SOLUSI PENYISIHAN SMA
1. Empat pasang suami-isteri membeli karcis untuk 8 kursi sebaris pada suatu pertunjukkan. Dua
orang akan duduk bersebelahan hanya kalau keduanya pasangan suami isteri atau berjenis
kelamin sama. Banyaknya cara menempatkan keempat pasang suami-isteri ke 8 kursi tersebut
adalah β¦
a. 716 d. 818
b. 718 e. 820
c. 816
Solusi:
Misal S = suami dan I = isteri
Kemungkinan susunannya adalah:
a. SIISSIIS atau ISSIISSI
Karena yang berdekatan haruslah pasangan suami isteri maka kasus ini seolah-olah
menempatkan 4 pasangan suami isteri dalam 4 tempat. Banyaknya cara = 2 . 4P4 = 48
b. SIISSSII atau ISSIIISS
Karena ada 3 pasang kursi yang harus diisi 3 pasang suami isteri maka banyaknya cara
menyusun = 2 β 4C3 β 3! = 48
c. SSIISSII atau IISSIISS
Kasus ini sama dengan (a). Banyaknya cara adalah 48.
d. SIIISSSI atau ISSSIIIS
Karena ada 3 pasang kursi yang harus diisi 3 pasang suami isteri maka banyaknya cara
adalah 2 β 4 β 3! = 48
e. SSIIISSI atau IISSSIIS
Kasus ini sama dengan (c). Banyaknya cara ada 48 cara.
f. SIIIISSS atau ISSSSIII
Ada 2 pasang kursi yang harus diisi oleh 2 pasang suami isteri. Banyaknya cara = 4C2 β
2!. Empat kursi lain terdiri dari 2 kursi diisi oleh 2 perempuan dan 2 kursi lainnya diisi
2 lelaki. Maka banyaknya cara = 2 β (4C2 β 2!) β 2! β 2! = 96
g. SSIIIISS atau IISSSSII
Soal ini mirip dengan bagian (f). Banyaknya cara ada 96.
h. SSSIIIIS atau IIISSSSI
Soal ini juga mirip dengan bagian (f). Banyaknya cara ada 96.
i. SSSSIIII atau IIIISSSS
Pasangan yang di tengah dipilih dari 4 pasangan yang lain.
Maka banyaknya cara = 2 β 4 β 3! β 3! = 288
Maka banyaknya cara = 48 + 48 + 48 + 48 + 48 + 96 + 96 + 96 + 288 = 816 cara
β΄ Jadi, banyaknya cara menempatkan keempat pasang suami isteri ke-8 kursi adalah 816.
2. Nilai dari log(tan 1Β°) + log(tan 2Β°) + log(tan 3Β°) + β― + log(tan 89Β°) adalah β¦
a.Β½ d. β
b. 1 e. β3
c. 0
Solusi:
Perhatikan bahwa,
tan 1Β° =1
tan 89Β° , tan 2Β° =1
tan 88Β° , tan 3Β° =1
tan 87Β° , β¦ tan 44Β° =1
tan 46Β°
tan 1Β° Γ tan 89Β° = tan 2Β° Γ tan 88Β° = tan 3Β° Γ tan 87Β° = β― = tan 45Β°
= tan 44Β° Γ tan 46Β° = 1
Kemudian menggunakan sifat logaritma, diperoleh
Log(tan 1Β°) + log(tan 2Β°) + log(tan 3Β°) + β― + log(tan 89Β°) = log(tan 1Β° Γ tan 2Β° Γ
tan 3Β° Γ β¦ tan 89Β°)
= πππ(1)
= 0
3. Sebuah lingkaran, sebuah segitiga sama sisi, dan sebuah persegi memiliki keliling π. Di antara
ketiga bangun tersebut, urutan yang paling benar luasnya dari yang terbersar hingga yang
terkecil adalah ...
