ALJABAR LINEAR MTE 3110
KRIPTOGRAFI
Kriptografi adalah satu bidang tentang kajian mengenai proses penyulitan
(encryption) dan penyahsulitan (decryption). Mesej tanpa penyulitan dipanggil
plaintext, manakala mesej yang tersulit dipanggil ciphertext. Algorithm yang
digunakan dalam proses melaksanakan penyulitan dan penyahsulitan ialah cipher.
Hill cipher ialah cipher substitusi polygraphic berdasarkan algebra linear. Cipher ini
telah ditemui oleh Lester S. Hill pada tahun 1929, itu adalah cipher polygraphic
pertama di mana ia praktikal(walaupun hampir) untuk beroperasi pada lebih dari tiga
simbol sekaligus. Pembahasan berikut ini mengandaikan pengetahuan dasar
tentang matriks.
Dalam proses menggunakan kaedah hill cipher ini, satu mesej yang tersulit
akan diberikan dan pengguna perlu memecahkan mesej tersebut. mesej yang diberi
dalam kod rahsia ini adalah menggunakan huruf-huruf dan beberapa simbol. Hill
cipher telah menyediakan satu senarai kod rahsia tersebut dan nilai-nilai yang tetap
untuk diterjemahkan bagi memecahkan kod rahsia tersebut.
Rajah di atas merupakan senarai kod asas yang digunakan dalam proses
untuk menyahsulitkan kod yang ingin dicari. Dalam hill cipher ini abjad-abjad yang
terlibat adalah terdiri daripada 26 jenis iaitu bermula dari huruf A hingga Z. Manakala
terdapat tiga lagi tambahan simbol iaitu noktah (.), koma (,), dan ruang kosong ( ).
Muhammad Khairi Bin Azmi | Tugasan 2 : Penyelesain Masalah 30
ALJABAR LINEAR MTE 3110
Dalam proses untuk menterjemahkan mesej rahsia ini, pengguna perlu tahu bahawa
plaintext diperoleh daripada hasil darab ciphertext dan inverse A(key inverse).
Namun senarai kod di atas ini hanya boleh diterjemahkan sekiranya ciphertext
yang diperolah mempunyai nilai di antara 0 hingga 28. Sekiranya nombor yang
diperolah lebih besar atau bernilai negatif, modulo 29 perlu digunakan. Modulo 29
mempunyai nilai-nilai kod yang dapat disetarakan dengan senarai kod asas dalam
rajah di atas.
Rajah ini menunjukkan senarai nilai dalam modulo 29. Seperti yang dapat
dilihat, nombor yang besar akan disetarakan dengan nombor-nombor di antara 0
hingga 28.
Berikut adalah antara nilai-nilai setara yang dipaparkan seperti dalam jadual
kod bagi modulo 29.
Seperti yang dibincangkan di atas, plaintext diperoleh daripada hasil darab
ciphertext dan inverse A (key inverse). Dalam proses memecahkan mesej rahsia ini,
Muhammad Khairi Bin Azmi | Tugasan 2 : Penyelesain Masalah 31
59 29 0 (mod 29) 71 42 13 (mod 29)
84 55 26 (mod 29)
A-1 = CT PT
ALJABAR LINEAR MTE 3110
kebiasaannya yang akan diberikan hanya ciphertext dan klu bagi plaintext. Oleh
yang demikian pengguna perlu mencari nilai inverse A tersebut.
Bagi mencari nilai inverse A, matriks CT tersebut perlu dijadikan identiti dan
matriks PT akan mempunyai nilai. Kaedah yang digunakan bagi menjadikan identiti
ialah menggunakan kaedah penghapusan Gauss Jordan. Nilai dalam matriks PT
tersebutlah yang merupakan inverse bagi A. Apabila nilai diperoleh, inverse A yang
ditranformasikan itu perlu ditransformasikan semula agar menjadi inverse A yang
sebenar.
