Download - Statistika - Ushtrime

STATISTIKA Dr. Rahmije Mustafa

Ushtrime

Fakulteti Ekonomik

Universiteti i Prishtinës Fakulteti Ekonomik

| Dr. Rahmije Mustafa

2 STATISTIKA

1. Çka është statistika? Statistika definohet si shkencë e cila përmes madhësive (vlerave) numerike bën hulumtimin e karakteristikave të dukurive masive. Statistika është shkencë e cila përcjellë zhvillimin e dukurive në natyrë, ekonomi dhe shoqëri. 2. Cka është objekt i hulumtimit të statistikës? Objekt i hulumtimit të statistikës është studimi i anës sasiore dhe cilësore të dukurive massive si dhe karakteristikave të variacionit të tyre në një kohë dhe vend të caktuar. 3. Cilat janë metodat e statistikës?

1) Induksioni (nga individualja tek e përgjithshmja) 2) Deduksioni ( nga e përgjithshmja tek individualja) 3) Analiza (shpërndahen dukuritë) 4) Sinteza (bashkon dukuritë) 5) Metodae analogjisë (lidhshmërisë) 6) Metoda representative 7) Metoda grafike

4. Cilët janë parimet e shoqeatës statistikore? 1) Aftësimi i ekspertëve të statistikës 2) Këmbimi i zbulimeve shkencore dhe përvojës 3) Miratimi i metodologjisë unike 4) Objekti dhe përmbajtja e veprimtarisë statistikore 5) Harmonizimi i afateve në hulumtimin statistikorë 6) Çështja e publikimeve statistikore si dhe format e këmbimit ndërkombëtarë.

5. Cka kuptoni me dukurinë masive? Dukuria masive ( popullimi) paraqet çdo bashkësi të ndryshme njerëzish, objektesh, sendesh, rastesh etj.Dukuria masive është sasia e diferencuar në mënyrë cilësore. 6. Cka kuptoni me njesinë statistikore? Njesia statistikore (individi) paraqet njesitë përbërëse të popoullimit. Psh. Njesia statistikore (individi):

1) Suksesi i studentëve në fakultet, 2) Punëtorët e një lëmie të ekonomisë kombëtare, 3) Harxhimet mujore të telefonit në ndërmarje, 4) Harxhimet ditore të energjisë etj.

7.Në sa njesi matëse të vecanta e hulumton statistika njesinë statistikore? Statistika hulumton njesinë statistikore në këto njesi matëse të veçanta:

1) Njesia e vëllimit të dukurisë (regjistrimit, numrimit, raportimit të një dukurie) 2) Njesia e raportimit (evidentimit) 3) Njesia për matjen e variacionit (variance, devijimi standard dhe disperzioni)

8.Cka është tipari dhe sa lloje të tipareve dallojmë? Çdo veti e veçantë për secilin dhe e përbashkët për të gjitha njesitë quhet TIPAR. Kemi dy lloje të tiparëve:

1) Tipare sasiore 2) Tipare cilësore


3 STATISTIKA

Tiparet i ndajmë: Sipas tipit (mosha, pasha, numri I studentëve) Sipas formës (mënyrës së krijimit) Sipas përmbajtjes (brendisë)

9.Cka paraqet variacioni? Variacioni paraqet lëviyjet që shprehin ndryshimin e sasisë ose të cilësisë së tiparit dhe dukurive masive në tërësi. 10.Në sa forma paraqitet variacioni? Variacioni paraqitet në dy forma:

1) Variacioni si ndryshim dhe 2) Variacioni si koeficient

11.Nga se varen rezulltatet e fituara nga analiza statsitikore? Rezultatet e fituara nga analiza statistikore varen: Nga aplikimi i metodave kërkimore dhe Nga cilësia e të dhënave të grupuara të dukurisë

12.Cilët janë fazat e punës kërkimore?

Vrojtimi statistikor Përmbledhja dhe grupimi i të dhënave Përpunimi dhe analiza statistikore Publikimi i rezultateve

13.Cka kuptoni me fazën e vrojtimit statistikor? Vrojtimi statistikor bën regjistrimin dhe grumbullimin e të dhënave për dukurit masive dhe tipareve të tyre të llojllojshme.

Këtu bëhet verifikimi i tër dokumentacionit

Bëhet pregaditja rreth organizimit më të mirë

Bëhet kontrollimi dhe verifikimii qëllimit dhe detyrës së dhënë

Bëhet grumbullimi i materialit i cili do të jetë lëndë e përpunimit në fazat e tjera të hulumtimit.

14.Sipas burimit të të dhënave statistikore dallojmë sa lloje të vrojtimit dallojme? Sipas burimit të të dhënave statistikore dallojmë: Vrojtimi i drejtëpërdrejt Vrojtimi përms dokumenteve Vrojtimi sipas deklarimit.

15.Sipas menyrës së vrojtimit, grumbullimi i të dhënave kryhet përmes këtyre formave: Mënyra ekspeditive (ekspertët statistikor) Përmes thyerjes zyrtare Mënyra postelegrafike Përmes korespodentëve Mënyra e vetëregjistrimit përmes pyetësorëve.


4 STATISTIKA

16.Varesisht nga qëllimi i kërkimit, natyra e dukurisë dhe rethanat në tëcilat gjendet dukuria dallojm këto lloje të vrojtimit. Vrojtimi sipas kohës – (të vazhdueshme dhe jo të vazhdueshme) Vrojtimi sipas vëllimit – (vrojtim i përgjithshëm dhe i pjesshëm)

17.Cilët janë format kryesore të vrojtimit të pjesshem? Format kryesore të vrojtimit të pjesëshëm janë: Mostra (merret vetëm një pjesë e rastësishme) Anketa (ankohet vetëm një pjesë e rastësishme) Monografia (hulumtohet detalisht një njësi)

18.Cilët janë llojet e gabimeve statistikore? Gabimet e reprezentimit (përfaqësimit)- e rastësishme dhe të qëllimta Gabimet e regjistrimit

19.Grupimi i të dhenave sipas kriterit të pergjithshem bazohet ne tri mënyra edhe ate: Grupimi sipas qëllimit (grupimi tipologjik-sipas tipareve ), (grupimi i variacionit-

ndryshimet brenda një tipari), (grupimi analitik-lidhje e ndërsjellë shkakë pasojë) Grupimi sipas llojit të tiparit (grupimet cilësore, sipas tiparëve sasiore, sipas tiparëve

kohore dhe hapsinore). Grupimi sipas vëllimit të tiparit (grupimi i thjeshtë-vetëm një tipar, i kombinuar- dy a më

shumë tipare dhe rigrupimi- një numër i madh grupesh shëndrohet në më të vogla).