a. Segitiga, Lingkaran, Persegi
b. Persegi, Lingkaran, Segitiga
c. Persegi, Segitiga, Lingkaran
d. Lingkaran, Segitaga, Persegi
e. Lingkaran, Persegi, Segitiga
Solusi:
Keliling masing-masing bangun adalah π
Untuk segitiga 3π = π β π =π
3 maka πΏπ ππππ‘πππ =
1
2π 2 sin(60Β°) =
1
36β3π 2
Untuk lingkaran 2ππ = π β π =π
2π maka πΏπππππππππ =
π2
4π
Untuk persegi 4π = π β π =π
4 maka πΏππππ πππ =
π2
16
Karena π = 3.12 < 4 dan β3 < 2 sehingga
1
4π>
1
16>
1
18
β΄ Urutan yang benar adalah Lingkaran, Persegi, Segitiga
4. Jika fungsi π(π₯) = cos ππ₯ + sin ππ₯ memenuhi πβ²(0) = π dan πβ² (π
2) = β1, maka π + π =
β―
a. 10 d. 4
b. -4 e. 22
c. 0
Solusi:
π(π₯) = cos ππ₯ + sin ππ₯
πβ²(π₯) = βπ sin ππ₯ + π cos ππ₯
πβ²(0) = βπ sin π(0) + π cos π(0) = π
Kemungkinan untuk nilai π dan π adalah 0,1,2, 3.
πβ² (π
2) = βπ sin π (
π
2) + π cos π (
π
2) = β1
Kemungkinan nilai π yang memenuhi hanya π = 1.
Oleh karena π cos π (π
2) menghasilkan 0, maka nilai yang memenuhi hanya 1 dan 3.
3 cos 3 (π
2) = 0 dan 1 cos 1 (
π
2) = 0
Jadi, nilai π yang memenuhi adalah 1 dan nilai π yang memenuhi adalah 1 dan 3.
Maka,
Untuk π = 1 dan π = 1
π + π = 1 + 1 = 2 (tidak ada pilihan)
Untuk π = 1dan π = 3
π + π = 1 + 3 = 4
5. Misalkan x, y, z tiga bilangan asli berbeda. Faktor persekutuan terbesar ketiganya adalah
12, sedangkan kelipatannya persekutuan terkecil ketiganya adalah 840. Nilai terbesar bagi
x + y + z adalah β¦
a. 1280 d. 1286
b. 1282 e. 1288
c. 1284
Solusi:
Karena faktor persekutuan terbesar dari x, y, z adalah 12, maka x, y, z akan berbentuk x =
12a, y = 12b dan z = 12c dengan a, b dan c adalah bilangan bulat FPB(a, b, c) = 1 Dan
karena 840 : 12 = 70, maka a, b dan c masing-masing harus faktor dari 70. Nilai a, b dan
c harus diambil dari faktor-faktor 70 yaitu : 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 dan 70.
Karena diinginkan nilai x + y + z yang terbesar maka nilai a + b + c juga harus yang
terbesar. Karena FPB (14, 35, 70), FPB (10, 35, 70), FPB (7, 35, 70), FPB (5, 35, 70)
semuanya lebih dari 1 maka a, b dan c diambil dari 2, 35 dan 70 atau 10, 14, 35 dan
karena 2 + 35 + 70 > 10 + 14 + 35 maka a, b dan c diambil dari 2, 35 dan 70.
β΄ (x + y + z)terbesar = 12 β 2 + 12 β 35 + 12 β 70 = 1284
6. π, π, dan π adalah bilangan riil positif dimana ππ4 π = 254, Berapakah nilai minimum
dari π + π + π minimum?
a. 4 d. 9
b. 12 e. 6
c. 7
Solusi:
Pertama, pasangkan koefisien pada variabel β variabel dalam soal sehingga kedua pernyataan
yang terdapat dalam soal dapat terhubung melalui rumus ketaksamaan AM-GM berbobot
π + π + π = π + 4 (1
4π) + π
ππ4 π = 254
π (1
4π)
4
π = 254 (1
4)
4
π (1
4π)
4
π =254
254
π (1
4π)
4
π = 1
Sekarang masukkan kedalam rumus AM-GM berbobot
π + 4 (14 π) + π
1 + 4 + 1β₯ βπ (
1
4π)
4
π1+4+1
π + π + π
6β₯ β1
6
π + π + π β₯ 6
Nilai minimumnya adalah 6.
