SNP38D48 – Estruturas de Concreto Armado II
Revisão
Prof.: Flavio A. Crispim (FACET/SNP-UNEMAT)
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE
MATO GROSSO
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
SINOP - MT
2015
1. C
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ce
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Revisão
Compressão simples Flexão composta normal Flexão composta oblíqua
Esforços de 1ª ordem
Estruturas de Concreto Armado II 2
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Não linearidade física
Estruturas de Concreto Armado II 3
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Não linearidade geométrica
Estruturas de Concreto Armado II 4
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Estruturas de nós móveis e nós fixos
Estrutura deslocável Estrutura indeslocável
Estruturas de Concreto Armado II 5
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Estruturas de nós móveis e nós fixos - contraventamento
Estruturas de Concreto Armado II 6
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Estruturas de nós móveis e nós fixos
“As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos
horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de
2ª ordem são importantes (superiores a 10 % dos respectivos esforços
de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados tanto os
esforços de 2ª ordem globais como os locais e localizados.”
(ABNT NBR 6118, 2014, item 15.4.2)
Estruturas de Concreto Armado II 7
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Estruturas de nós móveis e nós fixos
“As estruturas são consideradas, para efeito de cálculo, de nós fixos,
quando os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e, por
decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores
a 10 % dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas,
basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem.”
(ABNT NBR 6118, 2014, item 15.4.2)
Estruturas de Concreto Armado II 8
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Estruturas de nós móveis e nós fixos
Estruturas de Concreto Armado II 9
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Excentricidade de 1ª ordem
M e N independentes
(BASTOS, 2015)
Estruturas de Concreto Armado II 10
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Excentricidade acidental
“No caso do dimensionamento ou verificação de um lance de pilar, deve ser considerado
o efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade do eixo do pilar [...]. Admite-se que,
nos casos usuais de estruturas reticuladas, a consideração apenas da falta de
retilineidade ao longo do lance de pilar seja suficiente.”
(ABNT NBR 6118, 2014, item 11.3.3.4.2)
Estruturas de Concreto Armado II 11
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Excentricidade acidental
H = altura do lance, em metros
1min = 1/300, para estruturas reticuladas e imperfeições locais
1max = 1/200
Estruturas de Concreto Armado II 12
𝜃1 =1
100. 𝐻
𝑒𝑎 = 𝜃1.𝐻
2
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Excentricidade de 2ª ordem
Esforços de 1ª ordem Esforços de 2ª ordem
“Efeitos de 2ª ordem são aqueles que se somam aos obtidos em uma análise de primeira
ordem (em que o equilíbrio da estrutura é estudado na configuração geométrica inicial),
quando a análise do equilíbrio passa a ser efetuada considerando a configuração
deformada.” (ABNT NBR 6118, 2014, item 15.2)
Estruturas de Concreto Armado II 13
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Índice de esbeltez (l)
Seção retangular
Estruturas de Concreto Armado II 14
𝜆 =𝑙𝑒𝑖
𝑖 =𝐼
𝐴
𝜆 =3,46. 𝑙𝑒
ℎ
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Índice de esbeltez (l)
Barra isolada
(BASTOS, 2015)
Estruturas de Concreto Armado II 15
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Índice de esbeltez (l)
Pilares contraventados (nós fixos)
Estruturas de Concreto Armado II 16
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Índice de esbeltez (l)
Pilares contraventados (nós fixos) – elemento isolado
Estruturas de Concreto Armado II 17
𝑙𝑒 ≤ 𝑙0 + ℎ
𝑙
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Efeitos de 2ª ordem
Nós móveis
Obrigatório considerar os efeitos da não linearidade geométrica e da
não linearidade física
No dimensionamento - efeitos globais e locais de 2ª ordem
Estruturas de Concreto Armado II 18
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Efeitos de 2ª ordem
Dispensa de efeitos locais (ABNT NBR 6118, 2014, item 15.8.2)
“Os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser
desprezados quando o índice de esbeltez for menor que o valor-limite
l1 [...].”
l1 depende de:
- excentricidade relativa de 1ª ordem (e1/h) na extremidade do pilar
onde ocorre o momento de 1ª ordem de maior valor absoluto
- a vinculação dos extremos da coluna isolada
- a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem
35 ≤ l1 ≤ 90
Estruturas de Concreto Armado II 19
𝜆1 =25 + 12,5.
