1
Prof.dr.sc. Ljiljana Lovri
Ekonomski fakultet Rijeka
Diplomski studij
KVANTITATIVNE METODE ZA POSLOVNO ODLUIVANJE
(Nastavni materijali)
Sadraj:
1. MODELIRANJE U POSLOVNOM ODLUIVANJU ........................................................... 2
Model ............................................................................................................................ 2
Etape modeliranja ......................................................................................................... 2
Vrste modela ................................................................................................................. 4
Deterministiki i stohastiki modeli ................................................................................ 4
Simulacijski modeli ........................................................................................................ 5
Rjeenje analitiko, simulacijsko. ............................................................................... 5
2. ANALITIKE METODE ...................................................................................................... 5
Linearno programiranje. ............................................................................................... 5
Matematiki model ........................................................................................................ 6
Rjeavanje problema linearnog programiranja ............................................................. 9
Primjena programa MS Excel Solver ............................................................................. 17
AO ALABAHTER ....................................................................................................... 24
PITANJA I ODGOVORI ................................................................................................. 25
ZADACI ZA VJEBU (Zadatak 1 4) ........................................................................... 26
Analiza osjetljivosti. ...................................................................................................... 32
PRIPREMA ZA KOLOKVIJ 1 ................................................................................................ 52
3. EKONOMETRIJA .............................................................................................................. 54 (kratki pregled prema knjizi Uvod u ekonometriju)
4. METODA SIMULACIJE ..................................................................................................... 83
Monte Carlo simulacija .................................................................................................. 83
Diskretna simulacija ...................................................................................................... 83
Prednosti i nedostaci metode simulacije........................................................................ 85
Generiranje sluajne varijable ....................................................................................... 85
------------------------------------
Linearno programiranje zbirka zadataka ............................................................................ 87
Statistike tablice ................................................................................................................... 94
Formule ................................................................................................................................. 95
Literatura i napomene ........................................................................................................... 96
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 1 of 96
2
KVANTITATIVNE METODE ZA POSLOVNO ODLUIVANJE
Donoenje poslovnih odluka je sve sloeniji i zahtjevniji proces, esto u uvjetima rizika, a na je
nain razmiljanja deterministiki. U kolegiju se obrauju metode koje predstavljaju neizostavan
alat za poslovno odluivanje.
Kvantitativne metode se primjenjuju kad se u praksi susretnemo s:
- kompleksnim problemima koji se ne mogu rijeiti na osnovi iskustva ili kvantitativne analize;
- problemima za koje su odluke od velikog znaaja;
- novim problemima i nepoznatim situacijama;
- problemima koji se esto ponavljaju i zahtjevni su za rjeavanje.
Cilj kolegija jest pripremiti studente za rjeavanje problema u podruju poslovnog odluivanja i to
kroz identifikaciju problema, postavljanje modela, prikupljanje podataka, rjeavanje modela, for-
malno testiranje rjeenja i analizu rezultata.
U kolegiju se povezuje ekonomska teorija s matematikim modeliranjem, a postupak rjeavanja
modela i analize se provodi na raunalu.
1. MODELIRANJE U POSLOVNOM ODLUIVANJU
Osnova za analizu i predvianje jesu modeli koji repliciraju strukturu poslovnog procesa odnosno
sustava tako da se mogu procijeniti efekti promjena u njemu.
Model
Model pojednostavljeni prikaz sloenog sustava.
Sustav - skup objekata i procesa koji su u meuzavisnosti.
Cilj modeliranja : razumijevanje sustava, kontrola i utjecaj na rad sustava.
U primjeni kvantitativnih metoda u ekonomiji i menedmentu javljaju se specifini problemi koji pro-
izlaze iz kvalitativnih karakteristika ovih disciplina, sloenih struktura i meuzavisnosti koje je esto
nemogue opisati i predstaviti matematikim formulacijama. Najvaniji korak predstavlja definiranje
problema Kako bismo postigli cilj modeliranja potrebno je specificirati im jednostavniji model. Iako
se moe raditi o vrlo sloenom sustavu, to se moe postii definiranjem ogranienja u sustavu, ka-
ko bi bile ukljuene samo vane karakteristike prouavanog sustava.
Etape modeliranja
Proces modeliranja tee kroz nekoliko koraka. U tom procesu je osnovni zadatak specificiranje ok-
retnog modela. Radi se o pojednostavljenom prikazu prouavanog sustava. Ako su ogranienja
odnosno pretpostavke neispravno definirane, model nee biti reprezentativan. Tada ga je potrebno
poboljati. Radi se o ciklusu modeliranja koji je prikazan na sl. 1.
Definiranje problema
Definiranje problema predstavlja najvaniji i najtei korak u modeliranju, poto svi daljnji koraci ovi-
se o ovom. Potrebno je saeto definirati problem i ciljeve te utvrditi ogranienja u sustavu kako bi-
smo se usredotoili samo na karakteristike sustava koje su nam vane u istraivanju.
Izgradnja modela
Model je zapravo, oblik predoavanja sistema i teorije o njemu. Dok je teorija uvijek verbalno izra-
ena, model moe biti nainjen u razliitim medijima. Model slui. Model slui za objanjavanje ne-
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 2 of 96
3
kih konkretnih procesa ili stanja sustava. Stoga je model zapravo, samo simplifikacija i apstrahira-
nje nekih kljunih elemenata teorije . Njegova je uloga provjeravanje teorije na djelu. (iljak, str.19).
Izgradnja modela ovisi o vrsti modela koji e se koristiti. Iz verbalno definiranog problema istrai-
vanja moramo matematiki definirati uvjete i ogranienja sustava kojima se odreuje prostor mo-
guih rjeenja.
Slika 1. Etape modeliranja
Prikupljanje podataka
Prikupljanje podataka je vaan korak koji zahtjeva posebnu panju jer o raspoloivosti i kvaliteti
podataka ovise rezultati modeliranja. Ako potrebni podaci nisu raspoloivi u standardnom sustavu
prikupljanja podataka poslovanja, potrebno je odluiti izmeu dviju mogunosti:
- neposredni dodatni zahtjevi za prikupljanje nedostatnih podataka;
- prilagodba modela za postojeu skupinu podataka.
Dodatni zahtjevi za prikupljanjem podataka iziskuju obino znatne trokove i potrebno je analizom
utvrditi njihovu ekonomsku opravdanost. esto i s jednostavnijim modelom i skromnijim podacima
postiemo dobre rezultate.
Verifikacija i ispitivanje valjanosti modela
Verifikacija je utvrivanje korektnosti modela, tj. ispitivanje funkcionira li model onako kako oeku-
jemo. To je formalno testiranje odgovara li rjeenje koje dobijemo svim uvjetnim ogranienjima
modela, ili kratko reeno jesmo li dobili mogue rjeenje modela.
Ispitivanjem valjanosti utvrujemo daje li model rjeenja koja se slau s opaanjima na realnom
sustavu. Ukoliko utvrdimo da postoje neslaganja ili proturjenosti, model je potrebno poboljati re-
definiranjem ogranienja i pretpostavki. Taj postupak ponavljamo dok ne postignemo zadovoljava-
juu reprezentativnost modela.
Definiranje
problema
Izgradnja modela
Prikupljanje i
analiza podataka
Ispitivanje
valjanosti
modela
Verifikacija
modela
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 3 of 96
4
Vrste modela
Postoji mnogo vrsta modela. Nae podruje interesa jesu matematiki modeli, koji spadaju u sim-
bolike modele. To je skup matematikih i logikih veza meu pojedinim elementima sustava. Npr.
matematiki model kontrole zaliha ukljuuje potranju za proizvodom, trokove dranja zaliha i sni-
enja nabavnih cijena za vee narudbe. Modeli mogu biti jednostavniji i sloeniji, npr. model zali-
ha se moe predstaviti jednom jednadbom, dok se makroekonomski model privrede moe sasto-
jati od sustava diferencijskih jednadbi vieg reda.
Podjelu matematikih modela baziramo na vrsti sustava kojeg modeliramo. Sustavi mogu biti sta-
tiki ili dinamiki, diskretni ili kontinuirani.
Statiki sustav
- vrijeme nema vanu ulogu ili smo zainteresirani za stanje sustava u odreenom trenutku. Primjer:
financijski sustavi daju financijsko stanje poduzea u odreenom trenutku.
Dinamiki sustav
- sustav koji se mijenja kroz vrijeme. Primjer: prolaz putnika kroz zranu luku.
Diskretni i kontinuirani sustav
- stanje sustava se mijenja u diskretnim vremenskim intervalima, odnosno kontinuirano. Primjeri:
prolaz putnika u zranoj luci je diskretni dogaaj dogaa se u odreenim trenucima; prolaz nafte
kroz naftovod je kontinuirani dogaaj nema odreenih trenutaka kad nastane dogaaj.
Deterministiki i stohastiki modeli
Deterministiki modeli: modeli koji imaju egzaktno rjeenje koje se esto naziva analitiko:
- nema sluajnih utjecaja na varijable i parametre;
- izmeu varijabli je tona uzrono-posljedina veza; za odreene ulazne vrijednosti varijabli dobi-
vaju se uvijek iste izlazne vrijednosti varijable.