7. Presiden, wakil presiden, sekretaris cabinet, dan 6 orang menteri duduk pada sebuah meja
bundar untuk mengadakan rapat kabinet terbatas. Jika sekretaris kabinet harus duduk
diantara presiden dan wakil presiden, maka banyaknya cara duduk ke-9 orang tersebut
adalah β¦.
a. 240 d. 1440
b. 360 e. 2880
c. 720
Solusi:
Terdapat 9 orang yang duduk melingkar. Karena sekretaris harus duduk di antara
presiden dan wakil presiden maka kelompok ini terdapat 2 cara dan dianggap 1 orang.
Sehingga, banyak cara susunan duduk melingkar diperoleh dari permutasi siklis 8 orang,
yaitu:
P = (8 β 1)! = (8 β 1)!
=7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
Sehingga, banyak susunan seluruhnya ada 5040 x 2 = 10080 (Tidak ada di pilihan)
8. Suatu persegi panjang berukuran 8 kali 4β2 mempunyai titik pusat yang sama dengan suatu
lingkaran berjari-jari 4. Luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran tersebut
adalah...
a. 8π + 16 c. π β 2
b. 8π β 16 d. βπ + 2
c. π + 2
Solusi:
π·πΈ = 8; πΈπΉ = 4β2; ππ΄ = ππ΅ = 4
ππΆ =1
2πΈπΉ =
1
2 . 4β2 = 2β2
cos(πΌ) =ππ
ππ=
2β2
4=
1
2β2 β πΌ = 45Β°
< π΄ππ΅ = 90Β°
Luas juring ππ΄π΅ =90Β°
360Β°ππ2 = 4π
Luas βππ΄π΅ =1
2 . ππ΄ . ππ΅. sin(< π΄ππ΅) = 8
Luas tembereng π΄π΅ = Luas juring ππ΄π΅ βLuas βππ΄π΅ = 4π β 8
Luas irisan = luas lingkaran β 2 . Luas tembereng π΄π΅ = 8π + 16
β΄ Luas daerah irisan adalah 8π + 16
9. Sebuah taman berbentuk persegi dengan keliling (2π₯ + 24)m dan lebar (8 β π₯)m. Agar
luas taman maksimum, maka panjang taman tersebut adalahβ¦
a. 100 m d. 24 m
b. 55 m e. 10 m
c.120 m
Solusi:
(Aplikasi Turunan)
π = 2(π + π)
2π₯ + 24 = 2(π + (8 β π₯))
π₯ + 12 = π + 8 β π₯
π = π₯ + 12 β 8 + π₯
π = 2π₯ + 4
πΏ = π β π
= (2π₯ + 4)(8 β π₯)
= 16π₯ β 2π₯2 + 32 β 4π₯
= β2π₯2 + 12π₯ + 32
πΏβ² = 4π₯ β 12
Luas akan maksimum untuk π₯ yang menyebabkan πΏβ² = 0
πΏβ² = 0
4π₯ + 12 = 0
β4π₯ = β12
π₯ = 3
Jadi, panjang taman yang menyebabkan luas taman menjadi maksimum adalah :
π = 2π₯ + 4 = 2(3) + 4 = 6 + 4 = 10 m
10. Pada suatu jam digital yang angka-angkanya tertera mulai dari 00:00 sampai dengan 23:59,
dimungkinkan terjadi penampakan bilangan Palindrom (bilangan yang dibaca dari depan
dan dari belakang sama nilainya, misalnya 02:20 dan 13:31). Dalam satu hari satu malam,
bilangan Palindrom yang ditampakkan oleh jam tersebut ada sebanyak β¦
a. 16 d. 19
b. 17 e. 20
c. 18
Solusi:
Dengan strategi membuat daftar yang sistematis, soal ini dapat diselesaikan dengan
mudah sekali. Kita hanya memerlukan kecermatan dan ketelitian dalam mendaftar.