20.Radhitja e të dhënave statistikore mundë të kryhet? Radhitja me dorë Radhitja me mjete teknike dhe Radhitja e kombinuar

21.Varësisht nga tipari që tregojnë variacionet seritë munde ti ndajme: Seri të thjeshta (të dhëna për një tipar) Seri të përbëra (të dhëna për më shumë tipare) Seri hapsinore (teritoriale) Seri kohore ose kronologjike Seri të shpërndarjes

23.Cka janë pasqyrat statistikore? Pasqyrat statistikore janë formë ku paraqiten seritë dhe rezultatet nga materiali i përmbledhur dhe i grupuar statistikor. 24.Sipas përmbajtjes të pasqyrës statistikore dallojmë?

Pasqyra të thjeshtastatistikore (për një tipar) Pasqyra të përbëra (dy a më shumë tipare) Pasqyra të kombinuara statistikore

25.Ne bazë të përmbajtjes, natyrës, ecurisë së dukurisë dhe menyrës së ndërtimit, grafet statistikore mundë të ndahen ? Grafet statistikore mundë të ndahen në 3 grupe:

1) Diagrame (grafe me figura gjeometrike) 2) Kartograme dhe


5 STATISTIKA

3) Ideograme (grafe me figura natyrale). 26.Cka kuptoni me fazën e analizes statistikore? Analiza statistikore paraqet fazën e tretë dhe të fundit të dukurisë masive, kjo fazë pëson pas hulumtimeve të bëra rreth vrojtimit, përmbledhjes, grupimit dhe paraqitjes grafike të të dhënave të sistemuara. 27.Analiza statistikore varesisht nga karkateristikat e dukurive masive ne thelb dallohen si? Analiza statike (gjendja se si është dukuria) Analiza dinamike (zhvillimi i dukurisë) Analiza reprezentative (mostra, anketa) Analiza regressive (raportet në mes dukurive të ndryshme)

28.Gjate analizes se distribuimite te serive me se shumti perdoren keto elemente: Madhësitë mesatare Treguesit e variabilitetit Invariantet bazë Invariantet e momenteve statistikore

29. Cka paraqesin momentet statistikore? Momentet statistikore janë tregues relative të asimetrisë dhe kurtozisit, të cilat paraqesin devijimin e nivelizuar mesatar të të dhënave në seri nga mesatarja e tyre. 30. Cka paraqet probabilitetit? Teoria e probabilitetit meret me aplikimin e metodave te ndryshme ne analizen e raporteve te dukurive stohastike. 31. Cilet jane llojet e probabilitetit? Llojet e Probabilitetit: - Prova e rastit - Ngjarja - Probabilitetiingjarjes - Probabiliteti me kusht - Probabiliteti pa kusht - Ndryshoret e rastit dhe llojet e tyre 32. Cka paraqet prova? Prova paraqet, parasheh ose përcakton dukuri potenciale (hudhja e monedhës). 33. Per cka perdoret analiza e regresionit?

Analiza e regresionit me se shpeshti perdoret per hulumtimin e variabilitetit te dy fenomeneve, nga te cilat njera paraqitet si variabel e pavarur kurse tjetra e varur. 34. Cka quajme teresi e pergjithshme dhe cka quajm moster? Dukurin te cilen deshirojme ta studijojme dhe analizojme quhet teresie pergjithshme, ndersa pjesa e nejsive qe zgjidhet per vrojtim konkret quhet moster. 35. Cilet jane metodat kryesore te zgjedhjes se njesive ? Metodat kryesore te zgjedhjes se njesive jane:


6 STATISTIKA

Metoda e rastit (zgjedhja e rastesishme nga teresia e pergjithshme) Mostra e kualifikuar (zgjedhja e rastesishme nga teresia e pergjithshme me pare e regulluar apo kualifikuar) Panel mostra (zgjedhet ne menyre te rastesishme).

USHTRIME

KOEFIÇIENTI I VARIACIONIT - Variacioni paraqet lëvizjet apo ecuritë që shprehin

ndryshimin e sasisë ose cilësisë së atributit të individit (njësitë statistikore) dhe dukurisë

masive(popullimi) në tërësi.

Përmes variacionit si lëvizje, si ecuri dhe si ndryshim zbulohen ligjshmëritë në natyrë, në

ekonomi dhe në shoqëri.(gjatë vrojtimit të fenomeneve të ndryshme , ecuritë e variacionit mund

të analizohen në hapësirë, dhe në një periudhë të caktuar)

STATISTIKA si shkencë merret me studimin e ligjshmërive të variacionit të atributit në

kuadër të njësisë statistikore masive në tërësi

Kemi dy lloje:

Variacioni si ndryshim-paraqet ndryshimin(diferencën) në mes madhësis raportuese dhe paraprake

të një atributi apo tipari.

Përmes formulës aritmetike ndryshimi i dy niveleve të atributit të vrojtuar tregon

variacionin për periudha (nivele) të caktuara kohore.

Nëse nivelet (të dhënat) e atributit (tiparit) i shënojmë me N

Variacioni i ndryshimit Ë1 = N2-N1,N2,N3,.....Ni(i =1,...n) dhe variacionin me

:Ë1rË2rË3r....Ëi(i=1...n) atëherë variacioni si ndryshim përmes formulës do të shprehet si vijon

Vd1=N2-N1

Vd2=N2-N1

Vd3=N2-N1

Vdi=Ni+1-Ni

Vdn_1=Nn-Nn_1

Rezultat e fituara nga raportet e paraqitura në formulë, përmes niveleve të periudhave

të ndryshme kohore, tregojnë shtimin, stagnimin apo rënien e dukurisë së vrojtuar.

Shembull : Procesi i regjistrimit të studentëve në vitn e parë pranë Fakultetit të

Administratës publike - USHT gjatë periudhës kohore 2006/2010 është si më poshtë.

1.Në vitin shkollor 2006/2007 u regjistruan 500 studentë (N1)

2. --------------------- 2007/2008 u regjistruan 460 studentë (N2)

3. -------------------- 2008/2009 u regjistruan 460 studentë (N3)

4. -------------------- 2009/2010 u regjistruan 480 studentë (N4)

Nga llogaritja e maleve të serisë së dhënë në vijim fitohet

variacioni si ndryshim Vd1

Vd1=N2-Nl= 460-500 = -40 (zbritje) Vd2=N3-N2= 460-460 = 0 (stagnim) Vd3=N4-N3= 480-460 = 20 (rritje) Rezultatet e fituara tregojnë ecuri të ndryshme të variacionit nëpër periudha të ndryshme të krahasimit të niveleve:


7 STATISTIKA

1. N2 < N1 2. Ë = 0 3. N4 > N3 ku Vd3 > 0

VARIACIONI SI KOEFICIENT - është shprehje relative dhe paraqet raportin në mes dy

niveleve të vrojtuara të atributit, njësisë statistikore ose dukurisë masive.

Rezultatet e fituara nga raporti i dy të dhënave, përkatësisht i nivelit raportues dhe atij

paraprak paraqet koeficientin e ndryshimit të vlerave relative, i cili shpreh karakteristikat

cilësore të dukurisë së vrojtuar.

