Download - SISTEM DINAMIK · PDF filesistem dinamik diskret ... kontinu diskret sistem dinamik sistem dinamik . pokok bahasan sdd otonomus 1-d linear non-linear multi-d linear non-linear

SISTEM DINAMIK DISKRET

Anggota Kelompok:

1. Inggrid Riana C.

2. Kharisma Madu B.

3. Solehan

Kontinu

Diskret

Sistem Dinamik

SISTEM DINAMIK

POKOK BAHASAN

SDD

OTONOMUS

1-D

LINEAR NON-LINEAR

MULTI-D

LINEAR NON-LINEAR

NON-OTONOMUS

SISTEM OTONOMUS 1-D

Kestabilan

Solusi

Titik Tetap

SDD Otonomus Linear 1-D

Kestabilan

Linearisasi

Solusi Jika Ada

Titik Tetap

SDD Otonomus Non-Linear 1-D

SDD OTONOMUS LINEAR 1-D

𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏,

dengan

𝑛 = 0,1,2, …,

𝑥𝑛 ∈ ℝ, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .

Bentuk Umum


Solusinya adalah

𝑥𝑛 = 𝑥0 −

𝑏

1 − 𝑎𝑎𝑛 +

𝑏

1 − 𝑎 , jika 𝑎 ≠ 1

𝑥0 + 𝑏𝑛 , jika 𝑎 = 1

Solusi Sistem

Diberikan SDD 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏, dengan nilai awal 𝑥0.


Titik Tetap

Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏, adalah 𝑥∗ ∈ ℝ

sedemikian sehingga

𝑥∗ = 𝑎𝑥∗ + 𝑏,

diperoleh

𝑥∗ =

𝑏

1 − 𝑎, jika 𝑎 ≠ 1

𝑥0, jika 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 0.

Untuk 𝑎 = 1 dan 𝑏 ≠ 0 titik tetap tidak ada.


Proposisi 1.

Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏 ada jika dan hanya jika

𝑎 ≠ 1 atau 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 0 .

Proposisi 2.

Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏 tunggal jika dan hanya jika

𝑎 ≠ 1.


Kestabilan Titik Tetap

Titik tetap 𝑥∗ dari 𝑥𝑛+1 = 𝑓(𝑥𝑛) adalah:

• Stabil global (asimtotik) jika

lim𝑛→∞

𝑥𝑛 = 𝑥∗, ∀𝑥0 ∈ ℝ

• Stabil lokal (asimtotik) jika 𝑥∗ stabil lokal

dan

lim𝑛→∞

𝑥𝑛 = 𝑥∗.

Proposisi 3.

Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏, stabil global

jika dan hanya jika

𝑎 < 1


Contoh

1. 𝑥𝑛+1 =3

4𝑥𝑛 + 2

Solusi: 𝑥𝑛 =3

4

𝑛𝑥0 − 8 + 8

Titik Tetap: 𝑥∗ = 8

Kestabilan: 𝑎 =3

4< 1 → stabil


Contoh

2. 𝑥𝑛+1 = −2𝑥𝑛 + 2

Solusi: 𝑥𝑛 = −2 𝑛 𝑥0 −2

3+

2

3

Titik Tetap: 𝑥∗ =2

3

Kestabilan: 𝑎 = −2 > 1 → tak stabil

SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D

𝑥 𝑛+1 = 𝑓 𝑥 𝑛 , dengan 𝑛 = 0,1,2, … .

Bentuk Umum

Solusinya adalah

𝑥 1 = 𝑓 𝑥 0

𝑥 2 = 𝑓 𝑥 1 = 𝑓 𝑓 (𝑥 0) = 𝑓 2 𝑥 0

⋮ 𝑥 𝑛 = 𝑓 𝑛 𝑥 0

Solusi Sistem

Diberikan SDD 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 dengan nilai awal 𝑥0.


Titik Tetap

Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 , adalah 𝑥∗ ∈ ℝ

sedemikian sehingga

𝑥∗ = 𝑓 𝑥∗ .

Linearisasi

Hasil linearisasi: 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏,

dengan 𝑎 = 𝑓′ 𝑥∗ dan 𝑏 = 𝑓 𝑥∗ − 𝑓′ 𝑥∗ 𝑥∗


Kestabilan Titik Tetap

Proposisi 4.

Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 , stabil lokal di sekitar

titik tetap 𝑥∗ jika dan hanya jika

𝑓′(𝑥∗) < 1.


