UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁSINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
MARIA FRANCISCA DE SOUSA GOMES
Sobre Rigidez de Gradiente Quase RicciSoliton
Goiânia2017
MARIA FRANCISCA DE SOUSA GOMES
Sobre Rigidez de Gradiente Quase RicciSoliton
Dissertação apresentada ao Programa de Pós–Graduaçãodo Instituto de Matemática e Estatística da UniversidadeFederal de Goiás, como requisito parcial para obtenção dotítulo de Mestre em Matemática.
Área de concentração: Geometria.
Orientador: Prof. Romildo da Silva Pina
Goiânia2017
Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor, através doPrograma de Geração Automática do Sistema de Bibliotecas da UFG.
CDU 514.77
Gomes, Maria Francisca de Sousa Sobre Rigidez de Gradiente Quase Ricci Soliton [manuscrito] /Maria Francisca de Sousa Gomes. - 2017. LXXII, 62 f.
Orientador: Prof. Dr. Romildo da Silva Pina. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Goiás, Institutode Matemática e Estatística (IME), Programa de Pós-Graduação emMatemática, Goiânia, 2017. Bibliografia.
1. Gradiente Quase Ricci Soliton. 2. Compacto. 3. Localmementeconformemente flat. I. Pina, Romildo da Silva , orient. II. Título.
A meus pais, Maria Marli, Valdivino e meus irmãos.
Agradecimentos
Primeiramente e acima de tudo, agradeço a Deus, por me amparar nos momentos
difíceis, me dar força para superar as dificuldades, mostrar o caminho nas horas incertas
e suprir todas as minhas necessidades. Agradeço ao Prof. Romildo da Silva Pina pela ori-
entação, compreensão e atenção dedicadas a mim sempre com muito carinho e paciência.
A minha família, de um modo especial aos meus pais, Maria Marli e Valdivino,
meus irmãos Valdeis, Valdeisa, Valdineis e Valdeilson que são o meu alicerce, por todo
incentivo, paciência e pelo amor incondicional, sem o qual eu não teria chegado até aqui.
Ao pastor Franceilton Gouveia, sua esposa Irisneide e seus filhos Wilkerson, Luis
Fernando, em especial, a minha princesa Kauanny Moura, pela paciência, força e carinho
durante essa massacrante jornada. Família essa que aprendi a amar com se fosse minha.
Aos meus colegas de turma, Bruna Luiza, Domingos Santana, Gregório, Kariny
Dirino, Laena, Lucas Gabriel, Mayk, Nielson Caires, Raquel, pelos dois anos de luta no
mestrado. Vocês são muito especiais, nunca esquecerei dos momentos bons e ruins que
passamos juntos. Sou grata a Deus por ter colocado todos em meu caminho.
Aos meus amigos de longa data, Karen Brito, Regiane Lopes, Mayra Soares,
especialmente Marcones pela ajuda na correção da escrita deste trabalho, sua ajuda foi
fundamental.
Agradeço a todos os professores do Instituto de Matemática e Estatística em
especial Maxwell, Aline, Maurício, Edcarlos, Romildo.
Á capes pelo apoio financeiro.
Agradeço a todos que direta ou indiretamente me ajudaram na elaboração deste
trabalho.
"Entrega teu caminho ao Senhor; confia Nele, e Ele tudo te fará."
Salmos 37, 5.
Resumo
Gomes, Maria Francisca de Sousa. Sobre Rigidez de Gradiente Quase RicciSoliton. Goiânia, 2017. 62p. Dissertação de Mestrado. Instituto de Matemáticae Estatística, Universidade Federal de Goiás.
Este trabalho está baseado em [1] e tem por objetivo apresentar um resultado de
rigidez para gradiente quase Ricci soliton. Provaremos que um gradiente quase Ricci
soliton com curvatura escalar não-negativa, em que ∇ f é um campo conforme não-trivial,
é ou o espaço Euclidiano Rn ou a Esfera S
n. Além disso, temos que no caso Esférico, a
função potencial é dada pela primeira auto função do Laplaciano. Por fim, encontraremos
condições necessárias e suficientes para que um gradiente quase Ricci soliton compacto
localmente conformemente flat seja isométrico a esfera Sn.
Palavras–chave
Gradiente Quase Ricci Soliton, Compacto, Localmente Conformemente flat.
Abstract
Gomes, Maria Francisca de Sousa. About Rigidity of Gradient Almost RicciSoliton. Goiânia, 2017. 62p. MSc. Dissertation. Instituto de Matemática eEstatística, Universidade Federal de Goiás.
This work is based on [1] and aims to show a result of rigidity for gradient almost
Ricci soliton. We will prove that an almost Ricci soliton gradient with nonnegative scalar
curvature, where ∇ f is a non-trivial conformal field, is either a Euclidean space Rn or
the sphere Sn. Moreover, we have that, in the Spherical case, the potential function is
given by first eigenfunction of the Laplacian. Finally, we will find necessary and sufficient
conditions for that a compact locally conformally flat gradient almost Ricci soliton is
isometric the sphere Sn.
Keywords
Gradient Almost Ricci Soliton, Compact, Locally conformally flat.
Sumário
1 Resultados preliminares 111.1 Variedades Diferenciáveis 111.2 Métricas Riemannianas 131.3 Curvatura e Tensores em variedades Riemannianas 16
1.3.1 Segunda Identidade de Bianchi e Contrações 241.4 Divergente, Gradiente, Laplaciano e Hessiana em variedades Riemannianas 251.5 Derivada de Lie 291.6 Fórmula de Bochner generalizada 31
2 Resultados de Gradiente Quase Ricci Soliton 382.1 Laplaciano da curvatura de Ricci e da curvatura escalar 412.2 Fórmulas Integrais 482.3 Um Teorema de Rigidez 54
Referências Bibliográficas 61
Introdução
Em 1982 Hamilton, em [11], introduziu "uma equação de evolução que faz a
métrica evoluir na direção do tensor de Ricci", chamado de Fluxo de Ricci. A modelagem
dessa deformação proposta por Hamilton é dada pelo problema de valor inicial
∂
∂tg(t) =−2Ricg(t).
No decorrer do estudo, Hamilton percebeu que o Fluxo de Ricci seria uma
excelente ferramenta para encontrar métricas que possibilitariam conhecer características
topológicas da variedade.
Em [12], Hamilton introduziu o conceito de Ricci soliton os quais são soluções
especiais do Fluxo de Ricci, uma vez que Ricci solitons são pontos fixos generalizados
considerando soluções por difeomorfismos e homotetias de uma dada métrica inicial.
Uma métrica Riemanniana g em uma variedade Riemanniana completa M é
chamada um Ricci soliton se existe um campo de vetores diferenciável X tal que o tensor
de Ricci satisfaz a seguinte equação
Ricg +12
LX g = λ g,
para alguma constate λ, onde LX é a derivada de Lie, Ricg é o tensor de Ricci, ([6]).
Um Ricci soliton é dito ser shrinking, steady ou expanding, se λ for positivo, nulo ou
negativo, respectivamente. Além disso, pode acontecer que o campo envolvido seja o
gradiente de alguma função suave definida na variedade. Tais solitons são chamados de
solitons gradiente. Um aspecto relevante sobre Ricci solitons é que eles generalizam as
famosas variedades de Eisntein, isto é, basta que o campo X seja de Killing.
Note que, do fato de λ ser constante, as soluções a serem obtidas em um Ricci
soliton não é uma tarefa fácil. Em 2010 Pigola et. al. [14] propuseram uma modificação
na definição de Ricci soliton, trocando a condição de ser λ constante por uma função, com
isso, a variedade passa a ser chamada de quase Ricci soliton. Mais precisamente, dizemos
que uma variedade Riemanniana (Mn,g) é um quase Ricci soliton, se existe um campo de
9
vetores completo e uma função suave λ : Mn → R satisfazendo
Ricg +12
LX = λ g.
Quando o campo de vetores X é o gradiente de uma função f : Mn → R a variedade é
chamada de gradiente quase Ricci soliton. Neste caso, escrevemos
Ric+∇2 f = λ g,
onde ∇2 f é a Hessiana de f .
A partir de então, estudos que eram voltados a um Ricci soliton, começaram a
ser adaptados para um quase Ricci soliton, desenvolvendo assim, uma área que até então
era desconhecida.
Em 2011, Barros e Ribeiro [3] apresentaram exemplos e algumas caracterizações
para um quase Ricci solitons compactos e generalizaram o equivalente para Ricci solitons,
algumas equações úteis de estrutura para quase Ricci solitons. Além disso, os autores
comprovaram que os mesmos resultados obtidos para Ricci solitons compactos também
são válidos para quase Ricci solitons compactos.
Em 2012, Barros et. al. [1] mostraram um teorema de rigidez para um gradiente
quase Ricci soliton, isto é, dada a condição de ∇ f ser um campo conforme e a curvatura
escalar ser não-negativa, temos que Mn é isométrica ou ao espaço Rn ou à esfera Sn. Além
disso, os autores em questão fazem um breve estudo sobre o caso compacto, mostrando
condições em que Mn é isométrica a esfera Sn.
Em 2013, Barros et. al [4] provaram que um gradiente quase Ricci soliton cujo
tensor de Ricci é Codazzi tem curvatura seccional constante. Em particular, no caso
compacto, provaram que (Mn,g) é isométrica a uma esfera euclidiana e f é uma função de
altura. Além disso, também classificaram os gradientes quase Ricci solitons com curvatura
escalar constante R, desde que uma função adequada atinge um máximo em Mn.
Em 2014, Zeng et. al [19], classificaram gradiente quase Ricci soliton compacto,
utilizando o tensor de Weyl e tensor de Cotton; Batista et. al. [2] mostraram que qualquer
quase Ricci soliton compacto com curvatura escalar constante é gradiente.
Esta dissertação ocupa-se em estudar algumas características de gradientes quase
Ricci solitons, baseando-se no artigo de Barros et. al. [1].
No Capítulo 1, apresentaremos alguns conceitos e resultados preliminares que
serão utilizados no decorrer deste trabalho. Sendo estas, definições básicas de geometria
Riemanniana, além disso enunciaremos teoremas clássicos que utilizaremos no capítulo
2.
No capítulo 2, estudaremos resultados sobre gradiente quase Ricci soliton. Pri-
meiramente, mostraremos algumas equações de estrutura para esse tipo de variedade. Em
10
seguida, provamos uma equação para o Laplaciano da curvatura de Ricci e como con-
sequência desta, obtemos uma equação para o Laplaciano da curvatura escalar. Ademais,
apresentaremos um teorema de rigidez para um gradiente quase Ricci soliton, e exibire-
mos condições em que um gradiente quase Ricci soliton compacto seja isométrica à esfera
euclidiana.
CAPÍTULO 1Resultados preliminares
Neste capítulo, abordaremos de forma sucinta algumas noções de Geometria
Riemanniana, tais como: variedades diferenciáveis, métricas Riemannianas, curvatura e
outros resultados que serão indispensáveis para a compreensão deste trabalho. Maiores
detalhes podem ser encontrados em [5], [7] e [17].
No decorrer do trabalho adotaremos a convenção de Einstein para o somatório.
A Convenção de Einstein consiste em omitir o símbolo do somatório e interpretar os índi-
ces repetidos no mesmo somatório como indicador desse somatório (em certos contextos
pode ser exigido que tais índices apareçam em cima e em baixo, respectivamente).
Tal convenção foi introduzida por Albert Einstein em 1916 (The Foundation of
the General Theory of Relativity). De acordo com essa convenção, quando uma variável
de índices aparece duas vezes em um único termo, isso implica que estamos somando
sobre todos os seus possíveis valores. Para maiores detalhes ver [5].
1.1 Variedades Diferenciáveis
A noção de variedade diferenciável torna-se necessária pois estende os métodos
do Cálculo Diferencial a espaços mais gerais que o Rn.
Definição 1.1 Uma variedade diferenciável de dimensão n é um conjunto M e uma
família de aplicações biunívocas Yα : Uα ⊂ Rn → M de abertos Uα de R
n em M, tais
que:
1.⋃α
Yα(Uα) = M.
2. Para todo par α, β, com Yα(Uα)∩Yβ(Uβ) =W 6= /0, os conjuntos Y−1α (W ) e Y−1
β(W )
são abertos em Rn e as aplicações Y−1
β ◦Y−1α são diferenciáveis.
3. A família {(Uα,Yα)} é máxima relativamente às condições (1) e (2).
1.1 Variedades Diferenciáveis 12
O par (Uα,Yα) (ou a aplicação Yα) com p ∈Yα(Uα) é chamado uma parametrização (ou
sistema de coordenadas) de M em p; Yα(Uα) é dito ser uma vizinhança coordenada em p.
Uma família {(Uα,Yα)} satisfazendo (1) e (2) é chamada uma estrutura diferenciável em
M.
Definição 1.2 Uma variedade diferenciável M é dita de Hausdorff se para cada par de
pontos p,q ∈ M existem subconjuntos disjuntos e abertos U,V ⊂ M tais que p ∈ U e
q ∈V .
As variedades aqui apresentadas serão de Hausdorff e com base enumerável. A
exigência de ser Hausdorff vem do fato de ficar bem definido o conceito de limite e,
como consequência, diferenciabilidade.
Definição 1.3 Sejam Mn1 e Mn
2 variedades diferenciáveis. Uma aplicação ϕ : Mn1 → Mn
2 é
diferenciável em p ∈ M1 se dada uma parametrização X : V ⊂ Rm → M2 em ϕ(p) existe
uma parametrização Y : U ⊂ Rn → M1 em p tal que ϕ(Y (U))⊂ X(V ) e a aplicação
X−1 ◦ϕ◦Y : U ⊂ Rn → R
m
é diferenciável em Y−1(p). ϕ é diferenciável em um aberto de M1 se é diferenciável em
todos os pontos desse aberto.
Definição 1.4 Seja M uma variedade diferenciável. Uma aplicação diferenciável α :
(−ε,ε)−→ M é chamada uma curva (diferenciável) em M. Suponha que α(0) = p ∈ M,
seja D o conjunto das funções de M diferenciáveis em p. O vetor tangente à curva α em
t = 0 é a função α′(0) : D(M) −→ R dada por α′(0) f =d( f ◦α)
dt
∣∣∣t=0
, f ∈ D(M). Um
vetor tangente em p é o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α : (−ε,ε)−→ M com
α(0) = p. O conjunto dos vetores tangentes a M em p será indicado por TpM.
