SISTEMAS DE ECUACIONES
MÉTODOS: SUSTITUCIÓN, IGUALACIÓN Y REDUCCIÓN
Quini CarreraDpto. de MatemáticasIES Prof. Juan BautistaEl Viso del Alcor
Ya sabemos:- lo que son ecuaciones (igualdad entre dos expresiones algebraicas; en estas hay algún/as cantidades desconocidas, que
se representan con letras),
RECUERDA
- que existen distintas clases según el número de incógnitas a descubrir y el grado (así tenemos ecuaciones de una incógnita y de primer grado, de una incógnita y de
2º grado, de dos incógnitas y de primer grado… ), y
- resolver las que son de una incógnita de primer grado.
Ana y Víctor necesitan un material para hacer un trabajo que les han mandado en el instituto. Han quedado en ir juntos a comprar a la misma tienda.
IMAGÍNATE
Ana compró 5 cartulinas y 2 barras de pegamento por 2´90 €. Víctor se llevó 8 cartulinas y una barra de pegamento por un total de 3´10 €. Pero no preguntaron por el precio unitario de cada artículo.Al verlos por la calle, Luisa recordó que también tenía que comprar material. Necesitaba 6 cartulinas y 2 barras de pegamento, pero sólo tenía 3 € en ese momento.¿Tenía Luisa suficiente dinero para hacer la compra o bien tendría que ir a su casa a por más o pedirle prestado a sus amigos?
Para saber si Luisa tiene suficiente necesitamos saber el precio de una cartulina y de una barra de pegamento.
IMAGÍNATE
O sea, tenemos que buscar el valor de…
¡¡dos incógnitas!!
¿Qué hacer para no tener que ir probando diferentes precios para cada artículo?
Pues lo que tienes que hacer es leer con atención las diapositivas que vienen a continuación.
Lo que vamos aprender en esta presentación es:
LO QUE APRENDEREMOS
Lo que es un Sistema de Ecuaciones
Métodos de resolver un Sistema de dos ecuaciones de primer grado con una sola incógnita: Sustitución Igualación Reducción
SISTEMAS DE ECUACIONES
En el caso de Ana y Víctor, ambos han comprado las cosas en la misma tienda y el mismo día.Lo más normal es que el precio de cada cartulina sea el mismo para las tres personas (X). Del mismo modo, la barra de pegamento vale igual (Y) para cada una de ellas.La situación de Ana la podemos escribir: 5x + 2y = 2´90La situación de Víctor sería: 8x + y = 3´10
Nos encontramos ante dos ecuaciones con las mismas dos incógnitas. Esto es un Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
SISTEMAS DE ECUACIONES
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones con varias incógnitas comunes entre sí
Resumiendo:
Resolver un sistema de ecuaciones es buscar el valor de cada una de las incógnitas.
Sistemas de Ecuaciones
cybxa
cbyax ECUACIÓN 1
ECUACIÓN 2
INCÓGNITA X
INCÓGNITA Y
DOS ECUACIONES DOS INCÓGNITAS
Sistemas de Ecuaciones: RESOLUCIÓN
• SUSTITUCIÓN
• IGUALACIÓN
• REDUCCIÓN
SUSTITUCIÓN
534
52
yx
yx
1º Se despeja una incógnita ¿CUÁL?
PISTA: Busca la que esté sola Y
xy 25
SUSTITUCIÓN
534
52
yx
yx xy 25
534 yx
2º.- Sustituímos el valor de Y en la otra ecuación
1º.- Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones
SUSTITUCIÓN
534
52
yx
yx xy 25
5)25(34 xx
15564 xx
2x10
20x2010 x
56154 xx
Ya tenemos el valor de X, ahora calcularemos Y
3º.- Obtendremos una ecuación con UNA incógnita, que resolveremos
SUSTITUCIÓN
534
52
yx
yx
2x
52 yx 522 y
54 y 45 y 1y
4º.- Sustituímos el valor obtenido en la otra ecuación
Hemos obtenido el valor de la otra incógnita
SUSTITUCIÓN
534
52
yx
yx
1ySOLUCIÓN: ;2x
5º.- Ahora debemos comprobar los resultados, sustituyendo ambos valores en las dos ecuaciones.
52 yx 5122 514 534 yx 51324 538
Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta
IGUALACIÓN
5
82
yx
yx
1º Se despeja una incógnita en ambas ecuaciones
¿CUÁL?
X
yx 28 yx 5
PISTA: Busca la que esté sola
IGUALACIÓN
5
82
yx
yx yx 28 yx 5
Se igualan los segundos miembros
y28 y5 852 yy
3 y1
3
y 3y
Una vez encontrado un valor, buscaremos el otro
IGUALACIÓN
5
82
yx
yx yx 28 yx 5
3yCojemos cualquiera de las ecuaciones
yx 28
Sustituimos en ella el valor que obtuvimos
328 x 2xHemos obtenido el valor de la otra incógnita
IGUALACIÓN
5
82
yx
yx
3ySOLUCIÓN: 2x
Ahora debemos comprobar los resultados, igual que en el método anterior
82 yx 8322 862
5 yx 532 Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta
REDUCCIÓN
1053
642
yx
yx
Se intenta que sumando ambas ecuaciones eliminemos una de las incógnitas.
1053
642
yx
yx
¿Eliminamos alguna incógnita? NO
16x5 y9
Pues tendremos que hacer algunos cambios
REDUCCIÓN
1053
642
yx
yx
1E
20106
18126
yx
yx
Y ahora cambiamos de signo una ecuación, por ejemplo la primera
20106
18126
yx
yx
Multiplicaremos cada ecuación por el coeficiente de unade las incógnitas de la otra ecuación.
32E 2
REDUCCIÓN
1053
642
yx
yx
Ahora sumamos
20106
18126
yx
yx
y2 2
2
2
y 1y
Eliminamos asíuna incógnita
X
Y ahora calculamos x
Resolvemos la ecuación obtenida
REDUCCIÓN
1053
642
yx
yx 1y
Tomamos una de las ecuaciones 1053 yxSustituimos en ella el valorencontrado
10153 x
1053 x 153 x3
15x 5x
Comprobamos los resultados
Para ello sustituimos los valores encontrados en las dos ecuaciones
1053
642
yx
yx
1y5x
61452
10)1(553 6410 10515
REDUCCIÓN
Esto, esto, esto...¡esto es todo, amigos!
Ahora… ¡¡a practicar!!
Por cierto... ¿habrá podido comprar Lucía su material con lo que tenía?
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