𝑒1ℎ
𝛼𝑏
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Efeitos de 2ª ordem
Dispensa de efeitos locais (ABNT NBR 6118, 2014, item 15.8.2)
- pilares biapoiados sem cargas transversais
0,4 ≤ b ≤ 1,0
MA e MB - momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar (nós fixos)
- momentos totais, 1ª ordem + 2ª ordem global (nós móveis)
MA - maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado
MB - sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA , e negativo, em
caso contrário
Estruturas de Concreto Armado II 20
𝛼𝑏 = 0,6 + 0,4.𝑀𝐵
𝑀𝐴≥ 0,4
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Efeitos de 2ª ordem
Dispensa de efeitos locais (ABNT NBR 6118, 2014, item 15.8.2)
- pilares biapoiados com cargas transversais
Estruturas de Concreto Armado II 21
𝛼𝑏 = 1,0
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Efeitos de 2ª ordem
Dispensa de efeitos locais (ABNT NBR 6118, 2014, item 15.8.2)
- pilares em balanço
0,85 ≤ b ≤ 1,0
MA - momento de 1ª ordem nos engaste
MC - momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço
Estruturas de Concreto Armado II 22
𝛼𝑏 = 0,8 + 0,2.𝑀𝐶
𝑀𝐴≥ 0,85
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Efeitos de 2ª ordem
Dispensa de efeitos locais (ABNT NBR 6118, 2014, item 15.8.2)
- pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o
momento mínimo
Estruturas de Concreto Armado II 23
𝛼𝑏 = 1,0
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑁𝑑 . 0,015 + 0,03. ℎ
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Efeitos de 2ª ordem
Determinação – Método geral
Análise não linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada
da barra, consideração da relação momento-curvatura real em cada
seção e consideração da não linearidade geométrica de maneira não
aproximada
O método geral é obrigatório para l >140
Estruturas de Concreto Armado II 24
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Efeitos de 2ª ordem
Determinação – Métodos aproximados – pilar padrão
Pilares com l < 90, com seção constante e armadura simétrica e
constante ao longo de seu eixo
Estruturas de Concreto Armado II 25
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Efeitos de 2ª ordem
Determinação – Métodos aproximados – pilar padrão
Pilares com l < 90, com seção constante e armadura simétrica e
constante ao longo de seu eixo
Não linearidade geométrica - considerada supondo-se que a
deformação da barra seja senoidal
Não linearidade física - considerada através de uma expressão
aproximada da curvatura na seção crítica
Estruturas de Concreto Armado II 26
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Efeitos de 2ª ordem
Determinação – Métodos aproximados – pilar padrão
Estruturas de Concreto Armado II 27
𝑒2 =𝑙𝑒²
10.1
𝑟
1
𝑟 =
0,005
ℎ. (𝜈 + 0,5)≤
0,005
ℎ
𝜈 =𝑁𝑑
𝐴𝑐 . 𝑓𝑐𝑑
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 𝛼𝑏. 𝑀1𝑑,𝐴 + 𝑁𝑑 .𝑙𝑒²
10.1
𝑟 ≥ 𝑀1𝑑,𝐴
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Revisão
Dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem (nós fixos)
Parâmetro de instabilidade e coeficiente gz
Estruturas de Concreto Armado II 28
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Revisão
Dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem (nós fixos)
Coeficiente gz (n>4)
M1,tot,d - é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas
as forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo,
em relação à base da estrutura
DMtot,d - é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na
estrutura, na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos
deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da
análise de 1ª ordem
Estruturas de Concreto Armado II 29
𝛾𝑧 =1
1 −∆𝑀𝑡𝑜𝑡,𝑑
𝑀1,𝑡𝑜𝑡,𝑑
≤ 1,1
1. C
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Revisão
Dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem (nós fixos)
Parâmetro de instabilidade