Stohastiki modeli: imaju parametre (ili varijable) koje nemaju fiksne vrijednosti:
- ukljuuju sluajne varijable odnosno sluajne procese;
- nije mogue tono predvidjeti izlazne vrijednosti varijabli;
- sluajne varijable su predstavljene distribucijama vjerojatnosti.
Stohastiki modeli obuhvaaju:
modele koji se od deterministikih modela razlikuju jer ukljuuju sluajne greke - za sustave ije
bi ponaanje mogli tono predvidjeti za ulazne vrijednosti parametri i varijabli modela, kad ne bi bili
prisutni sluajni utjecaji ili greke koje prouzrokuju odstupanja od takvog ponaanja. Za tu vrstu
sluajne greke vrijede pretpostavke:
- da su raspodjeljene N (0,2);
- povezanost s deterministikim dijelom je aditivna rjee multiplikativna;
- sluajne greke su nekorelirane u vremenu (tj.stanje u trenutku nije ovisno o proteklim stanjima)
modeli s jae ukljuenim sluajnim utjecajima, npr. kao promjene u samoj strukturi sustava.
- vaan korak u analizi takvog sluajnog procesa je utvrivanje distribucije vjerojatnosti i njenih pa-
rametara, odnosno prepoznavanje oblika teorijske raspodjele koja se najbolje prilagoava empirij-
skim podacima.
Osnovna karakteristika primjene u poslovnom odluivanju stohastikih modela koji eksplicitno uk-
ljuuju sluajnu varijablu jest velik broj ponovljenih uzoraka. Samo u tom sluaju imamo dobru pot-
poru pri odluivanju u uvjetima rizika.
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 4 of 96
5
Nalaenje rjeenja - analitiki i simulacijski pristup
Deterministiki modeli imaju egzaktno rjeenje analitiko rjeenje.
Stohastiki modeli:
za neke imamo analitiko rjeenje iz distribucija vjerojatnosti ulaznih podataka izraunava se
zakon distribucije izlaznih varijabli;
za veinu analitiko rjeenje ne postoji, pa koristimo simulacijski pristup. Iz dovoljno velikog broja
empirijskih simulacija sluajne varijable, dobijemo podatke o njezinoj distribuciji vjerojatnosti.
Simulacijski modeli
Veina stohastikih modela se ne moe analitiki rijeiti pa se za nalaenje rjeenja koristi nume-
rika tehnika, simulacija. Iako je simulacija metodologija za rjeavanje odreene vrste stohastikih
modela, esto govorimo o simulacijskim modelima. To je zbog toga jer ti modeli imaju odreene
zajednike karakteristike:
- slue za prouavanje stohastikih sustava i stohastika svojstva se analiziraju na osnovi velikog
broja uzoraka (kako bi se postigla pouzdanost) iz odgovarajuih distribucija vjerojatnosti;
- modeli se sastoje od skupa pravila, logikih izraza, distribucija vjerojatnosti i matematikih jed-
nadbi.
Metoda simulacije se najee upotrebljava u proizvodnji, transportu, uslunom sektoru, financij-
skom sektoru, komunikacijama itd. Osnovne vrste simulacija su:
- Monte Carlo simulacija za statike sustave;
- diskretna i kontinuirana simulacija za dinamike sustave.
2. ANALITIKE METODE
Analitiki metode su one koje za rjeavanje koriste klasine tehnike. Prouit emo neke determini-
stike i stohastike modele koji se rjeavaju analitikim metodama, a koriste se u poslovnom odlu-
ivanju.
Deterministiki modeli su modeli u kojima je pretpostavljeno da nema neizvjesnosti u varijablama i
parametrima modela. Iako u praksi nema takvih primjera gdje se sve sa sigurnou odvija, ipak
takvi modeli predstavljaju razumnu aproksimaciju za sluajeve gdje je varijabilnost mala. Prednost
im je to su obino jednostavniji za rjeavanje od stohastikih modela.
Obradit emo modele linearnog programiranja i modele zaliha.
Linearno programiranje
Linearno programiranje (LP) je optimizacijska tehnika, jedna od metoda operacijskih istraivanja1.
LP je matematika metoda za maksimiziranje ili minimiziranje linearne funkcije cilja(kriterija) s og-
ranienjima u obliku linearnih nejednadbi odnosno jednadbi, te s uvjetom nenegativnosti za vari-
jable.
S obzirom na vrstu ogranienja razlikujemo slijedee oblike problema LP:
Standardni oblik problema maksimuma ogranienja u obliku
Standardni oblik problema minimuma ogranienja u obliku
Kanonski oblik problema maksimuma (ili minimuma) ogranienja su jednadbe
Opi oblik problema maksimuma (ili minimuma) ogranienja u obliku , ,=
1 Operacijska istraivanja predstavljaju primjenu matematikih metoda u modeliranju i analizi sustava
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 5 of 96
6
MATEMATIKI MODEL
Standardni problem maksimuma
Maksimizirati funkciju cilja: Max z = c1x1+c2x2+.....+cnxn (1)
uz ogranienja:
a11x1+a12x2+ ...+a1nxn b1 (2)
a21x1+a22x2+ ...+a2nxn b2
am1x1+am2x2+ ...+amnxn bm
uvjet nenegativnosti: x1, x2, ..xn 0 (3)
Model moemo pisati u saetom obliku:
n
1j
jj xcMaxz (4)
n
1j
ijij bxa , i=1,2..m (5)
xj 0 (6)
gdje je:
cj = koeficijent funkcije cilja j-te varijable, j=1,2..n;
xj = strukturna varijabla, j=1,2..n;
bi = koliina i-tog ogranienja; koeficijent na desnoj strani nejednadbe, i=1,2..m;
aij= koliina i-tog ogranienja potrebnog za jedinicu j-te varijable; koeficijent uz
varijablu u ogranienju, i=1,2..m , j=1,2..n;
Model napisan u matrinom obliku:
n
n
x
x
x
cccMaxz2
1
21 ... (7)
m
2
1
n
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
(8)
0
0
0
x
x
x
n
2
1
(9)
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 6 of 96
7
Uvedemo li oznake,
n
2
1
c
c
c
c ,
n
2
1
x
x
x
x ,
mn2m1m
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
,
m
2
1
b
b
b
b
,
gdje je c vektor koeficijenata funkcije cilja, x vektor nepoznanica i to strukturnih varijabli, A matrica
koeficijenata i to strukturnih, te b vektor slobodnih lanova.
Model (1)-(3) u matrinom obliku moemo napisati simboliki :
Max z = c'x (10)
A x b (11)
x 0 (12)
Vektor x koji zadovoljava ogranienje (11) predstavlja rjeenje problema.
Vektor x koji zadovoljava ogranienje (11) i (12) predstavlja mogue rjeenje problema.
Vektor x koji zadovoljava ogranienje (10),(11) i (12) predstavlja optimalno rjeenje problema.
Kanonski problem
Problem maksimuma u kanonskom obliku i matrinoj notaciji:
Max z = c'x (13)
A x = b (14)
x 0 (15)
Kanonski problem karakteriziraju ogranienja u obliku jednadbi. Iz standardnog oblika moemo
prijei u kanonski pomou dopunskih varijabli. Dopunske varijable se ukljuuju u ogranienja (11) i
tako od nejednadbi dobivamo jednadbe. Vektor nepoznanica se sada sastoji od strukturnih i do-
punskih varijabli.
Standardni problem linearnog programiranja i njegov kanonski oblik su ekvivalentni, tj. svako rje-
enje jednog od tih problema ujedno je rjeenje i drugog.
Dopunske varijable u funkciji cilja imaju koeficijent jednak nuli, to znai da one nita ne pridodaju
vrijednosti nekog programa.
Standardni problem maksimuma (1) - (3) napisan u kanonskom obliku glasi:
Max z = c1x1+c2x2+.....+cnxn + 0xn+1 + 0xn+2 + ...+ 0xn+m (16)
a11x1+a12x2+ ...+a1nxn + xn+1 = b1 (17)
a21x1+a22x2+ ...+a2nxn + xn+2 = b2
. .. .....
am1x1+am2x2+ ...+amnxn + xn+m = bm
x1, x2, ..xn+m 0 (18)
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 7 of 96
8
Problem proizvodnje
Cilj: Sastaviti proizvodni program tako da ne prekoraimo raspoloivu koliinu resursa potrebnih
za proizvodnju i da maksimiziramo ukupno postignute rezultate s obzirom na postavljeni kriterij.
Pretpostavimo da je postavljeni kriterij postizanje im veeg profita. Uvodimo oznake:
Pj proizvod vrste j (j=1,2,...n);
Ri resurs vrste i (i=1,2,...m);
cj profit po jedinici proizvoda j (j=1,2,...n);
xj koliina proizvoda vrste j (j=1,2, ...n)
aij utroak resursa i po jedinici proizvoda j (i=1,2,...m; j=1,2,...n);
bi raspoloiva koliina resursa i (i=1,2,...m).
z ukupni profit
Podatke emo predstaviti u tablici:
Tablica 1. Opi podaci za problem proizvodnje
Proizvod jed.profit
Resurs
P1 c1
P2 c2
...
