5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 1/19
A c t a 5 ~ e c h a n i c a 1 2 , 3 3 - - 5 1 ( 1 9 7 1 )
9 b y S p r i n g e r - V e r l a g 19 71
D i e S t r S m u n g z w i s c h e n z w e i p a r a l l el e n , r o ti er e n d e n S c h e i b e n *
V o n
M . K i i h le r , K a r l s r u h e , B R D
M ~it 1 9 A b b i l d u n g e n
( E i n g e g a n g e n a m 2 0 . J a n u a r 1 9 7 0 )
Z u s a m m e n f a s su n g - - S u m m a r y
D i e S t r i im u n g z w i s c h e n z w e i p a r a ll e le n , r o t i er e n d e n S c h e i b en . E s w i r d d i e S t r S m u n g
e i n e r i n k o m p r e s s i b l e n , z i~ he n F lf i s s ig k e i t z w i s c h e n z w e i p a r a l l e l e n S e h e i b e n , d i e e i n e z e n t r a l e
B o h r u n g h a b e n u n d m i t g l e i c h e r W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t r o t ie r e n , t h e o r e t is c h u n d e x p e r i-
m e n t e l ! u n t e rs u e h t . F t i r d ie l a m i n a t e S t r 6 m u n g h a b e n B R ~ , I T ~ u n d P OH L~ AV SE ~ e i n e
L 6 s u n g a n g e g e b e n . I m t u r b u l e n t e n F a l l w i r d d ie S t r5 m u n g m i t H i l f e d e s I m p u l s s a t z e s d e r
G r e n z s c h i c h t t h e o r i e b e r e c h n e t . B e i d e R e e h n u n g e n w e r d e n d u r e h A u s m e s s e n d e r G e s c hw i n d ig -
k e i t s v e r t e il u n g f i be r d e m S p a l t q u e r s c h n i t t m i t t e l s d e r H i t z d r a h t t e c h n ~ k i i b e rp r f if t n n d i n
i h r e r B r a n c h b a r k e i t b e s t g t i g t. I m U b e r g a n g s g e b i e t z w i se h e n l a m i n a r e r u n d t u r b u l e n t e rS t r S m u n g s f o r m e r g e b e n s ic h r e l a t i v z u d e n u m l a u f e n d e n S c h e i b e n s te h e n d e , s p i r a li g e W i r b e l .
D i e U n t e r s u c h u n g e n h a b e n p r a k t i s c h e B e d e u t u n g , d a d i e b e s c h ri e b e n e A n o r d n u n g d e s
S c h e i b e n p a a r e s i d e n t is c h i s t m i t d e m S p a l t e l e m e n t e i n e r R e i b u n g s p u m p e n a c h T ~ SL A.
T h e F l o w o f a n I n c o m p r e s s i b le V i s c o u s F l u i d b e t w e e n T w o P a r a l l e l D i s c s . T h is p r o b l e m ,
w h e r e t h e d is c s h a v e a c i r c u l a r i n l e t h o le a n d r o t a t e a t t h e s a m e a n g u l a r v e l o c i t y , i s i n v e s ti -
g a t e d b o t h t h e o r e t i c a l l y a n d e x p e r i m e n t a l l y . T h e s o l u ti o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s - e q u a t i o n s f o r
t h e l a m i n a r f lo w , f o u n d b y B R ~I TE R a n d P O lZ Lg A US EX , i s d i s c u ss e d . T h e t u r b u l e n t f l o w is
d e t e r m i n e d b y s o l v i n g t h e m o m e n t u m e q u a t i o n s o f t h e b o u n d a r y l a y e r . T h e t h e o r e t i c a l
i n v e s t i g a t io n s a r e p r o v e d a s ri g h t b y m e a s u r i n g t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n i n t h e s p a c e b e t w e e n
t h e r o t a t i n g d is c s w i t h a h o t - w i r e . I n t h e r e g i o n b e t w e e n l a m i n a r a n d t u r b u l e n t f l o w s p i ra l
v o r t i c e s e x i s t , w h i c h a r e a t r e s t i n r e l a t i o n t o t h e r o t a t i n g d i s c s . T h e i n v e s t i g a t i o n s a r e o fp r a c t i c a l i n t e re s t b e ca u s e t h e t w o r o t a t i n g d i sc s a r e i d e n ti c a l w i t h a n e l e m e n t o f a s h e a r
f o r c e p u m p a c c o r d i n g t o T E SL A .
b S p a l t w e i t e
d h a l b e S p a l t w e i t e
r r a d i a le K o o r d i n a t e
a z i m u t a l e K o o r d i n a t e
z a x i a le K o o r d i n a t e
c A b s o l u t g e s c h w i n d i g k e i t
u U m f a n g s g e s e h w i n d i g k e i tw R e l a t i v g e s c h w i n d i g k e i t
n D r e h z a h l
p D r u c k
V o l u m e n s t r o m
F o r m e l z e i c h e n
* G e k f i rz t e F a s s u n g d e r y o n d e r F a k u l t g t I fi r ) r u n d V e r f a h r e n s t e c h n i k d e r
U n i v e r s i t g t K a r l s r u h e g e n e h m i g t e n D i s s e r t a t i o n .
Acta Mech. XII/i--2 3
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 2/19
34 M. K~iHLEIr
M DrehmomentR l~ohrradiusfl Mitnahme-Faktor in Umfangsrichtung
GrenzschichtdickeWirkungsgradv kinematische Z~higkeito Dichte des F6rdermediumsco Winkelges hwindigkeitq) Abstr6mwinkelr o Wandschubspannung
?
2~g(P)
Re _ r.o %.b
Abki irzungen
9 ~ mi t g(P)=sinh(2P) -- sin(2P)
cosh(2P) + cos(2P)
Indizes
0 Eintritt1 Stel le , ei der Einlaufvorgang beendet2 Austrittr radiale I~ichtungq~ azimutale Richtungstar statischdyn dynamischges gesamtmax maximalS ScheibeSP Scheibenpa~r
1 . E in l e i tung
Versetzt man zwei parallel zueinander angeordnete Seheiben mit zentraler
Bohr ung (vgl. Abb. 1) in gleichf6rmige Rotat ion, so wird aus der Umgebu ng
Flfissigkeit dureh die Bohrungen in den Spaltquersehnitt eingesogen. Die Flfissig-
keitsteilehen werden hier auf Grund der Z/~higkeitskr/~fte in Umfangs richtung
mitgenommen und unterliegen dabei der Zentrifugalbeschleunigung, so dab sie
mit zunehmender Absolutgesehwindigkeit auI Spiralbahnen naeh aul3en bef6rdert
werden. Das Ziel der folgenden Arbeit ist es, die Str6mung zwischen zwei parM-
lelen, synchron rotierenden Scheiben bei radialem DurchfluB yon innen naeh
augen zu untersuehen.
2. B e r e c h n u n g
2.1. Lam ina re St r 6mu ng
2.1.1. Vorbemerkungen
BREITE~ und POHLHAUSEN [1 ] gehen bei der Berechnung der ]aminaren
Str6mung zwischen zwei parallelen, rotierenden Seheiben von den Navier-Stokes-
Gleiehungen aus. Mit Hilfe der P~ANDTLschen Grenzsehiehtannahmen lassen sich
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 3/19
Die StrSmung zwisehen zwei loarallelen, rotierenden Scheiben 35
~ --__I " 4 ~ ~ . _ _ ~
t o o
r ~ c ~ q o ~ % z ~ c z - - A b s o l u t s t r o m l i n i e
c = f C r 2 + c ~ 2 + C z2 . . . . . . R e l a t i v s t r o m i i n i e
Abb. 1. Bezeichnungen, K oord inaten und G eschwindigkeiten
d i e A u s g a n g s g l e i c h u n g e n s o w e i t v e r e i n f a e h e n , d a b e i n e L S s u n g m 6 g l i c h is t . D i e
i n d e r I ~ e e h n u n g v e r w e n d e t e n B e z e i e h n u n g e n , K o o r d i n a t e n u n d G e s c h w i n d ig -
k e i t e n s i n d A b b . 1 z u e n t n e h m e n .E s w e r d e n f o lg e n d e V o r a u s s e tz u n g e n g e m a e h t :
1. D i e S t r 6 m u n g s e i l a m i n a r .
2 . D i e D i c h t e d e s F 6 r d e r m e d i u m s s e i k o n s t a n t .
