• Sous-espaces de Rn:– Définition;– Sous-espaces associés à une matrice;– Bases;– Coordonnées;– Dimension;– Rang.
Rappel...
Aujourd’hui
• Déterminants:– définition;– propriétés;– règle de Cramer;– calcul de l’inverse d’une matrice;– aire et volume;– transformations linéaires.
9. Déterminants
• Aujourd’hui, on étudie surtout les « petits » déterminants.
• Matlab: det(A)
Définition du déterminant
Pour n, le déterminant d’une matrice nnA = [aij] est la somme des n termes de la forme a1jdetA1j, avec les signes plus et moins en alternance et où les éléments a11, a12, ... , a1n forment la première ligne de A.
Définition du déterminant (suite)
De façon symbolique, on écrit:
detA = a11detA11 - a12detA12+ … +(-1)1+na1ndetA1n
jj
n
j
j AaA 111
1 det)1(det
Notation
det(A)
detA
|A|
Calcul d’un déterminant
Le déterminant d’une matrice nn A peut être calculé par une expansion en cofacteur le long de toute ligne ou de toute colonne.
Soit Cij = (-1)i+jdetAij, le cofacteur-(i, j) de la matrice A. L’expansion le long de la i-ième ligne est donnée par:
detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin
Calcul d’un déterminant (suite)
L’expansion le long de la j-ième colonne est donnée par:
detA = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj
Que fait un ordinateur?
Pour calculer le déterminant d’une matrice 2525 selon la méthode de l’expansion en cofacteurs, il faut 25! (1.551025) opérations.
1000 Gflops 500000 ans!!!!
Il existe des méthodes plus efficaces (heureusement!)
Déterminant d’une matrice triangulaire
Si A est une matrice triangulaire, alors det A est le produit des éléments de la diagonale principale de A.
Opérations sur les lignes
Soit A une matrice carrée.
a. Si un multiple d’une ligne de A est additionné à une autre ligne pour produire une matrice B, alors det B = det A.
b. Si deux lignes de A sont permutées pour produire B, alors det B = -det A.
c. Si une ligne de A est multipliée par k pour produire B, alors detB = kdetA.
A ~ U
detA = (-1)rdetU
Donc,
detA = (-1)r (produits des pivots de U), si A est inversible.
detA = 0, si A n’est pas inversible.
Ordinateurs
• Les ordinateurs utilisent la méthode précédente.
• 2n3/3 opérations.
• Matrice 2525: 10 kflops.
Matrices inversibles et déterminants
Une matrice carrée A est inversible si et seulement si det A 0.
Déterminant de la transposée d’une matrice
Si A est une matrice n n, alors det AT = det A.
Déterminant d’un produit de matrices
Si A et B sont des matrices n n, alorsdet AB = (det A)(det B).
ATTENTION!
det(A+B) detA + detB
Règle de Cramer
Soit A une matrice réversible n n. Pour toutb Rn, l’unique solution x du système Ax = b est donnée par
où Ai(b) = [a1, … ai-1, b, ai+1, …, an].
niA
Ax i
i ,,2,1,det
)(det
b
Formule pour calculer l’inverse d’une matrice
Soit A une matrice n n inversible. Alors
AA
A adjdet
11
Matrice adjointe
La matrice adjointe de la matrice A est la transposée de la matrice des cofacteurs.
nnnn
n
n
CCC
CC
CCC
A
21
212
12111
adj
Calcul de l’aire et du volume avec des déterminants
Si A est une matrice 22, l’aire du parallélogramme déterminé par les colonnes de A est |det A|.
Si A est une matrice 33, le volume du parallélépipède déterminé par les colonnes de A est |det A|.
Matrice diagonale 22
y
x(a, 0)
(0, d)
Aire = |ad|
C’est vrai.
Matrice 22
ca1
a2 + ca1
a2 a2 + L
L
a1 0
Exemple
(-7, -4)
(-5, 1)
(-1, 3)
(-3, -2)
(6, 7)
(0,0)
(2,5)
(4, 2)
Transformations linéaires et calcul de l’aire
Soit T : R2R2 une transformation linéaire déterminée par une matrice A 2 2. Si S est un parallélogramme dans R2 alors
{aire de T(S)} = |det A|{aire de S}
Transformations linéaires et calcul du volume
Soit T : R3R3 une transformation linéaire déterminée par une matrice A 3 3. Si S est un parallélépipède dans R3 alors
{volume de T(S)} = |det A|{volume de S}
Prochain cours...
• Valeurs propres et vecteurs propres.
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