Pn cn
Raspoloiva kol. resursa
R1 a11 a12 a1n b1
R2 a21 a22 a2n b2
Rm am1 am2 amn bm
Optimalni rezultat e dati odgovor kakva e biti struktura proizvodnje (kolika je proizvodnja pojedi-
ne vrste proizvoda), koliki je maksimalni ukupni profit, te kolika je iskoritenost pojedine vrste re-
sursa.
Matematiki model:
Funkcija cilja maksimizira ukupni profit z:
Max z = c1x1+c2x2+.....+cnxn (19)
uz ogranienja raspoloivih resursa:
a11x1+a12x2+ ...+a1nxn b1 (20)
a21x1+a22x2+ ...+a2nxn b2
am1x1+am2x2+ ...+amnxn bm
uvjet nenegativnosti:
x1, x2, ..xn 0 (21)
Opi problem proizvodnje ovako definiran je pojednostavljen. U programu mogu biti ukljuena do-
datna ogranienja vezana uz tehnoloki proces proizvodnje, zatim plasman na trite i slino.
Pretpostavka je da se ne radi o viefaznoj proizvodnji.
Postavljeni cilj u programu moe biti jo npr. maksimizacija iskoritenosti kapaciteta strojeva, mi-
nimizacija ukupnih trokova, itd.
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 8 of 96
9
RJEAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA
Rjeenje problema linearnog programiranja moemo dobiti
- grafiki za probleme s najvie dvije strukturne varijable (koordinatni sustav x10x2)2
- algebarski pomou simpleks metode
Grafiko rjeenje
Primjer 1
Poduzee proizvodi dva proizvoda P1 i P2. Svaki proizvod se obrauje na dva stroja S1 i S2. Potre-
bno vrijeme obrade na strojevima za svaki proizvod i raspoloivi kapacitet strojeva (u satima) i pro-
fit (u kunama) po komadu proizvoda pojedine vrste iznose:
Stroj
Proizvod Kapacitet strojeva
(sati)
(Objanjenje: stroju 1 treba 1 sat za P1 i 1 sat za P2,
moe proizvoditi do 200 sati) P1 P2
S1 (sati) S2 (sati)
1 1 2 1
200 300
Profit (kn) 40 60
Na tritu se moe prodati najvie 150 komada proizvoda P2 !
Potrebno je odrediti optimalan plan proizvodnje, tj. koliinu x1 proizvoda P1, te koliinu x2 proizvo-
da P2 koje je potrebno proizvesti koristei raspoloivi kapacitet strojeva i mogui plasman na tri
tu, za koje e ukupni profit biti maksimalan.
Matematiki model:
Max z = 40x1 + 60x2 (22)
x1 + x2 200 (23) 2x1 + x2 300 x2 150 x1, x2 0 (24)
Radi se o standardnom problemu maksimuma (ogranienja(23) u obliku ), sa dvije struk-turne varijable i tri ogranienja (kapacitet strojeva i mogunost prodaje proizvoda).
Koraci rjeavanja grafike metode jesu:
nacrtati ogranienja;
odrediti skup moguih rjeenja;
odrediti poloaj funkcije cilja3
odrediti optimalno rjeenje, pomicanjem pravca koji predstavlja funkciju cilja paralelno u
smjeru optimizacije4 do zadnje toke skupa moguih rjeenja.
Osnovni teoremi LP
Ako problem LP ima optimalna rjeenja, tada se najmanje jedno od tih rjeenja nalazi u ek-
stremnoj toki skupa moguih rjeenja.
Problem LP s ogranienim, nepraznim skupom moguih rjeenja uvijek ima optimalno rjeenje.
2 odnosno tri strukturne varijable (prostorni koordinatni sustav x10x20x3)
3 umjesto crtanja funkcije cilja, optimum se moe odrediti izraunavanjem vrijednosti funkcije cilja za pojed i-
ni vrh skupa moguih rjeenja te utvrivanjem za koji od njih je vrijednost z funkcije cilja maksimalna. 4 kod traenja maksimuma pravac pomiemo u smjeru od ishodita koordinatnog sustava, a kod traenja
minimuma pravac pomiemo u smjeru prema ishoditu koordinatnog sustava.
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 9 of 96
10
Grafiki prikaz ogranienja skupa moguih rjeenja te funkcije cilja
Ogranienje (24) nenegativnosti:
predstavlja skup toaka prvog kvadranta koordinatne ravnine x10x2 s ishoditem i pozitiv-
nim dijelovima koordinatnih osi.
Ogranienja (23):
odredi se skup toaka koje zadovoljavaju pojedino ogranienje (oznake = i
11
unutarnje toke
granine toke toke
ekstremna toka
Crtanje funkcije cilja:
Prema osnovnom teoremu , najvea vrijednost funkcije cilja bit e u nekom od vrhova skupa mo-
guih rjeenja.Najvea vrijednost funkcije cilja z je u vrhu D. optimalno rjeenje je x1 = 50, x2 = 150,
z= 11000.
Ekstremne toke skupa moguih rjeenja i pripadne vrijednosti z:
vrh koordinate vrha
z
A
B
C
D
E
(0,0)
(150,0)
(100,100)
(50,150)
(0,150)
0
6000
10000
11000
9000
Zbog ega je optimalno rjeenje u nekom od vrhova skupa moguih rjeenja?
Uzmemo li jednu od toaka npr. T (50,50), vrijednost funkcije cilja e za tu toku iznositi
z = 4050 + 6050 = 5000. Jednadba funkcije cilja kroz tu toku je 5000=40x1 + 60x2
Slika1. Grafiko rjeenje
Max Z = 40x1 + 60x2 T(50,50) Z = 40x50 + 60x50 = 5000 5000 = 40x1 + 60x2 x2=0 5000=40x1 x1=5000/40 x1=125 x1=0 5000=60/x2 x2=5000/60 x2=83,33 T(50,100) Z = 40x50 + 60x100 = 7000 7000 = 40x1 + 60x2 x2=0 7000=40x1 x1=7000/40 x1=175 x1=0 7000=60/x2 x2=7000/60 x2=116,66
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 11 of 96
12
Ako izaberemo T1 (50,100), vrijednost funkcije cilja e biti z = 4050 + 60100 = 7000, a jednadba
kroz tu toku je 7000 = 40x1 + 60x2 . Dakle, jednadba z = 40x1 + 60x2, predstavlja skup pravaca s
istim nagibom.
Pomicanjem pravca funkcije cilja paralelno preko skupa moguih rjeenja, im dalje od ishodita,
do zadnje toke koju dodiruje u skupu moguih rjeenja, nalazimo optimalno rjeenje u toki D
(50,150), tj. x1 = 50, x2 = 150, a optimalna vrijednost funkcije cilja z = 11000.
Interpretacija optimalnog rjeenja:
Optimalni proizvodni program:
x1 = 50 komada proizvoda P1
x2 = 150 komada proizvoda P2
maksimalni profit z=11000 kn.
Ako bi se radilo o nekoj drugoj funkciji cilja, optimalno rjeenje bi moglo biti u nekom drugom vrhu,
a ako jednadba funkcije cilja ima nagib kao neki od pravaca ogranienja, tada se optimalno rjee-
nje nalazi u dva vrha i svim tokama na duini koja ih povezuje.
Nalaenje ekstremnih toaka algebarskim putem
Kod traenja rjeenja algebarskim putem, potreban nam je model u kanonskoj formi.
Kanonska forma modela:
Svakom ogranienju na lijevoj strani dodajemo po jednu nepoznanicu kako bismo dobili sustav je-
dnadbi. To su dopunske varijable (varijable manjka). One u funkciji cilja imaju koeficijent 0 jer ne
pridonose vrijednosti z.
Max z = 40x1 + 60x2 + 0 x3 + 0x4 + 0 x5 (25)
x1 + x2 + x3 = 200 (26)
2x1 + x2 + x4 = 300
x2 + x5 = 150
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0 (27)
Da bismo nali rjeenje potrebno je rijeiti sustav od tri jednadbe [relacije pod (26)] i nai ono rje-
enje koje zadovoljava uvjet nenegativnosti i daje funkciji cilja maksimalnu vrijednost. Taj sustav
jednadbi ima manje jednadbi nego nepoznanica i zbog toga nema jedinstveno rjeenje.
Sustav napisan simboliki i u matrinom obliku:
A x = b
150
300
200
10010
01012
00111
5
4
3
2
1 =
x
x
x
x
x
Moe se napisati i ovako:
150
300
200
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
2
1
54321 xxxxx
ili krae: A1 x1 + A2 x2 + A3 x3 + A4 x4 + A5 x5 = b
Ukupno imamo 5 varijabli, 2 strukturne (x1, x2) i 3 dodatne (x3 , x4 , x5). Za svaki vrh znamo vrijed-
nost strukturnih varijabli, a sada bi trebali odrediti jo vrijednost dodatnih varijabli.