Contoh

𝑥𝑛+1 = 3𝑥𝑛 + 𝑥𝑛2 − 𝑥𝑛

3

Titik Tetap: 𝑥1∗ = 0 ∨ 𝑥2

∗ = −1 ∨ 𝑥3∗ = 2

Kestabilan:

𝑓′(𝑥1∗) = 𝑓′(0) = 3 > 1 → tidak stabil

𝑓′(𝑥2∗) = 𝑓′ −1 = −2 > 1 → tidak stabil

𝑓′(𝑥1∗) = 𝑓′(2) = −3 > 1 → tidak stabil

SISTEM OTONOMUS MULTI-D

Kestabilan

Solusi

Titik Tetap

SDD Otonomus Linear Multi-D

Kestabilan

Linearisasi

Solusi

Titik Tetap

SDD Otonomus Non-Linear Multi-D

dengan

𝑛 = 0,1,2, ….

Bentuk Umum

𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵, 𝑥 𝑛 ∈ ℝk

Titik Tetap

Titik tetap dari 𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵, adalah 𝑥 ∗ ∈ ℝ𝑘

sedemikian sehingga 𝑥 ∗ = 𝐴𝑥 ∗ + 𝐵, diperoleh

𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵, jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D

Proposisi 5.

Titik tetap dari 𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵, tunggal jika dan hanya

jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.

Solusinya adalah

𝑥 𝑛 = 𝐴𝑛 𝑥 0 − 𝐼 − 𝐴 −1𝐵 + 𝐼 − 𝐴 −1𝐵, jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.

atau

𝑥 𝑛 = 𝐴𝑛 𝑥 0 − 𝑥 ∗ + 𝑥 ∗.

Solusi Sistem

Diberikan SDD 𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵, dengan nilai awal 𝑥 0.


Lemma 1. Jika matriks 𝐴𝑛×𝑛 mempunyai 𝑛 nilai

eigen real berbeda 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 maka ada matriks

non singular 𝑄𝑛×𝑛 sedemikian sehingga

𝐴 = 𝑄𝐷𝑄−1,

di mana 𝐷 matriks diagonal

𝐷 =

𝜆1 0 ⋯ 00⋮0

𝜆2⋮0

⋯⋱⋯

00𝜆𝑛

,

𝑄 = 𝑣 1𝑣 2⋯𝑣 𝑛 dan 𝐴𝑣 𝑖 = 𝜆𝑖𝑣 𝑖, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.



Proposisi 6.

Sistem persamaan beda linear orde pertama non-

homogen

𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵,

dapat ditransformasi ke sistem persamaan beda linear

orde pertama homogen

𝑧 𝑛+1 = 𝐴𝑧 𝑛,

di mana 𝑧 𝑛 ≡ 𝑥 𝑛 − 𝑥 ∗ dan 𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵.

Proposisi 6.

Sistem persamaan beda linear orde pertama non-

homogen

𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵,

dapat ditransformasi ke sistem persamaan beda

linear orde pertama homogen

𝑧 𝑛+1 = 𝐴𝑧 𝑛,

di mana 𝑧 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑥 ∗ dan 𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵.



Proposisi 7.

Solusi dari sistem persamaan beda linear orde pertama

non-homogen

𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵,

adalah

𝑥 𝑛 = 𝑄𝐷𝑛𝑄−1 𝑥 0 − 𝑥 ∗ + 𝑥 ∗,

di mana 𝐷 adalah Jordan Matriks yang bersesuaian

dengan 𝐴.


Kasus 2 (Nilai Eigen Real Kembar)

Contoh

1. Uncoupled System

𝑥𝑛+1 = 2𝑥𝑛,

𝑦𝑛+1 = 2𝑦𝑛,

di mana 𝑥 0 = 𝑥0, 𝑦0 .


2. Coupled System

𝑥𝑛+1 = 2𝑥𝑛 − 𝑦𝑛,

𝑦𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 4𝑦𝑛,


dengan

𝑛 = 0,1,2, ….