• Simbolet e atributit, të njësisë ose dukurisë statistikore të vrojtuara janë :

N1,N2,N3,...Ni(i=1..n), ndërsa variacioni si koeficient :

Vk1,Vk2,Vk3,...Vki(i=1.n) ku kemi këto shprehje :

- Vkl =N2/N1 , Vk2 =N3/N2, Vk3 =N4/N3............. Vk1 =Ni+1/Ni

-Edhe te koeficientët e fituar të variacionit nga ecuritë e dukurisë së vrojtuar mund të paraqesin

variacionin në rritje, stagnim ose rënie.Mirëpo, koeficienti nuk mund të jetë më i vogël se zero, por

sillet prej zero deri në plus pa kufij (0,+&)

Shembull.Seria e e prodhimit të këpucëve në një ndërmarrje, e shprehur në palë:

• Viti 2006 prodhuar 8000 (Nl) Viti 2008 prodhuar 10000 (N3)

• Viti 2007 prodhuar 10000 (N2) Viti 2009 prodhuar 9 000 (N4)

Nga seria e dhënë e dukurisë së vrojtuar, në vijim llogaritetvariacioni si koeficient: Vk1

=N2/N1 =10 000/8000 = 1.25 (rritje)

Vk2 =N3/N2 = 10000/10000=1,00 (stagnim)

Vk3 =N4/N3 = 9000/1000 =0,9 (zbritje)

Nga të dhënat(nivelet) e krahasuara, duke i vën në raport N2 me N1 fitohet variacioni si koeficient

më i lartë se një (Vkl >1), çka do të thotë se dukuria e vrojtuar, përkatësisht prodhimi i i

këpucëve vitin 2007, në raport me vitin 2006, ishte më i lartë për 0,25 të vlerës së koeficientit, ose

shprehur në përqindje, ishte 25% më i lartë/D.m.th në këtë rast dukuria tregon tendencë rritje

edhe përmes shprehjes së variacionit të koeficientit,sepse Vk1 >1.Në rastin tjetër Vk2 >1,0, cka do

të thotë se dukuria stagnon, ndërsa Vk3 <1, ku dukuria rezulton fakti se dukuria në krahasim me

periudhën paraprake është në rënie e sipër.


8 STATISTIKA

FAZAT E STUDIMIT STATISTIKOR -SERITË STATITISTIKORE Frekuenca absolute, relative dhe komulative

Seritё statistikore formohen prej dy madhёsive: varianteve dhe modaliteteve tё njё tipari. Seritё formohen varёsiht nga qёllimi i hulumtimit dhe natyra e njёsisё sё vrojtuar nё bazё tё rednitjes sё tё dhёnave nё mёnyrё vertikale dhe horizontale.

Të dhënat (modalitetet) e tiparit (x) Frekuencat /denduritë (f)

X1 f 1

X2 f 2

X3 f 3

X4 f 4

Xn f n

∑ ∑F

Kolona e parë , te seria e variacionit , paraqet të dhënat , përkatësisht variantet e tiparit, ndërsa shtylla e dytë paraqet dendurinë, shpërndarjen , frekuencën.Frekuenca paraqesin numrin përsëritës të modalitetit të tiparit në serinë e dhënë statistikore.

Fazat e studimit statistikor

Shembull. Popullacioni e përbën bashkësia e 40 personave të cilët në një periudhë të caktuar kanë blerë një shitore.Karakteristikë elementare e popullatës është masa , numri i këpucëve të blera. Frekuenca absolute gjendet duke numëruar se sa blerës ka me numër të caktuar këpucësh. Të dhënat e blerësve (numrat e këpucëve të shitura):

Koment : 1 blerës ka blerë këpucë me nr.36 Faza1

36 37 38 39 40

38 39 38 40 41

40 41 42 40 42

40 40 41 40 42

41 42 43 41 42

41 43 44 41 43

41 41 41 44 42

44 41 42 41 41

Nr. I X Blerësit

fa

36 1

37 1

38 3

39 2

40 7

41 13

42 7

43 3

44 3

∑ 40


9 STATISTIKA

FREKUENCA RELATIVE fr1 = fa1/∑fa Shembull : Popullacioni e përbën bashkësia e 40 personave të cilët në një periudhë të caktuar kanë blerë një shitore këpucësh.karakteristikë elemenare t[ popullacionit ështa masa 0 numri i këpucëve të blera. Të gjendet frekuenca relative dhe procentuale (përqindja).

Fr1 = 1/40 = 0,025 ku % llogaritet 0,025*100 = 2,5 %

Nr. I X

Blerësit fa

fr %

36 1 0,025 2,5 %

37 1 0,025 2,5 %

38 3 0,075 7,5%

39 2 0,05 5%

40 7 0,175 17,5%

41 13 0,325 32,5%

42 7 0,175 17,5%

43 3 0,075 7,5%

44 3 0,075 7,5%

∑ 40 100%

1

2

3

7

13

7

3

2

1

36 37 38 39 40 41 42 43 44 Nr. i kёpucёve

poligon

Mënyra grafike f(a) Blerёsit


10 STATISTIKA

FREKUENCA KOMULATIVE Shembull : Popullacioni e përbën 200 nxënës të një shkolle të mesme gjatë vitit shkollor 2008/2009.Karakteristikë është pesha e nxënësve të dhënë në interval prej 3 kg.Të gjendet frekuenca përmbledhëse, frekuenca relative nga ajo komulative , mesi i intervalit si dhe të paraqiten grafikisht të dhënat.

Pesha X Nr. i nxënësve

fa fk fr Mesi i intervalit

Gjer 40 0 0 0:200=0 0

40-43 2 2 2:200=0,01 41.5

43-46 7 9 9:200=0,045 44.5

46-49 40 49 49:200=0,245 47.5

49-52 87 136 136:200=0,680 50.5

52-55 58 194 194:200=0,970 53.51

55-58 5 199 199:200=0,995 56.50

58-61 1 200 200:200=1 59.5

∑ 200

Që ta gjejmë frekuencën komulative duhet që nr. e parë të fab ta përshkruajmë.psh 0 -, pastaj e mbledhim numrin e parë të fk dmth 0 me numrin e dytëtë fr.absolute psh.2 atëherë 0+2=2 , 2+7=9.............kur arrijm në fund duhet që nr. i fundit të jetë në përputhje me shumën e frekuencës absolute dmth 200=200. Mesi i intervalit llogaritet si mesatare e thjeshtё nё mes tё dy niveleve tё njё intervali (psh. 40+43/2=41.5). Mënyra grafike :

Paraqitja grafike e frekuencave komulative

40 43 46 49 52 55 58 61 Pesha

1

2

5

7

4

0

58

8

7

7

3

2

1

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

Mёnyra e poligonit (nё mesin e brinjёve tё drejtkёndёshit)

Mёnyra e histogramit

(drejtkёndёshi)

Nr. i nxёnёsve


11 STATISTIKA

Dijagramet sipërfaqësore (histogramet) -paraqitet madhësia,struktura apo vëllimi studiuara statistikore. Në boshtin e abshisës vendosen periudhat kohore ndërsa në boshtin e ordinatës vendoset vëllimi apo madhësia e dukurisë. Distribucioni komulativ i frekuencave(ogiva) shfrytёzohet pёr tё pёrcaktuar se sa ose çfarё pjese e tё dhёnave sjell nёn apo mbi vlerёn e caktuar. Poligoni i frekuencave konstruktohet nga vija qё paraqet lidhjen e pikave tё formuara nё mes tё frekuencave dhe klasёve.