3 . D i e S t r 6 m u n g s e i s t a t i o n g r .
4 . D i e S t r S m u n g s e i r o t a t i o n s s y m m e t r i s e h .
5 . A m E i n t r i t t s r a d i u s s e ie n f o l g e n de G e s c h w i n d i g k e i te n v o r g e g e b e n :
cro ~ c o n s t , C~o = CZo ~ 0 .
6 . D i e S p a l t w c i t e s e i k l e i n g e g e n r o u n d r , s o d a b d i e G r e n z s c h i e h t v e r n a c h -
1 / i ss igungen zu l / i ss ig s ind .7 . D i e S c h e i b e n s e i e n g l a r e .
8 . D e r E i n fl ul 3 d e s S c h w e r e f e l d e s d e r E r d e s e i k l e in .
2 .1 .2 . L i n e a r i s i e r t e R e c h n u n g
I n A b s c h n i t t 2 .1 .1 w u r d e n d ie V o r a u s s e t z u n g e n a n g e g e be n . N i m m t m a n z u -
s /~ t zl ie h a n , d a b b e i g r o B e n R a d i e n v e r h / ~ l t n i s s e n r / r o a ll e R e l a t i v g e s e h w i n d i g k e i t e n
k l e in s i n d g e g e n t ib e r d e r U m f a n g s g e s e h w i n d i g k e i t d e r S e h e i b e n, s o k a n n m a n d ie
G l e i e h u n g e n l i n e a r i s i e r e n u n d g e s e h l o s s e n 1 6se n. A u f E i n z e l h e i t e n d e r B e r e c h n u n gs e i h i e r n i e h ~ e i n g e g a n g e n , s o n d e r n e s w e r d e g l e i c h d a s E r g e b n i s d i e s e r l i n e a r i -
s i e rt e n R e e h n u n g a n g e g e b en . I n A b b . 2 w i rd d e r V e r l a u f d e r R a d i a l k o m p o n e n t e c r
t i b e r d e r S p a l t w e i t e g e z e i g t .
M a n s i e h t , d a 6 d i e F o r m d e r G e s e h w i n d i g k e i t s p r o f f l e a l l e i n y o n d e m P a r a -
m e t e r P = d . ~ 0 / ~ a b h g n g t . D e r D u r c h f l u 6 g e h t l ed ig li eh a ls M a 6 s t a b s -
f a k t o r e i n . B i s a u f e i n e n Z ~ h l e n f a k t o r l ~l~ t s i e h P d e u t e n a l s d a s V e r h / ~ lt n is d e r
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 4/19
36 l~I. KSELEI~
0 . 6
O.5
O . , ~
. ~ 0 ,3
0
Q ::
- % . o - o ,8
d . ~ - ~ = 1. . . . .
S p a l tw e i t e 2 d
\ T r
-5f
~ - = 1 I
fII
-0.2 o
z / d
-0,6 -0,~ 0,2 0,4 0.6 0,8 t,O
Abb. 2. Verlauf der l~adialgeschwindigkeit fiber der Spaltwei te
S p a l t w e i t e z u r D i c k e d e r l a m i n a r e n G r e n z s c h i c h t b e i d e r e i n z e l n e n , r o t i e r e n d e n
S c h e ib e . D o r t i s t d ie G r e n z s c h i c h t d i c k e d ~-~ ]/~ @~ u n a b h g n g i g v o m R a d i u s r .D i e g r a p h i s c h e D a r s t e l l u n g z e ig t , d a b d i e G e s c h w i n d i g k e i t b e i k l e i n e m P y o n
d e n S c h e i b e n z u r S p a l t m i t t e s t e t i g z u n i m m t . B e i g r oB e n W e r t e n y o n P s i nd b r e i te
G e b i e t e i n d e r S p a l t m i t t e a m F S r d e r v o r g a n g g a r n i c h t b e t e il i gt , j a es i s t s o g a r
R i i c k s t r S m u n g m S g l i c h .
A b b . 3 z e ig t d e n V e r ] a u f d e r R e l a t i v g e s c h w i n d i g k e i t i n U m f a n g s r i c h t u n g .
~ J
- O . 2
" ~ - 0 , 6
- 0 , 8
- 1 , o
. .~ -1.2Q :
-0 .8
= Z l i d = -
-0 ,6 -Og - 0 , 2 0 0,2 Og 0 ,6 0 ,8
J1,0
S p a [ t w e i t e 2 d
Abb. 3. Verlauf der rel. Tangentialgeschwindigkeit fiber der Spaltweite
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 5/19
Die Str6 m ung zwisehen zwei p~rallelen, rotierenden Scheiben 37
A u e h b i e r s ie h t m a n , d a g b e i g r o g e n P a r a m e t e r n P d a s F 6 r d e r m e d i u m i n
U m f a n g s r i e h t u n g n u r w e n ig m i t g e n o m m e n w i rd . D e f in i e rt m a n f f ir d a s S e h e ib e n -
p a a r e in e n W i r k u n g s g r a d
Z ~ P g e s 9 I?, ( 1 )
s o l ie f e r t e in e O p t i m a l b e t r a e h t u n g f f ir P = n / 2 d ie b e s t e n W i r k u n g s g r a d e .
2 . 1 .3 . N u m e r i s c h e R e c h n u n g / ii r d i e n i c h t li n e a r e n A u s g a n g s g l e i c h u n g e n
D i e l in e a r i si e r te R e c h n u n g g i b t f ti r g ro B e R a d i e n v e r h g l t n i s s e e i n e n U b e r b l i c k
f ib e r d e n S t r 6 m u n g s v e r l a u f z w i s eh e n d e n S c h e i b e n . I n d e r N g h e d e s E i n l a u f r a d i u s
r 0 s t i m m t d i e A n n a h m e , d a b d ie l ~ e l a t i v g e s c h w i n d i g k e i te n k l e in s i nd g e g e n f ib e rd e r U m f a n g s g e s e h w i n d i g k e i t d e r S e h e ib e n , s ie h e r n i c h t . D i e R a d i a l k o m p o n e n t e ero
r i c h t e r s i e h n a e h d e r G r S B e d e s D u r c h f l u s s e s u n d k a n n g r S g e r s e i n a ] s d i e U m -
f a n g s g e s c h w i n d i g k e i t r 0 - c o o a m E i n t r i t t s r a d i u s . D i e r e l a t i v e T a n g e n t i M k o m p o -
n e n t e i s t l a u t V o r a u s s e t z u n g g l e i c h d e r U m f a n g s g e s e h w i n d i g k e i t d e r S c h e i b e n .
B RE IT ER u n d P O ~ L H A V S ~ h a b e n d a h e r i n d e r N g h e d e s E i n t r i t t s r a d i u s b i s z u
R a d i e n v e r h g l t n i s s e n r / r o = 5 e i n e n u m e r i s c h e I ~ e c h n u n g fi i r d i e n i c h t I i n e a r e n
A u s g a n g s g l e i e h u n g e n d u r c h g e f f ih r t , u n d z w a r f /J r d e n p r a k t i s c h i n t e r e s s ie r e n d e n
B e r e ie h 0 < P ~ 2 . I n A b b . 4 i s t f fir P = 1 u n d C~o/ro~o = - 1 z . B . d er
E i n l a u f v o r g a n g d ~ r g e st e lt t.
