Squashed 3-sphere 上の四つの超対称性を持つ理論に関して横山 大輔 / 東京工業大学 @ KEK理論研究会2012　5 - 7 March 2012共同研究者：今村 洋介 / 東京工業大学Based on Phys. Rev. D85 (2012) 025015 [arXiv:1109.4734]

近年、分配関数やSuperconformal indexなどをExactに計算する技術が発達し、双対性などの確認に大きな進展があった。さらに、４次元のindexを３次元に還元する操作から、３次元では背景空間のdeformation parameterに依存した分配関数が得られる事が分かってきた。そこで我々はこの様な分配関数を再現する理論の構築を試みた。曲がった空間上での超対称性を実現するのは一般には簡単ではないが、我々はbiaxially

squashと呼ばれるround の１ parameter deformationされた空間上で、 ３次元 　(4 SUSY) の超対称性をもつ理論を構築し、この理論に対する分配関数を与える公式を導出した。また、分配関数をlarge N limitで評価し、例えばABJM modelに対してはdeformationされていないparameter値で通常のABJM modelの自由エネルギーを再現する事を確認した。

Introduction & Motivation

Conclusions我々は3次元squashed sphere上で の超対称性を持つ理論を構築し、その分配関数を求める公式を与えた。また、large N limitで分配関数を評価し、それが重力側から期待されるN依存性を持つ事を確かめた。Comment : 最近、MartelliとSparksによって上で求めた理論に対する重力解が発見され、分配関数が large N の leading で一致する事が確かめられた。[arXiv:1111.6930]

Squashed 上でのSUSYの実現４次元からの通常のreductionは超対称性を壊さない、しかし通常の方法だとsquashが生まれない。以下ではsquashを生むtwisted compactificationの方法を紹介する。

�

�

x4

x4

�

�

u�

r

�g, x4

��

�g, x4 + �

�

�g, x4

��

�g exp

�2u

r�TR

3

�, x4 + �

�

ds2 = r2�(µ1)2 + (µ2)2 + (µ3)2

�+

�dx4

�2

�g�, x4

�=

�g exp

���(x4)T3

�, x4

�, �(x4) =

2u

rx4

g�1dg = e��T3�g��1dg�

�e�T3 +

2u

rdx4T3

ds2 = r2

�(µ�1)2 + (µ�2)2 +

1v2

(µ�3)2�

+ v2�dx4 + V

�2

V =ru

v2µ�3 =

u

ve�3gMN =

�gmn Vm

Vn v2

�

�1 �2 �3 �4 �1 �2 �3 �4R 1 1 1 1 �1 �1 �1 �1TL

3 � i2

i2 0 0 i

2 � i2 0 0

TR3 0 0 � i

2i2 0 0 i

2 � i2

D = �r�412

12 � 1

2 � 12 � 1

2 � 12

12

12

R0(�) = 0, R0(�) = R0(�) = �1, R0(�) = R0(�) = +1

O� = �

O = qD� 12 R0�2uT R

3 q = e��

S3 � Rを考える

通常は 方向に対して 方向は変えずに上下を同一視するが、ひねって同一視する事を考える。

µ1 = cos �µ�1 � sin�µ�2

µ2 = sin�µ�1 + cos �µ�2

µ3 = µ�3 +u

rdx4

S3方向

ひねった同一視が通常の同一視の様に見えるように座標変換を行う

上記の座標変換によるleft invariant 1-formの変化を見ると

分配関数の公式とLarge N limit上で求めた理論に対する分配関数の公式を与える。

Z =�

d�0e�Scl(�0)Z1�loop(�0)

Z1�loopvector (�0) =

�

��G

sb

�r�(�0)� i

v

�

Z1�loopchiral (�0) = 1

� �

��Rsb

�r�(�0)� i(1��)

v

�

sb (x) =��

p,q=0

bp + b�1q + b+b�1

2 � ix

bp + b�1q + b+b�1

2 + ixb =

1 + iu

v

B1,2

A1,2

U(N)k U(N)�k

上記の公式からABJM modelに対応する理論の分配関数を求め、large N 極限で評価すると

F =�

2k

3�N3/2 1

v2 Squash による効果

ここで、 はdouble sine 関数と呼ばれる無限積で定義される関数である。

ABJM model の

free energy

Squash されている！

同時に graviphoton

が作り出される

上記のtwisted reductionによってどれだけの超対称性が残るかを見る。

Squashとは字の如く、押しつぶしたという意味で、ここで考えるbiaxially squashed

は３次元の球体を一方向に押しつぶした、もしくは引き延ばしたものである。まず、ここで の記述に使うLeft invariant 1-formについてまとめる。

Squashとは？

[Ta, Tb] = ��abcTc

g�1dg = 2µaTa (Ta =i

2�a · · · anti-Hermite)

g � SU(2)

g = e�T3e�T2e�T3

µ1 =12

(� sin�d� + cos � sin �d�)

µ2 =12

(cos �d� + sin� sin �d�)

µ3 =12

(d� + cos �d�)

ds2 = r2�(µ1)2 + (µ2)2 + (µ3)2

�� ea = rµa

=r2

4

�d�2 + sin2 �d�2 + (d� + cos �d�)2

�

ds2 = r2��

µ1�2 +

�µ2

�2 +�µ3

�2�1

v2

Squashed された空間の計量は以下の様に記述される。

Round の計量

４次元の理論として superconformal 理論を考える。ただし、ひねりによって境界条件が変わる事に気をつけなければならない。以下にはこの条件によって残る超対称性を橙色で表示した。

計量と境界条件が分かったので、後は４次元からのreductionで超対称変換も作用も求められる。

L(4d)YM = L(4d)

A + L(4d)� � 1

2trD2, L(4d)

chiral = L(4d)� + L(4d)

� � F †F

L� = ��†DmDm� + �†��� + �†D�� �2 � 2�r2

�†� +2i(�� 1)

r�†��

+u

vfm

��i�†�Dm�� i�†Dm(��) +

2(�� 1)r

�†Dm�

�

L� = �(��mDm�) +i

2vr(��)�

��

i(�� ir�)vr

(1 + iuf\)��

��

2�†(��)��

2(��)�

LA =12

tr(F (�)bm F (�)

bm )

L� = tr����mDm� +

i

2vr��� 1

v�(1 + iuf\)[�,�]

�F (±)

bm =12� bmbpbqFbpbq +

u

vf bp� bmbpbnDbn� ± 1

vD bm�

LCS = trCS

�i

2�mnp

�Am�nAp �

2i

3AmAnAp

�

+ (��)� 1vD� +

i

vr�2 � iu

2v��mnpfmFnp

�

LFI = � trFI

�D � 2i

r� +

2ui

vrfmAm

�

N = 2

S3

S3

S3

S3x4

N = 1

N = 2

S3

Scl(�0) =2�2ir2

v2trCS(�2

0) +4�2ir2

vtrFI(�0)

Round S3

Squashed S3

�� =�

2(��)

�� = ��

2�m�Dm� +�

2v

(1� iuf\)��� +�

2�F +�

2�i

vr(1� iuf\)��

超対称変換則（代表的なもの）

作用

SU(2)L � SU(2)R

SU(2)L � SU(2)R

Sb(x)

S3