Dada uma parametrização y : U ∪Rn −→ Mn em p = y(0), podemos exprimir a
função f e a curva α nesta parametrização por
f ◦ y(q) = f (y1, ...yn), q = (y1, ...yn) ∈U,
e
y−1 ◦α(t) = (y1(t), ...yn(t)),
respectivamente. Portanto, restringindo f a α, obteremos
α′(0) f =ddt( f ◦α)
∣∣∣∣t=0
=ddt
f (y1(t), ...yn(t))
∣∣∣∣t=0
(1-1)
= y′i(0)
(∂ f∂yi
)
0=
(
y′i(0)
(∂
∂yi
)
0
)
f . (1-2)
1.2 Métricas Riemannianas 13
Em outras palavras, o vetor α′(0) pode ser expresso na parametrização y por
α′(0) = y′i(0)
(∂
∂yi
)
0.
Os campos ∂∂yi
onde i = 1,2, ...,n são chamados de campos coordenados e para
cada p ∈ M temos que{(
∂∂y1
)
0, ..,
(∂
∂yn
)
0
}
determina uma base para o espaço vetorial
TpM também chamado espaço tangente de M em p, onde a estrutura assim definida não
depende da parametrização.
Definição 1.5 (Campo Diferenciável). Um campo de vetores Y em uma variedade dife-
renciável M é uma aplicação diferenciável que para cada ponto p ∈ M associa um vetor
Y (p) ∈ TpM. Considerando uma parametrização y : U ⊂ Rn → M é possível escrever
Y (p) = ai(p)∂
∂yi.
Definição 1.6 Sejam Mm e Nn variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciável
ϕ : M → N é uma imersão se dϕp : TpM → Tϕ(p)N é injetiva para todo p ∈ M. Se, além
disso, ϕ é um homeomorfismo sobre ϕ(M)⊂ N, onde ϕ(M) tem a topologia induzida por
N, diz-se que ϕ é um mergulho. Se M ⊂ N e a inclusão i : M →֒ N é um mergulho, diz-se
que M é uma subvariedade de N.
1.2 Métricas Riemannianas
Definição 1.7 Uma métrica Riemanniana g em uma variedade diferenciável M é uma
correspondência que associa a cada ponto p de M um produto interno <,>p (isto é,
uma forma bilinear simétrica, positiva definida) no espaço tangente TpM, que varia
diferenciavelmente no seguinte sentido: se Y : U ⊆Rn → M é um sistema de coordenadas
locais em torno de p, com Y (y1, ...,yn) = q ∈ Y (U) e∂
∂yi(q) = dY (0, ...,0,1,0, ...,0),
então
⟨∂
∂yi(q),
∂
∂y j(q)
⟩
q
= gi j(y1, ...yn) é uma função diferenciável em U.
Note que g ji é sempre positiva e, consequentemente, podemos encontrar gih , tal que
g jigih = δh
j .
Onde δhj é o delta Kronecker, isto é, δh
j =
{
1, se j = h
0, se j 6= h
1.2 Métricas Riemannianas 14
Definição 1.8 O fibrado tangente a uma variedade M é o conjunto TM de pares, cons-
tituídos por um ponto p de M e um vetor tangente vp ∈ Tp(M), i.e, T M = {(p,vp)|p ∈
M,vp ∈ TpM}.
As funções gi j(= g ji) são chamadas expressão da métrica Riemanniana no
sistema de coordenadas Y : U ⊂ Rn −→ M. Uma variedade diferenciável com uma dada
métrica Riemanniana chama-se uma variedade Riemanniana.
Agora vamos estabelecer uma noção de equivalência para a estrutura definida
acima.
Definição 1.9 (Isometria). Sejam M e N variedades Riemannianas, um difeomorfismo
f : M → N (isto é, f é uma bijeção diferenciável com inversa diferenciável) é chamado
uma isometria se:
〈u,v〉p = 〈d fp(u),d fp(v)〉 f (p),
para todo p ∈ M e u, v ∈ TpM.
A partir de agora indicaremos por X(M) o conjunto dos campos de vetores de
classe C∞ em M e por D(M) o anel das funções reais de classe C∞ definidas em M.
Definição 1.10 (Colchete de Lie). Dados X, Y ∈X(M), o único campo vetorial Z ∈X(M)
tal que, ∀ f ∈C∞(M), Z f = (XY −Y X) f = X(Y f )−Y (X f ) é chamado Colchete de Lie
de X e Y denotado por [X ,Y ] = XY −Y X .
Definição 1.11 Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é uma aplicação
∇ : X(M)×X(M)→X(M)
que se indica por (X ,Y) 7−→ ∇XY e que satisfaz as seguintes propriedades:
i) ∇ f X+gY Z = f ∇X Z+g∇Y Z
ii) ∇X(Y +Z) = ∇XY +∇X Z
iii) ∇X( fY ) = f ∇XY +X( f )Y
onde X ,Y,Z ∈ X(M) e f ,g ∈ D(M).
Proposição 1.12 Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇. Então
existe uma única correspondência que associa a um campo vetorial V ao longo da curva
diferenciável c : I →M um outro campo vetorialDVdt
ao longo de c, denominado derivada
covariante de V ao longo de c, tal que:
1.2 Métricas Riemannianas 15
a)Ddt(V +W ) =
DVdt
+DWdt
.
b)Ddt( fV ) =
d fdt
V + fDVdt
, onde W é um campo de vetores ao longo de c e f é uma
função diferenciável em I.
c) Se V é induzido por um campo de vetores Y ∈ X(M), isto é, V (t) = Y (c(t)), entãoDVdt
= ∇ dcdt
Y .
Temos que a conexão afim é uma noção local. De fato, escolhendo um sistema de
coordenadas (y1,y2, ...,yn) em torno de p e escrevendo X = xiXi e Y = y jYj, campos
diferenciáveis em M, onde Xi =∂
∂xi, temos que ∇XY pode ser expressa da seguinte
forma:
∇XY =(
xiy jΓki j +X(yk)
)
Xk, (1-3)
onde Γki j são funções diferenciáveis chamadas de símbolos de Christoffel da conexão.
Proposição 1.13 Seja M uma variedade Riemanniana. Uma conexão ∇ em M é compa-
tível com a métrica se, e somente se, para todo par V e W de campos de vetores ao longo
da curva diferenciável c : I ⊂ R→ M tem-se
ddt〈V,W〉=
⟨DVdt
,W
⟩
+
⟨
V,DWdt
⟩
, t ∈ I.
Corolário 1.14 Uma conexão ∇ em uma variedade Riemanniana M é compatível com a
métrica se, e somente se,
X〈Y,Z〉= 〈∇XY,Z〉+ 〈Y,∇X Z〉, X ,Y,Z ∈ X(M).
Definição 1.15 Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é dita simétrica
quando
∇XY −∇Y X = [X ,Y ], ∀X ,Y ∈ X(M).
Teorema 1.16 (Levi-Civita). Dada uma variedade Riemanniana M, existe uma única
conexão afim ∇ em M satisfazendo as condições:
1. ∇ é simétrica;
2. ∇ é compatível com a métrica Riemanniana.
1.3 Curvatura e Tensores em variedades Riemannianas 16
A conexão dada pelo Teorema (1.16) é denominada conexão de Levi-Civita (ou
Riemanniana) de M.
Tendo como ferramenta o teorema de Levi-Civita, podemos encontrar a expres-
são clássica dos símbolos de Christoffel mencionada anteriormente. Note que, os símbolos
de Christoffel são definidos por ∇X jXi e podem ser calculados a partir da métrica. Pelo
Teorema (1.16), temos:
2〈Z,∇Y X〉= X〈Y,Z〉+Y 〈Z,X〉−Z〈X ,Y〉−〈[X ,Z],Y〉−〈[Y,Z],X〉−〈[X ,Y ],Z〉.
Tomando X =∂
∂xi, Y =
∂
∂x je Z =
∂
∂xk, e pelo Teorema de Levi- Civita sabemos que uma
conexão afim é simétrica, temos que [Xi,X j] = 0, assim temos:
⟨∂
∂xi,∇ ∂
∂x j
∂
∂xk
⟩
=12
∂
∂xi
⟨∂
∂x j,
∂
∂xk
⟩
+∂
∂x j
⟨∂
∂xk,
∂
∂xi
⟩
−∂
∂xk
⟨∂
∂xi,
∂
∂x j
⟩
.
Por definição temos que
⟨∂
∂xi,
∂
∂x j
⟩
= gi j, além disso, ∇ ∂∂xi
∂
∂x j= Γl
i j∂
∂xl. Daí,
⟨∂
∂xk,Γl
i j∂
∂xl
⟩
= Γli j
⟨∂
∂xk,
∂
∂xl
⟩
= Γli j glk =
12
{∂
∂xig jk +
∂
∂x jgki −
∂
∂xkgi j
}
.
Como gkm = gmk é uma métrica, temos que sua inversa gkm é bem definida. Portanto,
temos:
Γmi j =
12
{∂
∂xig jk +
∂
∂x jgki −
∂
∂xkg ji
}
gkm.
1.3 Curvatura e Tensores em variedades Riemannianas
Iniciaremos esta seção com o estudo de tensores em uma variedade Riemanniana.
Em seguida, apresentaremos algumas definições, bem como propriedades básicas do
Operador Curvatura, Curvatura Seccional, Escalar e de Ricci. Além disso, falaremos
também sobre os tensores de Cotton e de Weyl, entre outros resultado que servirão de
base para as demonstrações dos objetivos desse trabalho.
Definição 1.17 (Tensor em Variedade). Um tensor T de ordem r em uma variedade
Riemanniana M é uma aplicação multilinear
T : X(M)× ...×X(M)︸ ︷︷ ︸
r
→ D(M).
1.3 Curvatura e Tensores em variedades Riemannianas 17
Isto quer dizer que, dados Y1, ...,Yr ∈ X(M), T (Y1, ...,Yr) é uma função diferen-
ciável em M, e que T é linear em cada argumento, ou seja,
T (Y1, ..., f X +gY, ...,Yr) = f T (Y1, ...,X , ...,Yr)+gT (Y1, ...,Y, ...,Yr),
para todo X ,Y ∈ X(M), f ,g ∈ D(M).
Fixe um ponto p ∈ M e seja U um vizinhança de p ∈ M onde é possível definir
campos E1, ...,En ∈ X(Mn), de modo que em cada q ∈U , os vetores {Ei(q)}, i = 1, ...,n,
formam uma base do TqM; {Ei} é um referencial móvel em U . Sejam,
Y1 = yi1Ei1, ...,Yr = yirEir , i1, ..., ir = 1, ...,n,
as restrições a {Ei}. Por linearidade, temos:
T (Y1, ...,Yr) = yi1...yirT (Ei1, ...,Eir).
As funções T (Ei1, ...,Eir)= Ti1...ir em U são chamadas as componentes de T no referencial
{Ei}.
Da expressão acima decorre que o valor de T (Y1, ...,Yr) em um ponto p ∈ M
depende apenas dos valores de p das componentes de T , e dos valores de Y1, ...,Yr em p.
Definição 1.18 Seja T um tensor de ordem r. A diferencial covariante ∇T de T é um
tensor de ordem (r+1) dada por:
∇T (Y1, ...,Yr,Z) = Z(T (Y1, ...,Yr))−T (∇ZY1, ...,Yr)−· · ·−T(Y1, ...,Yr−1,∇ZYr).
Para cada Z ∈ X(M), a derivada covariante ∇ZT de T em relação a Z é um tensor de
ordem r dado por
∇ZT (Y1, ...,Yr) = ∇T (Y1, ...,Yr,Z).
Definição 1.19 O tensor métrico G : X(M)×X(M)→ D(M) é definido por G(X ,Y ) =
〈X ,Y〉, X ,Y ∈ X(M). G é um tensor de ordem 2 e suas componentes no referencial {Xi}
são os coeficientes gi j da métrica Riemanniana no sistema de coordenadas dado.
Exemplo 1.20 (Derivada Covariante Total do Tensor Métrico). A derivada covariante
total do tensor métrico g é o tensor identicamente nulo. De fato, devido à compatibilidade
da conexão com a métrica, temos
∇g(X ,Y,Z) = ∇Z g(X ,Y) = Z[g(X ,Y )]−g(∇ZX ,Y )−g(X ,∇ZY )
= Z〈X ,Y 〉−〈∇ZX ,Y 〉−〈X ,∇ZY 〉
= 0.
1.3 Curvatura e Tensores em variedades Riemannianas 18
Definição 1.21 (Derivada Covariante Segunda de Campos). Sejam X ,Y e Z campos
diferenciáveis em uma variedade Riemanniana M. Definimos o operador diferencial
derivada covariante segunda de Z em relação a X e Y , ∇2XY : X(M)→ X(M) por:
∇2XY Z := ∇X(∇Y Z)−∇(∇XY )Z.
Seja A uma função D(M)− linear
A : X∗(M)× ...×X∗(M)
︸ ︷︷ ︸
r
×X(M)× ...X(M)︸ ︷︷ ︸
s
→ D(M),
A é uma aplicação multilinear que quando alimentado por r 1- formas θ1, ...,θr e s campos
vetoriais Y1, ...,Yr produz uma função real
f = A(θ1, ...,θr
,Y1, ...,Yr) ∈ D(M)
e, X∗(M) denota o espaço dual do conjunto dos campos de vetores tangentes X(M) a M.
O conjunto ϒrs de todos os campos tensoriais sobre M do tipo (r,s) é, então um
módulo sobre D(M).
No caso em que r = s = 0, um tensor de ordem (0,0) em M é exatamente
uma função f ∈ D(M), isto é, ϒ00 = D(M). Tensores do tipo (0,s) são chamados de
covariantes, enquanto tensores do tipo (r,0), com r > 1, são chamados contravariantes.
Seja T um (1,2)− tensor, podemos associar um (0,3)− tensor definido por
T (X ,Y,Z) = g(T (X ,Y ),Z),
onde X ,Y,Z são campos de vetores arbitrários. O valor de g(T (X ,Y ),Z) é dado por
gthT tjiX
jY iZh,
e consequentemente as componentes locais do tensor do tipo (0,3) são dados por
Tjih = T tji gth.