2
~2
ID
" 0
0
l,Z,
7.2
r / r o
1 , 0 1 , 0 2
0 .8
O .6 i ,o~/
o
-I,o
/ / f
Coo = : p= 1.o
+ +
- 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 2 0 0 , 2 O A 0 , 6 0 . 8
z / d " ~
7 ,O
Abb. 4. Verlauf der l~adialgeschwindigkeit fiber der Spaltweite in der Nghe yon r/r o >= 1
D i e I ~ a d i M k o m p o n e n t e d e r G e s e h w i n d i g k e i t h a t f i i r r / r o = 1 e i n r e e h t e c k -
f 6 r m i g e s A n f a n g s w e r t p r o f i l . D i e s e s w i r d s e h n e l l i n e i n p a r a b e l f 6 r m i g e s u m -
g e w a n d e l t . B e r e i ts b e i d e m R a d i u s v e r h g l t n i s r / r o = 1 ,1 i s t d e r E i n l a n f v o r g a n g
b e e n d e t . D i e G e s e h w i n d i g k e it s p r o fi l e b e i g rS g e r e n i ~ a d i e n v e r h g l t n i ss e n s i nd d a n n
u n t e r e i n a n d e r i n n e r h a l b d e r n u m e r i s e h e n G e n a u i g k e i t g h n l i e h u n d w e r d e n e n t -
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 6/19
38 )/J:.K6HLE~:
s p r e e h e n d d e r K o n t i n u i t ~ t s g l e i e h u n g m i t z u n e h m e n d e m R a d i u s f i a e h e r . S i e
s t i m m e n i n i h r e r F o r m m i t d e n e n a u s d e r l i n e a r i s i e r t e n R e e h n u n g f i b e r e i n .
F f i h r t m a n d ie s e B e t r a e h t u n g f fi r a ll e i n d e r R e e h n u n g b e r f ie k s i e h t ig t e n P a r a -
m e t e r P u n d a ll e D u r e h f l u B w e r t e Cro/ro(oo d u t c h , s o l ~ g t si eh z u s a m m e n f a s s e n d
f o lg e n d e s s a g e n : D i e l i n e a ri s ie r t e R e e h n u n g f fi r g ro B e R a d i e n v e r M l t n i s s e w i r d
d u t c h d i e n u m e r i s e h e R e e h n u n g f f ir 0 < P = < 2 b i s a u f di e u n m i t t e l b a r e N ~ h e
y o n r 0 b e s t ~ t i g t . D i e r a d i a l e E r s t r e e k u n g d i e se s E i n l a u f b e r e i e h e s i s t u m s o k l e i n e r
j e k le i ne r s o w o h l d e r P a r a m e t e r P a l s a u e h d e r D u r e h f lu g Go~roe% gew/~h l t wi rd .
E i n S p a l t e l e m e n t e i n e r R e i b u n g s p u m p e w i e s ie T E S L a [2 ] e r s t m a l s k o n z i p ie r t e ,
m i i B te z u r E r z i e lu n g h o h e r W i r k u n g s g r a d e s o a u s g e l e g t w e r d e n , d a b P d e n W e r t
~ / 2 a n n i m m t u n d d e r V o l u m e n s t r o m k l e i n i s t . B e i d e r p r a k t i s e h e n A n w e n d u n g
w i r d d a h e r d e r E i n l a u f v o r g a n g i. a . b e i k l e in e n R a d i e n v e r h s r / r e ~ 1,1
b e e n d e t s e i n u n d d i e l i n e a r i s i e r t e g e e h n u n g b r a u e h b a r e E r g e b n i s s e l i e f e r n .N i t d o n s o e r m i t t e l t e n G e s e h w i n d i g k e i t s p r o f i l e n k a n n m a n P s t, t, /)a ye , d a s
D r e h m o m e n t M u n d d e n W i r k u n g sg r a d V a n g eb e n . D e r W i r k u n g s g ra d k a n n b e-
a e h t l i e h h o h e W e r t e a n n e h m e n , w i e A b b . 5 z e i g t .
/, 0
Cro 0 1
0 , 8 r g ~ g = , ,
o . 2 5 / Jo ,s
0 , , ~ O ,
O ,2
0I 2
f r..=.-f ~ f l
J _ I Jf f ~
f ff J I j
j j l
JC r o L /
ro.U~o 27r.ro.ro .OOo'2d
9 6 0 o =d ' l / - - ~ 1 , 5
t3 4 5
R a d i e n v e r h ~ f l tn i s r ~ r ,
Abb. 5. W irkun gsg rad ~] fiber dem l~adienverhgltnis r / r o (laminar)
2 .2 . T u r b u l e n t e S t r 6 m u n g
2 . 2 . 1 . V o r b e m e r k u n g e n
I m l a m i n a r e n F a l l b e s i t z t m a n f fi r d ie S e h u b s p a n n u n g e i n e n a n a l y t i s c h e nA u s d r u e k i n F o r m d e s N e w t o n s e h e n S e h u b s p a n n u n g s a n s a t z e s . I m t u r b u l e n t e n
F a l l f e h l t e i n s o l e h e s G e s e t z , d a m a n n o e h w e n i g f i b e r d i e s e h e i n b a r e S e h u b s p a n -
n u n g w e iB . I m a l l g e m e i n e n w i r d m a n d a h e r n u t m i t I- Iilf e y o n N ~ h e r u n g s v e r f a h r e n
A u s s a g e n fi be r t u r b u l e n t e G r e n z s e h i e h t s t r6 m u n g e n m a e h e n k 6 n n e n . I m v o rl ie -
g e n d e n F a l l w h~d d a z u d e r I m p u l s s a t z d e r G r e n z s e h i e h t t h e o r ie v e r w e n d e t . Z u s g t z -
l ie h b e n 6 t i g t m a n z u r L 6 s u n g d e r I m p u l s g l e i e h u n g e n s o w o h l e in e n A n s a t z f f ir d ie
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 7/19
Die StrSmung zwischen zw ei p~rallelen, rotierenden Scheiben 39
G e s e h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n a l s a u c h e i n e n A n s a t z f o r d i e K o m p o n e n t e n d e r
W a n d s e h u b s p a n n u n g .
R e c h t e i nf ~ e he G es e tz m & B i g k ei te n k e n n t m a n y o n d e r R o h r s t r S m u n g h e r.
D o r t g e nO g t d ie G e s e h w i n d i g k e i ts v e r t e il u n g d e m G e s e t z
Cm~x
n ~ 7 g e s e t z to b e i i m B e r e i e h d e s B l a s i u s s e h e n W i d e r s t a n d s g e s e t z e s f o r
w e r d e n k a n n . F i i r di e W a n d s c h u b s p a n n u n g e r h /i lt m a n d a m i t :
~ o - ~ 0 , 0 2 2 5 . @ ( c) z7 /~ . ( - ~ ) 1 /4 . (3 )
D i e V e r w e n d u n g d i e s e r A n s ~ t z e b e i d e r B e r e c h n u n g d e r t u r b u l e n t e n G r e n z -
s c h i c h t s t r O m u n g h a t i n v i e l e n F / ~ l l e n g u t e U b e r e i n s t i m m u n g z w i s c h e n T h e o r i e
u n d E x p e r i m e n t g e b r a c h t . SA WA TZ XI [3 ] r e c h n e t e d a m i t e r f o l g re i c h d i e t u r b u l e n t e
S t r S m u n g u m e in e r o t i e r e n d e K u g e l a u s , v o ~ K X l ~ i ~ [4] b e r e c h n e t e a u f d ie se
A r t d i e t u r b u l e n t e S t r S m u n g i n d e r N a h e e i n e r r o t i e r e n d e n S c h e ib e . A u f di e V er -
h ~ l t n is s e b e i d e r r o t i e r e n d e n S c h e i b e s oi l i m A b s c h n i t t 2 .2 .3 n o c h n ~ h e r e i n -
g e g a n g e n w e r d e n , d a d i e d o r t v e r w e n d e t e n A n s ~ t z e f o r d i e G e s e h w i n d i g k e i t s -
k o m p o n e n t e n f o r d a s S c h e i b e n p a a r f ib e r n o m m e n w e r d e n.
