Nascimento da Mecanica Quantica
Maria Teresa Thomaz
Roteiro da apresentacao:
1. A pergunta milenar ...
2. As certezas, novidades e duvidas da Fısica do seculo XIX
3. Desenhando o atomo: a descoberta do eletron
4. Fısica atomica fenomenologica
5. Mecanica ondulatoria × Mecanica das matrizes
6. Uma Mecanica Quantica
7. A pergunta foi respondida? Uma estrada a percorrer...
8. Bibliografia
Jorge Andre Swieca A.F.R. de Toledo Piza
Este seminario e dedicado ao
Prof. Jorge Andre Swieca e ao
Prof. Antonio Fernando R. de Toledo Piza,
meus professores de Mecanica Quantica.
1. A pergunta milenar ...
Uma proposta que veio antes da era de Cristo: o atomo.
“Por convencao existe a cor,
por convencao existe a docura,
por convencao existe o amargo,
mas na realidade existeatomos e espaco”
Democrito (400 A.C.)
O que e o atomo?
2. As certezas, novidades e duvidas da Fısica doseculo XIX
As certezas:Mecanica:
“Principia, The Mathematical
Principle of Natural of
Phylosophy” (1687)
As 3 leis de Newton:
descrevem o movimento de
partıculas pontuais
⇒ Corpo rıgido: conjunto
de partıculas pontuais.
As leis de Newton descrevem exatamente a Natureza.
Sir Isaac Newton
Eletricidade: filosofos gregos 600 A.C. sabiam que
esfregando pedacos de ambar eles atraiam pedacos de palha.
Eletrostatica: Lei de Coulomb (1785)
Charles Augustin de Coulomb
Lei de Coulomb: interacao entre duas cargas eletricas
pontuais.
|~F | = kq1q2
r2
Magnetismo: a magnetita era conhecida pelos gregos
antes da era de Cristo. Esta pedra vinha de regiao da
Grecia chamada de Magnesia.
• 2.700 A.C.: bussula rustica dos chineses feitas de
“lodestone”.
• 1.000 D.C. - 1.200 D.C.: bussulas para navegacao
• 1.600 D.C.: William Gilbert, o “Pai do Magnetismo”
William Gilbert
“A Terra e um grande ıma.”
Optica geometrica:
Euclides ( 280 A.C.): a luz se propaga em linha reta. Ele
tambem formulou a lei da reflexao.
Willebrod Snell (1621) e Rene Descartes (1637): lei da
refracao.
Lei da refracao de Snell:
n1sen(θ1) = n2sen(θ2).
As novidades do seculo XIX:
Teoria cinetica dos gases: tratamento estatıstico
das moleculas que compoem os gases (∼ 1866).
Esta teoria foi formulada independentemente por L.
Boltzmann e J.C. Maxwell ⇒ nascimento da Mecanica
Estatıstica, que foi proposta separadamente por Ludwig
Boltzmann e Josiah W. Gibbs.
Ludwig Boltzmann Josiah W. Gibbs
Eletromagnetismo:
Lei de inducao de Faraday (1831): variacao de fluxo de
campo magnetico no tempo geram campos eletricos.
Lei de Ampere (1835): campos magneticos sao gerados por
cargas eletricas em movimento.
James Clerk Maxwell (1855- 1856): formulacao matematica
da lei de inducao de Faraday e introduziu o termo de
corrente de deslocameno na lei de Ampere =⇒ a unificacao
dos fenomenos eletricos e magneticos explicados pelas 4 eqs.
do Eletromagnetismo.
James Clerk Maxwell
Consequencias das 4 equacoes de Maxwell:
• Em 1862, Maxwell mostra que a velocidade de
propagacao das ondas eletromagneticas ≈ velocidade da luz
=⇒ a luz e uma onda eletromagnetica.
• Em 1866, Heinrich Hertz detectou as ondas de radio.
◮ No entanto: mesmo Maxwell supunha a existencia do eter
como meio de propagacao das ondas eletromagneticas no
vacuo.
Tabela Periodica de Elementos (1869):
Dmitri I. Mendeleiev dispos os elementos quımicos
conhecidos num quadro em ordem crescente de suas massas
atomicas e segundo suas propriedades. Ele previu a
existencia de novos elementos.
Dmitri Ivanovitch Mendeleiev
Radioatividade espontanea: foi descoberta por Antoine H.