Quando é dado um tensor do tipo (1,2), por exemplo, podemos associar a ele
tensores do tipo (p,q) (p+q = 3) cujo as componentes são dadas por
T hji,T
ihj , Tjih,T
ij ,T
i j,T jih
, ...
onde T ij = gki Tk j, T i j = gki T j
k , T ihj = Tjit gth, T jih = gt jT ih
t ....
1.3 Curvatura e Tensores em variedades Riemannianas 19
Dizemos que estes tensores são conjugados entre si, sendo chamados de tensores
conjugados. Calculamos
〈T,T 〉= |T |2 = Tjih T jih = Tjih gt j T iht = Tjih Ttipgt j gph
. (1-4)
e chamamos |T | o comprimento de T .
Se T é um (0,2) tensor temos que:
|T |2 = Tji T ji = Tji Tpt gpi gt j. (1-5)
Para maiores detalhes do que foi escrito acima ver [17].
Definição 1.22 A curvatura Rm de uma variedade Riemanniana M é uma correspondên-
cia que associa a cada par X, Y ∈X(M) uma aplicação Rm(X ,Y) : X(M)→X(M) dada
por:
Rm(X ,Y)Z = ∇Y ∇XZ −∇X ∇Y Z+∇[X ,Y ]Z, Z ∈ X(M)
onde ∇ é a conexão Riemanniana de M.
Note que se M = Rn, então Rm(X ,Y)Z = 0 para todo X ,Y,Z ∈ X(Rn). De fato,
se indicarmos por Z = (z1, ...,zn) as componentes do campo Z nas coordenadas naturais
do Rn, obteremos que
∇X Z = (Xz1, ....,Xzn).
Observe que para o espaço euclidiano Rn, temos que Γk
i j = 0, daí, como
∇XY = xiy j Γki j +X(yk).
Então,
∇Y ∇X Z = (Y Xz1, ...,YXzn).
Logo,
Rm(X ,Y)Z = ∇Y ∇X Z−∇X ∇Y Z+∇[X ,Y ]Z
= ∇Y ∇X Z−∇X ∇Y Z+∇XY−Y XZ
= ∇Y ∇X Z−∇X ∇Y Z+∇XY Z −∇Y X Z
= (YX(z1), ...,YX(zn)− (XY(z1), ...,XY(zn)
+(XY (z1), ...,XY(zn)− (YX(z1), ...,YX(zn)
= 0.
1.3 Curvatura e Tensores em variedades Riemannianas 20
Podemos olhar a definição acima em um sistema de coordenadas locais {xi} em
torno de p ∈ M. Como[
∂∂xi
,∂
∂xi
]
= 0, obtemos
Rm
(∂
∂xi,
∂
∂x j
)∂
∂xk=
(
∇ ∂∂x j
∇ ∂∂xi
−∇ ∂∂xi
∇ ∂∂x j
)∂
∂xk,
isto é, a curvatura mede a não-comutatividade da derivada covariante.
Proposição 1.23 A curvatura Rm de uma variedade Riemanniana tem as seguintes
propriedades:
1. Rm é bilinear em X(M)×X(M), isto é,
Rm( f X1+gX2,Y1) = f Rm(X1,Y1)+gRm(X2,Y1);
Rm(X1, fY1 +gY2) = f Rm(X1,Y1)+gRm(X1,Y2),
f , g ∈ D(M), X1,X2,Y1,Y2 ∈ X(M);
2. Para todo par X ,Y ∈ X(M), o operador curvatura Rm(X ,Y ) : X(M) → X(M) é
linear, isto é,
Rm(X ,Y)(Z+W ) = Rm(X ,Y )Z+R(X ,Y)W ;
Rm(X ,Y ) f Z = f Rm(X ,Y )Z.
Demonstração. Ver [7]. �
Proposição 1.24 (Primeira Identidade de Bianchi).
Rm(X ,Y)Z+Rm(Y,Z)X +Rm(Z,X)Y = 0;
Demonstração. Ver [7]. �
Proposição 1.25 Para todo X ,Y,Z,V ∈ X(M) valem as seguintes propriedades de sime-
tria:
i) 〈Rm(X ,Y)Z,T 〉+ 〈Rm(Y,Z)X ,T 〉+ 〈Rm(Z,X)Y,T〉= 0;
ii) 〈Rm(X ,Y)Z,T 〉=−〈Rm(Y,X)Z,T 〉;
iii) 〈Rm(X ,Y)Z,T 〉=−〈Rm(X ,Y)T,Z〉;
iv) 〈Rm(X ,Y)Z,T 〉= 〈Rm(Z,T )X ,Y 〉.
1.3 Curvatura e Tensores em variedades Riemannianas 21
Demonstração. Ver [7]. �
Convém escrevermos o que foi apresentado acima em um sistema de coordena-
das (U,x) em torno de um ponto p de uma variedade M. Sendo∂
∂xi= Xi. Ponhamos
Rm(Xi,X j)Xk = Rli jk Xl,
onde Rli jk são as componentes da curvatura Rm em (U,x), e,
Rm(Xi,X j) Xk = ∇X j ∇Xi Xk −∇Xi ∇X j Xk
= ∇X j
(
Γlik Xl
)
−∇Xi
(
Γljk Xl
)
.
Assim,
Rm(Xi,X j) Xk = Rli jk Xl
= ∇X j
(
Γlik Xl
)
−∇Xi
(
Γljk Xl
)
=dΓl
ik
dx jXl +Γl
ik
(
Γpjl Xp
)
−dΓl
jk
dxiXl −Γl
jk
(Γ
pil Xp
).
Fixando os índices, temos
Rsi jk Xs =
dΓsik
dx jXs +Γl
ikΓsjl Xs −
dΓsjk
dxiXs −Γl
jkΓsil Xs.
Daí,
Rsi jk =
∂Γsik
∂x j+Γl
ik Γsjl −
∂Γsjk
∂xi−Γl
jk Γsil.
Como Rm(Xi,X j) Xk = Rli jk Xl, fazendo,
〈Rm(Xi,X j) Xk, Xs〉= Rli jk gls = Ri jks,
onde gls =⟨
∂∂xl
,∂
∂xs
⟩
. Portanto, a Proposição (1.25), pode ser reescrita como segue:
Ri jks +R jkis +Rki js = 0;
Ri jks =−R jiks;
Ri jks =−Ri jsk;
Ri jks = Rksi j.
1.3 Curvatura e Tensores em variedades Riemannianas 22
No que segue convém usar a seguinte notação. Dado um espaço vetorial V ,
indicaremos por |x∧ y| =√
|x|2|y|2−〈x,y〉2, que representa a área do paralelogramo bi-
dimensional determinado pelo par de vetores x,y ∈V .
Definição 1.26 (Curvatura Seccional). Dado um ponto p ∈ M e um subespaço bidimen-
sional σ ⊂ TpM o número real
K(x,y) = K(σ) =〈Rm(x,y)x,y〉
|x∧ y|2,
onde x,y é uma base qualquer de σ, é chamado Curvatura Seccional de σ em p. É possível
mostrar que K(x,y) independe da escolha de x e y.
Definição 1.27 (Curvatura de Ricci). Seja x = zn um vetor unitário em TpM; tomando
uma base ortonormal {z1,z2,z3, . . . ,zn−1} do hiperplano de TpM ortogonal a x, então:
Ricp(x) = 〈Rm(x,zi) x,zi〉, i = 1,2,3, . . .n−1
é denominada Curvatura de Ricci na direção x.
Definição 1.28 (Tensor de Ricci e Curvatura Escalar). Seja Mn uma variedade Rieman-
niana. Dados X ,Y ∈ X(M) o tensor de Ricci é definido por
Ric(X ,Y )(p) = traço{z 7−→ (Rm(X ,z)Y)(p)},
ou se {E1, ...,En} é um referencial ortonormal local
Ric(X ,Y) = 〈R(X ,Ei)Y,Ei〉.
Em um sistema de coordenadas locais o Tensor de Ricci é dado por
Rik = R ji jk = g jl Ri jkl, (1-6)
onde g jl é a métrica inversa de g jl.
Já a curvatura escalar é uma função real R : M → R definida como o traço em
relação à métrica do tensor de Ricci:
R = tr(Ricg) = gi j Ri j. (1-7)
Definição 1.29 Uma variedade Riemanniana (Mn,g) é chamada de uma variedade de
Einstein se o tensor de Ricci é um múltiplo da métrica g, ou seja,
Ric(X ,Y ) = λ g(X ,Y),
1.3 Curvatura e Tensores em variedades Riemannianas 23
para todo X ,Y ∈ X(M).
Definição 1.30 (Tensor de Cotton). Seja (Mn,g) uma variedade Riemanniana. Definimos
o tensor de cotton como (0,3)− tensor dado por:
C(X ,Y)Z = (∇zRic)(X ,Y )− (∇Y Ric)(X ,Z)−1
2(n−1)(g(X ,Y)∇ZR−g(X ,Z)∇Y R).
Em um sistema de coordenadas o tensor de Cotton é dado por:
Ci jk = ∇kRi j −∇ jRik −1
2(n−1)(gi j∇kR−gik∇ jR). (1-8)
Definição 1.31 Uma variedade Riemanniana (Mn,g) é localmente conformemente flat,
se para cada p ∈ M existe uma vizinhança Up ⊂ M tal que g = e2 f gE , onde f : M → R e
gE denota a métrica Euclidiana.
Observação 1 Os espaços de curvatura seccional K constante são localmente conforme-
mente flat.
Para maiores detalhes sobre a observação (1) ver [15].
Definiremos agora o tensor de Weyl, dado pela decomposição do tensor curvatura
em dimensão n ≥ 3.
Definição 1.32 Seja (Mn,g) uma variedade Riemanniana com operador de curvatura
Rm, tensor de Ricci Ricg e curvatura escalar R. Definimos o Tensor de Weyl como o
(0,4)− tensor dado por:
Wi jkl = Ri jkl −1
n−2(Rikg jl +R jlgik −Rilg jk −R jkgil)+
R(n−1)(n−2)
(gikg jl −gilg jk).
(1-9)
Mais detalhes ver [9].
Note que dada uma variedade Riemanniana (Mn,g), se (Mn
,g) for localmente
conformemente flat, então W = 0. Porém, a recíproca só é verdadeira se n ≥ 4, pois para
n = 3 o tensor de Weyl é nulo para qualquer variedade Riemanniana (basta olhar para a
expressão do tensor de Weyl em um sistema de coordenadas locais).
Teorema 1.33 Seja (Mn,g) uma variedade Riemanniana com n ≥ 4, temos que (Mn,g) é
localmente conformemente flat se, e somente se, W = 0.
Demonstração. Ver [10]. �
1.3 Curvatura e Tensores em variedades Riemannianas 24
1.3.1 Segunda Identidade de Bianchi e Contrações
Lema 1.34 (Lema de Ricci). Seja (Mn,g) uma variedade Riemanniana e gi j a expressão
da métrica em coordenadas locais. Então,
• gi j e gi j comportam-se como constantes nas diferenciações covariantes, isto é,
∇kgi j = 0 e ∇kgi j = 0, (1-10)
daí, temos
∇i(g jlRik) = Rik∇ig jl +g jl∇iRik = g jl∇iRik.
Analogamente, temos ∇i(g jlRik) = g jl∇iRik.
• E,
∇i∇ jZk −∇ j∇iZk = Ri jks Zs, (IdentidadedeRicci). (1-11)
Observação 2 Observe que ∇kgi j = 0, devido à compatibilidade da conexão com a
métrica, ver exemplo 1.20. Note que,
gim gi j = δ jm.
Daí,
∇k (gim gi j) = 0 ⇒ ∇k gim gi j +gim ∇k gi j = 0.
Logo,
gim ∇k gi j = 0 ⇒ ∇k gi j = 0.
Proposição 1.35 (Segunda Identidade de Bianchi). Considerando Ri jks o tensor curva-
tura de ordem 4, temos:
∇iR jkls +∇ jRkils+∇kRi jls = 0. (1-12)
Iremos encontrar a primeira contração da segunda identidade de Bianchi.
Multiplicando (1-12) por gis e somando em s temos:
gis ∇iR jkls +gis ∇ jRkils +gis ∇kRi jls = 0.
Usando o Lema (1.34) e (1-6), obtemos
gis ∇iR jkls +gis ∇ jRkils+gis ∇kRi jkls = gis ∇iR jkls +∇ j (gis Rkils)+∇k (g
is Ri jls)
= gis ∇i R jkls +∇ j Rkl −∇k gis Ri jsl
= gis ∇i R jkls +∇ j Rkl −∇k R jl = 0.
1.4 Divergente, Gradiente, Laplaciano e Hessiana em variedades Riemannianas 25
Portanto, a primeira contração da identidade (1-12) é:
gis ∇i R jkls +∇ j Rkl −∇k R jl = 0. (1-13)
Faremos agora, a dupla contração da segunda identidade de Bianchi. Assim,
multiplicando (1-12) por gis g jl e somando temos ,
gis g jl ∇i R jkls +gis g jl ∇ j Rkils +gis g jl∇k Ri jls = 0.
Pelo Lema (1.34), temos
gis ∇i (gjl R jkls)+g jl ∇ j (g
is Rkils)+gis ∇k (gjl Ri jls) = 0.
Usando (1-6), obtemos
gis ∇i Rks +g jl ∇ j Rkl −gis ∇k(gjl Ri jsl) = 0.
Assim,
gis ∇i Rks +g jl ∇ j Rkl −∇k gis Ris = 0.
Logo,
gis ∇i Rks +g jl ∇ j Rkl −∇k R = 0. (1-14)
Observe que temos uma soma em i,s e outra em j, l em (1-14). Portanto, os
índices podem ser nomeados igualmente, ou seja,
gi j ∇i Rk j +gi j ∇i Rk j −∇k R = 0.
Portanto, temos
2gi j ∇i Rk j −∇k R = 0. (1-15)
Maiores detalhes sobre as contrações da Segunda Identidade de Bianchi ver [5].
1.4 Divergente, Gradiente, Laplaciano e Hessiana em va-
riedades Riemannianas
Nesta seção faremos um breve estudo sobre gradiente e o divergente de campos
diferenciáveis em uma variedade Riemanniana M, bem como o Laplaciano e a Hessiana
de funções diferenciáveis definidas em M, expressando-os em um sistema de coordenadas
locais.