Prezentimi grafik i distribucionit tё frekuencave

Janё 3 forma pёr paraqitjen grafike tё distribucionit tё frekuencave: HISTOGRAMI POLIGONI I FREKUENCAVE DISTRIBUCIONI KOMULATIV I FREKUENCAVE

Histogrami – paraqet grafikun nё tё cilёn klasёt shёnohen nё abshisё(boshtin horizontal) , kurse frekuencat e klasave shёnohen nё boshtin ordinatё (boshtin vertikal) tё sistemit koordinativ.

2

9

49

1

36

1

94

1

99

20

0

7

3

2

1

40 43 46 49 52

55 58 61 Pesha

Lakorja Komulative

Nr.f(x)

Mesi i intervalit

41,5 44,5 47,5 50,5 53,5 56,5 59,.5


12 STATISTIKA

PASQYRAT STATISTIKORE

Diagramet sipërfaqësore(histogramet)- - Diagramet sipërfaqësore të katrorit - Diagramet sipërfaqësore të rrethit - Diagramet strukturale të sipërfaqes së rrethit

Shembull: Gjat periudhës 3 vjecare në një bashkësi komunale të Maqedonisë kan bërë kontrollime sistematike sipas viteve dhe familjeve si në vijim:

- në vitin 2006 janë kontrolluar 450 familje - në vitin 2007 janë kontrolluar 1150 familje - në vitin 2006 janë kontrolluar 1450 familje

Numri i familjeve për çdo vit paraqet sipërfaqen e katrorit , ndërsa ndërtimi i katrorit varet prej bazës (brinjës) llogaritëse të tij e cila është e barabartë me rrënjën katrore të sipërfaqes. Formula e sipërfaqes së katrorit është S=a2 , atëherë brinja është e barabartë me √S përkatësisht a=√a2 . Nga formula dhe të dhënat e dukurisë së krahasuar nëpër periudha kohore, rezultojnë llogaritjet në vijim: Viti 2006 S=450 a=√S = √450 = 21,2 cm (shkalla e zvoglimit 21,2 : 10 = 2,12 cm) Viti 2007 S=1150 a=√S = √1150 = 33,9 cm (shkalla e zvoglimit 33,9 : 10 = 3,39 cm) Viti 2008 S=1450 a=√S = √1450 = 38,1 cm (shkalla e zvoglimit 38,1 : 10 = 3,81 cm Me rastin e ndërtimit të grafikëve duhet përdorur edhe shkallën e zvogëlimit të të dhënave të krahasuara. Në rastin konkret, brinjët e katrorëve do të ndërtohen me shkallën 1:10 cm, atëherë në bazë të elementeve të llogaritura,paraqitja grafike përmes katrorëve dhe krahasimi i shtimit të vëllimit sipas periudhave kohore jepet si në vijim: Viti 2006 Viti 2007 Viti 2008 a = 21,2 (2,12) a = 33,9 (3,39) a = 38,1 (3,81) Sic shihet nga katrorët paraqitja grafike përmes këtyre diagrameve, mundëson zbulimin e dukurisë përmes krahasimit të shtimit të vëllimit të saj nëpër periudha kohore.

S = 450

S = 1150

S = 1450


13 STATISTIKA

Diagramet sipërfaqësore të rrethit Përdoren për paraqitjen grafikë të dy a më tepër dukurive masive.Rrethi mund të ndërtohet nëse rrespektohen rregullat e gjeometrisë(π=3,14). E rëndësishme e këtij diagrami është që cdo paraqitje grafike me anë të rrethit duhet të llogaritet rrezja e rrethit (r). Në bazë të formulës gjeometrike të rrethit, sipërfaqja e rrethit zgjidhet përmes formulës: S=r2

ndërsa rrezja e rrethit Viti 2006 S=450 S=r2x π ; 450=r2 x π ; r = √ ------ ; r =11,5 Viti 2007 S=1150 S=r2x π ; 1150=r2 x π ; r = √ ----- ; r =19,1 Viti 2008 S=1450 S=r2x π ; 1450=r2 x π ; r = √ ------ ; r =21,5

2006 2007 2008

Në bazë të llogaritjeve rezultojnë vlerat e rrezeve për 3 rrathë: 11,5 : 10 = 1,15 19,1 : 10 = 1,91 21,5 : 10 = 2,15 Pos si tërësi krahasuese grafet e formës së rrethit mund të paraqesin edhe strukturën e dy a më shumë dukurive statistikore . Pra paraqitjet e elementeve përbërëse të dukurisë masive në sipërfaqen e tërësishme të rrethit quhen DIAGRAME STRUKTURALE TË SIPËRFAQES SË RRETHIT Si bazë për llogaritjen e strukturës së elementeve të një dukurie masive statistikore shërben vëllimi i saj i barazuar me 100% e sipërfaqes së rrethit. Shembull: Struktura e mjeteve kryesore të disa ndërmarjeve ekonomike në Republikën e Maqedonisë, sipas periudhave kohore të viteve: 2006, 2007, 2008 dhe 2009.

Elementet Mjetet kryesore në mijë euro € Struktura në %

2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009

Mjetet kryesore Gjithsejt

100.000 200.000 300.000 400.000 100 100 100 100

Objektet ndërtimi 60.000 100.000 150.000 280.000 60 % 50 % 50 % 70 %

Pajisje 30.000 50.000 90.000 80.000 30 % 25 % 30 % 20 %

Të tjera 10.000 50.000 60.000 40.000 10 % 25% 20 % 10 %

Të gjindet shuma e përgjithshme e mjeteve kryesore dhe të paraqitet struktura e tyre në % për çdo vit. Të gjenden shkallët e sipërfaqes së rrethit duke shumëzuar numrin relativ të përqindjes, të secilit element të mjeteve kryesore me 3,6 %.

r=√(π=3,14) S

π

450

3,14

1150 3,14

1450 3,14

r= 11,5

r= 19,1

r=21,5


14 STATISTIKA

2006

216o

108 o

36o

2007

180o

90 o

90o

2008

180o

108 o

72o

2009

252o

72 o

36o

Nëse aplikohet metodologjia e llogaritjes, atëherë nga shembulli i analizauar do të fitohen këto rezultate: Llogaritja e rrethit në aspektin logjik: 216-180=36 o 108-90=18 o 90-36=54 o 54-18=36 o

ANALIZA STATISTIKORE

Kjo faze peson pas hulumtumeve te bera reth vrojtimit, permbledhjes, grupimit dhe paraqitjes grafike te

te dhenave te sistemuara.Mbështetet në zbatimin e metodava shkencore.Analiza rëndësi të veçantë ka,

sidomos në krahasimin e të dhënave dhe rezultateve kërkimore të dy e më tepër dukurive, në kohë dhe

hapsirë.