Becquerel em 1896.
Antoine Henri Becquerel
Em 1898, atraves dos estudos dos ”raios de Becquerel”,
Pierre e Marie Curie descobriram o radium e o polonium, que
possuem radioatividade natural.
Pierre e Marie Curie
Problemas em aberto no seculo XIX:• Radiacao de corpo negro: a radiacao emitida por fornos
tem a seguinte distribuicao por comprimento de onda:
A Fısica Classica preve que a intensidade da radiacao
emitida cresce com a frequencia (”catastrofe do
ultravioleta”, ν → ∞ e λ→ 0):
• Linhas espectrais: linhas de emissao e absorcao do atomo
de hidrogenio.
Johann Balmer (1885): “adivinhou“ a formula que descreve
um conjunto de linhas de absorcao/ emissao do atomo de
hidrogenio:
λ =cte × m2
m2 − 4, m = 3, 4, 5, 6 e 7, cte = 3654, 6 × 10−8cm
3. Desenhando o atomo: a descoberta do eletron
Joseph J. Thomson estudando os raios catodicos, descobriu
o eletron em 1897.
Joseph John Thomson
Proposta de Thomson para o atomo: pudim de ameixas
Espalhamento de partıculas α por filmes finos de ouro:No perıodo de 1909-1911, Ernest Rutherford, Hans Geiger e
Ernest Marsden realizaram a experiencia do espalhamento
de partıculas α por filmes finos de ouro:
A interpretacao de Rutherford dos dados experimentais
permitiu a resposta a pergunta milenar: O que e oatomo?
Ernest Rutherford
Modelo planetario de Rutherford para o atomo de
hidrogenio:
Raio atomico: 10−10m , Raio nuclear: 10−15 a 10−14m.
Instabilidade do atomo de Rutherford:
Eletromagnetismo Classico: cargas eletricas aceleradas
irradiam. Tempo para o eletron cair no nucleo no modelo
planetario de Rutherford: 10−9 s!!!!!!
Apos a interpretacao de Rutherford dos resultado
experimentais, passamos a “conhecer“ o que e o atomo, mas
que teoria descreve corretamente adinamica dos fenomenos na escala de10
−10m (dentro do atomo) ?
A descricao completa das partıculas que compoem o atomo
so ocorreu quando foram descobertos:
• Proton em 1918 por Ernest Rutherford
• Neutron em 1932 por James Chadwick
4. Fısica atomica fenomenologica
• Max Planck em 1900: propoe a quantizacao da energia dos
osciladores harmonicos que descrevem as paredes internas
do corpo negro para resolver o problema da radiacao do
corpo negro: En = hνn.
Max Planck
Na expressao da quantizacao da energia do oscilador
harmonico, nasce uma nova constante na Fısica:
h = 6, 63 × 10−34 Js.
A constante h tem dimensao de momento angular.
Expressao de Planck
para a densidade de
energia da cavidade:
E(λ, T ) = 8πhcλ5
1
ehc
λkT −1
• Efeito Fotoeletrico: A corrente medida possui uma
frequencia de corte e esta nao depende da intensidade da
luz incidente.
Em 1905 Albert Einstein usa a quantizacao da energia
proposta por Planck para tratar a luz como partıcula
(foton). Ele propoe que o foton e absorvido completamente
e instantaneamente pelo eletron do meio material.
Energia do foton: E = hν, sendo ν a frequencia da luz.
Ec : energia cinetica do eletron ejetado do metal.
W : funcao trabalho do metal (independente de ν).
V0 : ddp para que o eletron ejetado alcance a placa do
amperımetro com velocidade zero.
Expressao de Einstein para o efeito fotoeletrico:
conservacao de energia.
Ec = hν −W
= eV0 =⇒ V0 =
(
hν
e−W
)
A dependencia linear do efeito fotoeletrico com a
frequencia da luz incidente foi obtida experimentalmente
por R. A. Millikan em 1916.
• Atomo de Bohr- Rutherford:
Em 1913 Niels Henrick
David Bohr, propos
4 postulados para
garantir a estabilidade do
modelo planetario de
Rutherford para o atomo
de hidrogenio.
Postulados de Bohr:1o: Existe um conjunto discreto de energias estacionarias, calculadas
pela Fısica Classica. As orbitas dos eletrons sao circulares.