Bentuk Umum

𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵

Titik Tetap

Titik tetap dari 𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵, adalah 𝑥 ∗ ∈ ℝ


𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵, jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Kasus 3 (Nilai Eigen Kompleks Berbeda)


Lemma 3. Jika matriks 𝐴𝑘×𝑘 mempunyai 𝑘 2 nilai eigen

kompleks berbeda 𝜇1, 𝜇 1, 𝜇2, 𝜇 2, ⋯ , 𝜇𝑘 2 , 𝜇 𝑘 2

dimana 𝜇𝑗 ≡ 𝛼𝑗 + 𝑖𝛽𝑗 dan 𝜇 𝑗 ≡ 𝛼𝑗 − 𝑖𝛽𝑗, maka ada matriks

non singular 𝑄𝑘×𝑘 sedemikian sehingga


di mana 𝐷 matriks blok

𝐷 =

𝛼1 −𝛽1𝛽1 𝛼1

0 00 0

0 00 0

𝛼2 −𝛽2𝛽2 𝛼2

… …⋯ ⋯… …… …

0 00 00 00 0

⋱ ⋱⋱ ⋱

0 00 0

0 00 0

0 00 0

… …… …

𝛼𝑛 2 −𝛽𝑛 2

𝛽𝑛 2 𝛼𝑛 2

,

𝑄 = 𝑣 1𝑤 1⋯𝑣 𝑖𝑤 𝑖 dan 𝐴𝑄 = 𝑄𝐷, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘.

Kemudian jika blok pertama pada matriks blok D diubah

dalam bentuk koordinat polar dimana 𝛼𝑗 = 𝑟𝑗 cos 𝜃𝑗 dan

𝛽𝑗 = 𝑟𝑗 sin 𝜃𝑗, maka :

𝛼𝑗 −𝛽𝑗𝛽𝑗 𝛼𝑗

= 𝑟𝑗cos 𝜃𝑗 −sin 𝜃𝑗sin 𝜃𝑗 cos 𝜃𝑗

Lemma 6

𝑟𝑗cos 𝜃𝑗 −sin 𝜃𝑗sin 𝜃𝑗 cos 𝜃𝑗

𝑛

= 𝑟𝑗𝑛cos 𝑛𝜃𝑗 −sin 𝑛𝜃𝑗sin 𝑛𝜃𝑗 cos 𝑛𝜃𝑗


Teorema 3

Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵 dengan 𝐴 mempunyai 𝑘 2

pasang 𝜇1, 𝜇 1, 𝜇2, 𝜇 2, ⋯ , 𝜇𝑘 2 , 𝜇 𝑘 2 nilai eigen imajiner yang

berbeda, dimana 𝜇𝑗 ≡ 𝛼𝑗 + 𝑖𝛽𝑗 dan 𝜇 𝑗 ≡ 𝛼𝑗 − 𝑖𝛽𝑗 stabil global

(asimtotik) jika dan hanya jika

𝑟𝑗 ≡ 𝛼𝑗2 + 𝛽𝑗

2 1 2 < 1, ∀𝑗 = 1,2,⋯ , 𝑘 2



Diagram Phase

Sistem

𝑥𝑛+1 = 𝛼𝑥𝑛 − 𝛽𝑦𝑛

𝑦𝑛+1 = 𝛽𝑥𝑛 + 𝛼𝑦𝑛

mempunyai variasi perilaku bergantung pada nilai

𝑟.


Orbit Periodik : 𝒓 = 𝟏

Spiral Masuk : 𝒓 < 𝟏

Spiral Keluar : 𝒓 > 𝟏

Searah Jarum Jam Berlawanan Arah Jarum Jam

Searah Jarum Jam

Searah Jarum Jam

Berlawanan Arah Jarum Jam

Berlawanan Arah Jarum Jam



Orbit periodik berlawanan arah jarum jam

Misalkan 𝑟 = 1, 𝛽 = 1 dan nilai awal 𝑥0, 𝑦0 = 1,0 .

Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh 𝑥1, 𝑦1 = 0,1 ,

𝑥2, 𝑦2 = −1,0 , 𝑥3, 𝑦3 = 0,−1 , dan 𝑥4, 𝑦4 = 1,0 .

Terlihat bahwa sistem berbentuk orbit periodik dan

berlawanan arah jarum jam.





Orbit periodik searah arah jarum jam

Misalkan 𝑟 = 1, 𝛽 = −1 dan nilai awal 𝑥0, 𝑦0 = 1,0 .

Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh

𝑥1, 𝑦1 = 0,−1 , 𝑥2, 𝑦2 = −1,0 , 𝑥3, 𝑦3 = 0, 1 , dan

𝑥4, 𝑦4 = 1,0 . Terlihat bahwa sistem berbentuk orbit

periodik dan searah jarum jam. Sebagai catatan, 𝛼

menentukan arah pergerakan.