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 12 of 96
13
Toka A(0,0)
x1=0, x2=0 , x3 =?, x4 =?, x5 =?
150
300
200
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
2
1
543 xxx
Prva dva produkta su jednaka nuli (jer su vrijednosti varijabli jednake nuli). Sustav sad moemo
pisati :
150
300
200
100
010
001
5
4
3
x
x
x
U matrici A smo izbrisali 1. i 2. stupac, a u vektoru nepoznanica izbacili varijable x1 i x2. Iz proire-
ne matrice sustava itamo odmah rjeenje jer je matrica koeficijenata jedinina.
150100
300010
200001
x3=200, x4=300 , x5 =150 .
Toka B(150,0)
Briemo 2. i 4. stupac u matrici A izbacimo varijable x2 i x4 , pa rijeimo sustav:
150100
50010
150001
150100
100020
200011
150100
300002
200011
x1=150, x3=50 , x5 =150 .
Rjeenja za sve ekstremne toke su u tablici:
vrh prostor (x1, x2) prostor (x1, x2, x3 , x4 , x5)
A
B
C
D
E
(0,0)
(150,0)
(100,100)
(50,150)
(0,150)
(0,0,200,300,150)
(150,0,50,0,150)
(100,100,0,0,50)
(50,150,0,50,0)
(0,150,50,150,0)
Zajedniko svojstvo toaka A,B,C,D,E:
3 od 5 varijabli je razliito od nule(3 zato jer su 3 ogranienja u ovom problemu LP).
Zbog toga:
sustav od 3 jednadbe i 5 nepoznanica sustav od 3 jednadbe i 3 nepoznanice;
matrica koeficijenata sustava A35 matrica koeficijenata sustava A33 ;
sustav s mnogo rjeenja sustav s jednim rjeenjem*.
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 13 of 96
14
Karakteristike sustava*:
Vektori matrice A33 ine bazu.
Rjeenje sustava zovemo bazino rjeenje6.
Ukljuenjem uvjeta nenegativnosti varijabli dobivamo bazino mogue rjeenje problema LP.
Bazino mogue rjeenje je ekstremna toka skupa moguih rjeenja.
Meu ekstremnim tokama nalazimo optimalno rjeenje.
Optimalno rjeenje je toka D. U prostoru (x1, x2, x3 , x4 , x5) nalazimo vrijednost dodatnih varijabli.
Samo x4 je razliita od 0. To znai da je kapacitet strojeva S2 neiskoriten i to 50 sati. S1 grupa
strojeva je potpuno iskoritena kao i plasman na tritu.
Ekstremne toke skupa moguih rjeenja i optimalno rjeenje se pronalaze simpleks metodom.
Svaka iteracija simpleks metode sadri po jedno bazino rjeenje.
Standardni problem minimuma
Matematiki model problema minimuma (standardni oblik):
Min w = c1x1+c2x2+.....+cnxn (28)
a11x1+a12x2+ ...+a1nxn b1 (29)
a21x1+a22x2+ ...+a2nxn b2
am1x1+am2x2+ ...+amnxn bm
x1, x2, ..xn 0 (30)
U matrinom obliku moemo napisati simboliki :
Min w = c'x (31)
A x b (32)
x 0 (33)
6 Bazino rjeenje sustava od m jednadbi i n nepoznanica je ono rjeenje kod kojeg m varijabli ima vrijed-
nost razliitu od nule, a preostalih (n-m) varijabli vrijednost jednaku nuli.
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 14 of 96
15
Primjena Problem prehrane
Cilj: Sastaviti prehrambeni program tako da svaka hranjiva komponenta bude zastupljena bar u
minimalnoj koliini i prehrambeni program bude najjeftiniji.
Ovaj problem je prvi put postavio G.J.Stigler7 1945.godine. Obuhvaao je 77 namirnica i 9 hranjivih
elemenata.
Uvodimo oznake:
Nj namirnica vrste j (j=1,2,...n);
Hi hranjivi sastojak vrste i (i=1,2,..m);
cj jedinina cijena namirnice j (j=1,2,...n);
xj koliina namirnice vrste j (j=1,2, ...n)
aij koliina hranjivog sastojka vrste i u jedinici namirnice vrste j (i=1,2,...m; j=1,2,...n);
bi minimalna koliina hranjivog sastojka vrste i (i=1,2,...m) koji se zahtijeva u
prehrambenom programu;
w cijena prehrambenog programa.
Podatke emo predstaviti u tablici:
Tablica 2. Opi podaci za problem prehrane
Namirnica jed.cijena
Hranjivi sastojak
N1 c1
N2 c2
...
Nn cn
Minimalna koliina
hranjivog sastojka
H1 a11 a12 a1n b1
H2 a21 a22 a2n b2
Hm am1 am2 amn bm
Matematiki model:
Funkcija cilja minimizira trokove w prehrambenog programa :
Min w = c1x1+c2x2+.....+cnxn (34)
uz ogranienja vezana uz zastupljenost bar minimalnih koliina hranjivih sastojaka :
a11x1+a12x2+ ...+a1nxn b1 (35)
0 a21x1+a22x2+ ...+a2nxn b2
am1x1+am2x2+ ...+amnxn bm
uvjet nenegativnosti: x1, x2, ..xn 0 (36)
Optimalni rezultat e dati odgovor od kojih namirnica e se sastojati obrok, koliki su minimalni tro
kovi, te kolika je zastupljenost pojedine vrste hranjivog elementa.
Rjeenje problema LP moemo dobiti
grafiki za probleme s najvie dvije strukturne varijable (koordinatni sustav x10x2)8
algebarski pomou simpleks metode (npr. Charnesove M metoda; originalna simpleks me-
toda primijenjena na dual ovog problema)
7 Marti, Lj.: Matematike metode za ekonomske analize II, Narodne novine Zagreb, 1966., str.90.
8 odnosno tri strukturne varijable (prostorni koordinatni sustav x10x20x3)
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 15 of 96
16
Primjer 2
Tvornica hrane za pse u pripremi gotove hrane koristi 2 namirnice, itarice i meso. itarice sadre
masnoa 1 g/kg i bjelanevina1g/kg . Meso sadri masnoa 2g/kg i bjelanevina 4g/kg. Cijena za 1
kg itarica je 6 kn, a mesa 21 kn. Pakiranje gotove hrane mora sadravati bar 30 g masnoa i bar
40 g bjelanevina. Treba odrediti koliinu jedne i druge namirnice koju pakiranje mora sadravati, a
da pri tom budu zadovoljeni nutricijski zahtjevi i cijena bude minimalna.
Prikazat emo podatke u tablici:
Namirnica
Hranjivi sastojci g/kg Cijena u kn za 1kg masnoe bjelanevine
itarice Meso
1 1 2 4
6 21
min.kol. (g) sastojka u pakiranju
30 40
Matematiki model:
Min w = 6x1 + 21x2 (37)
x1 + 2x2 30 (38)
x1 + 4x2 40
x1, x2 0 (39)
Radi se o standardnom problemu minimuma (ogranienja(38) u obliku ), sa dvije strukturne vari-
jable i dva ogranienja(minimalni nutricijski zahtjevi za masnoe i bjelanevine).
Optimalno rjeenje dobiveno grafikim putem je prikazano na slici 2.
Slika 2. Grafiko rjeenje
Interpretirajte optimalno rjeenje!
Koliki je ukupni minimalni troak pakiranja?
Interpretirajte vrijednost strukturnih varijabli.
Izraunajte vrijednost dodatnih varijabli i navedite njihovo znaenje!
Interpretacija rjeenja:
Pakiranje e sadravati 20 kg itarica i 5 kg mesa. Cijena pakiranja je 225 kn.
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 16 of 96
17
Primjena programa MS Excel Solver
Rjeavanje problema LP se provodi primjenom simpleks algoritma. To je algebarski postupak za
nalaenje mogueg bazinog rjeenja sustava jednadbi matrinim putem, a pri tom svako dobive-
no rjeenje ispituje jesmo li nali bazino rjeenje koje funkciji cilja daje maksimalnu vrijednost, od-
nosno moe li se vrijednost z poveati prijelazom na slijedee bazino rjeenje. Geometrijski gle-
dano, simpleks metoda kree od ishodita i dalje od vrha do vrha po skupu moguih rjeenja, po-
veavajui vrijednost funkcije cilja dok ne doe do optimalnog rjeenja. Poetno bazino rjeenje je
ono koje je poznato, tj. ono kod kojeg su strukturne varijable jednake nuli (nebazine), a dodatne
varijable su bazine (razliite od nule). To je ishodite koordinatnog sustava. Slijedee bazino rje-
enje nalazimo elementarnom transformacijom poetne baze, tako da se jedan od vektora poet-
ne baze zamijeni jednim od preostalih vektora matrice A, a koji nisu u bazi. Ta zamjena se odvija
prema definiranim kriterijima za odabir vektora koji e ui u bazu, te onog koji e izai iz baze.