Kecermatan diperlukan dengan mengingat bahwa 1 jam adalah 60 menit sehingga kita
tidak mungkin menuliskan 06:60, 07:70 dan seterusnya. Bilangan-bilangan Palindrom
yang ditampakkan oleh jam tersebut adalah sebagai berikut: 00:00, 01:10, 02:20, 03:30,
04:40, 05:50, 10:01, 11:11, 12:21, 13:31, 14:41, 15:51, 20:02, 21:21, 22:22 dan 23:32
atau sebanyak 16
11. Misalkan ada sebuah sistem tiga persamaan dengan variabel x, y, dan z seperti dibawah.
Berapakah jumlah minimum koefisien (yang dilambangkan oleh huruf β huruf
π, π, π, π, π, π, π, π, π) yang harus bernilai nol agar sistem ini tidak dapat diselesaikan?
ππ₯ + ππ¦ + ππ§ = π
ππ₯ + ππ¦ + ππ§ = β
ππ₯ + ππ¦ + ππ§ = π
a. 3 d. 9
b. 6 e. 7
c. 0
Solusi:
Untuk membuat sistem persamaan ini tidak dapat diselesaikan, setidaknya salah satu
baris atau kolom dari matriks koefisien β koefisiennya, yaitu
[π π ππ π ππ π π
]
bergantung secara linier(proporsional) dengan baris atau kolom yang lainnya(baris
dengan baris, kolom dengan kolom) sehingga membuat determinannya menjadi nol.
Misalnya, baris pertama merupakan perkalian baris kedua dengan suatu konstanta π
[π π π] = π[π π π]
Jadi, tidak harus ada koefisien yang bernilai nol atau jumlah minimum koefisien
yang bernilai nol adalah nol.
12. Diketahui π = {π β β|π2018+8
π+2β β}. Banyaknya subset dari π adalah β¦
a. 0 d. 3
b. 1 e. 4
c. 2
Solusi:
π = {π β β|π2018 + 8
π + 2 β β}
π2018 + 8
π + 2=
π2018 + 2
π + 2+
6
π + 2β β
Karena π + 2|π2018 + 2 maka haruslah π + 2|6
Dapat dilihat bahwa π yang memenuhi adalah π = 1 dan π = 4. Sehingga π yang
memenuhi hanya terdapat 2.
13. Sebuah segibanyak beraturan (reguler)R dengan 2018 titik sudut beserta semua diagonalnya.
Banyaknya segitiga yang terbentuk yang semua titik sudutnya adalah titik sudut R dan kedua
sisinya merupakan sisi R adalah ...
a. 2.596.723.451 d. 776.952.671
b. 1.363.560.582 e. 992.356.646
c. 2018
Solusi:
Ada 3 kemungkinan yang mungkin terjadi yaitu :
Segitiga yang dapat dibentuk termasuk segitiga yang merupakan sisi R
πΆ32018 =
2018!
3! 2015!= 2018 . 2017 . 338
Hanya 1 sisi yang merupakan sisi R
Untuk membentuk segitiga ini maka haruslah 2 dari 3 titiknya harus berurutan, namun
ketiganya tidak boleh berurutan. Banyaknya 2 titik yang berurutan adal 2018
kemungkinan yaitu 1 β 2, 2 β 3, β¦ ,2017 β 2018, 2018 β 1. Misalnya titik yang
dipilih adalah 3 β 4 maka titik ketiga tidak boleh titik 2 atau 5. Maka banyaknya
kemungkinan 1 titik ketiganya adalah 2014 cara. Banyaknya segitiga yang dapat
dibentuk adalah 2014 Γ 2018 cara
2 sisinya merupakan sisi R
Untuk membentuk segitiga ini ketiga sisinya harus berurutan. Banyaknya segitiga yang
dapat dibentuk adalah 2018 cara.
β΄ 2018 cara
14. Jika kita menyusun 5 huruf-huruf A,B,C,D dan E dengan cara-cara berbeda, kita dapat 120
membuat βkataβ bebeda. Misalkan kita daftar kata-kata tersebut dan kita urutkan secara
alphabet serta kita menomori 1 sampai 120. Dengan demikian, ABCDE dapat nomor 1 dan
EDCBA dapat nomor 120. Apa nomor untuk DECAB?
a. 87 d. 98
b. 89 e. 99
c. 95
Solusi:
Penyelesaian : perhatikan bahwa ada 120
5= 24 kata yang dimulai dengan A,24 dimulai
dengan B, 24 dimulai dengan C dan semuanya muncul sebelum DECAB.