Contoh

1. Uncoupled System

𝑥𝑛+1 = 2𝑥𝑛,

𝑦𝑛+1 = 0.5𝑦𝑛,


Kasus 1 (Nilai Eigen Real Berbeda)


2. Coupled System

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 0.5𝑦𝑛,

𝑦𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 1.5𝑦𝑛,



Contoh

1. 𝒓 = 𝟏, 𝜷 > 𝟎

𝑥𝑛+1 = 𝑦𝑛,

𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛,



Contoh 1

𝐴 =0 1−1 0

𝜆𝐼 − 𝐴 = 0

𝜆 −11 𝜆

= 0

𝜆2 + 1 = 0

𝜆2 = −1

𝜆1,2 = ±𝑖

𝜇1 = 𝑖 𝜇 1 = −𝑖

𝜆 = 𝑖

𝑖 −11 𝑖

𝑏1 ↔ 𝑏2 1 𝑖𝑖 −1

𝑖𝑏1 + 𝑏2 1 𝑖0 0

𝑤 =𝑖−1

=0−1

+ 𝑖10

𝑄 =0 1−1 0

𝑄−1 =0 −11 0

𝜇1 = 𝑖 𝜇 1 = −𝑖 maka 𝛼 = 0, 𝛽 = 1

𝜃 = tan−1𝛽

𝛼= tan−1∞ = 90

𝑟 = 𝛼2 + 𝛽2 = 0 + 1 = 1


𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛,

𝑥 0 = 𝑥0, 𝑦0


𝐷𝑛 = 1𝑛cos 90𝑛 − sin 90𝑛sin 90𝑛 cos 90𝑛

=cos 90𝑛 − sin 90𝑛sin 90𝑛 cos 90𝑛

𝑥 𝑛 = 𝑄𝐷𝑛𝑄−1𝑥 0

=0 1−1 0

1cos 90𝑛 − sin 90𝑛sin 90𝑛 cos 90𝑛

0 −11 0

𝑥0𝑦0

=cos 90𝑛 − sin 90𝑛sin 90𝑛 cos 90𝑛

𝑥0𝑦0


𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛,

𝑥 0 = 𝑥0, 𝑦0

𝑥𝑛 = 𝑥0 cos 90𝑛 − 𝑦0 sin 90𝑛

𝑦𝑛 = 𝑥0 sin 90𝑛 + 𝑥0 cos 90𝑛


2. 𝒓 > 𝟏, 𝜷 > 𝟎

𝑥𝑛+1 = −𝑥𝑛 + 𝑦𝑛,

𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛 − 𝑦𝑛,



Contoh 2

𝐴 =−1 1−1 −1

𝜆𝐼 − 𝐴 = 0

𝜆 + 1 −11 𝜆 + 1

= 0

(𝜆 + 1)2+1 = 0

𝜆2 + 2𝜆 + 2 = 0

𝜆1,2 = −1 ± 𝑖

𝜇1 = −1 + 𝑖

𝜇 1 = −1 − 𝑖

𝜆 = 𝑖

𝑖 −11 𝑖

𝑏1 ↔ 𝑏2 1 𝑖𝑖 −1

𝑖𝑏1 + 𝑏2 1 𝑖0 0

𝑤 =𝑖−1

=0−1

+ 𝑖10

𝑄 =0 1−1 0

𝑄−1 =0 −11 0

𝜇1 = −1 + 𝑖, 𝜇 1 = −1 − 𝑖

maka 𝛼 = −1, 𝛽 = 1

𝜃 = tan−1𝛽

𝛼= tan−1−1 = 135

𝑟 = 𝛼2 + 𝛽2 = 1 + 1 = 2

𝑥𝑛+1 = −𝑥𝑛 + 𝑦𝑛,

𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛 − 𝑦𝑛,

𝑥 0 = 𝑥0, 𝑦0


𝐷𝑛 = 2𝑛 cos 135𝑛 − sin 135𝑛

sin 135𝑛 cos 135𝑛=

cos 135𝑛 − sin 135𝑛sin 135𝑛 cos 135𝑛

𝑥 𝑛 = 𝑄𝐷𝑛𝑄−1𝑥 0

=0 1−1 0

2𝑛 cos 135𝑛 − sin 135𝑛

sin 135𝑛 cos 135𝑛0 −11 0

𝑥0𝑦0