1.4 Divergente, Gradiente, Laplaciano e Hessiana em variedades Riemannianas 26
Definição 1.36 Seja f : M →R uma função diferenciável. O Gradiente de f é um campo
diferenciável ∇ f , definido sobre M por:
g(∇ f ,X) = DX f = d f (X),
para todo X ∈ X(M).
Proposição 1.37 Sejam f ,h ∈ D(M), então
1. ∇( f +h) = ∇ f +∇h.
2. ∇( f h) = h∇ f + f ∇h.
Proposição 1.38 Se f ∈ D(M) e U ⊂ M é uma vizinhança coordenada, com campos
coordenados ∂∂x1
, ...,∂
∂xn, então o gradiente de f é dado por:
∇ f = gkl ∂ f∂xl
∂
∂xk.
Em particular,
|∇ f |2 = gkl ∂ f∂xl
∂ f∂xk
.
Demonstração. Seja ∇ f = ak∂
∂xk, onde ak : U → R.
Note que,
⟨
ak∂
∂xk,
∂
∂xl
⟩
= ak
⟨∂
∂xk,
∂
∂xl
⟩
= ak gkl = d fp
(∂
∂xl
)
=∂ f∂xl
.
Temos que,
ak gkl gli = ak δik = ai = gli ∂ f
∂xl.
Agora, trocando i por k temos, ak = gkl ∂ f∂xl
. Portanto, ∇ f = gkl ∂ f∂xl
∂∂xk
.
Para a segunda igualdade, temos
|∇ f |2 = g
(
gkl ∂ f∂xl
∂
∂xk, gm j ∂ f
∂x j
∂
∂xm
)
= gkl gm j gkm∂ f∂xl
∂ f∂x j
= gkl δjk
∂ f∂xl
∂ f∂x j
= g jl ∂ f∂xl
∂ f∂x j
.
�
1.4 Divergente, Gradiente, Laplaciano e Hessiana em variedades Riemannianas 27
Definição 1.39 Sejam M uma variedade Riemanniana e X ∈ X(M) . O Divergente de X
é definido como:
divX : M −→ R
p 7−→ tr(Y (p)→ ∇Y X(p)), p ∈ M.
Definição 1.40 Seja M uma variedade Riemanniana. O Laplaciano de M é definido como
o operador
∆ f : D(M)−→ D(M)
f 7−→ ∆ f = div(∇ f ), f ∈ D(M)
Definição 1.41 Seja f : M → R uma função diferenciável. O Hessiano de f em p ∈ M é
o operador linear (Hess f )p : TpM → TpM dado por
(Hess f )p(v) = ∇v∇ f ,
e a forma bilinear simétrica associada é o tensor Hessiana de f : M → R dado por
∇2 f : X(M)×X(M)−→C∞(M)
(X ,Y ) 7−→ 〈∇X∇ f ,Y 〉.
Em um sistema de coordenadas locais, temos que
(Hess f )i j =∂2 f
∂xi∂x j−Γk
i j∂ f∂xk
.
Temos que a Hessiana de f é um (0,2) - tensor simétrico. Em coordenadas locais
denotaremos suas componentes por:
Hessg f (∂
∂xi,
∂
∂x j) = ∇i∇ j f .
Proposição 1.42 Se f : M → R é uma função diferenciável, então para cada p ∈ M
temos:
(∆ f )p = tr(Hess f )p.
1.4 Divergente, Gradiente, Laplaciano e Hessiana em variedades Riemannianas 28
Demonstração. Seja U ⊂ M uma vizinhança de p onde esteja definido um referencial
ortonormal {E1, ...,En}. Então,
tr(Hess f )p = 〈hess f (Ei),Ei〉p = 〈∇Ei ∇ f ,Ei〉p =
= div(∇ f )(p) = ∆ f (p).
�
Em coordenadas locais, temos:
∆ f = gi j(
∂2 f∂xi∂x j
−Γki j
∂ f∂xk
)
.
Daí,
∆ f = gi jHess f = gi j∇i∇ j f . (1-16)
Proposição 1.43 Seja M uma Variedade Riemanniana, então:
1. Para f e h funções diferenciáveis em M, segue que
∆( f h) = f ∆h+h∆ f + 〈∇ f ,∇h〉.
2. Se X é um campo vetorial diferenciável em M
div( f X) = f divX + 〈∇ f ,X〉. (1-17)
Definição 1.44 Seja f : M → R diferenciável, então:
∇ j f = gi j∇i f . (1-18)
Isso nos dá que gi j∇j f = ∇i f .
Lema 1.45 Seja (Mn,g) uma variedades Riemanniana, então
∇i∇ jRik −∇ j∇iRik = R jmRmk −Ri jkmRim. (1-19)
Demonstração. Ver [6]. �
1.5 Derivada de Lie 29
1.5 Derivada de Lie
Teorema 1.46 Se X é um campo C∞ num aberto V de uma vizinhança de M e p ∈ V,
então existem um aberto V0 ⊂ V , p ∈ V0, um número δ > 0, e uma aplicação C∞,
ϕ : (−δ,δ)×V0 → V , tais que a curva t → ϕ(t,q), t ∈ (−δ,δ), é a única trajetória de
X que no instante t = 0 passa pelo ponto q, para cada q ∈ V0. A aplicação ϕt : V0 → V
dada por ϕt(q) = ϕ(t,q) é chamada o fluxo de X em V. Fixando t, com |t|< δ , ϕt define
um difeomorfismo de V em ϕt(V ).
Demonstração. Ver [7]. �
Pelo teorema acima, dizemos que X gera um grupo ϕt chamado de subgrupo
(local) a 1- parâmetro de difeomorfismos locais.
Definição 1.47 Um campo de vetores X é dito completo se houver um grupo de 1-
parâmetro de difeomorfismo {ϕt} gerado por X.
Definição 1.48 Seja α um tensor e X um campo completo (esta definição estende-se ao
caso em X não é completo e somente define um grupo a 1-parâmetro de difeomorfismos
locais), a derivada de Lie de α com respeito a X é dada por
LX α = limt→0
1t(ϕ∗
t α−α) =ddt
∣∣∣∣t=0
ϕ∗t α,
onde ϕ∗t é o difeomorfismo induzido pelo ϕt .
Proposição 1.49 A derivada de Lie com respeito a X ∈ X(M) satisfaz as seguintes
propriedades:
1. Se f ∈C∞(M), então LX f = DX f ;
2. Se Y ∈ X(M),entoLXY = [X ,Y ];
3. Sejam α e β tensores, então LX(α⊗β) = (LX α)⊗β+α⊗ (LXβ);
4. Se α é um (0,r)− tensor, então para quaisquer Y1, ...,Yr ∈ X(M)
(LXα)(Y1, ...,Yr) = DX α(Y1, ...,Yr)−r
∑i=1
α(Y1, ...,Yi−1, [X ,Yi],Yi+1, ...,Yr)
= (∇Xα)(Y1, ...,Yr)+r
∑i=1
α(Y1, ...,Yi−1,∇YiX ,Yi+1, ...,Yr).
1.5 Derivada de Lie 30
Para uma prova desta Proposição veja [13].
Agora, note que, da Proposição (1.49), e do fato de ∇g = 0 temos que
(LX g)(Y,Z) = g(∇Y X ,Z)+g(Y,∇ZX), (1-20)
para todo X ,Y,Z ∈X(M). Além disso, se X =∇ f para alguma função f ∈C∞(M), teremos
LX g(Y,Z) = 2Hess f (Y,Z). (1-21)
De fato,
∇2 f (Y,Z) = g(∇Y ∇ f ,Z) e
LX g(Y,Z) = g(∇Y X ,Z)+g(Y,∇ZX) = g(∇Y X ,Z)+g(∇Y X ,Z) = 2g(∇Y X ,Z)
⇒ LX g(Y,Z) = 2Hess f (Y,Z).
Definição 1.50 Dizemos que um campo X de vetores diferenciáveis sobre (M,g) é de
Killing se LXg = 0. Se X é um campo de Killing completo, então o grupo a 1-parâmetro
de difeomorfismo ϕt que são gerados por X é um grupo a 1-parâmetro de isometrias de
(M,g).
Observação 3 . Para um campo de Killing X, temos,
LXRi j = 0, LX ∇Ri j = 0.
Maiores detalhes em [17].
Definição 1.51 Dizemos que um campo de vetores X é chamado de Campo conforme se
existe uma função ρ : M → R tal que LX g = 2ρg. A função ρ é o fator de conformidade
de X. Se X = ∇ f , então L∇ f g = 2∇2 f , daí, ∇2 f = ρg.
Lema 1.52 Se M tem curvatura escalar constante R e admite um campo conforme
X : LX g = 2ρg, ρ ≥ 0, então
∆ρ =−R
n−1ρ. (1-22)
Demonstração. Primeiramente, note que,
LX R = LX(gi jRi j) = (LX Ri j)g
i j +Ri jLX gi j.
Mas, LXgi j =−2ρgi j, daí,
LX R = (LX Ri j)gi j −Ri j2ρgi j
.
1.6 Fórmula de Bochner generalizada 31
Pela fórmula ([1.10]) de [18], temos:
LX Ri j =−(n−2)∇ j∇iρ− (∆ρ)gi j.
Assim,
LXRi j = (−(n−2)∇ j∇iρ+(∆ρ)gi j)gi j −2ρR,
= −gi j(n−2)∇ j∇iρ−∆ρgi jgi j −2ρR,
= −(n−2)∆ρ−n∆ρ−2ρR.
Mas, temos que R é constante, daí, LX R = 0. Assim, 2(n−1)∆ρ+2ρR = 0. Portanto,
∆ρ =−R
n−1ρ.
�
1.6 Fórmula de Bochner generalizada
Agora estabeleceremos uma fórmula geral que conduz à fórmula de Bochner
para campos gradiente.
Proposição 1.53 Sejam M uma variedade Riemanniana e X ∈ X(M) qualquer, então
div(LXg)(X) =12
∆|X |2−|∇X |2+Ric(X ,X)+DXdivX . (1-23)
Sendo X = ∇ f e Z ∈ X(M), então
div(LXg)(Z) = 2Ric(Z,X)+2DZdivX , (1-24)
Demonstração. Dado um referencial geodésico {ei}ni=1 em uma vizinhança de p ∈ M
qualquer e X ∈ X(M), temos que
div(LX g)(X) = ∇ei LX g(ei,X)
= ∇ei(LX g(ei,X))−LXg(∇ei ei,X)−LXg(ei,∇ei X)
= ∇ei(g(∇ei X ,X)+g(ei,∇X X))−g(∇∇ei ei X ,X)−g(∇eiei,∇X X)
−g(∇ei X ,∇eiX)−g(ei,∇∇ei XX)
= ∇ei g(∇ei X ,X)+∇eig(ei,∇X X)−g(∇eiX ,∇eiX)−g(ei,∇∇ei XX).
1.6 Fórmula de Bochner generalizada 32
Agora, note que, sendo ∇12|X |2 = α je j, temos que
α j = g
(
∇12|X |2,e j
)
= ∇e j
(12|X |2
)
= g(∇e jX ,X
).
Assim,
∇12|X |2 = g
(
∇12|X |2,e j
)
e j = g(∇e jX ,X
)e j.
Daí,
∆12|X |2 = div
(
∇
(12|X |2
))
= div
(
g
(
∇12|X |2,e j
)
e j
)
= ∇eig
(
∇12|X |2,e j
)(e j,ei
)= ∇eig
(
∇12|X |2,ei
)
= g
(
∇ei∇12|X |2,ei
)
+g
(
∇12|X |2,∇eiei
)
= g
(
∇ei∇12|X |2,ei
)
.
Além disso,
∇ei∇12|X |2 = ∇ei
(g(∇e jX ,X)e j
)= g
(∇e jX ,X
)∇eie j +∇ei
(g(∇e jX ,X
)e j)
e j
= ∇ei
(g(∇e jX ,X
)e j)
e j.
Logo,
∆12|X |2 = g
(∇ei
(g(∇e jX ,X
)e j)
e j,ei)= ∇ei
(g(∇e jX ,X
))g(ei,e j
)
= ∇ei (g(∇eiX ,X)) .
Lembrando que, ∇X = ∇eiX ⇒ |∇X |2 = g(∇eiX ,∇eiX). Então,
(divLXg)(X) = ∇eig(∇eiX ,X)+∇eig(ei,∇XX)
−g(∇eiX ,∇eiX)−g(ei,∇∇ei XX)
= ∆12|X |2+∇eig(ei,∇XX)−|∇X |2−g(ei,∇∇eiX
X)
= ∆12|X |2−|∇X |2+g(∇eiei,∇XX)+g(ei,∇ei∇X X)
−g(ei,∇∇eiXX)
= ∆12|X |2−|∇X |2+g(ei,∇
2ei,X X).
Portanto,
(divLXg)(X) = ∆12|X |2−|∇X |2+g(ei,∇
2ei,X
X).
Note ainda que,
Ric(X ,X) = g(R(ei,X)X ,ei) = g(∇2ei,XX −∇2
X ,eiX ,ei).
1.6 Fórmula de Bochner generalizada 33
Logo,
(divLXg)(X) = ∆12|X |2−|∇X |2+Ric(X ,X)+g(∇2
X ,eiX ,ei).
Usando que X = x je j ⇒ ∇X ei = x j∇e jei = 0 = x j∇eie j = ∇eiX , calculemos
DX divX = DX g(∇eiX ,ei) = ∇X g(∇eiX ,ei)
= g(∇X ∇eiX ,ei)+g(∇eiX ,∇Xei)
= g(∇2X ,ei
X ,ei)+g(∇∇X eiX),ei)
= g(∇2X ,ei
X ,ei).
Portanto,
div(LXg)(X) =12
∆|X |2−|∇X |2+Ric(X ,X)+DXdivX .
Além disso, sendo X = ∇ f , então para todo Z,Y ∈ X(M), temos
g(∇ZX ,Y ) = Hess f (Z,Y ) = Hess f (Y,Z) = g(Z,∇Y X).