D a s n a c h f o l g e n d e K a p i t e l b e fa l~ t s i ch m i t d e r A u f s t e l l u n g d e r I m p u l s -g l e i c h u n g e n f O r d a s S c h e i b e n p a a r . D i e V o r a u s s e t z u n g e n s h ]d d i e s e l b e n w i e i m
l a m i n a r e n F a l l, j e d o e h s ei d i e S t r S m u n g j e t z t t u r b u l e n t .
2 . 2 .2 . A u / s t e l l u n g d e r I m p u l s g l e i c h u n g e n
I n A b b . 6 se i e i n V o l u m e n e l e m e n t d e r D i c k e b z w i s c h e n d e n S c h e i b e n b e -
t r a c h t e t .
v /Abb. 6. imp ulsbetraeh tung am Volumenelement der Dieke 2d = b
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 8/19
40 M. K6~LER:
A n d e m V o l u m e n e l e m e n t w i r k en f o l ge n d e K ri ~f te u n d M o m e n t e :
r a d i a l e l ~ i c h t u n g :
Z e n ~ r i f u g a l k r g f t
I m p u l s k r a f t
D r u c k k r a f t
t ~ e i b u n g s k r a f t
+ d
9 r . d ~ . d r . ~ % ~ d z
- - d
I ; }- ~ . d r . d ~ . c~~ d z
- - d
- - b 9 r 9 d q ) 9 d p
- - 2 9 Vo~ " r . dq ~ . d r
t a n g e n t ia l e R i c h t u n g :
I m p u l s m o m e n t
R e i b u n g s m o m e n t
{ + ;9 d r z . d q ~ , c ~ c ~ d
- - d
2 9 ~o ~ " r 2 " d q ~ 9 d r
D i e S u m m e a ll er a n g re i f e nd e n K r ~ f t e u n d M o m e n t e m u d N u l l e rg e b e n, s o
d ~]~ m a n f o l g e n d e G l e i c h u n g e n a u f s t e l l e n k a n n :
r a d i a l e R i c h t u n g :
O . ~ r r . c~~ d z - - o . c~ ~ d z - - - 2 . ~ o ~ . r - b . r . d -~ '
- - - - d
( 4 )
t a n g e n t ia l e R i c h t u n g :
d 2 c r C~ d - - 2 9 r ~ .9 . = . T O ~ ( 5 )
A n d e n G l e i c h u n g e n (4 ) u n d (5 ) s i e h t m a n , d a b e i n e L 6 s n n g n u r m 6 g l i c h i s t,
w e n a m a n s i ch A n s ~ t z e f i i r c r, % , To~ u n d T0~ v o r g i b t . D i e s e w e r d e n i m f o l g e n d e n
a n g e g e b e n .
2 . 2 . 3 . A n s g t z e / i~ r d i e G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n
Z u n g c h s t w e r d e n d i e A ns ~ttz e f ii r d ie G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n a u f -
g e s te l lt . D a b e i g e h t m a n a m b e s t e n v o n d e n V e r h s a n d e r r o t i e r e n d e n
S c h e ib e a u s . V o • K X ~ X ~ s e t z t f fi r d ie G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n b e i d e r
r o t i e r e n d e n S c h e i b e f o l g e n d e A u s d r i i c k e a n , d i e a u s d e r T h e o r i e d e r t % o h r s t r 5 m u n ge n t n o m m e n s h l d :
= a s 9 9 1 - - , ( 6 )r 6 o o
T ( D o \ o /
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 9/19
Die StrSmung zwisehen zwei parallelen, rotierenden Scheiben 41
W / ~ h r e n d d i e T a n g e n t i a l k o m p o n e n t e d e r G e s e h w i n d i g k e i t r e c h t g u t e U b e r e i n -
s t i m m u n g m i t d e r j e n ig e n a u s d e m E x p e r i m e n t n a e h G aE GO R Y u n d W A L K E a [5]
z e ig t, w e i e h t d e r A n s a t z I f ir d ie R a d i a l k o m p o n e n t e y o n d e r W i r k l i e h k e i t e t w a s
a b , w i e A b b . 7 z e i g t .
0 ,1 5 1 [ E = E x p . G r e g o r y u .W a l ke r
r K -" A n s a t z v. K d r m d n5 = A n s a t z Sowotzk i
o , I
" .~ I K
. ~ 0 ,05
f J
~
0 0,2 0.4 0,6 0.8 t.OrW a n d a b s t o n d z / d
Abb. 7. Radialgeschwindigkeit fiber der Grenzschichtdieke bei einer rotiere nde n Scheibe
D i e T a n g e n t i a l k o m p o n e n t e i s t je d o c h e n t s c h e i d e n d f fi r d ie B e s c h r e i b u n g d e r
S t r 5 m u n g , s o d a g d ie R e c h n u n g t ro C z d e m zu g u t e n E r g e b n i s s e n f f ih r t. I n A b b . 7i s t n o c h e i n e d r i t t e K u r v e e i n g e z e i c h n e t , d i e n a c h e i n e m A n s a t z y o n SA W A TZ KI [3 ]
g e b i l d e t i s t . D e r A n s a t z l a u t e t :
C
f (J)
E r l i e f e r t f i i r g r S g e r e A b s t g n d e y o n d e r S e h e i b e e t w a s b e s s e r e E r g e b n i s s e ,
g i b t j e d o e h i n u n m i t t e l b a r e r W a n d n / s z u h o h e G e s e h w i n d i g k e it s g r a d i e n te n .
B e i d e A n s ~ t z e f fi r d ie R a d i a l k o m p o n e n t e w e r d e n b e n u t z t , u n d z w a r d e r A n s a t z
n a e h SA W A TZ KI, w e n n e s a u f d i e G e s e h w i n d i g k e i ts p r o fi l e a n k o m m t , d e r A n s a t z
n a e h y o n K X R ~ X ~ , w e n n d ie W a n d s e h u b s p a n n u n g y o n B e d e u t n n g i s t.
F f i r d e n v o r l i e g e n d e n F a l l e r s e h e i n t d i e V o r s t e l l u n g g e r e e h t f e r t i g t , d a g i n
u n m i t t e l b a r e r N / i h e e i n e r j e d e n d e r b e i d e n s y n e h r o n r o t i e r e n d e n S e h e i b e n d i e
G e s e h w i n d ig k e i ts p r o f il e d e n e n d e r e i n z el n r o ti e r e n d e n S e h e ib e n a e h v o x K X ~M X N
e n t s p r e e h e n , w o b e i f fi r d i e G r e n z s e h i e h t d i e k e h i e r d ie k o n s t a n t e S p a l t w e i t e z u
s e t z e n i s t . D e n w e i t e r e n A u s f f i h r u n g e n w e r d e d a s I o l g e n d e G e d a n k e n m o d e l l , d a s
m i t t t i l f e y o n A b b . 8 e r l / i u t e r t w i r d , z u g r u n d e g e l e g t .