• Analiza statistikore varesisht nga karkateristikat e dukurive masive ne thelb dallohen si:

- Analiza statike (gjendja se si eshte dukuria)

- Analiza dinamike (zhvillimin e dukurise)

- Analiza reprezentative (mostra, anketa)

- Analiza regresive (raportet ne mes dukurive te ndryshme)

Rëndësia e madhësive absolute dhe relative

o Madhesit absolutejane tregues qe shprehin sasine e nje dukurie te caktuar te cilet

paraqesin baze per cdo hulumtim statistikor.

Madhesit absolute jane te dhena te fituara nga fazat paraprake te vrojtimit.

o Ato jane konkrete, ne forme te numrave dhe tregojne madhesine e tiparit te dukurise se

studiuar

o Madhesit absolute paraqiten si:

o Madhesi individuale (madhesia e dukurise ne kohe te caktuar) o

Madhesi te pergjithshme

o Madhesit relativeshprehin raportin ne mes te madhesise se nje treguesi ndaj

madhesise se treguesit tjeter

Për vitin 2006 360o : 100 = 3,6

60 x 3,6 = 216 o

30 x 3,6 = 108 o 10 x 3,6 = 36o

--------------------- 100 x 3,6 = 360 o

Për vitin 2007 360o : 100 = 3,6

50 x 3,6 = 180 o

25 x 3,6 = 90 o 25 x 3,6 = 90o

--------------------- 100 x 3,6 = 360 o

Për vitin 2008 360o : 100 = 3,6

50 x 3,6 = 180 o

30 x 3,6 = 108 o 20 x 3,6 = 72o

--------------------- 100 x 3,6 = 360

o

Për vitin 2009 360o : 100 = 3,6

70 x 3,6 = 252 o

20 x 3,6 = 72 o 10 x 3,6 = 36o

--------------------- 100 x 3,6 = 360

o


15 STATISTIKA

MADHËSITË MESATARE STATISTIKORE


16 STATISTIKA

Mesataret algjebrike(llagaritura): janë ato të cilat llogariten me ndihmën e formulave të caktuara matematikore, dhe të cilat gjatë llogaritjes përfshijnë të gjitha të dhënat të një serie statistikore. Quhen mesatare algjebrike sepse përllogaritjet e tyre bazohen në formulat algjebrike. Mesataret e pozicionitpërcaktohen varësisht nga pozita e tyre që kanë në serinë statistikore, respektivisht caktohen në mënyrë emperike prej vlerave konkrete të serisë statistikore. Mesataria aritmetike (hulumtimi i dukurive statistikore): perdorim me cilesor ka te serite homogjene(te ngjajshme) te njesive statistikore.

Mesatarja aritmetike e thjeshtë përfitohet në bazë të pjesëtimit të shumës së mbledhur të varianteve(të dhënave) individuale me numrin e tyre në tërësi.(numëruesi/emëruesi) ose shkurtimisht

Kjo formulë e shprehur me numra të një serie duket kështu:

P.Sh.Nëse kemi dhjetë(10) konteste ekonomike të paraqitura në një gjykatë, të shprehura në mijëra euro : X : 15,26,42,48,54,57,62,63,70,83.

Pra vlera emesatare e kontesteve ekonomike të paraqitura ësht 52 mijë euro.Mesatarja e fituar plotëson kushtet më parë të plotësuara, sepse ësht caktuar në mënyrë objektive dhe gjendet në mes të vlerës minimale (15) dhe vlerës maksimale(83) të serisë statistikore. 5

Mesatarja aritmetike e ponderuar - paraqet raportin e shumës së fituar si rezultat, nga shumëzimi i të dhënave me frekuencat e tyre, pjesëtuar me shumën e madhësive të frekuencave të varianteve të serisë.

P.Sh. Të dhënat e anketës së zbatuar mbi numrin mesatar të anëtarëve të familjeve në Kumanovë.(Sipas dendurive absolute)

Të dhënat numerike në tabelë prezantojnë 100 familje të anketuara në Kumanovë, përkrah numri i anëtarëve të familjes.


17 STATISTIKA

MESATARJA HARMONIKE Definohet si vlerë reciproke e mesatares aritmetike të vlerave reciproke të dukurive të caktuara. Mesatarja harmonike e thjeshtë – paraqet raportin në mes të varianteve dhe shumës së vlerave të tyre. E devijueshme – kur të dhënat nuk janë të grupuara përdoret mestarja e thjeshtë harmonike(4) sipas formulës:

Shembull Koha e harxhuar e 4 punëtorëve për prodhimin e secilit nga një njësi prodhimi është;

Nëse përdoret mesatarja e thjeshtë harmonike do të fitohet një mesatare e gabuar, sepse 79:4=19,75 minuta.Nga kjo mesatare do të rezultonin më tepër se 4 produkte:

0,68103 + 1,09722 + 1,10955 + 1,3908 = 4,2786

Nr. i anëtarëve të familjes(x)

Numri i familjeve (f) Gjithsej (x+f)

9 2 18

8 3 24

7 8 56

6 24 144

5 31 155

4 18 72

3 9 27

2 4 8

1 1 1

Gjithsej 100 505

Puntoret

Koha e harxhuar per njesi

I 29,0

II 18,0

III 17,8

IV 14,2

Gjithsej 79.0

=21,64


18 STATISTIKA

Mesatarja harmonike e ponderuar– në rastet kur të gjitha variantet e ndryshme të cilët nuk janë të një rëndësie të njejtë, atëherë sikurse llojet e tjera të mesatares përdoret mesatarja e ponderuar e cila llogaritet nvpërmjet formulës:

Të supozojmë: Nr. i banorëve dhe numri i banorëve në 1 km2 në katër vende është:

MESATARJA GJEOMETRIKE

Përdoret për llogaritjen e ritmit të mesatares të zhvillimit të dukurisë së analizuar. Metoda e mesatares gjeometrike përdoret kur seritë e të dhënave posedojnë vecori të progresionit gjeometrik ose kur kemi tregues relativ. përkatësisht formula e përgjithshme:

Territori Numri i banorëve në 1 km2

(X) Numri i banorëve

(f)

A 94 5.250,000

B 91 1.953,000

C 114 1.245,000

D 38 530,000

Gjithsej 8,978,000

P


19 STATISTIKA

1.Në bazë të të dhënave të gjindet mesorja dhe moda?

2.Të gjindet varijanca, devijimi standard, disperzioni dhe koeficienti i variancës?

X f X*f x-x (x-x)2 F(x-x)2

40 4 160 40-32.3 = 7.7 7.72 = 59.29 4*59.29 = 237.16

36 24 864 36-32.3 = 3.7 3.72 = 13.69 24*13.69 = 328.54

32 23 736 32-32.3 = -0.3 -0.32 = 0.09 23*0.09 = 2.07

18 8 144 18-32.3 = -14.3 -14.32 = -204.49 8*204.49 = 1635.92

126 59 1904

Mosha Nr i punëtorëve

18-22 15 15

22-26 18 33

26-30 22 55

30-34 14 69

34-38 12 81

38-42 20 101

Gjithsejt 101

15+18=33 33+22=55 55+14=69 69+12=81 81+20=101

Σfi-w1)


20 STATISTIKA

3.paraqiten ne menyre grafike keto te dhena ne tabele .