Sedangkan yang dimulai dengan huruf D ada 24 kata, yaitu 24
4= 6 kata dimulai dengan
DA, 6 kata dimulai dengan DB, kata kata dimulaii dengan DC dan semuanya muncuul
sebelum DECAB.
Untuk kkata yang dimulai dengan DE uruutannya addalah
DEABC,DEACB,DEBAC,DEBCA,DECAB,DECBA
Dengan demikian, kata DECAB dapat nomor
3 Γ 24 + 3 Γ 6 + 5 = 95
15. Pada sebuah segiβ6 beraturan ABCDEF memiliki titik pusat 0. Jika P terletak di tengah
sisi AB maka perbandingan antara OP dan diagonal terpanjang segi-6 tersebut adalah...
a. β3 βΆ3 d. β2 βΆ4
b. β3 βΆ4 e. β2 βΆ5
c. β2 βΆ3
Solusi:
Karena merupakan segi-6 beraturan maka panjang tiap sisi adalah sama.
Mis : panjang sisi-sisi tersebut adalah π
Sudut-sudut yang terbentuk dari segitiga pada sub bagian segi enam tersebut adalah
masing-masing 60Β° ini berarti segitiga-segitiga tersebut merupakan segitiga sama sisi.
Sehingga ππ΄ = π = π΄π΅ = ππΉ = ππΆ.
ππ = β(ππ΄)2 β (π΄π)2 =π
2β3
Karena πΉπΆ = 2π maka perbandingan antara ππ dan diagonal terpanjang segi-6 tersebut
adalah β3 βΆ 4
16. Berapakah jumlah semua bilangan bulat positif kurang dari 100.000 yang hanya terdiri dari
digit 0 & 1 ?
a. 160.000 d. 178.000
b. 166.667 e. 179.010
c. 177.776
Solusi:
Agar bilangan kurang dari 100.000 maka banyak digitnya maksimal ada 5. Bilangan-
bilangan tersebut berbentuk abcde dengan a,b,c,d & e berniali 0 atau 1. Perhatikan bahwa
a menempati puluhan ribu, b menempati ribuan, c menempati ratusan, d menempati
puluhan & e menempati satuan.
Banyak bilangan dengan a = 1 ada 24 = 16 bilangan, sehingga ini akan
berkontribusi pada penjumlahan sebesar 16x10.000 = 160.000
Banyak bilangan dengan b = 1 ada 24 = 16 bilangan, sehingga ini akan
berkontribusi pada penjumlahan sebesar 16x1.000 = 16.000
Banyak bilangan dengan c = 1 ada 24 = 16 bilangan, sehingga ini akan
berkontribusi pada penjumlahan sebesar 16x100 = 1.600
Banyak bilangan dengan d = 1 ada 24 = 16 bilangan, sehingga ini akan
berkontribusi pada penjumlahan sebesar 16x1.000 = 160
Banyak bilangan dengan e = 1 ada 24 = 16 bilangan, sehingga ini akan
berkontribusi pada penjumlahan sebesar 16x100 = 16
17. Nilai dari limπβπ
tan πβtan π
1+(1βπ
π) tan π tan πβ
π
π
= β―
a. πβ3 d. 1
b. β π e. ππ
c. π
π
Solusi:
limπβπ
tan π β tan π
1 + (1 βππ
) tan π tan π βππ
= limπβπ
tan π β tan π
(1 βππ
) + (1 βππ
) tan π tan π
= limπβπ
tan π β tan π
(1 βππ
) (1 + tan π tan π)
= limπβπ
tan(π β π)
1 βππ
= limπβπ
tan(π β π)
β1π
(π β π)
= βπ
18. Sebanyak 12 marsmellow yang masing-masing memiliki diameter 8 satuan dan tinggi 5
satuan disusun dengan cara membentuk 3 baris dan 4 kolom. Sehingga terdapat cela di
antara marsmellow yang satu dan dengan yang ada di sekitarnya. Tepat di bagian atas
marsmellow diberikan susunan yang serupa dengan yang sebelumnya. Jika di bagian sela
marsmellow akan diberikan coklat cair, maka coklat yang di butuhkan ada
sebanyak ... satuan.
a. 728.5 d. 829.7
b. 779.3 e. 854.4
c. 781.4
Solusi:
Tampak bagian atas
Yang akan diberikan coklat adalah yang di arsir. Misalkan di ambil sub bagian dari
susunan tersebut maka volume coklat yang dibutuhkan adalah 12 kali arsiran di atas atau
2 kali 6 susunan di tiap barisan.