= 2𝑛 cos 135𝑛 − sin 135𝑛

sin 135𝑛 cos 135𝑛

𝑥0𝑦0

𝑥𝑛 = 2𝑛𝑥0 cos 135𝑛 − 2

𝑛𝑦0 sin 135𝑛

𝑦𝑛 = 2𝑛𝑥0 sin 135𝑛 + 2

𝑛𝑥0 cos 135𝑛

𝑥𝑛+1 = −𝑥𝑛 + 𝑦𝑛,

𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛 − 𝑦𝑛,

𝑥 0 = 𝑥0, 𝑦0

dengan

𝑛 = 0,1,2, ….

Bentuk Umum

𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵

Titik Tetap

Titik tetap dari 𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵, adalah 𝑥 ∗ ∈ ℝ


𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵, jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.

SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Kasus 4 (Nilai Eigen Kompleks Kembar)


Lemma 4. Jika matriks 𝐴𝑘×𝑘 mempunyai 𝑘 2 nilai eigen

kompleks kembar, 𝜇, 𝜇 , 𝜇, 𝜇 , ⋯ , 𝜇, 𝜇

dimana 𝜇 ≡ 𝛼 + 𝑖𝛽 dan 𝜇 ≡ 𝛼 − 𝑖𝛽, maka ada matriks non

singular 𝑄𝑘×𝑘 sedemikian sehingga


di mana 𝐷 matriks diagonal

𝐷 =

𝛼 −𝛽𝛽 𝛼

0 00 0

1 00 1


… …⋯ ⋯… …… …

0 00 00 00 0

0 00 0

1 00 1

⋱ ⋱⋱ ⋱

0 00 0

0 00 0

0 00 0

… …… …


,

𝑄 = 𝑣 𝑤 ⋯𝑣 𝑤 dan 𝐴𝑄 = 𝑄𝐷, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.


𝐷𝑛 =

𝑟𝑛 cos𝑛𝜃 −𝑟𝑛 sin 𝑛𝜃𝑟𝑛 sin 𝑛𝜃 𝑟𝑛 cos𝑛𝜃

0 00 0

𝑛𝑟𝑛−1 cos 𝑛 − 1 𝜃 −𝑛𝑟𝑛−1 sin 𝑛 − 1 𝜃

𝑛𝑟𝑛−1 sin 𝑛 − 1 𝜃 𝑛𝑟𝑛−1 cos 𝑛 − 1 𝜃𝑟𝑛 cos𝑛𝜃 −𝑟𝑛 sin 𝑛𝜃𝑟𝑛 sin 𝑛𝜃 𝑟𝑛 cos𝑛𝜃

… …⋯ ⋯… …… …

0 00 00 00 0

𝑛 𝑛 − 1 𝑟𝑛−2 cos 𝑛 − 2 𝜃

2!−𝑛 𝑛 − 1 𝑟𝑛−2 sin 𝑛 − 2 𝜃

2!𝑛 𝑛 − 1 𝑟𝑛−2 sin 𝑛 − 2 𝜃

2!

𝑛 𝑛 − 1 𝑟𝑛−2 cos 𝑛 − 2 𝜃

2!

𝑛𝑟𝑛−1 cos 𝑛 − 1 𝜃 −𝑛𝑟𝑛−1 sin 𝑛 − 1 𝜃

𝑛𝑟𝑛−1 sin 𝑛 − 1 𝜃 𝑛𝑟𝑛−1 cos 𝑛 − 1 𝜃

⋱ ⋱⋱ ⋱

0 00 0

⋮ ⋮⋮ ⋮

⋮ ⋮⋮ ⋮

… …… …

𝑟𝑛 cos 𝑛𝜃 −𝑟𝑛 sin 𝑛𝜃𝑟𝑛 sin 𝑛𝜃 𝑟𝑛 cos𝑛𝜃

,

𝑥𝑛+1 = 𝑟𝑛−𝑘𝑛𝑘

cos 𝑛 − 𝑘 𝜃𝑥0 − sin 𝑛 − 𝑘 𝜃𝑦0𝑛−1

𝑘=0

𝑦𝑛+1 = 𝑟𝑛−𝑘𝑛𝑘

sin 𝑛 − 𝑘 𝜃𝑥0 − cos 𝑛 − 𝑘 𝜃𝑦0𝑛−1

𝑘=0


Teorema 4

Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵 dengan 𝐴 mempunyai 𝑘 2 pasang