Viti Produkti shoqërorë

E ardhura kombëtare

Amortizimi

2001 650 450 80

2002 720 520 120

2003 450 350 60

2004 750 850 140

850 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50

2001 2002 2003 2004

80 60

120 140

520

720

Produkti shoqërorë

E ardhura kombëtare

Amortizimi


21 STATISTIKA

Fig.1 Paraqitja grafike e të dhënave

I N D E K S A T

shembulli:Investimet në fondet themelore të sektorit privat të zejtarisë në RM në periudhën 2003-2007 ka lëvizur në këtë drejtim

Viti Investimet Ib -In. Bazë Iv- In.vargor

2003 218067 100 /

2004 334678 153.47 153.47

2005 452024 207.28 135.06

2006 494378 226.70 109.36

2007 547248 250.95 110.69

Llogaritni Indeksat bazik nëse baza është viti 2003 dhe pastaj llogaritni indeksat zinxhir(vargor).

Indeksi bazik

Indeksi vargor(zinxhir)


22 STATISTIKA

Shembull.Të dhënat mbi donacionet të SHBA-ve në Kosovë gjat periudhës 1999 – 2005 janë dhënë në tabelën që vijon, të llogariten indeksat bazik ku për vit bazë merret

a) Viti 1999 b) Viti 2003 c) Viti 2005

Si dhe të gjendet indeksi zinxhir.

Viti Shuma Ib -1999 Ib -2003 Ib -2005 Iv

1999 120.125 100 306.36 546.02 /

2000 75.010 62.44 191.30 340.95 62.44

2001 95.000 79.08 242.28 431.81 126.64

2002 21.000 17.48 53.55 95.45 22.10

2003 39.210 32.64 100 178.22 186.71

2004 25.000 20.81 63.75 113.63 63.75

2005 22.000 18.31 56.10 100 88

a) Viti 1999

b) Viti 2003

c) Viti 2005

Indeksi zinxhir (vargor)


23 STATISTIKA

Shembull.Të llogaritet indeksi individual dhe grupor të vëllimit fizik ku si bazë të merret viti 2005

Viti Produkti

A Produkti

B Produkti

C Produkti

D

2005 420 220 360 540

2006 340 440 380 480

2007 540 380 420 620

2008 620 520 280 38

Çmimet

Produkti A

Produkti B

Produkti C

Produkti D

220 180 160 240

180 140 180 220

320 220 240 180

240 240 140 140

Viti Produkti

A Produkti

B Produkti

C Produkti

D

2005 100 100 100 100

2006 80,95 200 105,5 88,88

2007 128,5 172,7 116,6 114,8

2008 147,6 236,3 77,77 70,37

ÇMIMET

Produkti A

Produkti B

Produkti C

Produkti D

Produkti A

Produkti B

Produkti C

Produkti D

Produkti A

2005420 220 = 92400

2006 340 220 = 74800

2007 540 220 =118000

2008 620 220 = 136400

Produkti B

2005 220 = 33000

2006 440 150 = 66000

2007 380 150 =57000

2008 520 150 = 78000

Produkti C

2005 360 160 = 57600

2006 380 160 = 60800

2007 420 160 =67200

2008 280 160 = 48000

Produkti D

2005 540 240 = 129600

2006 480 240 = 115200

2007 620 240 = 148800

2008 380 240 = 91200


24 STATISTIKA

A + B + C + D = 92400 + 33000 + 37800 + 129600 = 312600 74800 + 66000 +60800 + 115200 = 316800 118000 + 57000 + 67200 + 148800 = 391800 136400 + 78000 + 48000 + 91200 = 345600 Shembull. Të bëhet llogaritja e vlerave të produkteve të dhëna në tabelë, të llogariten indekset individuale të vlerës sipas produkteve dhe të llogariten indekset grupor për katër produktet.

Produktet

Produktet e realizuara Çmimet në kg

2005 2006 2007 2008 2005 2006 2007 2008

q0 q1 q2 q3 p0 p1 p2 p3

A 20 18 19 22 20 16 24 22

B 14 16 13 19 35 18 22 16

C 18 13 18 14 38 19 18 24

D 16 12 22 16 42 22 14 28

Produktet 2005 q0 p0

2006 q1 p1

2007 q2 p2

2008 q3 p3

A 400 288 456 489

B 490 288 286 304

C 684 247 324 336

D 672 264 308 448

2246 1087 1374 1572

92400 33000 57600 129600 312600

74800 66000 60800 115200 316800

118000 57000 67200 148800 391800

136400 78000 48000 91200 345600

VITI 2006

VITI 2007

VITI 2008

q0 p0

A q0 p0 = 20

B q0 p0 = 14

C q0 p0 = 18

D q0 p0 = 16

q2 p2

A q2 p2 = 19

B q2 p2 = 13

C q2 p2 = 18

D q2 p2 = 16

q1 p1

A q1 p1 = 18

B q1 p1 = 16

C q1 p1 = 13

D q1 p1 = 12

q3 p3

A q3 p3 = 22

B q3 p3 = 19

C q3 p3 = 14

D q3 p3 = 16

Produkti A

Produkti B

Produkti C

Produkti D


25 STATISTIKA

TRENDI LINEAR

Shembull.1

Viti y1 x1 x x1 2 yc

2001 12 0 0 0 8.8

2002 10 1 10 1 13.4

2003 18 2 36 4 18.8

2004 20 3 60 9 22.6

2005 30 4 120 16 27.2

90 10 226 30

n - numri i viteve

y = na + b x

x y = a x + b x2

90 = 5a + 10b

226 = 10a + 30b / : -2

-23 = 0 - 5b

b =

b = 4.6

90 = 5a + 10b

90 = 5a 10 4.6

90 = 5a + 4.6

a = (-1)

a =

a =

a = 8.8

yc/2001 = a + bx

yc/2002 = 8.8 4.6 0 = 8.8

yc/2003 = 8.8 4.6 1 = 13.4

yc/2004 = 8.8 4.6 2 = 18.8

yc/2005 = 8.8 4.6 3 = 22.6

yc/2006 = 8.8 4.6 4 = 27.2

35 30 25 20 15

dukuria

trendi


26 STATISTIKA

27

27 STATISTIKA

Shembull.2

Viti y1 x1 x x1 2 yc

2001 8 0 0 0 8.4

2002 12 1 12 1 11.4

2003 16 2 32 4 14.4

2004 14 3 48 9 17.4

2005 22 4 88 16 20.4

72 10 174 90

y = na + b x x y = a x + b x2

72 = 5a + 10b 174 = 10a + 30b / : - 2

-15 = 0 - 5b

5b = 15

b =

b =5

72 = 5a + 10b

72 = 5a 10 3

72 = 5a + 30

-a =

(-1)

