Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt
27.01.2009 1Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Referent Matthias Rost
Einleitung Definitionen
Maximaler Dynamischer Fluss – Algorithmusvon Ford-Fulkerson
Techniken zur Lösung dynamischer FlussProbleme
Ausblick Anwendung: Evakuierung
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Bisherige Netzwerkflussprobleme
Netzwerk =
▪ Gerichteter Graph G = (V,E)
▪
▪ Quelle s und Senke t,
▪
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Fluss :f V V
G, c, s, t
Kapazitätsfunktion c :V V ,s V t V
Beispiel aus dem „Cormen“
Zeitliche Komponente wird nicht beachtet! Wenig realistisch für viele Anwendungen
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,
, lg
,
,
lg
lg ,
, lg
9
7
5
5
8
6
...
Definiere Transit-Zeiten
Vancouver Edmonton
Vancouver Ca ary
Edmonton
Edmonton Saskatoon
Ca ary
Ca ary Edmonton
Saskatoon Ca ary
Dynamische Netzwerkflüsse besitzenzeitliche Komponente
Netzwerk =
▪
▪
Restliche Komponenten des Netzwerks sindgleich
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G, c, s, t,
:Zeit Funktion V V
:Fluss f V V Zeit
Einheit, die zum Zeitpunkt von y nach z ge-schickt wird, erreicht z zum Zeitpunkt
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, : ( ) ( )yz zy yzyz E t f t f t
t
yzt
a b
(0) 1, (0) 0baabf f
0T3ab
a b
(3) 0, (3) 1ab baf f
3T3ab
Menge an Fluss im Netzwerk bleibt erhalten
Fluss an einem Knotens:
Gesamtfluss ist Fluss in die Senke innerhalbder Zeit T:
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=0
\{ , }: ( ) 0T
t zy
Vzy V s t f t
=0
| ( ) | ( )y
T
t zz
Vyf T f t
| ( ) | | ( ) |tf T f T
Die Kapazitätsfunktion bezieht sich auf jedeneinzelnen Zeitschritt
Wir benutzen keinen “Holdover-Flow” [Speicherung von Fluss an Knoten]
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a b
(0) 1abf
0T1, 3ab abc
a b
(1) 1abf
1T1, 3ab abc
Fluss Fluss
Transport von Gütern
Steigerung der Effizienz
Senkung der Kosten
Evakuierungsberechnungen
Erstellen von Evakuierungsplänen
Optimierung von Gebäudearchitektur
Finden von “Bottlenecks” bei Evakuierungen
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Algorithmus von Ford-Fulkerson [1]
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Idee des AlgorithmusEine beispielhafte DurchführungBeweis
Ford-Fulkerson im statischen Netzwerk Solange es einen augmentierenden Weg von s nach t im
Restgraphen gibtAugmentiere f um diesen Weg
Ford-Fulkerson im dynamischen Netzwerk Jeder Knoten besitzt einen zeitlichen Zustand
Für jeden Zeitpunkt T werden maximale statischeFlüsse im Restnetz berechnet
Es werden im Restnetz nur Kanten betrachtet, die “zeitlich zulässig” sind
Berechnung einzelner Flüsse, die zeitlich wiederholtwerden
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Knoten (0..n) sind nummeriert
Knoten 0 entspricht der Quelle und n der Senke
Zeitlicher Zustand von Knoten i: Statischer Fluss im Netz: Kapazität der Kanten: Menge an Zerlegungen des Flusses in Wege
von Quelle zur Senke:
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0i
,{ }i jx
,i jc
, , ,Kante ist zulässig i j i j j i i jij x c
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,{ }
initialisiere alle mit
solange
solange augmentierender Pfad existiert
v augmentierender Pfad (*)
augmentiere Fluss gemäß v
für alle von der Quelle nicht erreichte
i
n
i j
T
x
0
n Knoten i
++
Berechne Zerlegung des Flusses (Chain-Decomposition)
i
Routine I a)
Routine II
Routine I b)
(*) = betrachte zusätzlich nur zeitlich zulässige Kanten im Restnetzwerk
Nach Beendigung der Routine I liegtstatischer Fluss vor
Routine II zerlegt diesen Fluss in Wege von der Quelle zur Senke, so dass diese den gesamten Fluss ergeben
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,{ }i jx
,
, ,
0
0
solange Weg P von nach n mit Fluss h existiert
wobei für alle enthaltenen Kanten gilt
i j
i j i j
ij x h
P
x x h
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, ,
, , ,
Inv a)
Inv b)
0j i i j i j
j i i j i j i j
x
x c
, ,max(0, )t t t