R o t i e r t d i e l i n k e S e h e i b e d e s S e h e i b e n p a a r e s u n d d i e r e e h t e S e h e i b e r u h t , s o
e r g i b t s i e h i n e t w a e i n e G e s e h w i n d i g k e i t s v e r t e i l u n g a u f g e t r a g e n f i b e r d e r S p a l t -
w e i t e , w i e s i e b e i d e r e i n z e l n e n , r o t i e r e n d e n S e h e i b e a u f g e t r a g e n t i b e r d e r G r e n z -s e h i e h t d i e k e f e s t g e s t e l l t w u r d e . R o t i e r t d i e r e e h t e S e h e i b e d e s S e h e i b e n p a a r e s
u n d d i e l i n k e S e h e i b e r u h t , s o e r g i b t s i e h e i n e s p i e g e l b i l d l i e h e G e s e h w i n d i g k e i t s -
v e r t e i l u n g fi b er d er S p a l t w e i t e . R o t i e r e n n u n b e i d e S e it e n s y n e h r o n u m d ie g e m e i n -
s a m e D r e h a e h s e , s o s o ll d a s r e s u l t i e r e n d e G e s e h w i n d i g k e i t s p r o f i l d u r e h g e o -
m e t r i s e h e A d d i t i o n d e r E i n z e l p r o f i l e e n t s t e h e n . I n w i e w e i t d i e s e A n n a h m e g e -
r e e h t f e r t i g t i s t , m u g d a s E x p e r i m e n t z e i g e n .
Aeta ~,Iech. XI I/ l- -2 3 a
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 10/19
4 2 ~ [ . K S ~ L E R :
- I z / d 0 + I
/
o ~ . . r-1 Z / d 0 + I
0
- t z / d 0 + I
0
4 . 0 . . ~" I Z / d 0 §
_ _ ~ I I~ l ~ r C r o i W ,
- I 00"1~ z /d 0 § * ' ] z /d 0 §
Ab b . 8 . V e ra n s c h a u l i c h u n g d e s Ge d a n k e n m o d e l l s
D a m i t k a n n m a n n u n f o l g e n d e A n s / i tz e f f i r d ie G e s c h w i n d i g k e i ts p r o f il e f ib e r
d e m S p a l t q u e r s c h n i t t a u f s t e l l e n :
N a c h v o ~ ~ K X ~ X ~
rw0C _ _ K I . [ ( 1 z + d ) b . ( ~ d - - ) l / 7 + ( z + ~ d ) ( . 1 z + d ) l / 7 ] b " (9 )
N a c h S A W A T Z K I
ro)oC~ K o .( 1 . z + d ) l / T b ~ (Z~ --d )l/7 - 1 - - ~ z + d ) 2 / 7 _ ( ~ _ ~ ) ~ / ~ J , (1 0)
D i e K o n s t a n t e n K 1 u n d K 2 e r g e b e n s i e h au s d e r K o n t i n u i t / i ts g l e i c h u n g . S ie la u t e n
K 1 _ 60 . r o - C~o (12 )49 9 9 r~oo '
36 . ro 'Cro (13)K ~ - - 7 . r . r c o o
D e r F ~ k t o r fi i s t e in M a B d a f ii r , w i e s t a r k d i e F l i is s i g k e it i n U m f a n g s r i c h t u n g
m i t g e n o m m e n w i r d . /~ = 0 b e d e u t e t , d a b d i e F l f is s i g k ei t w i e e i n s t a r r e r K a r p e rm i t d e n S c h e i b e n u m l / s fi = 1 b e d e u t e t , d al3 g e n a u d e r i m G e d a n k e n m o d e l l
k o n s t r u i e r t e F M 1 v o r l ie g t , fi ~ 1 ,3 3 b e d e u t e t , d a b f f ir d i e m i t t l e r e T a n g e n t i a l -
g e s e h w i n d i g k e i t @ - - ~ / r c j= - - 1 g il t. E i n e w e s e n t l ie h e A u f g a b e b e s t e h t d a r in ,
fl i n A b h / ~ n g ig k e it d e r E m f l u B g r S 6 e n z u e r m i t t e l n . D i e A n s /~ tz e ft ir d ie O e s e h w i n -
d i g k e i t s k o m p o n e n t e n w u r d e n s o m i t a n g e g e b e n . E s f o l g en n u n d ie A ns /~ tz e f ii r
d ie K o m p o n e n t e n d e r W a n d s c h u b s p a n n u n g .
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 11/19
D i e S t r S m u n g z w i s c h e n z w e i p a r a l ! e l e n , r o t i e r e n d e n 8 c h e i b e n 4 3
2 . 2. 4 . A n s i i t z e / i i r d ie K o m p o n e n t e n d e r W a n d s c h u b s p a n n u n g
D i e A n s ~ t z e f f i r d ie K o m p o n e n t e n d e r W a n d s c h u b s p a n n u n g w e r d e n w i e d e r u m
d e n G e s e t z m i iB i g k e i t e n d e r t~ o h r s t r 5 m u n g e n t n o m m e n . I n G l e ic h u n g (3 ) f fi r d ie
W ~ n d s c h u b s p a n n u n g m u B d i e G e s c h w i n d ig k e i t c d u r c h d ie R e l a t iv g e s c h w i n d i g -
k e i t
= z 1)1/~ (1 4)~ / C r 2 - [ - W 9 2 = ( S P - 4 - " W ~ v
e r s e t z t w e r d e n , w o b e i
c~ 05)r = - - -W q o
i s t. I n W a n d n ~ h e s o ll cn s ic h n u n d i e K o m p o n e n t e n d e r W a n d s c h u b s p a n n u n g
g e n a u s o v e r h a l t e n w i e d i e K o m p o n e n t e n d e r G e s c h w i n d i g k e i t . D a s i s t p l a u s ib e l ,
w e n n m a n d ie N e w t o n s c h e S c h u b s p a n n u n g s d a r s t e l l u n g d e r l a m i n a r c n U n t e r -
s c h i c h t ( b es s e r: R e i b u n g s u n t e r s c h i c h t ) z u g r u n d e l e g t . E s g i l t d a m i t :
~ s v . . . . . 9 ( 1 6 )
H i e r m i t k a n n m a n n u n f fi r d i e K o m p o n e n t e n d e r W a n d s c h u b s p ~ n n u n g a n s e tz e n :
: _ 0 , 0 2 2 5 . 0 . f 1 7 / , . ( r ~ % ) m . ( b ) 1 / 4 . (1 + ~ p ) a / s , ( 17 )O p
T o ~ = - " s . e " T o ~ . (18)
2 . 2. 5 . L 6 s u n g d e r I m p u l s g l e i c h u n g e n
M i t d e n A n s ~ t z e n f t i r d ie G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n cr u n d w v u n d d ie
K o m p o n e n t e n d e r W a n d s c h u b s p a n n u n g ~or u n d Vo; l a ss e n s ic h di e G l e i c h u n g e n (4 )
u n d (5 ) s c h r e i b e n :
r a d i a l e l ~ i c h t u n g :
1 , 0 0 5 . ( % ] 2 . 1\ ro" w o / ( r /ro )
1I -- 0 , 0 5 5 1 9 - -
. ( 1 + ~~Oo.~ . (~/~o)
t a n g e n t i a l e R i c h t u n g :
0 , 3 8 9 - - 0 , 2 8 8 . fi - - 0 , 1 4 4 . r . d /?r o d (r/ro)
%o . ~ . ~ . 1
m i t
] r oK = 0 , 0 0 8 7 5 ,
VR~ b
- - + [ 0 , 5 6 8 . fi~ - - 1 , 5 . f i + 1 ] 9 - -%
% . ~ o o b f l . ( r /ro)2 " f i ( 1 9 )
n n d
d ( r / r o ~ o~ . ( r o 9 0 % ) 2 . '
_{_ ( 6 0 /4 9 "c r~ ] 2 t 3 / 8 . r
' ~ o - ~ ~ ( r / r o ) ~ / ] to '
R e ~ r o . o )o ' bp
(20)
3 a*
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 12/19
4 4 M . K6~LEg:
D i e G l e i c h u n g en w u r d e n n u m e r i s e h n a e h I ~ U ~ a E - K v T T a g e l6 s t, u n d z w a r
w u r d e a u s G l e i c h u n g ( 20 ) d e r F a k t o r fi e r m i t t e l t , a u s G l e i c h u n g ( 19 ) w u r d e d e r
s t a t i s e h e D r u e k b e r e c h n e t . D e n V e r l a u f y o n fi f i b e r d e m i ~ a d iu s v e rh ~ t lt n is r / r o
z e i g t A b b . 9 .