Setelah inverse A diperolah, barulah inverse A didarabkan dengan ciphertext
yang diberikan untuk menterjemahkan mesej rahsia tersebut. hasil darab dua
matriks tersebut akan mendapat nilai angka yang besar daripada 29. Oleh itu,
pengguna harus menukarkan kepada modulo 29 untuk mendapatkan kod yang
setara itu tadi.
Setelah kod yang setara diperoleh, maka pengguna akan dapat menterjemahkan
mesej rahsia yang dicari.
Berikut adalah contoh bagaimana untuk memecahkan mesej rahsia dengan
menggunakan modulo 29.
Ciphertext yang dibekalkan ialah seperti berikut:
Manakala klu plaintext yang dibekalkan ialah:
Muhammad Khairi Bin Azmi | Tugasan 2 : Penyelesain Masalah 32
LOCZUYNJEHYHRPBMAATJTVWQMLMRVGSNAWOKRTDBH,*SICBYJQTJNP
JNP
THE *MATTE
ALJABAR LINEAR MTE 3110
Setelah mendapat kedua-dua ciphertext dan plaintext ini, susunkan terlebih
dahulu maklumat ini ke dalam bentuk matriks dan tukarkan nilainya kepada nombor
mengikut jadual kod asas yang menggunakan huruf dan simbol tersebut. pengguna
perlu memastikan susunan adalah betul mengikut urutan kerana jika terdapat
kesalahan mesej tidak akan berjaya diterjemahkan.
Rajah di atas menunjukkan ciphertext yang telah disusun dalam bentuk
matriks dan ditukar menjadi angka mengikut kod asas yang ditunjukkan dalam jadual
tadi.
Plaintext juga turut ditukarkan menjadi bentuk angka dan disusun dalam
bentuk matriks.
Muhammad Khairi Bin Azmi | Tugasan 2 : Penyelesain Masalah 33
ALJABAR LINEAR MTE 3110
Setelah semua ditukar dan disusun, cari nilai inverse bagi A dengan
menggunakan rumus berikut:
Untuk mencari nilai inverse A ini, kaedah penghapusan menggunakan Gauss
Jordan digunakan iaitu dengan menjadikan matriks CT (sebelah kiri) sebagai matriks
identiti dan matriks PT (sebelah kanan) mempunyai nilai. Pengiraan perlu dibuat satu
demi satu kerana dalam proses ini penukaran yang melibatkan modulo 29
digunakan.
Muhammad Khairi Bin Azmi | Tugasan 2 : Penyelesain Masalah 34
A-1 = CT PT
ALJABAR LINEAR MTE 3110
Muhammad Khairi Bin Azmi | Tugasan 2 : Penyelesain Masalah 35
Matriks di sebelah kiri
menjadi matriks identiti
Baris 1 ditukar kepada mod
29 untuk mendapatkan
nilai yang setara
ALJABAR LINEAR MTE 3110
Rajah di atas menunjukkan pengiraan yang menggunakan kaedah
penghapusan Gauss Jordan bagi mendapatkan nilai inverse A. Nilai inverse A ini
ialah key inverse bagi meneruskan langkah seterusnya bagi mendapatkan mesej
rahsia. Nilai inverse A transformasi akan ditransformasikan semula bagi
mendapatkan nilai inverse sebenar.
Setelah mendapat inverse A, maka nilai inverse A didarabkan dengan
kesemua ciphertext yang dibekalkan. Disebabkan ciphertext yang dibekalkan
banyak, pengiraan boleh dijalankan dengan mengira sebahagian dahulu. setelah
mendapat jawapan, maka teruskan dengan pengiraan sebahagian yang lain
sehingga semua ciphertext didarabkan dengan inverse A tadi.
Muhammad Khairi Bin Azmi | Tugasan 2 : Penyelesain Masalah 36
ALJABAR LINEAR MTE 3110
Berikut ialah contoh pengiraan menggunakan alat pengiraan ‘matrix algebra
tool’. Pengiraan matrix yang banyak boleh dipermudahkan dengan menggunakan
alat pengiraan ini kerana ia dapat mengira dengan bilangan baris dan lajur yang lebih
banyak berbanding biasa. Setelah semua nilai ciphertext diperoleh, maka tukarkan
semua ke dalam bentuk modulo 29 agar dapat ditafsirkan mesej tersebut.