Daí,
(divLXg)(Z) = tr{Y (p) 7→ ∇Y LXg(z)}= (∇eiLX g)(ei,Z)
= ∇ei(LXg(ei,Z))−LX g(∇eiei,Z)−LXg(ei,∇eiZ)
= ∇ei(g(∇eiX ,Z)+g(ei,∇ZX))− (g(∇eiX ,∇eiZ)+g(ei,∇ZX))
= ∇ei(g(∇ZX ,ei)+g(ei,∇ZX))− (g(∇∇eiZX ,ei)+g(ei,∇∇eiZ
X))
= ∇ei(2g(∇ZX ,ei)−2g(∇∇eiZX ,ei)
= 2g(∇ei∇ZX ,ei)+2g(∇ZX ,∇eiei)−2g(∇∇eiZX ,ei)
= 2g(∇ei∇ZX ,ei)+2g(∇∇eiZX ,ei) = 2g(∇2
ei,ZX ,ei)
= 2g(Rm(ei,Z)X ,ei)+g(∇2Z,ei
X ,ei)
= 2Ric(Z,X)+2g(∇2Z,ei
X ,ei)
= 2Ric(Z,X)+2DZdivX .
Logo,
(divLXg)(Z) = 2Ric(Z,X)+2DZdivX .
�
Corolário 1.54 Se X = ∇ f com f ∈C∞(M), então
∆12|∇ f |2 = |∇2 f |2 + 〈∇ f ,∇∆ f 〉+Ric(∇ f ,∇ f ). (1-25)
1.6 Fórmula de Bochner generalizada 34
Demonstração. Observe primeiramente que
D∇ f div ∇ f = 〈∇ f ,∇∆ f 〉. (1-26)
De fato,
D∇ f div∇ f = g(∇∇ f ∇ei∇ f ,ei) = g(∇∇ek ( f )ek∇ei∇ f ,ei)
= g(∇ek( f )∇ek∇ei∇ f ,ei) = g(∇ek( f )∇ek∇ei∇e j( f )e j,ei)
= ∇ek( f )∇ek(∇ei(∇ei( f ))).
E,〈∇ f ,∇∆ f 〉 = 〈∇ek( f )ek,∇(∇ei(∇ei( f ))− (∇eiei)( f ))〉
= 〈∇ek( f )ek, ∇(∇ei(∇ei( f )))−∇(∇eiei)( f )〉
= 〈∇ek( f )ek, ∇e j(∇ei(∇ei( f )))e j −∇e j((∇eiei)( f ))e j〉
= ∇ek( f )[∇ek(∇ei(∇ei( f )))−∇ek((∇eiei)( f ))]
= ∇ek( f )∇ek(∇ei(∇ei( f ))).
Agora, tomando Z = ∇ f em (1-24) e igualando a (1-23) obtemos
12
∆|∇ f |2 = 2Ric(∇ f ,∇ f )+2D∇ f div ∇ f + |∇2 f |2 −Ric(∇ f ,∇ f )−D∇ f div ∇ f
= |∇2 f |2 +Ric(∇ f ,∇ f )+D∇ f div ∇ f .
Portanto, por (1-26), temos
12
∆|∇ f |2 = |∇2 f |2 +Ric(∇ f ,∇ f )+ 〈∇ f ,∇∆ f 〉.
�
A igualdade (1-25) constitui a fórmula de Bochner para campos gradiente mencionada
anteriormente.
A partir de agora enunciaremos alguns teoremas e proposições que serão de
grande relevância na demonstração dos resultados principais do nosso trabalho. Não
iremos demonstrá-los, mas indicaremos referências onde os leitores poderão encontrá-
las.
Teorema 1.55 Seja (Mn,g) uma variedade de Einstein, Ricg = λg, conexa de dimensão
n ≥ 3, então λ é constante.
Demonstração. Ver [7]. �
Definição 1.56 Seja M uma variedade Riemanniana completa com tensor métrico. Di-
zemos que um campo escalar não-constante ρ em M é campo escalar concircular, ou
1.6 Fórmula de Bochner generalizada 35
simplesmente concircular, se ele satisfaz a equação:
∇i∇ jρ = φ gi j, (1-27)
onde φ é um campo escalar, chamado função caracteristica de ρ.
Denotaremos o número de pontos estacionários isolados de um campo escalar
concircular ρ em M por N.
Teorema 1.57 Se uma variedade Riemanniana completa M de dimensão n ≥ 2 admite
um campo escalar concircular ρ, então N ≤ 2 e M é conforme a uma das seguintes
variedades:
1. Se N = 0, um produto direto V × J de uma variedade Riemanniana completa
(n−1)−dimensional V com um intervalo J de uma reta,
2. Se N = 1, um domínio Euclidiano n−dimensional interior a uma esfera (n−1)−
dimensional e, consequentemente, um espaço hiperbólico n−dimensional,
3. Se N = 2, um espaço esférico n−dimensional.
Demonstração. Ver [16]. �
Teorema 1.58 Seja M uma variedade Riemanniana completa de dimensão n ≥ 2. Supo-
nha que admite um campo especial concircular ρ satisfazendo a equação
∇i∇ jρ = (−Rρ+b)gi j, (1-28)
onde R é curvatura escalar constante e b uma constante. Então, M é uma das seguintes
variedades:
i ) Se R = b = 0, o produto direto V × I de uma variedade Riemanniana completa
(n−1)−dimensional V com uma linha reta I.
ii ) Se R = 0 mas b 6= 0, um espaço euclidiano.
iii ) Se R =−c2 < 0 e N = 0, um espaço pseudo-hiperbólico do tipo zero ou negativo.
iv )Se R =−c2 < 0 e N = 1, um espaço hiperbólico de curvatura −c2.
v ) Se R = c2 > 0, um espaço esférico de curvatura c2, onde c é uma constante positiva.
Demonstração. Ver [16]. �
1.6 Fórmula de Bochner generalizada 36
Teorema 1.59 Se uma variedade Riemanniana M compacta de dimensão n ≥ 2 com
R = constante, admite um campo conforme X : LX g = 2ρg, ρ 6= 0 e se uma das seguintes
condições abaixo são satisfeitas, então M é isométrico a esfera Sn.
a ) A 1− f orma ε associada com X é a diferencial de uma função.
b ) QDρ = λDρ, onde λ é uma constante.
c ) LX Ricg = αg, onde α é uma função.
Demonstração. Ver [17]. �
Teorema 1.60 (Bonnet-Myers). Seja Mn uma variedade Riemanniana completa. Supo-
nhamos que a curvatura de Ricci de M satisfaz
Ricp(v)≥1r2 > 0,
para todo p ∈ M e todo v ∈ TpM, |v|= 1. Então M é compacta e o diâmetro diam(M)≤
π r.
Demonstração. Ver [7]. �
Teorema 1.61 Seja (Mn,g) variedade Riemanniana compacta com Ricg ≥Rn
g, então
o primeiro autovalor do Laplaciano satisfaz λ1 ≥R
n−1, a igualdade é satisfeita se, e
somente se, M é isométrico a esfera Sn.
Teorema 1.62 Seja M uma variedade Riemanniana completa de dimensão n ≥ 2. Para
que M admita uma solução não trivial ρ para o sistema de equações diferenciais parciais
∇∇ρ =−1n
∆ρg
é necessário e suficiente que M seja conforme a uma esfera euclidiana no espaço
(n+1)−dimensional.
Demonstração. Ver [17]. �
Teorema 1.63 (Integral por partes). Seja u,v ∈C1(M). Então,
∫M
uxi vdx =−
∫M
u vxi dx+∫
∂Muv νi dS, (i = 1,2, ...,n).
Demonstração. Ver [8]. �
1.6 Fórmula de Bochner generalizada 37
Teorema 1.64 (Teorema do Divergente). Seja X um campo vetorial de classe C1(M) e
com suporte compacto em M. Então,
∫M
divXdV =
∫∂M
〈X ,v〉dA,
onde dV representa a forma volume de g, dA é a forma volume da fronteira ∂M com
repeito à métrica induzida. E v denota o campo vetorial unitário normal e exterior a ∂M.
Teorema 1.65 (Identidade de Green). Sejam h, f ∈ C1(M) tal que h∇ f têm suporte
compacto em M, então
∫M(h∆ f + 〈∇h,∇ f 〉)dV =
∫∂M
h∂ f∂v
dA.
Se também temos h ∈C2(M) e ambos f ,h tem suporte compacto em M, então
∫M(h∆ f − f ∆h)dV =
∫∂M
(
h∂ f∂v
− f∂h∂v
)
dA.
Teorema 1.66 (Teorema de E. Hopf). Seja M uma variedade Riemanniana orientável
compacta e conexa. Seja f uma função diferenciável em M com ∆ f ≥ 0. Então f =
constante. Em particular, as funções harmônicas em M, isto é, aquelas para as quais
∆ f = 0 são constantes.
CAPÍTULO 2Resultados de Gradiente Quase Ricci Soliton
Neste capítulo, estudaremos alguns resultados sobre a estrutura de um gradiente
quase Ricci soliton obtidos por Barros, Batista e Ribeiro [1].
Definição 2.1 Uma variedade Riemanniana (Mn,g) é um quase Ricci Soliton, se existe
um campo de vetores completo e uma função suave λ : Mn → R satisfazendo
Ricg +12
LX = λ g.
Onde LX é a derivada de Lie, Ricg é o tensor de Ricci.
Dizemos que um quase Ricci soliton é expanding, steady, ou shirinking, se λ< 0,
λ = 0 ou λ > 0, respectivamente. Quando o campo de vetores X é o gradiente de uma
função f : Mn → R a variedade é chamada de gradiente quase Ricci soliton. Neste caso,
escrevemos
Ric+∇2 f = λ g, (2-1)
onde ∇2 f é a Hessiana de f . Em coordenadas locais um gradiente quase Ricci soliton
pode ser escrito como segue,
Ri j +∇i ∇ j f = λ gi j. (2-2)
Proposição 2.2 Seja (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton, então as seguintes
fórmulas são satisfeitas:
1. R+∆ f = n λ.
2. ∇iR = 2Ri j ∇ j f +2(n−1) ∇iλ.
3. ∇ jRik −∇iR jk −Ri jks ∇s f = (∇ jλ) gik − (∇iλ) g jk.
4. ∇(R+|∇ f |2 −2(n−1) λ) = 2λ ∇ f .
39
Demonstração. Para provarmos 1, basta tomarmos o traço em (2-2),
gi j Ri j +gi j ∇i ∇ j f = gi j λ gi j.
Assim, por (1-7) e (1-16) temos, R+∆ f = n λ.
2. Pela segunda identidade de Bianch, contraída 2-vezes (1-15), temos:12
∇iR = div Rici.
Assim, usando-a juntamente com (2-2), (1-6) e a identidade de Ricci (1-11) obtemos:
12
∇iR = divRici = g jk ∇k Ri j
= g jk ∇k(−∇i∇ j f +λ gi j)
= −g jk ∇k∇i∇ j f +g jk (∇kλ) gi j
= −g jk (∇i∇k∇ j f −Rki js∇s f )+g jk (∇kλ) gi j
= −g jk ∇i∇k∇ j f +g jk Rki js∇s f +g jk (∇kλ) gi j
= −∇igjk ∇k∇ j f −Ris ∇s f + δk
i (∇k λ)
= −∇i (∆ f )−Ris ∇s f +(∇i λ). (2-3)
Derivando 1. temos que: ∇i (∆ f ) = n ∇i λ−∇i R, substituindo em (2-3) obtemos,
12
∇iR = = −n ∇i λ+∇iR−Ris ∇s f +(∇i λ)
= (1−n)∇iλ+∇iR−Ris ∇s f .
Logo,
12
∇iR−∇iR = (1−n) ∇i λ−Ris ∇s f
= (1−n) ∇i λ−Ris ∇s f .
Daí,
∇i R = 2Ris ∇s f +2(n−1) ∇i λ.
3- Note que por (2-2), temos:
{
Rik +∇i∇k f = λ gik
R jk +∇ j∇k f = λ g jk=⇒
{
∇ j Rik +∇ j∇i∇k f = (∇ j λ) gik
∇i R jk +∇i∇ j∇k f = (∇i λ) g jk
Fazendo a subtração da primeira expressão pela segunda obtemos:
∇ j Rik −∇i R jk − (∇i∇ j∇k f −∇ j∇i∇k f ) = (∇ j λ) gik − (∇i λ) g jk.
40
Assim, pela identidade de Ricci (1-11), temos que, ∇i∇ j∇k f − ∇ j∇i∇k f = Ri jks∇s f .
Logo,
∇ jRik −∇iR jk −Ri jks∇s f = (∇ jλ)gik − (∇iλ)g jk.
4 - Como12
∇(R+ |∇ f |2) =12
∇R+12
∇|∇ f |2,
segue pelo item 2. que
12
∇(R+ |∇ f |2) = (n−1)∇λ+Ric(∇ f )+12
∇|∇ f |2,
onde Ric(∇ f ) é a aplicação linear auto-adjunta associada ao tensor de Ricci.
Pela equação fundamental (2-1), temos
〈Ric(∇ f ),∇ f 〉+ 〈∇∇ f ∇ f ,∇ f 〉= λ〈∇ f ,∇ f 〉.
Daí,
Ric(∇ f )+∇∇ f ∇ f = λ∇ f . (2-4)
Além disso, note que ∇|∇ f |2 = ∇∇ f ∇ f .
De fato, seja Y ∈ X(M), então,
〈∇|∇ f |2,Y 〉 = Y (|∇ f |2)
= Y 〈∇ f ,∇ f 〉
= 〈∇Y ∇ f ,∇ f 〉+ 〈∇ f ,∇Y ∇ f 〉
= 2〈∇Y ∇ f ,∇ f 〉
= 2Hess f (Y,∇ f )
= 2Hess f (∇ f ,Y )
= 2〈∇∇ f ∇ f ,Y 〉.
Assim, de (2-4), temos
12
∇(R+ |∇ f |2) = (n−1)∇λ+Ric(∇ f )+∇∇ f ∇ f
= (n−1)∇λ+λ∇ f ,
concluindo, assim, a Proposição. �
Observação 4 O item 2. da Proposição (2.2) permite concluir que para todo Z ∈ X(M)
2.1 Laplaciano da curvatura de Ricci e da curvatura escalar 41
temos
g(∇R,Z) = 2Ric(∇ f ,Z)+2(n−1)g(∇λ,Z). (2-5)
2.1 Laplaciano da curvatura de Ricci e da curvatura
escalar
Agora, encontraremos o laplaciano da curvatura de Ricci e, como consequência
desta, obteremos o laplaciano da curvatura escalar.