𝜇, 𝜇 , 𝜇, 𝜇 ,⋯ , 𝜇, 𝜇 nilai eigen imajiner kembar, dimana 𝜇 ≡ 𝛼 + 𝑖𝛽

dan𝜇 ≡ 𝛼 − 𝑖𝛽 stabil global jika dan hanya jika

𝑟𝑗 ≡ 𝛼𝑗2 + 𝛽𝑗

2 1 2 < 1, ∀𝑗 = 1,2,⋯ , 𝑘 2

SDD OTONOMUS NON-LINEAR

MULTI-D

𝑥 𝑛+1 = 𝑓 𝑥 𝑛 , dengan 𝑛 = 0,1,2, … .

Bentuk Umum

Solusinya adalah

𝑥 1 = 𝑓 𝑥 0

𝑥 2 = 𝑓 𝑥 1 = 𝑓 𝑓 (𝑥 0) = 𝑓 2 𝑥 0

⋮ 𝑥 𝑛 = 𝑓 𝑛 𝑥 0

Solusi Sistem

Diberikan SDD 𝑥𝑛+1 =, 𝑓 𝑥𝑛 dengan nilai awal 𝑥0.

SDD OTONOMUS NON-LINEAR

MULTI-D Titik Tetap

Titik tetap dari 𝑥 𝑛+1 = 𝑓 𝑥 𝑛 , adalah 𝑥∗ ∈ ℝ

sedemikian sehingga

𝑥 ∗ = 𝑓 𝑥 ∗ .

Linearisasi

Hasil linearisasi: 𝑥 𝑛+1 = 𝑈𝑥 𝑛 + 𝑉,

dengan 𝑈 = 𝑓 ′ 𝑥 ∗ dan 𝑉 = 𝑓 𝑥 ∗ − 𝑓 ′ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗

Kestabilan

Sama seperti SDD Linear Multi-D

SDD Linear 1D

Bentuk: 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏

Titik Tetap: 𝑥∗ =𝑏

1−𝑎

Titik tetap 𝑥∗ stabil global ⟺ 𝑎 < 1

SDD Non-Linear 1D

Bentuk: 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛

Titik Tetap: 𝑥∗ = 𝑓 𝑥∗

Titik tetap 𝑥∗ stabil lokal ⟺ 𝑓′ 𝑥∗ < 1

KESIMPULAN

KESIMPULAN

SDD Linear Multi-D

Bentuk: 𝑥 𝑛+1 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵

Titik Tetap: 𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1𝐵

Kestabilan untuk kasus 2-D:

Nilai Eigen Positif

• Stabil: 0 < 𝜆1 < 𝜆2 < 1.

• Saddle: 0 < 𝜆1 < 1 < 𝜆2.

• Source: 1 < 𝜆1 < 𝜆2

1. Nilai Eigen Berbeda

Nilai Eigen Negatif

• Stabil (Osilasi Konvergen) : −1 < 𝜆1 < 𝜆2 < 0.

• Saddle (Osilasi Konvergen/Divergen) : 𝜆1 < −1 < 𝜆2 < 0.

• Source (Osilasi Divergen) : 𝜆1 < 𝜆2 < −1

• Fokus (Stabil): 0 < 𝜆1 = 𝜆2 < 1.

• Fokus (Osilasi Konvergen): −1 < 𝜆1 = 𝜆2 < 0.

• Improper (Stabil): 0 < 𝜆 < 1.

• Improper (Source): 𝜆 > 1.

• Continuum Unstable: 𝜆 = 1.

2. Nilai Eigen Kembar

KESIMPULAN

KESIMPULAN

• Periodik Tertutup: 𝑟 = 1.

1. 𝛽 > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam

2. 𝛽 < 0 Searah Jarum Jam

• Spiral Masuk (Stabil Asimtotik) : 𝑟 < 1.

1. 𝛽 > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam


• Spiral Keluar (Tak Stabil) : 1 < 𝑟. 1. 𝛽 > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam


3. Nilai Eigen Kompleks

SDD Non-Linear Multi-D

Bentuk: 𝑥 𝑛+1 = 𝑓 𝑥 𝑛

Titik Tetap: 𝑥 ∗ = 𝑓 𝑥 ∗

Kestabilan titik tetap 𝑥 ∗ sama seperti SDD Linear Multi-D

KESIMPULAN