a =

a =

a = 8.4

yc/2001 = a + bx

yc/2002 = 8.4 3 0 = 8.4

yc/2003 = 8.4 3 1 = 11.4

yc/2004 = 8.4 3 2 = 14.4

yc/2005 = 8.4 3 3 = 17.4

yc/2006 = 8.4 3 4 = 20.4

25 20 15 10 5

Fig.3 Paraqitja grafike e trendit linear

2001 2002 2003 2004 2005

dukuria

trendi

28

28 STATISTIKA

ANALIZA DINAMIKE

Viti seria e të dhënave

3 të dhëna 5 të dhëna

1991 55 - -

1992 58 56.3 -

1993 56 58.3 58.6

1994 61 60 59.6

1995 63 61 -

1996 60 - -

m1 =

m1 =

m1 =

m1 =

m1 =

m1 =

m1 =

m1 =

m1 =

Fig.4 Paraqitja grafike

1991 1992 1993 1994 1995 1996

65 60 55 50

te dhenat

me 3 te dhena

me 5 te dhena

29

29 STATISTIKA

TRENDI I PARABOLLËS

Shembull.1

Viti Të

dhënat y1

Shenjat e periudhës

x1 x1 2

x

X3

X2 y

X4 yc

2001 9 -2 4 -18 -8 36 16 8.6

2002 14 -1 1 -14 -1 14 1 15.9

2003 22 0 0 0 0 0 0 18.8

2004 15 1 1 15 1 15 1 17.3

2005 12 2 4 24 8 48 16 11.4

72 0 10 7 0 113 34 -

Muajt Seritë sipas viteve

Gjithsej Mesatarja mujore(xi)

Indekset stinore 2000 2001 2002

1 2 3 4 5 6 7

I 108 102 120 330 110.0 88.0 II 102 100 115 317 105.7 84.6 III 113 109 135 357 119.0 95.2 IV 124 119 160 403 134.3 107.5 V 155 135 175 465 155.0 124.0 VI 164 138 171 473 157.7 126.2 VII 154 140 162 456 152.0 121.6 VIII 141 132 134 407 135.7 108.6 IX 118 140 112 344 114.7 91.8 X 112 107 110 329 109.7 87.8 XI 90 100 106 296 98.7 79.0 XII 95 105 122 322 107.2 85.8

1476 1401 1622 4499:36 = 124.98

1499.7:12 = 124.98

-

y = na + b x+c x2

x y = a x +b x2+c x

3

x2 y = a x

2 + b x

3+c

x4

72 = 5a + 0b+10c

7 = 0a +10b+0c

113 = 10a + 0b+34c /:-2

72 = 5a + 0b +10c

-56.5 = -5a - 0b -17c

15.5 = -7c

72 = 5a + 0b+10c

72 = 5a + 0b +10 (-2.2)

-a =

-a = -18.8 / (-1)

a = 18.8

7 = 0a +10b+0c

7 = 0 18.8 +10b+0 (-2.2)

7 = 0 +10b+0

- b = / (-1)

b = 0.7

30

30 STATISTIKA

yc= a + bx-cx2

yc/2001 = 18.8+0.7 (-2) (-2.2) 4

yc/2001 = 18.8 - 1.4 - (-8.8)

yc/2001 = 18.8 - 8.8 - 1.4

yc/2001 = 8.6

yc/2003 = 18.8+0.7 0 (-2.2) 0

yc/2003 = 18.8

yc/2002 = 18.8+0.7 (-1) (-2.2) 1

yc/2002 = 18.8 – 0.7 – 2.2

yc/2002 = 15.9

yc/2004 = 18.8+0.7 0 (-2.2) 0

yc/2004 = 18.8 – 0.7 – 2.2

yc/2004 = 17.3

yc/2005 = 18.8+0.7 2 (-2.2) 4

yc/2005 = 18.8 – 1.4– 8.8

yc/2005 = 11.4

Fig.2 Paraqitja grafike e trendit te parabolles

2001 2002 2003 2004 2005

25 20 15 10 5

Te dhenat

Trendi i parabolles

31

31 STATISTIKA

Në bazë të të dhënave të gjindet mesatarja aritmetike, moda e serisë, të bëhet llogaritja e sakt e asimetrisë(momenti i tretë), devijimi standard dhe të bëhet paraqitja grafike, grupi prej 40 studentëve ka arritur këtë sukses.

Notat

(x)

Numri i studentëv

e (y)

fi xi x-x (x-x)2 (x-x)3 fi (x-x)2 fi (x-x)2

5 5 (fm1) 25 -2.35 5.52 -12.97 27.6 -64.85

6 12 72 -1.35 1.82 -2.45 21.84 -29.4

7 6 (fm2) 42 -0.35 0.12 -0.042 0.72 -0.252

8 4 32 0.65 0.42 0.273 1.68 28.39

9 7 63 1.65 2.72 4.488 19.04 31.41

10 6 60 2.65 7.02 18.603 42.12 111.6

40 294 0.9 17.62 7.092 113 76.89

x y = fi xi

5 5 = 25

6 12 = 72 7 6 = 42 8 4 = 32 9 7 = 63 10 6 = 60

Mesatarja aritmetike MODA

Mo = 6+0

Mo = Mo 3.23

(x – x)2

(-2.35) (-2.35) = 5.52

(-1.35) (-1.35) = 1.82

(-0.35) (-0.35) = 0.12

0.65 0.65 = 0.42

1.65 1.65 = 2.72

2.65 2.65 = 7.02

fi (x – x)3

5 (-12.97) = -64.85

12 (-2.45) = -29.4

6 (-0.042) = -0.252

4 0.273 = 28.39

7 4.488 = 31.41

6 18.603 = 111.6

(x – x)3

5.52 (-2.35) = -12.97

1.82 (-1.35) = -2.45

0.12 (-0.35) = -0.042

0.42 0.65 = 0.273

2.72 1.65 = 4.488

7.02 2.65 = 18.603

x - x 5 - 7.35 = -2.35 6 - 7.35 = -1.35 7 - 7.35 = -0.35 8 - 7.35 = 0.65 9 - 7.35 = 1.65 10 - 7.35 = 2.65

fi (x – x)2

5 5.52 = 27.6

12 1.82 = 21.84

6 0.12 = 0.72

4 0.42 = 1.08

7 2.72 = 19.04

6 7.02 = 42.12

VARIANCA

2 =

DEVIJIMI STANDARD

=

32

32 STATISTIKA

a3 =

a3

a3= 0.40

m3 =

=1.92

m3

= 1.92

Fig.2 Paraqitja grafike

5 6 7 8 9 10 Nota

15 10 5

Nr i studenteve

33

33 STATISTIKA

PYETJE DHE DETYRA 1.Të gjindet varijanca, devijimi standard, disperzioni dhe koeficienti i variancës?