, K = I 0 . 1 0 - 3
1 .o
o
0 , 5k a
Abb. 9.
0 L
I 2 3
R a d i e n v e r h ~ f l t n i s r / / r o
Verlauf des F~ ktor s fl fiber dem Radiusverh~iltnis r / r o
D a m i t s in d n u n a ll e G r 6 g e n b e k a n n t . E n t w e d e r w u r d e n s ie w i e d ie K o m -
p o n e n t e n d e r G e s e h w i n d ig k e it a n d d e r W a n d s e h u b s p a n n u n g d u t c h e n t s p r e e h e n d e
A n s/~ tz e v o r g e g e b e n o d e r si e w u r d e n d u t c h d ie g e c h n u n g e r m i t t e l t . E s l a s s en s ie h
d a m i t /~ hn lie h w i e i m l a m i n a r e n F a l l Psta t, P dy n u n d d a s D r e h m o m e n t M a n g e b e n .
D e r W i r k u n g s g r a d n i m m t b e a e h t l i e h h o h e W e r t e a n , w e n n d e r D u r e h f l u l ] k l e i n
u n d K g r o g i s t , w i e A b b . 1 0 z e i g t .
%
t O O I
5 0 ~
0 i1
K - 5 0 - i 0 -s ~ _ . _
2 3 4 5
R o d i e n v e r h ~ l t n i s r / r o
Abb. 10. W irkungsgrad U fiber dem R adienverh~ltnis r / r o (turbulent)
G ro i~ e W e r t e f ti r K e rh /~ lt m a n , w e n n m a n d i e i~ e y n o l d s - Z a h l k l e i n m a e h t b z w .
d ie Spa l~wei t e eng w/~h l t .
N a e h d e m d a s S t r 6 m u n g s p r o b l e m b is h e r t h e o re t is e h b e h a n d e l t w u r d e, w e r d e n
d i e E r g e b n i s s e i m f o l g e n d e n e x p e r i m e n t e l l b e s t i ~ t i g t .
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 13/19
Die StrSmung zwischen zwei parallelen, rotierenden Scheiben 45
3 . E x p e r i m e n t u n d V e r g l e ic h m i t d er R e c h n u n g
3.1 . Aufbau des Versuchss tandes
Das Ziel der experimentellen Untersuchungen war es, die in Kapitel 2 durch-
geffihrte Berechnung zu fiberprfifen. Dies geschah durch Ausmessen der Ge-
sehwindigkeitsprofile fiber dem Spaltquerschnitt. Als F6rdermedinm bot sich
Luft an. Sie erspart ein Geh~use, so dag man reeht einfach MeBsonden in den
SpMtquerschnitt einffihren kann. Abb. 11 zeigt eine Prinzipskizze des Versuchs-
standes.
Abb. 11. Prinzipskizze des Versuchsstandes
Ein regelbarer Gleichstrommotor tr eibt fiber zwei Zahnriemen synchr on zwei
Hfilsen an, welche die beiden Scheiben tragen. Die l-Iiilsen rotieren um lest-
stehende gohre, durch welche die Luft axial angesaugt wird. Die Spaltwei~e l~gt
sich dureh Verschieben einer Seite der Anordnung beliebig ver/~ndern. Diese Kon-
struktion ha t den Vorteil, dal~ die Str6mung nicht durch Verbindungsbolzen oder
~hnliches gest6rt wird. Die Abmessungen des verwendeten Scheibenpaares sind:
r 0 = 40 ram,r~ = 200 ram.
Daraus resultiert ein maximales Radienverhgltnis yon r s / r o = 5. Die Geschwin-
digkeitsprofile wurden naeh GrSl3e und I~iehtung mittels der Hit zdraht meg tee hni k
best immt. In Abb. 12 ist ein Hi tzdraht geber in Mel3stellung dargestellt.
Der Geber wird yon einer Einstellvorrichtung gehalten, welche es gestattet,
den Geber znr Messung der Str6mungsrichtung beliebig zu drehen, ohne den
Megort selbst zu ver/indern. Mittels einer Mikrometerschraube kann man am
Augenradius der Seheiben den Spaltquersehnitt in axialer Richtung mit dem
Hitzdraht abfahren.
3.2. La mi na re r Fall
Stellvertretend ffir die Messungen irn laminaren Fall wird in Abb. 13 das Er-
gebnis der Exper iment e ffir P = 2 gezeigt.
Sgmtliche Megpunkte ffir die dimensionslose Absolutgesehwindigkeit c / r %
und den Abstr6mwinkel ~5 gruppieren sieh um eine gemeinsame Kurve, wenn nur
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 14/19
46 M. KS~LER:
Abb. 12. Geberhalterung mit Hitzdr~htgeber
der Param eter P kons tan t bleibt. Die Spaltweite b und die Drehzahl n wurden
beliebig va,riiert. Links im Bild sind fiber der halben Spaltweite die Megpunkte
aufgetragen. Die durehgezogenen Kurven sind ffir die Auswertung zugrunde
gelegt worden. Reehts im Bild sind die Geschwindigkeitskomponenten in radialer
und in Umfangsriehtung angegeben. Dabei ist:
c__z__~= c . sin~b, (21)?'(DO ~'600
W~o C. . . . cos q~ -- 1. (22)f600 r(J) 0
Abb. 13.
,0i, ore\ /
i ,?/,S I o .2 d. 3 ~ -0,29 o 2 d = ~ r nm . I~
~- 20 ,o.1. . . . . / 2
+ + ~ ~ " ~ ~ , i , ' < . o '
o~o~ 02 o, , . \ o L , o,o ' \- , -o.6 -o,2 o o,2 o,6 I ,o
z/d z/d
Links: ~[egpunkte und der Auswertung zugrunde gelegte Kurven fiber der h~lbenSpaltweite
l%ehts: Gesehwindigkeitsprofile fiber der vollen Spaltweite (laminar)
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 15/19
Die Str6mung zwischen zw ei parallelen, rotierenden Scheiben 47
E i n V e r g l e i e h d e r R e e h n u n g m i t d e m E x p e r i m e n t z e i g t n u n f o l g e n d e s : B e i
k l e i n e m b /r u n d h i n r e i c h e n d g r o g e n R a d i e n i s t d i e l ~ b e r e i n s t i m m u n g z w i s e h e n
d e r l ~ e e h n u ng u n d d e m E x p e r i m e n t g u t. F t i r P a r a m e t e r P > 2 s t i m m t d ie
l i n e a r i s i e r t e R e e h n u n g j e d o e h n i e h t m e h r m i t d e r W i r k l i e h k e i t i i b e r e i n , d a d i e
R e l a t i v g e s c h w i n d i g k e i t e n n i e h t m e h r k l e in g e g e n f ib e r d er U m f a n g s g e se h w i n d i g-
k e i t d e r r o t i e r e n d e n S c h e i b e n s in & I t i e r m ii[3 te m a n a u f d i e n u m e r i s e h e R e e h n u n g
f i i r d i e n i e h t l i n e a r e n A u s g a n g s g l e i e h u n g e n z u r i i e k g r e i f e n . G l i i e k l i e h e r w e i s e s i n d
j e d o e h g e r a d e P a r a m e t e r P ~ 2 f fi r d i e p r a k t i s e h e A n w e n d u n g e r s t re b e n s w e r t .