Muhammad Khairi Bin Azmi | Tugasan 2 : Penyelesain Masalah 37
ALJABAR LINEAR MTE 3110
Kemudian, tafsirkan kesemua nilai tadi ke dalam abjad-abjad dan simbol yang
setara menggunakan jadual kod asas yang ditunjukkan.
REFLEKSI
Berdasarkan tugasan yang dilaksanakan, dapat dilihat bahawa alat pengiraan
dalam matematik amat penting bagi membantu dalam menyelesaikan pelbagai
masalah yang berkaitan dengan operasi matriks dan vektor secara khususnya dan
juga alat-alat pengiraan lain secara amnya. Alat-alat pengiraan seperti yang
ditunjukkan adalah berupaya membantu pelajar menumpukan perhatian kepada
pemahaman konsep atau penyelesaian masalah. Dalam masa yang sama, adlah
penting bagi guru pelatih menguasai kemahiran penggunaan alat-alat pengiraan ini
untuk mempertingkatkan pembelajaran matematik agar dapat mempermudahkan
pengajaran matematik di sekolah nanti.
Alat-alat pengiraan ini juga sebenarnya mempunyai pelbagai jenis dan
kemudahan yang tersendiri yang disediakan kepada kita sebagai pengguna. Oleh
yang demikian, kita tidak perlu bimbang kerana cara penggunaannya boleh dipelajari
serta merta dan latihan dan penggunaan yang kerap dapat membantu kita
meningkatkan kemahiran dalam menggunakan alat tersebut. walaupun alat
Muhammad Khairi Bin Azmi | Tugasan 2 : Penyelesain Masalah 38
THE MATTER THEY TOUCH. VOLCANOES BEGIN TO ERUPT ALL
ALJABAR LINEAR MTE 3110
pengiraan tersebut dilihat seperti terlalu mencabar dan kompleks, namun tidak
semua daripada alat-alat tersebut menimbulkan kesukaran. Jika konsep dan
kefahaman tentang tajuk pembelajaran dapat difahami dengan baik, maka alat
pengiraan tersebut akan membantu kita dalam mempercepatkan kerja-kerja
pengiraan.
Dalam pada itu, kajian kriptografi juga merupakan satu kajian tentang
pnyulitan dan penyahsulitan yang sangat menarik dalam bidang matematik. Dalam
proses yang melibatkan pentafsiran mesej rahsia, ia telah menggunakan kaedah
matriks untuk mencari jawapan. Di samping itu, pertukaran modulo 29 itu juga
menjadikan kajian kriptografi ini mencabar minda para pengguna atau pelajar yang
mempelajarinya. Idea yang kreatif seperti ini dapat membantu dalam menjadikan
pemikiran pelajar menjadi lebih meluas dan sentiasa berada dalam keadaan yang
tidak berputus asa untuk mentafsirkan mesej rahsia tersebut. pembelajaran bagi
topik ini amat memberi satu cabaran yang membina kepada para pelajar. Dalam
usaha untuk melahirkan bakal guru yang berkualiti dan berkredibiliti, adalah penting
bagi kita sebagai pelajar dan bakal guru untuk mempelajarinya. Dalam masa yang
sama, ia dapat mambantu dalam meningkatkan lagi kemahiran dan kefahaman
tentang pengetahuan matriks yang dipelajari.
Oleh itu, sebagai seorang pelajar dan bakal guru, kita perlu berusaha dalam
memahami ilmu dan pengetahuan ini supaya kita berupaya untuk menghadapi
rencah-rencah kehidupan dalam dunia pendidikan pada masa akan datang yang
semakin mencabar.
Muhammad Khairi Bin Azmi | Tugasan 2 : Penyelesain Masalah 39
ALJABAR LINEAR MTE 3110
Muhammad Khairi Bin Azmi | Tugasan 2 : Penyelesain Masalah 40