Transformacija baze tj. nalaenje novih bazinih rjeenja se obavlja sve dok postoji mogunost
poveanja vrijednosti funkcije cilja z. Primjenom kriterija omogueno je da se doe do optimalnog
rjeenja efikasno, tj. Bez da se nalazi i ispituje sva mogua bazina rjeenja sustava.
Koristit emo MS Excel Solver program za nalaenje optimalnog rjeenja i analizu osjetljivosti rje-
enja.
Nalaenje rjeenja prikazat emo na primjeru 1, str.8 , iz Metode i modeli za donoenje optimalnih
poslovnih odluka.
Radi se o problemu proizvodnje. Potrebno je odrediti optimalan plan proizvodnje, tj. koliinu x1 pro-
izvoda P1, te koliinu x2 proizvoda P2 koje je potrebno proizvesti koristei raspoloivi kapacitet
strojeva i mogui plasman na tritu, za koje e ukupni profit biti maksimalan.
Matematiki model:
Max z = 40x1 + 60x2 (1)
x1 + x2 200 (2)
2x1 + x2 300
x2 150
x1, x2 0 (3)
Matematiki model u matrinom obliku:
Max z = (4)
(5)
(6)
Zatim unosimo podatke u radni list:
Stroj
Proizvod Kapacitet strojeva
(sati) P1 P2
S1 (sati) S2 (sati)
1 1 2 1
200 300
Profit (kn) 40 60
Na tritu se moe prodati najvie 150 komada proizvoda P2 !
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 17 of 96
18
Slika 2: Unos podataka u radni list.
A B C D
1 ogranienja P1 P2 raspoloivo 2 S1 1 1 200
3 S2 2 1 300
4 Trite 0 1 150
5 Profit 40 60
6
7 Rjeenja 1 1 (koliine) 8 Max
9 Fn.cilja =SUMPRODUCT( B5:C5;B7:C7) (cijenakoliina) 10
11 ogranienja iskoriteno raspoloivo 12 S1 =SUMPRODUCT( B2:C2;$B$7:$C$7) =D2 13 S2 =SUMPRODUCT( B3:C3;$B$7:$C$7) =D3 14 Trite =SUMPRODUCT( B4:C4;$B$7:$C$7) =D4
Za odreena rjeenja varijabli x1 i x2 , vrijednost funkcije cilja (4) i pojedinih ogranienja (5) preds-
tavlja skalarni produkt za koje u programu imamo na raspolaganju funkciju SUMPRODUCT (pr-
vi_niz, drugi_niz). Za poetna rjeenja
varijabli x1 i x2 postavljamo vrijednost 1, pa nam to omoguuje provjeravanje ispravnosti unesenih
formula (skalarni produkt mora biti jednak sumi koeficijenata odgovarajueg retka). Sljedei korak
je unos parametara modela. U prozoru Mogunosti uvodimo zahtjev da se radi o linearnom mode-
lu i zahtjev o nenegativnosti varijabli. Nakon toga odabirom gumba Solve (slika 3.) rijeimo prob-
lem. Pored optimalnog rjeenja jo moemo dobiti 3 izvjea (slika 5.):
o rjeenju
o analizi osjetljivosti
o granicama.
Slika 3: Unos parametara modela
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 18 of 96
19
Slika 4: Unos opcija parametara mode-la
Slika 5: Izbor izvjea
Ovo izvjee ukljuuje rjeenja varijabli (razine proizvodnje pojedine vrste proizvoda), optimalnu
vrijednost funkcije cilja (maksimalni profit) te iskoritenost ogranienja (resursa proizvodnje, plas-
mana). U naem primjeru dobivamo informaciju da je plasman na tritu i kapacitet strojeva S1
potpuno iskoriten (predstavljaju uska grla za poveavanje proizvodnje), dok kapacitet strojeva S2
ima neiskoritenih 50 sati.
Slika 6: Izvjee o rjeenju Microsoft Excel 11.0 Answer Report Worksheet: [Book1]Sheet1 Report Created: 5.1.2009 12:04:42
Target Cell (Max)
Cell Name Original Value
Final Value Max profit
$B$9 Fn.cilja 100 11000
Adjustable Cells opt.kol.
Cell Name Original Value
Final Value proizvodnje
$B$7 Rjeenja P1 1 50
$C$7 Rjeenja P2 1 150
Constraints
Cell Name Cell Va-
lue Formula Status Slack
$B$12 S1 iskoriteno 200 $B$12
20
Analiza osjetljivosti
Pomou analiza osjetljivosti utvrujemo osjetljivost optimalnog rjeenja na:
promjenu koeficijenta za varijablu u funkciji cilja;
mijenjanje vrijednosti strukturne varijable koja ima vrijednost 0 u vrijednost koja nije 0;
promjenu desne strane ogranienja.
Vano je napomenuti da se ispituju promjene samo u jednom parametru. Ako se radi o promjena-
ma u vie parametara, tada je problem sloeniji i potrebno je primijeniti parametarsko programira-
nje.
DEFINICIJE:
Allowable Decrease (Increase)
Dozvoljeni pad (rast) za 1 koeficijent u funkciji cilja
Najvea vrijednost za koju se koeficijent strukturne varijable u funkciji cilja moe smanjiti (poveati)
a da postojee optimalno rjeenje ostane optimalno.
Dozvoljeni pad (rast) za 1 vrijednost na desnoj strani ogranienja
Najvea vrijednost za koju se vrijednost na desnoj strani ogranienja moe smanjiti (poveati) a da
dualna cijena ostane nepromijenjena.
RHS vrijednost (vrijednost desne strane ogranienja)
Koliina raspoloivog resursa (za ogranienje ) ili minimalni zahtjev nekog kriterija (za ogranie-
nje ).
Shadow price (dualna cijena)
Veliina promjene vrijednosti funkcije cilja za poveanje desne strane jednog ogranienja za 1 je-
dinicu (marginalna vrijednost resursa).
OFC vrijednost (koeficijent u funkciji cilja)
Koeficijent strukturne varijable u funkciji cilja (npr. jedinini profit, jedinini troak ).
Reduced cost (oprtunitetni troak)
Postoji kad je neka strukturna varijabla jednaka nuli u optimalnom rjeenju. To je najmanji iznos od
kojeg koeficijent u funkciji cilja uz tu strukturnu varijablu treba biti vei, kako bi optimalno rjeenje
te varijable bilo razliito od nule. To je razlika izmeu marginalnog doprinosa te varijable i potreb-
nih marginalnih trokova resursa.
Slack (dopunske varijable)
Razlika izmeu lijeve (LHS) i desne (RHS) strane ogranienja. Kod ogranienja obino predstav-
lja neiskoriteni resurs, a kod ogranienja predstavlja prekoraenje minimalnog zahtjeva.
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 20 of 96
21
Problem asortimana proizvodnje P1 i P2:
Max z = 40x1 + 60x2 (profit)
x1 + x2 200 (sati S1)
2x1 + x2 300 (sati S2)
x2 150 (tr. P2)
x1,x2 0 (nenegativnost)
Optimalno rjeenje je o(50,150) i maksimalni profit z=11000.
Slika 6 Grafiko rjeenje LP.
Promjene parametra u funkciji cilja
Poveamo li profit po jedinici P1 sa 40 kn na 50 kn , funkcija cilja je: z' = 50x1 + 60x2
Slika 7 Analiza osjetljivosti
Microsoft Excel 11.0 Sensitivity Report
Worksheet: [Book1]Sheet1
Report Created: 5.1.2009 12:05:57
dozvoljeno pove. i smanjenje param. u funkciji cilja
parametri u funkciji cilja
Adjustable Cells
Final Reduced Objective Allowable Allowable
Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease
$B$7 Rjeenja P1 50 0 40 20 40
$C$7 Rjeenja P2 150 0 60 1E+30 20
Constraints
Final Shadow Constraint Allowable Allowable
Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease
$B$12 S1 iskoriteno 200 40 200 25 50
$B$13 S2 iskoriteno 250 0 300 1E+30 50
$B$14 Trite iskoriteno 150 20 150 50 50
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 21 of 96
22
Iz grafikog prikaza vidi se da se optimalno rjeenje ne mijenja. Kako se jedinini profit poveao,
poveava se i vrijednost z. Optimalno rjeenje e se promijeniti ako se nagib funkcije cilja vie
promijeni, npr. z1 = 140x1 + 60x2 , o1(150,0), z1=21000
Postoji interval vrijednosti za pojedini parametar u funkciji cilja, unutar kojeg intervala optimalna
vrijednost ostaje nepromijenjena, a mijenja se samo vrijednost funkcije cilja. Ako parametar pop-
rima vrijednosti van navedenog intervala, mijenja se i optimalno rjeenje. Tako za c1 interval vrije-
dnosti je (0,60), a za c2 interval je (40, +).
