, 5, 2a b x= = = − să se calculeze 23A I+ .
5p b) Să se determine , ,a b x ∈ ştiind că2 2
3
x a b
b x b a
− = +
.
5p c) Ştiind că1
1
xA M
x
= ∈
şi că det( ) 0A = , să se determine x ∈ .
5p d) Să se determine { }, 0, 1, 2, 3a b ∈ , astfel încât 2 1 2 1
3 2 3 2
x a x a
b x b x
⋅ = ⋅
, x ∈ .
5p e) Să se arate că matricea A M∈ , x a
Ab x
=
verifică relaţia ( )2 22 22A xA x ab I O− + − = .
5p f) Să se determine matricea X M∈ ştiind că 2 1 2.
0 1X
=
99 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 099
Se consideră matricele 2 5
1 2A
− = −
şi 21 0
0 1I
=
.
5p a) Să se rezolve în ( ) 2M ecuaţia 22A X I+ = .
5p b) Să se arate că
42A I= .
5p c) Să se determine ,a b ∈
ştiind că perechea ( )2,1 ∈ × este soluţie a sistemului de ecuaţii
2 5 6
2 2
ax by
ax by
− + = − + =
.
5p d) Să se calculeze ( ) ( )1 12 2A A A A− −+ ⋅ − , unde 1A− este inversa matricei
A .
5p e) Să se calculeze 2 3 4det( ) det( ) det( ) det( )A A A A+ + + .
5p f) Să se determine matricea ( ) 2X ∈ M , astfel încât 12A X A A I−⋅ ⋅ = + .
100 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 100
Se consideră matricele ( )2 1 2
0 1 2 ,
0 0 0
a a a
X a a a
+ + = − −
a ∈ , şi 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
. Pentru o matrice
( ) 3A ∈ M se notează cu ( )1S A suma elementelor din prima coloană, cu ( )2S A suma elementelor
din a doua coloană, cu ( )3S A suma elementelor din a treia coloană şi cu M mulţimea de matrice
( ) ( ) ( ) ( ){ } 3 1 2 3 M A S A S A S A= ∈ = =M .
5p a) Să se arate că 3I M∈ .
5p b) Să se calculeze ( ) 31 2X I− .
5p c) Să se determine ,a b ∈ astfel încât matricea
2 7 2
2 2 2 1 2
3 3 5
a
B b a
− = − − −
să aparţină mulţimii M .
5p d) Să se determine a ∈ ştiind că ( )( )3det 6X a I+ = .
5p e) Să se arate că oricare ar fi a ∈ , matricea ( )2 1 0
0 1 2
0 0 0
C X a
= ⋅
aparţine mulţimii M .
5p f) Să se demonstreze că pentru orice matrice ,A B M∈ , matricea A B+ aparţine mulţimii M .
Top Related