2o: O eletron atomico so pode fazer transicao entre 2 orbitas de
energia estacionaria (salto quantico).
3o: A energia se conserva nos fenomenos atomicos. A frequencia de
Bohr ν: ν = En−Emh
.
4o: Quantizacao do momento angular: lz = nh2π
, n = 1, 2, 3 · · · .
As energias estacionarias do
atomo de Bohr-Rutherford
para o hidrogenio:
En = − me4
2n2~2 , n = 1, 2, 3, · · ·
sendo ~ = h2π
, e h a constante de Planck.
Acertos do atomo de Bohr-Rutherford:⇑ obtem as linhas espectrais da serie de Balmer.
⇑ o atomo e estavel: possui um estado fundamental, Efun = −me4
2~2.
Desacertos do atomo de Bohr-Rutherford:⇓ nao explica as linhas de absorcao do atomo de hidrogenio sob a acao
de um campo eletrico (efeito Stark).
⇓ a intensidade I da luz emitida numa transicao eletronica entre dois
nıveis e: I ∝ 1
r2. Qual raio usar se temos 2 raios de trajetoria num
salto quantico?
Um meio conserto para o modelo de Bohr-Rutherford:
W. Wilson (1915) e Arnold J.W. Sommerfeld (1916):
trajetorias elıpiticas sao tambem possıveis para o eletron no
atomo de hidrogenio:
Arnold J.W. Sommerfeld
Regra de quantizacao de Sommerfeld
para o momento angular:∮
pidqi = nih, i = x, y, z.
=⇒ as linhas de absorcao do efeito Stark sao obtidas pela
nova regra de quantizacao do momento angular.
O templo da Fısica Atomica:
O Instituto de Fısica Teorica foi inaugurado por Niels Bohr
em Marco de 1921 em Copenhagen.
Hoje e:
Niels Bohr Institute
Blegdamsvej 17
2100 Copenhagen ∅
Dinamarca
• A onda de materia de Louis de Broglie
Na tese de doutorado do Prıncipe Louis Victor de Broglie
(1924): os eletrons se comportam como ondas, com
comprimento λ:
mv =h
λ.
As orbitas de Bohr no
atomo de hidrogenio sao
aquelas cujo o comprimento
corresponde a um numero
inteiro de comprimentos de
ondas de materia (λ).
A tese de doutorado de de Broglie era tao original, que foi
solicitada a avaliacao de Albert Einstein. A sua opiniao
sobre a tese: ”Ela levanta uma ponta do grande veu.”
=⇒ a tese foi aprovada!!!!
Com Einstein em 1905 e de Broglie em 1924 passamos a
saber que a Natureza e simetrica/dual:
luz : onda ⇋ partıcula
eletrons : partıcula ⇋ onda
Aqui termina a era da fenomenologia daFısica para distancias . 10
−10 m.
Reconhecimento da comunidade cientıfica aos primeiros
desbravadores do interior do atomo: concessao de Premios
Nobel:
• Joseph J. Thomson: Fısica (1906)- pelas investigacoes teoricas e
experimentais sobre a conducao de eletricidade nos gases.
• Ernest Rutherford: Quımica (1908)- pelas investigacoes sobre a
desintegracao de elementos e a quımica de materias radioativos.
• Max Planck: Fısica (1918) - pela descoberta dos quanta de energia.
• Albert Einstein: Fısica (1921) - descoberta da lei do efeito
fotoeletrico.
• Niels H. D. Bohr: Fısica (1922) - pelas investigacoes sobre a
estrutura dos atomos e a radiacao emitida por eles.
• Prıncipe Louis V. de Broglie: Fısica (1929)- pela descoberta da
natureza ondulatoria dos eletrons.
5. Mecanica ondulatoria × Mecanica das matrizes
Uma ruptura com a Fısica Classica: nasce a FısicaQuantica!!!!
• Erwin Rudolf Josef Alexander Schrodinger
Em novembro de 1925 Schrodinger apresenta um seminario
sobre a tese de doutorado de de Broglie. Schrodinger
relembra a observacao de Peter Debye: “... aquela forma de
fazer as coisas lhe parece algo infantil; como aluno de
Sommerfeld, tinha aprendido que, para lidar decentemente
com ondas, e preciso que se tenha uma equacao de ondas.“
Em 1926, Schrodinger (35 anos) propoe sua equacao de
ondas de materia:
−~
2
2m∇2ψ(~x, t) + V (~x)ψ(~x, t) = i~
∂ψ(~x, t)
∂t, Mecanica Ondulatoria
sendo ψ(~x, t) uma onda de materia.