Promjene parametra na desnoj strani ogranienja
Poveamo li desnu stranu drugog ogranienja (sati S2) na 400, mijenja se skup moguih rjeenja,
nagib funkcije cilja se ne mijenja, ali se mijenja optimalno rjeenje: z1= 28000, o(200,0).
Max z = 140x1 + 60x2
x1 + x2 200
2x1 + x2 400
x2 150
x1,x2 0
Slika 8 Novo grafiko rjeenje
Ukupni profit se poveao sa 21000 na 28000 kn, za dodatnih 100 sati rada S2. To znai da svaki
dodatni sat rada S2 poveava profit za 70 kn (ili svaki sat manje je 70kn manje profita).
Ako se mijenja desna strana ogranienja koje je potpuno iskoriteno ('usko grlo'), promjena nastaje
i u funkciji cilja. Mjerimo utjecaj promjene za 1 jedinicu desne strane pojedinog ogranienja na
promjenu u vrijednosti u funkciji cilja koju zovemo dualna cijena ili cijena u sjeni. Kad ogranienje
predstavlja resurs, dualna cijena predstavlja marginalnu vrijednost tog resursa. U izvjeu takoer
dobivamo i interval vrijednosti za desnu stranu pojedinog ogranienja unutar kojeg dualna cijena
ostaje nepromijenjena.
Dualna vrijednost (Shadow price) ili marginalna vrijednost ogranienja predstavlja promjenu vrijed-
nosti funkcije cilja za poveanje RHS ogranienja za jedinicu. Dualna vrijednost y2 = 70 je margi-
nalna vrijednost funkcije cilja za poveanje RHS 2.ogranienja primala. Svaki dodatni sat rada S2
poveava profit za 70 kn.
Za ogranienje koje nije 'usko grlo', dualna vrijednost je nula, jer malo poveanje RHS ne moe
poveati optimalnu vrijednost funkcije cilja. Kad se RHS mijenja unutar granica odreenog interva-
la, shadow price se ne mijenja.
Promjena vrijednosti funkcije cilja predstavlja umnoak dualne vrijednosti i promjene RHS.
U Excelu postoji jo i tree izvjee koje se odnosi na granice unutar kojih se kreu vrijednosti po-
jedine varijable, te o vrijednosti funkcije cilja koja odgovara granicama tog intervala.
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 22 of 96
23
Poveavanje resursa.
Ulaganje u dodatne kapacitet resursa se isplati do visine dualne cijene za jedinicu resursa, ali pri
tom treba voditi rauna da ostanemo u granicama dozvoljenog intervala. Znai, ulagat emo za
dodatni sat rada kapaciteta S2 do 70kn.
Strukturna varijabla jednaka nuli
Reducirani troak (Reduced cost) ili oportunitetni troak je minimalna vrijednost za koju se treba
mijenjati parametar funkcije cilja za odreenu varijablu kako ona ne bi bila jednaka nuli u optimal-
nom rjeenju. To je iznos za koji e se vrijednost funkcije cilja promijeniti , ako varijabla umjesto 0
poprimi vrijednost 1. Ako se radi o problemu maksimuma (minimuma), reduced cost je vrijednost
za koju se parametar u funkciji cilja treba poveati (smanjiti). Za P2 jedinini profit bi se trebao po-
veati za 10 kn kako bi bilo profitabilno proizvoditi P2.
Predstavit emo cjelokupni Excel izvjetaj za model:
Max z = 140x1 + 60x2
x1 + x2 200
2x1 + x2 300
x2 150
x1,x2 0
Slika 8. Excel izvjetaj
Target Cell (Max)
Cell Name Original Value Final Value
$B$9 Fn.cilja P1 200 21000
Adjustable Cells
Cell Name Original Value Final Value
$B$7 Rjeenja P1 1 150
$C$7 Rjeenja P2 1 0
Constraints
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$B$12 S1 iskoriteno 150 $B$12
24
Slika 9. Excel izvjetaj
Microsoft Excel 10.0 Sensitivity Report
Worksheet: [Book1.xls]Sheet1
Report Created: 3/13/2009 17:26:22
Adjustable Cells
Final Reduced Objective Allowable Allowable
Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease
$B$7 Rjeenja P1 150 0 140 1E+30 20
$C$7 Rjeenja P2 0 -10 60 10 1E+30
Constraints
Final Shadow Constraint Allowable Allowable
Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease
$B$12 S1 iskoriteno 150 0 200 1E+30 50
$B$13 S2 iskoriteno 300 70 300 100 300
$B$14 Trite iskoriteno 0 0 150 1E+30 150
Kako je optimalna vrijednost strukturne varijable x2 jednaka nuli, imamo njezin oportunitetni troak.
To znai da minimalna vrijednost od koje bi jedinini profit P2 trebao biti vei kako bi bilo profita-
bilno proizvoditi P2 jest 10 kn.
Kapacitet S2 je potpuno iskoriten, dakle radi se o "uskom grlu" u proizvodnji. Dualna (marginalna)
vrijednost tog ogranienja jest 70 kn, to znai da svaki dodatni sat rada S2 poveava profit za 70
kn. To je ujedno i cijena jednog sata rada S2 do koje visine se isplati ulagati kod poveanja kapa-
citeta.
Intervali vrijednosti na desnoj strani svakog ogranienja unutar kojih optimalno rjeenje ostaje nep-
romijenjeno jesu: b1 (150, +); b2 (0, 400); b3 (0, +).
AO ALABAHTER
Promjena Raunalni ispis Znaenje
OFC Interval za Cj Optimalno rjeenje se ne mijenja
RHS Interval za bi Dualna cijena se ne mijenja
Shadow price (dualna cijena)
0 za usko grlo;
> 0, (z);
< 0, (z)
Marginalna vrijednost resursa (utjecaj na z promjene resursa za 1 jedinicu)
Strukturna varijabla
Xj = 0
Reduced cost (oportunitetni troak)
Za Max je < 0;
Za Min je > 0
Minimalna vrijednost od koje Cj treba biti
vea da je Xj 0 u rjeenju
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 24 of 96
25
PITANJA I ODGOVORI:
P1: Koji utjecaj na profit ima promjena u potranji na tritu?
O1: Potranja na tritu nije uope iskoritena (x5 = 150), pa dodatno poveanje potranje ne pri-
donosi poveanju profita (shadow price = 0).
P2: Koji utjecaj na profit ima poveanje kapaciteta S2 od 50 sati?
O2: Pitanje je vezano uz dualnu cijenu, ali prije moramo utvrditi je li navedeni porast unutar dozvo-
ljenog intervala za koji navedena dualna cijena vrijedi. Dozvoljeni rast je za 100 sati, pad za 300
sati. Porast od 50 sati je unutar dozvoljenog rasta, pa dualna cijena vrijedi: za svaki sat dodatnog
kapaciteta S2, profit raste za 70$. Ukupno poveanje je 3500$.
P3: to se dogaa ako poveamo kapacitet S2 za 300 sati? Je li utjecaj na profit isti?
O3: Poveanje od 300 sati je vee od dozvoljenog rasta, pa bi trebalo ponovno rijeiti zadatak jer
se dualna cijena mijenja.
P4: Ako ipak zahtijevamo proizvodnju P2, kako to utjee na profit?
O4: P2 se ne proizvodi jer nije dovoljno profitabilan:
60 = jedinini (granini) profitni prinos
70 = jedinini troak proizvodnje
10 = oportunitetni troak: toliko se smanji ukupni profit za 1 kom. proizvedenog P2
P5: Koliko profitabilan mora biti P2 da bi se ga isplatilo proizvoditi?
O5: Jedinini profit za P2 bi trebao biti vei od 70$. Obrazloenje: Ako pogledamo koeficijent u
funkciji cilja uz varijabilnu x2, njegov dozvoljeni interval u kojem moe varirati jest (0,70). To znai
da ako poveamo taj koeficijent na vrijednost veu od 70$, optimalno rjeenje se mijenja. Drugim
rijeima, poveamo li jedinini profit za vie od 10$ (sa 60 na npr. 75$), mijenja se i optimalno rje-
enje. U novom optimalnom rjeenju e biti x2 0, jer e taj proizvod biti profitabilno proizvoditi.
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 25 of 96
26
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 26 of 96
27 Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 27 of 96
28
Zadatak 1. Sirovina P1 P2 Raspoloivo sirovina
S1 (tona) 0,4 0,5 20 (t)
S2 (tona) 0 0,2 5 (t)
S3 (tona) 0,6 0,3 21 (t)
Ogranienja
PC (Prodajna Cijena $) 240 350
VT (Varijabilni Troak $) 200 320
DP (Doprinos Pokriu $) 40 30
X1 X1
Doprinos pokriu = Ukupni prihod Varijabilni trokovi
a) Matematika formulacija problema
MaxZ = 40x1 + 30x2
0,4x1 + 0,5x2 20
0,2x2 5
0,6x1+ 0,3x2 21
x1, x2 0
b) Kanonski oblik i znaenje strukturnih i dopunskih varijabli
MaxZ = 40x1 + 30x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5
0,4x1 + 0,5x2 + x3 = 20
0,2x2 + x4 = 5
0,6x1 + 0,3x2 + x5 = 21
x1 x5 0
x1, x2 strukturne varijable, koliina proizvoda P1, P2 (kom.)