Lema 2.3 Seja (Mn,g) uma variedade Riemanniana. Então,
∇ j∇iR jk = ∇i∇jR jk +RisR
sk +Riks jR
sj. (2-6)
∇ jRi jks∇s f = ∇sRik∇s f −∇kRis∇
s f . (2-7)
Demonstração. De fato,
• Em [17] foi provado que, ∇i∇ jRlk −∇ j∇iRlk =−Ri jmlRmk −Ri jmkRlm.
Daí, note que
∇ j∇iR jk −∇i∇jR jk = g js∇s∇iR jk −∇ig
js∇sR jk
= g js(∇s∇iR jk −∇i∇sR jk)
= g js(−Rsim jRmk −RsimkR jm)
= Rs ji jgjsR jk +Rsikmg jsR jm
= Rs ji jRsk +Rsik jR
sj
= RsiRsk +Riks jR
sj.
Logo, ∇ j∇iR jk = ∇i∇jR jk +RisRs
k +Riks jRsj. Obtendo assim, (2-6).
• Pela primeira contração da identidade Bianchi (1-13), temos
g jl∇lRi jks = ∇sRik −∇kRis.
Assim, multiplicando ∇s f na igualdade acima obtemos
g jl∇lRi jks∇s f = ∇sRik∇s f −∇kRis∇
s f .
Portanto, ∇ jRi jks∇s f = ∇sRik∇s f −∇kRis∇
s f .
�
2.1 Laplaciano da curvatura de Ricci e da curvatura escalar 42
Lema 2.4 Considere (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton, então valem as
seguintes identidades:
∆Rik = 〈∇Rik,∇ f 〉+λRik −2Ri jksRjs +RisR
sk +
12
∇k∇iR−∇kRsi∇s f +∆λgik −∇k∇iλ
(2-8)
∆Ri j = 〈∇Ri j,∇ f 〉−2λRi j −2Rik jsRks +(n−2)∇ j∇iλ+∆λgi j. (2-9)
∆R = 〈∇R,∇ f 〉+2λR−2|Ricg|2 +2(n−1)∆λ (2-10)
Demonstração. Note que, ∆Rik = g js∇s∇ jRik = ∇ j∇ jRik. Pela Proposição (2.2) item 3.,
temos
∆Rik = ∇ j(∇iR jk +Ri jks∇s f +∇ jλgik −∇iλg jk)
= ∇ j∇iR jk +∇ j(Ri jks∇s f )+∇ j∇ jλgik −∇ j∇iλg jk
= ∇ j∇iR jk +∇ jRi jks∇s f +Ri jks∇
j∇s f +∆λgik −g js∇s∇iλg jk
= ∇ j∇iR jk +∇ jRi jks∇s f +Ri jks∇
j∇s f +∆λgik −∇k∇iλ (2-11)
Usando (2-6), (2-7) em (2-11), temos
∆Rik = ∇i∇jR jk +RisR
sk +Riks jR
sj −∇kRsi∇
s f +∇sRik∇s f (2-12)
+Ri jks∇j∇s f +∆λgik −∇k∇iλ.
Além disso, vamos usar as seguintes identidades:
∇i∇jR jk =
12
∇i∇kR. (2-13)
Tal igualdade é obtida pela segunda contração de Bianchi (1-15), ou seja,
∇ jR jk =12
∇kR ⇒ ∇i∇jR jk =
12
∇i∇kR.
Também temos que,
Ri jks∇j∇s f = Rikλ−Ri jksR
js. (2-14)
2.1 Laplaciano da curvatura de Ricci e da curvatura escalar 43
Observe que (2-14) de fato ocorre,
Ri jks ∇ j∇s f = Ri jks g jl ∇l gsi ∇i f
= Ri jks g jl gsi∇l∇i f
= Ri jks g jl gsi(λ gli −Rli)
= Ri jks g jl gsiλ gli −Ri jks g jl gsi Rli
= Ri jks g jl δsl λ−Ri jks g jl Rs
l
= g js Ri jks λ−Ri jks R js
= Rikλ−Ri jks R js.
E,
〈∇Rik,∇ f 〉= ∇s Rik ∇s f . (2-15)
Note que,
〈∇Rik,∇ f 〉 =
⟨
g js ∂ Rik
∂xs
∂
∂x j, glh ∂ f
∂xl
∂
∂xh
⟩
= g js∇s Rik glh ∇l f
⟨∂
∂x j,
∂
∂xh
⟩
= g jsg jh∇s Rik ∇h f = δsh ∇s Rik ∇h f = ∇s Rik ∇s f .
Assim, usando (2-13), (2-14) e (2-15) em (2-12) temos,
∆Rik =12
∇i∇kR+RisRsk +Riks jR
sj −∇kRsi∇
s f + 〈∇Rik,∇ f 〉 (2-16)
−Ri jksRjs +λRik +∆λgik −∇k∇iλ
Por [17] obtemos,12
∇i∇kR+Riks j Rsj =
12
∇k∇iR−Ri jks R js. (2-17)
Daí, substituindo (2-17) em (2-16) temos,
∆Rik = 〈∇Rik,∇ f 〉+λRik −2Ri jksRjs +RisR
sk +
12
∇k∇iR
−∇kRsi∇s f +∆λgik −∇k∇iλ.
Obtendo assim (2-8).
Agora, note que, pela Proposição (2.2) item 2. temos,
12
∇k(∇i R−2Ris ∇s f −2(n−1)∇i λ) = 0.
2.1 Laplaciano da curvatura de Ricci e da curvatura escalar 44
Daí,12
∇k∇iR−∇k Ris ∇s f = Ris ∇k∇s f +(n−1)∇k∇i λ. (2-18)
Por (2-8) e usando (2-18) temos,
∆Rik = 〈∇Rik,∇ f 〉+λ Rik −2Ri jks R js +Ris Rsk
+Ris ∇k∇s f +(n−1)∇k∇iλ+∆λgik −∇k∇iλ
= 〈∇Rik,∇ f 〉+λ Rik −2Ri jks R js +Ris Rsk +Ris ∇kgs j∇ j f
+(n−2)∇k∇iλ+∆λgik
= 〈∇Rik,∇ f 〉+λ Rik −2Ri jks R js +Ris Rsk +gs jRis (λgk j −Rk j)
+(n−2)∇k∇iλ+∆λgik
= 〈∇Rik,∇ f 〉+λ Rik −2Ri jks R js +Ris Rsk +λ Rik −Ris Rs
k
+(n−2)∇k∇iλ+∆λgik
= 〈∇Rik,∇ f 〉+2λ Rik −2Ri jks R js +(n−2)∇k∇iλ+∆λgik.
Portanto, fazendo k = j e j = k, obtemos,
∆Ri j = 〈∇Ri j,∇ f 〉+2λ Ri j −2Rik js Rks +(n−2)∇ j∇iλ+∆λgi j.
Obtendo assim (2-9).
Agora, tomando o traço em (2-9),
gi j ∆Ri j = gi j 〈∇Ri j,∇ f 〉−gi j 2λRi j −gi j 2Rik jsRks
+gi j (n−2)∇ j∇iλ+gi j ∆λgi j.
Assim,
∆ gi j Ri j = 〈∇gi j Ri j,∇ f 〉−2λgi j Ri j −2gi j Rik jsRks
+(n−2)gi j ∇ j∇iλ+gi j gi j ∆λ.
Daí, por (1-6), (1-7), (1-16) e (1-5), temos que
∆R = 〈∇R,∇ f 〉+2λR−2|Ricg|2 +2(n−1)∆λ,
concluindo a demonstração do Lema. �
2.1 Laplaciano da curvatura de Ricci e da curvatura escalar 45
Corolário 2.5 Seja (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton. Se
λR+(n−1)∆λ > |Ricg|2,
então R é constante, na vizinhança de qualquer máximo local.
Demonstração. De fato, usando a igualdade (2-10) do Lema (2.4), temos que
12
∆ f R ≥ 0,
onde ∆ f R = ∆R−〈∇ f ,∇R〉 é o operador difusão. Assim, pelo princípio do máximo para
EDP’s elípticas, obtemos que R é constante na vizinhança de qualquer máximo local. �
Lema 2.6 Seja (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton, então vale a seguinte
igualdade:12
∆R+ |Ricg−Rn
g|2 = (n−1)∆λ+Rn
∆ f +12〈∇R,∇ f 〉. (2-19)
Demonstração. De fato, aplicando o divergente em 4. Proposição (2.2), obtemos:
12
∆R+12
∆|∇ f |2 = (n−1)∆λ+λ∆ f + 〈∇λ,∇ f 〉. (2-20)
Pelo Corolário (1.54) temos,
12
∆|∇ f |2 = |∇2 f |2 +Ric(∇ f ,∇ f )+ 〈∇ f ,∇(∆ f )〉. (2-21)
Substituindo (2-21) em (2-20), temos,
12
∆R+ |∇2 f |2 +Ric(∇ f ,∇ f )+ 〈∇ f ,∇∆ f 〉= (n−1)∆λ+λ∆ f + 〈∇λ,∇ f 〉. (2-22)
Usando os itens 1. e 2. da Proposição (2.2), a equação (2-22) pode ser escrita por:
12
∆R+ |∇2 f |2 +Ric(∇ f ,∇ f )+ 〈∇ f ,∇∆ f 〉=12
∆R+ |∇2 f |2 −12〈∇R,∇ f 〉+ 〈∇λ,∇ f 〉.
Assim, (2-22) se reduz a:
12
∆R+ |∇2 f |2 = (n−1)∆λ+λ∆ f +12〈∇R,∇ f 〉. (2-23)
Como |∇2 f −∆ fn
g|2 = |∇2 f |2 −(∆ f )2
n, pela equação (2-23) obtemos que:
12
∆R+ |∇2 f −∆ fn
g|2 = (n−1)∆λ+∆ f (λ−∆ fn)+
12〈∇R,∇ f 〉.
2.1 Laplaciano da curvatura de Ricci e da curvatura escalar 46
Pela equação fundamental (2-1) e pelo item 1. da Proposição (2.2) temos que
∇2 f = λg−Ricg e∆ fn
= λ−Rn.
Portanto, (2-22) é igual a:
12
∆R+ |Ricg−Rn
g|2 = (n−1)∆λ+1n
R∆ f +12〈∇R,∇ f 〉,
concluindo assim a igualdade desejada. �
Usando a equação (2-19) obtemos a seguinte proposição.
Proposição 2.7 Todo gradiente quase Ricci soliton steady cuja curvatura escalar atinge
seu mínimo é Ricci flat.
Demonstração. Por hipótese temos que λ = 0. Daí usando (2-19), temos:
12
∆R+ |Ricg −Rn
g|2 =1n
R∆ f +12〈∇R,∇ f 〉.
⇒12
∆ f R =−R2
n−|Ricg −
Rn
g|2 ≤ 0. (2-24)
Considerando p um ponto de mínimo da curvatura escalar, então em p temos,
0 ≤12
∆ f R =−R2
n−|Ricg −
Rn
g|2 ≤ 0,
pois em p, ∆ f R = ∆R ≥ 0. Segue que R(p) = 0 e Ric(p) = 0.
Como ∆ f R ≤ 0 e p é mínimo global, segue pelo princípio do máximo de E.D.P’s
Elípticas, aplicado a ∆ f R, que R é constante e igual a R(p) = 0
Assim, R = 0 =⇒ Ricg = 0, e portanto,(Mn,g) é um Rici flat. �
Lema 2.8 Seja (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton. Então as seguintes
fórmulas são satisfeitas:
1. (divRm) jkl = Rlk js∇s f +(∇kλ) g jl − (∇lλ) gk j.
2. ∇i(Ri jkl e− f ) = ((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f .
3. ∇i(Rik e− f ) = ((n−1)∇kλ) e− f .
Demonstração. 1. Temos que,
(divRm) jkl = ∇iRi jkl = ∇iRkli j.
2.1 Laplaciano da curvatura de Ricci e da curvatura escalar 47
Pela segunda identidade de Bianch (1-12), temos:
(divRm) jkl = −∇kRi jli −∇lRiki j
= ∇kRi jil −∇lRiki j
= ∇kR jl −∇lRk j.
Pelo item 3. da Proposição (2.2) segue que,
(divRm) jkl = Rlk js ∇s f +(∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j.
2. Observe que, pela regra de derivação e pelo item anterior, temos:
∇i(Ri jkl e− f ) = ∇iRi jkl e− f −∇i f Ri jkl e− f
= (Rlk js ∇s f +(∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f −∇i f Ri jkl e− f
= (Rlk js ∇s f −∇i f Ri jkl) e− f +((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f
= (Rlk js gsi ∇i f −∇i f Ri jkl) e− f +((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f
= (gsi Rlk js ∇i f −∇i f Ri jkl) e− f +((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f
= (Rlk ji ∇i f −∇i f Ri jkl) e− f +((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f
= (R jilk ∇i f −∇i f Ri jkl) e− f +((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f
= (−Ri jlk ∇i f −∇i f Ri jkl) e− f +((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f
= (Ri jkl ∇i f −∇i f Ri jkl) e− f +((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f
= ((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f.
Logo,
∇i(Ri jkl e− f ) = ((∇kλ) gl j − (∇lλ) gk j) e− f.
3. Temos que,
∇i(Rik e− f ) = ∇iRik e− f −∇i f Rik e− f.
A primeira identidade é dada por:
∇iRi jkl = Rlk js∇s f +(∇kλ) g jl − (∇lλ) gk j. (2-25)
Multiplicando g jl em (2-25), temos que:
∇i(gjlRi jkl) = g jl Rlk js ∇s f +∇kλ n−∇lλ δk
l
2.2 Fórmulas Integrais 48
Por (1-6) segue que,
∇iRik = Rks ∇s f +∇kλ n−∇kλ,
ou seja,
∇iRik = Rks ∇s f +(n−1) ∇kλ.
Logo,
∇i(Rik e− f ) = ∇iRik e− f −∇i f Rik e− f
= (Rks ∇s f +(n−1) ∇kλ−∇i f Rik) e− f
= (gsi Rks ∇i f +(n−1) ∇kλ−∇i f Rik) e− f
= (Rik ∇i f +(n−1) ∇kλ−∇i f Rik) e− f
= (n−1) ∇kλ e− f.