x f x f x - ẋ (x - ẋ) 2 f (x - ẋ) 2

32 12 384 32- 32.25 = -0.25

0.0625 0.75

25 11 275 25 - 32.25 = -7.25

52.5625 578.188

38 9 342 38 - 32.25 = 5.75

33.0625 297.563

36 8 288 36 - 32.25 = 3.75

14.0625 112.5

40 1289 2 99.75 989

2. Të gjindet varijanca, devijimi standard, disperzioni dhe koeficienti i variancës?

x f x f x - ẋ (x - ẋ) 2 f (x - ẋ) 2

25 12 300 -4.4 19.36 232.32

32 11 352 2.6 6.76 74.36

29 9 261 -0.4 0.16 1.44

33 8 264 3.6 12.96 103.68

40 1177 1.4 39.24 411.8

MESATARJA ARITMETIKE

VARIANCA

DEVIJIMI STANDARD

DISPERZIONI

KOEFICIENTI I VARIACIONIT

MESATARJA AJITMETIKE

VARIANCA

DEVIJIMI STANDARD

DISPERZIONI

KOEFICIENTI I VARIACIONIT

34

34 STATISTIKA

3. Të bëhet llogaritja e vlerave të produkteve të dhëna në tabelë, të llogariten indekset individuale të vlerës sipas produkteve dhe të llogariten indekset grupor për katër produktet.

Produktet

Produktet e realizuara

Çmimet në kg

2008 2009 2008 2009

q0 q1 p0 p1

A 50 60 80 90

B 60 55 50 60

C 60 55 50 60

Produktet 2008 p1

q0

2009 q0 q1

2008 q1 p0

2008 p0

q0

2009 P1

q1

A 4500 3000 4800 4000 5400

B 3600 3300 2750 3000 3300

C 3600 3300 2750 3000 3300

11700 9600 10300 10000 12000

Indeksi i Laspajerit

35

35 STATISTIKA

4.Në bazë të të dhënave të gjindet mesorja dhe moda?

Mesi i intervalit

ẋ= = 4000

ẋ= = 6000

ẋ= = 8000

ẋ= = 10000

Paga (xi) Nr i

punëtorëve (fi)

Kumulativi Mesi i

intervalit

(ẋ) ẋ fi

Deri 3000 4 4 3000 12000

3000 – 5000 fm1 5 9 Ë1 4000 20000

5000 – 7000 X1 x2

fm2 7 16 ë2 6000 42000

7000 – 9000 fm3 3 19 8000 24000

9000 - 11000 6 25 10000 60000

Gjithsejt 25 158000

MODA

MESORJA

36

36 STATISTIKA

5.Në bazë të të dhënave në vijim të llogaritet trendi linear dhe të bëhet paraqitja grafike ?

Viti Të dhënat (investime

t) yi

Shenjat e

periudhës xi

x xi 2

yc

2004 35 0 0 0 34.8

2005 40 1 40 1 37.8

2006 38 2 76 4 40.8

2007 42 3 126 9 43.8

2008 49 4 196 16 46.8

204 10 438 30

n - numri i viteve

y = na + b x

x y = a x + b x2

204 = 5a + 10b

438 = 10a + 30b /: -2

-15 = 0 - 5b

-b = / (-1)

b = 3

204 = 5a + 10b

204 = 5a 10 3

204 = 5a + 30

a =

a =

a = 34.8

yc = a + bx

yc = 8.8 3 0 = 34.8

yc = 8.8 3 1 = 37.8

yc = 8.8 3 2 = 40.8

yc = 8.8 3 3 = 43.8

yc = 8.8 3 4 = 46.8

2001 2002 2003 2004 2005

35 30 25 20 15 10 5

dukuria

trendi

Fig.2 Paraqitja grafike e trendit linear

37

37 STATISTIKA

6.Në bazë të të dhënave në vijim të llogaritet trendi linear dhe të bëhet paraqitja grafike ?

Viti Të

dhënat yi

Shenjat e periudhës

xi x x 2 X3 X4

X2 y

yc

2004 8 -2 -16 4 -8 16 32 7.4

2005 12 -1 -12 1 -1 1 12 15.2

2006 22 0 0 0 0 0 0 18.6

2007 11 1 11 1 1 1 11 19.6

2008 7 2 14 4 8 16 28 18.2

60 0 -3 10 0 34 83 78.6

y = na + b x+c x2

x y = a x +b x2+c

x3

x2 y = a x

2 + b x

3+c

x4

60 = 5a + 0+10c

-3 = 0 +10b+0

83= 10a + 0b+34c /:-2

60 = 5a + 0 +10c

-41.5 = -5a - 0 -17c

18.5 = -7c

c =

c = -2.6

60 = 5a + 0+10c

60 = 5a + 10 (-2.6)

60 = 5a - 26

-a =

-a = -17.2 / (-1)

a = 17.2

-3 = 0 +10b+0

-3 = 10b

b =

b = - 0.3

yc= a + bx-cx2

yc/2004 = 17.2+ (-2) (-0.3) (-2.6)

4

yc/2004 = 17.2+0.6-10.4

yc/2004 = 7.4

yc/2006 = 17.2+(-1) (-0.3) (-2.6)

1

yc/2006 = 17.2+0.3 2.6

yc/2006 = 14.9

yc/2005 = 17.2+0 (-0.3) (-2.6) 0

yc/2005 = 17.2

yc/2007 = 17.2+1 (-0.3) (-2.6) 1

yc/2007 = 17.2– 0.3 – 2.6

yc/2007 = 14.3

yc/2008 = 17.2+ 2 (-0.3) (-2.6) 4

yc/2008 = 17.2–0.6– 10.4

yc/2008 = 6.2

38

38 STATISTIKA

Metoda e trendit- Trendiështë tendenca zhvillimore e dukurisë në kuadër të periudhës së vështruar.

Trendi shpreh nivelin mesatar të ecurisë së dukurisë për periudhën e vrojtuar

Vija e trendit duhet të eliminoj variacionet nga seria kohore dhe të shpreh lëvizjen mesatare, gjegjësisht tendencën e përgjithshme të zhvillimit të dukurisë

Modeli i trendit shprehet përmes funksionit të caktuar matematikor dhe mund të jetë linear,parabollikdhe eksponencial. Trendi lineari përgjigjet më së miri të dhënave ku dallimet në mes të anëtarëve të serisë janë përafërsisht të barabartë. Yc= a + bx Trendi i parabollëszgjedhet atëherë nëse vlerat absolute të ndryshimeve të dyta (ndryshimet e ndryshimeve të para) janë përafërsisht të barabarta. Funksioni i tij është: Yc = a+bx+cx2

Fig.2 Paraqitja grafike e trendit te parabolles

2001 2002 2003 2004 2005

25 20 15 10 5

Te dhenat

Trendi i parabolles

39

39 STATISTIKA

TRENDI I PARABOLLËS

TRENDI I PARABOLLES- Y=a+bx+cx2.

Mirepo per ti tjeshtuar llogaritjet kemi edhe metoden me thjseshtime ku periudha 0 gjindet ne mes te seris kohore. Dhe athere kemi te bejem me gjetjen e parametrave ne menyre direkte.