Ogranienja su raspoloive koliine sirovina S1, S2, S3 u tonama (t).
Funkcija cilja je maksimizirati doprinos pokriu Z u dolarima ($).
Dopunske varijable neiskoritene sirovine, x3, x4, x5
Dodatno ogranienje: x1 x2 0
x1, x2 koliine proizvodnje proizvoda P1 i P2 (t)
x3, x4, x5 neiskoriteni kapacitet sirovine 1, 2, 3 (t)
- neiskoriteni kapacitet
- prebaaj iznad min zahtijevane koliine
c) Dodatni zahtjev: koliina P2 ne bi smjela biti manja od P1
x2 x1
x1 + x2 0 / x(-1)
x1 x2 0
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 28 of 96
29
Zadatak 3. (prema zadatku 1)
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 29 of 96
30
Zadatak 2
Proizvod A + B: minimalno 350 galona idui mjesec Proizvod A: minimalno 125 galona idui mjesec Raspoloivo vrijeme za proizvodnju: 600 sati idui mjesec Proizvodnja A: 2 sata za 1 galon uz troak 2$/galon Proizvodnja B: 1 sat za 1 galon uz troak 3$/galon Cilj: minimiziranje trokova
X1 A
X2 B
Vrijeme proizvodnje (sati) 2 1 600
Trokovi ($) 2 3 Proizvodnja (galon) 1 1 350
Ogranienje 1 0 125
a) Matematika formulacija
Min w = 2x1 + 3x2
x1 125
2x1 + 1x2 600
x1, x2 0
b) Kanonski oblik
Min w = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 x1 + x2 x3 = 350 x1 x4 = 125 2x1 + x2 + x5 = 600
x1 x5 0
Strukturne varijable:
x1 koliina proizvodnje proizvoda A (galon) x2 koliina proizvodnje proizvoda B (galon)
Dopunske varijable:
x3 prebaaj iznad min. zahtijevane koliine (galon) x4 prebaaj iznad minimalne zahtijeva narudbe velikog kupca (galon) x5 neiskoriteno vrijeme proizvodnje (u satima)
c) Dodatni zahtjev (nee biti u kolokviju)
x2 = 2x1 2x1 + x2 = 0 / x(1) 2x1 x2 = 0
d) Dodatni zahtjev (nee biti u kolokviju)
x1 0,6 (x1 + x2)
x1 0,6x1 + 0,6x2
x1 0,6x1 0,6x2 0 0,4x1 0,6x2 0
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 30 of 96
31
Zadatak 4 (prema zadatku 2)
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 31 of 96
32
Analiza osjetljivosti
MaxZ = 40x1 + 30x2
0,4x1 + 0,5x2 20
0,2x2 5
0,6x1+ 0,3x2 21
x1, x2 0 1600 = 40x25 + 30x20
(Page 28/96)
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 32 of 96
33
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 33 of 96
34
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 34 of 96
35
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 35 of 96
36
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 36 of 96
37
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 37 of 96
38
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 38 of 96
39
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 39 of 96
40
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 40 of 96
41
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 41 of 96
42
Min w = 2x1 + 3x2
x1 125
2x1 + 1x2 600
x1, x2 0
(Page 30/96)
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 42 of 96
43
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 43 of 96
44
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 44 of 96
45
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 45 of 96
46
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 46 of 96
47
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 47 of 96
48
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 48 of 96
49
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 49 of 96
50
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 50 of 96
51
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 51 of 96
52
MaxZ = 8x1 + 5x2 0,1x1 + 0,5x2 = 350
0,3x1 + 0,5x2 650
0,4x1 + 0,2x2 500
x1, x2 0
x1 x2
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 52 of 96
53
z=300; x1=0; x2=30, x3=0, x4=20
Max Z = 20x1 + 10x2 + 0x3 + 0x4 x1 + 3x2 + x3 = 90 x1 + x2 + x4 = 50
x1, x2 0
Proizvodnja je optimalna ako proizvodimo
0 kom. proizvoda P1 i 30 kom. proizvoda P2.
Optimalnom proizvodnjom ostvaruju se minimalni trokovi od 300 kn.
Optimalnom proizvodnjom ispunjeni su minimalni zahtjevi rentabilne koliine proizvodnje.
Optimalnom proizvodnjom iskoriten je dio raspoloivih sati rada, a preostalo je neiskoritenih 20 sati rada.
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 53 of 96
54
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 54 of 96
55
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 55 of 96
56
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 56 of 96
57
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 57 of 96
58
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 58 of 96
59
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 59 of 96
60
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 60 of 96
61
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 61 of 96
62
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 62 of 96
63
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 63 of 96
64
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 64 of 96
65
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 65 of 96
66
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 66 of 96
67
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 67 of 96
68
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 68 of 96
69
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 69 of 96
70
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 70 of 96
71
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 71 of 96
72
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 72 of 96
73
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 73 of 96
74
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 74 of 96
75
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 75 of 96
76
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 76 of 96
77
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 77 of 96
78
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 78 of 96
79
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 79 of 96
80
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 80 of 96
81
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 81 of 96
82
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 82 of 96
83
4. METODA SIMULACIJE
Metoda simulacije se primjenjuje kada je sustav za koji je potrebno specificirati model presloen za
analitiki pristup. Izloit emo samo osnovnu proceduru ove tehnike i primjenu u podruju zaliha i
investicijskih projekata.
Simulacija je proces stvaranja modela realnog sustava i eksperimentiranja s modelom u cilju ra-
zumijevanja ponaanja sustava i/ili razvijanja raznih strategija funkcioniranja sustava (Pedgen et
al.,1995).
Monte Carlo simulacija
Simulaciju emo koristiti za sustave koji u sebi ukljuuju neizvjesnost u ponaanju, a poslovne od-
luke ine rizinim. Neizvjesnost se u modelima predstavlja stvaranjem uzoraka iz odgovarajue
distribucije vjerojatnosti. Takva vrsta simulacije se esto naziva Monte Carlo simulacija. To su naj-
jednostavnije vrste simulacijskih modela. Ukratko, stohastike karakteristike sustava su definirane
sluajnim varijablama. Ulazne vrijednosti takvih varijabli su definirane distribucijama vjerojatnosti
koje ih najbolje predstavljaju. S obzirom da se radi o sluajnim vrijednostima, izlazne vrijednosti
modela se raunaju kao prosjeni pokazatelji dovoljnih broja iteracija provedenih modelom.
Osnovna su tri koraka simulacijskog modeliranja:
1. Za sluajnu varijablu izaberemo vrstu distribucije vjerojatnosti i njezine parametre koji najbolje
odraavaju ponaanje te sluajne varijable.
2. Izvedemo dovoljno velik broj iteracija, pokusa u kojima se pojavljuje takva sluajna varijabla.
3. Za svaki pokus biljeimo izlazne vrijednosti modela i na kraju za rezultate izraunavamo mate-
matiko oekivanje, standardnu devijaciju i druge statistike pokazatelje.
Monte Carlo simulacija je shema koritenja sluajnih brojeva tj. U(0,1) sluajnih vrijednosti koje
slue za rjeavanje odreenih stohastikih ili deterministikih problema u kojima vrijeme nema va-
nosti (Law, Kelton, 1991). U irem smislu Monte Carlo je metoda u kojoj se koriste sluajni brojevi
za rjeenje problema. Za simulaciju diskretnih dogaaja (npr. sustavi usluivanja) taj nain nije po-
godan jer se u tabelarnom prikazu ne moe na odgovarajui nain pratiti promjene kroz vrijeme.
Zbog toga za takve probleme postoje posebni programski paketi i programski jezici. Slina je situ-
acija s kontinuiranim dogaajima.
Mi emo Monte Carlo simulaciju koristiti za probleme koji su uglavnom statiki kao to su kontrola
zaliha i analiza rizika.
Diskretna simulacija
Diskretna simulacija se primjenjuje na sustave koji se mogu opisati nizom diskretnih dogaaja. Di-
skretni dogaaj predstavlja skup okolnosti koje su izazvale promjenu stanja sustava. Simulacija se
odvija tako da se biljee sve promjene vezane uz nastali dogaaj i zatim prelazi na slijedei doga-
aj. Drugim rijeima simulacija se odvija od dogaaja do dogaaja uz pretpostavku da se nita va-
no ne dogaa u vremenu izmeu dogaaja. Metoda nema ogranienja tj. mogu se pomou nje
prouavati vrlo sloeni sustavi, a za to se koriste posebni kompjuterski programi odnosno prog-
ramski jezici. U kompjuterskom programu se generiraju dogaaji prema stvarnom procesu u prou-
avanom sustavu i prikupljaju podaci vezani uz promjene nastale simulacijom.