i j j i i j
über P(i), 0 , sei ein Pfad von 0 nach ni k
Hochgestelltes t bedeutet “Zustand” nach täußeren Schleifendurchläufen, insbesondere:
, ,max(0, )i j j i i j
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1
( ), ( 1)0 ( ( ),) ( 1) ( 1, )
I) Pfade P von Quelle zur Senke, über die Fluss fließt, gilt:
( ) : 0tk t
P i P ii P i P Pi P m mt m
, , , , , , ,II) Sei der Wert des Flusses { }: ·i i j i j i j ij j i j i jv x tv x c
1
, ,,
III) | ( ) | · und | ( ) | ist maximalT
i j i ji j
f T c f T
*Beweis siehe Tafel bzw. [1]
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,
, ,,
,
,0
,
0
Knoten:
Kanten: mit
Superquelle / Supersenke
i j
tt i j
t
tt
i ji j
i j
i t T
i j c c
t T
Äußere Schleife von Routine I wird genau T+1
oft durchgeführt, da in Routine I b) beijeder Durchführung um 1 inkrementiert wird
Augmentierende Pfade werden beliebigausgewählt, es können maximal integraleaugmentierende Pfade gefunden werden
Zusätzlich wird in jedem äußeren Durchlaufeinmal kein augmentierender Pfad gefundenwerden
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n
(| || | | | )O E f E T
| |f
Routine I liefert einen statischenNetzwerkfluss
Routine II berechnet für diesen statischenFluss eine Zerlegung in einzelne Pfade
Diese Zerlegung entspricht dem Finden der augmentierenden Pfade im statischen Netz
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(| || |)O E f
“Dynamischer” Ford-Fulkerson: Mit Edmonds-Karp:
Im Expanded-Netzwerk mit statischem Ford-Fulkerson
Im Expanded-Netzwerk mit Edmonds-Karp
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(| || | | | )O E f E T2(| | | | | | )O E V E T
(| || | )O E f T
2 3(| | | | )O E V T
Gemäß II) und III) gilt
Maximaler Fluss in einem dynamischenNetzwerk entspricht einem “Minimum-Cost Circulation” im erweiterten Netzwerk, wobeiKosten der Zeit entsprechen
erweitertes Netzwerk ist Netzwerk mit Kante
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, , ,| ( ) | · ·i j i j i jt xf t v
,0 ,00 ( 1) mit und nnn T c
“Time-Expanded Networks”
Grundlage für Lösung des maximalenFlussproblems in dynamischen Netzwerkenmittels “Minimum-Cost Circulation”
kann in streng polynomieller Zeit bestimmtwerden
(Standard-)Chain-Decomposable Flows
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Möglichkeit der Reduktion dynamischerNetzwerkflussprobleme auf statische Probleme
Laufzeit und Platzbedarf nehmen polynomiellzu
Viele dynamische Probleme werden über Time-Expanded Networks gelöst
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Ford-Fulkerson haben Zerlegung von dynamischen Flüssen eingeführt
Dabei werden nur Pfade entlang der Flussrichtung betrachtet
Verallgemeinerung: Fluss wird entgegen der eigentlichen zeitlichen Richtung zugelassen
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mehrere Quellen und mehrere Senken jede Quelle hat bestimmtes Angebot an Fluss Ziel: Sende den gesamten Fluss in minimaler
Zeit durch das Netzwerk
Modelliert Evakuierungssituation
Hoppe: erster polynomieller Algorithmusmittels Chain-Decomposable Flows
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maximiert für jeden Zeitschritt den eingehenden Fluss in die Quellen
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Beispiel-Berechnungen von Nadine Baumann
[1] Ford, L.R. and Fulkerson, D.R., Constructing maximal dynamic flows from static flows. Operations Research. v6. 419-433
[2] Ford, L.R. and Fulkerson, D.R., Flows in Networks. 1962. Princeton University Press, Princeton, NJ
[3] R. K. Ahuja, T. L. Magnanti, and J. B. Orlin. Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications. Prentice Hall, NJ, 1993
[4] Bruce Edward Hoppe, Efficient dynamic network flow algorithms, Cornell University, Ithaca, NY, 1996
[5] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, and C. Stein. Introduction to Algorithms. 2nd edition, McGraw-Hill Book Company, Boston, MA, 2001
[6] Nadine Baumann, Evacuation by Earliest Arrival Flows, UniversitätPotsdam, 2007
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