- associações de pilares-parede e para pórticos associados a pilares-
parede, adotar 1 = 0,6
- contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede,
adotar 1 = 0,7
- contraventamento com pórticos apenas, adotar 1 = 0,5
Estruturas de Concreto Armado II 30
𝛼 = 𝐻𝑡𝑜𝑡.Σ𝑁𝑘
𝐸𝑐𝑠. 𝐼𝑐≤ 𝛼1
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Revisão
Dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem (nós fixos)
Parâmetro de instabilidade
- associações de pilares-parede e para pórticos associados a pilares-
parede, adotar a1 = 0,6
- contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede,
adotar 1 = 0,7
- contraventamento com pórticos apenas, adotar 1 = 0,5
Estruturas de Concreto Armado II 31
𝛼 = 𝐻𝑡𝑜𝑡.Σ𝑁𝑘
𝐸𝑐𝑠. 𝐼𝑐≤ 𝛼1
1. C
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Prof. Flavio A. Crispim
Revisão
Dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem (nós fixos)
Parâmetro de instabilidade
- No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com
pilares de rigidez variável ao longo da altura, pode ser considerado
o valor da expressão Ecs.Ic de um pilar equivalente de seção
constante
Estruturas de Concreto Armado II 32
𝛼 = 𝐻𝑡𝑜𝑡.Σ𝑁𝑘
𝐸𝑐𝑠. 𝐼𝑐≤ 𝛼1
1. C
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Prof. Flavio A. Crispim
Exemplos
Determinar a rigidez equivalente do pórtico abaixo: 15 pavimentos com
60m de altura total, fck = 25 MPa
Estruturas de Concreto Armado II 33
1. C
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Prof. Flavio A. Crispim
Exemplos
Determinar a rigidez equivalente do pórtico abaixo: 15 pavimentos com
60m de altura total, fck = 25 MPa
Estruturas de Concreto Armado II 34
1. C
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Prof. Flavio A. Crispim
Exemplos
Determinar a rigidez equivalente do pórtico abaixo: 15 pavimentos com
60m de altura total, fck = 25 MPa
Estruturas de Concreto Armado II 35
1. C
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s in
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Prof. Flavio A. Crispim
Exemplos
Determinar a rigidez equivalente do pórtico abaixo: 15 pavimentos com
60m de altura total, fck = 25 MPa
Estruturas de Concreto Armado II 36
𝑢 =𝐹𝐻 . 𝐻𝑡𝑜𝑡³
3. (𝐸𝑐𝑠. 𝐼𝑐)𝑒𝑞
(𝐸𝑐𝑠. 𝐼𝑐)𝑒𝑞=1.60³
3. 3,323. 10−3= 22,34. 106𝑘𝑁/𝑚²
1. C
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Prof. Flavio A. Crispim
Exemplos
Determinar a rigidez equivalente do pórtico abaixo: 15 pavimentos com
60m de altura total, fck = 25 MPa
Rigidez devida aos pilares apenas:
Estruturas de Concreto Armado II 37
𝑢 =𝐹𝐻 . 𝐻𝑡𝑜𝑡³
3. (𝐸𝑐𝑠. 𝐼𝑐)𝑒𝑞
(𝐸𝑐𝑠. 𝐼𝑐)𝑒𝑞=1.60³
3. 3,323. 10−3= 22,34. 106𝑘𝑁/𝑚²
(𝐸𝑐𝑠. 𝐼𝑐)𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠= 3.16905.0,2.0,5³
12= 0,11. 106𝑘𝑁/𝑚²
1. C
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Exemplos
Calcular para o pórtico anterior, considerando a disposição em planta
a seguir
Estruturas de Concreto Armado II 38
5 m
5 m
1. C
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Prof. Flavio A. Crispim
Exemplos
Calcular para o pórtico anterior, considerando a disposição em planta
a seguir
Estimativa das forças verticais para o pórtico central
Estruturas de Concreto Armado II 39
(𝐸𝑐𝑠. 𝐼𝑐)𝑒𝑞=1.60³
3. 3,323. 10−3= 22,34. 106𝑘𝑁/𝑚²
𝑁𝑘,𝑒𝑠𝑡 = 𝑛 + 0,7 . 𝑔 + 𝑞 . 𝐴𝑖
𝑁𝑘,𝑒𝑠𝑡 = 14 + 0,7 . 12 . 5.10
𝑁𝑘,𝑒𝑠𝑡 = 8800 kN
1. C
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is
Prof. Flavio A. Crispim
Exemplos
Calcular para o pórtico anterior, considerando a disposição em planta
a seguir
Estruturas de Concreto Armado II 40
𝛼 = 60.8800
22,34. 106
𝛼 = 1,19
1. C
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is
Prof. Flavio A. Crispim
Exemplos
Calcular para o pórtico central anterior, considerando pilares de
0,25x1,00 m
Estruturas de Concreto Armado II 41
𝛼 = 60.8800
38,77. 106
𝛼 = 0,9
(𝐸𝑐𝑠. 𝐼𝑐)𝑒𝑞=1.60³
3. 1,857. 10−3= 38,77. 106𝑘𝑁/𝑚²
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