3 .3 . T n r b u l e n t e r F a l l
I m t u r b u l e n t e n F a l l i s t e s m 6 g l i e h , d u r e h H i t z d r a h t m e s s u n g e n d i e A n s g t z e
f / i t d i e G e s e h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n z u k o n t r o l l i e r e n . D e s w e i t e r e n k a r m g e -p r / i f t w e r d e n , o b d e r F a k t o r / ~ , d e r s i e h a u s d e r I m p u l s g l e i e h u n g i n t a n g e n t i a l e r
R i e h t u n g e r g i b t , d u r c h d a s E x p e r i m e n t b e st /L t ig t w i r d . I s t d i e s d e r F a l l , s o k a n n
m a n a n n e h m e n , d a b a u e h d i e i i b r i g e R e e h n u n g b r a u e h b a r i s t . D i e D u r c h f / i h r u n g
u n d A u s w e r t u n g d e r E x p e r i m e n t e w a r d i es e lb e w i e i m l a m i n a r e n F a l l . I n A b b . 1 4
w i r d z . B . d a s E r g e b n i s d e r M e s s u n g e n f fi r d i e S p M t w e i t e b = 4 m m g e z e i gt .
l , O t O 0
9 n = 9 0 0 U / m i n
0 , 8 • n = I 3 8 0 U / m m
, ,~ n = 1 8 0 0 U / m i n
l o n = 2 5 2 0 U / r n i n ~
o 0 , 2 o . s I , o
z/d
I t U I . / m l b
n = 2 0 0 0
if!!
r, O - 0 , 6 - 0 , 2 0 0 , 2 0 , 6 1 .0
z/d
Abb. 14. Lin ks: M eBpunkte und d er Auswertung zugrunde gelegte Ku rvert iiber der halbenSpaltweite
R ech ts: Geschw indigkeitsprofile fiber der vollen Spaltweite (turbulent)
M a n e r k e n n t , d a g e i ne D r e h z a h l ~ n d e r u n g n u r e i n e n g e r i n g en E i n f l u g a u f d ie
M e i 3 w e rt e h ~ t , w i e es d i e R e c h n u n g v o r a u s s a g t . A u s d e n W e r t e n ws / r c% k a n n
m a n d e n W e r t f a r / ~ a b l e s e n .E i n V e r g M c h y o n T h e o r i e u n d E x p e r i m e n t e r g i b t n u n f o l g e nd e s : I n A b b . 1 5
s i n d ff ir ei ni ge u n t e r s u c h t e S p a l t w e i t e n d i e a u s d e n M e s s u n ge n s t a m m e n d e n
R ~ d i al - u n d T a n g e n t i a l k o m p o n e n t e n i m V e r g le i e h z u d e n e n , w i e si e i n d e r R e c h -
h u n g a n g e s e t z t w u r d e n , d a r g e s t e l R .
D i e T a n g e n t i a l k o m p o n e n t e n s t i m m e n r e c h t g u t i i b e r e i n , b e i d e r R a d i a l -
k o m p o n e n t e t r e t e n g e r i n g f i i g i g e A b w e i c h u n g e n z w i s c h e n g e m e s s e n e n u n d a n -
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 16/19
4 8 ~ . K f ~ L E R :
', ~,8
0,6
2
0,2
O r A n s a t z y o n
L ~ K ~ R M ~ N / SAWATZKI
x 2 d = 2 r a m ] E x p e r i m .
I v 2 d = 4 m m ~ H-0 ' 2 1 9 2 d = T m m J n =2 0 % '~ n 'n
-o,~
-0,8
o -1,o Lo
iii i
i i - i L i0,2 o,4 0.6 o,8 t,o
z/d
I 0 oI An, sa tz yon~_ K A R M A N / S A W A TZK I
+ 2 d = 3 r a m
I ] E xpe r , m.| 9 2 d = S m m ~, ^ ^ U0.8 -0 '2 I - o 2d=tOmm Jn=2OUUrn~Tn
I
C~ l w~ /ro o o
i , ! !
0 , 2 "0,8 ~ _ ~ r - - ~ T c r / r w o
0 -1 0 ~o q2 0,4 0,6 0,8 t,o
z/d
Ab b. 15. Vergleich der Geschwindigkei~skomponenten na ch An satz un d Ex per im en t
g e n o m m e n e n W e r t e n a u f . D i e s w a r j e d o e h n a e h d e n o b i g e n A u s f f i h r u n g e n f ib e r
d i e r o t i e r e n d e S e h e i b e z u e r w a r t e n . D i e z w e i t e K o n t r o l l e b e z i e h t s i e h a u f d e n
F a k t o r / ? . I n A b b . 1 6 i s t fl f i be r K/ C , . o / ro ~ % a u f g e t r a g e n .
E s e r w i e s s ie h i n d e m b e t r a e h t e t e n B e r e i e h f fi r K u n d G o / r o ( , o , d a b ,8 n a h e z u
g l e i e h i s t , w e n n K/Cro/ roOJo d e n s e l b e n W e f t h a t . E i n V e rg l e ie h d e r a u s d e n M e s -
s u n g e n s t a m m e n d e n W e r t e v o n fl m i t d e n e r r e e h n e t e n W e r t e n f g l l t r e e h t g u t a u s.
D a m i t is t a b e t a u e h d ie B r a u e h b a r k e i t d e r R e e h n u n g f f ir d ie t u r b u l e n t e S t r 6 m u n g
e r w i e s e n .
1 . 5
1
PO.5
o b = 2 t u r n
9 b = 3 m m
+ b = 4 t u r n
a b = - 5 r a m
o b = 7 r a m9 b = 1 O m m
0 2 ~ 6 8
K . 1 0 3% 1 roWo
!
. .. .. & .~ o ~ . . _ . _
I0 12
A b b . 16 . V e rg le ic h R e c h n u n g - - E x p e r i m e n t f i ir d e n F ~ k t o r f l
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 17/19
Die S~rSmung zwischen zwei parallelen, rotierenden Scheiben 49
4. Ubergangsgebiet zwischen laminarer und turbulenter Striimung
Ob d ie S t r 6m ung z wise he n de n S e he ibe n l a m ina r ode r tu r bu le n t wa r , wur de
m i t H i l f e e ine s 0 sz i l l og r a phe n be u r t e i l t , a u f we le he n da s S igna l de s t I i t z d r a h t -
ge be rs ge se ha l t e t wurde . B e t r e ib t m a n de n Ve r sue hss t a nd be i h in r e i e he nd lde inen
R a d ie n un d S pa l twe i t e n m i t k l eine r Dr ehz a h l , so i s t di e S t r 6m ung im S pa l tque r -
se hn i t t l a m ina r . Ma n e r h / i l t a u f de m 0sz i l l og r a phe nse h i r m e ine n ge r a de n S t r i e h ,
wie in Abb. 17 oben darges te l l t .