πππππππ‘ = 12 ππππ πππ ππππ
= 12(π£πππ’ππ πππππ β π£πππ’ππ ππππ ππππππ€)
= 12[(8 . 8 . 5) β1
4(π . 82 . 5)] = 854.4
19. Diketahui Budi adalah seorang siswa laki-laki dan Wati adalah seorang siswa perempuan.
Saat ini mereka duduk di kelas IX pada suatu sekolah. Mereka mencatat banyak siswa
kelas IX disekolah mereka. Wati mencatat 3/20 dari total siswa di kelas IX adalah laki-
laki. Sedangkan menurut catatan budi 1/7 dari total siswa dikelas IX selain dirinya adalahh
laki-laki. Banyaknya siswa laki-laki kelas IX disekolah mereka adalah?
a. 12 orang d. 21 orang
b. 16 orang e. 25 orang
c. 18 orang
Solusi:
Penyelesaian : Misal banyak siswa laki-laki adalah L, dan banyak siswa perempuan
adalah P.
Menurut Wati : πΏ =3
20(π + πΏ) β π + πΏ =
20
3πΏ
Menurut Budi :πΏ β 1 =1
7(π + πΏ β 1)β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.(*)
Kita substitusikan kita peroleh
πΏ β 1 =1
7(20
3πΏ β 1)
7(πΏ β 1) =20
3πΏ β 1
7πΏ β 7 =20
3πΏ β 1
21πΏ β 21 = 20πΏ β 3
πΏ = 18
Jadi banyaknya siswa laki-laki kelas IX adalah 18 orang.
20. Berapa jumlah bilangan bulat x yang memenuhi pertidaksamaann |x-2000|+|x|β€9999?
a. 9999 d. 5999
b. 9998 e. 10000
c. 6000
Solusi:
Untuk π₯ > 2000
π₯ β 2000 + π₯ β€ 9999
2π₯ β 2000 β€ 9999
2π₯ β€ 11999
π₯ β€ 5999.5
Sehingga, 2000 < π₯ β€ 5999.5
Untuk 0 < π₯ β€ 2000
2000 β π₯ + π₯ β€ 9999
2000 β€ 9999
Ini selalu benar, sehingga 0 < π₯ β€ 2000 semuanya memnuhi
Untuk π₯ < 0
2000 β π₯ β π₯ β€ 9999
β2π₯ β€ 7999
π₯ β₯ β3999.5
Sehingga, π₯ β₯ β3999.5
Jadi, nilai π₯ yang memenuhi berada pada rentang β3999.5 β€ π₯ β€ 5999.5
karna yang ditanyakan adalah bilangan bulat jadi solusinya adalah β3999 β€ π₯ β€ 5999
dan jumlahnya ada 9999.