�
2.2 Fórmulas Integrais
Corolário 2.9 Seja (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton compacto. Então,
temos:
12
∫M|divRm|2e− f dVg = −
∫M
R〈∇λ,∇ f 〉dVg−∫
MRlk js∇l∇
s f Rk je− f dVg
− (n−1)∫
M|∇λ|2e− f dVg +
∫M〈∇λ,∇R〉e− f dVg.
Demonstração. Note que,
(divRm) jkl = ∇kR jl −∇lRk j.
Daí,
|divRm|2 = 〈∇kRl j −∇lR jk,∇kRl j −∇lR jk〉= (∇kR jl −∇lR jk)(∇kR jl −∇lR jk)
Por (3) da Proposição (2.2), temos
|divRm|2 = (∇kRl j −∇lRk j)(Rlk js∇s f +∇kλgl j −∇lλgk j)
= Rlk js∇s f (∇kRl j −∇lRk j)+(∇kλgl j −∇lλgk j)(∇kRl j −∇lRk j)
= Rlk js∇s f ∇kRl j −Rlk js∇
s f ∇lRk j +(∇kλgl j −∇lλgk j)(∇kRl j −∇lRk j).
2.2 Fórmulas Integrais 49
Assim,
∫M|divRm|2 e− f dVg = −
∫M
Rlk js ∇s f ∇lRk j e− f dVg +∫
MRlk js ∇s f ∇kRl j e− f dVg
+∫
M(∇kλ gl j −∇lλ gk j)(∇kRl j −∇lRk j) e− f dVg. (2-26)
Agora, usando o Teorema (1.63) e como M é compacta, podemos integrar por partes para
obter,
−
∫M
Rlk js ∇s f ∇lRk j e− f dVg =
∫M
∇l(Rlk js e− f )∇s f Rk j dVg
+
∫M
Rlk js∇l∇s f Rk j e− f dVg, (2-27)
e,
∫M
Rlk js ∇s f ∇kRl j e− f dVg = −∫
M∇k(Rlk js e− f )∇s f Rl j dVg
−∫
MRlk js ∇k∇s f Rl j e− f dVg. (2-28)
Assim, substituindo (2-27) e (2-28) em (2-26), temos
∫M|divRm|2 e− f dVg =
∫M
∇l(Rlk js e− f )∇s f Rk j dVg +∫
MRlk js∇l∇
s f Rk j e− f dVg
−∫
M∇k(Rlk js e− f )∇s f Rl j dVg −
∫M
Rlk js ∇k∇s f Rl j e− f dVg
= −∫
M∇l(Rkl js e− f )∇s f Rk j dVg −
∫M
Rkl js∇l∇s f Rk j e− f dVg
−∫
M∇k(Rlk js e− f )∇s f Rl j dVg −
∫M
Rlk js ∇k∇s f Rl j e− f dVg
+
∫M(∇kλ gl j −∇lλ gk j)(∇kRl j −∇lRk j) e− f dVg.
Daí,
∫M|divRm|2 e− f dVg = −2
∫M
Rlk js∇l∇s f Rl j e− f dVg −2
∫M
∇l(Rlk js e− f )∇s f Rl j dVg
+
∫M〈∇λ, ∇R〉 e− f dVg. (2-29)
Observe que,
−2∫
M∇l(Rlk js e− f )∇s f Rk jdVg = −2
∫M
R 〈∇λ, ∇ f 〉 e− f dVg
+2∫
MRic(∇ f , ∇λ) e− f dVg. (2-30)
2.2 Fórmulas Integrais 50
De fato, usando item (2) do Lema (2.8), temos
−2∫
M∇l(Rlk js e− f )∇s f Rl j dVg = −2
∫M((∇sλ) g jk − (∇ jλ) gsk) e− f ∇s f Rl jdVg
= −2∫
M(∇sλ) g jk ∇s f Rl j e− f dVg
+2∫
M(∇ jλ) gsk ∇s f Rl j e− f dVg
= −2∫
M(∇sλ) g jk gs j ∇ j f Rl j e− f dVg
+2∫
M(∇ jλ) gsk gs j ∇ j f Rl j e− f dVg.
Daí,
−2∫
M∇l(Rlk js e− f )∇s f Rl j dVg = −2
∫M(∇sλ) g jk ∇ j f gs j Rl j e− f dVg
+2∫
M(∇ jλ) δ
jk∇ j f Rl j e− f dVg (2-31)
Usando (1-7) em (2-31), temos
−2∫
M∇l(Rlk js e− f )∇s f Rl j dVg = −2
∫M
R ∇ j f ∇lλ g jk e− f dVg
+2∫
MRl j ∇ j f ∇ jλ e− f dVg
= −2∫
MR 〈∇λ, ∇ f 〉 e− f dVg
+2∫
MRic(∇ f , ∇λ) e− f dVg.
Assim, substituindo (2-30) em (2-29), obtemos
∫M|divRm|2 e− f dVg = −2
∫M
R 〈∇λ, ∇ f 〉 e− f dVg −2∫
MRlk js∇l∇
s f Rl j e− f dVg
+2∫
MRic(∇ f , ∇λ) e− f dVg +
∫M〈∇λ, ∇R〉 e− f dVg. (2-32)
Fazendo Z = ∇λ em (2-5), temos
2Ric(∇ f , ∇λ) = 〈∇R, ∇λ〉−2(n−1)〈∇λ, ∇λ〉.
2.2 Fórmulas Integrais 51
Daí, substituindo em (2-32), temos
∫M|divRm|2 e− f dVg = −2
∫M
R 〈∇λ, ∇ f 〉 e− f dVg −2∫
MRlk js∇l∇
s f Rl j e− f dVg
−2(n−1)∫
M|∇λ|2 e− f dVg +2
∫M〈∇λ, ∇R〉 e− f dVg,
concluindo assim o Lema. �
Lema 2.10 Seja (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton compacto, então
∫M|divRm|2e− f dVg =
∫M|∇Ricg|
2e− f dVg −∫
MR∆λe− f dVg −n(n−1)
∫M|∇λ|2e− f dVg.
Demonstração. Segue pelo Teorema (1.63) e do fato de M ser compacta que,
−2∫
M∇kR jl ∇lR jk e− f dVg = 2
∫M
R jk∇l∇kR jl e− f dVg −2∫
MR jk ∇kR jl∇l f e− f dVg
= 2∫
MR jk∇i∇ jRik e− f dVg −2
∫M
R jk ∇ jRik∇i f e− f dVg.
Usando (1-19) temos,
−2∫
M∇kR jl ∇lR jk e− f dVg = 2
∫M
R jk (∇ j∇iRik +R jm Rmk −Ri jkm Rim) e− f dVg
−2∫
MR jk ∇ jRik∇i f e− f dVg. (2-33)
Observe que, pelo Teorema (1.63) obtemos,
−2∫
MR jk ∇ jRik ∇i f e− f dVg = 2
∫M
∇ j (R jk e− f ) Rik ∇i f dVg+2∫
MR jk Rik ∇ j∇i f e− f dVg.
Assim, substituindo em (2-33) temos
−2∫
M∇kR jl ∇lR jk e− f dVg = 2
∫M
R jk ∇ j∇iRik +2∫
MR jkR jm Rmk −2
∫M
R jkRi jkm Rim e− f dVg
+2∫
M∇ j (R jk e− f ) Rik ∇i f dVg
2+∫
MR jk Rik ∇ j∇i f e− f dVg. (2-34)
Note que,
2∫
MR jk ∇ j∇iRik e− f dVg =−2
∫M
∇ j(R jk e− f )∇iRik dVg. (2-35)
2.2 Fórmulas Integrais 52
De fato, pelo Lema (2.8)
−2∫
M∇ j(R jk e− f )∇iRik dVg = −2
∫M(∇ jR jk e− f −R jk ∇ j f e− f )∇iRik dVg
= −2∫
M∇ jR jk∇iRik e− f dVg +2
∫M
R jk ∇ j f ∇iRik e− f dVg
= 2∫
MR jk∇ j∇iRik e− f dVg −2
∫M
R jk ∇iRik∇ j f e− f dVg
+2∫
MR jk ∇ j f ∇iRik e− f dVg
= 2∫
MR jk ∇ j∇iRik e− f dVg.
Substituindo (2-35) em (2-34) obtemos
−2∫
M∇kR jl ∇lR jk e− f dVg = −2
∫M
∇ j(R jk e− f )∇iRik dVg +2∫
MR jk R jm Rmk e− f dVg
−2∫
MRi jkm Rim R jk e− f dVg +2
∫M
∇ j(R jk e− f ) Rik ∇i f e− f dVg
+2∫
MR jk Rik ∇ j∇i f e− f dVg.
Agora, usando o item (2) da Proposição (2.2) obtemos,
−2∫
M∇kR jl ∇lR jk e− f dVg = −
∫M
∇ j(R jk e− f )∇iRik dVg +2∫
MR jk Rik(R ji +∇ j∇i f ) e− f dVg
+2∫
M∇ j(R jk e− f )
(12
∇kR− (n−1) ∇kλ
)
dVg
−2∫
MRi jkm Rim R jk e− f dVg
= −∫
M∇ j(R jk e− f )∇iRik dVg +2
∫M
R jk Rikλgi j e− f dVg
+
∫M
∇ j(R jk e− f ) ∇kR−2(n−1)∫
M∇ j(R jk e− f ) ∇kλ dVg
−2∫
MRi jkm Rim R jk e− f dVg
Usando item (3) do Lema (2.8) e a segunda contração da identidade de Bianchi (1-15),
−2∫
M∇kR jl ∇lR jk e− f dVg = −
∫M
∇ j(R jk e− f )∇kRdVg +2∫
MR jk R jk λ e− f dVg
+
∫M
∇ j(R jk e− f )∇kR dVg −2(n−1)(n−1)∫
M∇kλ∇kλ e− f dVg
−2∫
MRi jkm Rim R jk e− f dVg
= 2∫
Mλ |Ricg|
2 e− f dVg −2∫
MRi jkm Rim R jk e− f dVg
−2(n−1)2∫
M|∇ λ|2e− f dVg. (2-36)
2.2 Fórmulas Integrais 53
Por outro lado, temos que,
∫M|div Rm|2 e− f dVg =
∫M|−∇lRk j +∇kRl j|
2 e− f dVg
= 2∫
M|∇Ricg|
2 e− f dVg −2∫
M∇kR jl ∇lR jk e− f dVg(2-37)
Substituindo (2-36) em (2-37), temos
∫M|div Rm|2 e− f dVg = 2
∫M|∇Ricg|
2 e− f dVg +2∫
Mλ |Ricg|
2 e− f dVg
−2∫
MRi jkm Rim R jk e− f dVg −2(n−1)2
∫M|∇ λ|2e− f dVg
= 2∫
M|∇Ricg|
2 e− f dVg +2∫
Mλ |Ricg|
2 e− f dVg
−∫
MRi jk j Ri j (−∇ j∇k f +λg jk) e− f dVg −2(n−1)2
∫M|∇ λ|2e− f dVg
= 2∫
M|∇Ricg|
2 e− f dVg +2∫
Mλ |Ricg|
2 e− f dVg
+2∫
MRik Ri j ∇ j∇k f e− f dVg −2
∫M
Rik Ri jλg jk e− f dVg
−2(n−1)2∫
M|∇ λ|2 e− f dVg
= 2∫
M|∇Ricg|
2 e− f dVg +2∫
MRik Ri j ∇ j∇k f e− f dVg
−2(n−1)2∫
M|∇ λ|2e− f dVg.
Daí,
12
∫M|div Rm|2 e− f dVg =
∫M|∇Ricg|
2 e− f dVg +
∫M
Rik Ri j ∇ j∇k f e− f dVg
−(n−1)2∫
M|∇ λ|2e− f dVg. (2-38)
Comparando a equação (2-38) com o Corolário 2.9, obtemos,
∫M|div Rm|2 e− f dVg =
∫M|∇Ricg|
2 −
∫M
R 〈∇λ, ∇ f 〉 e− f dVg +
∫M〈∇R,∇λ〉 e− f dVg
−n(n−1)∫
M|∇λ|2 e− f dVg. (2-39)
2.3 Um Teorema de Rigidez 54
Agora observe que, do fato de Mn ser compacta (∂M = 0) e usando a identidade de Green,
temos,
∫M〈∇R,∇λ〉 e− f dVg =
∫M〈∇R, e− f ∇λ〉 dVg∫
MR 〈∇λ, ∇ f 〉 dVg −
∫M
R∆λ e− f dVg (2-40)
Portanto, substituindo (2-40) em (2-39)
∫M|divRm|2e− f dVg =
∫M|∇Ricg|
2e− f dVg −
∫M
R∆λe− f dVg −n(n−1)∫
M|∇λ|2e− f dVg.
�
2.3 Um Teorema de Rigidez
Nesta seção mostraremos um teorema de rigidez para um gradiente quase Ricci
soliton e, como consequência, um corolário que caracteriza o caso compacto. Em seguida,
estudaremos o gradiente quase Ricci soliton compacto, encontrando assim, condições para
que seja isométrica à esfera.
Teorema 2.11 Seja (Mn,g,∇ f ,λ), n ≥ 3 um gradiente quase Ricci soliton com curvatura
escalar não-negativa. Se ∇ f é um campo conforme , então
1. Ou Mn é isométrica ao espaço euclidiano Rn;
2. Ou Mn é isométrica à esfera euclidiana Sn. Neste caso, a menos de constante, f é a
primeira autofunção do Laplaciano e λ =R
n(n−1)f + k, onde k é uma constante.
Demonstração. Pela Proposição (2.2) item 1, temos R+∆ f = nλ. Como ∇ f é um campo
conforme não trivial temos, L∇ f g = 2ρg, ρ 6= 0, como, L∇ f g = 2∇2 f , então ∇2 f = ρg.
Tomando o traço da expressão ∇2 f = ρg, temos que , ∆ f = nρ ⇒ ρ =∆ fn
.
Logo,
L∇ f g = 2∆ fn
g ⇒12
L∇ f g =∆ fn
g,
neste caso ∆ f 6= 0. Agora, pela equação fundamental (2-1) e do fato de ∇ f ser conforme,
temos
Ricg +ρg = λg ⇒ Ricg = (λ−ρ)g.