Abb. 17. Hitzdrah tsignale auf dem O szillographenschirm im laminaren Fall
S te ige r t m a n d ie Dr e hz a h l de r S c he ibe n , so e r sc he in t i n de m l Jbe r ga ngsge b ie t
e ine fas t r e ine S inussehwingung, d ie f ibe r e inen gewissen Drehzahlb ere ieh e rha l te n
b le ib t . D ie S t r 6m ung i s t j e doe h im m e r noe h l a m ina r . B e i noe h h6he r e n Dr e h -
zahlen breehen d ie pe r iodischen S t6rungen p l6 tz l ich auf in hoehf requente , un-
r e ge lm gB ige S e hwa nkunge n . D ie S t r 6m ung i s t t u r bu le n t ge wor de n.
Zun/~ehs t e inmal i s t d ie Abgrenzung des Ubergangsgebie tes dureh d ie I~ey-
no lds - Za h l i n t e r e s sa n t . De r f i i r d i e l a m ina te S t r 6m ungs f o r m e n t se he ide nde P oh l -/
ha u se n - P a r a m e t e r P = d ] / ~ s t e ll t e ine m i t de r S pal twe i te , de r W inke l -
gesehwindigke i t und der Z~ th igke i t gebi lde te Reynolds-Zahl da r . Diese Def in i t ion
de r t~ e yno lds - Za h l ka nn j e doe h f f i r de n Um se h la g l a m ina r - tu r bu le n t n i c h t be -
f r ied igen , da d ie Umfa ngsg esehw indig ke i t rco 0 de r Sehe iben s ieherl ich e inen Ein-
f luB a u f de n Um se h la gspunk t ha t , de r R a d ius r j e doe h f ibe r ha up t n i c h t e r se he in t .
E ine s innvo l l e De f in i t i on de r R e yno lds - Za h l i s t f o lge nde :
Re - - r . ~oo 9 (23)P
Dutch Beobaehtung des Osz i l lographenbi ldes l ieB s ieh de r Beginn des I Jber -
ga ngsge b ie t e s m i t R e ~ 1200 a nge be n . De r Um sc h la g in d i e tu r bu le n te S t r 6 -
mu ng sfo rm g esehah be i R%ri~ ~ 2 300. " Es i s t bem erken sw er t , dab s ieh d iese r
W e r t a ue h e r g ib t , we nn m a n be i de r i n r uhe nde m Me d ium r o t i e r e nde n S e he ibe
ode r Kuge l d i e R e yno ld s - Za h l m i t de r Gr e nz se h ie h td ie ke d s t a t t m i t de r S pa l t -
weite b bi ldet .
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 18/19
5 0 M. K ( J H L E R :
Als zweites ist yon Interesse, wie die periodisehen Sehwingungen im fffber-
gangsgebiet zu deuten sind. Abb. 18 zeigt ein Oszillographenbild aus diesem Be-
reich.
Der Abstand der einzelnen Extremwerte in Abb. 18 ist in etw~ gleieh. Die
relativ langwellige Sehwebung ist auf um~unden L~uf der Seheiben zur/iekzufiihren.
Abb. 18. Oszillographenaufnahlne aus dem ~ffbergangsgebiet laminar-turbulen~
Aus anderen Versuehen weiB man, dab sich diese periodisehen Sehwingungen
als Instabilit/~ten deuten lassen. Da das Oszillographenbild nur ein indirekter
Beweis ftir das Vorhandensein soleher Instabilit/iten ist, wurde versueht, die perio-
disehen StSrungen siehtbar zu maehen. Dazu wurde ein kleiner Versuehsstand
verwendet, bei welehem von oben Wasser in ein w~agereeht angeordnetes, rotie-
renctes Seheibenpaar flieBt. Die StrSmung kann man dureh die obere aus Plexi-
glas bestehende Seheibe beobaehten. Dem Wasser zugemisehte Aluminiumflitter
Abb. 19. Sioiralige Wirbel zwischen zwei parallelen, synchron rotierenden Scheiben
5/17/2018 strömung zw. scheiben - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/stroemung-zw-scheiben 19/19
D ie S t r6 m u n g z w i s c h e n z w e i p a r a l l e l e n , r o t i e r e n d e n S c h e ib e n 5 1
d i e n e n a l s S t r 6 m u n g s a n z e i g e r . D a s E r g e b n i s d i e s e s V e r s u e h e s i s t i n A b b . 1 9 d a r -
g e s t e l l t .
V o n e i n e m g e w i s se n R a d i u s a b , b e i w e l e h e m d i e R e y n o l d s - Z a h l R e ~ 1 2 0 0
e r r e i e h t i s t , b i l d e n s ie h sp i r a l i g e W i r b e l a u s , d e r e n A e h s e n m i t z u n e h m e n d e m
R a d i u s i m m e r m e h r i n F o r m k o n z e n t r i s e h e r K r e i s e v e r l a u f e n . D i e R i e h t u n g d e r
S l o i ra le n e n t s p r i e h t d e r R e l a t i v g e s e h w i n d i g k e i t , i s t a ls o e n t g e g e n g e s e t z t d e r D r e h -
r i e h t u n g d e r S e h e i b e n u n d d a m i t a u e h d e r B e w e g u n g s r i c h t u n g . d e r T e i le h e n .
B l i t z t m a n m i t d e r D r e h f r e q u e n z d e s S y s t e m s d e n V e r s u e h s s t a n d a n , so e rh ~t l t
m a n e i n n a h e z u s t e h e n d e s B i l d , d . h . d ie W i r b e l s t e h e n r e l a t i v z u d e n u m l a u f e n d e n
S e h e i b e n . D e r C h a r a k t e r d e r G r u n d s t r S m u n g 1/~gt d a r a u f s e h l ie g e n , d a b e s s i e h
u m W i r b e l h a n d e l t , d i e m i t d e n y o n G RE CO RY , ST ~:X R T u n d W a L K E g [ 5] g e -
f u n d e n e n v e r g l e i e h b a r s in d .
L i t e r a t u r
[1] :BREITEI~,IV[.C ., a n d K . P O HL HA US EN : L a m in a r f l o w b e tw e e n tw o p a ra l l e l r o t a t i n g d i s k s .
R e p o r t N o . 6 2 -3 1 8 , A R L O h io , 1 9 6 2 .[2 ] TESLA, 1 ~ .: P a t e n t a n m e l d u n g : K r a f t m a s c h i n e n o d e r P u m p e n m i t mehreren, i n e in e m
g e s eh l o ss e n en G e h a u s e a u f e i n e r Z e n t r a l w e l l e i n A b s t a n d e n v o n e i n a n d e r ~ n g e o r d n e t e n
p a ra ] l e l e n k r e i s e n d e n S c h e ib e n .[3] SAW~TZKI,O . : D i s S t r 6 m u n g u m e i ne r o t i e r e n d e K u g e l . I - I a b il i ta t i o n , U n i v e r s i t a t K a r l s -
ruhe 1968 .[4 ] K i ~ J ~ , T m V o ~ : t ~ be r l a m i n a r e a n d t u r b u l e n t e R e i b u ng . C o l le c te d w o r k s o f T h . y o n
K s V o l . I I , 1 9 1 4 - -1 9 3 2 . L o n d o n : B u t t e r w o r t h s S c i e n ti f ic P u b l i c a t i o n s . 1 95 6.
[ 5] G ~ GO R Y , N . , J . T . S TV AR T, a n d W . S . W A L K ~ : O n t h e s t a b i l i t y o f t h r e e - d i m e n s i o n a lb o u n d a r y l a y e r s w i t h a p p l i c a t i o n t o t h e f lo w d u e t o a r o t a t i n g d i s k . P h i l. T r a n s . R o y .
Soe . London A ~48 (1955) .
Dr.-Ing. M. KShlerInstitut ]iir StrSmungslehre und Str6mungsmasehinen
der Universitiit KarlsruheKaiserstra[3e 12
BRD-75 KarlsruheDeutschland
Top Related