A partir desta equacao, Schrodinger obtem o espectro de
energia do atomo de hidrogenio:
En = −13.6
n2eV, n = 1, 2, 3 · · ·
assim como o espectro de energia do efeito Stark.
A Mecanica Ondulatoria parece nao ter saltos quanticos.
Em 1926, na solucao do efeito Stark, Schrodinger
reinterpreta |ψ(~x, t)|2 como a densidade espacial de carga
eletrica.
• Werner Karl Heisenberg
W. Heisenber foi orientado por
A. Sommerfeld na sua graduacao
na Univ. de Munique.
Sommerfeld convida Heisenberg em 1922 para ir na Univ. de
Gottingen, onde N. Bohr vai apresentar um conjunto de palestras.
Neste encontro, N. Bohr convida Heisenberg (21 anos) para passar
uma temporada no Instituto de Fısica Teorica em Copenhagen.
Visita de Heisenberg a Bohr em Copenhagen:
• primavera de 1924
• ano de 1924: setembro de 1924 a maio de 1925 (Bolsa da Fundacao
Rockfeller)
Ideia central de Heisenberg: abandonar os conceitos
classicos, substituindo-os por ingredientes novos com relacao
direta com as propriedades observaveis dos atomos.
Candidato: saltos quanticos
Em junho de 1925, Heisenberg (23 anos) decide trabalhar
com objetos com 2 ındices e formula a dinamica de sistemas
quanticos:
•distancia: rEn,Em⇒ rn,m
•momento: pEn,Em⇒ pn,m
=⇒
Mecanica das Matrizes:
o espectro do pendulo
quantico
Max Born e Pascual Jordan reconhecem que os objetos que
Heisenberg usava para descrever a Fısica do atomo eram
matrizes!!!!!
Em novembro de 1925, Wolfgang Pauli obteve o espectro do
atomo de hidrogenio a partir da Mecanica de Matrizes de
Heisenberg.
De janeiro a fevereiro de 1926: Schrodinger mostrou a
equivalencia matematica de sua Mecanica Ondulatoria com
a Mecanica das Matrizes de Heisenberg.
O primeiro encontro entre Schrodinger e Heisenberg ocorre
em 1926: Sommerfeld convida Schrodinger para apresentar
um seminario na Univ. de Munique. Heisenberg esta na
plateia com crıticas!!!
O ponto da discordia: os saltos quanticos
6. Uma Mecanica Quantica
Interpretacao de Gottingen- Copenhagen: Max Born (1926)
|ψ(~x, t)|2: densidade de probabilidade
associada a posicao do eletron.
Os eletrons sao encontrados
pontos definidos no espaco.
Max Born
Com a interpretacao de Born a Mecanica Quantica passa a
ser uma teoria probabilıstica.
Reacao de Schrodinger a interpretacao de Gottingen-
Copenhagen: rejeicao. Para Schrodinger as ondas
representadas por ψ(~x, t) deveriam representar uma
realidade fısica comparavel a dos campos eletromagneticos.
1927: Heisenberg demonstrou o Princıpio da Incerteza a
partir da Mecanica de Matrizes:
∆x ∆p ≥~
2=⇒ nao existem trajetorias na MQ!!!!!
Desde a decada de 30 sabemos que a Mecanica Ondulatoria
e a Mecanica das Matrizes sao duas maneiras diferentes de
escrever a mesma dinamica da Fısica do atomo!!!!
7. A pergunta foi respondida? Uma estrada apercorrer...
Hoje temos a Mecanica Quantica que descreve a dinamica
de sistemas quanticos na escala atomica (∼ 10−10m).
Sera que Democrito esta satisfeito
com a nossa resposta a pergunta:
O que e o atomo?
Para Democrito a palavra atomo significa o indivisıvel.
A busca ao indivisıvel continua...
“Quando os reis constroem, os operarios tem o que fazer.“
F. von Schiller
8. Bibliografia
Este seminario e baseado nos livros:
Agradeco as horas agradaveis de leitura que tive aos autores
amigos!!!
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