21. Tentukan 20182 β 20172 + 20162 β 20152 + β― + 42 β 32 + 22 β 12
a. 550.500 d. 518.671
b. 525.550 e. 550.550
c. 500.550
Solusi:
Tentukan 20182 β 20172 + 20162 β 20152 + β― + 42 β 32 + 22 β 12
= (2018-2017)(2018+2017) + (2016-2015)(2016+2015) + ... + (4-3)(4+3)+(2-1)(2+1)
= 1 (2035) + 1 (2031) + ... + 1(7) + 1 (3)
Deret tersebt merupakan deret Aritmatika dgn U1 = 3 dan Un = 2035 dan beda = 4
Oleh karena itu, Un = 2035 = U1 + (n-1) b
2035 = 3 + 4n β 4
2035 β 3 + 4 = 4n
n = 509
Sn = n/2 (U1 + Un ) = 509/2 (3+2035) = 509 . 1019 = 518.671
22. Hasil dari ππ¦
8ππ₯=
1
ππ₯ , jika π¦ = 4 untuk π₯ = 0 adalahβ¦
a. π¦ =1
8 d. π¦ = 8 + ππ₯
b. π¦ =1
8ππ₯+ 12 e. π¦ =
8
ππ₯+ 12
c. π¦ =1
ππ₯ + 4
Solusi:
1
8
ππ¦
ππ₯=
1
ππ₯
β«1
8ππ¦ = β«
1
ππ₯ππ₯
1
8π¦ =
1
ππ₯
π¦ = β8
ππ₯+ πΆ
Jika π¦ = 4 untuk π₯ = 0
β8
ππ₯+ πΆ = 4
πΆ = 12
Jadi, jawab umum untuk persamaan diferensial ini adalah
π¦ =8
ππ₯+ 12
23. Diberikan dua buah persegi π΄ dan B dimana luas π΄ adalah separuh dari luas π΅. Jika keliling
π΅ adalah π, maka keliling π΄ adalah β¦
a. (π + 2)β2 d. π
2β2
b. π+2
3β3 e. π + β3
c. πβ3
Solusi:
Luas π΅ = 2 . Luas π΄ maka π΅ = 2π΄
Mis : Panjang sisi π΄ = π₯ dan panjang sisi π΅ = π¦ maka luas π΅ = π¦2
Sehingga π¦ = π₯β2.
Keliling π΅ = 4π¦ maka 4 . β2 = π sehingga π₯ =π
8β2
Keliling π΄ = 4π₯ =π
2β2
24. Diketahui π₯, π¦, dan π§ adalah bilangan riil positif dengan π₯ > π¦ > π§ sedemikian sehingga
π₯ + π¦ + π§ = 12, π₯2 + π¦2 + π§2 = 50, dan π₯3 + π¦3 + π§3 = 216. Nilai dari π₯ + 2π¦ + 3π§
adalah β¦
a. 13 d. 22
b. 19 e. 15
c. 26
Solusi:
π + π + π = ππ
(π₯ + π¦ + π§)2 = 144
π₯2 + 2π₯π¦ + π¦2 + 2(π₯ + π¦)π§ + π§2 = 144
π₯2 + π¦2 + π§2 + 2(π₯π¦ + π₯π§ + π¦π§) = 144
50 + 2(π₯π¦ + π₯π§ + π¦π§) = 144
2(π₯π¦ + π₯π§ + π¦π§) = 94
(ππ + ππ + ππ) = ππ
π₯3 + π¦3 + π§3 β 3π₯π¦π§ = (π₯ + π¦ + π§)(π₯2 + π¦2 + π§2 β (π₯π¦ + π₯π§ + π¦π§))
216 β 3π₯π¦π§ = 12(50 β 47)
3π₯π¦π§ = 216 β 36
π₯π¦π§ =180
3
πππ = ππ
Menurut teorema vieta, ini merupakan koefisien β koefisien dari polinomial monik
(koefisien dari pangkat tertinggi adalah satu) pangkat tiga dimana akar β akarnya adalah
π₯, π¦, π§. Jadi π₯, π¦, π§ adalah solusi untuk
π3 β (π₯ + π¦ + π§)π2 + (π₯π¦ + π₯π§ + π¦π§)π β π₯π¦π§
= π3 β 12π2 + 47π β 60
= (π β 3)(π β 4)(π β 5)
π₯ > π¦ > π§ , jadi π₯ = 5, π¦ = 4, π§ = 3, lalu π₯ + 2π¦ + 3π§ = 26
25. Banyaknya cara mengisi persegi panjang berukuran 2 Γ 16 dengan persegi panjang yang
berukuran 2 Γ 2, 2 Γ 3, 2 Γ 4 adalah...