Tomando o traço, obtemos,
R = (λ−ρ)n. (2-41)
2.3 Um Teorema de Rigidez 55
Observe que pelo Teorema (1.55) temos que (λ−ρ) é constante, e como tal R = (λ−ρ)n
também é constante.
Vamos analisar os casos em que R = 0 e R 6= 0.
• Para R = 0, temos que (Mn,g) é Ricci flat.
Por, Ricg +∇i∇ j f = λgi j, então, ∇i∇ j f = λgi j. Assim, pelo Teorema (1.58) item
(ii), temos que (Mn,g) é isométrica ao espaço euclidiano R
n.
• Para R 6= 0. Primeiramente note que pelo fato da variedade ser completa utilizando o
Teorema de Bonnet Meyes (1.60) obtemos a compacidade de M.
Agora, observe que,
L∇ f Ricg = L∇ f (λ−ρ)g = (λ−ρ)L∇ f g = 2(λ−ρ)ρg.
Assim, pelo Teorema (1.59) item (3) temos que Mn é isométrica à esfera Sn.
Agora, observe que por (2-41) temos que, λ = ρ+Rn.
Pela equação fundamental (2-1),
Ricg +∇2 f = λg ⇒ Ricg +∇2 f =
(
ρ+Rn
)
g.
Daí,
Ricg =Rn
g.
Assim, pelo Teorema (1.61), juntamente com (1-22), deduzimos que o primeiro
autovalor do Laplaciano de Mn é λ1 =R
n−1. Então ρ é a primeira autofunção do
Laplaciano de Mn. Em particular, temos
∆ρ+R
n−1ρ = 0 ⇒ ∆
(∆ fn
)
+λ1∆ fn
= 0.
Logo, ∆(∆ f + λ1 f ) = 0, como M é compacta, então, pelo Teorema (1.66) temos
que, ∆ f +λ1 f = c, onde c é constante. E, assim,
λ = ρ+Rn⇒ λ =
∆ fn
+Rn=−
λ1
nf +
Rn+ c.
Portanto,
λ =−R
n(n−1)f + k,
onde k =Rn+ c é constante.
�
Como consequência deste teorema, obtemos o seguinte corolário:
2.3 Um Teorema de Rigidez 56
Corolário 2.12 Seja (Mn,g,∇ f ,λ), n ≥ 3, um gradiente quase Ricci soliton compacto
não trivial, com curvatura escalar constante. Então, Mn é isométrica à esfera euclidiana
Sn e, a menos de constante, f é a primeira autofunção do Laplaciano e λ=−
Rn(n−1)
f +
k, onde k é uma constante.
Demonstração. Integrando (2-19) temos:
∫M
12
∆RdVg+
∫M|Ricg−
Rn
g|2dVg =
∫M(n−1)∆λdVg+
∫M
Rn
∆ f dVg+
∫M
12〈∇R,∇ f 〉dVg.
Pela compacidade de Mn e pelo Teorema do Divergente, temos que
∫M
12
∆RdVg = 0 e∫M(n−1)∆λdVg = 0, assim,
∫M|Ricg −
Rn
g|2dVg =∫
M
Rn
∆ f dVg +∫
M
12〈∇R,∇ f 〉dVg.
Agora sendo Mn compacta e usando a identidade de Green, temos que,
−∫
MR∆ f dVg =
∫M〈∇R,∇ f 〉dVg. (2-42)
Daí,
∫M|Ricg −
Rn
g|2dVg =1n
∫M
R∆ f dVg −12
∫M
R∆ f dVg =−n−2
2n
∫M
R∆ f dVg. (2-43)
Agora, como R é constante, então
∫M〈∇R,∇ f 〉dVg = 0.
Assim, (2-42) será,
−∫
MR∆ f dVg = 0.
Logo, (2-43) é dada por ∫M|Ricg −
Rn
g|2dVg = 0.
Portanto, Ricg −Rn
g = 0 e assim, Ricg =Rn
g. Pela equação (2-1), temos, ∇2 f =(
λ−Rn
)
g, daí, ∇ f é um campo conforme. Logo, usando o Teorema (2.11) concluímos
a prova do corolário. �
Teorema 2.13 Toda superfície gradiente quase Ricci soliton compacta com curvatura
2.3 Um Teorema de Rigidez 57
gaussiana não positiva é trivial.
Demonstração. Note que, Ricg =R2
g. Por (2-19) temos,
12
∆R+ |R2
g−R2
g|2 = ∆λ+R2
∆ f +12〈∇R,∇ f 〉
Daí,
∆
(12
R−λ
)
=12(R∆ f + 〈∇R,∇ f 〉).
Pela Proposição (2.2) item (1), temos∆ f2
= λ−R2
. Assim
−∆
(12
∆ f
)
=12(R∆ f + 〈∇R,∇ f 〉).
De onde segue,
∆(∆ f )+R∆ f + 〈∇R,∇ f 〉) = div(∇∆ f +R∇ f ) = 0. (2-44)
Em particular, por (1-17) temos,
div( f (∇∆ f +R∇ f )) = f div(∇∆ f +R∇ f )+ 〈∇ f ,∇∆ f +R∇ f 〉.
Daí, por (2-44), obtemos
div( f (∇∆ f +R∇ f )) = 〈∇ f ,∇∆ f 〉+R〈∇ f ,∇ f 〉.
Integrando esta última identidade, temos,
∫M
div( f (∇∆ f +R∇ f ))dVg =∫
M〈∇ f ,∇∆ f 〉dVg +
∫M
R〈∇ f ,∇ f 〉dVg. (2-45)
Sendo Mn compacta (∂M = 0), usando o Teorema do divergente, temos
∫M
div( f (∇∆ f +R∇ f ))dVg =∫
∂M〈 f (∇∆ f +R∇ f ,v〉dA = 0. (2-46)
Agora pela identidade de Green, temos
∫M〈∇ f ,∇∆ f 〉dVg =−
∫M(∆ f )2dVg. (2-47)
2.3 Um Teorema de Rigidez 58
Assim, substituindo (2-46) e (2-47) em (2-45),
∫M
R|∇ f |2dVg =∫
M(∆ f )2dVg. (2-48)
Do fato de R ≤ 0 e por (2-48), concluímos que ∆ f = 0, assim pelo Teorema (1.66) temos
que f é constante, portanto, a superfície é trivial. �
Teorema 2.14 Seja (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton compacto localmente
conformemente flat. Se dVg denota o volume Riemanniano de Mn e
−
∫M
R∆λe− f dVg ≥ n(n−1)∫
M|∇λ|2e− f dVg, (2-49)
então Mn é isométrica à esfera euclidiana Sn.
Demonstração. Do fato de (Mn,g,∇ f ,λ) ser localmente conformemente flat, temos que
o tensor de Weyl (Wi jkl = 0) é nulo e, consequentemente, temos que o tensor de cotton
(Ci jk = 0) também se anula, daí por (1-8) obtemos,
∇iR jk −∇ jRik =1
2(n−1)(g jk∇iR−gik∇ jR).
Daí,
|∇iR jk −∇ jRik|2 =
14(n−1)2 |(g jk∇iR−gik∇ jR)|
2. (2-50)
Seja Ti jk = g jk∇iR−gik∇ jR, assim, por (1-4) temos |T |2 = Ti jkT i jk. Tomando uma base
ortonormal,
|T |2 = (δ jk∇iR−δik∇ jR)(δ jp∇tR −δt p∇ jR)δti δpk
= ∇iR ∇tR δ jk δ jp δti δpk −∇iR ∇ jR δ jk δt p δti δpk
−∇ jR ∇tR δik δ jp δti δpk +∇ jR ∇ jR δik δt p δti δpk
= ∇iR ∇tR δ jk δ jk δti δkk −∇iR ∇ jR δ jk δtk δti δkk
−∇ jR ∇tR δik δ jk δti δkk +∇ jR ∇ jR δik δtk δti δkk
= ∇iR ∇ jR δ ji (δ j j)3 −∇iR ∇ jR δ jk δ jk δ ji δkk
−∇ jR ∇tR δ jk δtk (δkk)2 +∇ jR ∇ jR δik δik (δkk)
2
= ∇ jR ∇ jR δ j j (δkk)3 −∇iR ∇ jR δ ji (δ j j)
3
−∇ jR ∇ jR (δ j j)4 +∇ jR ∇ jR (δkk)
4.
2.3 Um Teorema de Rigidez 59
Assim,
|T |2 = n∇ jR ∇ jR−∇ jR ∇ jR (δ j j)4 −∇ jR ∇ jR (δ j j)
4
+n∇ jR ∇ jR
= 2n∇ jR ∇ jR−2∇ jR ∇ jR
= 2(n−1)∇ jR ∇ jR
= 2(n−1)|∇R|2.
Logo,
|∇iR jk −∇ jRik|2 = 2(n−1)|∇R|2. (2-51)
Portanto,
|divRm|2 =|∇R|2
2(n−1)(2-52)
Por outro lado, comparando a equação (2-49) com o Lema (2.10) obtemos a seguinte
desigualdade ∫M|divRm|2e− f dVg ≥
∫M|∇Ricg|
2e− f dVg. (2-53)
Além disso, pelo desigualdade de Cauchy-Schwarz temos |∇Ricg|2 ≥
|∇R|2
n, o que nos
permite deduzir juntamente com (2-52) e (2-53) a seguinte desigualdade
12(n−1)
∫M|∇R|2e− f dVg ≥
1n
∫M|∇R|2e− f dVg.
Logo,
−n+2n(2n−2)
∫M|∇R|2e− f dVg ≥ 0.
Observe que −n+2n(2n−2) ≤ 0, daí,
0 ≤−n+2
n(2n−2)
∫M|∇R|2e− f dVg ≤ 0,
donde segue que R é constante. Portanto, aplicando o Corolário (2.12) concluímos que
Mn é isométrico à esfera euclidiana Sn, finalizando a prova. �
Como consequência deste teorema obtemos o seguinte corolário.
Corolário 2.15 Seja (Mn,g,∇ f ,λ) um gradiente quase Ricci soliton compacto satisfa-
zendo a condição (2-49). Se Y é um campo de Killing, então, ou DY f é constante ou Mn
2.3 Um Teorema de Rigidez 60
é isométrico à esfera euclidiana Sn.
Demonstração. Do fato de Y ser um campo de Killing, temos que LY g = 0. Levando em
conta que o fluxo associado a Y gera isometrias, temos também LY Ricg = 0. Portanto,
deduzimos que
HessLY f = LY Hess f .
Por (2-1) temos,
LY Hess f = LY λg.
Assim,
HessLY f = LY Hess f = LY λg.
Tomando a traço de HessLY f = LY λg temos,
∆LY f = nLY λ.
Isso implica que,
HessLY f =∆LY f
ng.
Note que estamos nas condições para aplicar o Teorema (1.62), assim temos que, ou DY f
é trivial ou Mn é conformemente equivalente à esfera euclidiana Sn. Portanto, concluímos
que Mn é localmente conformemente flat. Como estamos supondo que vale (2-49), apli-
camos o Teorema (2.14) para concluir a prova do corolário. �
Referências Bibliográficas
[1] BARROS, A; BATISTA, R; RIBEIRO, JR., E. Rigidity of gradient almost Ricci
solitons. Illinois J. Math., 56(4):1267–1279, 2012.
[2] BARROS, A; BATISTA, R; RIBEIRO, JR., E. Compact almost Ricci solitons with
constant scalar curvature are gradient. Monatsh. Math., 174(1):29–39, 2014.
[3] BARROS, A; RIBEIRO, JR., E. Some characterizations for compact almost Ricci
solitons. Proc. Amer. Math. Soc., 140(3):1033–1040, 2012.
[4] BARROS, A; GOMES, J. N; RIBEIRO, JR., E. A note on rigidity of the almost Ricci
soliton. Arch. Math. (Basel), 100(5):481–490, 2013.
[5] BENEDITO, L. N. Soliton de ricci shrinking em vareidades riemannianas com-
peltas. Universidade Federal do Goiás- Instituto de Matemática e Estatística (Disser-
tação de Mestrado), 2011.
[6] CAO, X. Compact gradient shrinking Ricci solitons with positive curvature
operator. J. Geom. Anal., 17(3):425–433, 2007.
[7] DO CARMO, M; RIEMANNIANA, G. Impa (projeto euclides), 3a. ediçao. Rio de
Janeiro, 1, 2005.
[8] EVANS, L. C. Partial differential equations, volume 19 de Graduate Studies in
Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, second edition, 2010.
[9] FERREIRA, I. M. Variedades quasi-einstein localmente conformemente planas.
Universidade Federal do Goiás- Instituto de Matemática e Estatística (Dissertação de
Mestrado), 2016.
[10] GALLOT, S; HULIN, D; LAFONTAINE, J. Riemannian geometry. Universitext.
Springer-Verlag, Berlin, 1987.
[11] HAMILTON, R. S. Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Differential
Geom., 17(2):255–306, 1982.
Referências Bibliográficas 62
[12] HAMILTON, R. S. The ricci flow on surfaces. In: MATHEMATICS AND GENERAL
RELATIVITY (SANTA CRUZ, CA, 1986), volume 71 de Contemp. Math., p. 237–262.
Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988.
[13] LEE, J. M. Introduction to smooth manifolds, volume 218 de Graduate Texts in
Mathematics. Springer, New York, second edition, 2013.
[14] PIGOLA, S; RIGOLI, M; RIMOLDI, M; SETTI, A. G. Ricci almost solitons. Ann. Sc.
Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 10(4):757–799, 2011.
[15] SAMPAIO, V. B. J. Sobre sólitons de ricci gradiente localmente conformemente
planos. Universidade Federal do BrasÃlia- Instituto de CiÃancias Exatas (Disserta-
ção de Mestrado), 2014.
[16] TASHIRO, Y. Complete Riemannian manifolds and some vector fields. Trans.
Amer. Math. Soc., 117:251–275, 1965.
[17] YANO, K. Integral formulas in Riemannian geometry. Pure and Applied Mathe-
matics, No. 1. Marcel Dekker, Inc., New York, 1970.
[18] YANO, K; OBATA, M. Conformal changes of Riemannian metrics. J. Differential
Geometry, 4:53–72, 1970.
[19] ZENG, F.-Q; MA, B.-Q. The classification of gradient Ricci almost solitons. J.
Math. (Wuhan), 34(2):251–258, 2014.
Top Related