Problemi sustava usluivanja (sustava redova ekanja) rjeavaju se diskretnom simulacijom. U
takvim sustavima dogaaji su vezani uz dolazak potroaa i njihovo usluivanje. Kad bi dolasci i
vrijeme usluivanja bili u jednakim vremenskim razmacima radilo bi se o deterministikom sustavu
i ne bi se stvarali redovi. Ipak, u veini sustava usluivanja postoji varijabilnost u procesu dolaenja
i usluivanja. Redovi nastaju kad je potranja za uslugom vea od kapaciteta resursa koji prua
uslugu. Potroai ne dolaze u regularnim intervalima, a postoje i varijacije oko prosjene duine
vremena usluivanja. Modeliranje takvog sustava predstavlja prikupljanje uzoraka iz distribucije
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 83 of 96
84
vremena meu dolascima i distribucije vremena usluivanja. te dvije sluajne varijable se u modelu
generiraju prema pretpostavljenim teorijskim i empirijskim distribucijama vjerojatnosti.
Odvijanje simulacije prati se vremenski, tj. simulacijskim satom. Prvi dogaaj , dolazak potroaa,
dogodi se nakon vremenskog intervala koji je generiran prema odgovarajuoj distribuciji vjerojat-
nosti. Kako je sustav na poetku prazan, potroa je odmah usluen i to u vremenu koji je generi-
ran prema odreenoj distribuciji vjerojatnosti. Dogaaji dalje slijede navedene distribucije, te se
biljee statistiki podaci o broju potroaa u sustavu, u redu, za svakog potroaa vrijeme ekanja
u redu, vrijeme usluivanja, a na kraju i iskoritenost sustava za vrijeme simulacije. to se vrijeme
simulacije produuje rezultati su stabilniji i kaemo da sustav postie ravnoteno stanje. Na kraju
predvienog vremena simulacije dobivaju se prosjene vrijednosti skupljenih statistikih podataka.
Simulacijski model koji reprezentira prouavani sustav tako daje statistike pokazatelje koje nazi-
vamo historijska simulacija. Ako u tom modelu mijenjamo ulazne parametre modela ispitujemo
funkcioniranje sustava u promijenjenim uvjetima, dakle eksperimentiramo modelom. Usporeujui
rezultate s historijskom simulacijom dobivamo vane informacije o funkcioniranju sustava i mogu
nosti njegovog poboljanja.
Podruje primjene je iroko u planiranju i organizaciji lukih postrojenja, aerodroma, skladita,
telefonskih centrala, bolnica, banaka, trgovina, ukratko svugdje gdje postoji mogunost zastoja i
uskih grla.
Za neke jednostavnije sustave usluivanja postoji analitiko rjeenje, tj. formule pomou kojih se
mogu izraunati prosjene vrijednosti pokazatelja funkcioniranja sustava. Meutim u praksi su ri-
jetki primjeri na koje se analitiko rjeenje moe primijeniti.
Prednosti i nedostaci metode simulacije
Prednosti ove metode su viestruke. Omoguava bolje razumijevanje sustava, eksperimentiranje
modelom sustava i pripremu za nepoznate situacije u funkcioniranju sustava, omoguuje otkrivanje
uskih grla, procjenu rizinih dogaaja i bolju pripremu za donoenje poslovnih odluka u uvjetima
rizika. Ne postoji tako sloeni sustav koji se ne bi mogao metodom simulacije modelirati i istraiti.
Nedostatak metode simulacije jest to je za sloenije sustave ovo skupa metoda jer zahtijeva tim-
ski rad i skupu programsku podrku. Simulacijom ne dobivamo optimalno rjeenje. Simulacija ne
daje egzaktno rjeenje kao analitike metode. Rezultati simulacije predstavljaju uzorak, pa se sto-
ga za statistiku analizu rezultata treba koristiti teoriju uzoraka.
Generiranje sluajne varijable
Sluajni brojevi
Sluajni brojevi su brojevi koji su uniformno distribuirani izmeu 0 i 1, tj. U (0,1).
Funkcija vjerojatnosti (slika) uniformne distribucije je:
inan,0
1x0,1)x(f
Mogu biti generirani npr. izvlaenjem iz bubnja.
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 84 of 96
85
Pseudosluajni brojevi
Pseudosluajni brojevi imaju svojstva sluajnih brojeva (nezavisnost, jednaka vjerojatnost), a izra-
unavaju se pomou algoritma. Njihova je prednost to se mogu ponoviti, a to je vrlo vano kod
simulacije. Naime, koritenjem istog niza sluajnih brojeva za razliite varijante modela, omoguuje
se reduciranje varijabilnosti u rezultatima i na taj nain lake otkrivanje stvarne razlike meu vari-
jantama modela.
Postoji vie vrsta generatora (algoritama). vano da niz brojeva bude dovoljno dug i da se ne de-
generira. Najvie se koristi multiplikativni kongruentni generator:
xi+1 = a xi (mod m)
x0 sjeme (seed), poetna vrijednost;
mod m modulo m a xi podijeliti sa m i zadrati ostatak.
Simulacijski programski paketi imaju ukljuene generatore koji su testirani na sluajnost i jednaku
vjerojatnost.
Generiranje sluajne varijable
Simulacijski programski paketi imaju ugraene postupke za generiranje sluajne varijable prema
teorijskoj ili empirijskoj distribuciji. Objasnit emo samo osnovni princip.
Primjer
Trgovina prodaje mlijeko u velikim paketima. Potranja je sluajna varijabla broj prodanih paketa
varira prema prikupljenim podacima u tablici 1 (empirijska distribucija vjerojatnosti).
Tablica1 Dnevna prodaja mlijeka
broj prodanih paketa dnevno
sredina frekvencija relat.frekv.
(%) kumulativne
frekv.(%)
10-20 20-30 30-40 40-50 50-60
15 25 35 45 55
10 18 24 7 5
16 28 37 11 8
16 44 81 92 100
ukupno 64 100
Potronju x emo predstaviti srednjom vrijednosti razreda. Distribucija vjerojatnosti je ureeni skup
parova vrijednosti varijable i pripadajue vjerojatnosti, ))x(p,x( ii , i=1,2,...k.
Slika 1. Intervali sluajnih brojeva
00-15
16-43
44-80
81-91
92-99
Vjerojatnost potranje za podatke u tablici izraunamo kao relativnu frekvenciju (%). U cilju modeli-
ranja potranje koristit emo sluajne brojeve. Umjesto uobiajenog raspona od 0 do 1, koristit
emo raspon od 0 do 100, to je u skladu s rasponom relativnih frekvencija u tablici. Potrebno je
pridruiti sluajne brojeve distribuciji u tablici1.Svaki sluajni broj mora biti lociran samo u jednom
intervalu u tablici. Zato je korisno izraunati vrijednosti kumulativnih frekvencija. irina intervala za
svaku vrijednost sluajne varijable x odreena je veliinom relativne frekvencije svakog razreda.
Kako su intervali razliite duine, oni ukljuuju i razliiti raspon sluajnih brojeva. to se jasnije
moe predstaviti pomou kruga
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 85 of 96
86
Tablica 2. Intervali sluajnih brojeva
broj prodanih paketa dnevno
Sredina x
frekvencija relat.frekv.
fr (%) kumulativne
frekv.(%)
RN
10-20 20-30 30-40 40-50 50-60
15 25 35 45 55
10 18 24 7 5
16 28 37 11 8
16 44 81 92 100
00-15 16-43 44-80 81-91 92-99
ukupno 64 100
Potranja je sluajna varijabla koja je distribuirana s vjerojatnou koja odgovara irini razreda, a
irinu razreda odreuju originalni podaci. Prema navedenom, tablicu 1 emo upotpuniti intervalima
sluajnih brojeva (RN). (Tablica2).
Tablica 3. Simulirana potranja RN Potranja 35 72 63 54 12 90 89 60 21 37
25 35 35 35 15 45 45 35 25 25
Kroz viestruki postupak izvlaenja sluajnih brojeva, dobit emo u uzorku korektni udjel potranje iz svakog intervala. Ako elimo simulirati potranju za 10 dana, uzet emo niz od 10 sluajnih brojeva. Za svaki sluajni broj lociramo u tablici interval u koji pripada i oitamo pripadnu koliinu potranje (sredinu razreda). Tone vrijednosti diskretne sluajne varijable mogu se dobiti interpolacijom. Sluajni brojevi i simulirana potranja predstavljena je u Tablici 3., a postupak na Grafikonu 1.
Grafikon 1. Kumulativna funkcija distribucije potranje mlijeka
Za teorijske funkcije distribucije je isti postupak . Na slici je prikazan postupak generiranja kontinui-
rane sluajne varijable.
Slika 2. Kumulativna funkcija distribucije kontinuirane sluajne varijable
RN
x X
F(x)
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 86 of 96
87 Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 87 of 96
88
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 88 of 96
89
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 89 of 96
90
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 90 of 96
91
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 91 of 96
92
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 92 of 96
93
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 93 of 96
94
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 94 of 96
95
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 95 of 96
96
Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 96 of 96
Top Related