a. 45 d. 120
b. 50 e. 150
c. 60
Solusi:
Persegi 2 Γ 16 akan diisi 2 Γ 2, 2 Γ 3, 2 Γ 4. Panjangnya dapat diabaikan dan lebarnya
yang diperhatikan. Ketiga persegi harus diisi terlebih dahulu 2 + 3 + 4 = 9 tersisa 7
kotak, di dalam 7 kotak dapat diisi 2, 2, 3 dan 3, 4
Jumlah cara untuk 3 persegi pertama 2, 3, 4 adalah 3 Γ 2 Γ 1 = 6
Kemudian jumlah cara untuk mengisi tempat yang tersisa ada dua yaitu :
2, 2, 3 β 6 β 6 Γ 3 Γ 2 Γ 1 = 36
4,3 β 6 Γ 2 Γ 1 = 12
Jadi, jumlah untuk mengisi persegi 2 Γ 16 dengan persegi 2 Γ 2, 2 Γ 3, 2 Γ 4
adalah 36 + 12 = 50
26. Nilai dari
β«ππ
βπ‘ππ2π β π ππ2π= β―
π2
π6
a. π d. 1
b. π
2 e.
π
6
c. 2β3
Solusi:
β«ππ
βπ‘ππ2π β π ππ2π
π2
π6
= β«cos π
π ππ2πππ = [
β1
sin π]
π6
π2
=
π2
π6
β1
sinπ2
β (β1
sinπ6
) =β1
1β (
β1
12
) = β1 + 2 = 1
27. Berapkah nilai dari 1 + π + 2π + 3π + 2ππ + 3ππ + 6ππ + 6πππ jika diketahui π =
999, π = 666, π = 333?
a. 1320000000 d. 13320000000
b. 13220000000 e. 13332000000
c. 13332000000
Solusi:
Sederhanakan, sederhanakan, sederhanakan.
1 + π + 2π + 3π + 2ππ + 3ππ + 6ππ + 6πππ
= 1 + π + 2π(1 + π) + 3π(1 + π) + 6ππ(1 + π)
= (1 + π)(1 + 2π + 3π + 6ππ)
= (1 + π)((1 + 3π)(1 + 2π))
Kemudian substitusikan nilai dari π,π, dan π
= (1 + 999)(1 + 3(333))(1 + 2(666))
= (1000)(1000)(1332)
= 1332000000
28. Pada babak final sebuah turnamen, tim pemenang adalah tim yang pertama sekali
memenangkan dua pertandingan secara berurutan atau tim yang pertama sekali
memenangkan empat pertandingan. Banyaknya cara turnamen terjadi adalah...
a. 3 d. 14
b. 7 e. 19
c. 10
Solusi:
Misalkan menang adalah π dan kalah adalah πΎ. Kemungkinan turnamen yang terjadi
adalah
2 pertandingan {ππ}
3 pertandingan {πΎππ}
4 pertandingan {ππΎππ}
5 pertandingan {πΎππΎππ}
6 pertandingan {ππΎππΎππ}
7 pertandingan {(πΎππΎππΎππ), (ππΎππΎππΎπ)}
Jadi ada 7 turnamen yang mungkin terjadi.
29. Sebuah bola dengan jari-jari π di tendang dari π΄ ke π΅. Bola tersebut menggelinding
sebanyak tepat 16 putaran sebelum membentur dinding dan berhenti. Jarak dari π΄ ke π΅
adalah ...
a. (32π + 1)π d. (18π + 3)π
b. (32π + 3)π e. (18π + 5)π
c. (32π + 5)π
Solusi:
π΄πΆ = 16 . 2ππ = 32ππ
π΅πΆ = ππΆ ππ‘π(45Β°) = π
π΄π΅ = π΅πΆ + π΄πΆ = 32ππ + π
β΄ jarak dari π΄ ke π΅ adalah (32π + 1)π
30. Bilangan 4 angka dibentuk dari angka 0, 1, 2, 8 dimana masing-masing angka digunakan
tepat satu kali. Jika semua bilangan 4 angka yang diperoleh dengan cara ini dijumlahkan,
maka jumlah ini mempunyai angka satuan ...
a. 0 d. 6
b. 2 e. 8
c. 4
Solusi:
Banyaknya bilangan yang mungkin adalah 4!=24
Masing-masing angka 0, 1, 2, 8 akan muncul (4-1)!=6 kali sebagai angka satuan.
Angka satuan bilangan tersebut = angka satuan 6.0 + 6.1 + 6.2 + 6.8 = 66
Top Related